Tutorial 3 Espacios Vectoriales-Subespacios-Combinaciones Lineales-Subespacio Generado

Vista previa del material en texto

U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas
Asignatura: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Carreras: LAS, PM, LF, LER, TEU, TUES, TUP
Año: 2
do
Cuatrimestre 2018
Docente Responsable del curso: Ing. Augusto A. Estrada V
Tutorial N∘3
Espacios Vectoriales-Subespacios-Combinaciones Lineales-Subespacio Generado
Introducción: En el presente trabajo práctico, se estudiará el tema Espacio Vectorial, uno de
los más importantes de la asignatura y del algebra lineal. Es un tema central ya que, la mayoría
de los temas pueden generarse o estudiarse a partir de su abordaje. Así las matrices pueden
estudiarse como un caso particular de espacio vectorial, los sistema de ecuaciones lineales
pueden aparecer como resultado de problemas derivado del estudio de espacios vectoriales, el
estudio particular del espacio vectorial R3 nos lleva al estudio de los vectores, las rectas los
planos como subespacios del mismo o como variedades lineales, las transformaciones lineales
aparecen como un espacio vectorial particular, etc.
Por otra parte es un tema que en general resulta algo complicado para los estudiantes que lo
ven por primera vez, sobre todo al principio, debido a su abstracción. Sin embargo solo
necesitamos relacionar lo que ya hemos estudiado en anteriores asignaturas donde hemos estado
en contacto con los espacios vectoriales. Así cuando estudiamos los sistemas numéricos Reales y
Complejos, con las operaciones de suma y producto, en realidad hemos estudiados dos ejemplos
de espacios vectoriales.
Si apelamos a la memoria para recordar las propiedades de que gozan esos conjuntos
numéricos respecto a esas operaciones y las comparamos con los axiomas que se enuncia para los
espacios vectoriales, veremos que son exactamente los mismos, con la salvedad por supuesto, de
que ahora los conjuntos y las operaciones pueden definirse de cualquier forma.
Comenzamos estudiando lo que es un espacio vectorial y continuamos con una serie de
conceptos tales como subespacio vectorial, combinación lineal, conjunto generador, subespacio
generado. Algunos de ellos pueden ser muy parecidos en nombre pero muy distintos en concepto.
Por tal motivo es importante que tratemos de precisar sus diferencias, a los efectos de evitar
confusiones que pueden llevarnos a interpretaciones de un problema muchas veces totalmente
opuestas.
La mayoría de los problemas donde intervienen estos conceptos, nos llevarán a la resolución
de un sistema de ecuaciones lineales cuya solución está ligada a la solución del problema,
interpretándola según el concepto que generó ese problema. De allí la importancia de tener bien
comprendidos cada uno de éstos conceptos.
Es conveniente que no solo tratemos de memorizar reglas o recetas que pueden aparecer para
algunas situaciones particulares, más bien tratemos de abordar el problema, aplicando el
concepto que lo genera, ello nos ayudará a no perder de vista lo que estamos resolviendo al
momento de interpretar la solución y dar adecuadamente la respuesta.
Ejercicio 1
Si analizamos la consigna, surge ¿qué debemos hacer?. Decidir si los conjuntos dados
constituyen un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por un escalar dadas,
sobre un determinado cuerpo de escalares.
Surge la pregunta ¿Cuando se dice que un conjunto constituye un espacio vectorial sobre
un cuerpo de escalares, con las operaciones de suma y producto por un escalar dadas?. La
respuesta a dicha pregunta nos conduce a la definición de espacio vectorial. Si recordamos la
misma, veremos que ella requiere verificar que el conjunto no es vacio, que las operaciones sean
cerradas en el conjunto y que se cumplen todos los axiomas enunciados para ambas operaciones.
En consecuencia si el conjunto no es vacio, las operaciones de suma y producto por un escalar
son cerradas y se cumplen todos y cada uno de los axiomas podremos afirmar que el conjunto
dado es un espacio vectorial (proposición verdadera). Por el contrario bastará con mostrar que
alguno de ellos no se cumple (mostrar un contraejemplo para alguno de ellos) para afirmar que
no lo es (proposición falsa).
Un aspecto que no debemos perder de vista es que, las operaciones de suma y producto por
un escalar, pueden estar definidas de cualquier forma, no siempre la usual, por lo que debemos
tenerlo presente cada vez que realicemos tales operaciones. Es muy común en los estudiantes,
que al verificar el cumplimiento o no de los axiomas, se realice las operaciones, utilizando la
definición que usualmente conocen para los elementos del espacio con el que están trabajando,
sin tener en cuenta la definición dada para ellas, en el problema que se está resolviendo. Esto
puede llevar a dar una respuesta equivocada. ¡Así que ha estar alerta al respecto!
Precisamente en el Ejercicio 1 las operaciones de suma y producto por un escalar, para
alguno de los casos, son las usuales pero en otros las operaciones se definen de forma diferente a
la usual.
Veamos algunos ejemplos a fin de poder mostrar lo antes expuesto.
Ejemplo 1: Decide, justificando tu respuesta, si el conjunto dado, constituye un espacio
vectorial sobre el cuerpo de los reales, con las operaciones de suma y producto por un escalar
usuales en R2. V = x,y ∈ R2/x − y = 2
El conjunto no es vacío ya que sabemos que en el plano, una ecuación en dos variables cuyos
coeficientes no sean ambos nulos, como es la x − y = 2 representa una recta y ya sabemos que
una recta tiene infinitos puntos. Asi que V ≠ 
Veamos si las operaciones suma y producto por un escalar son cerradas en V.
Suma: Deberíamos probar que ∀ U,V ∈ V ⇒ U + V ∈ V.
Sea U = x1,y1 ∈ V ⇒ x1 − y1 = 2 1 por definición de V.
Sea V = x2,y2 ∈ V ⇒ x2 − y2 = 2 2 por definición de V.
U + V = x1 + x2, y1 + y2
Para probar que U + V ∈ V, debemos mostrar que cumple con la ecuación de V. Es decir
debemos probar que: x1 + x2 − y1 + y2 = 2
x1 + x2 − y1 + y2 = x1 − y1 + x2 − y2 Conm. y asoc de la suma en R
= 2 + 2 Hipótesis 1 y 2
= 4 Suma en R
⇒ x1 + x2 − y1 + y2 = 4 Transitiva en R
Entonces x1 + x2 − y1 + y2 = 4 ≠ 2
Por lo tanto la suma no es cerrada en V y en consecuencia V no es un espacio vectorial sobre
el cuerpo de los reales con la operaciones usuales de suma y producto por un escalar en R2.
Como podemos ver muchas veces nos olvidamos de verificar que las operaciones sean
cerradas y nos centramos en verificar los axiomas de la suma y producto por un escalar. Error ya
que la definición exige que las operaciones sean cerradas, por lo que, verificado que esto ocurre,
recién tiene sentido verificar el cumplimiento de los axiomas.
Ejemplo 2
Decide, justificando tu respuesta, si el conjunto dado constituye un espacio vectorial, sobre el
cuerpo de los reales con las operaciones de suma y producto por un escalar indicadas:
Conjunto suma (+) producto ∙
V = R2 x1,y1 + x2,y2 = x1 + x2,y1 + y2 α ∙ x1,y1 = x1,αy1
De la lectura de la consigna, queda claramente definido ¿qué debemos hacer?. Decidir si el
conjunto dado, constituye o no un espacio vectorial, sobre el cuerpo de los reales con las
operaciones de suma y producto por un escalar definidas.
Una vez determinado ¿qué? debemos hacer, es necesario decidir ¿cómo lo hacemos?. Para
poder decidir si es o no un espacio vectorial, se requiere verificar el cumplimiento de la
definición de espacio vectorial. Es decir verificar que el conjunto no es vacío, las operaciones
sean cerradas y luego si se cumplen o no todos los axiomas de la suma y el producto por un
escalar.
Ahora bien, para realizar la tarea podemos seguir distintos caminos. Podemos por ejemplo
intentar verificar los axiomas en el orden en el que están dados, empezando por el primero de la
suma y continuar hasta ver si se verifican todos, o bien, hasta encontrarnos con que alguno de
ellos no se cumple.
También podríamos intentar buscar un contraejemplo para mostrar que alguno de los
axiomas no se cumple. O podríamos empezar por los axiomas del producto por un escalar. Pero,
¿en función de qué seguimoseste o aquel camino?. La respuesta es inmediata o al menos así se
desprende de lo que dijimos respecto a cómo encarar una tarea. Bastará centrarnos en responder
¿porque lo hacemos así?. La respuesta a este interrogante involucra muchos aspectos
importantes del aprendizaje, ella nos permitirá, entre otras cosas, justificar, darle sentido y
comprender lo que hacemos, como también optimizar nuestro esfuerzo para realizar la tarea.
Veamos, para el ejemplo propuesto, como elegimos el camino a seguir. Para ello analizamos
en primer lugar el conjunto dado. Se trata de un subconjunto de R2. Analicemos como están
definidas las operaciones suma y producto por un escalar.
La suma está definida en forma usual, es decir sumando las respectivas componentes de los
vectores. Ya sabemos (¿es así?) que está suma en primer lugar es cerrada en R2 y en segundo
lugar cumple con los axiomas, porque lo hemos estudiado en cursos previos, cuando hemos
estudiado por ejemplo los pares de números reales (números complejos) o bien cuando
estudiamos la matrices, ya que como sabemos un vector de R2 puede considerarse como una
matriz de 2 × 1 o de 1 × 2. Ya probamos que en el conjunto de matrices, la operación suma antes
definida es cerrada y cumple con todos los axiomas. Por lo tanto tenemos la seguridad de que
dichos axiomas se cumplirán. En virtud de ello, posterguemos su verificación y pasemos a
analizar la operación producto por un escalar. Observando su definición, vemos que no es la
usual en R2, por lo que no podemos afirmar nada acerca de si se cumplen o no los axiomas. En
cuanto a si es o no cerrada, podemos decir que si lo es ya que el par x1,αy1 (producto de un
escalar por un par de R2 es un par de R2 (tanto x1 como αy1 son números reales).
Una posibilidad sería tratar de buscar un contraejemplo para alguno de los axiomas, es decir
tratar de mostrar que no es un espacio vectorial. Pero ¿cómo?. No siempre es fácil darse cuenta y
no hay una receta que sirva para todos los casos que se nos presenten, por lo que se debe analizar
cada caso en particular.
En el ejemplo que estamos resolviendo, observemos que las componentes de los vectores del
conjunto y los escalares son número reales y recordemos las propiedades que cumple la
operación producto en R. Ello puede darnos una pista acerca de cuál o cuáles de los axiomas
podrian no cumplirse y para los que podríamos buscar un contraejemplo.
Si analizamos la propiedadM2: ∀ U ∈ R2 ,∀α,β ∈ R ⇒ α + β ∙ U = α ∙ U + β ∙ U.
Observando la igualdad que indica la propiedad, y la definición de la operación producto por
un escalar (∙ dada, vemos que en el primer miembro, el escalar resultado de la suma solo
multiplica a la segunda componente del vector U y no modifica su primera componente, por lo
tanto el vector resultante, tiene como primera componente la primera componente de U. En
cambio, el segundo miembro, al ser la suma de dos vectores que resultan de multiplicar un
escalar por el vector U, el vector resultante de la suma, tendrá como primera componente el
doble de la primera componente del vector U. Ahí está la pista para buscar el contraejemplo que
nos permita mostrar la falsedad de la proposición. Es decir mostrar que el axioma no se verifica.
Decir que la proposición no se verifica es equivalente a su negación, es decir:
∃U ∈ R2,∃α,β ∈ R ∧ α + β ∙ U ≠ α ∙ U + β ∙ U.
Procedamos entonces a dar el contraejemplo.
∃U = 2,1, ∃ α = 3, ∃ β = 4 y:
α + β ∙ U = 3 + 4 ∙ 2,1 = 7 ∙ 2,1 = 2,7 ⋅ 1 = 2,7
α ∙ U + β ∙ U = 3 ∙ 2,1 + 4 ∙ 2,1 = 2,3 ⋅ 1 + 2,4 ⋅ 1 = 4,7
2,7 ≠ 4,7
⇒ α + β ∙ U ≠ α ∙ U + β ∙ U
Como hemos justificado que uno de los axiomas no se verifica, podemos afirmar que el
conjunto dado, con las operaciones dadas, no es un espacio vectorial sobre el conjunto de los
reales.
La pregunta es ¿qué habría ocurrido? si hubiésemos tomado sin más, y en forma mecánica,
el camino de ir verificando el cumplimiento de los axiomas sin preocuparnos del ¿porqué lo
hacemos así?, es decir sin detenernos a pensar ni analizar nada de lo que hacemos. Lo más
probable es que hayamos realizado mucho más esfuerzo, para arribar al mismo resultado, (puedes
comprobar que para el ejemplo propuesto, se verifican todos los axiomas de la suma y los demás
del producto por un escalar).
Ejemplo 3:
Decide, justificando tu respuesta, si el conjunto dado es un espacio vectorial sobre R, con las
operaciones de suma y producto por un escalar definidas como sigue:
Conjunto suma ⊕ producto ∙
V = x,y ∈ R2/ x,y ∈ R+ x1,y1 ⊕ x2,y2 = x1x2, y1y2 α ∙ x1,y1 = x1α,x2α
Como podemos observar, tanto la operación suma como el producto por un escalar, no están
definidas en forma usual. Al analizar cómo se definen ambas operaciones, vemos que están
definidas como la operación producto y potencia en R. Si recordamos lo estudiado sobre ellas en
cursos anteriores, podríamos asegurar o al menos intuir, que se van a verificar los axiomas
¿podrías decir por qué?. Mostremos que efectivamente es así.
Por supuesto antes deberíamos verificar que el conjunto dado no es vacío y las operaciones
son cerradas en V.
Veamos si la suma es cerrada: Deberíamos probar que ∀ U,V ∈ V ⇒ U ⊕ V ∈ V
U = x1,y1 ∈ V ⇒x1,y1 ∈ R+ ⇒ x1 > 0 1 ∧ y1 > 0 2
V = x2,y2 ∈ V ⇒x2,y2 ∈ R+ ⇒ x2 > 0 3 ∧ y2 > 0 4
Todas estas desigualdades son verdaderas por ser la hipótesis de la implicación.
Queremos probar que U ⊕ V ∈ V. Esto es equivalente a probar que el par x1x2,
y1y2 ∈ R2/ x1x2, y1y2 ∈ R+ es decir equivale a probar que x1x2 > 0 ∧ y1y2 > 0
De 1 y 3 si multiplicamos miembro a miembro tenemos: x1x2 > 0 (aplicando la
propiedad de consistencia -regla de los signos)
De 2 y 4 si multiplicamos miembro a miembro tenemos: y1y2 > 0 (aplicando la
propiedad de consistencia -regla de los signos)
En consecuencia podemos afirmar que U ⊕ V ∈ V
Veamos si la operación producto por un escalar es cerrada. Para ello debemos probar que:
∀ U ∈ V,∀α ∈ R ⇒ α ∙ U ∈ V
U = x1,y1 ∈ V ⇒x1,y1 ∈ R+ ⇒ x1 > 0 1 ∧ y1 > 0 2
Queremos probar que α ∙ U ∈ V. Esto es equivalente a probar que el par x1α,x2α ∈ R
2/
x1
α,x2
α ∈ R+, que a su vez es equivalente a probar que x1α > 0 ∧ x2α > 0. Esto es verdadero
∀α ∈ R por ser x1 > 0 ∧ y1 > 0.
Verificado que las operaciones suma y producto por un escalar son cerradas en el conjunto,
pasamos a verificar los axiomas de tales operaciones.
Suma:
A1 : ∀ U,V ∈ V, U ⊕ V = V ⊕ U
Sea U = x1,y1, V = x2,y2
U ⊕ V = x1,y1 ⊕ x2,y2 Hipótesis
= x1x2, y1y2 Definición de suma ⊕
= x2x1, y2y1 Conmutativa del prod. en R
= x2, y2 ⊕ x1, y1 Definición de suma ⊕
= V ⊕ U Hipótesis
 U ⊕ V = V ⊕ U Transitiva
A2 : ∀ U,V,W ∈ V, U ⊕ V ⊕ W = U ⊕ V ⊕ W
Sean U = x1, y1, V = x2, y2,W = x3, y3 entonces.
U ⊕ V ⊕ W = x1, y1 ⊕ x2, y2 ⊕ x3, y3 Hipótesis
= x1, y1 ⊕ x2x3, y2y3 Definición de suma ⊕
= x1x2x3, y1y2y3 Definición de suma ⊕
= x1x2x3, y1y2y3 Asociativa del prod. en R
= x1x2, y1y2 ⊕ x3,y3 Definición de suma ⊕
= x1,y1 ⊕ x2,y2 ⊕ x3,y3 Definición de suma ⊕
= U ⊕ V ⊕ W Hipótesis
 U ⊕ V ⊕ W = U ⊕ V ⊕ W Transitiva
A3: ∃ U∗ ∈ V / ∀U ∈ V, U∗ ⊕ U = U ⊕ U∗ = U
Sea U∗ = x,y, U = a,b entonces se tiene:
U ⊕ U∗ = U ⇒ a,b ⊕ x,y = a,b Hipótesis
⇒ ax,by = a,b Definición de suma ⊕
⇒
ax = a
by = b
Defnición de igualdad en R2
ax = a ⇒ ax = a ⋅ 1 Neutro del producto en R
by = b ⇒ by = b ⋅ 1 Neutro del producto en R
como a > 0 ⇒ a ≠ 0 ⇒ x = 1 Cancelativa en R e hipotesis
como a > 0 ⇒ b ≠ 0 ⇒ y = 1 Cancelativa en R e hipotesis
Como x = 1 > 0 ∧ y = 1 > 0  1,1 ∈ V.
En consecuencia podemos afirmar que ∃U∗ = 1,1 ∈ V /∀U = a,b ∈ V se cumple
U∗ ⊕ U = U ⊕ U∗ = U
Observa que el elemento neutro de la suma no es el 0,0. Esto es así debido a que el mismo
depende de cómo está definida la operación suma. Así que ¡cuidado! no siempre el elemento
neutro de la suma es el nulo.
A4: ∀ U ∈ V ∃U′ ∈ V, U′ ⊕ U = U ⊕ U′ = U∗
Sea U′ = x,y, U = a,b entonces se tiene:
U ⊕ U′ = U∗ ⇒ a,b ⊕x,y = 1,1 Hipótesis y A3
⇒ ax,by = 1,1 Definición de suma ⊕
⇒
ax = 1
by = 1
Defnición de igualdad en R2
como a > 0 ⇒ a ≠ 0 ax = 1 ⇒ x = 1a Hipótesis e inverso del producto en R
como b > 0 ⇒ b ≠ 0 by = 1 ⇒ y = 1
b
Hipótesis e inverso del producto en R
Como a > 0 ∧ b > 0  x = 1a > 0 ∧ y =
1
b
> 0   1a ,
1
b
 ∈ V.
En consecuencia podemos afirmar que ∀U = a,b ∈ V ∃U′ =  1a ,
1
b
 ∈ V /
U′ ⊕ U = U ⊕ U′ = U∗
Producto por un escalar.
M1: ∀ U ,V ∈ V ,∀α ∈ R , α ∙ U + V = α ∙ U + α ∙ V
Sean U = x1,y1, V = x2,y2
α ∙ U ⊕ V = α ∙ x1,y1 ⊕ x2,y2 Hipótesis
= α ∙ x1x2, y1y2 Definición de suma ⊕
= x1x2α, y1y2α Definición de producto por un escalar ∙
= x1
αx2
α,y1
αy2
α Distrib. de la potencia resp. al prod. en R
= x1
α,y1
α ⊕ x2α,y2α Definición de suma ⊕
= α ∙ x1,y1 ⊕ α ∙ x2,y2 Definición de producto por un escalar ∙
= α ∙ U ⊕ α ∙ V Hipótesis
 α ∙ U ⊕ V = α ∙ U ⊕ α ∙ V Transitiva
M2: ∀ U ∈ V,∀α,β ∈ R, α + β ∙ U = α ∙ U + β ∙ U
Sea U = x1,y1 entonces se tiene:
α + β ∙ U = α + β ∙ x1,y1 Hipótesis
= x1
α+β
,y1
α+β Definición de producto por un escalar ∙
= x1
αx1
β
,y1
αy1
β Producto de potencias de igual base en R
= x1
α,y1
α ⊕ x1
β
,y1
β Definición de suma ⊕
= α ∙ x1,y1 ⊕ β ∙ x1,y1 Definición de producto por un escalar ∙
= α ∙ U ⊕ β ∙ U Hipótesis
⇒ α + β ∙ U = α ∙ U ⊕ β ∙ U Transitiva
M3: ∀ U ∈ V,∀α,β ∈ R, α ∙ β ∙ U = αβ ∙ U
Sea U = x1,y1
α ∙ β ∙ U = α ∙ β ∙ x1,y1 Hipótesis
= α ∙ x1
β
,y1
β Definición de producto por un escalar ∙
= x1
βα, y1
βα Definición de producto por un escalar ∙
= x1
αβ
,y1
αβ Potencia de potencia en R
= αβ ∙ x1,y1 Definición de producto por un escalar ∙
= αβ ∙ U Hipótesis
 α ∙ β ∙ U = αβ ∙ U Transitiva
M4: ∀ U ∈ V ∃ 1 ∈ R, 1 ∙ U = U
Sea U = x1,y1 entonces se tiene.
1 ∙ U = 1 ∙ x1,y1 Hipótesis
= x1
1,y1
1 Definición de producto por un escalar ∙
= x1,y1 Propiedad de potencia en R
= U Hipótesis
 1 ∙ U = U Transitiva
Como las operaciones de suma y producto por un escalar son cerradas en V y se verifican
todos y cada uno de los axiomas, podemos decir que el conjunto dado constituye un espacio
vectorial sobre el cuerpo de los reales, con las operaciones de suma y producto por un escalar
dadas. Este es un ejemplo de que no importa cómo se definan las operaciones para que el
conjunto constituya un espacio vectorial, lo importante es que esas operaciones sean cerradas en
el conjunto y verifiquen todos los axiomas que exige la definición.
Ejercicio 2:
La consigna nos define el ¿qué? debemos hacer. Probar (demostrar) algunas propiedades de
los espacios vectoriales sobre el cuerpo de los reales. Ahora bien ¿cómo lo hacemos?. Ya
hablamos de esto en los tutoriales 1 y 2 acerca de las demostraciones, así que sólo debemos
recordar lo allí expuesto o bien volver a repasar esos tutoriales. Por supuesto también hay que
recordar los conceptos involucrados en la propiedad a demostrar. Espero que no le esquives a la
tarea y demuestres lo pedido. De todas maneras recuerda que tus profesores siempre están para
ayudarte cuando lo necesites, así que si te surgen dudas puedes asistir a la consulta para tratar de
despejar esas dudas.
Ejemplo 1:
Demostrar que si V,+,R,∙ y⊙ es el neutro de la suma en V, entonces ∀α ∈ R, α ∙ ⊙ = ⊙
Demostración:
α ∙ ⊙ = α ∙ ⊙ + ⊙ Definición de neutro de + en V
= α ∙ ⊙ +α ∙ ⊙ Dist. de ∙ respecto a la suma en V
⇒ α ∙ ⊙ = α ∙ ⊙ +α ∙ ⊙ Transitiva
⇒ α ∙ ⊙ +−α ∙ ⊙ = α ∙ ⊙ +α ∙ ⊙ +−α ∙ ⊙ Existencia de opuesto para + en V
⇒ ⊙ = α ∙ ⊙ + ⊙ Def. de opuesto y asociativa de +
⇒ ⊙ = α ∙ ⊙ Def. de neutro y asociativa de +
Ejercicio 3:
El ¿qué? debemos hacer consiste en determinar si un conjunto dado constituye un subespacio
vectorial de un cierto espacio vectorial. Asimismo se pide ilustrarlos en el caso de aquellos
subconjuntos de R2
Observa que la consigna no menciona nada acerca de las operaciones ni del cuerpo de
escalares a considerar para la estructura de espacio vectorial. Ello puede considerarse como una
omisión de la consigna, pero recuerda también que en la asignatura, se considera que a menos
que se diga lo contrario, cuando no se definen específicamente las operaciones ni el cuerpo de
escalares, se considera las operaciones usuales en el conjunto dado y como cuerpo de escalares el
conjunto de los números reales.
Para precisar ¿cómo lo hacemos?, debemos responder la pregunta: ¿Cómo se determina que
un conjunto dado es un subespacio vectorial de un espacio vectorial dado?. Para responderla,
solo hay que recordar la definición de subespacio vectorial, ella exige que el conjunto sea a su
vez un espacio vectorial con las mismas operaciones de suma y producto y sobre el mismo
cuerpo de escalares. De esta forma, estaríamos en principio, resolviendo un problema similar al
que ya resolvimos en el ejercicios 1.
Sin embargo debido a que el conjunto dado es un subconjunto del espacio vectorial, hereda
de él, el cumplimiento de la mayoría de los axiomas siempre que sea un conjunto no vacío.
Asimismo, no se puede asegurar que las operaciones de suma y producto por un escalar sean
cerradas en el conjunto (esto no se hereda) ya que la suma de dos elementos del subconjunto por
ser estos elementos del espacio, esta asegurado que este en el espacio, pero no se puede asegurar
que este en el mismo subconjunto y de forma similar para el producto de un escalar por un
elemento del espacio. Por esta razón se debe verificar que estas operaciones sean cerradas. De
allí que para demostrar que un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio, basta
aplicar el siguiente teorema:
Un conjunto S es un subespacio de un espacio vectorial V,+,K,∙ si y solo sí:
1 S ≠ ∅
2 ∀U,V ∈ S ⇒ U + V ∈ S
3 ∀U ∈ S, ∀α ∈ K ⇒ α ∙ U ∈ S
En las clases teóricas es posible que se haya demostrado el siguiente Teorema: Si S es un
subespacio de un espacio vectorial V, entonces
⊙ ∈ S (siendo ⊙ elemento neutro de la suma en V).
En efecto al ser S es un subespacio cumple las tres condiciones antes mencionadas. En
particular la 3 se cumple para α = 0 por lo que α ∙ U = 0 ∙ U = ⊙ ∀U ∈ S. Es decir ⊙ ∈ S
Como la contrarrecíproca tiene el mismo valor de verdad que la directa resultará que Si
⊙ ∉ S ⇒ S no es un subespacio de V.
En virtud de ello la condición 1 se puede sustituir por ⊙ ∈ S, condición que es de mayor
utilidad práctica, debido a que si ⊙ ∈ S entonces podemos decir que S ≠ ∅ con lo cual se cumple
1 y restaría ver si además se cumplen 2 y 3 para poder afirmar que es un subespacio. Pero si
⊙ ∉ S ya podemos afirmar que S no es un subespacio.
En consecuencia cada vez que tengamos que decidir si un conjunto dado es o no un
subespacio de un espacio vectorial, debemos ver si se cumplen las tres condiciones (para que lo
sea) o ver si alguna de ellas no se cumple (para el caso que no lo sea). El proceso es similar al
que hemos realizado para un espacio vectorial, con la diferencia que la cantidad de axiomas a
verificar es mucho menor. Veamos algunos ejemplos que ayuden a la comprensión.
Ejemplo 1:
Decidir si el conjunto S = x,y ∈ R2/x + y = 1, es un subespacio vectorial de R2 sobre el
cuerpo de los reales y con las operaciones de suma y producto por un escalar usuales.
Veamos si se verifican las tres condiciones:
1 ¿⊙ = 0,0 ∈ S?
¿Cómo respondemos a esta pregunta?. Para responderla, debemos probar que el elemento
neutro de la suma usual en R2 es un elemento de S. Para ello, debemos mostrar que el elemento
neutro cumple la definición de S.
Según la definición de S, un elemento de R2 será un elemento de S, si cumple la condición
x + y = 1, y recíprocamente cualquier elemento de R2 que cumple la condición x + y = 1, será
un elemento de S.
Es muy importante comprender esta situación al momento de verificar las condiciones, sobre
todo las dos últimas, las que constituyen implicaciones cuyas hipótesis verdaderas exigen tomar
elementos (genéricos) del conjunto S, con los que se debe probar que la suma o el productopor
un escalar también están en S.
En el caso del 0,0 si reemplazamos en la condición x + y = 1 tenemos:
0 + 0 = 1 ⇒ 0 = 1 igualdad falsa. En consecuencia 0,0 ∉ S y por lo tanto al no cumplirse
la 1 podemos decir que S no es un subespacio de R2 ya que no se cumpliría la 3.
Ejemplo 2:
Enunciado similar al del ejemplo 1 pero con S = x,y ∈ R2/x − y ≤ 0
Veamos si se cumplen las 3 propiedades:
1 ¿⊙ = 0,0 ∈ S?. La respuesta es afirmativa, ya que al reemplazar en la condición
x + y ≤ 0 tenemos:
0 + 0 ≤ 0 ⇒ 0 ≤ 0 proposición verdadera ya que se cumple la igualdad.
2 ∀U,V ∈ S ⇒ U + V ∈ S
Como la propiedad a probar es una implicación, debemos utilizar alguno de los
procedimientos de demostración (directo o indirecto). En este caso conviene hacerlo por el
directo y en él a partir de la verdad de la hipótesis, debemos probar la verdad de la tesis. Es decir
tomando dos elementos genéricos del conjunto S, debemos probar que la suma de ellos, es
también un elemento de S.
Demostración:
Sean U,V ∈ S, U = x1, y1,V = x2, y2
Debemos probar que (U + V ∈ S. En consecuencia debemos probar que el vector:
U + V = x1, y1 + x2, y2 = x1 + x2, y1 + y2 ∈ S
Si tenemos en cuenta la definición de S, debemos probar que x1 + x2 − y1 + y2  0
Sean U,V ∈ S, U = x1, y1,V = x2, y2 Hipótesis
⇒ x1 − y1 ≤ 0 1 ∧ x2 − y2 ≤ 0 2 Definición de S
⇒ x1 − y1 + x2 − y2 ≤ 0 + 0 Sumando 1 y 2
⇒ x1 + x2 − y1 + y2 ≤ 0 Neutro,conmut.,asoc.y distrib. en R
⇒ x1 + x2, y1 + y2 ∈ S Definición de S
⇒ x1,y1 + x2,y2 ∈ S Definición de suma en R2
⇒ U + V ∈ S Hipótesis
3 ∀U ∈ S, ∀α ∈ R ⇒ α ∙ U ∈ S
Sean U ∈ S, U = x1,y1,α ∈ R
Debemos probar que α ∙ U = α ∙ x1,y1 = αx1,αy1 ∈ S.
Si tenemos en cuenta la definición de S, debemos probar que αx1 − αy1  0.
Sean U ∈ S, U = x1,y1,α ∈ R Hipótesis
⇒ x1 − y1 ≤ 0 1 Definición de S
Si observamos lo que tenemos que obtener para probar lo que queremos (αx1 − αy1  0,
vemos que si multiplicamos ambos miembros de la desigualdad 1 por el escalar real α
obtenemos en el primer miembro de 1 el primer miembro de (αx1 − αy1  0. Pero α al ser un
número real puede ser α = 0 ∨ α > 0 ∨ α < 0
⇒ Siα < 0 ⇒ αx1 − y1 ≥ α0 consistencia en R
⇒ αx1 − αy1 ≥ 0 distributiva en R y propiedad α0 = 0 ∀α ∈ R
Si observamos esta última expresión, podemos ver que el primer miembro de la desigualdad
es el mismo que la condición de la definición de S, pero la desigualdad es contraria. Esto nos
está diciendo que esta propiedad no se verifica siempre y nos da la pista para encontrar el
contraejemplo.
∃U = 1,3 ∈ S ya que 1 − 3 = −2 < 0, ∃α = −1 tal que
α ∙ U = −1 ∙ 1,3 = −1,−3 ∉ S porque no cumple con la condición de la definición de S.
En efecto. x − y = −1 − −3 = −1 + 3 = 2 > 0.
En consecuencia no se cumple 3 por lo que S no es un subespacio de R2.
¡Caramba que desilusión!, todo andaba bien y resulta que la última propiedad viene a
arruinarlo, tanto esfuerzo en verificar las otras dos para encontrar que la 3 falla. Aquí tenemos
un ejemplo de lo que sucede cuando trabajamos en forma mecánica y no pensamos ni nos
preguntamos ¿por qué vamos a hacerlo así? cada vez que realizamos algo.
Si antes de empezar a verificar las propiedades hubiésemos analizado un poco lo que
debíamos hacer, en función del conjunto en particular y relacionando con nuestros conocimientos
previos, lo más probable es que nos habríamos dado cuenta de que el producto por un escalar
podía fallar, con solo recordar la propiedad de consistencia en R, (Cuando multiplicamos una
desigualdad por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido). Ello nos hubiese
permitido sin mucho trabajo, dar el contraejemplo para mostrar que no se cumple la 3 y de esta
forma, afirmar que el conjunto dado no es un subespacio, ahorrándonos el trabajo de verificar las
otras dos propiedades.
Ejemplo 3
Enunciado similar a los anteriores con S = x,y ∈ R2/ x2 − y = 0
Recordando la experiencia anterior, antes que nada analicemos un poco la condición que
deben cumplir los elementos de R2 para pertenecer a S. La condición es una ecuación cuadrática
que si la memoria no falla, representa una parábola. Despejando y en función de x tenemos:
y = x2. De ella deducimos que cualquiera sea x, el valor de y será siempre positivo.
En consecuencia si tomáramos un par con componentes ambas positivas que sea elemento de
S y lo multiplicáramos por un real negativo, el par resultante tendrá ambas componentes
negativas y listo la propiedad 3 fallará.
En efecto. ∃U = 2,4 ∈ S ya que 4 = 22, ∃α = −1 tal que
α ∙ U = −1 ∙ 2,4 = −2,−4 ∉ S ya que −4 ≠ −22 = 4
En consecuencia al no verificarse 3 podemos decir que S no es un subespacio de R2.
Asimismo si observamos la segunda condición, debemos probar que el vector suma de dos
elementos del conjunto es un elemento del conjunto, con lo cual debería verificar la condición
y = x2. Esto en general no se cumple, ¿puedes decirme por qué?. Responde justificando tu
respuesta.
Analicemos un poco lo que hemos obtenido en cada uno de los ejemplos que hemos resuelto.
En el primer caso la condición del conjunto era una ecuación lineal no homogénea y fallaba la
primera condición, el neutro no estaba en el conjunto. En el segundo ejemplo la condición del
conjunto era una desigualdad y fallaba la tercera condición , el producto por un escalar no
siempre estaba en el conjunto, y por último en el tercer ejemplo la condición del conjunto era una
ecuación cuadrática (no lineal), fallaba la segunda y tercera condición, la suma y el producto por
un escalar no siempre estaban en el conjunto. Pareciera ser que, para que un conjunto sea un
subespacio, su condición debe ser una ecuación lineal homogénea. ¿Será siempre así?. Ppor
qué?. Intenta responder justificando tu respuesta.
Ejemplo 4:
Enunciado similar a los anteriores pero con S = x,y ∈ R2/x − 3y = 0
Como la condición del conjunto es una ecuación lineal y homogénea, por la conjetura hecha
anteriormente intuimos que puede ser un subespacio. Veamos si es así:
1 0,0 ∈ S ya que si remplazamos en x − 3y = 0 tenemos: 0 − 3 ⋅ 0 = 0 − 0 = 0 ⇒ 0 = 0
es verdadera, en consecuencia ⊙ ∈ S ⇒ S ≠ .
2 ∀U,V ∈ S ⇒ U + V ∈ S
Realizamos la demostración por el método directo, por lo tanto partimos de la verdad de la
hipótesis. Es decir partimos de dos elementos genéricos de S (no numéricos ya que esos
constituyen casos particulares).
Para la demostración se pueden seguir distintos caminos. vamos a mostrar otra forma de
hacerlo que la que hemos utilizado al demostrar la condición 2 en el ejemplo 2. Ambas son
equivalentes solo es distinta la manera de utilizar la condición del conjunto (esto muestra que hay
distintas formas de resolver un problema).
En primer lugar como la hipótesis requiere tomar dos elementos genéricos de S y éste
conjunto no es más que el conjunto solución de su ecuación o condición, podemos encontrar la
solución general de la misma, la que como dijimos, al estudiar la solución de una ecuación o
sistema de ecuaciones en el T.P.1, representa el elemento genérico de S. Es decir, representa
cualquier elemento de S.
Por lo tanto, probar que la suma de dos elementos de S es otro elemento de S, significará
probar que dados dos elementos genéricos de S, el vector suma de ellos también es otro
elemento genérico de S (tiene la forma de la solución general de la ecuación de S).
Es decir: x − 3y = 0 ⇒ x = 3y. Entonces la solución general de la ecuación es
x,y = 3y,y.
Así que, 3y,y es el elemento genérico de S. Por lo tanto cualquier elemento de R2 que
tenga esa forma, será un elemento de S.
Veamos entonces como demostramos la 2 :
Sean U,V ∈ S, U = 3y1,y1,V = 3y2,y2 Hipótesis y definición de S
⇒ U + V = 3y1,y1 + 3y2,y2 Reemplazo
⇒ U + V = 3y1 + 3y2, y1 + y2 Definición de suma en R2
⇒ U + V = 3y1 + y2, y1 + y2 Distributiva en R
⇒ U + V = 3y,y Haciendo y1 + y2 = y , ley de cierre en R
⇒ U + V ∈ S Definición del elemento genérico de S
3 ∀U ∈ S ∀α ∈ K ⇒ α∙ U ∈ S
Demostración:
Sean U ∈ S, U = 3y1,y1 Hipótesis y definición de S
⇒ α ∙ U = α ∙ 3y1,y1 Reemplazo
⇒ α ∙ U = α3y1,αy1 Definición de prod. por un escalar en R2
⇒ α ∙ U = 3αy1,αy1 Asociativa del producto en R
⇒ α ∙ U = 3y,y Haciendo αy1 = y , ley de cierre en R
⇒ α ∙ U ∈ S Definición del elemento genérico de S
Como se cumplen las tres propiedades podemos decir que S es un subespacio de R2 sobre R
con las operaciones de suma y producto por un escalar usuales.
Ejercicio 4:
¿Qué debemos hacer? en a demostrar que el conjunto solución de un sistema de m
ecuaciones lineales con n incógnitas es un subespacio de Rn, con las operaciones de suma y
producto por un escalar usuales en Rn y sobre el cuerpo R. En b demostrar que la suma de
subespacios de un espacio vectorial es también un subespacio de ese espacio vectorial.
¿Cómo lo hacemos?. Bastará con escribir por comprensión, en ambos casos el conjunto,
aplicando la definición correspondiente, y repetir lo realizado en el ejercicio 3, con la diferencia
que aquí no tenemos que determinar si es o no un subespacio, sino demostrar que lo es. Es decir
probar que se cumplen las tres propiedades dadas en el teorema mencionado al resolver los
ejemplos dados para el ejercicio 3. Nada nuevo ¿verdad?
Ejercicios 5.
El ¿qué debemos hacer? está relacionado con determinar el vector resultado de realizar las
operaciones de suma y/o producto de un escalar de dos vectores de R2 dados. ¿Cómo lo
hacemos?. Solo debemos recordar las definiciones de las operaciones suma y producto por un
escalar y aplicarlas en las operaciones que se indican en cada caso. Asimismo se nos solicita
interpretar geométricamente. Esto es encontrar la relación geométrica que hay entre los vectores
que se suman y/o multiplican por un escalar y el vector resultante de esas operaciones.
Ejemplo 1:
Dados los vectores U = 2,1 y V = −1,3. Calcula: W1 = 3U; W2 = −2V; W3 = 3U + V
W1 = 3U = 32,1 = 6,3 W2 = −2V = −2−1,3 = 2,−6
W3 = 3U + V = 6,3 + −1,2 = 5,5
Para interpretar geométricamente, recordemos que el efecto que produce multiplicar un
escalar por un vector es expandir o comprimir la longitud del vector. Si el escalar es un número
positivo el sentido del vector no cambia por el contrario si es negativo cambia. Asimismo como
el producto no cambia la dirección del vector, ambos vectores el que se multiplica por el escalar
y el vector resultante están contenidos en la misma recta. Como podemos observar el vectorW1
tiene sus componentes el triple de las del vector U y el W2 es el vector opuesto al que resulta de
multiplicar a V por el escalar 2.
En cambio el vectorW3 suma de los vectores 3U y V tiene dirección distinta a la de estos
vectores debido a que U y V tienen distintas direcciones. Volveremos con mayor profundidad en
un tema posterior cuando estudiemos los vectores de Rn.
Ejercicios 6,7 y 8
En todos estos ejercicios el ¿qué? hay que hacer, está relacionado con el concepto de
combinación lineal de vectores. Para considerar el ¿cómo? lo hacemos, entre otras, deberíamos
formularnos las siguientes preguntas: ¿Qué es una combinación lineal de vectores?. ¿Cuándo
se dice que un vector es una combinación lineal de otros?. ¿Cómo se determina si un vector
es combinación lineal de otros?. ¿Cómo se expresa un vector como combinación lineal de
otros?. ¿Cómo se encuentra una combinación lineal de un conjunto de vectores?. ¿Cómo se
encuentra todas las combinaciones lineales de un conjunto de vectores?. Para responder estas
preguntas bastará con recordar la definición de combinación lineal y la de espacio vectorial y sus
propiedades Veamos algunos ejemplos.
Dados los vectores V1 = 1,0,1, V2 = 1,2,−1, V3 = 1,−4,5
Ejemplo1. Determina una combinación lineal de .V1,V2 y V3.
Vemos que la consigna es similar a la del Ejercicio 6 a) Si pensamos en las preguntas antes
mencionadas, vemos la relacionada con la tarea a desarrollar y por lo tanto que nos interesa
responder es ¿Qué es una combinación lineal de vectores?. Si recordamos los conceptos vistos
en las clases teóricas, o si revisamos algún apunte o texto sobre el tema, veremos que una
combinación lineal de vectores, no es otra cosa que otro vector, resultado de combinar las
operaciones de suma y producto por un escalar definidas para el espacio vectorial al cual
pertenecen dichos vectores. Es decir dados ciertos vectores, si a cada uno de ellos los
multiplicamos por algún escalar y luego realizamos la suma de esos productos, obtenemos una
combinación lineal de ellos. Así para el ejemplo:
2V1 + 3V2 + 0V3 = 21,0,1 + 31,2,−1 + 01,−4,5 = 2,0,2 + 3,6,−3 + 0,0,0 = 5,6
es una combinación lineal de V1,V2 y V3.
En este caso también se dice que el vector 5,6,−1 es una combinación lineal de los
vectores V1,V2 y V3.
0V1 + 0V2 + 2V3 = 01,0,1 + 01,2,−1 + 21,−4,5 = 2,−8,10 es otra combinación
lineal de V1,V2 y V3.
Así podemos seguir asignando valores a los escalares y obtener combinaciones lineales de
V1,V2 y V3. La pregunta es ¿Cuantas combinaciones lineales de V1,V2 y V3 hay?. Dejemos
para más adelante su respuesta, mientras piensas un poco al respecto, y pasemos a tratar otra de
las posibles consignas.
Ejemplo 2: Decide si W = 6,2,4 es combinación lineal de V1,V2 y V3. En caso de que tu
respuesta sea afirmativa, expresa a W como combinación lineal de V1,V2 y V3
Como podemos ver la consigna es similar a la del Ejercicio 7. En este caso debemos
responder la pregunta: ¿Cómo determinamos si un vector es combinación lineal de otros?. De
hecho necesitamos recordar la definición de combinación lineal de vectores. Recordémosla.
Dado un espacio vectorial V de dimensión finita n y S =V1,V2,… ,Vk ⊂ V yW ∈ V.
Decimos que W es una combinación lineal de los vectores Vi i = 1,2,… ,k si existen escalares
αi i = 1,2,… ,k tales que:
α1V1 + α2V2 + ⋯ + αkVk = W
A esta última igualdad podemos escribirla sintéticamente usando el simbolo de sumatoria
como:
∑
i=1
k
αiVi = W 1
Interpretemos esta definición, a los efectos de comprenderla para poder aplicarla.
La 1 es una ecuación vectorial, que como ya dijimos, es equivalente a un sistema
ecuaciones lineales con k incógnitas ( α1,α2,… ,αk. Decir que existan los escalares α1,α2,… ,αk
tales que se cumpla 1, equivale a pedir que el sistema equivalente a la 1 sea consistente. En
consecuencia surge de la definición que W será combinación lineal de los vectores V1,V2,… ,Vk
si y solo si el sistema 1 es consistente.
En definitiva si tenemos en cuenta lo anterior, el problema se reduce a determinar si el
sistema que resulta de expresar a W como combinación lineal de los vectores V1,V2,… ,Vk , es o
no consistente, para decir que W es o no combinación lineal de ellos. Y resolver un sistema de
ecuaciones lineales es algo que ya hicimos en el T.P. Nº 1 y que por supuesto, lo sabemos hacer
y muy bien ¿verdad?.
Resolvamos entonces.
Si W es combinación lineal de V1,V2 y V3 entonces:
∃ α1,α2,α3/α1V1 + α2V2 + α3V3 = W Definición de Comb. Lineal
⇒ α11,0,1 + α21,2,−1 + α31,−4,5 = 6,2,4 Sustitución
⇒ α1 + α2 + α3, 2α2 − 4α3,α1 − α2 + 5α3 = 6,2,4 Prod. por un escalar y suma de vect.
⇒
α1 + α2 + α3 = 6
2α2 − 4α3 = 2
α1 − α2 + 5α3 = 4
Igualdad de vectores
Resulviendo el sistema por Gauss tenemos:
1 1 1 6
0 2 −4 2
1 −1 5 4
∼
1 1 1 6
0 2 −4 2
0 −2 4 −2
∼
1 1 1 6
0 2 −4 2
0 0 0 0
⇒
α1 + α2 + α3 = 6
2α2 − 4α3 = 2
Como en el sistema escalonado, ninguna de sus ecuaciones es una falsedad, podemos decir
que el sistema es consistente. Por lo tanto, afirmar que el vectorW es combinación lineal de los
vectores V1,V2 y V3.
Como además se solicita que en caso, de respuesta afirmartiva, se exprese a W como
combinación lineal de V1,V2 y V3, debemos responder la pregunta ¿Cómo se expresa un vector
como combinación lineal de otros?.
Para ello solo hace falta recordar lo que es una combinación lineal, si lo recordamos vemos
que es otro vector que se obtiene realizando operaciones de suma y producto por un escalar a los
vectoresV1,V2 y V3. En este caso los escalares que debemos utlizar son la solución del sistema
anterior. Asi que solo debemos encontrar los escalares α1,α2,α3 incógnitas de ese sistema que es
equivalente a la ecuación vectorial.
α1V1 + α2V2 + α3V3 = W. 2
En consecuencia si determinamos α1,α2,α3 del sistema escalonado.y reemplazamos esos
valores en la ecuación 2 tendremos la expresión de W como combinación lineal de V1,V2 y V3
pedida. Queda como ejercicio, así que a completarlo.
Volvamos ahora a la pregunta que quedó en suspenso más arriba: ¿Cuántas combinaciones
lineales de V1,V2 y V3 hay?. Responderla nos llevará a resolver la consigna del ejercicio 6 b):
Ejemplo 3: Determina todas las combinaciones lineales de los vectores V1,V2 y V3.
A diferencia de lo pedido en el ejercicio 6 a), nos solicitan ya no una sino todas las
combinaciones lineales posibles de los vectores V1,V2 y V3.
Es decir tenemos que determinar el conjunto de todos los vectores que son combinación
lineal de los dados. Ese conjunto será un subconjunto de R3. En otras palabras, debemos
encontrar el conjunto de todos los vectores de R3 que sean combinaciones lineales de V1,V2 y
V3. Es decir el conjunto de todas las combinaciones lineales de V1,V2 y V3. ¿Te recuerda
alguna definición dada en la clase de teoría?.Si no te acuerdas repasa tus apuntes teóricos y
comprueba si hay alguna definición de ese estilo.
Si escribimos ese conjunto por comprensión y lo designamos por S.
S = X ∈ R3/ X = α1V1 + α2V2 + α3V3
Como ahora no conocemos X, expresamos el vector genérico de R3como combinación lineal
de los vectores V1,V2 y V3.
⇒ α1V1 + α2V2 + α3V3 = X Def. de Comb. lineal
⇒ α11,0,1 + α21,2,−1 + α31,−4,5 = x,y, z Reemplazo
⇒ α1, 0,α1 + α2, 2α2,−α2 + α3,−4α3, 5α3 = x,y, z Def. de prod. por un escalar
⇒ α1 + α2 + α3, 2α2 − 4α3,α1 − α2 + 5α3 = x,y, z Def. de suma de vectores
⇒
α1 + α2 + α3 = x
2α2 − 4α3 = y
α1 − α2 + 5α3 = z
I Def. de igualdad de vectores
La definición de combinación lineal nos lleva al sistema de ecuaciones lineales I, con
incógnitas αi i = 1,2,3 en el que las componentes x,y, z del vector X, términos independientes de
las ecuaciones del sistema son parámetros para él.
Estamos buscando que X sea combinación lineal de los vectores V1,V2 y V3, entonces lo que
debemos asegurar es la existencia de los αi, lo que equivale a pedir que el sistema I con
parámetros x,y, z sea consistente.
Por lo tanto debemos ver cuáles son las condiciones, si las hay, que deben cumplir los
parámetros x,y, z para que el sistema I sea consistente. Resolvamos el sistema:
1 1 1 x
0 2 −4 y
1 −1 5 z
1 1 1 x
0 2 −4 y
0 −2 4 z − x
1 1 1 x
0 2 −4 y
0 0 0 −2x + 2y + 2z
El sist. escalonado es:
α1 + α2 + α3 = x
2α2 − 4α3 = y
0α3 = −2x + 2y + 2z
El vector X es combinación lineal de V1,V2 y V3 solo si I es consistente y esto ocurre solo
si −2x + 2y + 2z = 0, ya que en caso contrario, la última ecuación del sistema escalonado, será
una falsedad, que ya sabemos es suficiente para decir que el sistema es inconsistente.
En consecuencia el conjunto de todas las combinaciones lineales de V1,V2 y V3 es:
S = x,y, z ∈ R3/ − 2x + 2y + 2z = 0
Hemos encontrado un conjunto en el cual están todos los vectores de R3 que son
combinaciones lineales de V1,V2 y V3.
Observemos que si volvemos a leer la consigna del ejemplo 2 resuelto anteriormente.
Determina si el vectorW = 6,2,4 es combinación lineal de V1,V2 y V3, podríamos aplicar la
definición de combinación lineal a los vectores dados y determinar si el sistema que de ella
resulta es consistente o no, como lo hicimos anteriormente. Pero si interpretamos lo que
acabamos de encontrar: El conjunto de todas las combinaciones lineales de V1,V2 y V3 que es S
y en él se encontrará cualquier vector que sea combinación lineal de V1,V2 y V3, bastará con
verificar si el vectorW, cumple o no con la condición de S, para poder decidir si es o no
combinación lineal de V1,V2 y V3. Procedamos de esta manera para el ejemplo:
Reemplazando las componentes de W en la ecuación −2x + 2y + 2z = 0 tenemos:
−26 + 22 + 24 = 0 ⇒ −12 + 4 + 8 = 0 ⇒ 0 = 0 igualdad verdadera.
Se verifica la condición de S. En consecuencia podemos decir que W es una combinación
lineal de V1,V2 y V3.
Así que, si tenemos determinado S es mucho más eficiente realizar lo anterior para resolver la
consigna dada, sobre todo cuando la consigna se refiere no a un solo vector sino a varios. De
modo que a leer bien la consiga antes de resolver nada, ya que muchas veces hay varios incisos
en un mismo problema y es necesario, antes de resolverlos, analizar si están o no relacionados
para ver cuál de ellos es mas conveniente resolver primero, haciendo de esta manera más eficaz
nuestro trabajo.
Volvamos ahora a recordar la pregunta respecto a si asociabas la frase el conjunto de todas
las combinaciones lineales de V1,V2 y V3 con alguna definición. Seguro que ya habrás
encontrado que a ese conjunto le damos un nombre especial y lo denominamos el subespacio
generado por los vectores V1,V2 y V3 ¿verdad?. En consecuencia resolver una consigna del
tipo:
Determina el subespacio generado por los vectores V1,V2 y V3 no es otra cosa que encontrar
el conjunto S hallado anteriormente.
Recuerda también que si llamamos G =V1,V2,V3, a S se acostumbra simbolizarlo como
S =LG que significa Subespacio Generado por el conjunto G y también, se dice que G es un
conjunto generador de S =LG. Ya volveremos sobre este último concepto.
Ejemplo 4: Determina, si existen, valores del parámetro k para los que W = 1,k + 1,2 − k2
sea combinación lineal de V1,V2 y V3.
Como podemos ver la consigna es similar a la del Ejercicio 8. Asimismo el ¿qué? debemos
hacer es el mismo que el del ejemplo 2 dado más arriba con la diferencia que en este ejemplo, el
vectorW no está numéricamente determinado debido a que algunas de sus componentes están en
función de un parámetro k. De esta manera hay una pequeña diferencia en cuanto al ¿cómo? lo
resolvemos la que resulta de la resolución del sistema asociado a aplicar la definición de
combinación lineal, ya que al tenerW un parámetro en sus componentes, este sistema sera un
sistema con parámetros. Como para que W sea combinación lineal de V1,V2 y V3 es necesario
que el sistema sea consistente, debemos una vez escalonado el sistema, dar condiciones a los
parámetros para que sea consistente y listo habremos resuelto el problema. Veamos con el
ejemplo.
⇒ α1V1 + α2V2 + α3V3 = W Def. de Comb. lineal
⇒ α11,0,1 + α21,2,−1 + α31,−4,5 = 1,k + 1,2 − k2 Reemplazo
⇒ α1, 0,α1 + α2, 2α2,−α2 + α3,−4α3, 5α3 = 1,k + 1,2 − k2 Def. de producto
por un escalar
⇒ α1 + α2 + α3, 2α2 − 4α3,α1 − α2 + 5α3 = 1,k + 1,2 − k2 Def. de suma de
vectores
⇒
α1 + α2 + α3 = 1
2α2 − 4α3 = k + 1
α1 − α2 + 5α3 = 2 − k2
I Def. de igualdad de
vectores
Si resolvemos por Gauss tenemos:
1 1 1 1
0 2 −4 k + 1
1 −1 5 2 − k2
1 1 1 1
0 2 −4 k + 1
0 −2 4 1 − k2
1 1 1 1
0 2 −4 k + 1
0 0 0 2k + 12 − k
El sist. escalonado es:
α1 + α2 + α3 = 1
2α2 − 4α3 = k + 1
0α3 = 2k + 12 − k
Recordemos que para que el sistema sea consistente, en el sistema escalonado no debe haber
ninguna ecuación que sea una inconsistencia. Si observamos la última ecuación del sistema
escalonado, vemos que si 2k + 12 − k ≠ 0 será una inconsistencia. Por lo tanto el sistema será
consistente si 2k + 12 − k = 0. Es decir el sistema será consistente solo si k = −1 ∨ k = 2.
En consecuencia W = 1,k + 1,2 − k2 será combinación lineal de los vectores V1,V2 y V3 solo sí
k = −1 ∨ k = 2.
Ahora bien, como ya lo hicimos anteriormente cuando desarrollamos el ejemplo 3, si por
alguna razón ya habríamos resuelto el mismo, es decir ya habríamos encontrado el conjunto de
todas las combinaciones lineales de V1,V2 y V3, como en ese conjunto está cualquier vector que
sea combinación lineal de V1,V2 y V3, allí debería estarW. En el ejemplo 3 encontramos que ese
conjunto es:
S = x,y, z ∈ R3/ − 2x + 2y + 2z = 0
Sabemosque para que W ∈ S, debe cumplir con la ecuación −2x + 2y + 2z = 0 que es la
condición que debe cumplir un vector de R3 para pertenecer a S. Bastará entonces reemplazar en
−2x + 2y + 2z = 0 los valores de x,y, z por las componentes respectivas de W y ver cuáles son los
valores del parámetro k que hacen que la igualdad sea verdadera.
Entonces tenemos: −21 + 2k + 1 + 22 − k2 = 0 ⇒ −2 + 2k + 2 + 4 − 2k2 = 0 ⇒
⇒ −2k2 + 2k + 4 = 0 ⇒ k2 − k − 2 = 0
Si resolvemos esta última ecuación cuadrática tenemos:
k1,2 = 1 ±
1 − 4−2
2
= 1 ±
9
2
= 1 ± 3
2
⇒ k1 = 2 ∨ k2 = −1
Es decir Si k = 2 ∨ k = −1 la igualdad anterior es verdadera y en consecuencia si
k = 2 ∨ k = −1 el vectorW = 1,k + 1,2 − k2 es combinación lineal de V1,V2 y V3.
Ejercicio 9
El ¿qué debemos hacer? queda claramente definido por la consigna. Debemos determinar el
subespacio generado por un conjunto finito de vectores.
Para determinar ¿cómo? lo hacemos. Solo debemos responder la pregunta ¿A qué se
denomina subespacio generado por un conjunto de vectores? y para responderla sólo hay que
recordar la definición de subespacio generado.
Se denomina subespacio generado por un conjunto finito de vectores al "Conjunto de todas
las combinaciones lineales de los vectores del conjunto". Esto no es nada nuevo ¿verdad?. En
efecto, así es, no es más que lo que ya resolvimos de alguna forma en el ejemplo 1 dado para el
Ejercicio 7. De todas maneras veamos un ejemplo que sirva para reafirmar lo antes realizado.
Ejemplo 1:
Determina y representa S =L−1,3, 2,−6
Si aplicamos la definición de subespacio generado, vemos que es el conjunto de todas las
combinaciones lineales de los vectores del conjunto G =−1,3, 2,−6. Así que un vector será
un elemento de ese subespacio si es combinación lineal de los vectores del conjunto G. Como el
conjunto dado es un subconjunto de R2, el subespacio generado por él será un subespacio de R2.
Si X = x,y es el elemento genérico de R2, X ∈ S =LG si y solo si X es combinación
lineal de −1,3 y 2,−6.
Si recordamos la definición de combinación lineal, deberá ocurrir que existen escalares α1 y
α2 tales que:
α1−1,3 + α22,−6 = x,y
Si aplicamos la definición de producto por un escalar y suma de vectores tenemos:
−α1 + 2α2, 3α1 − 6α2 = x,y
Aplicando la definición de igualdad de vectores en R2 tenemos:
−α1 + 2α2 = x
3α1 − 6α2 = y
Resolviendo por Gauss
−1 2 x
3 −6 y
∼
−1 2 x
0 0 −y − 3x
⇒
−α1 + 2α2 = x
0 = −y − 3x
Como estamos buscando que existan los escalares α1 y α2 tales que se cumpla
α1−1,3 + α22,−6 = x,y y esta última ecuación vectorial es equivalente al anterior sistema,
entonces el mismo debe ser consistente. Si analizamos el sistema escalonado tenemos que:
El sistema es consistente solo si −y − 3x = 0 ⇒ X = x,y es combinación lineal de −1,3 y
2,−6 solo si 3x + y = 0. Por lo tanto el subespacio generado por G =−1,3, 2,−6 es
S = LG =x,y ∈ R2/3x + y = 0
Si despejamos y de 3x + y = 0 tenemos: y = −3x que sabemos es la ecuación de una recta que
pasa por el origen. Su representación gráfica es:
-4 -2 2 4
-10
-5
5
10
x
y
Ejemplo 2:
Determina el subespacio generado por el conjunto
G =
1 1
1 0
,
0 1
−1 2
,
2 1
3 −2
Si razonamos de forma análoga a lo que hicimos en el anterior ejemplo, al ser G un conjunto
de matrices reales de 2 × 2, el subespacio generado por G, será un subespacio de R2×2. Así que
debemos expresar a una matriz genérica de R2×2 como combinación lineal de las matrices de G
para poder determinar LG.
α1
1 1
1 0
+ α2
0 1
−1 2
+ α3
2 1
3 −2
=
x y
z t
Def. de combinación. lineal
⇒
α1 + 2α3 α1 + α2 + α3
α1 − α2 + 3α3 2α2 − 2α3
=
x y
z t
Def. de producto por un
escalar y suma de matrices
⇒
α1 + 2α3 = x
α1 + α2 + α3 = y
α1 − α2 + 3α3 = z
2α2 − 2α3 = t
Def. de igualdad de
matrices
Si resolvemos el sistema por Gauss tenemos:
1 0 2 x
1 1 1 y
1 −1 3 z
0 2 −2 t
∼
1 0 2 x
0 1 −1 y − x
0 −1 1 z − x
0 2 −2 t
∼
1 0 2 x
0 1 −1 y − x
0 0 0 −2x + y + z
0 0 0 2x − 2y + t
El sistema escalonado es:
α1 + 2α3 = x
α2 − α3 = y − x
0α3 = −2x + y + z
0α3 = 2x − 2y + t
Como podemos ver, para que el sistema sea consistente debe ocurrir que:
−2x + y + z = 0 ∧ 2x − 2y + t = 0.
Es decir para que una matriz genérica de 2 × 2 sea combinación lineal de las matrices del
conjunto G, deberá ocurrir que: −2x + y + z = 0 ∧ 2x − 2y + t = 0
En consecuencia, el subespacio generado por G, será:
LG =
x y
z t
∈ R2×2/ − 2x + y + z = 0 ∧ 2x − 2y + t = 0
En otras palabras, LG es el conjunto solución del sistema homogéneo:
−2x + y + z = 0
2x − 2y + t = 0
Ejercicio 10
De la consigna surge el ¿qué debemos hacer?. Encontrar un conjunto generador de un
subespacio dado. Esto nos lleva a preguntarnos ¿Cuándo se dice que un conjunto es generador
de un subespacio Espacio) vectorial? y para responder a ¿Cómo? lo hacemos. Debemos
preguntarnos ¿cómo se determina un conjunto generador de un subespacio (espacio)
vectorial?. Para responderlas solo debemos recordar la definición de conjunto generador de un
espacio vectorial.
Recordemos la definición de subespacio generado por un conjunto de vectores, de la cual
surge naturalmente la definición de conjunto generador de un espacio o subespacio.
Dado un espacio vectorial V de dimensión finita, yG =V1,V2,… ,Vk ⊂ V. Se denomina
subespacio generado por los vectores V1,V2,… ,Vk, al conjunto de todas las combinaciones
lineales de los vectores V1,V2,… ,Vk, que lo simbolizamos por LG. Si lo escribimos por
comprensión tendremos que:
LG = X ∈ V/ X = ∑
i=1
k
αiVi
Al conjunto G se lo denomina: Conjunto generador de LG.
Si interpretamos esto último, vemos que cualquier X (elemento de LG ) es combinación
lineal de los vectors Vi (elementos de G, en consecuencia tiene sentido la siguiente definición
para G.
Dado un espacio V de dimensión finita, y un conjunto finito G ⊂ V .Decimos que G es un
generador de V si y solo si, cualquier elemento de V, se puede expresar como combinación lineal
de los elementos de G. Si G =V1,V2,… ,Vk. En forma simbólica será:
G es un generador de V si y solo si :∀X ∈ V ∃αi, i = 1,2,… ,k / X = ∑
i=1
k
αiVi
Ejemplo 1:
Determina un conjunto generador del siguiente subespacio:
S = x,y, z ∈ R3/ − x + 3y + 2z = 0
Debemos determinar un conjunto G ⊂ S tal que S =LG.
Pero el subespacio S no es más que el conjunto solución de la ecuación −x + 3y + 2z = 0, en
consecuencia el elemento genérico de S no es más que el vector solución general de esta
ecuación. Así que si tomamos a y, z como variable libres tendremos x = 3y + 2z, con lo que la
solución general será: x,y, z = 3y + 2z,y, z.
Teniendo en cuenta la definición de conjunto generador, y el hecho de que la solución
general de la ecuación de un subespacio, representa cualquier elemento del subespacio, surge
naturalmente que si expresáramos a este vector como combinación lineal de ciertos vectores,
estaríamos encontrando el conjunto generador de S. Veamos cómo hacemos esto:
3y + 2z,y, z = 3y,y, 0 + 2z, 0, z Definición de suma de vectores.
3y + 2z,y, z = y3,1,0 + z2,0,1.Definición de producto por un escalar.
Como vemos, hemos expresado el vector genérico de S cómo combinación lineal de los
vectores 3,1,0, 2,0,1. Es decir, hemos expresado cualquier elemento de S como
combinación lineal de los vectores 3,1,0, 2,0,1. En consecuencia el conjunto
G =3,1,0, 2,0,1 cumple la definición de conjunto generador, por lo que se puede afirmar
que es un generador del subespacio S.
Si queremos encontrar otro conjunto generador del anterior subespacio podríamos hacerlo de
diferentes formas. Por ejemplo podríamos elegir como variables libres para la solución general
de la ecuación del subespacio otras distintas de las anteriormente elegidas. Así si elegimos x, z
como variables libres tendremos despejando y de la ecuación −x + 3y + 2z = 0 tenemos:
3y = x − 2z ⇒ y = 1
3
x − 2
3
z con lo que la solución general ahora es:x,y, z = x, 1
3
x − 2
3
z, z.
Siguiendo el mismoprocedimiento anterior tenemos:
x, 1
3
x − 2
3
z, z = x, 1
3
x, 0 + 0,− 2
3
z, z
x, 1
3
x − 2
3
z, z = x1, 1
3
,0 + z0,− 2
3
,1
En consecuencia H = 1, 1
3
,0, 0,− 2
3
,1 es también un generador del anterior
subespacio y es distinto de G.
Parece ser que los conjuntos generadores del subespacio S, tienen dos vectores. ¿Será que
cualquier generador de este subespacio tiene exactamente dos vectores?
Para responderla no tenemos más que recordar que un subespacio no es más que el conjunto
de todas las combinaciones lineales de los vectores del conjunto generador, y ya sabemos que
G =3,1,0, 2,0,1 es un conjunto generador del subespacio.
Podremos encontrar otro generador distinto a G agregándole algún vector que sea
combinación lineal de los vectores de G. El vector 5,1,1 = 13,1,0 + 12,0,1 es una
combinación lineal de los vectores de G. Si agregamos este vector a G obtenemos el conjunto
G1=3,1,0, 2,0,1, 5,1,1 que también es un generador del subespacio tiene más vectores
que G y es distinto a G.Queda com ejercicio verificar que G1 es un generador de S.
Así podríamos agregarle a G dos, tres, etc., vectores tales que sean combinaciones lineales de
los elementos de G, obteniendo otros generadores del mismo subespacio. En consecuencia
¿cuántos conjuntos generadores de un mismo espacio vectorial hay?. Trata de responderla
justificando tu respuesta.
Ejemplo 2:
El conjunto de las matrices simétricas de 2 × 2, constituye un subespacio vectorial del
espacio R2×2. Determina un generador de ese subespacio.
Si escribimos ese subespacio por comprensión tenemos.
S = X ∈ R2×2/X = XT = X = x ij ∈ R2×2/x ij = xji
La solución general de la ecuación x ij = xji es
x11 x12
x12 x22
que podemos expresarla como
sigue:
x11 x12
x12 x22
=
x11 0
0 0
+
0 x12
x12 0
+
0 0
0 x22
x11 x12
x12 x22
= x11
1 0
0 0
+ x12
0 1
1 0
+ x22
0 0
0 1
En consecuencia, de forma similar al ejemplo anterior, aplicando la definición de conjunto
generador, podemos afirmar que:
G =
1 0
0 0
,
0 1
1 0
,
0 0
0 1
Es un generador de S.
Ejemplo 3: Determina un conjunto generador del subespacio determinado en el ejemplo 2
desarrollado para el ejercicio 9
Si recordamos lo realizado en este ejemplo vemos que el subespacio determinado en él es:
S = LG =
x y
z t
∈ R2×2/ − 2x + y + z = 0 ∧ 2x − 2y + t = 0
Es decir LG es el conjunto solución del sistema homogéneo:
−2x + y + z = 0
2x − 2y + t = 0
Resolvamos el sistema por Gauss:
−2 1 1 0 0
2 −2 0 1 0
∼
−2 1 1 0 0
0 2 −2 −2 0
⇒
−2x + y + z = 0
2y − 2z − 2t = 0
Vemos que el sistema escalonado ninguna de sus ecuaciones es una inconsistencia, por lo
tanto el sistema es consistente. Ademas hay 4Incog − 2Ec = 2V.L. por lo que el sistema tiene
infinitas soluciones. Si elegimos a z y t como V.L. tenemos:
De 2y − 2z − 2t = 0 ⇒ 2y = 2z + 2t ⇒ y = z + t
Reemplazando este valor en
−2x + y + z = 0 ⇒ −2x + z + t + z = 0 ⇒ −2x = −2z − t ⇒ x = z + 1
2
t
En consecuencia la solución general es:
x y
z t
=
z + 1
2
t z + t
z t
. Así que:
z + 1
2
t z + t
z t
=
z z
z 0
+
1
2
t t
0 t
Por def. de suma de vectores
z + 1
2
t z + t
z t
= z
1 1
1 0
+ t
1
2
1
0 1
Por def. de producto de un escalar por
un vector
⇒ B =
1 1
1 0
,
1
2
1
0 1
Es un conjunto generador de S
En otras palabras será:
S =LB =L
1 1
1 0
,
1
2
1
0 1
Si recordamos la consigna del ejemplo 2 resuelto para el ejercicio 9 tenemos que:
S =LG =L
1 1
1 0
,
0 1
−1 2
,
2 1
3 −2
Como podemos observar, el subespacio S puede expresarse como un subespacio generado
por dos conjuntos distintos. Esto es así porque un espacio vectorial no tiene un único conjunto
generador, tiene infinitos generadores.
Ejercicio 11
El ¿qué? debemos hacer en este ejercicio está relacionado con conceptos que ya hemos
trabajado en anteriores TP y en consecuencia en los Tutoriales respectivos. En a no es más que
determinar el conjunto solución de un sistema homogéneo y demostrar que ese conjunto es un
subespacio. Nada nuevo ¿verdad?
En b Interpretar la solución de un sistema no es más que la intersección de cada una de sus
ecuaciones y que al ser estos subespacios estaríamos viendo para ese caso particular que la
intersección de subespacios también es un subespacio. Se pide generalizarlo y demostrar esto
como un teorema para cualquier par de subespacios de un espacio vectorial cualquiera. Es algo
que ya hemos realizado en los ejercicios 3 y 4 así que no hay más que agregar ¿verdad?
Ejercicio 12
La consigna define claramente ¿qué? debemos hacer. Decidir, justificando la respuesta, la
verdad o falsedad de algunas afirmaciones. Ya sabemos que una afirmación es una proposición y
por lo tanto o es verdadera o es falsa. Para determinar ¿cómo? lo hacemos, debemos responder
las siguientes preguntas. ¿Cuándo decimos que una proposición es verdadera?. ¿Cuándo
decimos que una proposición es falsa? La respuesta a estas preguntas requiere recordar algunos
conceptos de la lógica proposicional, ya que cada afirmación involucrará diferentes
proposiciones lógicas (simples o compuestas) cuyo valor de verdad dependerá de la proposición
que estemos analizando.
Asimismo cuando la afirmación involucra una (o más) incógnitas, en este caso sabemos que
se trata de una función proposicional, de tal manera que el análisis de su valor de verdad tiene
que ver con que sea verdadera para cualquier elemento o sólo para algún(os) valor(es) de su
dominio. En el primer caso decimos que es Verdadera y en el segundo que es Falsa. Así que a
estar atento a ésta situación.
Ejemplo 1: Decide, justificando tu respuesta, la verdad o falsedad de la siguiente afirmación:
U ∈ LU,V
La afirmación involucra incógnitas, los vectores U,V de algún espacio vectorial. En
consecuencia la afirmación dada no es una proposición sino una función proposicional. En
consecuencia para poder afirmar que es Verdadera debemos probar que es verdadera para
cualquier par de vectores U,V de ese espacio vectorial. Es decir debemos probar que es
Verdadero el valor de verdad de la implicación:∀U,V ∈ V ⇒ U ∈ LU,V
Si analizamos la tesis de esta implicación, vemos que debemos probar que U pertenece al
subespacio generado por U,V. En consecuencia, y recordando la definición de subespacio
generado, debemos probar que U es combinación lineal de U,V y por lo tanto, teniendo en cuenta
la definición de combinación lineal, debemos probar que existen escalares α1, α2 tales que:
α1U + α2V = U.
Si analizamos esta última igualdad, podemos ver que el primer miembro será igual al
segundo si α1 = 1 y α2 = 0 ya que como 1U = U y 0V = ⊙ entonces 1U + 0V = U + ⊙ = U.
Hemos demostrado que ∃α1 = 1 y α2 = 0 tal que α1U + α2V = U . Es decir hemos
demostrado que U es combinación lineal de U,V cualquiera sean los vectores U y V, y por lo
tanto hemos demostrado que U pertenece al subespacio generado por U,V. Es decir hemos
demostrado la verdad de la implicación ∀U,V ∈ V ⇒ U ∈ LU,V. Conclusión el valor de
verdad de la afirmación dada es Verdadero.
Ejemplo 2: Igual consigna que la del Ejemplo1 para la afirmación:
2,3,1 ∈ L1,1,0, 1,2,0
Analizando la afirmación dada vemos que es casi similar a la del ejemplo 1, con la diferencia
de que ahora no hay incógnitas en ella. En consecuencia se trata ya no de una función
proposicional sino de una proposición. Por lo tanto, su valor de verdad está perfectamente
determinado. Para decir si es verdadero o falso, debemos ver si cumple o no con lo establecido en
ella. Será verdadera si el vector 2,3,1 pertenece al subespacio generado por los vectores
1,1,0, 1,2,0. Encontremos ese subespacio:
α1,1,0 + β1,2,0 = x,y, z Def de Comb. Lineal
⇒ α + β,α + 2β, 0 = x,y, z Prod. por un escalar y suma de vectores
⇒
α + β = x
α + 2β = y
0 = z
Igualdad de vectores
Si resolvemos el sistema por el método de Gauss:
1 1 x
1 2 y
0 0 z
∼
1 1 x
0 1 y − x
0 0 z
⇒
α + β = x
β = y − x
0β = z
Analizando el sistema, vemos que es consistente solo si z = 0, por lo que el vectorx,y, z es
combinación lineal de los vectores 1,1,0 y 1,2,0 solo si z = 0,y en consecuencia el vector
x,y, z pertenece al subespacio generado por 1,1,0, 1,2,0 solo si z = 0.
Es decir L1,1,0, 1,2,0 = x,y, z ∈ R3/z = 0
Como podemos ver, el vector 2,3,1 no cumple con la condición z = 0 ya que 1 ≠ 0. Por lo
tanto, podemos decir que 2,3,1 ∉ L1,1,0, 1,2,0 y en consecuencia el valor de verdad
de la proposición dada es Falso.
Ejemplo 3: Igual consigna que la del Ejemplo1 para la afirmación:
El subespacio generado por G =1,1,0, 0,1,1, 0,1,2 es R3
¿Qué? debemos hacer. Decidir si la anterior afirmación es verdadera o falsa. ¿Cómo? lo
hacemos. Si analizamos los conceptos involucrados en la afirmación, vemos que para que sea
verdadera, debe ocurrir que LG = R3. Así que debemos aplicar la definición de subespacio
generado al conjunto G y determinar si es LG = R3. Expresamos a cualquier vector de R3
como combinación lineal de los vectores de G. Si hacemos X = x,y, z tenemos:
⇒ α11,1,0 + α20,1,1 + α30,1,2 = x,y, z Def. de Comb. lineal
⇒ α1,α1, 0 + 0,α2,α2 + 0,α3, 2α3 = x,y, z Def. de producto
por un escalar
⇒ α1,α1 + α2 + α3,α2 + 2α3 = x,y, z Def. de suma de
vectores
⇒
α1 = x
α1 + α2 + α3 = y
α2 + 2α3 = z
I Def. de igualdad
de vectores
Resolviendo el sistema por Gauss:
1 0 0 x
1 1 1 y
0 1 2 z
∼
1 0 0 x
0 1 1 y − x
0 1 2 z
∼
1 0 0 x
0 1 1 y − x
0 0 1 x − y + z
El sistema escalonado es:
α1 = x
α2 + α3 = y − x
α3 = x − y + z
Como en el sistema escalonado ninguna de sus ecuaciones es una inconsistencia
independientemente de los valores que puedan tomar los parámetros x,y, z, entonces podemos
afirmar que el sistema tiene solución cualesquiera sean los valores de x,y, z. Es decir el vector
X = x,y, z es combinación lineal de los vectores del conjunto G sin importar los valores de
x,y, z. Así que cualquier vector de R3 se puede obtener como combinación lineal de los vectores
de G, por lo que este conjunto es un generador de R3, y en consecuencia LG = R3. De esta
manera podemos decir que el valor de verdad de la afirmación dada es Verdadero.
Por último te recuerdo que debes resolver el CUESTIONARIO 3 que se presenta como otra
de las actividades no presenciales del Tema 3 que tiene como objetivo que te sirva para
autoevaluar tu aprendizaje de los temas que se desarrollaron en el trabajo práctico . Asimismo te
sugiero que aunque en el cuestionario no te lo exige, trata de justificar las respuestas dadas para
todas las preguntas, pero sobre todo no te olvides de subir el archivo con las justificaciones de
tus respuestas dadas para las preguntas cuya justificación se pide.
Augusto A. Estrada V.