TUTORIAL 6 Vectores Producto entre vectores Escalar, Vectorial y Mixto Propiedades y Aplicaciones

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U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas
Asignatura: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Carreras: LAS, PM, LF, LER, TEU, TUES, TUP
Año: 2
do
Cuatrimestre 2018
Docente Responsable del curso: Ing. Augusto A. Estrada V
Tutorial Nº 6
Vectores. Producto entre vectores: Escalar, Vectorial y Mixto. Propiedades y Aplicaciones
Introducción: En el presente Trabajo Práctico vamos a trabajar con vectores de Rn, en
particular con vectores del espacio R2 plano y del espacio tridimensional R3. Realizaremos las
operaciones de suma y producto por un escalar y sus combinaciones interpretando
geométricamente el concepto de vector como segmento dirigido (flecha). Asimismo definiremos
una función que a cada par de vectores de un espacio vectorial le hace corresponder un escalar, la
que nos permitirá definir el producto interno en general y como caso particular el producto
escalar para vectores de Rn. Estudiaremos algunas propiedades y la condición de ortogonalidad
(perpendicularidad) entre vectores, definiremos y calcularemos ángulo entre vectores, vector y
escalar proyección ortogonal de un vector sobre otro. En R3estudiaremos el producto vectorial de
dos vectores, algunas propiedades del mismo y por último el producto mixto entre tres vectores.
Asimismo estudiaremos algunas aplicaciones del producto vectorial y mixto.
Ejercicio 1:
¿Qué? debemos hacer. En a Representar algunos vectores del plano y del espacio. ¿Cómo?
lo hacemos. Bastará recordar el concepto de coordenadas de un vector y cómo se las representa.
Para el plano esto ya lo realizamos en el TP4 así que solo hay que recordarlo. Un vector x,y del
plano se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base canónica de R2
como: x,y = x1,0 + y0,1. En consecuencia x,y son las coordenadas de cualquier vector
del plano respecto a la base canónica del plano.
La base canónica es una base ortonormal que sabemos cumple con que sus vectores son
ortogonales y unitarios. Como x,y es suma de los vectores x1,0, y0,1 = x, 0 + 0,y, y
para obtener esa suma utilizamos la regla del paralelogramo, bastará que traslademos en forma
paralela el vector 0,y hasta hacer coincidir su origen con el extremo de x, 0, obteniendo de
ese modo el vector suma x,y. Como 1,0 es ortogonal a 0,1, tendremos que el
paralelogramo es rectángulo y el vector suma es la diagonal del mismo con origen en el origen de
coordenadas y con extremo en el vértice opuesto al origen. Así que, dado el punto, para graficar
las coordenadas se trazan por el punto las paralelas a cada eje, y la intersección con el otro eje
nos dará la coordenada correspondiente.
Los ejes cartesianos x,y tienen como direcciones respectivamente a los vectores 1,0 y 0,1
y sus sentidos positivos están dados respectivamente por los sentidos de estos vectores.
Asimismo por ser los vectores 1,0 y 0,1 unitarios, la unidad o escala para cada uno de esos
ejes, es la misma y está dada por la longitud de cada uno de estos vectores respectivamente.
En la figura se ha graficado un vector genérico x,y y el vector U = 3,1
De la misma manera se procede en R3 x,y, z = x1,0,0 + y0,1,0 + z0,0,1. Como
ahora los vectores a sumar son más de dos, se asocia los dos primeros y se realiza la suma y
luego al resultado de esa suma se le suma el tercer vector, utilizando para realizar la suma la
regla del paralelogramo. Es decir:
x,y, z = x1,0,0 + y0,1,0 + z0,0,1 = x, 0, 0 + 0,y, 0 + 0,0, z = x,y, 0 + 0,0
De la misma manera que en el plano, ahora resulta que en cada una de esas sumas el
paralelogramo es un rectángulo por lo que en cada uno de los planos coordenados xy; xz e yz
tendremos un paralelogramos de modo que el vector suma de los tres vectores es la diagonal del
paralelepípedo cuyos lados están dados por los vectores x, 0, 0, 0,y, 0 y 0,0, z que se suman.
El origen del vector suma es el origen de coordenadas y el extremo el vértice opuesto al origen.
En la figura se ha graficado un vector genérico (x,y,z) y como un ejemplo particular, el vector
U = 2,5,2
1
1
3(x,0)
(0,y)
(x,y)
(3,1)
x
y
1
1
1
z
y
(x,0,0)
(0,y,0)
(0,0,z)
(x,y,z)
(x,y,0)
5
2
2
(2,5,2)
En b debemos realizar operaciones de suma de vectores, producto de un escalar por un
vector y combinación de ambas operaciones tanto en forma analítica como gráfica. ¿Cómo? lo
hacemos. Bastará recordar cómo se realizan las operaciones de suma y producto por un escalar.
Debemos tener en cuenta que gráficamente el vector suma de otros dos se obtiene mediante la
regla del paralelogramo. Así que, si queremos sumar dos vectores U y V, se grafica los vectores
U y V, luego se traslada el vector V en forma paralela a V hasta llevar el origen de V al extremo
de U. El vector cuyo origen es el origen de U y cuyo extremo es el punto al cual se movio el
extremo de V cuando se lo traslado, es el vector suma W = U + V como podemos observar en la
figura:
V
U
W=U+V
En cuanto a realizar en forma analítica las operaciones de suma, producto por un escalar y la
combinación de ambas no es más que realizar combinaciones lineales de vectores, problema que
ya hemos resuelto en los TP3 y TP4, por lo tanto considero que no tendrán inconveniente en
resolverlos.
Ejercicio: 2
a ¿Qué? debemos hacer. Decidir si una función dada en R2, define un producto interno en
R
2. ¿Cómo? lo hacemos. Será necesario responder la pregunta: ¿Cuando se dice que una
función define un producto interno en un espacio vectorial?. Para responderla sólo debemos
recordar la definición de producto interno.
Ejemplo 1:
Decide si la función 〈, 〉 : R2 → R definida por 〈X,Y〉 = x1x2 + 3y1y2 define un producto
interno en R2, siendo X = x1, y1 e Y = x2, y2
Recordemos la definición de producto interno:
Una función , define un producto interno en un espacio vectorial V sobre el cuerpo de
escalares R si verifica los siguientes axiomas
∀ U,V,W ∈ V ∧∀k ∈ R
1 〈U,V〉 = 〈V,U〉 conmutatividad 2 〈kU,V〉 = k〈U,V〉 Homogeneidad
3〈U,V + W〉 = 〈U,V〉 + 〈U,W〉 Linealidad 4 〈U,U〉  0 ∧ 〈U,U〉 = 0  U = ⊙
No negatividad ⊙ neutro de la suma en V
Veamos si la función dada en el ejemplo 1 cumple o no éstos axiomas.
1) Sean U = u1, u2 y V = v1, v2
〈U,V〉 = 〈u1,u2, v1,v2〉 Hipótesis
= u1v1 + 3u2v2 Definición de 〈, 〉
= v1u1 + 3v2u2 Conmutativa del prod. en R
= 〈v1,v2, u1,u2〉 Definición de 〈, 〉
= 〈V,U〉 Hipótesis
⇒ 〈U,V〉 = 〈V,U〉 Transitiva en R
Se cumple el axioma 1
2) Sean U = u1, u2 y V = v1, v2 k ∈ R
〈kU,V〉 = 〈ku1,u2, v1,v2〉 Hipótesis
= 〈ku1,ku2, v1,v2〉 Def. prod. de un esc. por un vector
= ku1v1 + 3ku2v2 Definición de 〈, 〉
= ku1v1 + 3u2v2 Distributiva en R
= k〈u1,u2, v1,v2〉 Definición de 〈, 〉
= k〈U,V〉 Hipótesis
⇒ 〈kU,V〉 = k〈U,V〉 Transitiva en R
Se cumple el axioma 2
3) Sean U = u1, u2, V = v1, v2 yW = w1, w2
〈U,V + W〉 = 〈u1,u2, v1,v2 + w1,w2〉 Hipótesis
= 〈u1,u2, v1 + w1,v2 + w2〉 Def. de suma en R2
= u1v1 + w1 + 3u2v2 + w2 Definición de 〈, 〉
= u1v1 + u1w1 + 3u2v2 + 3u2w2 Distributiva en R
= u1v1 + 3u2v2 + u1w1 + 3u2w2 Conmut. y asoc. de la suma en R
= 〈u1,u2, v1,v2〉 + 〈u1,u2, w1,w2〉 Definición de 〈, 〉
= 〈U,V〉 + 〈U,W〉 Hipótesis
⇒ 〈U,V + W〉 = 〈U,V〉 + 〈U,W〉 Transitiva en R
Se cumple el axioma 3
4) Sea U = u1, u2
〈U,U〉 = 〈u1,u2, u1,u2〉 Hipótesis
= u1u1 + 3u2u2 Definición de 〈, 〉
= u1
2 + 3u2
2 Definición de potencia en R
u1
2 + 3u2
2  0 y u1
2 + 3u2
2 = 0 si y solo si u1 = u2 = 0 propiedad en R
⇒ 〈U,U〉  0 y 〈U,U〉 = 0 ⇔ U = ⊙ Transitiva en R
Se cumple el axioma 4
Como hemos probado que 〈, 〉 definida para el ejemplo 1 cumple con los cuatro axiomas,
podemos afirmar que define un producto interno en R2 y sobre R
b ¿Qué? debemos hacer. Demostrar que una función dada en un espacio vectorial, define un
producto interno en ese espacio vectorial y sobre el cuerpo de los reales. ¿Cómo? lo hacemos. De
forma similar a lo que hicimos en a con la única diferencia que ahora no debemos decidir sino
demostrar que dicha función define un producto interno.Es decir debemos verificar que esa
función cumple con los 4 axiomas de producto interno. Nada nuevo ¿verdad?. Así que manos a
la obra y hacerlo.
Ejercicio 3
En a El ¿qué? hay que hacer, involucra el concepto de norma de un vector, concepto que
está vinculado al de producto interno. Así que, para responder al ¿cómo? lo vamos a hacer,
debemos recordar la definición de norma y sus propiedades. Recordemos la definición de norma
de un vector:
Dado un espacio vectorial V con producto interno 〈, 〉 y un vector U ∈ V. Definimos como
norma del vector U y la simbolizamos por ‖U‖ al escalar:
‖U‖ = 〈U,U〉
Podemos ver, que la norma de un vector, al estar definida utilizando un producto interno,
dependerá del producto interno que se defina en el espacio vectorial al cual pertenece el vector.
En b se solicita verificar para dos vectores dados, la desigualdad de Cauchy Schwarz y la
desigualdad triangular. Bastará recordar dichas desigualdades, que sabemos se cumplen para
cualquier par de vectores de un espacio vectorial con producto interno y comprobar su veracidad
para el caso particular de los vectores dados.
Ejemplo 1
Dados los vectores U = 3,1 y V = 1,−2.
i Calcule sus normas utilizando la definición de producto interno definido en R2 por:
〈X,Y〉 = x1x2 + 2y1y2 siendo X = x1, y1 e Y = x2, y2
ii Calcule sus normas utilizando la definición de producto interno usual en R2
i-Recordemos que la Norma de un vector X viene dada por: ‖X‖ = 〈X,X〉
En consecuencia su valor dependerá de cómo este definida la función 〈, 〉 producto interno.
En este caso se nos pide que usemos la función definida en el inciso i a saber:
〈X,Y〉 = x1x2 + 2y1y2 siendo X = x1, y1 e Y = x2, y2. En consecuencia:
‖U‖ = 〈U,U〉 = 〈3,1, 3,1〉 = 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 9 + 2 = 11
‖V‖ = 〈V,V〉 = 〈1,−2, 1,−2〉 1 ⋅ 1 + 2−2−2 = 1 + 8 = 9 = 3
ii-Se procede de la misma manera que en el inciso i pero considerando la definición de
producto interno usual en Rn para el caso particular de n = 2 que viene dada por:
〈U,V〉 = ∑
i=1
2
uiv i = u1v1 + u2v2
‖U‖ = 〈U,U〉 = u1
2 + u2
2 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10
‖V‖ = 〈V,V〉 = v1
2 + v2
2 = 12 + −22 = 1 + 4 = 5
Como podemos ver el valor de las normas calculadas ahora son distintas a las calculadas en
el inciso i. Esto es natural, ya que las definiciones del producto interno con las que se calcula en
cada caso son distintas.
Ejemplo 2
Dados los vectores U = 3,2 y V = 1,−2 Verifique la desigualdad de Cauchy-Schwarz en
los siguientes casos:
i Utilizando el producto interno definido en el Ejemplo 1 Inciso i) dado para el Ejercicio 3
ii Utilizando el producto interno usual en R2
i.Qué? debemos hacer. Verificar la desigualdad de Cauchy- Schwarz con los productos
internos definidos en el ejemplo 1 Inciso i resuelto para el ejercicio 3. La pregunta a responder
será ¿qué dice la desigualdad de Cauchy Schwarz?. Si recordamos esta desigualdad tenemos
que:
|〈U,V〉|  ‖U‖‖V‖
Cómo? lo hacemos. Bastará calcular todos los términos que están en la desigualdad, hacer
los cálculos y ver que se cumple tal desigualdad. Para ello, debemos utilizar, la definición de
producto interno dada para el Ejemplo 1 Inciso i) dado para el Ejercicio 3 que sabemos es:
〈X,Y〉 = x1x2 + 2y1y2 siendo X = x1, y1 e Y = x2, y2. Así que:
〈U,V〉 = 〈3,2, 1,−2〉 = 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2−2 = 3 − 8 = −5 ⇒ |〈U,V〉| = 5
‖U‖ = 〈U,U〉 = 〈3,2, 3,2〉 = 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 9 + 8 = 17
‖V‖ = 〈V,V〉 = 〈1,−2, 1,−2〉 1 ⋅ 1 + 2−2−2 = 1 + 8 = 9 = 3
 ‖U‖‖V‖ = 17 ⋅ 3 ≃ 12,37
Como |〈U,V〉| = 5 < 12,36 = ‖U‖‖V‖, entonces se verifica la desigualdad para los vectores
U y V dados.
ii De la misma forma, para el caso del producto interno usual cuya definición es:
〈U,V〉 = ∑
i=1
2
uiv i = u1v1 + u2v2 tenemos:
〈U,V〉 = 〈3,2, 1,−2〉 = 3 ⋅ 1 + 2−2 = 3 − 4 = −1 ⇒ |〈U,V〉| = 1
‖U‖ = 〈U,U〉 = u1
2 + u2
2 = 32 + 22 = 9 + 4 = 13
‖V‖ = 〈V,V〉 = v1
2 + v2
2 = 12 + −22 = 1 + 4 = 5
 ‖U‖‖V‖ = 13 5 ≃ 8
Como |〈U,V〉| = 1 < 8 = ‖U‖‖V‖, entonces se verifica la desigualdad para los vectores U y
V
Ejercicio 4
El ¿Qué? debemos hacer involucra los conceptos de vector unitario y ortogonalidad. Para
responder a ¿cómo? lo vamos a hacer, debemos recordar dichos conceptos y aplicarlos para
resolver la tarea según sea el caso.
Ejemplo 1: Dado U = 3,4,0
a Determina un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido contrario que
U = 3,4,0
b Determina todos los vectores ortogonales a U
c Determina, si existen, valores de k tal que V = 3k2,−1,k sea ortogonal a U
a ¿Qué? debemos hacer. Encontrar un vector unitario que tenga la misma dirección y
sentido contrario a un vector dado. ¿Cómo? lo hacemos. Bastará recordar el concepto de vector
unitario.
Recordemos que se denomina vector unitario a cualquier vector cuya norma sea la unidad.
Recordemos también que si tenemos un vector V, un vector unitarioW que tenga la misma
dirección que V, es decir que sea paralelo a V será:
W = kV 1
También por propiedad de la norma sabemos que ‖kV‖ = |k|‖V‖ en consecuencia si
aplicamos la norma en la ecuación 1, será:
‖W‖ = |k|‖V‖. ComoW es unitario será ‖W‖ = 1
⇒ 1 = |k|‖V‖ ⇒ |k| = 1
‖V‖
⇒ k = ± 1
‖V‖
.Reemplazando en 1 tendremos que:
W = ± 1
‖V‖
V 2
En efecto el vectorW dado por la 2 será un vector unitario. Mostremos que es así:
‖W‖ = 〈W,W〉 = ± 1
‖V‖
V, ± 1
‖V‖
V = ± 1
‖V‖
V, ± 1
‖V‖
V = ± 1
‖V‖
2〈V,V〉 =
= 1
‖V‖
〈V,V〉 = 1
‖V‖
‖V‖ = 1
Además sí W = + 1
‖V‖
V,W tendrá el mismo sentido que V y si W = − 1
‖V‖
V,W tendrá
sentido contrario a V. Así que:
W = − 1
‖U‖
U = − 1
5
3,4,0 = − 3
5
,− 4
5
, 0 es un vector unitario que tiene la misma
dirección y sentido contrario al vector U
En efectoW es un múltiplo de U así que tiene la misma dirección que U, además el escalar
por el que se multiplica U para obtenerW es negativo así que W tiene sentido contrario que U y
W es unitario ya que:
‖W‖ = 〈W,W〉 = 〈 3
5
, 4
5
, 0,  3
5
, 4
5
, 0〉 =  3
5
2 +  4
5
2 + 02 = 9
25
+ 16
25
= 25
25
= 1
b ¿Qué? debemos hacer. Determinar todos los vectores ortogonales a un vector dado
¿Cómo? lo hacemos. Bastará recordar el concepto de ortogonalidad y responder las preguntas:
¿Cuando se dice que dos vectores son ortogonales? ¿Cómo encuentro todos los vectores
ortogonales a un vector dado?.
Sabemos que la condición necesaria y suficiente para que dos vectores sean ortogonales es
que su producto interno sea nulo. Así que sólo necesitamos aplicar esta condición para poder
encontrar un vector ortogonal al vector U dado. Pero necesitamos encontrar todos los que son
ortogonales a U, por lo que debemos trabajar con un vector genérico X
Si llamamos X = x,y, z al vector buscado, debe ser:
XU ⇒ 〈X,U〉 = 0 Condición de ortogonalidad
⇒ 〈x,y, z, 3,4,0〉 = 0. Sustitución
⇒ 3x + 4y = 0. Definición de producto interno usual en R3
La anterior es una ecuación con 3 incógnitas que tiene infinitas soluciones. Su solución
general nos dará cualquiera de los infinitos vectores perpendiculares a U y una solución
particular nos dará uno de esos vectores.
En consecuencia podemos decir que el conjunto de todos los vectores perpendiculares a U es:
S = x,y, z ∈ R3/3x + 4y = 0
c El ¿qué? debemos hacer no difiere del correspondiente al anterior inciso. Salvo que aquí,
tenemos que determinar si hay valores de un parámetro que forma parte de las componentes de
un vector V para que este sea ortogonal al U dado. Esto requiere que:
〈V,U〉 = 0 ⇒ 〈3k2,−1,k, 3,4,0〉 = 0 ⇒ 9k2 − 4 = 0 ⇒ 9k2 = 4 ⇒ k2 = 4
9
⇒ k = ± 2
3
Es decir si k = 2
3
∨ k = − 2
3
entonces V y U son ortogonales
Ejercicio 5:
El ¿Qué? hay que hacer, involucra los conceptos de vector unitario, ángulo entre dos
vectores, ortogonalidad, proyección ortogonal de un vector sobre otro, conceptos que están
vinculados al de producto interno. Así que para responder al ¿cómo? lo vamos a hacer, debemos
recordar las definiciones de tales conceptos y las propiedades de los mismos. Veamos algunos
ejemplos que sirvan de ilustración.
Ejemplo 1
Dados los vectores U= 3,2 y V = 1,−2. Utiliza el producto interno usual y también el
producto interno 〈X,Y〉 = x1x2 + 2y1y2 siendo X = x1, y1 e Y = x2, y2 para determinar:
a El ángulo entre ellos
b El vector proyección ortogonal del vector U sobre V
a ¿Qué? debemos hacer. Determinar el ángulo entre dos vectores utilizando distintas
definiciones de producto interno en R2. ¿Cómo? lo hacemos. Solo debemos responder la
pregunta ¿Cómo se define el ángulo entre dos vectores?. Recordemos esa definición: Dados
dos vectores U,V el ángulo ϕ entre ellos cumple: cosϕ = 〈
U,V〉
‖U‖‖V‖
siendo 0  ϕ  π y en
consecuencia:
ϕ = arcocos 〈
U,V〉
‖U‖‖V‖

Utilizando el producto interno usual.
Por definición de producto interno usual en R2, tenemos que:
〈U,V〉 = 〈3,2, 1,−2〉 = 3 ⋅ 1 + 2−2 = 3 − 4 = −1
Por definición de norma de un vector, considerando el producto interno usual
‖U‖ = 〈U,U〉 = u1
2 + u2
2 = 32 + 22 = 9 + 4 = 13
‖V‖ = 12 + −22 = 5  ‖U‖‖V‖ = 13 5
cosϕ = 〈
U,V〉
‖U‖‖V‖
= −1
13 5
 ϕ = arcocos −1
13 5
 ⇒ ϕ ≃ 97∘
Utilizando el producto interno 〈X,Y〉 = x1x2 + 2y1y2 siendo X = x1, y1 e Y = x2, y2.
〈U,V〉 = 〈3,2, 1,−2〉 = 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2−2 = 3 − 8 = −5
‖U‖ = 〈U,U〉 = 〈3,2, 3,2〉 = 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 9 + 8 = 17
‖V‖ = 〈V,V〉 = 〈1,−2, 1,−2〉 = 1 ⋅ 1 + 2−2−2 = 1 + 8 = 9 = 3
cosϕ = 〈
U,V〉
‖U‖‖V‖
= −5
3 17
 ϕ = arcocos −5
3 17
 ⇒ ϕ ≃ 113∘
b ¿Qué? debemos hacer. Determinar el vector proyección ortogonal de U sobre V. ¿Cómo?
lo hacemos. Solo debemos recordar cómo se define el vector proyección ortogonal de un vector
sobre otro. Sabemos que dicho vector tiene como origen el origen común de U y V y como
extremo el punto que resulta de la intersección de la recta perpendicular al vector V y la recta que
contiene a V, recordar o deducir la fórmula que nos permite encontrar ese vector. Si llamamosW
al vector proyección tenemos que:
W = ProyVU =
〈U,V〉
‖V‖2
V. Con ella podemos calcular el vector proyección utilizando la
definición del producto interno que se nos indica:
Con el producto interno usual: Utilizando los cálculos ya realizados en a tenemos que :
〈U,V〉 = −1 y ‖V‖ = 5
⇒ W = ProyVU =
〈U,V〉
‖V‖2
V = 1
 5 2
1,−2 =  1
5
,− 2
5

Con el producto interno 〈X,Y〉 = x1x2 + 2y1y2 siendo X = x1, y1 e Y = x2, y2.
Si utilizando los cálculos ya realizados en a tenemos que:
〈U,V〉 = −5; y ‖V‖ = 3
⇒ W = ProyVU =
〈U,V〉
‖V‖2
V = 1
3
1,−2 =  1
3
,− 2
3

Ejemplo 2
Considerando los vectores U = 2,1,0 y V = 1,−1,3
i Encuentra un vector unitario ortogonal simultáneamente a U y V. ¿Hay una única
solución?. Justifica tu respuesta
ii Determina el valor de k para que el vectorW = 1,1 − k,k + 2 sea ortogonal a V
Resolvamos lo pedido:
i Como queremos encontrar un vector X unitario y ortogonal tanto a U como a V, primero
encontramos el vector ortogonal y luego normalizamos para que sea unitario.
Recordando la condición de ortogonalidad, podríamos aplicar la misma a los vectores X,U,V
y tendríamos que:
XU ∧XV ⇒ 〈X,U〉 = 0 ∧ 〈X,V〉 = 0 ⇒ 〈x,y, z, 2,1,0〉 = 0 ∧〈x,y, z, 1,−1,3〉
= 0 ⇒ 2x + y = 0 ∧ x − y + 3z = 0
En consecuencia todo vector X = x,y, z ortogonal simultáneamente a U y V será aquel que
cumpla con las dos anteriores ecuaciones. Es decir que sea solución del sistema homogéneo:
2x + y = 0
x − y + 3z = 0
Resolviendo este sistema, podremos encontrar lo pedido (un vector ortogonal
simultáneamente a U y V.
Pero recordemos que, dados dos vectores U,V ∈ R3 el vector U × V es tal que U × VU
∧U × VV. Así que bastará calcular ese producto vectorial para encontrar el vector pedido.
Como podemos ver hay otra forma de resolver el problema.
U × V =
I J K
2 1 0
1 −1 3
= I
1 0
−1 3
− J
2 0
1 3
+ K
2 1
1 −1
=
= 3I − 6J − 3K = 3,−6,−3 ⇒ U × V = 3,−6,−3
ConclusiónW = U × V = 3,−6,−3 es un vector ortogonal simultáneamente a U y V
Si recordamos que todos los vectores que tienen la misma dirección que W son los múltiplos
del vectorW, es decir, todas las combinaciones lineales del vectorW, por lo que el conjunto de
todos los vectores ortogonales simultáneamente a U y V es S= LW.
Pero volvamos al problema de origen. Estábamos buscando un vector unitario ortogonal
simultáneamente a U y V. Hemos encontrado unW = 1,2,1 que es un vector ortogonal
simultáneamente a U y V, por lo tanto sólo resta encontrar otro que tenga la misma dirección que
W pero cuya norma sea unitaria.
Sabemos que dado un vectorW para encontrar un vector unitario que tenga la misma
dirección basta con hacer:
T = ± 1
‖W‖
W
El vector T así hallado será un vector unitario y que tiene la misma dirección que W y como
W es un vector ortogonal simultáneamente a U y V, el vector T será también ortogonal
simultáneamente a U y V pero unitario. Queda para que lo calculen y respondan la pregunta:
¿Cuantas soluciones hay?
ii
WU ⇒ 〈W,U〉 = 0 ⇒ 〈1,k − 1,k + 2, 1,−1,3〉 = 0 ⇒ 1 − k − 1 + 3k + 2 = 0 ⇒ 1 − k + 1
Es decir si k = −4 el vectorW = 1,k − 1,k + 2 será ortogonal a V = 1,−1,3
Ejercicio 6.
¿Qué? debemos hacer. Demostrar un teorema que está relacionado con el concepto de
ortogonalidad de un vector y un subespacio (espacio). ¿Cómo? lo hacemos. Debemos recordar el
concepto de ortogonalidad entre un vector y un subespacio y también el de subespacio generado.
Recordemos cuando decimos que un vector es ortogonal a un subespacio (espacio).
Dado S un subespacio de un espacio vectorial V y V ∈ V. Decimos que V es ortogonal a S si
y solo si V es ortogonal a cualquier vector de S. En símbolos será VS  ∀X ∈ S ⇒ VX
En el caso del ejercicio 6 S = LG =LV1,V2,… ,Vn ⊂ V. Debemos probar que si
W ∈ V
WVi i = 1,2,… ,n ⇔ WLV1,V2,… ,Vn. Recordemos que:
Si X ∈ LU1,U2,… ,Uk⇒ ∃αi i = 1,2,…k / X = ∑
i=1
k
αiUi así que:
VUi, i = 1,2,… ,k ⇒ VX ,∀X = ∑
i=1
k
αiUi y si hacemos cumplir la condición de
ortogonalidad tendremos que la implicación a demostrar es:
〈V,Ui 〉 = 0 , i = 1,2,… ,k ⇒ U, ∑
i=1
k
αiUi = 0
Propongo que continúen y terminen la demostración, para ello habrá que recordar los
axiomas del producto interno y utilizar la hipótesis de la implicación.
Ejercicio 7:
El ¿qué? debemos hacer en este ejercicio, está relacionado con el concepto de Complemento
ortogonal de un subespacio. ¿Cómo? lo hacemos. Bastará recordar la definición de complemento
ortogonal y aquellos conceptos involucrados en ella como ser producto interno, ortogonalidad,
subespacio.
En a debemos determinar el complemento ortogonal de un subespacio. Asi que bastará
responder las preguntas: ¿A qué se llama complemento ortogonal de un subespacio?. ¿Cómo
lo determinamos?
Como recordamos más arriba: Dado un subespacio S de un espacio vectorial con producto
interno V, su complemento ortogonal está definido por: S = X ∈ V/〈X,Y〉 = 0∀Y ∈ S
Como S es un subespacio, habrá un conjunto G = U1,U2,… ,Uk, generador de S, en
particular si G es L. I. será una base de S (mínimo generador de S) y tendremos que∀ Y ∈ S, será
Y combinación lineal de los vectores de G y en consecuencia S = LG.
El teorema demostrado en el ejercicio 6, se puede aplicar para hallar el complemento
ortogonal de un subespacio S dado. De acuerdo a este teorema, si tenemos un conjunto
generador del subespacio, basta con hacer cumplir la condición de ortogonalidad para todos y
cada uno de los vectores del generador del subespacio. El conjunto de vectores que sea solución
del sistema 〈X,Ui 〉 = 0 i = 1,2, . . . ,k será el complemento ortogonal de S.
En b solo debemos probar que el complemento ortogonal de un subespacio de un espacio
vectorial V es también un subespacio de V. Esto es algo que ya sabemos hacerlo ¿verdad? ya
que lo hemos hecho en el TP 3.
En c hay que determinar una base y la dimensión del complemento ortogonal hallado, es
algo similar a lo que ya realizamos en el TP4 para un subespacio cualquiera, así que es algo que
ya sabemos hacer y no hay problema ¿verdad?
Veamos algunos ejemplos que ilustren lo antes dicho.
Ejemplo 1: Dado el subespacio S =x,y, z ∈ R3/x − 2y + z = 0. Determina su
complementoortogonal y da una base y la dimensión del mismo.
Según lo antes expresado, necesitamos encontrar un generador de S, en particular es más útil
encontrar una base de S (mínimo generador)
Recuerdas cómo encontrábamos una base para S ¿verdad?
Como la ecuación de S es solo una, ya es un sistema escalonado, por lo que:
3Inc − 1Ec = 2V.L.⇒ DimS =2.
De x − 2y + z = 0 ⇒ x = 2y − z y la solución general será: (recuerda que representa
cualquier vector de S
x,y, z = 2y − z,y, z = y2,1,0 + z−1,0,1
De la anterior igualdad tenemos que cualquier vector de S es combinación lineal de los
vectores 2,1,0 y −1,0,1, entonces por definición de conjunto generador podemos decir que:
G=2,1,0, −1,0,1 genera a S
Aplicando el teorema enunciado más arriba tenemos que:
X = x,y, z ∈ S ⇒ 〈x,y, z, 2,1,0〉 = 0 ∧ 〈x,y, z, −1,0,1〉 = 0
Resolviendo el producto escalar usual en R3 tenemos:
2x + y = 0 ∧ −x + z = 0 por lo que: S = x,y, z ∈ R3/ 2x + y = 0 ∧ −x + z = 0
En otras palabras S será el espacio solución del sistema lineal homogéneo:
2x + y = 0
−x + z = 0
Resolviendo el sistema tendremos que:
2 1 0 0
−1 0 1 0
∼
2 1 0 0
0 1 2 0
. El sistema escalonado será:
2x + y = 0
y + 2z = 0
En el sistema escalonado tenemos 3Inc − 2Ec = 1V.L. , entonces: DimS = 1
De la 2da ecuación y = −2z reemplazando en la 1ra ecuación tenemos: 2x − 2z = 0 ⇒ x = z
Encontrar una base de S es cosa conocida ¿verdad?. Así que ¡a encontrarla!, de paso
repasamos los conceptos ya vistos en los anteriores TP
Para interpretar geométricamente tenemos que: S es un subespacio de R3 y DimS =2
entonces S es un plano y S es un subespacio de R3 y
Dim S = 1 entonces S es una recta perpendicular a ese plano. En la figura se interpreta
geométricamente esta situación.
SUBESPACIO
COMPLEMENTO ORTOGONAL
Observemos que DimS +DimS = 2 + 1 = 3 = DimR3 y que S ∩ S = ⊙
¿Ocurre esto para cualquier subespacio y su complemento ortogonal?.
Ejemplo 2: Igual consigna que el anterior pero ahora S =L1,1,−1, −1,0,2
Es similar al anterior, con la diferencia que no tenemos que preocuparnos de encontrar un
generador de S porque ya está dado y es: G=1,1,−1, −1,0,2
El procedimiento es análogo al realizado en el ejemplo 1, así que manos a la obra y a hacerlo
como forma de practicar y ver si has comprendido lo antes realizado
Ejercicio 8:
¿Qué? debemos hacer. Dada una base de un espacio vectorial con producto interno, utilizar
el proceso de Gram -Schmidt para determinar una base ortonormal de ese espacio vectorial.
¿Cómo? lo hacemos. Habrá que responder las preguntas: ¿Cuando se dice que una base es
ortogonal?, ¿Cuando se dice que una base es ortonormal?, ¿En qué consiste el proceso de
ortonormalización de Gram-Schmidt?
Recordemos las definiciones de base ortogonal y de base ortonormal.
Dada una base B=V1,V2,… ,Vn de un espacio vectorial V con producto interno
1. Decimos que B es una base ortogonal de V si y solo si: 〈Vi,Vj 〉 = 0 ∀i ≠ j
2. Decimos que B es una base ortonormal de V si y solo si: 〈Vi,Vj 〉 = 0 ∀i ≠ j ∧ ‖Vi‖ = 1
∀i = 1,2, . . . ,n
Veamos ahora en qué consiste el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
Dada B=V1,V2,… ,Vn una base de un espacio vectorial V con producto interno
Gram-Schmidt asegura (demostrando la proposición), que se puede obtener, a partir de B, un
par de bases B1 y B2 para V siendo B1 una base ortogonal de V y B2 una base ortonormal de V
con la aplicación del siguiente proceso:
Si B1 = W1,W2,… ,Wny B2 = U1,U2,… ,Un
Serán:
W1 = V1 ⇒ U1 = 1‖W1‖
W1
W2 = V2 − 〈V2,U1 〉U1 ⇒ U2 = 1‖W2‖
W2
.
.
Wk = Vk − 〈Vk,U1 〉U1 − 〈Vk,U2 〉U2. . . .−〈Vk,Uk−1 〉Uk−1 ⇒ Uk = 1‖Wk‖
Wk
Esta última es la fórmula general para cualquier k que en particular para k = 1 nos da W1 y
U1 , para k = 2 nos da W2 y U2 y así sucesivamente
Como podemos ver el proceso consiste en aplicar la fórmula para ir calculando los
respectivos vectores que constituyen las respectivas bases, ortogonal y ortonormal del espacio.
Ejemplo 1
Dada B=1,1,0, 0,1,1, 0,1,−1 base de R3 con el producto interno usual. Determina
usando el proceso de Gram-Schmidt, a partir de B una base ortonormal de R3
Si aplicamos el proceso a la base B, será: V1 = 1,1,0; V2 = 0,1,1 y V3 = 0,1,−1 y
tendremos:
W1 = V1 = 1,1,0 ⇒ ‖W1‖ = 12 + 12 + 02 = 2 ⇒
⇒ U1 = 1‖W1‖ W1 =
1
2
1,1,0 =  1
2
, 1
2
, 0
W2 = V2 − 〈V2,U1 〉U1 = 0,1,1 − 0,1,1,  1
2
, 1
2
, 0  1
2
, 1
2
, 0
⇒ W2 = 0,1,1 − 1
2
 1
2
, 1
2
, 0
⇒ W2 = 0,1,1 −  12 ,
1
2
, 0 = − 1
2
, 1
2
, 1 ⇒
⇒ ‖W2‖ = − 12 
2 +  1
2
2 + 12 = 1
4
+ 1
4
+ 1 = 6
4
= 6
2
 U2 = 1‖W2‖ W2 =
1
6
2
− 1
2
, 1
2
, 1 = 2
6
− 1
2
, 1
2
, 1 = − 1
6
, 1
6
, 2
6

W3 = V3 − 〈V3,U1 〉U1 − 〈V3,U2 〉U2
⇒ W3 = 0,1,−1 − 0,1,−1,  1
2
, 1
2
, 0  1
2
, 1
2
, 0 − 0,1,−1, − 1
6
, 1
6
, 2
6
 − 1
6
⇒ W3 = 0,1,−1 − 1
2
 1
2
, 1
2
, 0 − − 1
6
− 1
6
, 1
6
, 2
6

⇒ W3 = 0,1,−1 −  12 ,
1
2
, 0 + − 1
6
, 1
6
, 1
3
 = − 2
3
, 2
3
,− 2
3
 ⇒
⇒ ‖W3‖ = − 23 
2 +  2
3
2 + − 2
3
2 = 4
9
+ 4
9
+ 4
9
= 12
9
= 2
3
3
⇒ U3 = 1‖W3‖ W3 =
1
2
3
3
− 2
3
, 2
3
,− 2
3
 = 3
2 3
− 2
3
, 2
3
,− 2
3
 = − 1
3
, 1
3
,− 1
3

Queda como ejercicio verificar que: B1 = W1,W2,… ,Wny B2 = U1,U2,… ,Un son
respectivamente una base ortogonal y ortonormal de R3.
Ejercicios 9, 10 y 11
El ¿qué? hay que hacer en éstos ejercicios involucran los conceptos de producto escalar,
vectorial y mixto de vectores, y algunas aplicaciones tanto del producto vectorial como del
producto mixto. ¿Cómo? lo hacemos. Solo debemos recordar cómo se define cada uno de estos
conceptos y además tener en cuenta que el producto vectorial y el mixto, sólo están definidos
para vectores de R3.
Veamos algunos ejemplos que ilustren lo antes expuesto.
Ejemplo 1: Dados los vectores U = 2,1,0 ; V = I − J + 3K ,W = 1,2,−3 y
Z = −1,2,2. Determina:
i U × V ii V × U iii UVW
En i y ii ¿Qué? debemos hacer. Determinar el producto vectorial de dos vectores. ¿Cómo?
lo hacemos. Solo debemos responder la pregunta ¿qué es y cómo se define el producto
vectorial de dos vectores?. Recordemos esa definición
Dados los vectores U = u1,u2,u3,V = v1,v2,v3
Definimos: producto vectorial de U por el vector V y se lo denota U × V (también U ∧ V al
vector U × V = u2v3 − v2u3,v1u3 − u1v3,u1v2 − v1u2
Si consideramos sus coordenadas en la base canónica de R3, se lo puede expresar como:
U × V = u2v3 − v2u3,v1u3 − u1v3,u1v2 − v1u2 = u2v3 − v2u3I + v1u3 − u1v3J + u1v2 − v1u2
U × V = u2v3 − v2u3I − u1v3 − v1u3J + u1v2 − v1u2K 1
Se puede mostrar que este último resultado se puede obtener calculando el determinante de
una matriz especial mediante el desarrollo de Laplace por su primera fila. Esta matriz especial de
3 × 3 es la matriz cuya primera fila tiene como componentes a los versores de la base canónica de
R
3, como segunda fila al vector U y como tercera fila al vector V. Es decir:
U × V =
I J K
u1 u2 u3
v1 v2 v3
El desarrollo de Laplace por la primera fila nos da la 1. En consecuencia, el producto
vectorial se determina mediante el cálculo de un determinante, por lo que gozará de todas las
propiedades de un determinante.
Con esta definición se puede demostrar que el vector producto vectorial U × V es un vector
que cumple:
1 U × VU ∧U × VV (perpendicular simultáneamente a U y V (o bien perpendicular al
plano paralelo a los vectores U y V si estos son L. I. 
2 ‖U × V‖ = ‖U‖‖V‖senϕ siendo ϕ el ángulo entre U y V
3 El sentido de U × V está dado por la regla de la mano derecha (ó el del avance de un
tornillo universal cuando se realiza el giro desde U hacia V
De la 2 podemos decir que si ϕ = 0∘ ∨ ϕ = 180∘ entonces senϕ = 0 ,es decir U y V son
colineales o paralelos y en consecuencia
‖U × V‖ = ‖U‖‖V‖senϕ = 0 . Como por propiedad de la norma si
‖U × V‖ = 0 ⇒ U × V = ⊙ tendremos que U × V = ⊙ es la condición necesaria y suficiente
para que dos vectores sean paralelos o colineales.
Es decir:
U × V = ⊙  U‖V.
Eniii debemos determinar el producto mixto de tres vectores de R3. En consecuencia
debemos preguntarnos ¿Qué es un producto mixto? ¿Cómo se lo determina?. Responderlas
requiere recordar la definición de tal producto. Recordémosla:
Dados los vectores de R3,U = u1,u2,u3, V = v1,v2,v3 yW.= w1,w2,w3
Definimos: Producto mixto de U,V,W ∈ R3y lo denotamos U,V,W ó UVW al escalar
obtenido de combinar las operaciones de producto escalar y producto vectorial. Es decir realizar
el producto interno entre el vector U × V y el vectorW. Es decir:
UVW = 〈U × V,W〉 2
Se puede demostrar que si realizamos tal producto el resultado es equivalente al determinante
de la matriz de 3 × 3 cuyas filas son los vectores U,V,W
UVW = 〈U × V,W〉 =
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
Nuevamente como en el caso del producto vectorial, como el producto mixto se calcula como
un determinante, goza de todas las propiedades del mismo. Así que si recordamos las
propiedades de determinante, podemos afirmar que:
Sí UVW = 0 significará que U,V,W es L.D. (condición necesaria y suficiente para que
un conjunto de tres vectores de R3 sea L.D. . Es decir:
UVW = 0 U,V,W es L.D.
Calculemos ahora lo pedido. Antes observemos que V = I − J + 3K entonces sus coordenadas
en la base canónica son V = 1,−1,3. Ahora si podemos calcular:
i U × V =
I J K
2 1 0
1 −1 3
= I
1 0
−1 3
− J
2 0
1 3
+ K
2 1
1 −1
=
= 3I − 6J − 3K = 3,−6,−3 ⇒ U × V = 3,−6,−3
ii V × U =
I J K
1 −1 3
2 1 0
= I
−1 3
1 0
− J
1 3
2 0
+ K
1 −1
2 1
=
= −3I + 6J + 3K = −3,6,3 ⇒ V × U = −3,6,3
¿Qué conclusión podemos sacar de los anteriores resultados?
iii Como el producto mixto de U,V,W se calcula como el determinante de la matriz cuyas
filas son U,V,W tenemos:
UVW =
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
=
2 1 0
1 −1 3
1 2 −3
Desarrollando Laplace por la 1ra fila tenemos:
2 1 0
1 −1 3
1 2 −3
= 2
−1 3
2 −3
− 1
1 3
1 −3
= 2−3 − −6 = 0
Ejemplo 2: Para los vectores U,V,W dados en el ejemplo 1. Determina
a) Area del paralelogramo de lados los vectores U y V
b) Area del triángulo de lados los vectores U y V
c) Volumen del paralelepípedo de lados los vectores U,V,W
Hagamos lo pedido:
a Llamando AP al área del paralelogramo de lados los vectores U y V, recordando que esa
área viene dada por: ‖U × V‖ y aprovechando los cálculos obtenidos en el inciso i del ejemplo
1 será:
AP =‖U × V‖ = 〈UxV,UxV〉 = 32 + −62 + −32 = 54 = 3 6 ⇒ AP =3 6
b Llamando AT al área del triángulo de lado los vectores U y V, recordando que esa área
viene dada por: 1
2
‖UxV‖ y aprovechando los cálculos obtenidos en el inciso i del ejemplo 1
será:
AT = 12 ‖U × V‖ =
3
2
6 ⇒ AT = 32 6
.c Llamando VP al volumen del paralelepípedo de lados los vectores U,V,W , recordando
que ese volumen viene dado por |UVW| y aprovechando los cálculos obtenidos en el inciso iii
del ejemplo 1 será:
VP = |UVW| (valor absoluto del producto mixto de los vectores U,V,W ) tenemos:
VP = |UVW| = 0
Ejemplo 3:
Dados los puntos A = 1,0,1; B = 2,1,−1; C = 0,−1,2; D = 1,2,−1
i Determina el área del triángulo de vértices los puntos A,B,C
ii Determina el volumen del paralelepípedo de vértice los puntos A,B,C y D
i. Es similar al ejemplo 2 b solo que para poder aplicar la fórmula que permite calcular el
área del triángulo, debemos tener como dato los vectores que constituyen los lados del triángulo.
En este caso tenemos los vértices del triángulo ¿cómo encontramos sus lados?. Para responder
esta pregunta recuerda la definición de un vector desde el punto de vista geométrico y cómo se
puede determinarlo conociendo dos puntos. Si los puntos son P,Q el vector será V = Q − P o
bien −V = P − Q según sea el origen del vector el punto P o el punto Q respectivamente. Una vez
que hemos determinado los lados del triángulo a partir de sus vértices, ya podemos aplicar la
fórmula y determinar el área pedida. Así por ejemplo los vectores U y V que intervienen en la
fórmula del área serán: U = B − A y V = C − A
ii. Similar al ejemplo 2 c solo que ahora necesitamos determinar los tres lados del
paralelepípedo a partir de los cuatro vértices dados y después de ello aplicar la fórmula para
determinar el volumen pedido. Por ejemplo los vectores U,V,W que intervienen en la fórmula del
volumen serán: U = B − A; V = C − A yW = D − A. Queda como ejercicio realizar los cálculos
com manera de comprobar si has comprendido lo realñizado en el ejemplo 2.
Ejercicio 12:
¿Qué? debemos hacer. Decidir la verdad o falsedad de una serie de proposiciones dadas.
¿Cómo? lo hacemos. Bastará con recordar lo que ya hemos hecho en todos los anteriores
tutoriales acerca de cómo justificar la verdad o falsedad de una proposición y en particular los
conceptos involucrados en la proposición cuyo valor de verdad debemos dar y justificar. Veamos
algunos ejemplos
Ejemplo 1
Teniendo en cuenta los vectores U,V,W dados en el ejemplo 1 y los resultados obtenidos en
el mismo ejemplo, decide, justificando tu respuesta la verdad o falsedad de las siguientes
afirmaciones:
i U‖V ii UV iii U,V,W es L. I. iv El producto vectorial es conmutativo
.i Falso
Justificación: Para que U‖V debe ser U × V = ⊙. Pero U × V = 3,−6,−3 ≠ ⊙ ⇒ U ∦ V
ii Falso
Justificación: Para que UV debe ser 〈U,V〉 = 0
Pero 〈U,V〉 = 〈2,1,0, 1,−1,3〉 = 2 − 1 + 0 = 1 ≠ 0
iii Falso
Justificación: Para que U,V,W sea L. I debe ser UVW ≠ 0 negación de la condición
necesaria y suficiente para que U,V,W sea L.D. 
Como UVW = 0 ⇒ U,V,W es L.D. es decir U,V,W no es L. I.
iv Falso
Justificación. Para que el producto vectorial de dos vectores sea conmutativo debe ocurrir
que ∀U,V ∈ R3,U × V = V × U. Los cálculos realizados en el ejemplo 1 nos permiten dar un
contraejemplo ya que U × V = 3,−6,−3 ≠ V × U = −3,6,3 con lo que podemos decir que
U × V ≠ V × U
Ejemplo 2:
Decide, justificando tu respuesta, la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
i Dados U,V,W vectores de R3 tales que UVW = 0, entonces alguno de los vectores
U,V,W es nulo
ii Si UV entonces ‖U − V‖2 = ‖U‖2 + ‖V‖2
i Como podemos ver, los conceptos involucrados en la proposición son los de producto
mixto, y el de vector nulo. La hipótesis de la implicación cuyo valor de verdad debemos decidir y
justificar la respuesta, es que el producto mixto de tres vectores es nulo y a partir de ella debemos
concluir que alguno de los vectores es el vector nulo.
Si recordamos la definición de producto mixto, pero sobre todo si recordamos cómo se lo
calcula, podemos ver que no es más que el determinante de una matriz cuyas filas son los
vectores dados. Así que pasamos del concepto de producto mixto al concepto de determinante.
Recordemos las propiedades de que gozan los determinantes. Más precísamente recordemos
cuando el determinante de una matriz es nulo. Seguro que ya habrán recordado por la definición
de la función determinante que uno de sus axiomas dice, que el determinante de una matriz es
nulo si esta matriz tiene dos filas iguales. LISTO! ya podemos afirmar que la proposición es
falsa, ya que bastará que los tres vectores no sean nulos pero que dos de ellos sean iguales para
que la hipótesis sea verdadera y la tesis sea falsa con lo que la implicación será falsa. En Base a
lo dicho podemos dar el contraejemplo:
Sean U = 1,0,0,V = 1,0,0 = U yW = 0,1,0 tendremos que
UVW = detU,V,W = detU,U,W = 0 por el axioma de dos filas iguales, pero ninguno
de los vectores es nulo. Queda justificada la falsedad de la proposición.
ii Como hay que decidir si una igualdad es verdadera o falsa, habrá por una parte que
recordar los conceptos involucrados en esa igualdad y las propiedades que tienen esos conceptos,
a fin de poder tener herramientas que nos permitan intuir si es falsa y a partir de ellas buscar el
contraejemplo que permita justificar esa falsedad. Si por el contrario intuimos que es verdadera,
habrá que demostrar esa igualdad, y ello equivale a mostrar que uno de sus miembros se puede
transformar en el otro medianterazonamiento lógico deductivo válido. Si la intuición no nos dice
nada, lo más conveniente es tratar de demostrar que es verdadera. Para ello partimos de uno de
los miembros de la igualdad y utilizando la definición y propiedades de los conceptos
involucrados en la igualdad, mediante razonamiento lógico deductivo válido, transformarlo en el
otro miembro de la igualdad. Si lo hemos podido lograr sin tener que imponer condiciones en el
proceso, habremos demostrado la verdad de la proposición. Por el contrario, si en algun paso del
proceso, necesitamos poner condiciones para poder hacerlo, será un indicativo de que la
proposición es falsa y tendremos la posibilidad de visualizar el contraejemplo para justificar su
falsedad. Vamos a seguir este procedimiento para decidir la verdad o falsedad de la proposición
dada.
Vamos a partir del primer miembro de la igualdad y tratar de transformarlo en el segundo.
La igualdad involucra dos conceptos: el de producto interno y el de norma de un vector. Así
que será necesario que recordemos sus definiciones y propiedades ya que ellas serán las
herramientas que nos permitan realizar la demostración
‖U − V‖2 =  〈U − V,U − V〉 2 Def. de Norma
= 〈U − V,U − V〉 Propiedad en R  a 2 = a
= 〈U + −V,U + −V〉 Def. de resta de vectores
= 〈U + −V,U〉 + 〈U + −V, −V〉 Linealidad de 〈, 〉
= 〈U,U〉 + 〈−V,U〉 + 〈U, −V〉 + 〈−V, −V〉 Linealidad de 〈, 〉
= ‖U‖2 + 〈−1V,U〉 + 〈U, −1V〉 + ‖−V‖2 Prop. de norma y prop. −1V = −V
= ‖U‖2 − 〈V,U〉 − 〈U,V〉 + ‖V‖2 Homog. de 〈, 〉, propiedad ‖V‖ = ‖−V‖
= ‖U‖2 − 〈U,V〉 − 〈U,V〉 + ‖V‖2 Conmutativa de 〈, 〉
= ‖U‖2 − 2〈U,V〉 + ‖V‖2 Suma en R
= ‖U‖2 − 2 ⋅ 0 + ‖V‖2 Hipótesis UV  〈U,V〉 = 0
= ‖U‖2 + ‖V‖2 Neutro de la suma en R
 ‖U − V‖2 = ‖U‖2 + ‖V‖2 Transitiva
Como podemos ver a partir del primer miembro de la igualdad, mediante el razonamiento
lógico lo hemos convertido en el segundo miembro de la misma. es decir hemos demostrado que
la proposición es verdadera.
Por último te recuerdo que debes resolver el CUESTIONARIO 6 que se presenta como otra
de las actividades no presenciales del Tema 5, que tiene como objetivo que te sirva para para
autoevaluar tu aprendizaje de los temas que se desarrollaron en el trabajo práctico. Asimismo te
sugiero que aunque en el cuestionario no te lo exige tratar de justificar las respuestas dadas para
todas las preguntas, pero sobre todo no te olvides de subir el archivo con las justificaciones de
tus respuestas dadas para las preguntas cuya justificación se pide.
Augusto A. Estrada V./2017