TUTORIAL 2 Algebra Matricial-Matrices SimÈtricas, AntisimÈtricas e Inversa-Aplicaciones a

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U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas
Asignatura: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Carreras: LAS, PM, LF, LER, TEU, TUES, TUP
Año: 2do Cuatrimestre 2019
Docente Responsable del curso: Ing. Augusto A. Estrada V
TUTORIAL 2
Algebra Matricial-Matrices Simétricas, Antisimétricas e Inversa-Aplicaciones a
Sistema de Ecuaciones Lineales
Introducción:
El trabajo práctico No 2, aborda el tema de matrices mediante actividades que involucran entre
otros conceptos: de�nición de matriz, igualdad de matrices, matrices especiales, operaciones con
matrices, sus propiedades y problemas de aplicación.
Ejercicio 1:
El ¿qué debemos hacer? está relacionado con el concepto de sumatoria
a) De la consigna surge ¿Qué? debemos hacer. Evaluar una sumatoria. Surgen otras preguntas
como ser: ¿Qué es una sumatoria? ¿Qué signi�ca evaluar una sumatoria?. Para
determinar ¿Cómo? lo vamos a hacer y ¿Por qué? lo haremos de una forma u otra, debe-
mos recordar el concepto de sumatoria, concepto que se empleará en este trabajo práctico,
sobre todo en la operación de producto de matrices, por lo que es importante conocerlo.
El concepto de sumatoria es equivalente al de suma, y es de utilidad cuando se tiene una suma
que contiene una cantidad grande o in�nita de sumandos, que responden a una ley de formación
general y que a través de la variación de un índice, reproduce todos y cada uno de los términos de
la suma. En estas condiciones, la suma se puede escribir en forma sintética utilizando el símboloP
que signi�ca sumatoria con indicación de los valores inicial y �nal que adopta ese índice.
Recíprocamente si tenemos una suma expresada en forma sintética, podemos expresarla en
forma desarrollada. Así por ejemplo, en cursos previos, probablemente has trabajado en los natu-
rales con la suma de los n primeros cuadrados perfectos: 1 + 4 + 9 + 16 + � � �+ n2
Esta sucesión de números responden a una ley de formación general, que consiste en elevar
al cuadrado los sucesivos números naturales, para ir obteniendo cada uno de los términos de la
suma. Es decir si n es un número natural, n2 representará el término general o genérico de esa
suma, ya que al ir asignándole a n los sucesivos naturales 1; 2; : : : ; n se va obteniendo cada uno de
los términos de la suma. Por lo tanto podemos escribir esta suma en forma sintética como sigue:
1 + 4 + 9 + 16 + � � �+ n2 =
nP
k=1
k2
Ya que:
nP
k=1
k2 = 12 + 22 + 32 + 42 + � � �+ n2 = 1 + 4 + 9 + 16 + � � �+ n2: Es decir:
nP
k=1
k2 = 1 + 4 + 9 + 16 + � � �+ n2
Esta última igualdad nos permite resolver dos actividades a saber. Dada la suma en forma
sintética hallar su desarrollo y/o evaluarla (pasar del primer miembro al segundo miembro). Recíp-
rocamente, dada una suma, expresarla en forma sintética (pasar del segundo miembro al primero).
La sumatoria, al ser una suma, goza de las mismas propiedades de esta. Así tenemos las
siguientes propiedades que es necesario recordar:
1
1.
nP
k=1
(ak + bk) =
nP
k=1
ak +
nP
k=1
bk 2.
nP
k=1
mak = m
nP
k=1
ak
3.
nP
k=1
m = m+m+ � � �+m| {z }
n
= nm 4.
nP
k=1
(
mP
j=1
akj) =
mP
j=1
(
nP
k=1
akj)
ó bien
nP
k=0
m = m+m+ � � �+m| {z }
n+1
= (n+ 1)m
Veamos algunos ejemplos a los efectos de ilustrar lo antes mencionado.
Ejemplo 1: Desarrolla y evalúa la siguiente suma:
5P
(
i=1
2i� 1)
Para evaluar la suma, hay que desarrollarla. Para ello solo hay que ir asignando al índice valores
desde el valor inicial hasta el �nal, de forma que se obtiene el desarrollo de la suma. Luego para
evaluarla en caso de que sean valores numéricos determinados, solo hay que sumar los términos.
5P
i=1
(2i� 1) = (2 � 1� 1)+ (2 � 2� 1)+ (2 � 3� 1)+ (2 � 4� 1)+ (2 � 5� 1) = 1+3+5+7+9 = 25
También podríamos resolver el anterior ejemplo aplicando las propiedades de la sumatoria antes
mencionadas. Así tenemos:
5P
i=1
(2i� 1) =
5P
i=1
[2i+ (�1)] por de�nición de resta en R
5P
i=1
(2i� 1) =
5P
i=1
2i+
5P
i=1
(�1)] por propiedad 1)
5P
i=1
(2i� 1) = 2
5P
i=1
i+
5P
i=1
(�1)] por propiedad 2)
5P
i=1
(2i� 1) = 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5) + [5(�1)] por desarrollo y propiedad 3)
5P
i=1
(2i� 1) = 30 + (�5) por suma y producto en R
5P
i=1
(2i� 1) = 25 por suma en R
Aquí podemos ver dos formas de realizar la misma tarea. Esto muestra claramente donde
aparece el ¿por qué? de la elección del camino que seguimos para realizarla y de la justi�cación
de cada uno de los pasos que realizamos en su desarrollo.
Ejemplo 2: Desarrolla la siguiente suma:
3P
k=1
ba2k
Al ser b una constante que no depende del índice, podemos aplicar la propiedad 2)
3P
k=1
ba2k = b
3P
k=1
a2k. Entonces desarrollando la suma tenemos.
3P
k=1
ba2k = b(a21 + a22 + a23) y aplicando distributiva del producto respecto a la suma en R:
3P
k=1
ba2k = ba21 + ba22 + ba23
b) ¿Qué hay que hacer?. Expresar una suma en forma sintética utilizando el símbolo de sumatoria.
Es precisamente el proceso inverso de lo que se solicitaba en a):
2
En este caso, es importante encontrar la ley general, que caracteriza a todos y cada uno de los
términos de la suma mediante la variación de un índice. Para ello no hay una receta que sirva
siempre, sino que va a depender de los términos de la suma. Por lo tanto hay que observar dichos
términos, para descubrir que característica común tienen, y así inferir la ley de formación a la que
responden.
Lo que sí es general, es que, si los signos de los términos de la suma son alternados, es debido a
que en el término general, interviene una potencia de base negativa y exponente que comenzará con
un valor par o impar según sea el signo del primer término de la suma, ya que luego irá tomando
alternativamente valores pares e impares dando la respectiva alternancia de signo.
Ejemplo 1: Dada la siguiente suma, exprésala en forma sintética utilizando el símbolo de
sumatoria.
2
5
+
3
7
+
4
9
+
5
11
+
6
13
Observemos los términos y tratemos de caracterizarlos. En primer lugar se trata de números
racionales (fraccionarios), por lo que el término general deberá ser también un número fraccionario.
Al ser una fracción podríamos, por ejemplo, ver que características tienen, por un lado los numer-
adores y por otro los denominadores. En el ejemplo los numeradores son naturales consecutivos
que comienzan en 2 y podríamos caracterizarlo por ejemplo con un índice k: Los denominadores
son naturales impares consecutivos que comienzan en 5 por lo que podríamos caracterizarlos por
2k+1 (forma genérica de un número impar en Z) .De esta manera, el término genérico de la suma
podría expresarse como.
k
2k + 1
Deberíamos ver ahora cuales son los valores extremos que debe tomar el índice k de forma que
su variación desde su valor inicial hasta su valor �nal permita reproducir todos y cada uno de los
términos de la suma.
La cantidad de términos de la suma nos dará una idea de ello, aunque también debe tenerse
en cuenta cuál es el primer valor del índice a tomar. Por ejemplo, si la cantidad de términos de la
suma es N y el valor inicial del índice es 1; el valor �nal del índice será n = N . Si el valor inicial
del índice es 0, entonces el valor �nal será n = N + 1: En general si el valor inicial del índice es j
el valor �nal será n = N + j � 1:
Aplicando al ejemplo propuesto tenemos: N = 5; j = 2 entonces n = 5 + 2� 1 = 6
6P
k=2
k
2k + 1
=
2
2 � 2 + 1 +
3
2 � 3 + 1 +
4
2 � 4 + 1 +
5
2 � 5 + 1 +
6
2 � 6 + 1 =
=
2
5
+
3
7
+
4
9
+
5
11
+
6
13
: Entonces:
2
5
+
3
7
+
4
9
+
5
11
+
6
13
=
6P
k=2
k
2k+1
Ejemplo 2: Sea ahora la misma suma anterior pero con términos de signo alternado, es decir:
2
5
� 3
7
+
4
9
� 5
11
+
6
13
Lo único que cambia respecto al anterior ejemplo es lo relativo a los signos de los términos
de la suma. Por lo tanto, todo el análisis realizado para obtener el término general no cambia.
Solo resta acomodar el asuntito del signo. Dijimos que ello se resuelve incorporando una potencia
de base negativa que en este caso, debe comenzar con un exponente par, debido a que el signo
del primer término de la suma es positivo. Como además queremos queno modi�que el término
general, que sabemos ya anda bien, el resultado de la potencia sólo debe modi�car el signo, esto
se consigue si la base es (�1): Así tendremos que:
3
6P
k=2
(�1)k k
2k + 1
= (�1)2 2
2 � 2 + 1+(�1)
3 3
2 � 3 + 1+(�1)
4 4
2 � 4 + 1+(�1)
5 5
2 � 5 + 1+(�1)
6 6
2 � 6 + 1 =
=
2
5
� 3
7
+
4
9
� 5
11
+
6
13
: Entonces
2
5
� 3
7
+
4
9
� 5
11
+
6
13
=
6P
k=2
(�1)k k
2k + 1
Ejercicio 2:
¿Qué debemos hacer?. Escribir una matriz Am�n = (aij) de cierto tamaño. Para ello nos
de�nen su elemento general (genérico) en función de los índices que indican su posición en el
arreglo (�la y columna). Debemos responder la siguiente pregunta ¿qué es una matriz?. Si
recordamos esta de�nición veremos que una matriz Am�n = (aij) es un arreglo rectangular (tabla
de doble entrada) de números organizados en �las y columnas cuyo elemento general aij dependerá
por lo tanto de dos índices i; j que simbolizan la �la y la columna que ocupa ese elemento en el
arreglo o matriz. Así por ejemplo a24 representa el elemento de la matriz que ocupa la �la 2 y la
columna 4. La variación de los índices i; j, al ser Am�n (matriz de m �las y n columnas) serán:
1 � i � m y 1 � j � n:
Respondemos ahora la pregunta ¿Cómo lo hacemos?. Lo único que hay que realizar, una vez
que se tiene claro la de�nición de matriz, es asignar a los índices i y j los valores numéricos desde
los iniciales hasta los �nales, de acuerdo al tamaño de la matriz pedida y a la de�nición dada para
ella. Luego calcular cada uno de los términos de la matriz, utilizando la expresión que de�ne el
término general de la matriz.
Ejemplo 1
Encuentra la matriz A2�3 = (aij) tal que:
�
aij = 0 si i < j
aij = i+ j si i > j
Por ser A2�3; tiene 2 �las y 3 columnas. Entonces 1 � i � 2 y 1 � j � 3 entonces:
A =
�
a11 a12 a13
a21 a22 a23
�
Solo resta ver para cada aij en cuál de las dos partes de la de�nición se ubica, según el valor
de los índices i; j y calcular su valor: Así tendremos que:
Para a11 como i = j = 1 ) a11 = i+ j = 1 + 1 = 2) a11 = 2
Para a12 como i = 1 ^ j = 2) i < j ) a12 = 0
Para a13 como i = 1 ^ j = 3) i < j ) a13 = 0
Para a21 como i = 2 ^ j = 1) i > j ) a21 = i+ j = 2 + 1 = 3) a21 = 3
Para a22 como i = j = 2 ) a22 = i+ j = 2 + 2 = 4) a22 = 4
Para a23 como i = 2 ^ j = 3) i < j ) a23 = 0
Por lo tanto:A =
�
2 0 0
3 4 0
�
Ejemplo 2: Encuentra la matriz A3�3 = (aij) talque:
8<:
aij = 2i� j si i > j
aij = 2 si i = j
aij = i
2 � j2 si i < j
1 � i � 3 y 1 � j � 3 y será A =
0@ a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
1A
Para a11 como i = j = 1 ) a11 = 2
Para a12 como i = 1 ^ j = 2) i < j ) a12 = i2 � j2 = 12 � 22 = �3) a12 = �3
Para a13 como i = 1 ^ j = 3) i < j ) a13 = i2 � j2 = 12 � 32 = �8) a13 = �8
4
Para a21 como i = 2 ^ j = 1) i > j ) a21 = 2i� j = 2 � 2� 1 = 3) a21 = 3
Para a22 como i = j = 2 ) a22 = 2
Para a23 como i = 2 ^ j = 3) i < j ) a23 = i2 � j2 = 22 � 32 = �5) a23 = �5
Para a31 como i = 3 ^ j = 1) i > j ) a31 = 2 � 3� 1 = 5) a31 = 5
Para a32 como i = 3 ^ j = 2) i > j ) a32 = 2 � 3� 2 = 4) a32 = 4
Para a33 como i = j = 3 ) a33 = 2
Entonces: A =
0@ 2 �3 �83 2 �5
5 4 2
1A
Ejercicios: 3, 6 a) y 8 a)
Como siempre, de la lectura de la consigna se obtiene el ¿qué hay que hacer?. Dadas algunas
matrices, realizar una serie de ejercicios que combinan distintas operaciones con matrices como ser
suma, producto de una matriz por un escalar, producto de matrices, etc.
Para ver ¿cómo lo hacemos?, observamos las operaciones que hay que realizar, con lo que sur-
gen naturalmente entre otras, las siguientes preguntas. ¿Cómo se suman matrices? ¿Cómo se
multiplican matrices? ¿Cómo se multiplica un escalar por una matriz?. ¿Cómo se en-
cuentra la transpuesta de una matriz?. Para responderlas debemos recordar las de�niciones
de las distintas operaciones y las propiedades que gozan tales operaciones.
Recuerda que tales operaciones no siempre están de�nidas. Así la suma de dos matrices solo
está de�nida si tienen el mismo tamaño y el producto de dos matrices solo sí el número de columnas
de la primera es igual al número de �las de la segunda. Así que a estar atento a este asunto, cuando
haya que resolver operaciones combinadas de matrices. Veamos algunos ejemplos que sirvan para
ilustrar lo expresado.
Dadas las siguientes matrices:
A =
�
1 3
2 0
�
B =
�
2 �2
�1 3
�
C =
�
1 0 1
�1 1 2
�
D =
�
1 1 �1
1 0 3
�
Ejemplo 1 Calcula, de ser posible: A+B y AC
Como A y B tienen el mismo tamaño, su suma está de�nida. Recordando la de�nición de
suma. Dadas A = (aij) , B = (bij) del mismo tamaño, entonces está de�nida la matriz suma
C = (cij) = A+B con cij = aij + bij 8i8j:
A+B =
�
1 3
2 0
�
+
�
2 �2
�1 3
�
=
�
1 + 2 3 + (�2)
2 + (�1) 0 + 3
�
=
�
3 1
1 3
�
Para calcular AC; como el número de columnas de A que es 2 es igual al número de �las de C
que es 2; el producto AC está de�nido. Si recordamos la de�nición de producto de matrices
Dadas Am�n = (aij) y Bp�q = (bij) si n = p entonces la matriz producto C = AB está de�nida
y Cm�q = (cij) donde cij =
nP
k=1
aikbkj 8i8j
Si desarrollamos la sumatoria y evaluamos la suma obtendríamos todos y cada uno de los
elementos de la matriz producto. Observa que de la de�nición, podemos ver que para encontrar
la matriz producto AB se multiplica cada �la de la matriz A por cada una de las columnas de la
matriz B: La forma de hacer este producto, es multiplicando cada elemento de la �la de A por el
respectivo elemento de la columna de B y luego sumando esos productos. Si denotamos a �la i de
A con FAi y a la columna j de B con C
B
j tendremos que:
c11 =
nP
k=1
a1kbk1 = a11b11 + a12b21 + � � �+ a1nbn1 = FA1 CB1
5
c12 =
nP
k=1
a1kbk2 = a11b12 + a12b22 + � � �+ a1nbn2 = FA1 CB2
c1n =
nP
k=1
a1kbkn = a11b1n + a12b2n + � � �+ a1nbnn = FA1 CBn
De igual manera será con cada una del resto de las �las, las que se multiplicarán por todas y
cada una de las columnas.
En general se tendrá: cij =
nP
k=1
aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + � � �+ ainbnj = FAi CBj 8i8j
Volvamos al ejemplo y calculemos la matriz producto. Llamando AC = P como A2�2 y
C2�3 ) P2�3
P = AC =
�
1 3
2 0
��
1 0 1
�1 1 2
�
=
�
�2 3 7
2 0 2
�
A modo de ejemplo mostramos el cálculo de alguno de los elementos de P = (pij).
p11 =
2P
k=1
a1kck1 = a11c11 + a12c21 = 1 � 1 + 3(�1) = 1� 3 = �2
p23 =
2P
k=1
a2kck3 = a21c13 + a22c23 = 2 � 1 + 0 � 2 = 2� 0 = 2
Ejemplo 2: Calcula A+ 2B � C
Esta expresión no está de�nida ya que las matrices A; (2B) y C no tienen el mismo tamaño.
En fecto A2�2; B2�2 ) (2B)2�2 y C2�3: Así que no es posible calcular lo pedido.
Ejemplo 3: Calcula 2B + CDT
Primero veamos si la operación está de�nida. B2�2 ) (2B)2�2; C2�3; D2�3:
Como D2�3 ) (DT )3�2; Como C2�3 y (DT )3�2;, entonces CDT está de�nida y (CDT )2�2.
Como (2B)2�2 y (CDT )2�2, entonces 2B + CDT está de�nida y (2B + CDT )2�2:
La expresión está de�nida, podemos realizar lo pedido.
D =
�
1 1 �1
1 0 3
�
) DT =
0@ 1 11 0
�1 3
1A
) 2B + CDT = 2
�
2 �2
�1 3
�
+
�
1 0 1
�1 1 2
�0@ 1 11 0
�1 3
1A
) 2B + CDT =
�
4 �4
�2 6
�
+
�
0 4
�2 5
�
=
�
4 0
�4 11
�
Ejemplo 4: Resolver la siguiente ecuación matricial en la variable X: 2X + A = B + 2AT
Para que la ecuación esté de�nida, debe ocurrir que las matrices que intervienen como sumandos
en la ecuación, 2X, A;B y 2AT tengan el mismo tamaño. De esta manera, la matriz X existirá y
tendrá el mismo tamaño que las dadas y podremos realizar las operaciones algebraicas para poder
encontrar X:
6
2X + A = B + 2AT
) 2X + A+ (�A) = B + 2AT + (�A) Existencia del opuesto y propiedad uniforme
) 2X +� = B + 2AT + (�A) Existencia y def. de opuesto de la suma de matrices
) 2X = B + 2AT + (�A) De�nición de neutro de la suma de matrices
) 2�12X = 2�1[B + 2AT + (�A)] Existencia de inverso del producto en R
) 1 �X = 1
2
[B + 2AT + (�A)] De�nición de inverso del producto en R
) X = 1
2
[B + 2AT + (�A)] Neutro del producto de un escalar por una matriz
Como podemos ver, hemos encontradoX en función de las matricesA;B y AT . Para determinar
su valor, bastará realizar las operacionescon las matrices A;B dadas. Queda como ejercicio realizar
esos cálculos.
Ejemplo 5: Dada M =
�
h+ k h� k
2 h+ 2
�
Determina, justi�cando tu respuesta, si existen valores de los parámetros h; k tales queM = A
Recordando la de�nición de igualdad de matrices, vemos que se cumple la primera condición,
las matrices tienen el mismo tamaño. Así bastará hacer que se cumpla la segunda condición de la
de�nición, esto es que tengan los mismos elementos. Entonces:�
h+ k h� k
2 h+ 2
�
=
�
1 3
2 0
�
)
8>><>>:
h+ k = 1
h� k = 3
2 = 2
h+ 2 = 0
)
8<:
h+ k = 1
h� k = 3
h = �2
Resolviendo el sistema por Gauss tenemos:0@ 1 1 11 �1 3
1 0 �2
1A �
0@ 1 1 10 �2 2
0 �1 �3
1A �
0@ 1 1 10 �2 2
0 0 8
1A
El sistema escalonado es:
8<:
h+ k = 1
�2k = 3
0k = 8
Como vemos, en el sistema escalonado, su última ecuación es una inconsistencia, ya que 0k = 0
8k; por lo que el sistema es inconsistente. Es decir, no existen valores de h; k tales que M = A
Ejemplo 6: Decide justi�cando tu respuesta si la matriz A dada más arriba es un cero del
polinomio p(x) = x2 + 3x+ 2
¿Qué debemos hacer?. Decidir justi�cando la respuesta si A es un cero de un polinomio p(x)
dado. Así que es necesario responder la pregunta ¿qué es una raíz de un polinomio?. Para
ver ¿cómo lo vamos a hacer?, debemos responder la pregunta ¿cómo determinamos si algo
es un cero de un polinomio? responder la primera pregunta es recordar la de�nición de cero o
raíz de un polinomio (¿la recuerdas?) Recordémosla: Dado un polinomio p(x) en la variable x
en un cierto dominio, como por ejemplo el conjunto de los números reales. Decimos que a 2 R es
un cero o raíz de p(x) si y solo si p(a) = 0
Ahora bien, el polinomio p(x) = x2 + 3x � 2 tiene su dominio en R y queremos cambiar su
dominio a R2�2 ya que estamos averiguando si A 2 R2�2 es o no un cero del polinomio. En este
caso debemos tener en cuenta que si reemplazamos x = A en el polinomio el resultado debe ser
un elemento de R2�2 por lo que el término constante 2 que en los reales esta multiplicado por el
neutro del producto en R (que es 1) debemos multiplicarlo por el neutro del producto de matrices
en R2�2 (que es la matriz identidad I2�2): Así tendremos:
p(A) = A2 + 3A+ 2I
7
p(A) =
�
1 3
2 0
��
1 3
2 0
�
+ 3
�
1 3
2 0
�
+ 2
�
1 0
0 1
�
p(A) =
�
7 3
2 6
�
+
�
3 9
6 0
�
+
�
2 0
0 2
�
=
�
12 12
8 8
�
6=
�
0 0
0 0
�
Como p(A) 6= � (neutro de la suma en R2�2) entonces podemos decir que la matriz A no es
un cero del polinomio dado.
Ejercicios 4 y 14
En ambos ejercicios el ¿qué debemos hacer? consiste en, dada una proposición, decidir, jus-
ti�cando la respuesta, su verdad o falsedad. ¿Cómo lo hacemos?. Para ello debemos recordar
nuestros conocimientos de lógica, sobre todo lo relacionado con el valor de verdad de una impli-
cación. Ya hablamos bastante de ello en el Tutorial 1 así que si aun no lo tienes claro ,vuelve a él
y repasa sobre el tema. Podemos agregar a lo que ya dijimos que cuando debemos decidir la verdad
o falsedad de una proposición, y nuestra intuición nos dice que la proposición es falsa pero se nos
hace difícil encontrar el contraejemplo que lo justi�que, una forma de poder encontrarlo, es intentar
demostrar que la proposición es verdadera. Seguro que en este intento de mostrarlo, en el proceso
de demostración, la verdad de alguna secuencia del razonamiento lógico, estará condicionada (no
vale siempre). Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1. Decide, justi�cando tu respuesta, la verdad o falsedad de la siguiente proposición:
Si A;B 2 Rn�n, entonces (AB)2 = A2B2
Vamos a tratar de demostrar la implicación por el método directo. Partimos de la verdad de
la hipótesis y trataremos de demostrar la verdad de la tesis. Como la tesis es una igualdad, vamos
a tomar el primer miembro de esa igualdad y tratar de probar que se puede transformar en el
segundo miembro (¡cuidado!, a no confundirte, no estamos partiendo de la verdad de la tesis ya
que ella a�rma que la igualdad es verdadera)
(AB)2 = (AB)(AB) por de�nición de potencia
=) (AB)2 = A(BA)B Asociativa del producto de matrices
Si observamos el segundo miembro de la última igualdad y lo comparamos con el segundo
miembro de la tesis, podemos ver que sólo podremos llegar a este último si AB = BA: Pero
la hipótesis de la implicación no dice que las matrices A;B son conmutables, por lo tanto la
implicación sólo es verdadera para aquellas matrices A;B que conmutan. Como no siempre el
producto de dos matrices es conmutativo, podemos decir que la proposición es falsa ya que no se
cumple para cualquier par de matrices cuadradas.
Así que, ya tenemos un indicio para dar el contraejemplo. Bastará pensar dos matrices que no
sean conmutables. Para ello hay que pensar en aquellas matrices cuadradas mas simples tanto en
el orden como en sus elementos. El menor orden posible es 2 y matrices simples son las que tienen
en muchos de sus elementos valores 0 o 1
Sean A =
�
1 0
1 0
�
y B =
�
1 1
0 1
�
Tenemos que:
AB =
�
1 0
1 0
��
1 1
0 1
�
=
�
1 1
1 1
�
y BA =
�
1 1
0 1
��
1 0
1 0
�
=
�
2 0
1 0
�
6= AB
De esta manera, estamos seguros de que la igualdad (AB)2 = A2B2 no se cumple. En efecto
A2 = AA =
�
1 0
1 0
��
1 0
1 0
�
=
�
1 0
1 0
�
y B2 = BB =
�
1 1
0 1
��
1 1
0 1
�
=
�
1 2
0 1
�
8
A2 B2 =
�
1 0
1 0
��
1 2
0 1
�
=
�
1 2
1 2
�
y (AB)2 =
�
1 1
1 1
��
1 1
1 1
�
=
�
2 2
2 2
�
6= A2
B2
Ejemplo 2: Consigna similar a la del ejemplo 1 para la proposición:
Si A 2 Rn�n tal que A2 = A entonces A = �
Si observamos la hipótesis de la implicación, vemos que esta es verdadera para A = �, por lo
que la tesis también será verdadera, y en consecuencia lo será la implicación, proposición cuyo valor
de verdad debemos decidir si es V o F. Pero la proposición dice que es para toda matriz cuadrada, y
A = � es solo un caso particular. Así que debemos preguntarnos ¿hay alguna matriz cuadrada
cuya potencia 2 es ella misma pero que no sea la nula?. Si eso pasara, tendríamos que la
hipótesis de la implicación es verdadera pero la tesis es falsa, por lo que la implicación será falsa.
Si recordamos un poco, la de�nición de potencia de matrices nos dice que es el producto de
la matriz consigo misma la cantidad de veces que indica el exponente. Así que la hipótesis será:
AA = A
Si recordamos un poco más, veremos que hay un producto de dos matrices cuadradas cuyo
resultado es la misma matriz. ¿Recuerdas algo acerca de alguna matriz que al multiplicarse por
cualquier matriz da como resultado esa matriz?. Seguro que ya lo has hecho, ¡claro que sí! esa
matriz es el neutro del producto de matrices cuadradas, que no es otra que la matriz
identidad. Por lo tanto si A = I ) A2 = I2 = I = A pero A = I 6= �: En consecuencia se
cumple que la hipótesis es verdadera pero la tesis es falsa y por lo tanto la implicación es falsa.
Ejemplo 3: Consigna similar a la del ejemplo 1 para la proposición:
Dadas A =
�
2 k + 1
k � 2 k2
�
, B =
�
2 1
�2 k
�
y C =
�
0 2
2 0
�
entonces existen valores del
parámetro k tal que C = A�B
Como C tiene igual tamaño que A y B se cumple la primera parte de la de�nición de igualdad.
Solo resta ver si las componentes de C y A�B son iguales para algún valor de k:
Veamos: A�B =
�
2 k + 1
k � 2 k2
�
�
�
2 1
�2 k
�
=
�
0 k
k k2 � k
�
C = A�B )
�
0 k
k k2 � k
�
=
�
0 2
2 0
�
) 0 = 0 ^ k = 2 ^ k = 2 ^ k2 � k = 0
La primera igualdad es una identidad, asi que es siempre verdadera cualquiera sea k:
Si reemplazamos k = 2 (dado por la 2da y 3ra igualdad) en la 4ta igualdad k2�k = 0 tenemos
que: 22 � 2 = 4� 2 = 2 6= 0
Por lo tanto, al no veri�carse la cuarta igualdad, podemos decir que el sistema de 4 ecuaciones
en la incógnita k es inconsistente y en consecuencia 8k 2 R, C 6= A�B: Es decir no existe ningún
valor de k tal que C = A�B: Así que la proposición es Falsa.
Ejemplo 4: Consigna similar a la del ejemplo 1 para la proposición:
Si A;B 2 Rn�n ^ AB = BA, entonces (A+B)2 = A2 + 2AB +B2
Si recordamos la expresión del trinomio cuadrado perfecto en el conjunto de los reales, y lo
asociamos con la igualdadque es la tesis de la implicación, vemos que son similares con la única
diferencia que ahora son matrices cuadradas. En los reales esta igualdad es verdadera gracias
a que la operacion producto en R es conmutativa. Sabemos que el producto de matrices no es
9
conmutativo. Así que, si la proposición estaria enunciada para el conjunto de matrices cuadradas
sería Falsa. Pero observemos que la hipótesis ademá incluye la información de que son matrices
conmutables, por lo tanto y en concordancia con lo que ocurre en los reales esta igualdad será
verdadera. Veamos como lo demostramos.
(A+B)2 = (A+B)(A+B) Por de�nición de potencia de matrices
) (A+B)2 = (A+B)A+ (A+B)B Por propiedad distributiva a izquierda
) (A+B)2 = AA+BA+ AB +BB Por propiedad distributiva derecha y a izquierda
) (A+B)2 = A2 + AB + AB +B2 Por def de potencia, e hipótesis AB = BA
) (A+B)2 = A2 + (1 + 1)AB + AB +B2 Por propiedad 1A = A y distributiva del
producto respecto a la suma de escalares
) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2 Por suma en R
Hemos transformado el primer miembro en el segundo miembro, por lo que hemos demostrado
que la igualdad es verdadera. Así que podemos decir que la proposición es verdadera.
Ejercicio 5:
¿Qué debemos hacer?. Dar de�niciones de ciertas matrices especiales y dar un ejemplo de cada
una de ellas. ¿Cómo lo hacemos?. Bastará con recordar tales de�niciones o repasar el resumen
teórico del tema para realizar este ejercicio. Es similar al ejercicio2 con la única diferencia que
ahora debemos recordar la de�nición de la matriz y tomar un ejemplo particular que cumpla esa
de�nición.
Ejercicios 6 b), 8 b), 10, 11 y 12 a)
El ¿qué hay que hacer? es común para todos estos ejercicios. Debemos demostrar la verdad
de una proposición (implicación o teorema) ¡Sonamos!, realizar la tarea implica realizar las tan
temidas y odiosas demostraciones. Ya hablamos del asunto en el tutorial 1. No hay que temerles
ni hacerles mala fama a las demostraciones, no son más que otras de las tantas actividades que
como estudiantes vamos a desarrollar, por lo tanto a no eludir la tarea y a enfrentarlas que se
puede.
Ya dijimos que para las demostraciones no hay reglas que sirvan para todas, aunque hay siempre
consideraciones que no debemos dejar de hacer.
1) No vamos a demostrar nada si no estamos convencido de que podemos hacerlo.
2) Las herramientas necesarias para hacerlo son todos aquellos conceptos que están involucrados
en lo que debemos demostrar, obviamente que hay que tenerlas y saberlas usar.
3) Analizada la proposición, hay que elegir el método de demostración a utilizar.
4) En el proceso de demostración nunca hay que perder de vista lo qué tenemos (hipótesis) y
a donde queremos llegar (tesis) en cada paso del proceso de demostración.
5) Siempre hay que justi�car cada paso del proceso. Para ello hay que preguntarse siempre
¿por qué? hacemos o decimos esto o aquello.
6) En cada paso del proceso de demostración, pensar, analizar, hacer.
7) Perderle el miedo y practicar, practicar,......., practicar.
8) Nunca hay que memorizar una demostración hecha por otro sino analizarla y tratar de
comprenderla.
Veamos algunos ejemplos que sirvan para ilustrar.
Ejemplo 1 Demuestra que la suma de dos matrices simétricas es una matriz simétrica
¿Qué debemos hacer?. Demostrar que la suma de matrices simétricas da como resultado
otra matriz simétrica. Para ver ¿cómo lo vamos a hacer?, en primer lugar vemos que hay que
demostrar la verdad de una implicación. Así que lo primero que hay que distinguir es antecedente
(hipótesis) y consecuente (tesis) de la implicación. En segundo lugar debemos ver qué conceptos
están involucrados tanto en la hipótesis como en la tesis, a �n de tener claro que es lo que tenemos
10
(hipótesis) y a que es lo que queremos llegar (tesis). Por último debemos decidir cuál es el método
que vamos a utilizar en la demostración.
Si recordamos la de�nición de matriz simétrica y llamamos A y B a las matrices simétricas cuya
suma debemos demostrar que es también una matriz simétrica, tendremos que la implicación
escrita en forma simbólica es: A = AT ^B = BT ) (A+B) = (A+B)T
Elegimos el método directo para la demostración (el por qué de su elección se debe a que
analizada la hipótesis y la tesis, y recordando las propiedades de la transpuesta, se puede visualizar
que es adecuado para realizar la demostración). Recordemos que en el método directo partimos
de la verdad de la hipótesis y debemos mediante deducciones lógicas, probar la verdad de la tesis,
con lo cual habremos demostrado la verdad de la implicación.
Demostración:
A = AT (1) ^ B = BT (2) Por hipótesis
) A+B = AT +BT Sumando miembro a miembro (1) y (2)
) A+B = (A+B)T Prop. de la traspuesta de la suma (A+B)T = AT +BT
) (A+B) es simétrica De�nición de matriz simétrica
Asumiendo la verdad de la hipótesis hemos concluido la verdad de la tesis, así que hemos
probado la verdad de la implicación.
Muchas veces debemos demostrar la verdad de una proposición que depende de un índice nat-
ural, por lo que hay que recurrir al método de inducción matemática (¿lo tienes?). Recordémoslo
juntos.
El método de inducción matemática, permite demostrar la verdad de una proposición que
depende de un índice cuyo dominio es el conjunto de los números naturales o un subconjunto
in�nito de los números naturales. En su forma más simple dice que: Dada p(n) con n 2 A�N
(subconjunto in�nito de los naturales) entonces:
1) v[p(1)] = V
2) v[p(k) =) p(k + 1)] = V
�
=) v[p(n)] = V 8n 2 A
Es decir, para demostrar que p(n) es verdadera cualquiera sea n del dominio de p(n); basta
con veri�car dos cosas:
1) Que p(n) es verdadera para el primer elemento del dominio A:
2) Suponiendo que p(n) es verdadera para n = k, se prueba que es verdadera para el siguiente
elemento:
A p(k) se la denomina Hipótesis Inductiva debido a que es la hipótesis de la implicación
dada por 2) cuyo valor de verdad debemos probar que es verdadero. Para ello, utilizando el método
directo, suponemos que es verdadera la hipótesis p(k) y con ello probamos la verdad de la tesis
p(k + 1)
Veamos algunos ejemplos ilustrativos:
Ejemplo 2: Demuestra que 8n 2 N , 1 + 2 + 3 + � � �+ n = 1
2
n(n+ 1)
Aquí p(n) : 1 + 2 + 3 + � � �+ n = 1
2
n(n+ 1) y A =N (los naturales)
Veri�camos el cumplimiento de 1) p(1) : 1 =
1
2
� 1(1 + 1) ) 1 = 1
2
� 2 ) 1 = 1 que es una
igualdad verdadera, por lo que v [p(1)] = V . Se cumple 1)
11
Demostremos que se cumple 2): Para ello, como debemos demostrar que el valor de la impli-
cación p(k)) p(k + 1) es verdadero para todo k, debemos, por el método directo, demostrar que
si p(k) es verdadera entonces también debe ser verdadera p(k + 1):
Escribamos las proposiciones p(k) y p(k + 1) a los efectos de poder ver que es lo que se tiene
(hipótesis) y que es lo que se debe probar (tesis).
p(k) : 1 + 2 + � � �+ k = 1
2
k(k + 1) (hipótesis inductiva)
p(k + 1) : 1 + 2 + � � �+ k + (k + 1) = 1
2
(k + 1)[(k + 1) + 1] que podemos escribir como:
p(k + 1) : 1 + 2 + � � �+ k + (k + 1) = 1
2
(k + 1)(k + 2) Tesis.
Es decir debemos partir de v [p(k)] = V lo que es equivalente a decir que: 1 + 2 + � � � + k =
1
2
k(k + 1) y probar que:
v [p(k + 1)] = V , lo que es equivalente a decir que: 1 + 2+ � � �+ k+ (k+ 1) = 1
2
(k+ 1)(k+ 2):
Es importante, en el proceso de demostración, no perder de vista a lo que se quiere llegar, ya
que de esa forma vamos a realizar los pasos necesarios para lograrlo.
v [p(k)] = V hipótesis inductiva
) 1 + 2 + � � �+ k = 1
2
k(k + 1) Verdadera por Hipótesis Inductiva
) 1 + 2 + � � �+ k + (k + 1) = 1
2
k(k + 1) + (k + 1) Prop. uniforme sumando (k + 1)
) 1 + 2 + � � �+ k + (k + 1) = (k + 1)(1
2
k + 1) Factor común (k + 1) en el 2do miembro
) 1 + 2 + � � �+ k + (k + 1) = (k + 1)(1
2
(k + 2)) Factor común
1
2
en el 2do miembro
) 1 + 2 + � � �+ k + (k + 1) = 1
2
(k + 1)(k + 2) Conmutativa del producto en R
) v [p(k + 1)] = V
Se ha probado que se cumple tanto 1) como 2) por lo que podemos a�rmar que 8n; v [p(n)] = V
es decir 8n 2 N v
�
1 + 2 + 3 + � � �+ n = 1
2
n(n+ 1)�
= V
Existe la tendencia en los estudiantes que recién se están familiarizando con este método, a
creer que el paso 1) es veri�car que la proposición se cumple para n = 1. Ésto no siempre es así, ya
que en el caso de que el dominio establecido para la función proposicional no sea todo el conjunto
de los números naturales, sino algún subconjunto in�nito de N, el primer elemento no será 1. Por
lo tanto, lo que indica 1) es que la proposición se cumple para el primer elemento del dominio de
la función proposicional que puede o no ser 1. Veamos un ejemplo.
Ejemplo 3: Demuestra por inducción 8n 2 N, n > 2; 2n > 2n+ 1
Aquí el dominio de la función proposicional p(n) es: fx 2 N= x > 2g : Veri�car que se cumple
1); es equivalente a veri�car que la proposición es verdadera para el primer elemento del dominio.
En este caso el primer elemento es n = 3 por lo que:
p(1) : 23 > 2 � 3 + 1) 8 > 7 es Verdadero ) v(p(1)) = V: Se cumple 1):
Veamos que se cumple 2) en todo el proceso debemos tener en cuenta que k > 2
12
v [p(k)] = V Hipótesis Inductiva
) 2k > 2k + 1 Verdadera por H.I.
) 2 � 2k > 2 � (2k + 1) Prop. consistencia del producto en R
) 2k+1 > 4k + 2 Potencia de igual base y dist. en R
) 2k+1 > 2k + 2k + 2 Prop asociativa de la + en R
) 2k+1 > (2k + 2) + 2k Prop. conmut y asoc.de + en R
) 2k+1 > 2(k + 1) + 2k Prop. dist. en R
como k > 2) 2k > 2 � 2 Prop uniforme del producto en R
) 2k > 4 producto en R
como 4 > 1 orden en R
) 2k > 1 Prop transitiva en R
) 2(k + 1) + 2k > 2(k + 1) + 1 Prop transitiva en R
como 2k+1 > 2(k + 1) + 2k por paso 7
) 2k+1 > 2(k + 1) + 1 tPropo transitiva en R
) 8k > 2; 2k+1 > 2(k + 1) + 1
) v [p(k + 1)] = V
Se ha probado que se cumple 1) y 2) entonces podemos a�rmar que 8n; v [p(n)] = V , es decir:
Hemos demostrado por inducción, que la proposición: 8n 2 N; n > 2, 2n > 2n+1 es verdadera
Ejemplo 4: Demuestra que 8A;B 2 Rn�n, Si AB = BA =) AnB = BAn^ ABn = BnA
8n 2 N y n > 2
Sabiendo que AB = BA; debemos probar la verdad de la proposición P (n) : AnB = BAn^
ABn = BnA 8n 2 N y n > 2.
Como la proposición depende de un índice n, debemos demostrar utilizando el método de
inducción matemática, que como vimos más arriba, requiere probar dos cosas:
1) v[P (1)] = V
El primer valor es n = 2, entonces P (1) : A2B = BA2 ^ B2A = AB2
A2B = AAB ^B2A = BBA De�nición de potencia en Rn�n
=) A2B = A(AB) ^B2A = B(BA) Prop asociativa del producto en Rn�n
=) A2B = A(BA) ^B2A = B(AB) Por hipótesis AB = BA
=) A2B = (AB)A ^ B2A = (BA)B Prop asociativa del producto en Rn�n
=) A2B = (BA)A ^ B2A = (AB)B Por hipótesis AB = BA
=) A2B = B(AA) ^ B2A = A(BB) Prop asociativa del producto en Rn�n
=) A2B = BA2 ^ B2A = AB2 De�nición de potencia en Rn�n
=) v[P (1)] = v
2) v[p(k) =) p(k + 1)] = V
Suponemos que la proposición es verdadera para un valor n = k > 2. (Hipótesis Inductiva).
Es decir Si n = k, AkB = BAk ^ BkA = ABk es verdadera.
Debemos probar que la proposición es verdadera para el siguiente valor de k; es decir debemos
probar que v[ p(k + 1)] = V
Así que, debemos probar que: Ak+1B = BAk+1 ^ Bk+1A = ABk+1: Hagámoslo
13
AkB = BAk ^ BkA = ABk Hipótesis Inductiva
=) AAkB = ABAk ^ BBkA = BABk Premultiplicamos por A y por B resp.
=) (AAk)B = (AB)Ak ^ (BBk)A = (BA)Bk Asociativa del producto en Rn�n
=) Ak+1B = (BA)Ak ^ (Bk+1)A = (AB)Bk Def de potencia e hipótesis AB = BA
=) Ak+1B = B(AAk) ^ Bk+1A = A(BBk) Asociativa del producto en Rn�n
=) Ak+1B = BAk+1 ^ Bk+1A = ABk+1 Def. de potencia
=) v[P (k + 1)] = V
=) v[P (k) =) P (k + 1)] = V
En consecuencia hemos demostrado que 8A;B 2 Rn�n, Si AB = BA =) AnB = BAn^
ABn = BnA 8n 2 N y n > 2
Ejercicios 7 y 9
Si analizamos las consignas de éstos ejercicios, podemos ver que en cada uno de ellos el ¿qué?
de la tarea, está relacionado con el concepto de inversa de una matriz. El ¿cómo lo vamos a hacer?
dependerá de cada una de las consignas.
En el ejercicio 7 a) debemos determinar, si es posible, la inversa de la matriz utilizando la
de�nición. En consecuencia queda también determinado el ¿cómo lo vamos a hacer? -utilizando
la de�nición. Por lo tanto se hace necesario recordar la de�nición de inversa de una matriz,
recordémosla. Dada una matriz A 2 Rn�n; decimos que A es inversible (tiene inversa) si 9B 2 Rn�n
tal que: AB = BA = I (I 2 Rn�n matriz identidad). En este caso se dice que B es la inversa de
A y se simboliza por B = A�1:
La consigna no asegura que podamos determinar la inversa pedida ya que pide encontrarla, si
existe. Además aunque no lo explicite, debemos justi�car la respuesta, es decir tanto si decimos
que tiene o que no tiene inversa, debemos decir el por qué de nuestra respuesta. De esta manera se
hace necesario responder algunas otras preguntas como ser: ¿Cuando decimos que una matriz
tiene inversa? ¿Cómo se la determina? ¿Cualquier matriz tiene inversa? ¿Si una
matriz tiene inversa es única?.
Como podemos ver, la de�nición nos lleva a una ecuación matricial cuya incógnita es la matriz
inversa de la dada. Esta ecuación matricial, al aplicar la de�nición de igualdad de matrices, se
transforma en un sistema de ecuaciones lineales equivalente, cuya solución, si existe, nos propor-
ciona la inversa de la matriz dada.
Si recordamos un poco más, seguro se nos vendrá a la mente un teorema que a�rma: si una
matriz tiene inversa, esta es única. En consecuencia el sistema equivalente que mencionamos
más arriba, para que exista la inversa como exige la de�nición, no solo deberá tener solución, sino
que ésta debe ser única. Así que, para encontrar la inversa de una matriz mediante la de�nición,
solo debemos resolver el sistema de ecuaciones lineales que surge de la de�nición y ver si tiene
única solución. En este caso diremos que la matriz dada es inversible y podremos encontrar su
inversa hallando la solución del sistema.
En el ejercicio 7 b) para aquellas que sean inversibles se solicita lo mismo que en el 7 a)
pero ahora debemos hacerlo con otro procedimiento, usando operaciones elementales. La pregunta
a responder será ¿qué y cuáles son las operaciones elementales?. ¿Cómo se las utiliza
para determinar la inversa de una matriz?. Responderlas nos permitirá resolver lo pedido.
En el ejercicio 7 c) debemos veri�car que se cumple una igualdad en la que interviene el
concepto de inversa de un producto de matrices dadas. Luego debemos responder a la pregunta
si esta igualdad se veri�ca para cualquier par de matrices cuadradas, de igual orden, inversibles.
Bastará con recordar las propiedades de la inversa para dar y justi�car la respuesta.
En el Ejercicio 9, el ¿qué debemos hacer?, no di�ere demasiado del correspondiente al Ejer-
cicio 7 a). La diferencia con este, es que ahora la matriz dada tiene un parámetro en alguno de
14
sus elementos, por lo que el sistema que resulta de aplicar la de�nición de inversa, es un sistema
con parámetros. Se nos solicita que determinemos, si existen, valores de ese parámetro para que
la matriz sea inversible. En consecuencia tendremos que recordar que, para que una matriz sea
inversible, el sistema equivalente a la ecuación matricial resultante de la de�nición tenga solución
única, ya que como dijimos más arriba, si una matriz tiene inversa, esta es única. En de�nitiva
como la matriz contiene un parámetro, debemos determinar los valores del parámetro que hacen
que este sistema tenga única solución.
Veamos algunos ejemplos que clari�quen cada una de las situaciones.
Ejemplo 1: Determina, si existe, la inversa de las siguientes matrices:
A =
�
1 1
1 3
�
B =
�
1 1
1 1
�
a) Utilizando la de�nición. b) Utilizando operaciones elementales.
Para la matriz A si aplicamos la de�nición y llamando A�1 a la inversa de A y tomando
A�1 =
�
x y
z t
�
: Sabemos por de�nición que AA�1 = A�1A = I
AA�1 = I )
�
1 1
1 3
��
x y
z t
�
=
�
1 0
0 1
�
)
�
x+ z y + t
x+ 3z y + 3t
�
=
�
1 0
0 1
�
Si aplicamos la igualdad de matrices realizando la igualdad por columnas obtenemos el sistema
equivalente (4 ecuaciones con 4 incógnitas)
8>><>>:
x+ z = 1
x+ 3z = 0
y + t = 0
y + 3t = 1
�
�
x+ z = 1
x+ 3z = 0�
y + t = 0
y+ 3t = 1
Si observamos este sistema, vemos que las 2 primeras ecuaciones solo contienen a las variables
x, z y en cambio las 2 últimas solo contienen a las variables y; t. Por este motivo este sistema
puede separarse en dos sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas independientes (los indicados
a la derecha), cuyas soluciones nos darán la solución del anterior sistema de 4 ecuaciones con 4
incógnitas (el de la izquierda). Resolvamos éstos sistemas por Gauss. Observemos que ambos
sistemas tienen como matriz de coe�cientes la matriz A; y solo di�eren sus matrices ampliadas en
los términos independientes. Esto facilita la resolución ya que el proceso de escalonamiento es casi
el mismo.�
x+ z = 1
x+ 3z = 0
)
�
1 1 1
1 3 0
�
�
�
1 1 1
0 2 �1
�
)
�
x+ z = 1
2z = �1
El sistema es consistente ya que ninguna de sus ecuaciones es una inconsistencia. Hay N =
2� 2 = 0 variables libres, entonces el sistema tiene solución única. La determinamos:
de 2z = �1 ) z = �1
2
: Reemplazando en x+ z = 1) x� 1
2
= 1) x = 3
2�
y + t = 0
y + 3t = 1
)
�
1 1 0
1 3 1
�
�
�
1 1 0
0 2 1
�
)
�
y + t = 0
2t = 1
Haciendo el mismo análisis que para el anterior sistema, podemos decir que el sistema tiene
única solución. En consecuencia podemos decir que existe la inversa de A: Resolviendo tenemos:
15
2t = 1 ) t = 1
2
. Reemplazando en y + t = 0) y + 1
2
= 0) y = �1
2
En consecuencia la inversa de A será: A�1 =
�
x y
z t
�
=
�
3
2
�1
2
�1
2
1
2
�
Hemos resuelto lo pedido en a). A �n de controlar que hemos resuelto sin errores, veri�camos
el otro producto A�1A = I: Queda como ejercicio.
En el b) ¿qué debemos hacer?. Para las matrices inversibles (que determinamos en a)) de-
terminar su inversa utilizando las operaciones elementales. Para ver ¿cómo lo hacemos? solo
debemos recordar el procedimiento que permite encontrar la inversa de una matriz A mediante las
operaciones elementales. El mismo consiste en:
1) Construir la matriz (A=I) resultado de adicionarle a la matriz A a la derecha, la matriz
identidad del mismo orden que A:
2) Llevar la matriz (A=I) a su forma escalonada reducida por �las obteniendo de ese modo una
matriz de la forma (I=A�1):
Observación: En caso de que A no sea inversible, la matriz (A=I) no podrá llevarse a la forma
reducida por �las.
Las nuevas preguntas a responder son: ¿Cuándo se dice que una matriz está en la forma
escalonada reducida por �las?. ¿Cómo se reduce por �las una matriz?. Solo debemos
recordar algo que ya hemos realizado en elTutorial 1, cuando resolvimos un sistema por el método
de Gauss-Jordan (¿lo recuerdas?). Recordemos que una matriz escalonada reducida por �las es
una matriz escalonada y que cumple las siguientes condiciones:
2) Los pivots o entrada principal o cabeza de escalón en cada �la son todos iguales a 1.
3) Las columnas que contienen al pivot o entrada principal o cabeza de escalón de cada �la
tienen las demas componentes nulas.
Formamos la matriz (A I) y la llevemos a su forma escalonada reducida por �las.
(A I) =
�
1 1 1 0
1 3 0 1
�
�
�
1 1 1 0
0 2 �1 1
�
F 02=
1
2
F2�
�
1 1 1 0
0 1 �1
2
1
2
�
F 01=F1�F2�
�
1 0 3
2
�1
2
0 1 �1
2
1
2
�
Explicamos lo realizado en el procedimiento para reducir por �las a la matriz (A I) :
1. Pasamos de la 1ra a la 2da matriz aplicando el escalonamiento de Gauss.
2.- Pasamos de la 2da a la 3ra matriz realizando la operación elemental de multiplicar la 2da
�la por la constante
1
2
: Esto para lograr que el pivot o elemento principal de escalón de cada �la
sea 1
3.-Pasamos de la 3ra a la 4ta matriz realizando la operación elemental de reemplazar la 1ra
�la por la suma de ella más un múltiplo de la segunda: F 01 = F1 + (�1)F2. Esto lo hacemos para
hacer que las demás componentes de las columnas que contienen al pivot o elemento principal de
escalón de cada �la, sean todas nulas.
La 4ta matriz está en la forma escalonada reducida por �las ( la matriz A se ha convertido en
la identidad y la identidad se ha convertido en la inversa de A)
Puedes veri�car que efectivamente es la misma matriz (inversa de A) que hemos determinado
en a) utilizando la de�nición.
Para la matriz B
BB�1 = I )
�
1 1
1 1
��
x y
z t
�
=
�
1 0
0 1
�
)
�
x+ z y + t
x+ z y + t
�
=
�
1 0
0 1
�
16
Los sistemas a resolver son:
�
x+ z = 1
x+ z = 0
y
�
y + t = 0
y + t = 1
Resolvamos el primero:�
x+ z = 1
x+ z = 0
)
�
1 1 1
1 1 0
�
�
�
1 1 1
0 0 �1
�
)
�
x+ z = 1
0z = �1
Como 0z = �1 es Falso 8z , podemos decir que el sistema es inconsistente, en consecuencia la
matriz B no tiene inversa. por lo tanto, no tiene sentido para la matriz B lo solicitado en b):
Posiblemente te estarás preguntando, si aplicamos el procedimiento de hallar la inversa medi-
ante las operaciones elementales ¿qué ocurre cuando la matriz dada no es inversible? ¿Si
aplicamos el método cómo podemos darnos cuenta de ello?.
Si recuerdas un poco las propiedades de la inversa, sabemos que si una matriz es inversible,
entonces el sistema lineal que la tiene como matriz de coe�cientes tiene solución única. Ello implica
que en el sistema escalonado equivalente haya tantas ecuaciones como incógnitas, lo que a su vez
implica que ninguna �la de la matriz de coe�cientes se anule en el proceso de escalonamiento. En
consecuencia, si en el proceso de escalonamiento alguna de las �las (de la matriz dada) se anula
podremos asegurar que la matriz dada no es inversible (ya que será imposible reducir por �las a
la matriz (A I), es decir no podremos reducir A a la identidad).
Veamos esto para la matriz B que ya determinamos anteriormente que no es inversible.
(B I) =
�
1 1 1 0
1 1 0 1
�
�
�
1 1 1 0
0 0 �1 1
�
Vemos que esta última matriz no cumple la de�nición de ser reducida por �las y tampoco es
posible mediante operaciones elementales transformarla en otra que lo sea. Esto se debe a que la
2da �la de B se anuló en el proceso de escalonamiento, Eso nos dice que B no es inversible.
Ejemplo 2: Determina la inversa de la siguiente matriz, utilizando las operaciones elementales
de Gauss.
A =
0@ 2 1 0�1 1 1
1 1 0
1A
Recordemos el procedimiento de encontrar la inversa utilizando las operaciones elementales de
Gauss. (A I) Operaciones Elementales������������������! (I A
�1)
Desarrollemos el procedimiento para A
(A I) =
0@ 2 1 0 1 0 0�1 1 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1
1A �
0@ 2 1 0 1 0 00 3 2 1 2 0
0 1 0 �1 0 2
1A �
0@ 2 1 0 1 0 00 3 2 1 2 0
0 0 �2 �4 �2 6
1A
La matriz ya está escalonada. Para hacer que todos los pivotes o elementos principales de
escalón sean iguales a 1; en cada una de las �las, aplicamos la operación de multiplicar la �la por
un escalar. En este caso por el inverso del número. Entonces tendremos0@ 1 12 0 12 0 00 1 2
3
1
3
2
3
0
0 0 1 2 1 �3
1A �
0@ 1 12 0 12 0 00 1 0 �1 0 2
0 0 1 2 1 �3
1A �
0@ 1 0 0 1 0 �10 1 0 �1 0 2
0 0 1 2 1 �3
1A
Ahora necesitamos que cada uno de los pivotes o elementos principales de escalón sean la única
componente no nula en la respectiva columna. Para ello debemos anular la 2da componente de la
17
1ra �la (
1
2
) y la 3ra componente de la 2da �la (
2
3
): Esto se logra realizando la operación elemental
de sumarle a una �la un múltiplo de otra comenzando desde abajo y siguiendo hacia arriba.
Así podemos eliminar (
2
3
) de la 2da �la sumándole la 3ra �la multiplicada por (�2
3
) y luego
eliminamos (
1
2
) de la 1ra �la sumándole la 2da multiplicada por (�1
2
): Es lo que hemos realizado
más arriba, para pasar primero a la 2da matriz y luego de la 2da a la 3ra matriz.
Esta última ya está en la forma escalonada reducida por �las, podemos ver que a la izquierda
se encuentra la matriz identidad, por lo que la matriz que queda a su derecha es la inversa de A:
Queda como ejercicio veri�car que se cumple AA�1 = A�1A = I
Ejemplo 3: Determina, si existen, los valores del parámetro k para que la matriz A posea
inversa, siendo: A =
�
1 k
1 1
�
Procedemos de forma similar a lo realizado en el ejercicio 7 a). Lo único que cambia es que
ahora los sistemas a resolver serán sistemas con parámetro.
llamando A�1 a lainversa de A y tomando A�1 =
�
x y
z t
�
; aplicando la de�nición de inversa
tenemos:
AA�1 = I )
�
1 k
1 1
��
x y
z t
�
=
�
1 0
0 1
�
)
�
x+ kz y + kt
x+ z y + t
�
=
�
1 0
0 1
�
Igualando las matrices. Los sistemas a resolver son:
�
x+ kz = 1
x+ z = 0
y
�
y + kt = 0
y + t = 1�
x+ kz = 1
x+ z = 0
)
�
1 k 1
1 1 0
�
�
�
1 k 1
0 1� k �1
�
)
�
x+ kz = 1
(1� k)z = �1
Vemos en el sistema escalonado, que para que el sistema tenga solución única (haya igual
cantidad de ecuaciones que incógnitas) debe ser k 6= 1: En este caso tenemos que si k 6= 1:
De (1� k)z = �1) z = � 1
(1� k) : Remplazando en x+ kz = 1 tenemos:
x+ k(� 1
(1� k)) = 1) x = 1 +
k
1� k =
1� k + k
1� k =
1
1� k ) x =
1
1� k
Resolvemos el otro sistema: Observemos que la matriz de coe�cientes es la misma que el
anterior, solo cambia la columna de los términos independientes�
y + kt = 0
y + t = 1
)
�
1 k 0
1 1 1
�
�
�
1 k 0
0 1� k 1
�
)
�
y + kt = 0
(1� k)t = 1
En el sistema escalonado vemos que para que tenga solución única (haya igual cantidad de
ecuaciones que incógnitas) debe ser k 6= 1: En este caso tenemos que si k 6= 1:
De (1� k)t = 1) t = 1
(1� k) : Remplazando en y + kt = 0 tenemos:
y + k(
1
(1� k)) = 0) y = �
k
1� k
En consecuencia si k 6= 1, la matriz A dada posee inversa y será:
A�1 =
�
x y
z t
�
=
�
1
1�k �
k
1�k
� 1
1�k
1
1�k
�
Si tomamos un valor para k tal que k 6= 1, por ejemplo k = 2 tendremos que:
18
A =
�
1 2
1 1
�
y reemplazando k = 2 6= 1 en A�1 anteriormente hallada tendremos:
A�1 =
�
1
1�k �
k
1�k
� 1
1�k
1
1�k
�
=
�
�1 2
1 �1
�
un caso particular.
Ejercicio: 8 a)
¿Qué debemos hacer?. Determinar todas las matrices que conmutan con una dada. ¿Cómo
lo hacemos?. Bastará responder la pregunta. ¿Cuándo se dice que dos matrices conmutan?
ello nos llevara a recordar esa de�nición y aplicarla para resolver el ejercicio. Si recordamos la
de�nición, decimos que dos matrices A y B cuadradas y del mismo orden conmutan si y solo
si AB = BA. Así que resolver esta ecuación matricial donde A será una matriz dada y B una
matriz incógnita, consistirá en determinar la incógnita B: Recordemos también que una ecuación
matricial es equivalente a un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los elementos de
la matriz incógnita, por lo que resolver este problema es algo ya conocido verdad?. Veamos un
ejemplo.
Ejemplo 1: Determina todas las matrices que conmutan con A =
�
1 1
2 �1
�
Si llamamos X =
�
x y
z t
�
las matrices que conmutan con A y aplicamos la de�nición anterior
debera cumplirse que: AX = XA
)
�
1 1
2 �1
��
x y
z t
�
=
�
x y
z t
��
1 1
2 �1
�
sustitución
)
�
x+ z y + t
2x� z 2y � t
�
=
�
x+ 2y x� y
z + 2t z � t
�
por producto de matrices
)
8>><>>:
x+ z = x+ 2y
y + t = x� y
2x� z = z + 2t
2y � t = z � t
por de�nición de igualdad de matrices
Reordenando las ecuaciones y resolviendo el sistema por Gauss
)
8>><>>:
�2y + z = 0
�x+ 2y + t = 0
2x� 2z � 2t = 0
2y � z = 0
)
0BB@
0 �2 1 0 0
�1 2 0 1 0
2 0 �2 �2 0
0 2 �1 0 0
1CCA �
0BB@
�1 2 0 1 0
0 �2 1 0 0
2 0 �2 �2 0
0 2 �1 0 0
1CCA �
�
0BB@
�1 2 0 1 0
0 �2 1 0 0
0 �4 2 0 0
0 2 �1 0 0
1CCA �
0BB@
�1 2 0 1 0
0 �2 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1CCA) � �x+ 2y + t = 0�2y + z = 0
Podemos ver que en el sistema escalonado es consistente por ser homogéneo y hay mas in-
cógnitas que ecuaciones. Hay N = n � r = 4 � 2 = 2 variables libres, asi que tiene in�nitas
soluciones.
De la segunda ecuación tenemos: �2y + z = 0) z = 2y y de la primera t = x� 2y donde x e
y son las variables libres.
En consecuencia la solución general es la matriz X =
�
x y
z t
�
=
�
x y
2y x� 2y
�
que sera
cualquier matriz que conmuta con la matriz A dada.
19
Ejercicio: 12 b)
El ¿qué debemos hacer? está claro en la consigna. Dado un sistema de ecuaciones lineales de
igual número de ecuaciones que incógnitas, expresarlo en forma matricial, y encontrar su solución
resolviendo matricialmente, utilizando la inversa de la matriz de coe�cientes.
Para determinar ¿cómo lo hacemos?, recuerda que cualquier sistema de n ecuaciones lineales
con n incógnitas puede escribirse matricialmente de la forma:
AX = B donde:
An�n es la matriz de los coe�cientes del sistema.
Xn�1 es la matriz de las incógnitas (matriz columna).
Bn�1 es la matriz de los términos independientes (matriz columna).
Si A es inversible la ecuación matricial puede resolverse despejando X utilizando la inversa de
A: de la siguiente forma:
AX = B ) A�1AX = A�1B ) X = A�1B
Como verás, cuando A es inversible, hemos despejado la matriz de las incógnitas, de modo
que hemos encontrado la solución del sistema, es decir el sistema es consistente. ¿Qué tipo de
solución tiene? Para responder, analicemos cómo se obtiene el valor de X: Para un sistema
dado, tanto A como B están determinados y cómo la inversa de una matriz es única, al ser B
también único para un sistema dado, el producto A�1B es único. En consecuencia X es único.
Por lo tanto podemos a�rmar que el sistema tiene solución única. Así que hemos demostrado
el siguiente teorema:
Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas AX = B tiene solución única, si A es
inversible.
Ejemplo 1
Dado el sistema:
8<:
2x+ y = 0
�x+ y + z = 1
x+ y = 0
i) Exprésalo en forma matricial.
ii) Sabiendo que existe la inversa de la matriz de coe�cientes, y es: A�1 =
0@ 1 0 �1�1 0 2
2 1 �3
1A
encuentra la solución del sistema.0@ 2 1 0�1 1 1
1 1 0
1A0@ xy
z
1A =
0@ 01
0
1A) AX = B ) X = A�1B
Sabemos por lo visto más arriba que X = A�1B; en consecuencia solo debemos hacer el
producto A�1B para encontrar la solución del sistema:
X = A�1B =)
0@ xy
z
1A =
0@ 1 0 �1�1 0 2
2 1 �3
1A0@ 01
0
1A =
0@ 00
1
1A
Ejercicio 13:
El ¿qué hay que hacer?, está relacionado con utilizar el concepto de matriz, para resolver
una serie de situaciones problemáticas relacionadas con diversas aplicaciones de las matrices en
distintas áreas.
¿Cómo lo hacemos?. Si recordamos la de�nición de matriz (ordenamiento rectangular de
números), lo más probable es que podamos relacionarlo con muchas actividades donde se resume en
una tabla la información que se quiere guardar, organizada de manera que nos pueda proporcionar
la información deseada en forma simple y rápida.
20
Cada problema tendrá sus particularidades según el área de la ciencia de donde provenga,
en consecuencia no hay ninguna receta que sirva para realizar lo pedido. Lo que hay que tener
presente es tener clara la consigna antes de comenzar a resolver, de forma tal que se pueda elegir
cómo armar la tabla (matriz) eligiendo qué información irá como �las y qué como columnas.
La información que luego se nos solicite será determinante, ya que podremos necesitar realizar
operaciones entre matrices, que como sabemos, para que se puedan realizar, requiere condiciones
en cuanto al tamaño de las matrices que se operan.
Ejemplo 1
Doña Rosa es un ama de casa muy organizada y muy ahorrativa y siempre está consultando las
ofertas que hacen los supermercados de la ciudad donde vive. Este �n de semana piensa aprovechar
las ofertas que hacen los supermercados Keasalto y Trrobo para comprar azúcar, arroz y �deos.
Doña Rosa piensa comprar 20Kg de azúcar 15Kg de arroz y 10 kg de �deos.
Suponiendo que ambos supermercados ofrecen las mismas marcas de productos de forma que
en el supermercado Keasalto los precios por Kg del azúcar, del arroz y de los �deos son $17 $8 y
$ 12 respectivamente, mientras que en el supermercado Trrobo son de $ 14, $7 y $17.
i) Escribe en una matriz la información que doña Rosa elaboró con los productos que desea
comprar
ii) Escribe en una matriz la información que doña Rosa averiguó acerca de los precios de los
productos que desea comprar
iii) Doña Rosa utiliza, sin saberlo, una operación entre las matrices halladas en los incisos
anteriores para determinar cuánto le saldría comprar todos sus productos en cada uno de los
supermercados y decidir en cuál comprar. ¿Puedes indicar cuál es esa operación?. Considerando
solo los precios ¿Cuál es el súper que elegirá doña Rosapara hacer sus compras?
iv) Si doña Rosa necesita pagar en transporte $42 para comprar en el súper que tiene el menor
costo y $22 en el de mayor costo. ¿Cuál Super elegirá doña Rosa para hacer sus compras? ¿Por
qué?.
Veamos ahora como respondemos a las preguntas:
i) La matriz que doña Rosa elaboró es aquella en la que anota como �la el nombre de cada
producto y en columna la cantidad que desea comprar del mismo. O bien al revés
A =
0BB@
Cantidad en Kg
Azucar 20
Arroz 15
Fideos 10
1CCA La matriz será A =
0@ 2015
10
1A
O bien:
AT =
�
Azucar Arroz F ideo
Cantidad en Kg 20 15 10
�
) AT =
�
20 15 10
�
ii) La matriz que doña Rosa utiliza para guardar la información de precios en ambos superme-
rcados es una tabla en la que anota como �la cada uno de los Supermercados y como columnas
los precios de cada uno de los productos que desea comprar
B =
0@ Azucar : $=Kg Arroz : $=Kg Fideos : $=KgKeasalto 17 8 12
Trrobo 14 7 17
1A
) B =
�
17 8 12
14 7 17
�
O bien:
21
BT =
0BB@
Keasalto Trrobo
Azucar : $=Kg 17 14
Arroz : $=Kg 8 7
Fideos : $=Kg 12 17
1CCA) BT =
0@ 17 148 7
12 17
1A
iii) Para averiguar el costo de su compra en cada uno de los Supermercados, doña Rosa calcula
sumando los costos de cada producto para cada uno de las opciones de compra:
Super Keasalto: 20Kg � 17 $=Kg + 15kg � 8 $=Kg + 10Kg � 12$=Kg = $ 580
Super Trrobo: 20Kg � 14 $=Kg + 15kg � 7 $=Kg + 10Kg � 17 $=Kg = $ 555
Claro doña Rosa no sabe de matrices así que si solo tiene que decidir por el costo, para ella
su problema esta resuelto. Elige el supermercado donde le roban menos (perdón) donde le
ofrecen mejores precios.
Pero nosotros sabemos matemática (como dirían los compañeritos de la escuela, somos bo-
chos) así que observamos los anteriores cálculos, pensamos y vemos que podemos expresarlo de la
siguiente forma:
Supermercado Keasalto:
�
17 8 12
�0@ 2015
10
1A = 580
Supercado Trrobo:
�
14 7 17
�0@ 2015
10
1A = 555
Y seguimos observando y recordando...:
En el primer caso es el producto de la Fila 1 de la matriz B por la Columna 1 de la Matriz A
En el segundo caso es el producto de la Fila 2 de la matriz B por la columna 1 de la Matriz A
y seguimos pensando y recordando las benditas matrices y ¡Eureka!, ¡Claro que sí! es el
producto de matrices. En este caso es el producto de las matrices B2�3;y A3�1 que está de�nido
y es:
BA =
�
17 8 12
14 7 17
�0@ 2015
10
1A = � 580
555
�
Este problema se puede generalizar a un problema de oferta demanda. La primera matriz
(B) contiene en sus �las la oferta de ciertos productos por parte de los distintos productores.
La segunda matriz contiene en sus �las las cantidades de la demanda de cada producto por los
consumidores y la tercera matriz contiene en cada �la el costo que los consumidores tienen que
pagar en cada una de las opciones de compra que les ofrecen.
iv) Para decidir cuál es el Súper que le ofrece el menor costo de su compra doña Rosa calcula:
Supermercado Keasalto $ 580 + $ 22 = $ 602 para hacer el total de su compra
Supermercado Trrobo $ 555 + $ 42 = $ 597 para hacer el total de su compra
Como doña Rosa es ama de casa, es una experta en economía (el ministro de economía debería
consultarle a ella) piensa y analiza, hace cuentas con su SC (seguro estarán pensando el profe se
equivocó es PC) no es SC (super cabeza) y se decide. Comprará en ambos super, en cada uno de
ellos los productos que tienen menor costo. ¿Puedes explicarme cómo hace las compras y
por qué?.
Por último te recuerdo que debes resolver el CUESTIONARIO 2 que se presenta como otra
de las actividades no presenciales delTema 2 que tiene como objetivo que te sirva para autoevaluar
tu aprendizaje de los temas que se desarrollaron en el trabajo práctico. Asimismo te sugiero que
22
aunque en el cuestionario no te lo exige trates de justi�car las respuestas dadas para todas las
preguntas, pero sobre todo no te olvides de subir el archivo con las justi�caciones de tus
respuestas dadas para las preguntas cuya justi�cación se pide.
Ing. Augusto A. Estrada V.
23