BLOQUE 1_PARTE 2

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DINÁMICA DE LA ATMÓSFERA
Téc. Sol Kseminski
Téc. Gastón Ramírez
Primer Cuatrimestre 2023
1
PRÁCTICA
BLOQUE 1
1.6 Introducción a los Tensores
1.7 Notación indicial o de Einstein
1.8 Descripción del movimiento de fluidos
1.9 Tensiones en un fluido
1.10 Forma diferencial de las ecuaciones fundamentales: Continuidad. Cantidad de Movimiento.
1.11 Ecuaciones de Navier-Stokes
1.12 Componentes del campo de velocidad
31
El uso de los tensores
32
•Campo escalar: cantidad especificada por una sola magnitud, 
junto con su unidad. Independiente del sistema de 
coordenadas.
•Campo vectorial: cantidad que tiene magnitud, dirección y 
sentido. Se describe completamente por sus componentes a lo 
largo de tres direcciones de coordenadas.
•Campo tensorial: cantidad que necesita más de 3 
componentes para una descripción completa. Por ejemplo la 
Tensión en un punto (Fuerza x unidad de Área) para un fluido 
en movimiento, necesita de los valores normales y 
tangenciales a cada plano coordenado.
33
Tensor de segundo orden: se usa para representar la interacción entre dos vectores
= + + + 𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
Se extiende la relación unidimensional de Newton a una versión tridimensional. 
Cada uno de los tres componentes de �⃗�
cambia en cada una de las tres direcciones de 𝑟Derivada total de �⃗� 
�⃗� = (𝑢, 𝑣, 𝑤)
Requiere una cadena de 9 escalares
Los escalares, son tensores de orden cero
Los vectores, de orden uno
Las matrices, de orden dos
¿Para que sirve escribir con N.E? 
Para evitar escribir cada vez el símbolo de suma (sumatoria) y de esta forma resulta mas fácil trabajar con tensores.
ii
i
i
i
eaa
eaeaeaeaa

 

3
1
332211
Operador nabla Divergencia de F
Notación de Einstein y tensores
34
35
Ejercicio 1
Dados dos vectores A y B, expresar en notación de Einstein el producto punto y cruz
Si dos índices son iguales
Ejercicio 2
Dados dos matrices A y B, expresar en notación de Einstein la matriz A y su traspuesta y el producto punto entre A y B
A= 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
AT= 
𝑎11 𝑎21 𝑎31
𝑎12 𝑎22 𝑎32
𝑎13 𝑎23 𝑎33
A = aij ei ej A . B = aij ei ej . bklek el = aijbklei ej . ek el = aijbklei . el = aijbjlei . el 
AT = ajiei ej = AT = aij ej ei
jjebb 

36
1
1


ii
ij
ji


 )).((. jjii ebeaBA ).).(( jiji eeba iiiiba ).( iiba
kijkjijijijjii ebaeebaebeaBA ).()).(()()( 
𝒆𝒋. 𝒆𝒌 = 𝛿 𝛿 = 1 si j=k
¿PORQUÉ 
J=K?
37
𝑏 𝑏 𝑏
𝑏 𝑏 𝑏
𝑏 𝑏 𝑏
B=A= 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝐴 = 𝑎 𝑒 𝑒 B= 𝑏 𝑒 𝑒 En las diagonales i=j y k=l
A B
Solo el primer elemento
𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏
J=k
Ejercicio 4
Calcular el producto tensorial:
Creamos un tensor, Ci j
38
Primer elemento de mi tensor
28 18 33
40 29 49
53 49 53
¿Los otros?
Ejercicio 3
Verificar que la divergencia del producto de un escalar (∅) por un vector (u ) en coordenadas cartesianas puede escribirse como:
∇ . (∅ u ) = (∇∅). u + ∅ ∇.u
Notación de Einstein y tensores
 ).( V  )](.[ 321 kujuiu  )()()(
321
z
u
y
u
x
u 


















)()()( 3
3
2
2
1
1
z
u
z
u
y
u
y
u
x
u
x
u    .. VV
¿Cómo es la formula de la divergencia?
39
• En las Ecuaciones de Navier-Stokes se aplican los principios de conservación de
masa, movimiento y energía a un fluido.
• Son importantes porque su resolución implicaría un conocimiento absoluto de cómo un
fluido se va a mover partiendo de unas condiciones iniciales y un gran uso que se le podría
dar es el de por ejemplo realizar pronósticos meteorológicos más exactos.
• Sin embargo, el movimiento de un fluido es tan caótico que las ecuaciones adquieren una
gran complejidad en su resolución y sólo pueden resolverse numéricamente o analíticamente
por medio de muchas simplificaciones e idealizaciones del fluido.
• Determinan el comportamiento de los fluidos newtonianos (experimento)
Navier - Stokes
40
Resistencia a la deformación
dos modos de describir el movimiento de un fluido
descripción Lagrangiana
las partículas del fluido son seguidas una a una 
y de manera independiente a medida que 
estas se mueven (derivadas individuales)
descripción Euleriana
se fija un volumen de control (fluido contenido en un 
tramo de tubería por ejemplo) y se analiza en 
conjunto las características del fluido que fluye en su 
interior
41
La represento a través de 
Derivadas locales
Posibles aproximaciones que nos permiten obtener soluciones analíticas aplicada a la mecánica de los fluidos:
flujo estacionario  desaparecen las derivadas temporales
flujo ideal  desaparece el término con viscosidad
problema bidimensional  desaparece la componente correspondiente a z
42
Tensor turbulento Tensor de deformación
Coeficiente de viscosidad dinámica
Ejercicio:
Considere el siguiente campo de movimiento y el siguiente gradiente de presión:
Y las ecuaciones de Navier- Stokes para un flujo bidimensional:
Datos: 
a) Calcular la expresión de las fuerzas que operan en la horizontal e identificarlas con el nombre apropiado, a partir de
la forma euleriana de dichas ecuaciones.
b) En la Figura 1 se muestra el campo de movimiento y el campo de presión descritos. En la Figura 2 se muestran los
gráficos correspondientes a los distintos términos de la Ecuación de Navier- Stokes analizados junto con el campo de
movimiento. Identifique qué termino está representado en cada panel. Justificar.
211
2112
3)(2
))cos(32(3
ebebxsenp
eaxeaxV




y
V
v
y
p
fu
dt
dv
x
V
u
x
p
fv
dt
du












).(
3
1
).(
3
1
2
2










ba,,,
43
a) Notar que la velocidad V tiene dos componentes (u y v):
Reescribiendo las Ec. De Navier Stokes a partir de la forma euleriana para cada componente
211
2112
3)(2
))cos(32(3
ebebxsenp
eaxeaxV




u1 u2
El gradiente 
de presión 
lo escribo:
b
x
p
bxsen
x
p
3
)(2
2
1
1





 Notación: 
yx
xx


2
1
03
2
1



u
vu
uu
).( UU
t
U
dt
Ud 





Forma euleriana: quiero la 
derivada local
44
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1
).(
3
1
).(
3
1
x
V
u
x
p
fu
x
u
u
x
u
u
t
u
x
V
u
x
p
fu
x
u
u
x
u
u
t
u






































Desarrollamos cada termino por separado:
1) Advección
j
i
j
i ex
u
u



2
2
2
21
2
1
22
1
2
11
1
1
1 ex
u
ue
x
u
ue
x
u
ue
x
u
u












i=1, j=1 i=1,j=2 i=2,j=1 i=2,j=2
Calculo las derivadas parciales:
45
0,3
)(3,0
2
2
2
1
1
1
2
1
1












x
u
a
x
u
xasen
x
u
x
u
Reescribiendo...
21211
2
2
2
22
1
2
11
2
1
21
1
1
1
))(3).(3(]3))cos(32([ exasenaxeaxaa
e
x
u
ue
x
u
ue
x
u
ue
x
u
u














212
2
11
22 )](9[)]cos(96[ exsenxaexaa  Advección
2) Fuerza gradiente de presión
2112
2
1
1
3
)(
2111
e
b
exsen
b
e
x
p
e
x
p
pH 






 






 El gradiente de presión es 
horizontal (en x e y) es decir 
en (e1, e2) 46
]))cos(32(3[ 211233 exaaeaxfeVfe 

3
4
12
2
3
2
1
2
1
12 )1()cos(33
00
)()1(
03
10
)()1(
0)cos(3
10
)(0)cos(33
100
)( e
xaax
fe
ax
fe
xa
fxaaxf 
3) Fuerza de Coriolis
=
2211
2211
)3()]cos(3[
0)3())cos(3)((
eafxexaf
eaxfexaf


Calculamos el producto:
+ +-
4) Fuerza viscosa
iij
k
k
i
j
j
i
j
e
x
u
x
u
x
u
x
]
3
2
)[( 












Nota: Suponemos flujo no 
divergente
0
3
3
2
2
1
1 











x
u
x
u
x
u
x
u
k
k
0 0 0
este termino no actúa
47
2121
21
1
11
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
)cos(3))cos(3(
)3)(3())(33(
)]()[()]()[()]()[()]()[(exaexa
eaxasen
x
exasena
x
e
x
u
x
u
x
e
x
u
x
u
x
e
x
u
x
u
x
e
x
u
x
u
x
























































La fuerza viscosa 
solo actúa en e2
b) Para identificar los distintos terminos de la Ec. De Navier Stokes en el gráfico 2 analizamos las componentes e1 y 
e2 de cada uno 
1) Advección si nos paramos en el punto (0,0) 
solo actua la advección en la componente :
< 0
212
2
11
22 )](9[)]cos(96[ exsenxaexaa  0,0 21  xx
1e
1
22
1
22 )96()]0cos(96[ eaaeaa 
>0
48
Para reconocer en los gráficos de la Fig. 2 cual es el término de advección, nos paramos en el punto (0,0) y 
sabemos que el vector es negativo y solo en la direccion . Buscamos en los 4 graficos de la Fig. 2 cual es el 
que corresponde con nuestra descripción. 
1e
En el grafico tenemos dos flechas:
Fina  es el campo de movimiento
Gruesa  alguno de los terminos de la 
ecuación de N-S
Grafico 3, Fig. 2
Vemos rapidamente que en el punto (0,0) el 
vector (grueso) solo tiene componente en e1 y es 
negativa.
Podemos volver a la ecuacion y le damos otro 
valor a e1 y e2, de forma facil para que se anule la 
componente e1 y quede e2
49
Descomposición del campo de movimiento
1) Graficar el campo de movimiento dándole valores a y a 1
x 2x
1e
2e
2) Calcular las derivadas parciales y luego evaluarlas en el punto 0X
3) Calcular cada componente del campo del movimiento 
0XXer ii 
TP
RP C/D DP

























 ii
Xj
j
j
Xj
i
ii
Xi
j
jii
Xj
j
j
Xi
j
ii
Xj
i
jX
er
x
u
e
x
u
re
x
u
rer
x
u
e
x
u
re
x
u
ruV
i
000000
0 3
1
][
2
1
3
1
][
2
1
0
TP: TRASLACIÓN PURA
i
uVtrasl 0
Campo de movimiento asociado a la traslación
Nos indica como se mueve la parcela. Para comprenderlo debemos 
graficarlo evaluando en el punto X0.
¿La parcela cambia el volumen?
No, se mueve manteniendo su volumen.
1e
2e
tiempo: tiempo: 0t tt 0
1e
2e
RP: ROTACION PURA
Campo de movimiento asociado a la rotación
Luego evaluar 
en X0
Graficar dándole valores a X1 y a X2. Podemos ver un 
campo de rotación horario o antihorario. 
3322110 exexexxxx si X0=(0,0,0)
ij
i
j
j
i
rot exx
u
x
u
V 














2
1
¿La parcela cambia el volumen?
El volumen de la parcela se mantiene 
constante y rota.
303
3
3
2
2
1
1
2202
3
3
2
2
1
1
1101
3
3
2
2
1
1
/ )(3
1
)(
3
1
)(
3
1
3
1
3
exx
x
u
x
u
x
u
exx
x
u
x
u
x
u
exx
x
u
x
u
x
u
ex
x
u
V ii
l
l
dilcomp 













































C/D: COMPRESIONES Y DILATACIONES
Campo de movimiento asociado a las compresiones y dilataciones
Una vez que llegamos a la expresión final evaluamos en el punto X0. Si hay convergencia, la 
parcela se comprime y disminuye su volumen (en todas las dimensiones). Si hay divergencia, la 
parcela se expande y aumenta su volumen (en todas las dimensiones).
1e
2e0
ttiempo:
1e
2etiempo: tt 0
3322110 exexexxxx si X0=(0,0,0)
ijij
l
l
j
i
i
j
def exx
u
x
u
x
u
V 























 
3
1
2
1 jiij  ,1
ji ,0
DP: DEFORMACION PURA
Campo de movimiento asociado a la deformación
Evaluamos el campo el X0 y 
graficamos dándole valores 
a X1 y X2
1e
2e Eje de 
dilatación
Eje de 
compresión
1e
2e Eje de 
dilatación
Eje de 
compresión
0ttiempo: tt 0tiempo:
La parcela no modifica su volumen, sino que se deforma. Se estira en el eje de 
dilatación y se comprime en el eje de compresión.
Ejercicio: Descomponga el siguiente campo de movimiento en sus componentes de traslación, rotación, 
deformación y convergencia/divergencia puras. Considere el punto X0 y los valores para a, b y c dados.
)0,0,0(0 X
1) Primero tratemos de ver como es el campo de movimiento graficándolo
1e
2e
s
c
mb
ms
a
1
1
1


22
2
1 ])([ ecxbxaV 
¿La parcela cambia el volumen?
Punto
(0,0) V=1 m/s e2
(1,0) V=4 m/s e2
(-1,0) V=0 m/s e2
(-2,0) V=1 m/s e2
(-3,0) V=4 m/s e2
(0,1) V=2 m/s e2
(0,-1) V=0 m/s e2
(1,1) V=5 m/s e2
(1,-1) V=3 m/s e2
(-1,1) V=1 m/s e2
),( 21 xx 22
2
1 ]
1
)1(
1
[ ex
s
mx
ms
V 
1e
2e
2) Calculamos las derivadas parciales
0
1
1 


x
u
0
2
1 


x
u 0
3
1 


x
u
0
3
3
2
3
1
3 








x
u
x
u
x
u
22
2
1 ])([ ecxbxaV 
)0,,0( 2uV 
)(2 1
1
2 bxa
x
u



c
x
u



2
2 0
3
2 


x
u
3) Evaluamos las derivadas X0=(0,0,0) 
1
,1
)0,0,0(1
2 22)0(2)(2
0
0





sabbabxa
x
u
ba
X
X
1
2
2 1
0



sc
x
u
X
¿ ?
4) Calculamos cada una de las componentes del campo de movimiento
2
2
2
2
0 )(]0)0([)( eabecbaxVVtrals  22
211 1)1(1 e
s
m
emsm  
Campo de movimiento asociado a la traslación
Es un valor + 
constante en 
el eje e2
1e
2e
0t
tt 0
Por este campo de 
movimiento la 
parcela se traslada 
así
¿Qué pasa con el volumen?
Se mantiene constante 
(solo se traslada)
Campo asociado a la rotación






















































 13
1
3
3
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
ex
x
u
x
u
x
x
u
x
u
x
x
u
x
u
ex
x
u
x
u
V ij
i
j
j
i
rot
23
2
3
3
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
ex
x
u
x
u
x
x
u
x
u
x
x
u
x
u







































33
3
3
3
3
2
3
2
2
3
1
3
1
1
3
2
1
2
1
2
1
ex
x
u
x
u
x
x
u
x
u
x
x
u
x
u








































0
1
1 


x
u
0
2
1 


x
u 0
3
1 


x
u
0
3
3
2
3
1
3 








x
u
x
u
x
u
)(2 1
1
2 bxa
x
u



c
x
u



2
2 0
3
2 


x
u
Campo asociado a la rotación






















































 13
1
3
3
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
ex
x
u
x
u
x
x
u
x
u
x
x
u
x
u
ex
x
u
x
u
V ij
i
j
j
i
rot
23
2
3
3
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
ex
x
u
x
u
x
x
u
x
u
x
x
u
x
u







































33
3
3
3
3
2
3
2
2
3
1
3
1
1
3
2
1
2
1
2
1
ex
x
u
x
u
x
x
u
x
u
x
x
u
x
u








































Nos quedan las 
derivadas 
respecto de u2 en 
e1 y en e2
1011
2022
1
2
xxxx
xxxx


21
1
2
12
1
2
2
1
2
1
ex
x
u
ex
x
u
















 21
1
12
1 )2(
2
1
)2(
2
1
exsexs  
21
1
12
1 11 exsexs  
Analicemos ahora como es la rotación a través del gráfico
1e
2e
1e
2e
0t tt 0
),( 21 xx
)0,0( )0,0(
rotV
1
11 es)1,0(
)0,1(
2
11 es
2
11 es)0,1(
2
1
1
1 11 eses  )1,1( 
• ¿Cómo gira el campo de rotación?
En sentido antihorario
•¿Cambia el volumen?
No, se mantiene constante
Campo asociado a las compresiones y dilataciones
iiii
l
l
dilcomp exx
u
x
u
x
u
ex
x
u
V 

















3
3
2
2
1
1
/ 3
1
3
1
iiexx
u




2
2
3
1
33
2
2
22
2
2
11
2
2
3
1
3
1
3
1
ex
x
u
ex
x
u
ex
x
u










3322110 exexexxxx 
)0,0,0(0 x
1
2
2 1 


sc
x
u
33
1
22
1
11
1 1
3
1
1
3
1
1
3
1
exsexsexs  
Para simplificar el gráfico sacamos la tercer componente de la velocidad (e3)
1e
2e0
t
1e
2e
tt 0
),( 21 xx
)0,0(
)1,0(
)0,1(
)0,1(
)1,1( 
)0,0(
2
1
3
1
es
1
1
3
1
es
1
1
31
es
2
1
1
1
3
1
3
1
eses  
•¿Cómo es el campo, divergente o 
convergente?
Tenemos un campo divergente en todas las 
dimensiones (incluido en e3).
•¿Qué pasa con el volumen de la parcela?
La parcela en t0+At se expande y aumenta 
su volumen.
























 ijij
l
l
j
i
i
j
def exx
u
x
u
x
u
V 
3
1
2
1
1313
3
3
2
2
1
1
3
1
1
3
212
3
3
2
2
1
1
2
1
1
2
111
3
3
2
2
1
1
1
1
1
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
ex
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u





































































































 
3,2,1;1;1  lji 3,2,1;2;1  lji 3,2,1;3;1  lji
     32 ...................................................................................................... ee
Desarrollamos los términos de e1 y los extendemos
3,2,1;1;1  lji 3,2,1;2;1  lji 3,2,1;3;1  lji
111
3
3
2
2
1
1
1
1
1
1
3
1
2
1
x
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u































 
1
212
3
3
2
2
1
1
2
1
1
2
3
1
2
1
x
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u































 
313
3
3
2
2
1
1
3
1
1
3
3
1
2
1
x
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u































 
0
0
1313
3
3
2
2
1
1
3
1
1
3
212
3
3
2
2
1
1
2
1
1
2
111
3
3
2
2
1
1
1
1
1
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
ex
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u





































































































 
Desarrollamos este término:
    











 3212
1
2
1
2
2 ..............................
2
1
3
1
eeex
x
u
x
x
u
Vdef
33
1
22
1
1
1
12
1
1
1
3
1
3
2
11
3
1
exsexsxsexsxsVdef 









 




  
La parcela se deforma (no
incluye la rotación porque
esto no deforma a la
parcela)
),( 21 xx
)1,0(
2
1
1
1
3
2
1 eses  
)0,1(
2
1
1
1 1
3
1
eses   La componente en e2 es mayor que en e1
La componente en e1 es mayor que en e2
)0,1(
2
1
1
1 1
3
1
eses  
)1,0( 
2
1
1
1
3
2
1 eses  
1e
2e Eje de 
dilatación
Eje de 
compresión
tt 0tiempo:
(1,0)
(0,1)
(-1,0)
(0,-1)
•¿Qué pasa con el volumen de la parcela?
No cambia su volumen sino que se 
deforma. Se estira en el eje de dilatación y 
se comprime en el eje de compresión.
Patrón atmosférico
72
PODRÍAN MARCAR USTEDES 
UN COLLADO, DE ACUERDO A LAS CIRCULACIONES
PRINCIPALES?
Eje de contracción
Eje de dilatación
A
A
B
B
RECORDEMOS QUE EN LA ATM 
NO ES UN PATRÓN TAL CUAL DE LA TEORIA.
TENEMOS CIRCULACIONES SECUNDARIAS 
DENTRO DEL COLLADO, PERO A GRANDES
RASGOS, PUEDE VERSE.
ADEMAS, NOTAR QUE EL EJE DE
CONTRACCIÓNO CONVERGENCIA COINCIDE 
CON LA ZONA 
DEL AREA FRONTAL
Navier - Stokes
Consideremos de nuevo un flujo estacionario entre dos planos paralelos y = 0 (el plano A) y y= h (el plano B). Supongamos ahora que ambos planos 
son fijos, pero existe un gradiente de presión no cero a lo largo del eje x: no nulo. La velocidad del flujo de nuevo tiene la forma u = (u(y ),0,0) 
Las proyecciones de la ecuación de Navier-Stokes en los ejes x y yson
La parte derecha de la primera ecuación depende sólo de x, mientras que su parte izquierda – sólo de y. Esto puede ser sólo si ambas partes son 
constantes. Se deduce de aquí que
Entonces para la velocidad del flujo tenemos: 
Ya que u= 0 si y = 0,h (los planos A y B son inmóviles), obtenemos
Así, el perfil de velocidad del flujo en la dirección y es parabólico, además, la velocidad alcanza su valor máximo en 
medio de la distancia entre dos planos. La velocidad media del flujo entre los planos es
Finalmente notemos que la fuerza fricción que actúa en el plano A es igual a:
Demostremos la generación de vorticidad cerca de la frontera. En efecto ω = (0,0, ζ)
Así, un gradiente de presión negativo implica que la vorticidad ζ fluye en el interior 
del dominio de la frontera y, por lo tanto, si el flujo es irrotacional inicialmente, la vorticidad no nula 
se genera en el fluido, además, la frontera sólida sirve como la fuente de vorticidad74
En el caso de un fluido incompresible y uniforme, la ecuación de estado es simplemente 
ρ = const y, por lo tanto, la ecuación de continuidad se convierte a 
Para este flujo estacionario, las proyecciones de la ecuación de Navier-Stokes (1) en los ejes x y y son: 
(1) (2)
Fgupuu
t
u 



 21).( 

(1) ),,( wvuu 














zyx
,,
zgg ˆ

Fuerzas 
externas
Fuerza de 
gravedad 
(en z)Termino 
temporal
Termino 
advectivo (o 
convectivo)
Gradiente 
de presion
Como la densidad esta afuera del gradiente, es constante y por lo 
tanto es un fluido incompresible
Termino 
viscoso
75
Expando a ecuación en cada una de las componentes x, y y z (desprecio la gravedad y las fuerzas externas). Lo 
hago para x e y, hacerlo tambien para z
Analizando la componente x:





























2
2
2
2
2
21
z
u
y
u
x
u
x
p
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u 






























2
2
2
2
2
21
z
v
y
v
x
v
y
p
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v 






























2
2
2
2
2
21
z
u
y
u
x
u
x
p
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u 

Aceleraciones Fuerzas  Esfuerzos
El fluido se 
acelera/desacelera por 
accion de las fuerzas 
(uno de opone al otro)
76
Aplicaciones de fluidos y flujos
Ejercicio
Considere dos placas planas paralelas infinitas separadas una distancia h entre las cuales existe un fluido. Una de las placas se mueve con una 
velocidad U0 con respecto a la otra y en una dirección paralela a la misma. Hallar el campo de velocidades y el tensor de esfuerzos 𝜏
Suposiciones: 
 El flujo será solo en la dirección del eje x (v = w = 0)
 La presión es constante
 El flujo es estacionario ( = 0)
 La velocidad U no depende de la coordenada z
Por la ecuación de continuidad: + + = 0 entonces = 0
N-S resulta para fluido incompresible: a = �⃗� - �⃗�p + 𝛻2 �⃗� o 
Que se reduce solo a = 0 (u solo depende de y)
Integrando dos veces: = C1 𝑢 = C1 y + C2 Las constantes C1 y C2 se determinan de las condiciones de frontera: 𝑢 = U0 en y = h 𝑢 = 0en y = 0
Sustituyendo éstas condiciones en 𝑢 = C1 y + C2 U0= C1 h + C2 y C2 = 0 Entonces C1 = U0/h y C2 = 0 
El campo de velocidades resulta: 𝑢 = U0 y/h v = 0w=0
El tensor de esfuerzos es: 77
))(
3
).((
11
2 UUUx
dt
Ud
p






Advección
Fuerza de 
Coriolis
Fuerza de 
Presión
Fuerza Viscosa
Ejercicio: Dada la siguiente forma de la ecuación de Navier Stokes:
a) Reescribirla en su forma euleriana en coordenadas cartesianas. Aproximar los terminos (fuerzas y/o procesos) 
que considere convenientes
78
Muy importante en pequeña escala y 
cerca de superficie!
TAREA !!!
).( UU
t
U
dt
Ud 





a) Tenemos la ecuación de movimiento
79
Euleriana Como varia la velocidad en un punto, localmente NO seguimos la parcela
Termino advectivo
Las ecuaciones de conservación de masa y cantidad de movimiento sin hacer ninguna simplificación del fluido 
son:
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81
Sistema de ecuaciones diferenciales, 4 ecuaciones (físicamente independientes entresí) para 4 incógnitas  si bien es
matemáticamente posible obtener una solución para las 4 incógnitas su resolución es tan compleja que es necesario 
hacer aproximaciones:
NAVIER- STOKES
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