TUTORIAL 1 Ecuaciones Lineales-Ecuaciones Lineales con Parámetros-Sistema de Ecuaciones Lineales

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U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas
Asignatura: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Carreras: LAS, PM, LF, LER, TEU, TUES, TUP
Año: 2
do
Cuatrimestre 2019
Docente Responsable del curso: Ing. Augusto A. Estrada V.
TUTORIAL 1
Ecuaciones Lineales-Ecuaciones Lineales con Parámetros-Sistema de Ecuaciones Lineales.
Resolución.Método de Gauss-Sistema de Ecuaciones con parámetros
Introducción: Este material intenta ser una ayuda para complementar el trabajo desarrollado en
las clases presenciales para el desarrollo del TPN°1 a fin de brindarte la posibilidad de trabajar en
forma tutorial, a los efectos de que puedas desarrollar las actividades propuestas en la guía del
TPNº1 y cumplimentar con las actividades no presenciales a desarrollarse en el entorno virtual. Este
tutorial y los que le sigan tiene fundamentalmente el objetivo de ser una ayuda no solo para que
aprendas sino para que comprendas lo que aprendes. De allí que muchas veces puede parecer
redundante, en las explicaciones y ejemplos desarrollados, la insistencia en la justificación
conceptual de lo que se hace en cada instante del desarrollo de una tarea o de la resolución de un
problema.
En el presente trabajo práctico vamos a resolver una serie de situaciones problemáticas
relacionadas, ecuaciones lineales en una o más variables, ecuaciones lineales con parámetros,
sistemas de ecuaciones lineales, sistema de ecuaciones lineales con parámetros.
Abordaremos el estudio de una ecuación lineal en una o más variables, resolveremos sistemas de
ecuaciones lineales con y sin parámetro y problemas de aplicación en distintas áreas.
Para ello, es necesario que recuerdes los conocimientos adquiridos previamente en la escuela
preuniversitaria y/o en las asignaturas previas que has cursado en la carrera, como también aquellos
que estas incorporando en las clases teóricas de la asignatura. Ellos constituirán tus herramientas de
trabajo, de allí que deberías tenerlas disponibles al momento de necesitarlas para el desarrollo de las
actividades en las clases prácticas. En lo posible sería recomendable que las organices, por ejemplo
haciendo una ficha resumen para cada uno de los trabajos prácticos, lo que probablemente facilitará
tu trabajo y será de mucha utilidad para tu aprendizaje.
Al resolver cada una de las actividades, tanto en el entorno virtual como en las clases
presenciales, ten presente las consideraciones generales que hicimos acerca de ello en el tutorial 0 y
cualquier otra que a tu propio juicio debas realizar para facilitar su resolución.
Cuando estés trabajando en grupo recuerda que tu participación activa es importante para tu
propio aprendizaje como el de tus compañeros de grupo y para aportar a la solución del problema
que se está resolviendo. Asimismo trata de participar activamente en la clase, aprovechar los
horarios de consulta y no quedarte jamás con las dudas que se te presenten.
Recuerda que el profesor es alguien que te acompaña y está para ayudarte. Recuerda también que
no solo es importante aprobar y acreditar la asignatura sino que además debes hacerlo aprendiendo y
comprendiendo lo que en ella se te transmite. Espero que tus propósitos contemplen ambas cosas,
que pongas todo tu esfuerzo para lograrlo y obtengas el éxito deseado.
Ejercicio 1
De la consigna de la actividad surge claramente el ¿qué debemos realizar?. Escribir en forma
general una ecuación lineal en más de una incógnita y dar ejemplos indicando si alguno de los
ejemplos dados tienen única solución. Se pide además responder la pregunta de si es posible dar un
ejemplo de forma tal que la ecuación tenga solución única justificando la respuesta.
Ahora debemos determinar ¿cómo lo hacemos?. La pregunta es: ¿cómo se escribe en forma
general una ecuación lineal en más de una variable?. Para responderla deberíamos recordar y/o
repasar acerca del concepto de ecuación lineal en n variables.
Lo de general significa que no se pide un ejemplo de ecuación, sino una ecuación que permita a
partir de ella, generar muchas otras ecuaciones.
Por ejemplo la ecuación en una variable x: 2x  6  0 1 es una ecuación en la variable x.
Es una ecuación que tiene solución, y que además tiene una única solución x  3. Su conjunto
solución está definido y es: Cs  3
En cambio la ecuación:
ax  b  0 2
Donde a y b son constantes de un cierto conjunto (por ejemplo , es llamada una ecuación
general en una variable x. El nombre de general, se debe a que su conjunto solución no está definido,
o más bien dependerá de los valores que tomen a,b. Si en la 2 hacemos a  2 y b  6 obtenemos
la 1 como un caso particular de la 2, que ya sabemos tiene una única solución.
Sin embargo si hacemos a  0 y b  6 en 2 obtenemos 0x  6  0 ecuación que no tiene
solución ya que 0x  6  0 es falso x  .
Podemos seguir asignando a a y b cualquier valor real de forma que la ecuación 2 se
transforma en una ecuación particular que tendrá o no solución.
En consecuencia, una ecuación general en una variable, será una ecuación en la que tanto el
coeficiente de la variable como el término independiente sean constantes desconocidas (parámetros).
Es lo que se denomina ecuación con parámetros. Si en lugar de una incógnita tenemos dos incógnitas
x1 y x2, una ecuación general en las variables x1 y x2 será una expresión de la forma:
a1x1  a2x2  b1  0 en la que a1,a2,b1 son constantes de un cierto conjunto. En base a lo anterior
y repasando tus apuntes teóricos, te invito a que encuentres lo que se te solicita para n incógnitas.
Para responder la pregunta ¿es posible dar un ejemplo de una ecuación en n variables que
tenga solución única?, recordemos que para resolver una ecuación con más de una incógnita, al ser
el número de incógnitas mayor que 1 (cantidad de ecuaciones), se hace necesario despejar una de las
incógnitas en función de las restantes. La variable que se despeja se denomina variable dependiente
y las restantes, variables independientes o libres. El motivo de llamarlas así, es porque las variables
independientes no tienen ninguna restricción y pueden tomar cualquier valor del conjunto de
números en el que tienen su dominio, no así las dependientes, cuyo valor dependerá, de los valores
que tomen las variables libres en función de las que están expresadas.
Volviendo a la pregunta, podemos decir en consecuencia que si n  1, en base a lo expresado
más arriba, no será posible dar el ejemplo pedido ya que si la ecuación tiene solución, tendrá
infinitas soluciones. Puedes decir ¿por qué?. Solo en el caso de que n  1 habrá la posibilidad de
dar el ejemplo pedido, como hemos hecho más arriba.
Ejercicios 2 y 3
El ¿qué debemos hacer? de ambos ejercicios están relacionados con los conceptos de ecuación
lineal en una o más incógnitas y el de solución de la misma.
Ejercicio 2
¿Qué? debemos hacer. Dar ejemplos de ecuaciones lineales que cumplan una determinada
condición de solución. ¿Cómo? lo hacemos. Bastará recordar el concepto de ecuación lineal y de
solución de una ecuación lineal. Recordemos que una ecuación lineal en n incógnitas es una
expresión de la forma a1x1  a2x2   anxn  b en la que ai i  1,2, ,n y b son constantes
conocidas de un cierto cuerpo de escalares (Reales o complejos) y que una solución de esta ecuación
es cualquier n  upla ´ordenada de números (c1,c2, ,cn que reemplazados en lugar de
x1,x2, ,xn en la ecuación hacen que la igualdad sea verdadera.
Sabemos que de acuerdo al valor de n tendremos ecuaciones en 1,2, 3, . . . etc incógnitas y en el
caso de que n  2 tendremos una ecuación con más de una incógnita y que por lo tanto, para
encontrar la solución tendremos que expresar una de las incógnitas en función de las restantes y en
consecuencia, si la ecuación tiene solución, tendrá infinitas soluciones. Esto debido a que hay
variables libres que pueden tomar los infinitos valores del cuerpo de números en el que se resuelve la
ecuación.
Así que si queremos dar un ejemplo que cumpla una determinada condición debemos tener
presente todosestos aspectos.
Ejemplo 1
Da, de ser posible, o justifica por qué no es posible, un ejemplo de una ecuación lineal con tres
incógnitas que tenga única solución.
Como la cantidad de incógnitas es mayor que 1, en caso de que tenga solución, tendrá infinitas
soluciones ya que habrá variables libres. Por lo tanto no es posible dar el ejemplo pedido. Una
ecuación con solución única, será aquella ecuación que tenga solo una incógnita y que no sea
inconsistente (que tenga solución).
Por ejemplo la ecuación en la incógnita x, 3x  6 es una ecuación que tiene única solución y es
x  2
Ejemplo 2
Da de ser posible un ejemplo de una ecuación lineal con 2 incógnitas que no tenga solución.
Recordemos que una ecuación no tiene solución si es una falsedad para todo valor de las
incógnitas. Así que para buscar el ejemplo bastará pensar en una igualdad siempre falsa.
La igualdad 1  3 es una falsedad. Si queremos que esta falsedad se mantenga pero conteniendo
las incógnitas que debe tener el ejemplo de la ecuación pedida, bastará realizar operaciones validas
en esta igualdad en la que intervengan las incógnitas. Si llamamos x,y a las incógnitas de la ecuación
tenemos que:
1  3  x  y  1  x  y  3 es falso  x y. Así que la ecuación lineal x  y  1  x  y  3 es
un ejemplo de ecuación lineal en 2 variables que no tiene solución ya que si le aplicamos la
propiedad cancelativa para la suma en obtenemos la falsedad 1  3
Ejercicio 3:
¿Qué debemos hacer?: Para algunas ecuaciones dadas:
a Determinar y expresar la solución general, el conjunto solución y dos soluciones particulares
de cada una de las ecuaciones.
b Interpretar geométricamente la solución.
Responder la pregunta ¿qué representa la solución general de la ecuación para el conjunto
solución?, nos llevan naturalmente a plantearnos los siguientes interrogantes: ¿Qué significa
resolver una ecuación lineal con más de una variable?. ¿A qué se llama solución general de una
ecuación?. ¿A que se llama conjunto solución?, ¿A qué se denomina solución particular de una
ecuación?
Determinado el ¿qué?, ahora hace falta responder ¿cómo lo vamos a hacer? y por último el ¿por
qué? de lo que hacemos.
Aunque la consigna no lo menciona, para resolverlas, se supone que cada una de las variables de
las ecuaciones, tienen su dominio en el conjunto de los números reales. Es decir el espacio en el cual
estamos resolviendo es 3, por lo que, teniendo en cuenta la definición de solución, cualquier
solución de las mismas, será una terna ordenada de números reales.
Para responder a debemos preguntarnos ¿Cómo se resuelve una ecuación lineal en más de
una incógnita?. ¿Cómo se determina la solución general?. ¿Cómo se encuentra una solución
particular?. Otras preguntas que puede ser útil responder serán: ¿Cómo se expresa la solución
general?. ¿Cómo se expresa el conjunto solución?. Responder éstos interrogantes nos ayudará a
resolver las ecuaciones.
Recordemos que una ecuación es una igualdad que, como contiene incógnitas, no sabemos decir
si es verdadera o falsa, ya que ello dependerá del valor numérico que tomen las incógnitas. Si
recordamos los conceptos de lógica, veremos que no se trata de una proposición sino de un esquema
o función proposicional. Veamos si respondemos cada una de las preguntas.
Resolver una ecuación en una o más variables real, significa encontrar los valores que toman la o
las variables, de manera que al reemplazarlas en la ecuación, ella se verifica, es decir, la función
proposicional se transforma en una proposición verdadera.
Cuando resolvemos una ecuación en más de una incógnita, es fundamental saber en qué
espacio se está trabajando (cuantas variables tiene la ecuación), ya que su solución dependerá de
ello. No tener claro este asunto, puede conducirnos a un error en la repuesta que demos al problema.
Ilustramos la situación con algunos ejemplos.
La ecuación x  2  0
Resuelta en tiene solo una incógnita y en consecuencia tiene solución única x  2, siendo su
conjunto solución el conjunto unitario S  2
Resuelta en 2 tiene dos incógnitas, ya que una solución es un par ordenado x,y que verifica la
igualdad, por lo tanto la cantidad de incógnitas es mayor que 1, de manera que habrá una variable
libre y en consecuencia, la ecuación tendrá infinitas soluciones. Su conjunto solución es:
S  x,y  2/ x  2
Este es un conjunto de infinitos puntos del plano 2 o pares ordenados de números reales cuya
primera componente es constante e igual a 2 y cuya segunda componente es cualquier número real.
Como podemos ver, una misma ecuación tiene distinta cantidad de incógnitas, de acuerdo al
espacio en que se la resuelva. Así que a estar atento a este asunto, si se te requiere resolver una
ecuación, deberás asegurarte de saber en qué espacio se solicita resolverla o bien cuál es el número
de incógnitas que tiene (información equivalente).
Volviendo a la ecuación del ejemplo, observemos que en el último caso (en 2 la variable, " y"
no aparece en la ecuación, por lo tanto puede tomar cualquier valor real, siempre que x  2, " y" es
una variable independiente o libre. Así que recuerda, cada vez que una variable no aparece en
una ecuación, es una variable libre para esa ecuación.
Cuando se resuelve una ecuación con más de una incógnita, dijimos que, si tiene solución, hay
variables libres, y que el conjunto solución tiene infinitos elementos. Por lo tanto, dicho conjunto, no
podrá expresarse por extensión, por lo tanto, habrá que expresarlo por comprensión.
En realidad más que encontrar el conjunto solución, nos va a interesar (porque nos será útil en
temas posteriores) encontrar su elemento genérico, el que representa cualquier elemento del
conjunto solución. A este elemento genérico es lo que llamaremos solución general de la ecuación,
será una n  upla x1,x2, ,xn cuyas componentes estarán todas en función de la (s) variable(s)
libre(s).
Cuando se le asigna valores numéricos a las variables libres de la solución general, se está
tomando uno de los infinitos elementos que tiene el conjunto solución. A cada elemento así
determinado lo denominamos una solución particular de la ecuación. Veamos cómo aplicamos lo
expresado anteriormente con algunos ejemplos.
Ejemplo 1: Resuelve, en 3 la ecuación x  2y  z  1
Como estamos resolviendo en 3, la ecuación tiene tres incógnitas. Al ser el número de
incógnitas mayor que 1 (cantidad de ecuaciones), habrá variables libres por lo que la ecuación tiene
infinitas soluciones. La cantidad de variables libres está dada por la diferencia entre el número de
incógnitas y el número de ecuaciones. Si llamamos N a la cantidad de variables libres, n a la cantidad
de incógnitas, como solo hay una ecuación será: N  n  1. En el ejemplo que resolvemos es
N  3  1  2 variables libres.
Tenemos 3 variables de las que 2 son variables libres, ellas pueden elegirse libremente y una vez
que la hemos elegido, queda automáticamente determinada la variable dependiente, que será la que
debemos expresar en función de las variables libres. Si elegimos como variables libres a x e y,
entonces z será la variable dependiente. Por lo tanto, z deberá expresarse en función de x e y, es
decir, z será la variable a despejar de la ecuación.
Por supuesto que salvo el caso en que la variable no aparece en la ecuación-que ya dijimos es
variable libre, podemos elegir como libres cualquiera de las variables de la ecuación. En el ejemplo,
podríamos haber elegido a z e y como variables libres, en este caso, x pasaría a ser la variable
dependiente. Pero cuidado una vez elegidas las variables libres, automáticamente quedan definidas
las dependientes, las que deben expresarse en función de las independientes, de forma que la
solución general tenga todas sus componentes en función de las variables independientes. En el
primer caso (x e y variables libres) se tiene:
x  2y  z  1  z  1  x  2y  z  1  x  2y
La solución general será la 3  upla (terna ordenada): XG  x,y, z  x, y, x  2y  1 que
como podemos ver, tienetodas sus componentes en función de las variables libres x e y. El conjunto
solución será el subconjunto de 3 cuyo elemento genérico es la solución general. Así expresado por
comprensión será:
CS  x,y, z  3/ z  1  x  2y
El nombre de solución general se debe a que, si reemplazamos estos valores en lugar de las
variables x,y, z de la ecuación, ella se verifica independientemente de los valores numéricos que
puedan tomar las variables libres. En efecto si reemplazamos z  x  2y  1 en la ecuación original
tenemos que:
x  2y  x  2y  1  1  x  2y  x  2y  1  1  1  1 igualdad verdadera.
Así que la solución general de la ecuación, representa cualquier solución de la ecuación, por lo
tanto representa cualquier elemento del conjunto solución. Es lo que llamamos el elemento
genérico del conjunto solución o representante de ese conjunto.
Si tomamos x  0 e y  1 y las reemplazamos en la solución general se obtiene:
Xp  0,1,1  0  2  1  0,1,1, entonces Xp  0,1,1 es una solución particular de la
ecuación.
En efecto, si reemplazamos estos valores en la ecuación x  2y  z  1, se tiene:
0  2  1  1  1  1  1 igualdad verdadera.
Si queremos responder lo solicitado en b debemos recordar que, una ecuación lineal en 3
variables de la forma ax  by  cz  d, representa en el espacio 3 un plano, si al menos alguno de
los coeficientes de las incógnitas es no nulo. Una solución de ella es cualquier terna ordenada de
números reales que haga que la igualdad sea verdadera. Así que si tenemos en cuenta que el plano es
un subconjunto del espacio, cuyos elementos son puntos, las soluciones de dicha ecuación serán los
puntos del espacio que pertenecen al plano que representa esa ecuación.
Ejemplo 2: Resuelve la siguiente ecuación en 3 : 3x  y  2
A pesar de que en la ecuación solo aparecen 2 variables x,y, la consigna dice que debemos
resolver la ecuación en el espacio 3, en conseuencia la ecuación tiene 3 incógnitas. Esto es,
estamos buscando las ternas ordenadas x,y, z que verifiquen la igualdad. Si calculamos el número
de variables libres tenemos: N  3  1  2, en consecuencia habrá 2 variables libres. Como en la
ecuación no aparece la variable z, de acuerdo a lo antes mencionado, será una variable libre. Si
elegimos a x como segunda variable libre, entonces y será la variable dependiente
Despejando y de la ecuación tenemos:
3x  y  2  y  2  3x, de manera que la solución general es:
XG  x,y, z  x, 2  3x, z y en consecuencia el conjunto solución será:
Cs  x,y, z  3/ y  2  3x
Si tomamos x  2 y z  4 al reemplazarlos en la solución general se obtiene una solución
particular: Xp  2,4,4
Si tomamos x  1 y z  1 al reemplazarlos en la solución general se obtiene otra solución
particular: Xp  1,5,1
Podríamos seguir asignando valores a las variables libres x, z de modo que para cada par de
valores obtenemos una solución particular de la ecuación. Como los valores a asignar a x, z solo
necesitan ser números reales y hay infinitos números reales para elegir, tendremos infinitas
soluciones particulares. De esta manera podemos asegurar que la ecuación tiene infinitas
soluciones.
Ejercicio 4:
Veamos si de la consigna queda claro el ¿qué debemos hacer?. Se dan algunas ecuaciones en
una incógnita y con parámetros para las que se solicita determinar, si existen, valores de los
parámetros tal que la ecuación:
i Tenga solución única ii Tenga infinitas soluciones iii No tenga solución
iv Tenga a 1 como única solución v Admita a 3 como una solución.
Si consideramos todos los incisos, vemos que para responderlos, debemos resolver la ecuación.
Veamos el ¿cómo lo hacemos?. La pregunta es. ¿Cómo se resuelve una ecuación con
parámetros?.
Cuando se resuelve una ecuación con parámetro(s), es importante saber diferenciar las incógnitas
de los parámetros. Pues bien ¿cuál es la diferencia entre una incógnita y un parámetro?.
Para responder esta pregunta, debemos tener en cuenta que, cuando una ecuación contiene un
parámetro, en realidad no se trata de una ecuación, sino de una familia de ecuaciones (conjunto de
infinitas ecuaciones). Cada una de las ecuaciones de esta familia se consigue asignando un valor
numérico al parámetro. Es decir, dada una ecuación en una (o más) incógnitas que contiene un
parámetro, al asignar un valor numérico al parámetro, lo que se hace es seleccionar o determinar una
de esas ecuaciones-que ya no contiene al parámetro- y que tendrá o no solución.
Así por ejemplo: Dada la ecuación en la incógnita x que contiene el parámetro k :
kk  1x  k  0 (familia de ecuaciones)
Si k  1  11  1x  1  0  0x  1 (una ecuación) que como vemos ya no contiene a k y no
tiene solución
Si k  0  00  1x  0  0  0x  0 (otra ecuación distinta a la anterior) que tampoco
contiene a k y tiene infinitas soluciones
Si k  3  33  1x  3  0  6x  3 (otra ecuación distinta a las anteriores) que tampoco
contiene a k y que tiene solución única.
Y así podríamos seguir indefinidamente asignando valores reales a k obteniendo ecuaciones que
ya no lo contienen. Al ser k un número real tenemos infinitas posibilidades de asignarle un valor, de
manera que, para cada valor de k elegido obtenemos una ecuación que tiene un determinado tipo de
solución. Asignarle un valor al parámetro en la ecuación que lo contiene, significa seleccionar una
de las infinitas ecuaciones de la familia, para determinar qué tipo de solución tiene o si no tiene
solución.
En consecuencia, resolver una ecuación con parámetro, es determinar los valores del parámetro
que permiten separar la familia de ecuaciones en subfamilias que tienen solución única, o que tienen
infinitas soluciones o que no tienen solución.
En cambio cuando se le asigna un valor numérico a la(s) incógnita(s), de una ecuación dada, lo
que se trata de ver, es si ese(esos) valor(es) constituyen o no una solución de la ecuación. Pero las
variables seguirán siendo incógnitas de la ecuación, aun cuando se les asigna un valor, cuantas veces
se quiera para repetir el proceso de ver si esos valores constituyen o no una solución de una misma
ecuación.
Así que !cuidado¡ a no confundirse, resolver una ecuación con parámetros, es estudiar o
determinar los valores que deben tomar los parámetros para que la ecuación resultante al
reemplazarlos en la ecuación con parámetros tenga un determinado tipo de solución. No debemos
olvidar que, hablar de solución de un ecuación, es hablar de los valores de las incógnitas que
verifiquen la igualdad, en consecuencia resolver una ecuación con parámetros es determinar
(despejar) las incógnitas dando condiciones al parámetro para que se obtenga la solución deseada.
No significa despejar el parámetro-error muy común- cuando no se tiene claro el significado de
parámetro e incógnita en una ecuación.
Por ejemplo en la ecuación en la incógnita x y los parámetros a y b
ax  b 1
Resolverla, significa encontrar el valor de la incógnita x, es decir despejar x. Como los valores de
a y b no están numéricamente determinados, para despejar la incógnita x, debemos analizar dos
situaciones según el valor del parámetro a:
1.- Si a  0   a1  x  a1b  x  ba . Es decir la ecuación tiene única solución.
2.- Si a  0, reemplazando en 1 queda: 0x  b.
En esta última igualdad, para determinar x, necesitamos a su vez analizar dos situaciones:
i Si b  0  0x  0 es Verdadera x  . Entonces la ecuación tiene infinitas soluciones
ii Si b  0  0x  b es Falsa x  . Entonces la ecuación no tiene solución
Como hemos podido observar, resolver la ecuación 1 consiste en determinar los valores de los
parámetros a y b que hacen que la 1 se transforme en una ecuación que: no tiene solución (Si
a  0  b  0), tiene solución única (Si a  0  b) o tiene infinitas soluciones (Si a  0  b  0).
Cualquier otra ecuación en una variable real y con parámetros puede escribirse como la 1,
haciendo uso de las propiedades de los números reales. En consecuencia al resolverla terminaremoshaciendo un análisis similar al realizado para la 1.
Vamos a desarrollar algunos ejemplos y en su resolución puntualizaremos lo que se solicita
específicamente en el ejercicio dado.
Ejemplo 1: Dada la ecuación en la incógnita x : k2x  k  1  x
Determina el valor del parámetro k para que la ecuación dada tenga:
i Solución única ii Infinitas soluciones iii Ninguna solución iv 2 como única solución
Recordemos que para encontrar la solución de una ecuación con una incógnita, se necesita
factorear la incógnita para poder despejarla. Es decir necesitamos escribirla como la ecuación 1
que analizamos más arriba. Veamos cómo:
k2x  k  1  x  k2x  x  1  k  k2  1x  k  1 2
Esta última ecuación tiene la forma de la ecuación 1 antes estudiada haciendo a  k2  1 y
b  k  1
Para poder despejar de 2 la incógnita x, como su coeficiente no es un valor numérico conocido
(depende del parámetro k), debemos dar condiciones para que no sea nulo, es decir pedirle que
k2  1  0, ello se consigue cuando k  1  k  1. Entonces:
Si k  1  k  1 será k2  1  0 por lo que en 2 se puede despejar x.
x 
k  1
k2  1

k  1
k  1k  1
 1
k  1
 x   1
k  1
Como vemos, hemos obtenido un único valor para la incógnita x. Entonces toda ecuación que
resulte de asignar valores al parámetro k tal que k  1  k  1 tendrá una única solución. En este
caso decimos que la ecuación 2 tiene solución única si k  1  k  1.
Su solución es x   1
k  1
si k  1  k  1 y en consecuencia su conjunto solución es:
CS  x  / x   1k  1 con k  1  k  1 . Hemos realizado lo pedido en i.
De todos los valores reales posibles que puede tomar k, ya analizamos lo que ocurre si
k  1  k  1. Resta ver que ocurre si k  1 o k  1.
Si k  1 reemplazado en 2 tenemos: 12  1x  1  1  0x  0. Igualdad verdadera x.
Entonces decimos que la ecuación 2 tiene infinitas soluciones si k  1. Hemos resuelto lo
pedido en ii
Su solución general es x  y en consecuencia su conjunto solución es el conjunto de los reales,
es decir: CS  .
Si k  1 reemplazado en 2 tenemos: 12  1x  1  1  0x  2. Igualdad falsa x.
Entonces decimos que la ecuación 2 no tiene solución si k  1. Hemos resuelto lo pedido en
iii. Será: CS  .
Para resolver iv observemos que la consigna dice que 2 sea la única solución. Esto significa en
primer lugar que 2 es solución de la ecuación, en segundo lugar, que 2 sea la única solución. Ya
hemos encontrado la condición para el parámetro k de forma que la ecuación tenga única solución al
resolver i y encontramos que esa única solución en función de k es x   1
k  1
Como 2 debe ser la única solución, entonces reemplazando el valor de x  2 en la misma
tenemos: 2   1
k  1
 2k  1  1  2k  2  1  2k  1  2  2k  3  k   3
2
.
La condición para k tal que la ecuación tenga única solución (hallada en i es k  1  k  1.
Vemos que k   3
2
cumple con esta condición, así que 2 será la única solución de la ecuación
solo si k   3
2
.
En definitiva, teniendo en cuenta que la ecuación 2 es equivalente a la ecuación original,
resumiendo lo realizado y explicitando la respuesta para cada uno de los incisos tendremos:
i Si k  1  k  1 la ecuación tiene solución única, esta solución es x   1
k  1
y el conjunto
solución es:
CS  x  / x   1k  1 con k  1  k  1
ii Si k  1 la ecuación tiene infinitas soluciones. Su solución general es x  y el conjunto
solución es: CS 
iii Si k  1 la ecuación no tiene solución en consecuencia el conjunto solución es: CS  
iv si k   3
2
la ecuación tiene como única solución a 2, la única solución es x  2 y el
conjunto solución es CS  2
Ejemplo 2: Determina el valor del parámetro para que la ecuación: k2x  2x  kx tenga:
i Solución única ii Infinitas soluciones iii Ninguna solución iv 1 sea una solución
Factoreamos la ecuación dada:
k2x  2x  kx  k2x  2x  kx  0  k2  k  2x  0
Si k2  k  2  0 podemos despejar x y será: x  0
k2  k  2
 0. Es decir la ecuación tendrá
solución única.
Veamos ahora para que valor de k se cumple que k2  k  2  0
Como el coeficiente de x, es una expresión cuadrática en el parámetro k, debemos analizar para
qué valores realmente es una cuadrática, ya que según ello aplicaremos o no la fórmula cuadrática
para determinar sus raíces. Vemos que k2  k  2 será cuadratica si k  0. Así que analizamos los
casos en que k  0  k  0
Si k  0, k2  k  2  2  0 la ecuación nos queda 2x  0  x  0. Es decir la ecuación
tiene solución única.
Si k  0, el coeficiente de x es una ecuación cuadrática en k. Resolvamos la igualdad (la
ecuación cuadrática k2  k  2  0) para ver para que valores de k se anula y luego negamos para
obtener la desigualdad. Aplicando la fórmula cuadrática tenemos:
k1,2 
1  12  412
2

1  9
2
 1
 3
2
 k1  2  k2  1.
Es decir k2  k  2  0 solo si k  2  k  1, en consecuencia k2  k  2  0 si k  2 
k  1. Por lo tanto:
Si k  2  k  1, k2  k  2x  0  k  2k  1x  0  x  0
k  2k  1
 0.
Es decir, la ecuación tiene solución única si k  2  k  1 y la única solución es x  0.
Si k  2  k  1 se tiene que k2  k  2  0 por lo que k2  k  2x  0 nos queda: 0x  0
que es verdadera x. En consecuencia la ecuación tiene infinitas soluciones si k  2  k  1. La
solución general es x  .
Ya hemos analizado todos los posibles valores de k y en algunos casos la ecuación tiene solución
única y en el resto infinitas soluciones. En consecuencia la ecuación tiene solución para cualquier
valor de k. Por lo tanto no existirán valores de k de forma que la ecuación no tenga solución.
Para responder iv, vemos que la consigna es que x  1 sea una solución. Veamos que a
diferencia del anterior ejemplo, aquí no se explicita que sea la única solución, así que debemos
considerar que sea una de las infinitas soluciones. Como la solución general es x  y x  1  ,
solo debemos exigir que se cumpla para el parámetro la condición que proporcionaba las infinitas
soluciones, es decir k  2  k  1
Si resumimos y explicitamos la respuesta para cada uno de los incisos será:
i Si k  2  k  1, la ecuación tiene solución única
ii Si k  2  k  1, la ecuación tiene infinitas soluciones
iii No existe k para que la ecuación no tenga solución
iv Si k  2  k  1, x  1 es una solución de la ecuación
Ejercicio 5.
Veamos la consigna para ver ¿qué debemos hacer?. Dados algunos sistemas de ecuaciones
lineales se requiere:
a Determinar si son consistentes o inconsistentes utilizando el algoritmo de Gauss.
b Decidir, justificando la respuesta, para los que sean consistentes, si tienen solución única o
infinitas soluciones.
c Encontrar la solución y en el caso de los que tengan infinitas soluciones expresar la solución
general, el conjunto solución y dar al menos dos soluciones particulares.
d Interpretar geométricamente la solución para los sistemas de 2 o 3 variables.
El concepto de sistema de ecuaciones lineales es de una gran importancia en el algebra lineal y
de gran utilidad para la resolución de muchos problemas de la vida cotidiana, como también de
problemas derivados de otras ciencias. Aunque generalmente muchos de los problemas derivados de
otras ciencias, no son lineales, se los simplifica considerándolos de esa forma debido a que se
pueden obtener soluciones con una buena aproximación práctica.
En el programa de la asignatura, el concepto de sistema de ecuaciones lineales, es de mucha
importancia, ya que se encuentra presente en casi todos los restantes temas de la misma. Muchos de
los problemas derivados de la aplicación de los distintos conceptos que vamos a estudiar, recaen en
la solución de un sistema de ecuaciones lineales equivalente. Por esta razón, es importante tener
claro todo lo relacionado con la solución de un sistema, los distintos tipos de solución y la resolución
de un sistema conparámetro ya que serán herramientas que vamos a necesitar y manejar
continuamente a lo largo del desarrollo de los trabajos prácticos que siguen.
Ahora bien, volviendo a la tarea, la consigna nos proporciona el ¿qué debemos hacer?, de la
misma surgen las preguntas: ¿Qué es la solución de un sistema?. ¿Cuándo decimos que un
sistema es consistente?. ¿Cuándo que es inconsistente?. ¿Cuándo se dice que un sistema tiene
solución única?. ¿Cuándo se dice que tiene infinitas soluciones?. ¿A qué se llama solución
general?. ¿A qué se denomina solución particular?. Una vez que se responden las mismas,
debemos preguntarnos ¿cómo lo vamos a hacer?. Ello nos llevará a preguntarnos entre otras cosas:
¿Cómo se determina la solución de un sistema de ecuaciones lineales?.¿En qué consiste el
algoritmo de Gauss? ¿Cómo se expresa la solución general?. ¿Cómo se encuentra una solución
particular?. ¿Cómo se interpreta gráficamente la solución?.
Es probable que en cursos previos, hayas estudiado y utilizado varios procedimientos o métodos
para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, como por ejemplo los métodos de:
igualación, sumas y restas, eliminación, etc. En cualquier texto de algebra lineal o en las clases
teóricas de la asignatura, te habrán presentado el método de eliminación de Gauss, que no es más
que el método de eliminación que ya conocías para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas, pero generalizado a un sistema de cualquier cantidad de ecuaciones como incógnitas
y utilizando un algoritmo que permite ir eliminando sucesivamente y gradualmente incógnitas, para
obtener un sistema equivalente al original (sistema escalonado) cuya solución es fácil de obtener.
Te sugiero que, aunque puedas resolver los sistemas dados por otros procedimientos, utilices el
algoritmo de Gauss para resolverlos, encontrando la solución del sistema escalonado equivalente,
que como sabemos es también solución del sistema original. Esto a los efectos de sistematizar el
procedimiento, entender el algoritmo que permite hallar el sistema escalonado equivalente e
interpretar a partir del mismo si el sistema tiene o no solución y en caso de tenerla, si tiene una única
o infinitas soluciones.
Conocido y comprendido el algoritmo, al aplicarlo recordemos que, una vez escalonado el
sistema, debemos tener presente el concepto de solución de un sistema. Recordemos que resolver un
sistema, es encontrar los valores de las incógnitas, que sean solución de todas y cada una de las
ecuaciones del sistema. Como los sistemas original y escalonado son equivalentes (tienen el mismo
conjunto solución), el hecho de que en el escalonado alguna de las ecuaciones se transforme en
una igualdad siempre falsa (inconsistencia), es suficiente para decir que el sistema no tienen
solución.
En la práctica esto se produce cuando en el proceso de escalonamiento, algunas de las filas de la
matriz ampliada del sistema tienen todas sus componentes nulas a excepción de la última (que
corresponde al término independiente de la ecuación respectiva). En consecuencia una vez
escalonado el sistema, este tendrá solución (será consistente) solo si ninguna de sus ecuaciones es
una inconsistencia. Es decir se ha construido la matriz escalonada de forma que ninguna de sus filas
tenga sus componentes nulas a excepción de la última (término independiente).
Si hemos determinado que el sistema tiene solución, para ver si la solución es única o si hay
infinitas, debemos tener presente que, un sistema tiene infinitas soluciones si hay variables libres
(independientes), caso contrario tiene única solución. Además debemos recordar que el número de
variables libres, es la diferencia entre la cantidad de variables del sistema original menos la
cantidad de ecuaciones del sistema escalonado.
Cuando se trate de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, la solución serán pares
ordenados de números reales, es decir puntos del plano. Para interpretar geométricamente la solución
del sistema, recordemos que una ecuación lineal con dos incógnitas en la que al menos uno de los
coeficientes de las variables sea no nulo, representa en el plano, una recta, por lo que la solución del
sistema, al ser solución de cada una de las ecuaciones, verificará cada una de ellas.
Resolver el sistema, será encontrar los puntos del plano, que son comunes a las rectas. De igual
manera cuando se trate de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas, recordemos que cada una de
ellas representará en el espacio un plano, si al menos alguno de los coeficientes de las incógnitas es
no nulo, por lo que encontrar su solución, equivale a encontrar los puntos del espacio que son
comunes a esos planos. Por lo tanto para interpretar geométricamente la solución, será útil
preguntarnos ¿Qué significará que el sistema no tenga solución? ¿Qué si tiene única solución?
¿Qué si tiene infinitas soluciones?.
Veamos algunos ejemplos que grafiquen cada una de estas situaciones
Ejemplo 1: Dado el siguiente sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, resuélvelo e interpreta
gráficamente su solución:
x  y  1
x  3y  1
¿Cómo? resolvemos el sistema. Utilizando el método de eliminación de Gauss. Para ello
recordemos que hay que escribir la matriz ampliada del sistema y llevarla a su forma escalonada
utilizando el algoritmo de Gauss, para obtener el sistema escalonado equivalente cuya solución será
la solución del sistema dado.
1 1 1
1 3 1

1 1 1
0 2 2
. El sistema escalonado es:
x  y  1
2y  2
Si observamos la matriz escalonada, comprobamos que en ninguna de sus filas se ha anulado
todos los coeficientes de las variables y no el término independiente. Esto equivale a que en el
sistema escalonado ninguna de sus ecuaciones se ha transformado en una inconsistencia, así que
podemos afirmar que el sistema tiene solución (es consistente).
Para poder ver cuál es el tipo de solución del sistema, necesitamos determinar en el sistema
escalonado, si hay o no variables libres. Para ello recordemos que el número de variables libre se
obtiene haciendo la diferencia entre la cantidad de variables del sistema y la cantidad de ecuaciones
del sistema escalonado. En el ejemplo tenemos:
Cantidad de incógnitas del sistema; n  2
Cantidad de ecuaciones del sistema escalonado: r  2
Cantidad de variables libres: N  n  r  2  2  0
Es decir no hay variables libres, en consecuencia el sistema es consistente y tiene solución única.
Para encontrar la solución, observemos que en el sistema escalonado, se ha eliminado en la
segunda ecuación la variable x, de modo que de ella podemos despejar y encontrar el valor de y,
luego por sustitución en la primera ecuación encontrar el valor de x. En efecto:
De la segunda ecuación: 2y  2  y   2
2
 y  1
Reemplazando este valor de y en x  y  1 tenemos: x  1  1  x  1  1  x  2
En consecuencia la única solución del sistema es el par ordenado x,y  2,1 y por lo tanto el
conjunto solución es un conjunto unitario. Es decir: CS  2,1
Si recordamos el concepto se solución de un sistema, sabemos que son los valores de las
variables que satisfacen (verifican) todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Veamos en el
ejemplo si la solución que hemos encontrado realmente lo es. Es decir veamos si verifican las 2
ecuaciones del sistema:
x,y  2,1 reemplazada en x  y  1 se tiene: 2  1  1  1  1 verifica
x,y  2,1 reemplazada en x  3y  1 se tiene: 2  31  1  1  1 verifica
Para interpretar geométricamente la solución debemos recordar que, una ecuación lineal de 2
incógnitas representa en el plano una recta, en consecuencia, si recordamos el concepto de solución,
como la solución debe verificar todas y cada una de las ecuaciones del sistema, resolver un sistema
de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas no es más que encontrar los puntos comunes de ambas
rectas.
Ya sabemos que dos rectas, en el plano, pueden tener un único punto en común (rectas secantes)
o todos sus puntos comunes (rectas paralelas iguales)o ningún punto en común (rectas paralelas
distintas).
En consecuencia si el sistema tiene solución única las rectas son secantes, si tiene infinitas
soluciones las rectas son paralelas iguales o coincidentes y si no tiene solución las rectas son
paralelas distintas. Para el ejemplo dado, el sistema tiene solución única, en consecuencia las
rectas son secantes. Te invito a que realices mediante un gráfico, la interpretación geométrica de la
solución encontrada.
Ejemplo 2: Dado los siguientes sistemas:
i
x  y  z  2
x  y  2z  1
ii
x  y  z  2
x  y  2z  1
2x  y  2z  2
iii
x  y  z  2
x  y  2z  1
2x  2y  2z  4
iv
x  y  z  2
x  y  2z  1
2x  2y  2z  2
v
x  y  z  2
x  y  2z  1
2x  2y  3z  3
a Decide, justificando tu respuesta sí cada uno de ellos es Consistente o Inconsistente
b En el caso de consistencia, indica justificando tu respuesta, si tiene única o infinitas
soluciones
c En el caso de infinitas soluciones encuentra la solución general y da dos soluciones
particulares
d Interpreta geométricamente la solución
i
x  y  z  2
x  y  2z  1
. Resolvemos mediante el algoritmo de Gauss
1 1 1 2
1 1 2 1

1 1 1 2
0 0 1 1
. El sistema escalonado es:
x  y  z  2
z  1
En el sistema escalonado ninguna de sus ecuaciones es una inconsistencia, en consecuencia
podemos decir que el sistema es consistente. Hemos resuelto lo pedido en a.
Hay más incógnitas que ecuaciones por lo que hay variables libres. N  3  2  1 variable libre.
en consecuencia el sistema tiene infinitas soluciones. Hemos resuelto lo pedido en b.
De la 2da ecuación del sistema escalonado z  1, si lo reemplazamos en la 1ra ecuación
tenemos x  y  1  2 de la que x  3  y, en consecuencia la solución general es:
XG  3  y, y, 1. Hemos resuelto lo pedido en c.
Para resolver lo pedido en d, recordemos que cada ecuación del sistema, representa un plano y
que determinar la solución del sistema es determinar los puntos comunes a ambos planos. Dos
planos en el espacio pueden tener todos sus puntos comunes (planos paralelos iguales), pueden no
tener puntos en común (planos paralelos distintos) o pueden tener infinitos puntos alineados en
común (secantes) (planos que se cortan en una recta). Si relacionamos con la solución del sistema,
interpretando geométricamente la misma tendremos que:
Si en el proceso de escalonamiento se anula una de las filas de la matriz ampliada, el sistema
escalonado tiene una ecuación y tres incógnitas por lo que hay N  3  1  2 variables libres. En
consecuencia, el sistema tiene infinitas soluciones con dos variables libres. Los planos tienen todos
sus puntos en común ya que la ecuación que se anula es equivalente a la primera, lo cual indica que
los planos son iguales y por lo tanto son paralelos iguales.
Si en el proceso de escalonamiento no se anula la 2da fila de la matriz de coeficientes, ninguna
de las ecuaciones que quedan es una inconsistencia y en el sistema escalonado quedan
N  3  2  1 variable libre, en consecuencia el sistema tiene infinitas soluciones con una
variable libre. A diferencia del anterior los planos tienen infinitos puntos alineados en común y
por lo tanto se cortan en una recta, es decir son secantes.
Si en el proceso de escalonamiento se anula la 2da fila de la matriz de coeficientes, pero no se
anula dicha fila en la matriz ampliada, la 2da ecuación del sistema escalonado es una inconsistencia,
por lo que el sistema es inconsistente-no tiene solución-y en consecuencia, los planos no tienen
puntos en común y por lo tanto son paralelos distintos.
En el ejemplo que estamos resolviendo, el sistema tiene infinitas soluciones con una variable
libre, por lo que podemos decir que los planos se cortan en una recta (son secantes).
ii
x  y  z  2
x  y  2z  1
2x  y  2z  2
. Resolvemos utilizando el método de eliminación de Gauss
Vemos que el sistema se obtiene del dado en i adicionándole una 3ra ecuación. En consecuencia
estamos buscando los puntos comunes a los tres planos. Ya sabemos por lo resuelto en i que los dos
primeros se cortan en una recta, veamos que ocurre con los puntos de esa recta en relación al 3er
plano.
El escalonamiento de Gauss nos proporciona la matriz ampliada escalonada
1 1 1 2
1 1 2 1
2 1 2 2

1 1 1 2
0 0 1 1
0 1 0 2

1 1 1 2
0 1 0 2
0 0 1 1
El sistema escalonado equivalente es:
x  y  z  2
y  2
z  1
Si analizamos el sistema escalonado podemos ver que ninguna de sus ecuaciones es una
inconsistencia. En consecuencia podemos afirmar que el sistema es consistente (tiene solución).
Hemos resuelto lo pedido en a.
Para ver el tipo de solución, debemos analizar si hay o no variables libres. Para ello debemos
calcular la diferencia entre la cantidad de incógnitas dels sistema
y la cantidad de ecuaciones del sistema escalonado. Vemos que hay 3 incógnitas y 3 ecuaciones,
por lo que la cantidad de variables libres será: N  3  3  0 variables libre. Por lo tanto no hay
variables libres, y en consecuencia podemos decir que el sistema tiene solución única. Hemos
resuelto lo pedido en b.
Podemos encontrar la solución mediante la sustitución de abajo hacia arriba a saber:
De la 3ra ecuación es z  1 y de la 2da ecuación es y  2. Si reemplazamos estos valores en la
1ra ecuación tenemos: x  2  1  2 de la cual x  1, por lo que la única solución del sistema es
x,y, z  1,2,1
Para interpretar geométricamente la solución debemos tener presente que los dos primeros
planos se cortan en una recta y que esa recta corta al tercer plano en el punto 1,2,1 que es la
única solución del sistema. Por lo cual los tres planos tienen en común ese único punto.
iii
x  y  z  2
x  y  2z  1
2x  2y  2z  4
Observemos que este sistema difiere del resuelto en i solo en la última ecuación. La tercera
ecuación de este sistema es la primera pero multiplicada por 2
Resolvemos utilizando el método de eliminación de Gauss
1 1 1 2
1 1 2 1
2 2 2 4

1 1 1 2
0 0 1 1
0 0 0 0
Como la última fila se ha anulado, la correspondiente ecuación desaparece ya que al ser una igualdad
siempre verdadera no necesita ser considerada, por lo que el sistema escalonado equivalente
será:
x  y  z  2
z  1
Como podemos ver es el mismo sistema escalonado que el obtenido al resolver i pero con la
diferencia que el sistema de partida o inicial ahora tiene tres ecuaciones.
Podemos ver que ninguna de sus ecuaciones es una inconsistencia. En consecuencia podemos
afirmar que el sistema es consistente (tiene solución). Hemos resuelto lo pedido en a.
Para ver el tipo de solución, debemos analizar si hay o no variables libres. La cantidad de
variables libres será: N  3  2  1. Por lo tanto hay una variable libre, y en consecuencia, podemos
decir que el sistema tiene infinitas soluciones. Hemos resuelto lo pedido en b.
El punto c ya lo hemos resuelto en i y la solución general es XG  x,y, z  3  y, y, 1
Si hacemos y  0 en la solución general obtenemos la terna: 3,0,1 que es una solución
particular del sistema.
Similarmente si hacemos y  1 obtenemos la terna 2,1,1 que es otra solución particular.
Observa que este sistema es tal que la tercera ecuación es el doble de la primera y el sistema
tiene infinitas soluciones. ¿Sera que para cualquier sistema de ecuaciones lineales, si una de sus
ecuaciones es múltiplo de otra el sistema tiene infinitas soluciones?. Te sugiero tratar de
responder esta pregunta justificando tu respuesta.
Para resolver d debemos tener en cuenta que por lo resuelto en i los dos primeros planos se
cortan en una recta. Vemos que la solución del sistema iii es la misma que para el sistema i por lo
tanto podemos decir que el tercer plano también pasa por la recta intersección de los anteriores. En
realidad el tercer plano es igual al primero ya que sus ecuaciones son equivalentes.
iv
x  y  z  2
x  y  2z  1
2x  2y  2z  2
Observemos que este sistema difiere del resuelto en i solo en la últimaecuación. La tercera
ecuación de este sistema es la primera pero multiplicada por 2 solo en los coeficientes de las
incógnitas, no así, el término independiente
Resolvemos utilizando el método de eliminación de Gauss
1 1 1 2
1 1 2 1
2 2 2 2

1 1 1 2
0 0 1 1
0 0 0 2
. El sistema escalonado es:
x  y  z  2
z  1
0z  2
Como la última ecuación 0z  2 es Falsa z, entonces, el sistema escalonado será inconsistente
y en consecuencia el sistema original que es su equivalente también lo será. Hemos resuelto lo
pedido en a.
Al ser el sistema inconsistente, en consecuencia queda sin efecto lo pedido en b y c.
Observa que este sistema es tal que la tercera ecuación se puede obtener de la primera
multiplicando por 2 los coeficientes de las variables pero no el término independiente y el sistema no
tiene solución. ¿Sera que para cualquier sistema de ecuaciones lineales si una de sus ecuaciones
es múltiplo de otra solo en los coeficientes de las incógnitas pero no el mismo múltiplo en el
término independiente, el sistema no tiene solución?. Te sugiero tratar de responder esta pregunta
justificando tu respuesta.
Te invito a resolver el sistema dado en v y verificar que tiene infinitas soluciones. También te
pido que observes que en ese sistema la tercera ecuación es la suma de las dos primeras. ¿Será que
en cualquier sistema de ecuaciones lineales si una de sus ecuaciones es la suma de otras el
sistema tiene infinitas soluciones?. Trata de responderla justificando tu respuesta.
Ejercicio 6:
De la consigna queda claro el ¿qué debemos hacer?. Utilizar el procedimiento de Gauss-Jordan
para encontrar la solución de los sistemas consistentes con única solución del Ejercicio 5. Para ver
¿cómo lo hacemos?, debemos recordar en qué consiste el procedimiento de Gauss-Jordan. Sabemos
que dicho procedimiento es un complemento del procedimiento de Gauss y consiste en utilizar el
escalonamiento de Gauss y posteriormente reutilizarlo escalonando de abajo hacia arriba para poder
llevar a la matriz ampliada del sistema a su forma escalonada reducida por filas. De esta manera al
escribir el sistema equivalente se obtiene directamente la solución del sistema a diferencia de Gauss
que lo hace por sustitución hacia atrás.
Recordemos que una matriz escalonada reducida por filas es toda matriz escalonada que cumple
lo siguiente
1) Los pivots o elemento principal de escalón en cada fila son todos iguales a 1.
2) Las columnas que contienen al pivot o elemento principal de escalón de cada fila tienen las
demás componentes nulas.
Veamos algunos ejemplos para clarificar el método de Gauss-Jordan.
Ejemplo 1 Resuelve el Ejemplo 2 ii) dado anteriormente para el ejercicio 5 a saber
x  y  z  2
x  y  2z  1
2x  y  2z  2
cuya matriz ampliada es
1 1 1 2
1 1 2 1
2 1 2 2
La matriz escalonada utilizando el proceso de Gauss que hemos obtenido anteriormente es:
1 1 1 2
0 1 0 2
0 0 1 1
Ahora usamos el escalonamiento de Gauss de abajo hacia arriba (escalonamiento de Jordan)
usando las operaciones elementales para llevar a la matriz escalonada a la forma escalonada reducida
por filas. Para ello debemos hacer cumplir las dos condiciones más arriba enunciadas
1 1 1 2
0 1 0 2
0 0 1 1
F2
 1F2
1 1 1 2
0 1 0 2
0 0 1 1
F1
 F1F3
1 1 0 3
0 1 0 2
0 0 1 1
F1
F1
 F2


1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 1
Para que se cumpla la condición 1) multiplicamos la fila 2 por (-1) (pasamos de la primera
matriz a la segunda)
Para poder cumplimentar la condición 2) debemos hacer ceros todas las demás componentes de
las columnas que contienen los pivots o elementos principales de escalón de cada fila.
Como la tercera columna de la 2da matriz (que contiene al 1 elemento principal de escalón de la
3ra fila) ya tiene un cero su componente en la 2da fila, solo resta hacer cero su componente en la 1ra
fila, para ello, hacemos la operación: F1
  F1  F3 (pasamos de la 2da matriz a la 3ra matriz)
Para hacer cero la componente de la segunda columna de la 3ra matriz, hacemos F1
  F1
  F2
(pasamos de la 3ra matriz a la 4ta matriz)
La 4ta matriz ya está en la forma escalonada reducida por filas.
En consecuencia podemos escribir el sistema escalonado asociado a ella que es:
x  1
y  2
z  1
Como podemos ver, nos proporciona directamente la solución x,y, z  1,2,1 que como
corresponde, es única e igual a la encontrada por el método de Gauss, ya que la solución no depende
del método que se utilice para determinarla.
Ejercicio 7
El ¿qué debemos hacer? surge de la consigna. En cada uno de los casos, dar, de ser posible, un
ejemplo de sistema de ecuaciones lineales que cumpla las condiciones pedidas. Para determinar
¿cómo lo vamos a hacer? y el ¿por qué? de lo que hacemos, debemos volver a leer la consigna y
observar que la misma no da por hecho que sea posible hacer lo solicitado. En este ejercicio
particularmente interviene fuertemente el ¿por qué?. Debemos analizar en cada caso las condiciones
dadas y recordando los conceptos involucrados, decidir si es o no posible hacer lo pedido,
justificando conceptualmente la respuesta que damos. Veamos algunos ejemplos ilustrativos.
Ejemplo 1: Igual consigna que la del ejercicio 7 del TP1 para:
Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas no escalonado que tenga como única solución
al par 1,1.
Si analizamos conceptualmente las condiciones de la consigna, vemos que se pide que el sistema
tenga única solución, que no esté escalonado y con igual cantidad de ecuaciones que incógnitas.
Sabemos que en el sistema escalonado es donde podemos ver si un sistema tiene solución y si la
tiene de qué tipo es. Sabemos también, que para que tenga solución, en el sistema escalonado,
ninguna de sus ecuaciones debe ser una falsedad y que, cumplido esto, para que tenga única
solución, debe haber tantas ecuaciones como incógnitas. Como partimos de un sistema con igual
cantidad de ecuaciones que incógnitas, en el proceso de Gauss, no debe anularse ninguna de las
ecuaciones. Así que esa es una cuestión a tener en cuenta al momento de buscar el sistema.
La consigna además dice que la única solución es el par 1,1, así que esa es otra cuestión a
tener en cuenta. Sabemos que una solución de un sistema es aquella que es solución de todas y cada
una de las ecuaciones del sistema, así que ésta es otra cuestión a tener en cuenta. Veamos si podemos
resumir estas cuestiones para proponer el sistema.
1) Como el sistema debe ser consistente ninguna de las ecuaciones del sistema escalonado debe
ser una inconsistencia. Por lo tanto la segunda fila de la matriz de coeficientes no debe ser múltiplo
de la primera.
2) El sistema tiene que tener solución única en consecuencia la 2da fila de la matriz ampliada no
debe ser múltiplo de la 1ra fila para garantizar que no se anule en el proceso
3) El par 1,1 debe ser la única solución del sistema en consecuencia debemos hacer que
verifique las ecuaciones del sistema propuesto (bastará dar el primer miembro de la ecuación y
calcular el término independiente reemplazando los valores de la solución pedida (x  1 e y  1
Respetando todo esto podemos decir que el sistema:
x  y  0
2x  y  1
cumple con las
condiciones pedidas. Te invito a verificarlo resolviendo el sistema.
Ejemplo 2: Igual consigna que la del ejercicio 7 del TP1 para:
Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo de 2 ecuaciones con tres incógnitas con única
solución.
Si analizamos el ¿qué debemos hacer? vemos que debemos dar un ejemplo, de ser posible, de un
sistema homogéneo que tenga única solución. Así que entre otras cosas debemos responder las
preguntas: ¿A qué se llama sistema homogéneo? ¿Cuándo decimos que un sistema tiene única
solución?. Si reuerdas, un sistema homogéneo es aquel en el que los términos independientes de
todas sus ecuaciones son nulos. Además si recordamos que un sistema homogéneo siempre tiene
solución, por lo tanto solo restará responder la pregunta acerca de cuándo podemos afirmar que un
sistema tiene única solución.Recordemos también que en el sistema escalonado equivalente es donde se analiza si un sistema
tiene o no solución, y si la tiene si es única o si tiene infinitas. Para ello debemos analizar, una vez
asegurada su consistencia, si hay o no variables libres y que su número es la diferencia entre la
cantidad de variables del sistema y la cantidad de incógnitas del sistema escalonado.
Ahora bien el sistema pedido tiene 3 incógnitas y dos ecuaciones, por lo que en el sistema
escalonado a lo sumo pueden quedar 2 ecuaciones. Por lo tanto la diferencia será no nula y en
consecuencia habrá variables libres y esto es suficiente para afirmar que tendrá infinitas soluciones.
Así que, no es posible dar un ejemplo de sistema que cumpla con las condiciones solicitadas.
Ejercicio 8:
De la consigna surge el ¿qué debemos hacer?: Determinar los valores de los parámetros para que
las rectas que determinan cada una de las ecuaciones lineales con dos incógnitas de los sistemas
dados sean secantes, paralelas coincidentes o paralelas distintas. Para ello debemos recordar cada
una de las definiciones de estas rectas y relacionarlas con la solución del sistema, asociado. Es decir
debemos responder las siguientes preguntas. ¿Cuándo se dice que dos rectas son secantes?.
¿Cuándo se dice que son paralelas coincidentes?. ¿Cuándo que son paralelas distintas?. ¿Qué
relación hay entre cada una de estas situaciones y la solución del sistema asociado?.
Para determinar ¿cómo lo vamos a hacer? y el ¿por qué? lo haremos así, sólo debemos utilizar
nuestras respuestas a las anteriores preguntas e interpretar las mismas. Veamos algunos ejemplos que
ilustren lo antes dicho.
Para responder los anteriores interrogantes, solo debemos recordar que: Dada una ecuación de la
forma a11x  a12y  b1. Si al menos una de las constantes a11, a12 es distinta de cero, representa en
2 una recta.
Una solución al sistema es un par ordenado de números, x,y que satisface cada una de las
ecuaciones del sistema, es decir una solución del sistema es un punto de 2 que pertenece a cada una
de las rectas, por lo que el conjunto solución del sistema será el conjunto de puntos comunes que
tienen ambas rectas
Si analizamos geométricamente el problema, dadas dos rectas en el plano puede suceder que:
1 Tengan un único punto en común. En este caso se dice que son secantes o que se cortan
2 Tengan todos sus puntos en común. En este caso decimos que son paralelas iguales o
coincidentes
2 No tengan puntos en común. En este caso decimos que son paralelas distintas
Si escribimos lo anterior en términos de la solución del sistema tendremos que:
1 El sistema tiene solución única, si y solo sí las rectas son secantes
2 El sistema tiene infinitas soluciones si y solo sí las rectas son paralelas coincidentes
3 El sistema no tiene solución si y solo sí las rectas son paralelas distintas
Ejemplo 1: Consigna igual a la del ejercicio 8 del TP1 para el sistema:
x  y  b
bx  b2y  1
Resolvamos el sistema (con parámetros), para poder determinar (si existen) los valores de los
parámetros de forma que se den cada una de las situaciones pedidas. A los efectos de asegurar que
cada una de las ecuaciones del sistema represente una recta debemos pedir que en ambas ecuaciones,
los coeficientes de las incógnitas, no sean simultáneamente nulos.
La primera ecuación tiene ambos coeficientes de las incógnitas no nulos, por lo que representará
una recta. En cambio en la segunda ecuación los coeficientes están en función del parámetro b, así
que se hace necesario que b  0 para que dicha ecuación represente una recta. Esta restricción debe
tenerse presente al realizar el análisis de la solución en función del valor del parámetro b.
Resolvemos el sistema por Gauss:
1 1 b
b b2 1

1 1 b
0 b2  b 1  b2

1 1 b
0 bb  1 1  b1  b
El sistema escalonado equivalente es:
x  y  b
bb  1y  1  b1  b
Este sistema escalonado vale para la condición b  0 que impusimos anteriormente para
asegurar que la segunda ecuación represente una recta. Así que si analizamos el sistema escalonado
tendremos que:
Si b  0  b  1, ninguna de las ecuaciones del sistema escalonado es una falsedad, por lo que
el sistema será consistente. Además en el sistema escalonado no se anula ninguna ecuación por lo
que tenemos que la cantidad de variables libres es N  2  2  0. En consecuencia el sistema tiene
solución única si b  0  b  1.
Ya hemos analizado lo que ocurre para todos los valores de b distintos de 0 y 1. Restaría ver qué
ocurre para esos dos valores.
b  0 no puede suceder ya que es la restricción que necesitamos imponer para que la segunda
ecuación del sistema sea una recta (debe serlo por la consigna ), así que solo resta analizar el valor
b  1.
Si reemplazamos b  1 en el sistema escalonado tenemos que:
x  y  1
0y  0
que es equivalente a x  y  1
En este último, la cantidad de variables libres es: N  2  1  1. Por lo tanto es un sistema
consistente con infinitas soluciones y en consecuencia las rectas serán paralelas coincidentes o
iguales si b  1.
Ya hemos analizado todos los posibles valores para b y el sistema o tiene única solución o tiene
infinitas soluciones. Por lo tanto no existen valores de b  0 tal que el sistema sea inconsistente. Es
decir no existen valores de b  0 tales que las rectas sean paralelas distintas.
Ejemplo 2: Consigna igual a la del ejercicio 8 del TP1 para el sistema:
a11x  a12y  b1
2x  2y  b2
A los efectos de asegurar que cada una de las ecuaciones del sistema represente una recta
debemos pedir que a11  0  a12  0 (no sean simultáneamente nulos). Esta restricción deberá
agregarse a las que surjan del análisis en cada uno de los casos a considerar.
Resolvamos el sistema por Gauss:
a11 a12 b1
2 2 b2
F1F2
2 2 b2
a11 a12 b1

2 a21 b2
0 2a12  2a11 2b1  a11b2
El sistema escalonado es:
2x  a21y  b2
2a12  2a11y  2b1  a11b2
Si consideramos lo antes dicho acerca de la relación de la solución del sistema con la
interpretación geométrica (posición relativa de las rectas) tendremos que:
Las rectas serán secantes solo si 2a12  2a11  0 (con ello aseguramos que el sistema sea
consistente con única solución) ya que de ese modo, ninguna de las ecuaciones es una inconsistencia
y hay en el sistema escalonado tantas ecuaciones como incógnitas, por lo que no hay variables libres,
lo que equivale a que hay única solución.
Así que si 2a12  2a11, es decir a12  a11, a11  0  a12  0, las rectas serán secantes
cualquiera sean b1 y b2.
Si 2a12  2a11  0  2b1  a11b2  0. Es decir si a12  a11  0  b1  12 a11b2 las rectas serán
paralelas coincidentes ya que en esta situación la 2da ecuación del sistema escalonado se elimina y
hay 2  1  1 variable libre, por lo que el sistema tendrá infinitas soluciones.
Si 2a12  2a11  0  2b1  a11b2  0. Es decir si a12  a11  0  b1  12 a11b2, las rectas serán
paralelas distintas, ya que en esta situación, la 2da ecuación del sistema escalonado es una
inconsistencia, por lo que el sistema será inconsistente.
Ejercicio 9
De la consigna surge el ¿qué debemos hacer?. Resolver un sistema de ecuaciones lineales con
parámetro(s). Este tipo de ejercicios es muy interesante ya que permite evaluar hasta que punto
hemos comprendido lo relacionado con la resolución de un sistema de ecuaciones lineales, el
concepto de solución del mismo y las condiciones necesarias y suficientes para los distintos tipos de
solución que se pueden presentar.
Para determinar ¿cómo lo vamos a hacer?, la pregunta que deberíamos hacernos es: ¿Que
significa resolver un sistema de ecuaciones lineales con parámetros?. Para responderla debemos
recordar lo que ya dijimos acerca de lo que es una ecuación con parámetro. De la misma manera un
sistema de ecuaciones con parámetros, en realidad no es un sistema sino una familia de sistemas.
Resolver un sistema con parámetros, será determinar los valores de los parámetros que distinguen,
de la familia de sistemas, aquellos que tienen o no solución y de losque tienen solución aquellos que
tienen una única o infinitas soluciones.
En otras palabras será determinar los valores de los parámetros que hacen que el sistema con
parámetros se transforme en un sistema que tenga o no solución y si la tiene, tenga única o infinitas
soluciones. Así qué !cuidado¡, cuando decimos determinar el valor de los parámetros, no equivale a
decir despejar los parámetros. No debemos olvidar que estamos buscando la solución de un
sistema y que ello significa determinar las incógnitas del sistema, que ya sabemos no son los
parámetros.
Por lo demás el procedimiento de resolución no difiere del empleado para resolver un sistema sin
parámetros. Lo único que se debe tener presente es que, en el proceso de escalonamiento, si tenemos
que tomar algún parámetro (o una expresión que lo contenga) como pivot, debemos condicionar su
valor y pedirle que no sea nulo (condición para aplicar el algoritmo de Gauss) y no perder de vista,
que todo lo que sigue a continuación, tiene validez sólo para esa condición. Por ello si queremos
saber qué pasa con la solución del sistema para el valor del parámetro que hace nulo al pivot, se debe
analizar el sistema resultante de tomar para el parámetro ese valor, en el paso previo a la condición
impuesta, y nunca en un paso posterior ya que a partir de allí el proceso vale solo si se cumple con la
condición impuesta al parámetro.
Una vez escalonado el sistema, para determinar los valores del parámetro que distingan las
distintas posibilidades de solución, debemos aplicar las condiciones necesarias y suficientes para
cada una de ellas. Es necesario analizar previamente lo que ocurre para los valores de las posibles
restricciones impuestas al parámetro en el proceso de escalonamiento, para determinar si esa
condición es una condición sólo para poder aplicar el algoritmo de Gauss o si además es una
condición de solución. Trataremos de explicitar y aclarar esto en los ejemplos que a continuación se
desarrollan.
Ejemplo1: Determina el valor del parámetro k de forma que el siguiente sistema:
kx  y  z  1
x  ky  z  1
x  y  kz  1
i Sea consistente con única solución
ii Sea consistente con infinitas soluciones
iii Sea inconsistente (no tenga solución)
Resolvemos por Gauss
k 1 1 1
1 k 1 1
1 1 k 1

1 k 1 1
k 1 1 1
1 1 k 1

1 k 1 1
0 1  k2 1  k 1  k
0 1  k k  1 0
k1


1 k 1 1
0 1  k 1 1
0 1 1 0

1 k 1 1
0 1 1 0
0 1  k 1 1

1 k 1 1
0 1 1 0
0 0 k  2 1
En el proceso de escalonamiento hemos realizado lo siguiente:
Para pasar de la 1ra matriz a la 2da, hemos intercambiado la 1ra fila con la 2da a los efectos de
no tomar el parámetro como pivot.
Para pasar de la 2da a la 3ra hemos aplicado el algoritmo de Gauss a la 2da y 3ra fila de la 2da
matriz
Para pasar de la 3da matriz a la 4ta, observando que en la 2da y 3ra fila hay un factor común el
1  k, si aseguramos que no sea nulo podemos dividir toda la ecuación por ese factor y hacer más
simples los cálculos. Si k  1, será 1  k  0. Dividimos la 2da y 3ra fila por 1  k teniendo en
cuenta que 1  k2  1  k1  k
Para pasar de la 4ta matriz a la 5ta para no tomar a 1  k como pivot hemos intercambiado la
2da y 3ra fila de la 4ta matriz
De esta manera llegamos al sistema escalonado: (*)
x  ky  z  1
y  z  0
k  2z  1
Veamos cómo respondemos las preguntas. En i nos solicitan que el sistema sea consistente con
única solución, en ii sea consistente con infinitas soluciones y en iii sea inconsistente (no tenga
solución)
Recordemos que la solución del sistema se discute analizando el sistema escalonado. Para que
tenga solución, debemos asegurarnos de que en el mismo ninguna ecuación sea una inconsistencia
(igualdad siempre falsa). También que si al menos una de las ecuaciones es una inconsistencia
entonces el sistema no tendrá solución.
Así que estaríamos tentados a responder analizando sin más en el sistema escalonado éstas
situaciones. Así observando que la 1ra y la 2da ecuación independiente de los valores de k serán
igualdades que no podrán ser inconsistencias. Eso no ocurre con la 3ra ecuación ya que si k  2 el
coeficiente de z se anula pero no se anula el termino independiente por lo que para ese valor esa
ecuación es una inconsistencia, entonces diríamos que para k  2 el sistema no tendría solución.
Por lo cual también podríamos afirmar que si k  2 el sistema tendría solución única.
Para el caso que tenga solución k  2, si queremos precisar si tiene única solución o infinitas
soluciones deberíamos asegurar, en el primer caso que en el sistema escalonado haya tantas
ecuaciones como incógnitas y en el segundo caso que haya menos ecuaciones que incógnitas
Realizando este análisis en el sistema escalonado, podríamos decir que:
Si k  2 el sistema tiene solución única y por lo tanto que no hay valores de k de forma que el
sistema tenga infinitas soluciones.
Sin embargo, proceder de esta manera sería un error, ya que estaríamos olvidando que en el
proceso de escalonamiento habíamos impuesto restricciones al parámetro y que el sistema
escalonado solo es válido si se cumplen éstas condiciones. Recordemos cuales eran estas
restricciones:
Impusimos que k  1, en consecuencia el sistema escalonado solo es válido si k  1. Por lo
tanto, no podemos dejar de tenerlo en cuenta al realizar el análisis de la solución. Pero ese valor de k
no puede analizarse en el sistema escalonado sino en el sistema antes de haber impuesto la condición
ya que podríamos encontrarnos que no solo es una condición de escalonamiento sino también de
solución.
Veamos que ocurre para k  1. Para ello debemos reemplazar ese valor en la 3ra matriz del
proceso (antes de imponer esa condición a k y continuar el proceso para resolver el sistema
resultante. Así tenemos
k  1 en
1 k 1 1
0 1  k2 1  k 1  k
0 1  k k  1 0

1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
El sistema escalonado resultante ahora es: x  y  z  1 .
Podemos decir que el mismo tiene infinitas soluciones ya que hay una única ecuación y 3
incógnitas y esa ecuación no es una inconsistencia.
¡Sorpresa! Resulta que cuando hicimos el anterior análisis en el sistema escalonado (sin
considerar las restricciones para k, decíamos que si k  2 el sistema tenía única solución y al tomar
k  1  2 llegamos a que el sistema tiene infinitas soluciones. Este es un ejemplo de lo que puede
ocurrir cuando resolvemos mecánicamente un problema, podemos dar una respuesta totalmente
equivocada.
En consecuencia no se debe analizar la solución en el sistema escalonado sin antes precisar que
ocurre con los valores restringidos del parámetro en el proceso de escalonamiento (en caso de haber
restringido el parámetro). En este caso la restricción k  1 no solo es condición de escalonamiento
sino que es también restricción para la solución única.
Analicemos ahora sí, las distintas posibilidades de solución en función de los valores de k.
Si k  2  k  1 es consistente y tiene solución única respuesta al i
Si k  2 el sistema es inconsistente ya que con este valor reemplazado en el sistema escalonado
(*) tenemos:
x  2y  z  1
y  z  0
0z  1
Como vemos su última ecuación es una falsedad z, aspecto que es suficiente para afirmar que
el sistema no tiene solución.
Si k  1 ya vimos que el sistema tiene infinitas soluciones.
Ejemplo 2: Determina el valor del parámetro k de forma que el siguiente sistema:
kx  y  z  k2
x  ky  z  1
x  y  kz  k  1
i Tenga solución única. Encontrarla
ii Tenga Infinitas Soluciones. Da la solución general
iii No tenga solución
Aplicamos el algoritmo de Gauss.
k 1 1 k2
1 k 1 1
1 1 k k  1
k0

k 1 1 k2
0 k2  1 k  1 k1  k
0 k  1 k2  1 k
k1

k 1 1 k2
0 k  1 1 k
0 k  1 k2  1 k
k1

k 1 1 k2
0 k  1 1 k
0 0 kk  1k  2 2k2
El sistema escalonado es:
kx  y  z  k2
k  1y  z  k
kk  1k  2z  2k2
Ahora podemos realizar el análisis para dar condiciones al parámetro a fin de lograr que el
sistema tenga, en cadacaso la solución solicitada.
Así para lograr que tenga solución única, debemos recordar que en el sistema escalonado
ninguna de sus ecuaciones se transforme en una inconsistencia (una igualdad siempre falsa), a fin de
que el sistema tenga solución y luego para que la solución sea única, asegurarnos de que en el
sistema escalonado haya igual cantidad de ecuaciones que incógnitas. Al contrario para que
tenga infinitas soluciones que en el sistema escalonado haya menos ecuaciones que incógnitas.
Si observamos la cantidad de ecuaciones que tenemos en el sistema escalonado, vemos que son
3, la tercera ecuación está en función del parámetro y podría suceder que para algunos valores del
parámetro se anulen todos sus términos y en consecuencia desaparezca del sistema escalonado. Por
lo tanto debemos excluir aquellos valores del parámetro que produzcan esta situación.
Pero recordemos también que en el proceso de escalonamiento tuvimos que imponer
restricciones al parámetro para poder seguir escalonando (impusimos las restricciones k  0 y k  1
y k  1. En consecuencia el sistema escalonado solo es válido si k  0 y k  1 y k  1
Antes de responder acerca de las distintas posibilidades de solución en el sistema escalonado,
veamos que sucede cuando k toma estos valores. Para ello debemos reemplazar cada uno de esos
valores en la matriz del proceso de Gauss anterior a la que resulta de imponer la restricción,
proseguir el proceso para ver qué sucede con el sistema resultante, y de esta manera, poder saber si
la restricción es o no una condición de solución o bien solo una condición de escalonamiento.
Reemplazando k  0 en
k 1 1 k2
1 k 1 1
1 1 k k  1

0 1 1 0
1 0 1 1
1 1 0 1

1 0 1 1
0 1 1 0
1 1 0 1

1 0 1 1
0 1 1 0
0 1 1 0

1 0 1 1
0 1 1 0
0 0 2 0
El sistema escalonado es:
x  z  1
y  z  0
 2z  0
En el cual hay tantas ecuaciones como incógnitas y ninguna de las ecuaciones es una
inconsistencia por lo que podemos decir que tiene solución única.
Reemplazamos k  1 en:
k 1 1 k2
0 k2  1 k  1 k1  k
0 k  1 k2  1 k

1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 1
El sistema escalonado es:
x  y  z  1
0z  1
Podemos observar que su 2da ecuación es una inconsistencia por lo que el sistema no tiene
solución.
Si reemplazamos k  1 en:
k 1 1 k2
0 k  1 1 k
0 k  1 k2  1 k

1 1 1 1
0 0 1 1
0 2 0 1

1 1 1 1
0 2 0 1
0 0 1 1
El sistema escalonado que se obtiene es:
x  y  z  1
2y  1
z  1
El cual tiene tantas ecuaciones como incógnitas y ninguna de ellas es una inconsistencia así que
podemos afirmar que tiene solución única.
Ahora si podemos realizar el análisis de las distintas posibilidades de solución. Volvamos al
sistema escalonado obtenido en el proceso de Gauss
kx  y  z  k2
k  1y  z  k
kk  1k  2z  2k2
Consideramos los valores ya analizados para dar las respuestas.
i Si k  2  k  1 El sistema tiene solución única.
iii Si k  2  k  1 El sistema es inconsistente (No tiene solución).
ii No existe k tal que el sistema tenga infinitas soluciones.
Podemos observar que de haber analizado la solución en el sistema escalonado, sin tener en
cuenta los condicionamientos para el parámetro k, las respuestas habrían sido totalmente dispares a
las encontradas. Así que mucho cuidado con esto. En lo posible intenta no tomar el parámetro como
pivot, pero si no tienes otra alternativa recuerda que debes analizar que ocurre para las restricciones
antes de dar tu respuesta.
Ejercicio 10:
En este ejercicio el ¿qué hay que realizar? está claramente definido por la consigna. Se trata de
resolver algunos problemas de aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales. Para ello es
necesario, escribir o plantear el sistema de ecuaciones lineales que lo modeliza.
En general, para resolver un problema, es conveniente sistematizar en una serie de pasos (un
algoritmo) el proceso de resolución. Esto ayuda a una mejor comprensión de lo que se está
realizando. Hay distintas maneras de hacerlo, y tiene que ver con la particularidad del problema y del
que lo resuelve, te propongo una que es algo general, y puede adaptarse a cualquier situación y
posiblemente útil al momento de enfrentarte a un problema.
1) Contextualizar el problema. Es decir, determinar a través de la lectura de la consigna el área
de aplicación del problema. Por ejemplo un problema geométrico, de la industria, de la física, etc.
Esto también es importante al momento de dar la solución caso contrario podremos dar una
respuesta que si bien puede ser solución del sistema (modelo matemático) puede no tener sentido en
el contexto del problema. Por ejemplo dar como solución un número racional cuando el problema
tiene como incógnitas cantidades que por el contexto del problema necesitan ser enteras.
2) Identificar las incógnitas del problema y darles un nombre simbólico. Las incógnitas del
problema-en general- surgen de las preguntas que tiene la consigna.
3) Identificar los datos y la relación de éstos con las incógnitas del problema. Para ello hay que
volver a leer la consigna en forma pausada deteniéndonos en la información que se proporciona en
ella.
4) Plantear las ecuaciones que relacionan los datos con las incógnitas. Para ello se debe
considerar dos cosas: en primer lugar los datos y su relación que ellos tienen con las incógnitas y en
segundo lugar el hecho de que toda ecuación es una igualdad que debe ser verdadera si se quiere que
el sistema tenga solución.
5) Verificar que la cantidad de ecuaciones que se puedan plantear con los datos sea igual a la
cantidad de incógnitas del problema a los efectos de que el sistema sea consistente con única
solución (lo usual en los problemas de aplicación) caso contrario estaremos ante un problema
indeterminado (con más de una solución).
Suele ser útil realizar un esquema gráfico de la situación problemática donde se vuelque la
información antes de proceder al planteo de las ecuaciones. En general es de gran utilidad ya que
ayuda a comprender el procedimiento y el planteo de las ecuaciones.
Ejemplo 1: Un fabricante de café para exigentes, prepara bolsas de 1 Kg a un costo de $850 de
un tipo de café mezclando granos de Colombia, Brasil y Kenia. Si el costo por Kg de estos granos es
de $1000, $600 y $800 respectivamente y por las exigencias de sabor, usa el triple de granos de
Colombia que el de Brasil. ¿Cuál es la cantidad de granos de cada variedad en la mezcla?
Veamos como seguimos los pasos del algoritmo propuesto
1) La lectura de la consigna nos dice que el problema se sitúa en la industria
2) Si leemos la pregunta de la consigna podemos identificar las incógnitas. Se trata de determinar
las cantidades de cada uno de los tipos de granos de café que se utilizan para la elaboración de un
tipo especial de café mediante la mezcla de los tres tipos de granos. Nombremos a cada uno de ellos
con un símbolo. Sean:
x : Cantidad en Kg de granos de café de Colombia utilizados en la mezcla
y : Cantidad en Kg de granos de café de Brasil utilizados en la mezcla
z : Cantidad en Kg de granos de café de Kenia utilizados en la mezcla
3) Identificamos los datos que surgen de la información dada en la consigna y su relación con las
incógnitas del problema:
Costo por Kg de la mezcla: $850, costo por Kg de los granos de Colombia: $1000, costo por Kg
de los granos de Brasil: $600 y costo por Kg de los granos de Kenia: $800. La cantidad de granos de
café de Colombia es el triple de la de Brasil.
4) Con los datos planteamos las ecuaciones, haciendo el correspondiente balance:
La suma de las cantidades en Kg de los distintos tipos de café que se mezclan, debe ser igual a la
cantidad en Kg de la mezcla. Entonces:
x  y  z  1
La suma de los costos por Kg de los distintos tipos de café que se mezclan debe ser igual al costo
de la mezcla
1000x  600y  800z  850
La cantidad en Kg de granos de café de Colombia debe ser el triple de la cantidad en Kg de los
granos de café de Brasil
x  3y
5) La cantidad de ecuaciones planteadas es 3 igual a la