Tutorial 5 Determinantes-Definición-Cálculo-Inversa de una matriz-regla de Cramer

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U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas
Asignatura: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Carreras: LAS, PM, LF, LER, TEU, TUES, TUP
Año: 2
do
Cuatrimestre 2019
Docente Responsable del curso: Ing. Augusto A. Estrada V
Tutorial N5
Determinantes-Definición-Cálculo-Inversa de una matriz-regla de Cramer
Introducción: En el presente trabajo práctico vamos a trabajar con el tema determinantes,
distintas formas de calcular un determinante y aplicaciones de los determinantes para el cálculo de la
inversa de una matriz y para la resolución de sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n
incógnitas cuya matriz de coeficientes sea inversible (sistema Crameriano) mediante el uso de la
regla de Cramer.
Ejercicio 1
¿Qué? debemos hacer. Calcular un determinante utilizando solo axiomas y/o propiedades.
¿Cómo? lo hacemos. Solo debemos recordar los axiomas de la función determinante y sus
propiedades y mediante un razonamiento lógico deductivo, utilizarlos para realizar el cálculo.
Ejemplo 1
Calcula utilizando solo los axiomas y/o propiedades el determinante de: A 
5 10
1 2
|A| 
5 10
1 2
1
 5
1 2
1 2
2
 0
3
 |A|  0
Veamos el ¿por qué?, justificación de lo que hicimos en cada uno de los pasos del proceso.
1. Aplicamos el axioma de homogeneidad en la 1ra fila ya que se pudo observar que sus
elementos tienen un múltiplo común que es 5
2: Aplicamos el Axioma de dos filas iguales (aplicado a la 1ra y 2da fila)
3: Aplicamos propiedad transitiva en
Ejemplo 2
Demuestra usando solo axiomas y/o propiedades que:
1 2 1
3 2 0
0 4 3
 0
¿Qué? debemos hacer. Demostrar que el determinante de una matriz dada es nulo. ¿Cómo? lo
hacemos. En primer lugar recordar los axiomas y las propiedades del determinante. En segundo lugar
analizar cuál o cuáles pueden ser de utilidad para el ejercicio en cuestión.
Cómo el segundo miembro de la igualdad es 0 (cero), habrá que preguntarse ¿Cuándo un
determinante de una matriz se anula?. Responder este interrogante nos indicará el camino a
seguir. Veamos cómo:
Si recordamos la definición de la función determinante vemos que el Axioma 3 indica que si dos
filas de una matriz son iguales su determinante se anula. No es el caso de la matriz del ejemplo (no
tiene dos filas iguales) así que no podemos aplicar directamente este axioma.
Entonces recordemos qué propiedades hacen que un determinante se anule. Tenemos dos:
Si una matriz tiene una fila nula (todos sus elementos nulos) su determinante se anula. No es el
caso de la matriz del ejemplo así que no podemos aplicar esta propiedad directamente.
Si una fila es combinación lineal de las restantes su determinante se anula. Esto no es
directamente observable en la matriz del ejemplo. Deberíamos de algún modo ver si eso ocurre o no.
Si bien es cierto, que en el caso de la matriz del ejemplo, no es posible aplicar directamente la
propiedad y/o el axioma, no quiere decir que no sea posible, utilizando alguna otra propiedad, poner
en evidencia la que se quiere aplicar. En consecuencia es necesario recordar todas las demás
propiedades y analizar cuáles pueden ser de utilidad.
Si recordamos hay una propiedad muy interesante (porque permite hacer ceros algunos de los
elementos de las filas (columnas) ¿la tienes?. Claro que sí esa esa!!
Si se suma a una fila de una matriz un múltiplo de otra fila (una combinación lineal de las
restantes) el determinante de la matriz no cambia *
Si observamos la matriz del ejemplo vemos que el 3er elemento de la 1ra columna ya es nulo y
que el primer elemento de la 1ra fila es 1. En consecuencia, si aplicamos la anterior propiedad,
podemos sumarle a la 2da fila, la 1ra multiplicada por 3. De esta forma, hacemos cero el primer
elemento de la 2da fila de la matriz resultante y su determinante sigue siendo el mismo que el de la
matriz original. Es decir:
1 2 1
3 2 0
0 4 3
F23F1
1 2 1
0 4 3
0 4 3
 0
Como podemos ver, al aplicar esta propiedad, obtenemos una matriz que tiene dos filas iguales
(la 2da y la 3ra). En consecuencia si le aplicamos el Axioma 3 podemos afirmar que su
determinante es nulo. y como su determinante es el mismo que el de la matriz original, ¡LISTO! ya
hemos probado lo que se nos pedía.
Ejemplo 3:
Demuestra usando solo axiomas y/o propiedades que:
a c c
b b b
c a b
 bb  aa  c
Del mismo modo que en el anterior ejemplo, debemos analizar lo que tenemos para ver qué
axiomas y/o propiedades pueden ser de utilidad para lograr lo que debemos demostrar. En este caso
el resultado del determinante es un producto de factores que están en función de los elementos de la
matriz. Una posibilidad sería ver si podemos encontrar tales factores como factor común de los
elementos de alguna fila (columna) de la matriz. Así por homogeneidad podríamos extraerlo fuera
del determinante.
También podríamos ver la forma de, utilizando propiedades que no cambien el determinante,
llevar a la matriz a su forma escalonada (triangular) tal que los elementos de la diagonal sean los
factores que aparecen en el determinante. En fin hay que ingeniárselas para visualizar las
propiedades que pueden ser de utilidad para realizar lo pedido. De hecho para poder ver cuáles
propiedades pueden ser útiles para resolver la tarea, no solo hay que conocerlas, sino también
comprenderlas para poder ver su utilidad. Veamos cómo.
Uno de los factores de los que aparecen en el resultado a obtener cuando calculemos el
determinante de la matriz es b. Si observamos la matriz, este es un factor presente en la 2da fila, así
que podemos extraerlo aplicando el axioma de homogeneidad en esa fila. También podemos
recordar que los axiomas de la función determinante se aplican por filas y que el determinante de
una matriz es igual al de su transpuesta. Si aplicamos esto último a la matriz resultante del paso
anterior se tiene:
A
a c c
b b b
c a b
Homog.F2 b
B
a c c
1 1 1
c a b
DetBdetBT
 b
C
a 1 c
c 1 a
c 1 b
Ahora recordemos que a  c y b  a son otros de los factores del determinante que debemos
obtener. Si observamos la matriz C, vemos que si restamos la fila 2 a la fila 1 obtenemos en los
elementos de la fila resultante el factor a  c y que si restamos esa misma fila a la fila 3 obtenemos
en la fila resultante el otro factor b  a. Es decir tendremos como ultima igualdad:
DetBdetBT
 b
C
a 1 c
c 1 a
c 1 b
F1F2
F3F2
 b
D
a  c 0 c  a
c 1 a
c 1 b
Si aplicamos ahora homogeneidad en la fila 1 de la matriz D y luego homogeneidad en la fila 3
de la misma tendremos que:
F1F2
F3F2
 b
D
a  c 0 c  a
c 1 a
0 0 b  a
Homog.F1
ba  c
E
1 0 1
c 1 a
0 0 b  a
Homog.F3 ba  cb  a
F
1 0 1
c 1 a
0 0 1
La última igualdad muestra que el determinante es igual al producto de los tres factores
multiplicado por el determinante de la matriz F. Para lograr lo deseado, bastaría mostrar que det F
vale 1.
Si observamos esa matriz, vemos que si hacemos cero el segundo elemento de la segunda fila
será una matriz triangular, cuyos elementos de su diagonal son todos unos. Esto se consigue
sumándole a la 2da fila la 1ra fila multiplicada por el opuesto de c c  0. con lo cual:
ba  cb  a
F
1 0 1
c 1 a
0 0 1
 ba  cb  a
G
1 0 1
0 1 a  c
0 0 1
 ba  cb  a
Si resumimos la justificación de cada paso del proceso realizado tenemos que:
1ra igualdad: Se aplica el Axioma de homogeneidad en la fila 2 de la matriz A con el escalar b.
Entonces. |A|  b|B|
2da igualdad: Se aplica la propiedad de que el determinante de una matriz y su transpuesta es el
mismo. Como C  BT  |B|  |C|  |A|  b|C|
3ra igualdad: Se aplica la propiedad * enunciada más arriba: Se resta la fila 2 a la fila 1 y a la
fila 3, entonces |C|  |D| |A|  b|D|
4ta igualdad: Se aplica homogeneidad en la fila1 de la matriz D con escalar a  c. Entonces
|D|  a  c|E|  |A|  ba  c|E|
5ta igualdad: Se aplica homogeneidad en la fila 3 con escalar b  a, entonces |E|  b  a|F|
 |A|  bc  ab  a|F|
6ta igualdad: Se aplica propiedad* enunciada más arriba. Se resta a la fila 1 la fila 2
multiplicada por c, entonces |F|  |G| |A|  bc  ab  a|G|
7ta igualdad: Se aplica propiedad de que el determinante de una matriz triangular es el producto
de los elementos de su diagonal principal, en este caso todos esos elementos son 1, entonces |G|  1
por lo que |A|  bc  ab  a con lo cual hemos demostrado lo pedido.
Como estudiante aprendiz, seguro te estarás preguntando ¿pero yo cómo me doy cuenta que es
lo que debo hacer en cada paso? La respuesta no es simple pero tampoco es un enigma, tendrá que
ver entre otras cosas, con la particularidad de lo que estas demostrando y sobre todo de la capacidad
de razonar deductivamente. Lo que sí es válido, que en cualquier demostración, nunca hay que
perder de vista lo que estamos queriendo realizar, en función de ello, es que, analizando lo que
tenemos y lo que queremos lograr, elegiremos la herramienta adecuada y más eficaz. Claro siempre y
cuando tengas esas herramientas y sepas como se usan. Como ya repetimos varias veces, las
herramientas no son más que los conocimientos teóricos relacionados con la tarea a realizar y el
saber usarlas esta relacionado con la habilidad de manejar el pensamiento lógico deductivo, el que es
necesario desarrollar. El desarrollo de una habilidad requiere ejercitación, asi que mientras más
practiques, más habilidad tendrás para hacer demostraciones.
Ejercicio 2
¿Qué? debemos hacer. Demostrar utilizando los axiomas de la función determinante, que el
determinante de una matriz especial de 2  2 se calcula de una cierta forma o es igual a una cierta
expresión en función de sus elementos. ¿Cómo? lo hacemos. Solo hay que aplicar esta definición y
mostrar que el determinante viene dado por la expresión propuesta.
Ejemplo 1
Calcula utilizando solo los axiomas y/o propiedades el determinante de cualquier matriz
triangular superior de 2x2
Una matriz triangular superior de 2x2, por definición, será cualquier matriz A de la forma
A 
a11 a12
0 a22
Si consideramos a las filas de A ( F i, como vectores, serán vectores de 2. Si recordamos que
cualquier vector de 2 se puede expresar en coordenadas de la base canónica de 2, que sabemos es
I1, I2  1,0, 0,1 tendremos que:
F1  a11,a12  a111,0  a120,1  a11I1  a12I2 y
F2  0,a12  01,0  a220,1  a22I2
|A|  detF1,F2
 detF1,F2
1
 deta11I1  a12I2,a22I2
 deta11I1  a12I2,a22I2
2
 deta11I1,a22I2  deta12I2,a22I2
 deta11I1,a22I2  deta12I2,a22I2
3
 a11 detI1,a22I2  a12 detI2,a22I2
 a11 detI1,a22I2  a12 detI2,a22I2
4
 a11a22 detI1, I2  a12a22 detI2, I2
 a11a22 detI1, I2  a12a22 detI2, I2
5
 a11a22  1  a12a22  0
 a11a22  1  a12a220
6
 a11a22
 |A|
7
 a11a22
Veamos la justificación (el por qué) de lo que hicimos en cada paso del proceso:
1. Sustitución de las filas de A en función de su expresión en coordenadas de la base canónica.
2. Linealidad aplicada a la 1ra fila.
3: Homogeneidad aplicada a la 1ra fila en c/u de los determinantes.
4. Homogeneidad aplicada a la 2da fila en c/u de los determinantes.
5: Axioma 4 aplicado en el 1er determinante y Axioma de dos filas iguales aplicado en el 2do
determinante.
6: Neutro del producto y de la suma en , propiedad en , a. 0  0 a
7:_ Propiedad Transitiva en
Ejercicio 3
¿Qué? debemos hacer. Conociendo el determinante de una matriz genérica A dada, calcular el
determinante de otra matriz B dada cuyas filas están en función de las filas de A. ¿Cómo? lo
hacemos. El procedimiento es similar a lo considerado para el ejercicio 1. Se busca calcular un
determinante, por lo que los axiomas y/o propiedades son herramientas que ya vimos son útiles para
tal fin.
Ejemplo 1:
Sabiendo que:
|A| 
a b c
1 1 1
3 2 0
 4. Calcula usando solo axiomas y/o propiedades, |B| 
5a 10 15
b 2 2
c 2 0
Lo primero que debemos hacer es comparar las dos matrices, aquella cuyo determinante
conocemos A y aquella cuyo determinante debemos calcular B, ya que como en la matriz B no
todos sus elementos son conocidos, la única manera de calcular su determinante es relacionarlo,
mediante los axiomas y/o propiedades, con el determinante de la matriz A, cuyo determinante se
conoce.
En primer lugar podemos ver que la primera fila de la matriz tiene un factor común entre sus
elementos, así que podemos aplicar el axioma de homogeneidad en esa fila. Es decir:
5a 10 15
b 2 2
c 2 0
 5
a 2 3
b 2 2
c 2 0
Ahora comparamos nuevamente la última matriz con aquella cuyo determinante conocemos
podemos ver que la 1ra y 3ra fila de ella son iguales a la 1ra y 3ra columna respectivamente de la
última matriz. Así que transponiendo la última tendríamos una matriz cuya 1ra y 3ra fila coinciden
con la 1ra y 3ra fila de la matriz cuyo determinante es dato. La pregunta a realizarnos es ¿cuándo
traspongo una matriz cambia o no el determinante? Si recordamos las propiedades de
determinantes podemos responder que no. En consecuencia:
5
a 2 3
b 2 2
c 2 0
 5
a b c
2 2 2
3 2 0

Ahora comparando esta última con la primera podemos observar que su 2da fila es 2 veces la
2da fila de la matriz cuyo determinante se conoce, así que si aplicamos homogeneidad en esa fila
tendremos:
 5
a b c
2 2 2
3 2 0
 5  2
a b c
1 1 1
3 2 0
 10  4  40
El último paso hemos aprovechado el dato del problema, ya que el último determinante que nos
había quedado, es el conocido.
Ejemplo 2: Sabiendo que: detF1,F2,F3  2, calcula detF1, 2F1  3F2,F3
detF1, 2F1  3F2,F3  detF1, 2F1,F3  detF1, 3F2,F3 Por linealidad en la 2da fila
 2det F1,F1,F3  3det F1,F2,F3 Por homogenidad en la 2da fila
 0  3  2 Por Axioma 3 e hipótesis
 6 Por producto y neutro en
 detF1, 2F13F2,F3  F2  6 Por transitiva en
Ejercicios 4
¿Qué? debemos hacer. En el inciso a calcular el determinante de una matriz utilizando dos
métodos: el de Laplace y el algoritmo de Gauss. ¿Cómo? lo hacemos. Recordando en qué consisten
tales métodos de cálculo de un determinante y aplicándolos para determinar el determinante que se
pide calcular.
Ejemplo1: Calcula el determinante de la siguiente matriz utilizando:
i El desarrollo de Laplace ii El algoritmo de Gauss:
A 
0 1 1
2 2 1
1 3 2
i Recordemos que si Ann su determinante se puede calcular realizando el desarrollo de Laplace
por la fila i  ésima mediante la expresión:
|A|  
k1
n
aikc ik I
Donde: aik son los elementos de la fila i, los c ik se denominan los cofactores correspondientes a
cada elemento de la fila i siendo c ik  1 ikmik
mik se denominan los menores correspondientes a cada uno de los elementos de la fila i y no son
más que los determinantes de las matrices Mik de orden n  1 que resultan de eliminar en la matriz A
la fila i y la columna k respectivamente.
Calculemos el determinante de la matriz haciendo el desarrollo por la 2da fila.
En este caso será i  2, n  3 por lo que la I queda:
|A|  
k1
3
a2kc2k  a21c21  a22c22  a23c23
Calculemos los cofactores correspondientes a los elementos de la 2da fila
c21  121m21  13
1 1
3 2
 5  5
c22  122m22  14
0 1
1 2
 1
c23  123m23  15
0 1
1 3
 1  1
Reemplazando estos valores en la expresión anterior tenemos:
|A|  2  5  21  11  7  |A|  7
Recordemos que el desarrollo de Laplace se puede realizar por cualquiera de las filas de A y por
ser el determinante una función, asigna a cada matriz un único número, el resultado siempre será el
mismo. Esto es algo muy útil a la hora de elegir la fila para realizar el desarrollo de Laplace, ya que
si elegimos aquella fila que tenga muchos de sus elementos nulos, la cantidad de cofactores a
calcular disminuye debido a que para el elemento nulo de la fila, no hace falta calcular el respectivo
cofactor, porque al ser el elemento respectivo nulo, ese producto será nulo.
Así en el ejemplo si elegimos realizar el desarrollo de Laplace por la 1ra fila para la cual
a11  0, será a11c11 0 y en consecuencia para calcular el determinante, sólo debemos calcular dos
cofactores. Realiza este cálculo y verifica que el resultado es igual al que hemos obtenido
anteriormente.
ii Este procedimiento consiste en aprovechar el escalonamiento de Gauss y las propiedades y/o
axiomas de la función determinante, para calcular el determinante de una matriz. Sólo debemos
interpretar que sucede con el determinante de las matrices equivalente por filas, que resultan de la
aplicación del algoritmo de Gauss en cada paso del proceso.
Recordemos que en el proceso de escalonamiento (aplicación del algoritmo de Gauss) se aplican
tres tipos de operaciones:
1. Intercambio de filas
2. Multiplicación de una fila por un escalar no nulo
3. Sumar a una fila un múltiplo de otra fila
En la primera el determinante de la matriz que se obtiene al realizar esta operación cambia su
signo por cada cambio de filas que se realiza.
En la segunda el determinante de la matriz que se obtiene al aplicar esta operación, es igual al
determinante de la matriz original multiplicado por el escalar (Axioma de Homogeneidad).
En la tercera el determinante de la matriz que se obtiene al aplicar esta operación no sufre ningún
cambio debido a la propiedad: * Se puede sumar a una fila un múltiplo de otra (una combinación
lineal de las estantes) sin que el determinante cambie.
Veamos si se clarifica con el desarrollo del ejemplo
0 1 1
2 2 1
1 3 2
A
11
F1F2
2 2 1
0 1 1
1 3 2
A1
21

1 0 1
0 1 1
0 4 3
A2
11
2 0 1
0 1 3
0 0 7
A3
Veamos lo que ocurre con el determinante de las matrices sucesivas que se obtienen en cada
paso del proceso de escalonamiento.
Para pasar de A a A1 hemos intercambiado las fila 1 y 2. Como esta operación cambia el signo
del determinante (para recordarlo escribo en la parte superior 1
En este caso |A1 |  1|A|
Para pasar de A1 a A2 hemos utilizado el pivot 2 para hacer cero en la fila 3 realizando dos
operaciones:
1 Multiplicar la fila 3 por el pivot 2
2 Sumar a la fila 3 la fila 1 multiplicada por  1
La operación 1 no es más que aplicar el axioma de homogeneidad en la fila 3 (para recordarlo
escribo en la parte superior de la matriz A el pivot elevado a la cantidad de veces que lo utilicé para
hacer ceros). En este caso 21. La operación 2 es la propiedad * enunciada más arriba y que ya
sabemos no cambia el determinante. En consecuencia pasar de A1 a A2 es equivalente a aplicar el
axioma de homogeneidad, así que:
|A2 |  21|A1 |
Para pasar de A2 a A3 el proceso es similar pero ahora con el pivot 1 utilizado una vez para hacer
ceros en la fila 3 de A2, por lo que
|A3 |  11|A2 |
Si reemplazamos en esta expresión las anteriores tenemos que:
|A3 |  11|A2 |  1121|A1 |  11. 211|A|  |A3 |  11. 211|A|
Como la matriz A3 es una matriz triangular, sabemos por propiedad que su determinante es el
producto de los elementos de su diagonal principal, en consecuencia de la última expresión podemos
despejar |A| que será:
|A|  |
A3 |
22. 111
 142  7  |A|  7.
Que como no podía ser de otra manera, es el mismo valor que el encontrado anteriormente
utilizando el desarrollo de Laplace.
Si generalizamos el procedimiento podemos decir que:
Dada una matriz A a la cual se la lleva a la forma escalonada mediante el proceso de Gauss. Si
llamamos AE a la matriz escalonada (matriz triangular) entonces:
|A|  |
AE |
1np1
r1 .p2
r2 . . .pk
rk
Siendo:
n : cantidad de intercambios de filas realizado en todo el proceso de escalonamiento
pi i  1,2, . . . ,k pivot utilizados en el paso i del proceso
ri i  1,2, . . . ,k el número de veces que se utilizó el pivot pi para hacer ceros en el paso i del el
proceso.
En el inciso b debemos determinar la matriz de los cofactores y la matriz adjunta de una matriz
dada. ¿Cómo? lo hacemos. Bastará recordar estos conceptos y aplicarlos para realizar su cálculo.
Recordemos a que se llama cofactores de una matriz, matriz de los cofactores ymatriz
adjunta de una matriz dada.
Sabemos que dada Anxn  aij llamamos cofactor correspondiente al elemento aij y lo
simbolizamos por c ij y esta definido por:
c ij  1 ijmij donde mij se denomina el menor correspondiente al elemento aij y es el
determinante de la matriz Mij de orden n  1 que resulta de eliminar en la matriz A la fila i y la
columna j.
A la matriz cuyos elementos son los cofactores de la matriz A se la denomina Matriz de
cofactores de A y la simbolizamos por CofA. Es decir:
CofAnn  c ij
Y llamamos matriz adjunta de la matriz A a la matriz transpuesta de la matriz de cofactores. Es
decir:
AdjA  CofAT  c ji
En el inciso c debemos verificar que el producto de la matriz A por su matriz adjunta es
conmutativo e igual a una matriz escalar con escalar igual al determinante de A. Bastará con
encontrar la matriz adjunta y realizar los cálculos que permitan verificar lo pedido. Para responder la
pregunta si eso se cumple para cualquier matriz A, bastará recordar los conceptos teóricos
relacionados con esto. ¿Los tienes?
Ejercicio 5:
¿Qué? debemos hacer. Responder al interrogante acerca de si las matrices del ejercicio 4 son o
no inversibles, y en el caso de que lo fueran, determinar su inversa mediante la adjunta. ¿Cómo? lo
hacemos. Bastará recordar que la condición necesaria y suficiente para que una matriz Ann sea
inversible es que su determinante no sea nulo y que en este caso su inversa viene dada por:
A1  1
|A|
AdjA
Ejemplo 1:
Para la matriz A dada en el ejemplo 1 para el ejercicio 4
i Justifica que es inversible ii Calcula la matriz adjunta
iii Calcula A1 utilizando la adjunta iv Calcula el cofactor correspondiente al a32
i Sabemos que detA  7  0 calculado en el ejemplo 1 dado para el ejercicio 4. En
consecuencia por lo dicho más arriba, la matriz A del ejemplo 1 dado para el ejercicio 4, es
inversible
ii Para hallar la adjunta solo debemos recordar cómo se define la misma. Sabemos que:
AdjA  CofAT donde: CofA : es la matriz de los cofactores de la matriz A cuyas
componentes no son más que los cofactores de la matriz A.
En el ejemplo propuesto
CofA 
c11 c12 c13
c21 c22 c23
c31 c32 c33
, donde A 
0 1 1
2 2 1
1 3 2
Calculemos los cofactores (ya hemos calculado alguno de los cofactores en el ejemplo 1 dado
para el ejercicio 4) para calcular |A| utilizando el desarrollo de Laplace.
c11  111m11  12
2 1
3 2
 1  1
c12  112m12  13
2 1
1 2
 3  3
c13  113m13  14
2 2
1 3
 4  4
c21  121m21  13
1 1
3 2
 5  5
c22  122m22  14
0 1
1 2
 1  1
c23  123m23  15
0 1
1 3
 1  1
c31  131m31  14
1 1
2 1
 3  3
c32  132m32  15
0 1
2 1
 2  2
c33  133m33  16
0 1
2 2
 2  2
En consecuencia la matriz de los cofactores y la matriz Adjunta de A serán respectivamente:
CofaA 
1 3 4
5 1 1
3 2 2
y AdjA  CofaAT 
1 5 3
3 1 2
4 1 2
iii Sólo debemos recordar cómo se calcula A1 utilizando la Adjunta. Sabemos que:
A1  1
|A|
AdjA y que |A|  7  0 (calculado en el ejemplo 1 dado para el ejercicio 4). Entonces:
A1  1
|A|
AdjA  1
7
1 5 3
3 1 2
4 1 2

 17
5
7 
3
7
3
7 
1
7
2
7
 47
1
7 
2
7
iv El cofactor correspondiente al a32 es c32  2 (ya calculado al calcular la matriz de los
cofactores)
Ejercicio 6
¿Qué? debemos hacer. Dado un sistema de ecuaciones lineales, de la forma AX  B, en el inciso
a justificar sin resolverlo, que es consistente con única solución, y en el inciso b encontrar la
solución en forma matricial. ¿Cómo? lo hacemos.
Para el inciso a bastará con recordar un teorema que relaciona un sistema de ecuaciones lineales
de igual cantidad de ecuaciones que incógnitas con la matriz de coeficientes del mismo. ¿Recuerdas
cual es? y ¿qué dice?. Si aun no lo tienes, repasa tus apuntes teóricos y podrás ver que con dicho
teorema se puede justificar lo pedido.
En el inciso b debemos determinarla solución del sistema trabajando en forma matricial. Es
decir despejando la matriz columna de las incógnitas como resultado de operaciones entre matrices.
¿Cómo? lo hacemos. Es algo que ya hicimos en el TP2, Para despejar X de la ecuación matricial
AX  B es necesario que exista A1 con lo que pre multiplicando ambos miembros de la igualdad a
izquierda por A1 obtenemos X  A1B.
Ejemplo 1: Para el sistema lineal de ecuaciones lineales AX  B en el cual A es la matriz dada
para el ejemplo 1 dado para el ejercicio 4, determina su solución utilizando la inversa de la matriz
de coeficientes A, y con
B 
1
0
3
Ya hemos determinado en el ejemplo 1 dado para el Ejecicio 5 que:
A1 
 17
5
7 
3
7
3
7 
1
7
2
7
 47
1
7 
2
7
Por lo que para determinar la solución del sistema utilizando la inversa, sólo debemos utilizar la
expresión hallada más arriba para X. Es decir: X  A1B
Sabemos por un teorema ya demostrado que: Si A es inversible entonces AX  B tiene solución
única y es X  A1B. Esto se debe a que como A1 es única para cada matriz A y B es único para
cada sistema, su producto será único y en consecuencia al ser X el resultado de ese producto también
será único.
X 
x
y
z

 17
5
7 
3
7
3
7 
1
7
2
7
 47
1
7 
2
7
1
0
2

x
y
z

1
1
 87
Ejercicio 7
¿Qué? debemos hacer. Encontrar las condiciones que debe cumplir algún (nos) parámetro (s)
para que una matriz dada cuyos elementos están en función del (de los) parámetro (s), sea inversible.
¿Cómo? lo hacemos. Sólo requiere recordar la condición necesaria y suficiente para que una matriz
posea inversa. Como recordarás la misma es que su determinante sea no nulo. Así que solo hay que
calcular el determinante, el que nos dará una expresión en el (los) parámetro (s), la que deberá ser no
nula para que la matriz tenga inversa. Luego para esos valores del (de los) parámetro (s), encontrar la
inversa en función del (de los) partámetro (s).
Ejemplo 1
Dada la matriz:
A 
k 3 0
1 k 1
0 1 k
a Determina, el o los valores del parámetro k para que la matriz sea inversible
b Para los valores de k hallados en el anterior inciso, encuentra A1
Recordemos que una matriz cuadrada A es inversible si y solo si detA  0
Calculemos entonces el determinante de la matriz A y veamos primero cuando se anula. Para
calcular el detA podemos utilizar por ejemplo el desarrollo de Laplace por alguna fila o columna,
eligiendo aquella que más cantidad de ceros tenga. Calculemos el mismo por desarrollo de Laplace
en la 3ra fila
detA 
k 3 0
1 k 1
0 1 k
 1
k 0
1 1
 k
k 3
1 k
 detA  k  kk2  3
 detA  k1  k2  3  detA  kk2  4  detA  kk  2k  2
Si hacemos detA  0 encontraremos los valores de k que anulan el determinante, es decir
aquellos valores de k para los cuales A no tiene inversa.. Entonces tenemos que:
kk  2k  2  0  k  0  k  2  k  2
Pero nos interesa los valores de k para los que A sea inversible, entonces debe ser detA  0, y
esto ocurre si k  0  k  2  k  2
En consecuencia tendremos que Si k  0  k  2  k  2, A será inversible.
Para calcular la inversa, podemos utilizar la fórmula: A1  1
detA
AdjA siendo
AdjA  CofAT con CofA matriz de los cofactores de la matriz A que se calculan de la misma
forma que lo realizado en el ejemplo 1 dado para el ejercicio 5.
Realiza los cálculos y verifica que la matriz de cofactores, matriz adjunta e inversa son:
CofA 
k2  1 k 1
3k k2 k
3 k k2  3
 AdjA  CofAT 
k2  1 3k 3
k k2 k
1 k k2  3
Entonces si k  0  k  2  k  2 es A1  1
detA
AdjA  1
kk2  4
k2  1 3k 3
k k2 k
1 k k2  3
 A1 
k21
kk24
3
k24
3
kk24
1
k24
k
k24
1
k24
1
kk24
1
k24
k23
kk24
Si querríamos encontrar A1 para algún valor del parámetro que cumpla las condiciones
determinadas anteriormente, por ejemplo para k  1 (cumple las condiciones
k  0  k  2  k  2, solo debemos reemplazar en la expresión anterior de A1 el valor k  1 y
tendremos que:
A1 
0 1 1
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3 
2
3
. Siendo en este caso A 
k 3 0
1 k 1
0 1 k

1 3 0
1 1 1
0 1 1
Te propongo verificar que A1A  AA1  I
Ejercicio 8:
¿Qué? hay que hacer. Demostrar algunas proposiciones relacionadas con el concepto de
determinante. ¿Cómo? lo hacemos. Ya hemos hablado en todos los tutoriales muchas veces acerca
de cómo demostrar una implicación, así que solo hay que volver a recordarlo. De todas maneras no
hay nada de malo en volver a recordar algunos aspectos. Como en cualquier demostración, debemos
tener presente, en primer lugar, los conceptos que están involucrados en la misma. Luego hay que
tener claro cuál es la hipótesis y cuál la tesis de la implicación a demostrar, y por último, hay que
decidir cuál es el método de demostración a utilizar para realizar la demostración Aquí tiene
relevancia lo relacionado con el ¿por qué? hago esto o aquello en cada paso del proceso de
demostración. La respuesta al ¿por qué? nos permitirá ir justificando lo que hacemos, pero sobre
todo comprendiendo lo que hacemos. Con todas estas consideraciones solo resta ponernos manos a
la obra y demostrarla. El trabajo de hacerlo, requiere -entre otras cosas- que pensemos, usemos el
razonamiento lógico deductivo y las herramientas (conceptos teóricos) necesarios, pero
fundamentalmente las ganas de salir adelante. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1:
Demuestra que  A  nn ,A2  A  |A|  0  |A|  1
A2  A Hipótesis
 AA  A Definición de potencia
 |AA|  |A| Aplicación del det a ambos miembros
 |A||A|  |A| Distributiva del det respecto al producto
 |A||A|  |A|  0 Inverso y neutro aditivo en
 |A||A|  1  0 Distributiva del prod respecto a la suma en
 |A|  0  |A|  1 propiedad en ab  0  a  0  b  0
Ejemplo 2:
Si A  nn es inversible y A2  kA   y k  0, entonces |A|  kn
A2  kA   Hipótesis
 A2  kA Existencia de opuesto y neutro de la suma de matrices
 AA  kA Definición de potencia
 |AA|  |kA| Aplicando determinande en ambos miembros
 |A||A|  kn|A| Distributiva del determinante. respecto al producto
y homogeneidad reiterada en las n filas de A
 |A||A|  kn|A|  0 Inverso y neutro aditivo en
 |A||A|  kn  0 Distributiva en
 |A|  kn  0 Por hipótesis |A|  0 por ser A inversible y
Propiedad en , ab  0  a  0  b  0
 |A|  kn Opuesto y neutro en
Ejercicio 9:
¿Qué? debemos hacer. Encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando la
regla de Cramer. ¿Cómo? lo hacemos. Sólo debemos recordar en qué consiste la regla de Cramer,
cómo y cuándo se puede aplicar la misma.
Recordemos que si una matriz Ann es inversible, entonces el sistema de n ecuaciones lineales
con n incógnitas AX  B tiene solución única cualquiera sea B  n. También que si A es inversible
entonces |A|  0. En éstas condiciones se dice que el sistema es Crameriano, es decir se puede
aplicar la Regla de Cramer para encontrar la solución del mismo. La regla de Cramer afirma que
cada una de las incógnitas x j del sistema se puede calcular realizando un cociente de determinantes:
x j 
|A j |
|A|
1
Donde |A j | es el determinante de la matriz que resulta de reemplazar en la matriz A la columna
correspondiente a la variable x j por la columna de los términos independientes B
Ejemplo 1
Determina, de ser posible, utilizando la regla de Cramer, la solución del sistema:
1 1 0
2 1 2
1 3 0
x
y
z

1
0
1
Calculamos el determinante de la matriz de coeficiente para ver si el sistema es o no Crameriano.
|A| 
1 1 0
2 1 2
1 3 0
 2
1 1
1 3
 4 (cálculo realizado por desarrollo de Laplace por
la 3ra columna)
Como |A|  4  0 entonces el sistema es Crameriano, es decir se puede resolver utilizando la
regla de Cramer.
Según la 1 tenemos que: x  |A1 |
|A|
; y  |A2 |
|A|
; z  |A3 |
|A|
siendo:
|A1 | 
1 1 0
0 1 2
1 3 0
 2
1 1
1 3
 4  x  |A1 |
|A|
 4
4
 1  x  1
|A2 | 
1 1 0
2 0 2
1 1 0 2
1 1
1 1
 0  y  |A2 |
|A|
 0
4
 0  y  0
|A3 | 
1 1 1
2 1 0
1 3 1
 1
2 1
1 3
 1
1 1
2 1
 5  1  4  z  |A3 |
|A|
 4
4
 1
 z  1
En consecuencia la única solución del sistema es la terna x,y, z  1,0,1
Ejemplo 2: La misma consigna que para el ejemplo 1 pero para el sistema:
1 1 0
2 1 2
1 1 0
x
y
z

1
0
1
Como la matriz de los coeficientes tiene dos filas iguales, su determinante es nulo. Es decir
|A|  0. En consecuencia el sistema no es Crameriano, es decir no se puede resolver utilizando la
regla de Cramer. ¡Cuidado! esto no quiere decir que el sistema no tenga solución, simplemente que
no es posible encontrar su solución mediante la regla de Cramer. El sistema puede o no tener
solución y si la tiene, tendrá infinitas soluciones (puedes decirme ¿por qué?). Para averiguarlo
podemos analizar lo que ocurre con la fórmula de la regla de Cramer antes de despejar la incógnita:
|A|x j  |A j | al ser |A|  0 debemos analizar que ocurre con los |A j | j
Si |A j |  0 j entonces nos queda que 0  x j  0. Igualdad verdadera  x j, por lo que el sistema
tiene infinitas soluciones.
Si  j tal que |A j |  k  0 , entonces  j tal que 0  x j  k. Igualdad que es falsa  x j, por lo que
el sistema es inconsistente (no tiene solución).
Ejercicio 10.:
¿Qué? debemos hacer. Decidir la verdad o falsedad de algunas proposiciones dadas. ¿Cómo? lo
hacemos. Ya hemos trabajado mucho en este aspecto en los anteriores tutoriales. Bastará recordar
que para justificar que una proposición es falsa, basta con dar un ejemplo particular en el que la
proposición no se cumple (contraejemplo). En cambio para justificar la verdad de una proposición,
es necesario demostrar que es verdadera para todos los casos posibles. Por supuesto esto requiere
conocer los conceptos involucrados en la proposición y mediante razonamiento lógico deductivo
demostrar la verdad de la proposición.
Ejemplo 1
Decide, justificando tu respuesta, la verdad o falsedad de la siguiente proposición:
Si A,B son matrices cuadradas del mismo orden y detA  0 y detB  0 , entonces A  B es
inversible.
Para analizar la verdad o falsedad de esta proposición, debemos analizar los conceptos
involucrados en la misma. Como vemos a partir de la hipótesis se nos informa que los determinantes
de dos matrices cuadradas del mismo orden son no nulos, debemos analizar si la matriz suma de
ellas es inversible. Recordemos que la hipótesis nos dice que tanto A como B son inversibles ya que
por tener sus determinantes no nulos, esto esta asegurado por un teorema que ya vimos
anteriormente. Pero tambien sabemos que la suma de matrices inversibles no siempre es inversible,
así que la proposición será Falsa.
Veamos el contraejemplo que muestre explícitamente que es así.
Si tomamos B  A entonces A  B  A  A   y ya sabemos que det  0 en
consecuencia detA  B  det  0 y por lo tanto A  B no es inversible. Por lo que la
implicación es falsa ya que la hipótesis es verdadera y la tesis es falsa.
Ejemplo 2
Consigna similar a la del ejemplo 1 pero para la proposición:
Si A33 entonces k  , detkA  k3 detA, con la definición de producto de una matriz por un
escalar usual en 33
Recordemos que el producto usual de un escalar por una matriz consiste en multiplicar cada
elemento de la matriz por el escalar. Asi que si consideramos que A  F1,F2,F3 siendo F i
i  1,2,3
filas de A, entonces kA  kF1,kF2,kF3. Por lo tanto:
detkA  detkF1,kF2,kF3 Sustitución
 detkA  kdetF1,kF2,kF3 Por homogeneidad en la 1ra fila
 detkA  kkdetF1,F2,kF3 Por homogeneidad en la 2da fila
 detkA  kkkdetF1,F2,F3 Por homogeneidad en la 3ra fila
 detkA  k3 detA Por definición de potencia e hipótesis
En consecuencia, podemos decir que la proposición es verdadera.
Por último te recuerdo que debes resolver el CUESTIONARIO 5 que se presenta como otra de
las actividades no presenciales del Tema 4, que tiene como objetivo que te sirva para autoevaluar tu
aprendizaje de los temas que se desarrollaron en el trabajo práctico 5. Asimismo te sugiero que
aunque en el cuestionario no te lo exige trata de justificar las respuestas dadas para todas las
preguntas, pero sobre todo no te olvides de subir el archivo con las justificaciones de tus
respuestas dadas para las preguntas cuya justificación se pide.
Ing. Augusto A. Estrada V.