TEOREMA 5. (Regla de Cramer) Si A X· B= es la forma matricial de un sistema de n ecuaciones lineales en exactamente n incógnitas de la forma: a11 a21 ... an1 a12 a22 ... an2 ... ... ... ... ... ... ... ... a1n a2n ... ann tal que A 0≠, entonces el sistema tiene una solución única dada por: x1 B1 A = , x2 B2 A = , ..., xn Bn A = donde Bk es la matriz que se obtiene al reemplazar la k-ésima columna de la matriz A por la matriz B de términos constantes. DEMOSTRACIÓN: Si A 0≠, entonces la matriz A es inversible y la solución del sistema lineal A X· B= , como ya se ha visto antes, es: X A B = y dado que la inversa de A se obtiene dividiendo su adjunta entre su determinante se tiene: X A adj A( )· = 1 A A11 A12 ... A1n A21 A22 ... A2n A31 A32 ... A3n ... ... An1 An2 ... Ann · b1 b2 ... bn = tal que A 0≠, entonces el sistema tiene una solución única dada por: x1 B1 A = , x2 B2 A = , ..., xn Bn A = donde Bk es la matriz que se obtiene al reemplazar la k-ésima columna de la matriz A por la matriz B de términos constantes. OBSERVACIONES: La regla de Cramer se puede aplicar solamente a sistemas de ecuaciones lineales que tienen exactamente el mismo número de incógnitas que de ecuaciones. Para resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas por la regla de Cramer, es necesario calcular n 1+( ) determinantes de matrices de tamaño [n n·]. Entonces para sistemas de más de 3 ecuaciones, los cálculos se hacen cada vez más laboriosos y en este sentido el método de Gauss es superior dado que implica transformar solamente una matriz [ n n 1+( )·] a la forma escalonada. No obstante, la regla de Cramer es una fórmula analítica para la solución de un especial sistema de ecuaciones lineales y su principal ventaja es que se puede obtener el valor de cualquiera de las n incógnitas del sistema sin conocer el valor de las demás. En el método de Gauss ésto no es posible. Ejemplo 13. Calcular el valor de las incógnitas en el sistema lineal: 2x·3y·+2z·= x-4y·+3z·+3= 5x·6y·-7z·-3-= Solución: La forma matricial del sistema es: A X· B= es decir... 2 1- 5 3 4 6- 2 3 7- x y z · 0 3 3-= Transformemos un poco la matriz A con el fin de calcular su determinante más fácilmente: R1 → R1 2R2·+ : R3 → R3 5R2·+ : 2 1- 5 3 4 6- 2 3 7- → 0 1- 0 11 4 14 8 3 8 Calculando su determinante A por desarrollo de cofactores a lo largo de la primera columna, se obtiene...