RESUMEN TEMA 8 CONICAS Y CUADRICAS

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U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas
Asignatura: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Carreras: LAS, PM, LF, LER, TEU, TUES, TUP
Año: 2º Cuatrimestre 2019
Docente: Ing. Augusto A. Estrada V.
RESUMEN DEL TEMA 8
CONICAS Y CUADRICAS
1.- INTRODUCCION
En este capítulo vamos a estudiar las cónicas (curvas planas) y las cuádricas (superficies).
Estudiaremos primero las cónicas como lugares geométricos de puntos del plano que cumplen una
determinada condición. Luego abordaremos el estudio de la ecuación general de segundo grado en
dos y tres variables. Mostraremos que una ecuación general de segundo grado, representa en el plano
2 una cónica o algún caso degenerado de ellas (curva plana) o bien tiene solución en el plano
complejo (cónica imaginaria) y similarmente que en tres variables, dicha ecuación representa en 3
una superficie o cuádrica.
A partir de la definición como lugar geométrico, vamos a encontrar las ecuaciones canónicas de
las distintas cónicas (en el caso de dos variables) o cuádricas (en el caso de tres variables) respecto a
un sistema de ejes ortogonales, cuando la cónica (cuádrica) tiene su centro (cónicas o cuádricas con
centro) o su vértice (cónicas o cuádricas sin centro) en el origen de coordenadas, o bien cuando su
vértice (en el caso de la cónica sin centro) no coincide con el origen de coordenadas o (eje) (en el
caso de las superficies cónicas y cilíndricas) no coincida con ninguno de los ejes coordenados.
Vamos a realizar cambios de coordenadas a la ecuación general de segundo grado (rotaciones y/o
traslaciones) para escribirla en su forma canónica, lo que nos va a permitir reconocerla y hacer una
gráfica aproximada de la cónica o de la cuádrica.
2.-CONICAS
2.1. Cónicas como lugar geométrico de puntos del plano. Ecuaciones Canónicas.
ELIPSE
Definición: Se denomina Elipse, al lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de
distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante.
Si los puntos fijos pertenecen al eje x y son F1  c, 0 y F2  c, 0, c  0, la distancia entre
ellos es 2c. Si Consideramos un punto genérico del plano X  x,y y llamamos 2a a la constante,
suma de la distancia de X a los focos F1 y F2 tendremos que: dX,F1  dX,F2  2a con a  0.
Aplicando la definición de distancia entre dos puntos y resolviendo algebraicamente se llega a la
ecuación:
x2
a2

y2
b2
 1 1
La ecuación 1 se denomina Ecuación canónica de una elipse con focos en el eje x simétricos
respecto al origen. (centro en el origen)
Esta ecuación permite graficar aproximadamente la curva de manera sencilla si analizamos dos
cosas:
1. Intersecciones con los ejes coordenados (trazas)
2. Simetrias
Veamos como:
1.1 Intersección con el eje x. Hacemos y  0 en la ecuación 1. Tendremos:
x2
a2
 0
2
b2
 1  x
2
a2
 1  x2  a2  x  a. Es decir, la intersección de la curva con el eje
x son dos puntos: V1  a, 0 y V2  a, 0 simétricos respecto al origen
1.2 Intersección con el eje y. Hacemos x  0 en la ecuación (1). Tendremos:
02
a2

y2
b2
 1 
y2
b2
 1  y2  b2  y  b. Es decir, la intersección de la curva con el eje
y son dos puntos: B1  0,b y B2  0,b simétricos respecto al origen
Se puede justificar que a  c y a,b,c cumplen la relación: b2  a2  c2 por lo que será b  0 y
a  b.
Al origen de coordenadas se lo denomina centro
A los puntos F1  c, 0 y F2  c, 0 se los denomina focos
A los puntos V1  a, 0 y V2  a, 0, B1  0,b y B2  0,b se los denomina vértices
Al valor 2a longitud del eje mayor por lo que a es la longitud del semieje menor. Al valor 2b
longitud del eje menor y b longitud del semieje menor.
Al valor e  ca se lo denomina exentricidad. Notese que como a  c es e  1
2.1 Simetría respecto al origen entonces debe ser fx,y  fx,y Es decir cuando se reemplaza
en la 1 x,y por sus opuestos la ecuación 1 no debe cambiar.
En efecto
x2
a2

y2
b2
 x
2
a2

y2
b2
 1, por lo tanto la curva es simétrica respecto al origen
2.2. Simetría respecto al eje x. Entonces fx,y  fx,y  x
2
a2

y2
b2
 x
2
a2

y2
b2
 1, por
lo tanto la curva es simétrica respecto al eje x
2.3 Simetría respecto al eje y. Entonces fx,y  fx,y  x
2
a2

y2
b2
 x
2
a2

y2
b2
 1, por
lo tanto la curva es simétrica respecto al eje y
Con toda esta información, podemos graficar en forma aproximada la curva. En la figura 1 se
muestra una grafica aproximada de la curva y sus respectivos elementos:
Figura 1 Figura 2
V1
V2
B1
B2
y
x
b
-b
a-a
F2 F1
c-c
F1
F2
y
xB2 B1
V1
V2
b-b
a
-a
c
-c
Si por el contrario los puntos están sobre el eje y, son simétricos respecto al origen y son
F1  0,c y F2  0,c, en forma análoga que lo hecho anteriormente llegamos a la ecuación:
x2
b2

y2
a2
 1 2
La ecuación 2 es la Ecuación canónica de una elipse con focos en el eje y simétricos
respecto al origen.
Realizando el estudio de intersecciones y simetrías podemos concluir que:
Intersección con el eje x son los puntos B1  b, 0 y B2  b, 0
Intersección con el eje y son los puntos V1  0,a y V2  0,a
La curva es simétrica respecto al origen, y a cada uno de los ejes coordenados.
En la figura 2 se muestra una gráfica aproximada de la curva.
En el caso particular de que a  b  r tenemos que la ecuación 1 ó la 2 queda:
x2
r2

y2
r2
 1
Es decir:
x2  y2  r2 3
La 3 es la ecuación canónica de una circunferencia de radio r y con centro en el origen. Es
decir la circunferencia es un caso particular de una elipse.
HIPERBOLA
Definición: Se denomina hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia
de distancia a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Si los puntos fijos se ecuentran en el eje x, simétricos respecto al origen y son F1  c, 0 y
F2  c, 0, c  0, la distancia entre ellos es 2c.
De manera similar que lo realizado para la elipse: dX,F1  dX,F2  2a con a  0 llegamos a la
ecuación:
x2
a2
 y
2
b2
 1 4
La ecuación (4) es la Ecuación canónica de una hipérbola con vértices en el eje x simétricos
respecto al origen (centro en el origen).
Si estudiamos las intersecciones y las simetrías veremos que:
Intersección con el eje x  y  0  x
2
a2
 0
2
b2
 1  x
2
a2
 1  x  a.
Por lo tanto la intersección con el eje x son los puntos V1  0,a y V2  0,a
Intersección con el eje y  x  0  0
2
a2
 y
2
b2
 1   y
2
b2
 1. No tiene solución en .
En consecuencia la curva no tiene intersección con el eje y. Al eje y se lo denomina eje
imaginario y en consecuencia al eje x se lo denomina eje real.
Se puede justificar que c  a y a,b,c cumplen la relación: b2  c2  a2 por lo que será b  0
Al origen de coordenadas se lo llama centro
A los puntos F1  c, 0 y F2  c, 0 se los denomina focos
A los puntos V1  a, 0 y V2  a, 0 se los denomina vértices
Al eje x se lo denomina eje real (tiene intersección con la curva) y al eje y se lo llama eje
imaginario (la curva no tiene intersección con él)
Al valor 2a longitud del eje real por lo que a es la longitud del semieje real.
Al valor e  ca se lo denomina exentricidad. Notese que como a  c es e  1
Las rectas r1 : y  ba x y r2 : y  
b
a x se denominan asíntotas.(recta que no toca a la curva)
Se puede justificar que la curva es simétrica respecto al origen de coordenadas, y a cada uno de
los ejes coordenados.
En la figura 3 se muestra una grafica aproximada de la curva
Figura 3 Figura 4
-b b
a
-a
y
xV 2
Asíntota
Asíntota
Eje de simetría
-b b
a
-a
y
x
B1B2
V1
V2
AsíntotaAsíntota
Eje de simetría
Si por el contrario los puntos son: F1  0,c y F2  0,c, la distancia entre ellos sigue siendo
2c.
En forma análoga que en el caso anterior llegamos a la ecuación:
 x
2
b2

y2
a2
 1 5
La ecuación 5 es la ecuación canónica de una hipérbola con focos en el eje y, simétricos
respecto al origen
Si estudiamos las intersecciones con los ejes y las simetrías tenemos que:
Interseccióncon el eje x  y  0   x
2
b2
 0
2
a2
 1   x
2
b2
 1 , no tiene solución en .
Por lo tanto podemos decir que la curva no tiene intersección con el eje x
Intersección con el eje y  x  0   0
2
b2

y2
a2
 1 
y2
a2
 1  y2  a2  y  a.
Es decir la curva intercepta al eje y en los puntos V1  a, 0 y V2  a, 0 a  0.
En este caso tendremos que el eje real es el eje y, en consecuencia, el eje imaginario es el eje x
Podemos justificar que la curva es simétrica respecto al origen y a cada uno de los ejes
coordenados.
En la figura 4 se muestra una gráfica aproximada de la curva.
PARABOLA
Definición: Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a
un punto fijo llamado foco es igual a la distancia a una recta fija llamada directriz
Si el punto fijo es F  0,p p  0 la recta fija será: r : y  p  0
Para cualquier punto del plano X  x,y tendremos que: dX,F  dX,r  p
Aplicando las definiciones de distancias entre dos puntos y distancia de un punto a una recta en
2 y desarrollando algebraicamente llegamos a la ecuación:
4py  x2 6
Si realizamos el estudio de las intersecciones con los ejes y las simetrías tenemos que:
Intersección con el eje x  y  0  4p0  x2  0  x2  x  0. Es decir la intersección de
la curva con el eje x es el punto V  0,0
Intersección con el eje y  x  0  4py  02  4py  0  y  0. Es decir la intersección de
la curva con el eje x es el punto V  0,0
Veamos las simetrías:
fx,y  4py  x2  4py  x2  fx,y. Por lo tanto no es simétrica respecto al
origen de coordenadas
fx,y  4py  x2  4py  x2  fx,y. Por lo tanto no es simétrica respecto al eje x
fx,y  4py  x2  4py  x2  fx,y. Por lo tanto es simétrica respecto al eje y
Al eje y se lo denomina por ello eje de simetría y al punto V vértice de la parábola. En
consecuencia a la ecuación 6 es la ecuación canónica de la parábola con vertice en el origen y
eje de simetría el eje y.
Al ser la curva simétrica respecto al eje y si trazamos una recta perpendicular al eje y por el foco,
esta recta será paralela al eje x y su ecuación es y  p. Realizando la intersección de esta recta con la
parábola tendremos:
y  p reemplazado en 4py  x2 tendremos que: 4pp  x2  4p2  x2  x  2p y tenemos los
puntos: P1  2p,p y P2  2p,p
Al segmento determinado por esos dos puntos se lo denomina lado recto y su longitud es 4p
Con toda esa información podremos graficar en forma aproximada la curva. En la figura 5 se
muestra una gráfica aproximada de la curva.
Figura 5 Figura 6
Directriz
y
x
2p 2p
p
p
Eje de simetría
F
Directriz
y
x
2p
2p
p p
Eje de simetría
F
Si por el contrario el foco es F  p, 0 p  0 la recta fija será r : x  p  0. En forma análoga
que para el enterior caso encontraremos la ecuación:
4px  y2 7
La intersección tanto con el eje x como el eje y es el punto V  0,0
La curva es simétrica respecto al eje x. Por lo que la ecuación 7 es la ecuación canónica de
una parábola con vertice en el origen y eje de simetría el eje x.
La intersección con una recta perpendicular al eje de simetría por el foco, cuya ecuación es
x  p, nos da los puntos P1  p, 2p y P2  p,2p
En la figura 6 se muestra una gráfica aproximada de la curva
Cónicas como conjunto solución de una ecuación de segundo grado en 2
Ecuación general de segundo grado en dos variables
Una ecuación de la forma:
a11x2  2a12xy  a22y2  dx  ey  f  0 8
En la que al menos uno de los aij sea no nulo se denomina ecuación general de segundo grado
en las variables x,y.
La ecuación 8, tiene como conjunto solución en 2 una curva real (cónica o algún caso
degenerado de ellas) según los distintos valores que puedan tomar los coeficientes (parámetros) de la
misma.
En el caso en que no tenga solución en 2 (tiene solución en el plano complejo) se dice que
estamos en presencia de una curva imaginaria.
Esta ecuación 8 puede escribirse en forma matricial como sigue:
x,y
a11 a12
a12 a22
x
y
 d e
x
y
 f  0
Que haciendo:
X 
x
y
; XT  x,y; A 
a11 a12
a12 a22
; B  d e .
La ecuación 8 queda expresada en forma sintética por:
XTAX  BX  f  0 9
La matriz A es la matriz asociada a la cónica y define la misma. Observemos que A es simétrica,
por lo que es diagonalizable ortogonalmente. Es decir existirá una matriz P ortogonal (P1  PT tal
que PTAP  D siendo D una matriz diagonal.
En el TP8 hemos afirmado que cuando una matriz A es diagonalizable, la matriz P que la
diagonaliza es aquella cuyas columnas están constituidas por autovectores de la matriz A. En este
caso particular, al ser A22 y ser simétrica, sabemos que sus autovalores son reales y los autovectores
asociados son ortogonales. En consecuencia si normalizamos los mismos, estos constituyen una base
ortonormal de 2, por lo que la matriz P cuyas columnas son los autovectores normalizados de A
será ortogonal y en consecuencia se cumplirá que P1AP  PTAP  D
Si U1 
u11
u21
y U2 
u12
u22
son los autovectores normalizados de A será:
P 
u11 u12
u21 u22
y PTAP  D 
1 0
0 2
siendo 1 y 2 los autovalores de A asociados a los autovectores
U1 y U2 respectivamente.
Asi que si realizamos el cambio de coordenadas (cambio de base) (rotación). Si llamamos
1  U1,U2 y X 1 el vector X en coordenadas de la base 1, tendremos que:
X  PX 1
con lo que será XT  PX 1
T  XT  X
1
T PT tenemos que:
X  PX 1
XT  X
1
T PT
10.
Si X 1 
s
t
, entonces X
1
T  s, t
Reemplazando 10 en 9 tenemos:
X
1
T PTAPX 1  BPX 1  f  0  X 1
T DX 1  BPX 1  f  0. Si hacemos BP  B
  d,e 
(nuevos términos independientes).
Como P es una matriz ortogonal, es decir PT  P1 , entonces PTAP  P1AP  D y al ser
P  U1/U2 tales que U1 ,U2 autovectores normalizados de A asociados a los autovalores 1 y 2
respectivamente, entonces:
D 
1 0
0 2
y en consecuencia tenemos que:
s, t
1 0
0 2
s
t
 d e 
s
t
 f  0
Desarrollando las operaciones tendremos la nueva ecuación en las variables s, t (referida a el
nuevo sistema de ejes s, t o en coordenadas de la base 1
1s2  2t2  ds  e t  f  0 11
Si observamos la ecuación 11 podemos ver que comparándola con la primitiva ecuación (8 en
ella han desaparecido los términos rectangulares, se han modificado los coeficientes de los términos
cuadráticos y lineales y no ha cambiado el término independiente (constante). Estos son los efectos
que produce un cambio de base (rotación) en una ecuación general de segundo grado completa.
Observemos que los coeficientes de los términos cuadráticos son los autovalores de la matriz A y
si recordamos las ecuaciones canónicas de las cónicas podemos decir que:
Si 1,2 tienen igual signo la cónica es de tipo elipse
Si 1,2 tienen distinto signo la cónica es de tipo hipérbola
Si 1  0 2  0 , entonces la cónica es de tipo parábola
Decimos tipo porque aun no sabemos si realmente será una cónica (o un caso degenerado)
Asimismo al ser
P1AP  PTAP  D  |P1AP|  |D|  |P1 ||A||P|  12  |P1 ||P||A|  12  |A|  12
Se puede determinar el tipo de cónica estudiando el determinante de la matriz A
Si |A|  0 entonces la cónica es con centro de tipo Elipse
Si |A|  0 entonces la cónica es sin centro de tipo parábola
Si |A|  0 entonces la cónica es con centro de tipo Hipérbola
Volviendo a la ecuación 11 Podemos analizar cada uno de los tipos:
1. Si 1, 2 tienen igual signo y son distintos la cónica es de tipo elipse
Vemos que si agrupamos los términos separando las variables y completamos cuadrados
tendremos:
1s2  ds  2t2  e t  f  0  1s2  d

1
s  2t2  e

2
t  f 
 1s2  d

1
s   d

21
2   d

21
2  2t2  e

2
t   e

22
2   e

22
2  f
 1s  d

21
2  2t  e

22
2  1 d

21
2  2 e

22
2  f
 1s  d

21
2  2t  e

22
2  f  1 d

21
2  2 e

22
2
Si llamamos h  d

21
;k  e

22
y f   f  1 d

21
2  2 e

22
2
Tenemos:
1s  h2  2t  k2  f  12
Si hacemos el cambio de coordenadas (traslación):
u  s  h
v  t  k
Reemplazando en al anterior ecuación obtenemos:
1u2  2v2  f  13
1.1 Si f   0 y f  tiene igual signo que 1, 2, entonces dividiendon ambos miembros de la 13 por
f  tendremos:
u2
f 
1
 v
2
f 
2
 1. Como
f 
1
 0 y
f 
2
 0, si llamamos
f 
1
 a2 y
f 
2
 b2 tendremos:
u2
a2
 v
2
b2
 1 14
La ecuación 14, es la ecuación canónica de una elipse.
1.2. Si f   0 y f  tiene signo contrario al de 1, 2 entonces
f 
1
 0 y
f 
2
 0 por lo que
u2
f 
1
 v
2
f 
2
 1 no tiene solución en 2. Decimos que es una elipse imaginaria
1.3. Si f   0 entonces 1u2  2v2  0  u  v  0. Es un punto. Es un caso degenerado
2. Si 1, 2 tienen signo contrario la cónica es de tipo hipérbola
2.1. Si f   0 y1  0 y 2  0  f   0 y 1  0 y 2  0 , entonces
f 
1
 0 y
f 
2
 0 por lo que
si hacemos
f 
1
 a2 y
f 
2
 b2 tendremos:
u2
a2
 v
2
b2
 1. Que es la ecuación canónica de una hipérbola de eje real el eje u
2.2. Si f   0 y 1  0 y 2  0  f   0 y 1  0 y 2  0, entonces
f 
1
 0 y
f 
2
 0 por lo que
si hacemos
f 
1
 a2 y
f 
2
 b2 tendremos:
 u
2
a2
 v
2
b2
 1 15
La 15, es la ecuación canónica de una hipérbola de eje real el eje v.
2.3. Si f   0 entonces 1u2  2v2  0  1u2  2v2. Como 1, 2 tienen signo contrario
entonces:
u   2
1
v 16
La 16, son las ecuaciones de dos rectas (un caso degenerado de hipérbola)
3. Si 1  0  2  0 , entonces la cónica es de tipo parábola
Para analizarlo volvamos a la ecuación 11 : 1s2  2t2  ds  e t  f  0
3.1 Si 1  0 será 2t2  ds  e t  f  0  2t2  e t  ds  f  2t2  e

2
t  ds  f 
 2t2  e

2
t   e

22
2   e

22
2  ds  f  2t2  e

2
t   e

22
2  ds  f  2 e

22
 2t  e

22
2  ds  f  2 e

22
2
Si llamamos: f   f  2 e

22
2 tendremos: 2t  e

22
2  ds  f 
Si d  0 tendremos que:
2t  e

22
2  ds 
f 
d
 llamando h 
f 
d
y k  e

22
tendremos que: 2t  k2  ds  h
Haciendo el cambio de coordenadas (traslación)
u  s  h
v  t  k
Reemplazando en la anterior ecuación tenemos:
2v2  du  d

2
u  v2 Si llamamos: d

2
 4p
Tendremos:
4pu  v2 17
La (17), es la ecuación canónica de una parábola con eje de simetría el eje u
Si d  0 reemplazado en 2t  e

22
2  ds  f  nos queda:
2t  e

22
2  f   t  e

22
2 
f 
2
Haciendo la traslación:
u  s
v  t  e

22
Reemplazando en la anterior ecuación tenemos: v2 
f 
2
, entonces:
v  
f 
2
18
La 18, son las ecuaciones de dos rectas paralelas siempre que
f 
2
 0 (caso degenerado de
parábola)
De forma similar se puede proceder en el caso de que 2  0 y encontraremos que 4pv  u2 y
las otras situaciones según los valores de e  y 1
CUADRICAS
Ecuación general de segundo grado en tres variables.
Una ecuación de la forma:
a11x2  2a12xy  a22y2  2a13xz  a33z2  2a23yz  dx  ey  fz  g  0 19
En la que al menos uno de los aij sea no nulo se denomina ecuación general de segundo grado en
las variables x,y, z.
De forma similar a lo realizado para la ecuación general en dos variables esta ecuación se puede
escribir en forma matricial como sigue:
x,y, z
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
x
y
z
 d,e, f
x
y
z
 g  0
Si hacemos:
X 
x
y
z
será XT  x,y, z ; A 
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
; B  d,e, f
La anterior ecuación se escribe simbólicamente como:
XTAX  BX  g  0 20
Nos interesa determinar el conjunto de puntos x,y, z del espacio que satisfacen esta ecuación.
Este conjunto de puntos será alguna de las denominadas superficies cuádricas reales, o bien algún
caso degenerado de ellas.
Para poder reconocer la superficie representada por alguna ecuación de segundo grado en tres
variables, y realizar una gráfica aproximada de la misma, realizaremos cambios de coordenadas
convenientes, de modo de encontrar una ecuación más simple, la llamada ecuación canónica de la
superficie. El procedimiento es similar a lo realizado para el caso de la ecuación general de segundo
grado en dos variables antes estudiado, aunque un poco más extenso por tener ahora tres variables.
Una ecuación general de segundo grado en tres variables completa tiene los siguientes términos:
Términos cuadráticos puros (producto de una misma variable)
Términos cuadráticos cruzados o rectangulares (producto de dos variables distintas)
Términos lineales
Término independiente o constante
La presencia de términos rectangulares es indicativo de que la superficie tiene sus ejes de
simetría rotados respecto a los ejes coordenados x,y, z por lo que graficarla en ese sistema de
referencia se hace complicado.
La presencia de términos lineales, es indicativo de que la superficie tiene su centro o vértice en
un punto distinto al origen de coordenadas x,y, z lo que también dificulta graficarla en ese sistema de
coordenadas.
Si la superficie tiene su centro (en el caso de las con centro) su vértice en el caso de las sin
centro, su eje coincidiendo con alguno de los ejes coordenados en el caso de la superficie cónica o
cilíndrica, la ecuación se reduce a contener solo términos cuadráticos puros y al término constante
por lo que es una ecuación simple que permite realizando un estudio de las trazas y simetrías poder
graficar la superficie en forma aproximada. A ese tipo de ecuación se la denomina Ecuación
canónica
ECUACIONES CANONICAS
Una ecuación canónica de una superficie, es una ecuación cartesiana respecto a un sistema de
ejes cartesianos, en la que solo aparecen términos cuadráticos y constante. De esta manera la
cuádrica se ubica en una posición denominada normal respecto al sistema de ejes coordenados lo que
permite realizar una gráfica aproximada de la misma, respecto a ese sistema de ejes, estudiando las
trazas y las simetrías.
CLASIFICACION: Podemos clasificar las cuádricas, teniendo en cuenta sus ecuaciones
canónicas como:
CUADRICAS CON CENTRO: Son aquellas superficies que tienen como ecuación canónica a
una ecuación de la forma:
 x
2
a2

y2
b2
 z
2
c2
 1
De acuerdo a las distintas combinaciones de signo de sus términos tendremos las distintas
cuádricas las que reciben un nombre propio:
ELIPSOIDE: Si todos los términos son positivos y a,b,c no son todos iguales. Su ecuación
canónica es:
x2
a2

y2
b2
 z
2
c2
 1
ESFERA: En el caso particular para un elipsoide, si a  b  c  r. Su ecuación canónica es:
x2  y2  z2  r2
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA: Si solo uno de los términos es negativo. Su ecuación será:
x2
a2

y2
b2
 z
2
c2
 1 (eje el z) x
2
a2
 y
2
b2
 z
2
c2
 1 (eje el y)  x
2
a2

y2
b2
 z
2
c2
 1 (eje el x)
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS: Si dos términos son negativos. Su ecuación será:
x2
a2
 y
2
b2
 z
2
c2
 1 (eje el x)  x
2
a2

y2
b2
 z
2
c2
 1 (eje el y  x
2
a2
 y
2
b2
 z
2
c2
 1 (eje el
z
CUADRICAS SIN CENTRO: Son aquellas superficies que tienen como ecuación canónica a
una ecuación de la forma:
 x
2
a2

y2
b2
 z
PARABOLOIDE ELIPTICO: Si ambos términos cuadráticos son positivos. Su ecuación es:
x2
a2

y2
b2
 z (eje el eje z x
2
a2
 z
2
b2
 y (eje el eje y z
2
a2

y2
b2
 x (eje el eje x
PARABOLOIDE HIPERBOLICO: Si alguno de los términos cuadráticos es negativo. Su
ecuación será:
x2
a2
 y
2
b2
 z (eje el z x
2
a2
 z
2
b2
 y (eje el y ) z
2
a2
 y
2
b2
 x (eje el x )
SUPERFICIES CONICAS
Son aquellas superficies generadas por el movimiento de una recta que pasando por un punto fijo
y apoyándose en una curva fija tal que el punto fijo no pertenece a la curva. Al punto fijo se lo
denomina Vértice, a la recta fija generatriz ya la curva fija directriz. (A la superficie se la llama
cono)
Las superficies cónicas tienen como ecuación canónica, a una ecuación de la forma:
ax2  by2  cz2  0
En la que al menos uno de los términos es negativo. Al eje cuyo coeficiente es de signo negativo
se lo denomina eje del cono. Así tenemos:
ax2  by2  cz2  0 (eje el z ax2  by2  cz2  0 eje el y  ax2  by2  cz2  0  eje el x
De acuerdo a la directriz el cono puede ser Circular o Elíptico según que su directriz sea una
circunferencia o una elipse.
SUPERFICIES CILINDRICAS: Son aquellas superficies generadas por el movimiento de una
recta en forma paralela a otra recta fija y apoyandose en una curva también fija. A la recta que se
mueve se la denomina generatriz y a la curva fija directriz y a la recta fija eje del cilindro.
Estas superficies tienen como ecuación canónica una ecuación en la que no aparece una de las
variables, la que actúa para el conjunto solución de esa ecuación como una variable libre. De esta
manera para cada valor constante de esa variable se tiene la ecuación de una curva (la directriz) por
lo que la superficie cilíndrica toma el nombre de esa curva. Así tenemos:
CILINDRO ELIPTICO (su directriz es una elipse)
x2
a2

y2
b2
 1 z (eje el z x
2
a2
 z
2
b2
 1 y (eje el y y
2
a2
 z
2
b2
 1 x (eje el x
CILINDRO CIRCULAR (su directriz es una circunferencia)
x2  y2  r2 z (eje el z x2  z2  r2 y (eje el y y2  z2  r2 x (eje el x
CILINDRO HIPERBOLICO (su directriz es una hipérbola)
x2
a2
 y
2
b2
 1 z (eje el eje z x
2
a2
 z
2
b2
 1 y (eje el eje y y
2
a2
 z
2
b2
 1 x (eje el eje
x
CILINDRO PARABOLICO (su directriz es una parábola)
4py  x2 z (eje el eje z 4px  z2 y (eje el eje y 4py  z2 x (eje el eje x
Grafica aproximada de una superficie
Como dijimos más arriba, la ecuación canónica nos permite graficar en forma aproximada una
superficie. Para ello bastara realizar un estudio de las trazas y de las simetrías. Debemos determinar:
1. Trazas
1.1 Trazas con los ejes coordenados
Para encontrar la traza (intersección) con un eje coordenado, se anula en la ecuación las
variables correspondientes a los otros dos ejes. Por ejemplo para encontrar la intersección con el eje
x se hace y  z  0 en la ecuación y se determina el valor correspondiente de x. si existe)
1.2 Trazas con los planos coordenados
Para encontrar la traza (intersección) con un plano coordenado, se anula en la ecuación la
variable correspondiente al otro eje. Por ejemplo para encontrar la traza con el plano xy se hace
z  0 en la ecuación y se determina la intersección (si existe)
1.3 Trazas con planos paralelos a los planos coordenados (en algunos casos)
Para encontrar la traza con un plano paralelo a alguno de los planos coordenados se asigna un
valor constante a la variable correspondiente al otro eje. Por ejemplo si queremos determinar la traza
con un plano paralelo al xy, hacemos z  k en la ecuación con lo que determinamos la intersección
de la superficie con ese plano. En general eso es necesario cuando la superficie no es cerrada, por lo
que se hace necesario seccionar con estos planos paralelos para poder tener una porción de la misma
que sea factible de visualizar la forma de la superficie en una grafica aproximada.
2 Simetrías:
2.1 Respecto al origen de coordenadas
Para determinar si una superficie es simétrica con respecto al origen de coordenadas se debe
mostrar que fx,y, z  fx,y,z siendo fx,y, z  0 la ecuación de la superficie: Es decir si
reemplazamos en la ecuación las variables x,y, z por sus opuestos y la ecuación no cambia, entonces
decimos que la superficie es simétrica respecto al origen de coordenadas.
2.2 Respecto a los ejes coordenados
Para determinar si una superficie es simétrica respecto a un eje coordenado, debe ocurrir que la
ecuación no cambie cuando se reemplazan las variables de los otros ejes por sus opuestos.
Así, para determinar si es simétrica con respecto al eje x se debe mostrar que
fx,y, z  fx,y,z. Es decir si reemplazamos en la ecuación las variables y, z por sus opuestos y la
ecuación no cambia, entonces decimos que la superficie es simétrica respecto al eje x. Será simétrica
respecto al eje y si fx,y, z  fx,y,z y será simétrica respecto al eje z si fx,y, z  fx,y, z
2.3 Respecto a los planos coordenados
Para determinar si una superficie es simétrica respecto a un plano coordenado, debe ocurrir que
la ecuación no cambie cuando se reemplaza la variable correspondiente al otro eje por su opuesto.
Así, para determinar si es simétrica respecto al plano xy debe ocurrir que fx,y, z  fx,y,z. Es
decir si remplazamos en la ecuación la variable z por su opuesto y la ecuación no cambia, entonces
podemos decir que la superficie es simétrica respecto al plano xy. Será simérica respecto al plano xz
si fx,y, z  fx,y, z y será simétrica respecto al plano yz si fx,y, z  fx,y, z
Con toda esta información se puede realizar la gráfica aproximada (extensión de la superficie).
Vamos a desarrollar un ejemplo ilustrativo de una de las cuádricas: Un paraboloide elíptico cuya
ecuación es:
x2
a2

y2
b2
 z con a  0,b  0  a  b
1.1- Trazas con los ejes coordenados.
Con el eje x  y  z  0  x
2
a2
 0
2
b2
 0  x
2
a2
 0  x2  0  x  0. La intersección con
el eje x es el punto 0,0,0
Con el eje y  x  z  0  0
2
a2

y2
b2
 0 
y2
b2
 0  y2  0  y  0. La intersección con
el eje y es el punto 0,0,0
Con el eje z  x  y  0  0
2
a2
 0
2
b2
 z  0  z  z  0. La intersección con el eje z es el
punto 0,0,0
1.2.- Trazas con los planos coordenados
Con el plano xy  z  0  x
2
a2

y2
b2
 0  x
2
a2

y2
b2
 0  x  y  0. La traza con el
plano xy es el punto 0,0,0
Con el plano xz  y  0  x
2
a2
 0
2
b2
 z  x
2
a2
 z  x2  a2z. Si llamamos a2  4p
tendremos que: x2  4pz.
Es decir la traza con el plano xz es una parábola cuyo eje de simetría es el eje z. En la figura 7 se
muestra una gráfica aproximada de la misma.
Figura 7
z
x
2p 2p
F
Con el plano yz  x  0  0
2
a2

y2
b2
 z 
y2
b2
 z  y2  b2z. Si llamamos b2  4p
tendremos que: y2  4pz.
Es decir la traza con el plano yz es una parábola cuyo eje de simetría es el eje z. En la figura 8 se
muestra una gráfica aproximada de la misma.
Figura 8
z
y
2p 2p
F
1.3. Como en las trazas con el los planos xz e yz las curvas son parábolas que se extienden
indefinidamente hacia las z positivas se hace necesario encontrar la traza con un plano z  k  0
Si z  k  0  x
2
a2

y2
b2
 k  x
2
ka2

y2
kb2
 1. Es decir la traza con un plano z  k  0 es
una elipse. En la figura 9 se muestra una gráfica aproximada de la curva.
Figura 9
x
y
Ahora bien el plano z  k  0 intercepta a las parábolas, trazas con los planos xz e yz. Veamos
cual es esa intersección:
Si hacemos z  k  0 en la traza con el plano xz que es la parábola de ecuación x2  a2z
tenemos que: x2  a2k  x  a k .
Es decir la parábola y la elipse tienen en común los puntos a k , 0,k y a k , 0,k
Si hacemos z  k  0 en la traza con el plano yz que es la parábola de ecuación y2  b2z
tenemos que: y2  b2k  y  b k
Es decir la parábola y la elipse tienen en común los puntos 0,b k ,k y 0,b k ,k
2. Simetrías
Respecto al origen:
x2
a2

y2
b2
 z  x
2
a2

y2
b2
 z Entonces no es simétrica respecto
al origen
Respecto al plano xy  x
2
a2

y2
b2
 z  x
2
a2

y2
b2
 z. Entonces no es simétrica respecto al
plano xy
Respecto al plano yz 
x2
a2

y2
b2
 z  x
2
a2

y2
b2
 z. Entonces es simétrica respecto al
plano yz
Respecto al plano xz  x
2
a2

y2
b2
 z  x
2
a2

y2
b2
 z. Entonces es simétrica respecto al
plano xz
Respecto al eje x  x
2
a2

y2
b2
 z  x
2
a2

y2
b2
 z. Entonces no es simétrica respecto al
eje x
Respecto al eje y 
x2
a2

y2
b2
 z  x
2
a2

y2
b2
 z. Entonces no es simétricarespecto al
eje y
Respecto al eje z 
x2
a2

y2
b2
 z  x
2
a2

y2
b2
 z. Entonces es simétrica respecto al
eje z
Con toda esta información podemos graficar en forma aproximada la superficie. En la figura 10
se muestra la misma. En ella se puede ver las curvas que se obtuvieron al determinar las trazas con
los planos coordenados y paralelos (distinguiendose con el mismo color con que se representaron
anteriormente)
Figura 10
SUPERFICIES REGLADAS
Definición: Decimos que una superficie es reglada si por cada punto de la misma, existe una
recta que pasa por ese punto y está contenida en la superficie. Es decir la superficie es generada por
una familia de rectas (intersección de una familia de planos)
Las superficies cónicas y cilíndricas son ejemplos de superficies regladas, aunque hay otras que
también lo son.
Como consecuencia de esta definición podemos decir que hay dos problemas a resolver:
1. Dada una superficie (su ecuación), determinar si es o no una superficie reglada
2. Dada una familia de rectas determinar la ecuación de la superficie generada.
Ing. Augusto A. Estrada V.