TEORIA 1 2

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DINÁMICA DE LA ATMÓSFERA
Lic. Viviana López Primer Cuatrimestre 2023
BLOQUE 1
1.6 Introducción a los Tensores
1.7 Notación indicial o de Einstein
1.8 Descripción del movimiento de fluidos
1.9 Tensiones en un fluido
1.10 Forma diferencial de las ecuaciones fundamentales: Continuidad. Cantidad de Movimiento. 
1.11 Ecuaciones de Navier-Stokes
1.12 Componentes del campo de velocidad
• Campo escalar: cantidad especificada por una sola magnitud, junto con su unidad. Independiente del sistema de coordenadas. 
• Campo vectorial: cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido. Se describe completamente por sus componentes a lo largo de tres 
direcciones de coordenadas. ¿Ejemplo?
¿Ejemplo?
1.6 Introducción a los Tensores
Sistema de ejes coordenados x; y; z
Sistema de ejes coordenados x1 ; x2 ; x3
• Campo tensorial: cantidad que necesita más de 3 componentes para una descripción completa. Por ejemplo la Tensión en un punto (Fuerza x 
unidad de Área) para un fluido en movimiento, necesita de los valores normales y tangenciales a cada plano coordenado. 
El uso de tensores ha facilitado enormemente el trabajo en muchos campos. Es una herramienta un poco abstracta a primera vista.
Motivación:
Tensor de segundo orden: se usa para representar la interacción entre dos vectores
Ԧ𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
Deseamos extender la relación unidimensional de Newton a una versión tridimensional. 
Cada uno de los tres componentes de Ԧ𝑣
cambia en cada una de las tres direcciones de Ԧ𝑟
Derivada total de Ԧ𝑣
Ԧ𝑣 = (𝑢, 𝑣, 𝑤)
Requiere una cadena de 9 escalares
Los efectos sobre dA son compresión/dilatación 
y deformación por tensión tangencial
F se aplica a dA en las direcciones normales y tangenciales 
¿Cuántas son las componentes 
en cada caso?
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
=
𝜕 Ԧ𝑣
𝜕𝑡
+
𝜕 Ԧ𝑣
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕 Ԧ𝑣
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝜕 Ԧ𝑣
𝜕𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑡
Definición:
Lo esencial en esta notación consiste 
en suprimir el signo de sumatoria
La notación indicial cumple las siguientes reglas:
• Una expresión con un índice repetido (índice mudo), representa una sumatoria, donde el índice varía de 1 a 3 en un espacio 3-D.
• Un índice que no es repetido en un factor, es denominado índice libre. 
con ⅈ como índice libre. ⅈ puede ser 1, 2 o 3. Por lo tanto se tiene una expresión para cada valor de ⅈ
• Los índices repetidos en una expresión, pueden tener su nombre cambiado. 
• En álgebra vectorial no tiene sentido un índice repetido 3 veces. 
1.7 Notación indicial o de Einstein
Suma
Producto escalar
Los únicos factores no nulos son:
Al multiplicar m. a m. todas las 
componentes, los escalares ≠ 0
son los siguientes productos:
El producto: 
ordenado en forma matricial, forma la Matriz Identidad
Tensor Identidad o unidad, cuyas componentes 
coinciden con la del Tensor Delta de Kronecker
Notación 
Indicial
𝛿11 + 𝛿22 + 𝛿33 = 3
Tensor Delta de Kronecker
(tensor de segundo orden)
En operaciones algebraicas entre entes vectoriales, se tiene la operación entre la parte escalar de las componentes y la operación entre la 
parte vectorial de las mismas. Ambas partes tienen propiedades diferentes. Por ejemplo al multiplicar en forma escalar dos vectores se tiene 
el siguiente factor
Observación: 
El producto entre los escalares a2 y b2 tiene las propiedades del producto escalar 
(propiedades conmutativa, asociativa, etc.), mientras que el producto escalar entre 
los vectores e1 . e2 debe realizarse con las reglas del producto entre vectores.
Producto vectorial
Introducimos el símbolo 
de Permutación 𝜀
𝛿𝑖𝑗
𝛿𝑖𝑗 = 𝛿𝑗𝑖
Usando el símbolo de permutación, el producto vectorial de los vectores unitarios de la base
se define
Permite simplificar el cálculo de las componentes 
del producto vectorial entre vectores
Resulta de considerar solo aquellos términos para los cuales el signo de permutación 
≠ 0 y agrupando los escalares que contribuyen a la misma dirección.
Producto diada Es un producto entre vectores, cuyo resultado es un tensor de segundo orden. 
Se representa como ab. En función de sus componentes
Notación 
Indicial
Notación 
matricial
Ejemplo: Producto del vector velocidad vv en el término de la 
ecuación de cantidad de movimiento (forma vectorial)
Operador gradiente Coordenadas cartesianas
Notación 
indicial
Este operador debe aparecer operando sobre:
un campo escalar, campo vectorial o campo tensorial 
Gradiente de un escalar ∅
Gradiente de un vector Ԧ𝑏
𝛁 𝑏 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑏)
𝛁∅ = 𝑔𝑟𝑎𝑑 (∅)
➢ Sea ∅ 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 un campo escalar ∇Φ= 
𝜕Φ
𝜕𝑥𝑖
𝒆𝒊
𝜕Φ
𝜕𝑥
𝒊 +
𝜕Φ
𝜕𝑦
𝒋 +
𝜕Φ
𝜕𝑧
𝒌
∇Φ es un vector
➢ Sea Ԧ𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 un campo vectorial 
∇ Ԧ𝑣 es un tensor de segundo orden
∇𝑨= 
𝜕𝐴
𝑖𝑗
𝜕𝑥𝑘
➢ Sea 𝑨 un tensor de orden-2 ∇𝑨 es Tensor de Tercer Orden 
∇
𝛁 es un vector. Si tuviéramos que calcular el producto escalar entre 𝛁 y otro campo: ¿Podría ser un campo escalar? ¿Y un campo vectorial? 
Producto escalar 
con el operador 𝛁
Notación 
indicial
Divergencia del gradiente de un escalar
o de un vector 
¿Escalar o vector?
Teorema de la Divergencia o de Gauss
La divergencia de un campo vectorial es la 
manera de medir la variación de densidad 
de un flujo en un punto determinado
඾
S
Ԧ𝐴 ⋅ ⅆ Ԧ𝑆 =ම
𝑉
∇ ⋅ Ԧ𝐴 ⅆ𝑉
Flujo de Ԧ𝐴 a través de S
Solenoide si ∇ • Ԧ𝐴 = 0 
Divergencia de un Tensor ∇ . τ ⅈ = 
𝜕τ
𝑖𝑗
𝜕𝑥𝑗
∇2𝑢𝑖 =
𝜕2𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑗
Laplaciano de un 
escalar o un vector
∇2𝑇 =
𝜕2𝑇
𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑗
Producto vectorial 
con el operador 𝛁
Notación 
indicial
∇ × Ԧ𝑣 = 0Flujo irrotacional
Observaciones:
Sea q escalar
Sea 𝒒 vector
Tensor
Tensor gradiente de velocidadSi Ԧ𝑞 es la velocidad
FLUIDO EN MOVIMIENTO:
El movimiento de cualquier elemento de volumen de un fluido se puede descomponer en tres componentes: una TRASLACIÓN a la velocidad de 
su centro de masa, una ROTACIÓN como sólido rígido y una DEFORMACIÓN que se puede descomponer en DEFORMACIÓN LINEAL O NORMAL 
(compresiones y dilataciones) y una DEFORMACIÓN POR CORTANTE o LATERAL o ANGULAR. 
1.8 Descripción del movimiento de fluidos
Traslación
---- Partícula de fluido 
en tiempo 𝒕 + 𝚫𝒕
Partícula de fluido 
en tiempo 𝒕 Velocidad de las diferentes partículas de fluido que 
pasan por el punto 𝑷(𝒙, 𝒚, 𝒛) a lo largo del tiempo
Líneas de trayectoria de fluido en movimiento en plano 𝒙𝒚.
𝑷(𝒙𝟎, 𝒚𝟎) y 𝑷(𝒙, 𝒚) posición de la partícula para tiempo 0 y 𝒕. 
Como el fluido está en movimiento, Ԧ𝑣 𝑦 Ԧ𝑎 se 
calculan siguiendo a las partículas de fluido y 
luego se las describe en un punto fijo del espacio
El movimiento rotacional de un flujo puede ser expresado en función de la vorticidad (rotación) que experimentan sus partículas.
Rotación
Partícula de fluido cúbica con 
velocidad 𝑢 y Ԧ𝑣 en su centro de masa
Las líneas de fluido orientadas en diferentes direcciones giran en 
diferentes cantidades. Para definir la tasa de rotación, se toman dos 
líneas perpendiculares y se calcula la tasa de rotación PROMEDIO de 
las dos líneas 
Valor medio de la rotación de dos segmentos 
fijos a la partícula, en la DD de los ejes
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
• Rotación del segmento fijo a la partícula 𝑎𝑏 en la dirección del eje x
• Rotación del segmento fijo a la partícula 𝑎𝑑 en la dirección del eje y
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
Rotación media en el plano 𝑥𝑦
alrededor del eje 𝑧 (𝒌): 
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
)
Rotación media en el plano 𝒙𝒚: 
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
)
Rotación media en el plano 𝒚𝒛: 
1
2
(
𝜕𝑤
𝜕𝑦
−
𝜕𝑣
𝜕𝑧
)
Rotación media en el plano 𝒛𝒙: 
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑧
−
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
---- Partícula de fluido en tiempo 𝒕 + 𝚫𝒕
Partícula de fluido en tiempo 𝒕
Para evitar el factor 
1
2
en la expresión 
final, se acostumbra tratar con el 
doble de las rotaciones medias: 
vorticidad del elemento.
El vector vorticidad ω de un elemento de fluido, resulta el doble de la suma de las tres rotaciones medias de cuerpo rígido según los ejes 
coordenados:
ω =
𝜕𝑤𝜕𝑦
−
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝒊 +
𝜕𝑢
𝜕𝑧
−
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝒋 +
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝒌
El vector vorticidad ω se relaciona con el operados rotor de la velocidad: ω = 𝑟𝑜𝑡 Ԧ𝑣 = ∇ × Ԧ𝑣
Notación 
Indicial
ω = ∇ × Ԧ𝑣
Observaciones:
• Si la vorticidad en un punto es nula FLUJO IRROTACIONAL en ese punto
• Si para el flujo de toda una región y en todos sus puntos ω = 0 FLUJO IRROTACIONAL
• Si ω ≠ 0 en algún punto en dicha región FLUJO ROTACIONAL
ωⅈ = 𝜀𝑖𝑗𝑘
𝜕𝑣𝑘
𝜕𝑥𝑗
Deformación lineal
---- Partícula de fluido en tiempo 𝒕 + 𝚫𝒕
Partícula de fluido en tiempo 𝒕
Se puede evaluar calculando la modificación del largo especifico en función del tiempo, de un segmento perteneciente a una partícula en esa DD. 
Deformación positiva elongamiento o dilatación
Deformación negativa compresión
Partícula con dimensiones 2Δ𝒙 y 2Δ𝒚 en plano 𝒙𝒚
𝑢 𝑣 componentes de la velocidad en su centro
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝒚
• Deformación lineal en la DD- 𝒙
𝜕𝑢
𝜕𝑥
• Tasa de deformación lineal o normal de un 
elemento de fluido: cambio de longitud por 
unidad de longitud en la DD- 𝒙
𝒆𝒙𝒙 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝒆𝒙𝒙 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝒆𝒚𝒚 =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝒆𝒛𝒛 =
𝜕𝑤
𝜕𝑧
Tasas de Deformaciones 
lineales o normales en las 
DD- 𝒙, 𝒚, 𝒛
La suma de esas deformaciones da la Tasa de 
cambio de volumen por unidad de volumen:
Velocidad de Deformación Volumétrica 
o Tasa de Deformación Volumétrica 
θ =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= ∇ ⋅ 𝑢 =
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖
𝒆𝒊𝒊 =
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖
Cuidado, no es ∇ ⋅ 𝑢
Deformación por cortante o angular
Deformación media de los ángulos de una partícula, en relación a los 3 planos coordenados. Es la rotación opuesta de los segmentos que forman 
cada ángulo en cada plano. 
---- Partícula de fluido en tiempo 𝒕 + 𝚫𝒕
Partícula de fluido en tiempo 𝒕
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
Partícula con dimensiones 2Δ𝒙 y 2Δ𝒚
𝑢 𝑣 componentes de la velocidad
Valor medio de las rotaciones opuestas de los segmentos fijos a 
la partícula 𝑎𝑏 y 𝑎𝑑, en la DD de los ejes. Tasa de disminución del 
ángulo formado por dos líneas mutuamente ⊥ sobre el elemento
Tasa de deformación por cortante o angular en el plano 𝒙𝒚
• Rotación del segmento fijo a la partícula 𝑎𝑏 en la dirección del eje x
• Rotación del segmento fijo a la partícula 𝑎𝑑 en la dirección del eje y
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
• Valor medio de la rotación inversa de 
los lados del ángulo en el plano 𝑥𝑦
alrededor del eje 𝑧 (𝒌): 
𝒆𝒙𝒚 =
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
)
𝒆𝒙𝒚 =
1
2
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝒆𝒚𝒛 =
1
2
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝒆𝒛𝒙 =
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
Deformaciones 
por cortante en los 
planos 𝒙𝒚, 𝒚𝒛, 𝒛𝒙
𝒆𝒊𝒋 =
1
2
(
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
+
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
) ⅈ ≠ 𝑗
TENSOR DE DEFORMACIONES:
Es una matriz que resulta de ordenar todas las deformaciones. Es decir la DEFORMACIÓN LINEAL O NORMAL y la DEFORMACIÓN POR CORTANTE 
o ANGULAR. 
= 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
𝜕𝑣
𝜕𝑦
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
)
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝒆𝒊𝒋 𝒆𝟐𝟏
𝒆𝟏𝟑𝒆𝟏𝟐𝒆𝟏𝟏
𝒆𝟑𝟏
𝒆𝟐𝟑𝒆𝟐𝟐
𝒆𝟑𝟑𝒆𝟑𝟐
• Este tensor tiene toda la información relacionada con la deformación que sufre un fluido 
en movimiento en un punto fijo del espacio a lo largo del tiempo.
• El mismo puede ser obtenido a partir del tensor gradiente de la velocidad 𝛁𝒗
Para mostrar eso de una forma más compacta se usa 
notación indicial, donde ∇ Ԧ𝑣 es:
Términos 
diagonales 
Tasas de deformación lineal 
o normal (𝒆𝒊𝒊) 
Términos no 
diagonales 
Tasas de deformación por 
cortante (𝒆𝒊𝒋 para ⅈ ≠ 𝑗) 
𝒆𝟐𝟏
𝒆𝟏𝟑𝒆𝟏𝟐𝒆𝟏𝟏
𝒆𝟑𝟏
𝒆𝟐𝟑𝒆𝟐𝟐
𝒆𝟑𝟑𝒆𝟑𝟐
[𝑫𝒊𝒋] = 
1
2
𝜕𝑢1
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑢1
𝜕𝑥1
𝜕𝑢1
𝜕𝑥2
+
𝜕𝑢2
𝜕𝑥1
𝜕𝑢1
𝜕𝑥3
+
𝜕𝑢3
𝜕𝑥1
𝜕𝑢2
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑢1
𝜕𝑥2
𝜕𝑢2
𝜕𝑥2
+
𝜕𝑢2
𝜕𝑥2
𝜕𝑢2
𝜕𝑥3
+
𝜕𝑢3
𝜕𝑥2
𝜕𝑢3
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑢1
𝜕𝑥3
𝜕𝑢3
𝜕𝑥2
+
𝜕𝑢2
𝜕𝑥3
𝜕𝑢3
𝜕𝑥3
+
𝜕𝑢3
𝜕𝑥3
=
Tensor de Deformación 𝑫 en notación indicial: 
D = 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
𝜕𝑣
𝜕𝑦
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
)
𝜕𝑤
𝜕𝑧
Cualquier componente puede ser escrita como:
𝒆𝑖𝑗 =
1
2
(
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
)
Tensor de Deformación 𝑫 usando notación vectorial: 𝑫 =
1
2
(𝛁 Ԧ𝑣 + 𝛁 Ԧ𝑣 T)
• 𝛁 Ԧ𝑣 tensor gradiente de velocidad
• 𝛁 Ԧ𝑣 T traspuesta del mismo
Cualquier tensor se puede representar como la suma de una parte simétrica y una parte antisimétrica:
Parte simétrica
Parte antisimétrica
𝑩𝒊𝒋 = −𝑩𝒋𝒊
𝐵 = −𝐵𝑇
𝑩𝒊𝒋 = 𝑩𝒋𝒊
𝐵 = 𝐵𝑇
Usando ésta propiedad: 
¿Cómo podemos relacionar 𝛁 Ԧ𝑣 con 𝑫? 
TENSOR GRADIENTE DE VELOCIDAD: 𝛁 Ԧ𝑣 se puede descomponer en parte simétrica y antisimétrica:
Usando notación vectorial: 𝛁 Ԧ𝑣 =
1
2
(𝛁 Ԧ𝑣 + 𝛁 Ԧ𝑣 T) +
1
2
(𝛁 Ԧ𝑣 − 𝛁 Ԧ𝑣 T)
𝑫 =
1
2
(𝛁 Ԧ𝑣 + 𝛁 Ԧ𝑣 T)
¿ ?
Mostraremos que la parte antisimétrica de 𝛁𝒗 representa el TENSOR ROTACIÓN de cuerpo rígido del fluido en un punto:
Todo vector puede asociarse con un tensor antisimétrico y viceversa:
ω𝟏 = (
𝜕𝑢3
𝜕𝑥2
−
𝜕𝑢2
𝜕𝑥3
)
ω𝟐 = (
𝜕𝑢1
𝜕𝑥3
−
𝜕𝑢3
𝜕𝑥1
)
ω𝟑 = (
𝜕𝑢2
𝜕𝑥1
−
𝜕𝑢1
𝜕𝑥2
)
ω =
𝜔1
𝜔2
𝜔3
[𝒓𝑖𝑗] = 
0 −𝜔3 𝜔2
𝜔3 0 −𝜔1
−𝜔2 𝜔1 0
Tensor antisimétrico 𝒓𝒊𝒋 = −𝒓𝒋𝒊
ω =
𝜕𝑤
𝜕𝑦
−
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝒊 +
𝜕𝑢
𝜕𝑧
−
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝒋 +
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝒌
𝜔𝑖 = 𝜀𝑖𝑗𝑘
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑥𝑗
Cada una de las 
componentes de 𝒓𝑖𝑗
representan rotaciones en 
diferentes planos
(ω𝟏 rotación en el plano yz)
Cada vector ω𝒌 está relacionados con las componentes del tensor 𝒓𝑖𝑗 antisimétrico mediante:
𝒓𝑖𝑗 = −𝜀𝑖𝑗𝑘 ω𝑘 𝒓11 = 0 𝒓12 = −𝜀123 ω3 = −ω3 𝒓13 = −𝜀132 ω2 = ω2
Si dos índices son iguales
[𝒓𝑖𝑗] = 
0 −𝜔3 𝜔2
𝜔3 0 −𝜔1
−𝜔2 𝜔1 0
[𝒓𝑖𝑗] = 
𝜕𝑢1
𝜕𝑥1
−
𝜕𝑢1
𝜕𝑥1
𝜕𝑢1
𝜕𝑥2
−
𝜕𝑢2
𝜕𝑥1
𝜕𝑢1
𝜕𝑥3
−
𝜕𝑢3
𝜕𝑥1
𝜕𝑢2
𝜕𝑥1
−
𝜕𝑢1
𝜕𝑥2
𝜕𝑢2
𝜕𝑥2
−
𝜕𝑢2
𝜕𝑥2
𝜕𝑢2
𝜕𝑥3
−
𝜕𝑢3
𝜕𝑥2
𝜕𝑢3
𝜕𝑥1
−
𝜕𝑢1
𝜕𝑥3
𝜕𝑢3
𝜕𝑥2
−
𝜕𝑢2
𝜕𝑥3
𝜕𝑢3
𝜕𝑥3
−
𝜕𝑢3
𝜕𝑥3
[Ω𝑖𝑗] = 
Ω11 Ω12 Ω13
Ω21 Ω22 Ω23
Ω31 Ω32 Ω33
• [Ω𝑖𝑗] tiene 6 componentes ≠ 0 fuera de la diagonal principal.
• [Ω𝑖𝑗] componentes simétricas iguales en valor absoluto.
• [Ω𝑖𝑗] componentes simétricas iguales a las componentes de las vorticidades en los planos 𝒙𝒚 (Ω12), 
𝒚𝒛 (Ω23), 𝒙𝒛 (Ω23).
¿Cómo queda representado el TENSOR GRADIENTE DE VELOCIDAD en función de los TENSORES DE DEFORMACIÓN Y DE ROTACIÓN?
𝛺 =
1
2
(𝛁 Ԧ𝑣 − 𝛁 Ԧ𝑣 T)Usando notación vectorial: 
Tensor antisimétrico 𝒓𝒊𝒋 = −𝒓𝒋𝒊
TENSOR 
ROTACIÓN
Cada componente 
tiene la forma: 
(
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
−
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
)
𝛁 Ԧ𝑣 − 𝛁 Ԧ𝑣 T
En resumen el TENSOR GRADIENTE DE VELOCIDAD 𝛁𝒗 = [
𝝏𝒖𝒊
𝝏𝒙𝒋
] se puede descomponer en:
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
= 𝒆𝑖𝑗 + [Ω𝑖𝑗]
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
=
1
2
𝜕𝑢1
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑢1
𝜕𝑥1
𝜕𝑢1
𝜕𝑥2
+
𝜕𝑢2
𝜕𝑥1
𝜕𝑢1
𝜕𝑥3
+
𝜕𝑢3
𝜕𝑥1
𝜕𝑢2
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑢1
𝜕𝑥2
𝜕𝑢2
𝜕𝑥2
+
𝜕𝑢2
𝜕𝑥2
𝜕𝑢2
𝜕𝑥3
+
𝜕𝑢3
𝜕𝑥2
𝜕𝑢3
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑢1
𝜕𝑥3
𝜕𝑢3
𝜕𝑥2
+
𝜕𝑢2
𝜕𝑥3
𝜕𝑢3
𝜕𝑥3
+
𝜕𝑢3
𝜕𝑥3
+
1
2
𝜕𝑢1
𝜕𝑥1
−
𝜕𝑢1
𝜕𝑥1
𝜕𝑢1
𝜕𝑥2
−
𝜕𝑢2
𝜕𝑥1
𝜕𝑢1
𝜕𝑥3
−
𝜕𝑢3
𝜕𝑥1
𝜕𝑢2
𝜕𝑥1
−
𝜕𝑢1
𝜕𝑥2
𝜕𝑢2
𝜕𝑥2
−
𝜕𝑢2
𝜕𝑥2
𝜕𝑢2
𝜕𝑥3
−
𝜕𝑢3
𝜕𝑥2
𝜕𝑢3
𝜕𝑥1
−
𝜕𝑢1
𝜕𝑥3
𝜕𝑢3
𝜕𝑥2
−
𝜕𝑢2
𝜕𝑥3
𝜕𝑢3
𝜕𝑥3
−
𝜕𝑢3
𝜕𝑥3
Tensor Deformación Tensor Rotación
TENSIÓN en un punto: Fuerza x unidad de área [N/m2]. La tensión está representada por un tensor de orden-2 con 9 componentes. 
1.9 Tensiones en un punto
Consideramos una partícula de fluido de forma cúbica, con caras ⊥ a los ejes coordenados. Aplicamos a cada cara una tensión normaly una 
tensión por cortante.
τ𝑖𝑗 𝒊 eje coordenado paralelo al vector normal al área sobre la cual actúa la tensión𝒋 eje coordenado paralelo a la tensión
Tensiones normales + Tracción o dilatación
Contracción o compresiónTensiones normales -
𝝉𝒙𝒙 𝝉𝒚𝒚 𝝉𝒛𝒛
TENSIONES NORMALES o 
LINEALES: en la DD normal 
al área sobre la cual actúan
𝝉𝒙𝒚 𝝉𝒙𝒛 𝝉𝒚𝒙 𝝉𝒚𝒛 𝝉𝒛𝒙 𝝉𝒛𝒚
TENSIONES TANGENCIALES 
o DE CORTE: paralelas al 
área sobre la cual actúan
Tensiones tangenciales + En la DD del eje 
coordenado
Opuestas a la DD del eje 
coordenado
Tensiones tangenciales -
𝜏𝑥𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑦𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜏𝑧𝑧
τ𝑖𝑗 = TENSOR DE TENSIONESSi ordenamos las componentes de las tensiones 
en una matriz (tensor) como se hizo con 𝑫
FLUIDO EN REPOSO o ESTÁTICO: no tiene tensiones tangenciales o por cortante (se desprende de la definición de fluido). Consideramos fluidos 
que no trasmiten torsión, mientras que una tensión tangencial siempre genera movimiento. 
𝝉𝒙𝒚 = 𝝉𝒙𝒛 = 𝝉𝒚𝒙 = 𝝉𝒚𝒛 = 𝝉𝒛𝒙 = 𝝉𝒛𝒚 = 𝟎
Si consideramos una partícula en forma de prisma en un fluido en reposo, formada por 5 superficies, una de las cuales tiene orientación genérica, 
cuya normal es el vector 𝒏, se puede probar que: 
𝝉𝒚𝒚 = −𝝉𝒏𝒏 𝝉𝒚𝒚 actuando normal al plano 𝒙𝒛
Si repetimos el análisis en las otras DD: 𝝉𝒙𝒙 = −𝝉𝒏𝒏 𝝉𝒛𝒛 = −𝝉𝒏𝒏
Para un fluido en reposo las tensiones normales (según los tres ejes
coordenados) son iguales entre sí en magnitud, e iguales en magnitud a la 
tensión normal que actúa sobre una superficie con orientación genérica
𝜏𝑥𝑥 0 0
0 𝜏𝑦𝑦 0
0 0 𝜏𝑧𝑧
τ𝑖𝑗 =
𝝉𝒙𝒙 = 𝝉𝒚𝒚 = 𝝉𝒛𝒛 = −𝝉𝒏𝒏
Esta relación permite definir la variable PRESIÓN ESTÁTICA 𝒑, cuya magnitud es la de las tensiones normales 
y sentido hacia el interior de la partícula (opuesto a 𝝉𝒏𝒏 )
𝝉𝒙𝒙 = 𝝉𝒚𝒚 = 𝝉𝒛𝒛 = −𝝉𝒏𝒏
𝝉𝒙𝒙 = 𝝉𝒚𝒚 = 𝝉𝒛𝒛 = 𝒑
Dado que en un punto de un fluido en reposo las tensiones normales en todas las DD tienen = magnitud, a la variable 𝒑 se la puede representar 
con un escalar. Definida de ese modo es también la presión termodinámica (relacionada con ρ y T según p = ρRT), considerando que en el punto 
existe equilibrio termodinámico.
TENSOR DE TENSIONES
para FLUIDO EN REPOSO 
debido a la 𝑝 termodinámica 
𝜏 𝑖𝑗
∗ =
− 𝑝 0 0
0 − 𝑝 0
0 0 − 𝑝
= − 𝑝 𝜹𝒊𝒋
𝒑 negativa
Así llegamos a la expresión de τ𝑖𝑗 para un fluido en reposo:
FLUIDO EN MOVIMIENTO: 
Desarrolla componentes adicionales de tensión debido a la viscosidad. Es decir, está afectado por tensiones tangenciales o por cortante y 
tensiones normales o lineales que no solo se relacionan con 𝒑.
Además se puede probar que el Tensor de las tensiones es SIMÉTRICO. Es decir 𝝉𝒊𝒋 = 𝝉𝒋𝒊. Matemáticamente implica que el volumen de la 
partícula de fluido es IRROTACIONAL (ninguna tensión puede ganarle a otra). 
τ𝑖𝑗 =
𝜏𝑥𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑦𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜏𝑧𝑧
𝝉𝒙𝒚 = 𝝉𝒚𝒙
𝝉𝒙𝒛 = 𝝉𝒛𝒙
𝝉𝒛𝒚 = 𝝉𝒚𝒛
τ𝑖𝑗 = − 𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 𝜎𝑖𝑗
PARTE HIDROSTÁTICA
Tensiones debidas a la 𝑝
termodinámica en un fluido en reposo
TENSOR DE TENSIONES
para FLUIDO EN MOVIMIENTO
PARTE DINÁMICA
Tensiones viscosas (normal y tangencial) 
debida a que el fluido está en 
movimiento. 
𝝈𝒊𝒋 es el Tensor Desviador de tensión y está relacionado con el Tensor del gradiente de velocidad, como veremos más adelante.
Podemos dividir a τ𝑖𝑗 en una parte que existiría solo si el fluido estuviera en 
reposo y otra parte debida solo al movimiento del mismo:
1.10: Ecuaciones fundamentales: forma diferencial
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Partimos de la forma integral de la ecuación de continuidad න
𝑆𝐶
ρ 𝑣 . 𝑑 റ𝐴 = −
𝜕
𝜕𝑡
𝑉𝐶׬ ρ 𝑑𝑉 aplicamos el teorema de la divergencia de Gauss
ය
𝐴
𝐵 ⋅ 𝑑 Ԧ𝐴 = ධ
𝑉
∇. 𝐵 dV
𝑉𝐶׬ 𝛁 . ρ Ԧ𝑣 𝑑𝑉 = −
𝜕
𝜕𝑡
𝑉𝐶׬ ρ 𝑑𝑉 න
𝑉𝐶
𝛁 . ρ Ԧ𝑣 +
𝜕
𝜕𝑡
ρ 𝑑𝑉 = 0
Como vale para cualquier volumen 
𝜕ρ
𝜕𝑡
+ 𝜵 . ρ Ԧ𝑣 = 0
FORMA DIFERENCIAL DE LA 
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD O 
CONSERVACIÓN DE LA MASA
Variación temporal 
de la masa x 
u. de volumen
Variación espacial
Variación punto a punto de la 
propiedad
¿Quién es 𝑩?
𝜕ρ
𝜕𝑡
+ 𝛁 . ρ Ԧ𝑣 =
𝝏𝝆
𝝏𝒕
+ 𝒗. 𝛁𝝆 + ρ𝛁. Ԧ𝑣 = 0
𝒅𝝆
𝒅𝒕
+ ρ𝛁. Ԧ𝑣 = 0
Observaciones:
• Flujo estacionario
𝜕
𝜕𝑡
= 0 𝛁 . ρ Ԧ𝑣
• Flujo incompresible (𝝆 constante)
𝑑𝜌
𝑑𝑡
= 0 𝛁. Ԧ𝑣 = 0
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖
= 0
• Coordenadas cartesianas 
𝜕ρ
𝜕𝑡
+ 𝛁 . ρ Ԧ𝑣 =
𝜕ρ
𝜕𝑡
+
𝜕
𝜕𝑥
ρ𝑢 +
𝜕
𝜕𝑦
ρ𝑣 +
𝜕
𝜕𝑧
ρ𝑤 = 0
Forma tensorial 
𝜕ρ
𝜕𝑡
+ 𝛁 . ρ Ԧ𝑣 =
𝜕ρ
𝜕𝑡
+
𝜕(ρ𝑢
𝑖
)
𝜕𝑥𝑖
= 0
ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Aplicamos la ley de movimiento de Newton a una partícula de fluido de forma cúbica y consideramos las tensiones que actúan sobre sus caras. 
Derivaremos la forma diferencial partiendo de la forma integral de la ley de Newton.
La ley de Newton requiere que la fuerza neta sobre el elemento sea igual a la masa por la aceleración del elemento. La suma de las fuerzas está 
dada por:
Recordemos la forma integral Fs + ධ𝑉𝐶
B dV = 
𝜕
𝜕𝑡
𝑉𝐶(ρ׬ 𝑣 ) dV + ධ𝑆𝐶
ρ 𝑣 𝑣 . 𝑑 റ𝐴 donde la Ftotal = Fs + F𝐵
Fuerzas superficiales: normales y 
tangenciales
Fuerzas de masa 
o volumen
𝒙
𝒚
𝒛
𝝉xx
𝝉xy
𝝉xz
𝝉zx
𝝉zy
𝝉zz
𝝉yx
𝝉yy
𝝉yz
Consideramos 𝐅𝒔
𝝉 zz : Fs aplicada sobre techo y piso (la componente normal a la cara es en la DD de 𝒛
y la componente tangencial a la cara es en la DD de 𝒛)
Recordemos:
𝝉 yy : ¿¿¿ ???
𝝉 zy : ¿¿¿ ??? 
𝝉 xz : ¿¿¿ ??? 
𝝉𝒊𝒋 =
𝝉𝒙𝒙 𝝉𝒙𝒚 𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒚𝒙 𝝉𝒚𝒚 𝝉𝒚𝒛
𝝉𝒛𝒙 𝝉𝒛𝒚 𝝉𝒛𝒛
Recordemos que consideramos al Tensor de las tensiones 
SIMÉTRICO
Aplicamos la ecuación integral de la cantidad de movimiento al cubo elemental Fs + F𝐵 = 
𝜕
𝜕𝑡
𝑉𝐶(ρ׬ 𝑣 ) dV + ධ𝑆𝐶
ρ 𝑣 𝑣 . 𝑑 റ𝐴
Techo y piso (3)
Caras derecha e izquierda (2) 
Frente y fondo (1)
Hacemos el balance de la cantidad de movimiento en la dirección “𝒚” ; 
= (τ xy | x + Δx - τ xy | x ) Δy Δz + (τ yy | y + Δy - τ yy | y ) Δx Δz + (τ zy | z + Δz - τ zy | z ) Δx Δy
= 
𝜕
𝜕𝑡
(ρ 𝑣 Δx Δy Δz) + ρ 𝑣 𝑣 . 𝑑 റ𝐴 | en todas las caras Tener en cuenta que en el producto escalar 𝑣 =(u, 𝑣, 𝑤)
= 
𝜕
𝜕𝑡
(ρ 𝑣 Δx Δy Δz) + (ρ 𝑣 𝑢 | x + Δx - ρ 𝑣 𝑢 | x ) Δy Δz + (ρ 𝑣 𝑣 | y + Δy - ρ 𝑣 𝑣 | y ) Δx Δz + (ρ 𝑣 𝑤 | z + Δz - ρ 𝑣 𝑤 | z ) ΔxΔy
Divido por Δx Δy Δz para independizarme del volumen y tomo 𝑙𝑖𝑚Δx Δy Δz→0
𝑙𝑖𝑚
Δx Δy Δz→0 = 
𝜕τxy
𝜕𝑥
+ 
𝜕τyy
𝜕𝑦
+ 
𝜕τzy
𝜕𝑧
; 𝑙𝑖𝑚Δx Δy Δz→0 = 
𝜕
𝜕𝑡
(ρ 𝑣) + 
𝜕(𝜌𝑣𝑢)
𝜕𝑥
+ 
𝜕(𝜌𝑣𝑣)
𝜕𝑦
+ 
𝜕(𝜌𝑣𝑤)
𝜕𝑧
Analizamos 
𝜕
𝜕𝑡
(ρ 𝑣) + 
𝜕(𝜌𝑣𝑢)
𝜕𝑥
+ 
𝜕(𝜌𝑣𝑣)
𝜕𝑦
+ 
𝜕(𝜌𝑣𝑤)
𝜕𝑧
= 𝑣
𝜕ρ
𝜕𝑡
+ ρ
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ ρ𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑥
+ ρ𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑣
𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦
+ ρ𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+ 𝑣
𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑧
= 𝑣 ( 
𝜕ρ
𝜕𝑡
+ 
𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑧
) + ρ ( 
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
)
𝝉zy | z + Δz 
𝝉zy | z 
𝝉yy | y + Δy 
𝝉yy | y 
𝝉xy | x + Δx 
𝝉xy | x
A B
A
B
A B
¿Qué se anula? (Ec. de continuidad)
B
Frente y fondo Derecha e izquierda Techo y piso
Frente y fondo Derecha e izquierda Techo y piso
B
𝝉𝒊𝒋 = 
𝐅
𝒔
𝑨
𝐅𝒔 = 𝝉𝒊𝒋 𝑨
𝒙
𝒚
𝒛
= 𝑣 ( 
𝜕ρ
𝜕𝑡
+ 
𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑧
) + ρ ( 
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
) Se anula por la forma diferencial de la ecuación de continuidad
𝜕τxy
𝜕𝑥
+ 
𝜕τyy
𝜕𝑦
+ 
𝜕τzy
𝜕𝑧
= ρ ( 
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
) 
Teniendo en cuenta que el tensor es simétrico y el balance de la cantidad de movimiento también se da en las otras direcciones (“x” y “z”) 
ρ ( 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
) = 
𝜕τxx
𝜕𝑥
+ 
𝜕τxy
𝜕𝑦
+ 
𝜕τxz
𝜕𝑧
+ 
𝐵𝑥
Δ𝑥Δ𝑦Δ𝑧
ρ ( 
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
) = 
𝜕τyx
𝜕𝑥
+ 
𝜕τyy
𝜕𝑦
+ 
𝜕τyz
𝜕𝑧
+ 
𝐵𝑦
Δ𝑥Δ𝑦Δ𝑧
ρ ( 
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
) = 
𝜕τzx
𝜕𝑥
+ 
𝜕τzy
𝜕𝑦
+ 
𝜕τzz
𝜕𝑧
+ 
𝐵𝑧
Δ𝑥Δ𝑦Δ𝑧
Usando notación de Einstein: ρ
𝑑𝑢
𝑖
𝑑𝑡
= ρ (
𝜕𝑢
𝑖
𝜕𝑡
+ 𝑢j 
𝜕𝑢
𝑖
𝜕𝑥
𝑗
) = 
𝜕τij
𝜕𝑥𝑗
+ ρ𝑔ⅈ
FORMA DIFERENCIAL DE LA 
ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE 
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Cambios temporales en un punto 
si el flujo es NO estacionario
Término convectivo (advectivo)
𝜕ρ
𝜕𝑡
+ ∇ . ρ Ԧ𝑣 = 0
A B
¿Qué fuerza 
deberíamos incluir?
F𝐵= m g = ρ V g
F
𝐵
𝑉
= ρ g
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO 
DE CAUCHY
Observaciones:
• La ecuación de CONSERVACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO + ecuación de CONSERVACIÓN DE LA MASA: conjunto de ecuaciones 
derivadas de los principios fundamentales que se pueden usar para solucionar un problema isotérmico.
• Si el problema fuese no-isotérmico (variación de T), se debe incluir la ecuación de la ENERGÍA. 
• La única hipótesis restrictiva fue sobre la teoría del continuo. 
• No se ha hecho mención del tipo de sustancia: las ecuaciones son generales para cualquier sustancia, respetando la teoría del continuo.
Balance sobre las incógnitas y ecuaciones:
• Variables dependientes son 5: 3 componentes de Ԧ𝑣, P y ρ. 
• Número de incógnitas es 14: 5 variables dependientes + 9 tensiones. 
• Número de ecuaciones es 7: 3 de cantidad de movimiento lineal, 3 de cantidad de movimiento rotacional y la ecuación de conservación de 
masa. 
Se necesitan 7 nuevas ecuaciones para cerrar el problema y hallar solución. 
Se deben aportar ecuaciones denominadas CONSTITUTIVAS: 
dan información sobre como está constituida la materia. 
Ecuaciones de Navier-Stokes: ecuaciones especializadas 
para sustancias denominadas fluidos Newtonianos
1.11: Ecuaciones de Navier-Stokes
INTRODUCCIÓN:
Son las ecuaciones de cantidad de movimiento con el agregado de 7 ecuaciones constitutivas propias para un tipo de sustancia. 
Ecuación de estado 
(como para GI) 
6 ecuaciones que permiten expresar las 
tensiones en función de Deformaciones
Expresan de que forma ocurre el rozamiento 
interno en un FLUIDO EN MOVIMIENTO
Recordemos que Newton propuso una relación lineal entre la tensión por cortante (tangencial) y la deformación (tasa de tensión por cortante ):
Luego Navier presentó por primera vez las ecuaciones hoy en día denominadas de Navier-Stokes en 1822, en base a la relación propuesta por 
Newton. Y tiempo después Stokes, hizo una serie de hipótesis sobre el tipo de fluido que modelan esas ecuaciones, las cuales conceptualmente 
definen la sustancia. 
Los anteriores son los antecedentes de las ecuaciones constitutivas para un fluido Newtoniano, las cuales al presente no tienen demostración 
analítica. Pero existen datos experimentales y de simulación numérica, que demuestran que las ecuaciones de Navier-Stokes modelan 
correctamente los fluidos Newtonianos (aire, agua).
Función lineal
Hipótesis de STOKES:
• Las tensiones en un punto son una función continua de las deformaciones 𝑫 y del equilibrio termodinámico en ese punto, independiente de 
otra variable cinemática.
• El fluido es homogéneo: las tensiones en un punto no dependen de las coordenadas espaciales.
• El fluido es isotrópico: no existe una dirección preferencial ni de tensión ni de deformación.
• Cuando no existe deformación, la única tensión es la estática o hidrostática (presión termodinámica).
Las ecuaciones constitutivas relacionan 
Tensiones con Deformaciones para fluidos Newtonianos
Relacionan las 6 tensiones diferentes del tensor 𝝉
con las deformaciones del tensor de Deformación 𝑫
mediante una relación lineal 
𝝉𝒊𝒋 =
𝝉𝒙𝒙 𝝉𝒙𝒚 𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒚𝒙 𝝉𝒚𝒚 𝝉𝒚𝒛
𝝉𝒛𝒙 𝝉𝒛𝒚 𝝉𝒛𝒛
𝒆𝒚𝒙
𝒆𝒙𝒛𝒆𝒙𝒚𝒆𝒙𝒙
𝒆𝒛𝒙
𝒆𝒚𝒛𝒆𝒚𝒚
𝒆𝒛𝒛𝒆𝒛𝒚
[𝑫𝒊𝒋] = 
1
2
𝜕𝑢1
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑢1
𝜕𝑥1
𝜕𝑢1
𝜕𝑥2
+
𝜕𝑢2
𝜕𝑥1
𝜕𝑢1
𝜕𝑥3
+
𝜕𝑢3
𝜕𝑥1
𝜕𝑢2
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑢1
𝜕𝑥2
𝜕𝑢2
𝜕𝑥2
+
𝜕𝑢2
𝜕𝑥2
𝜕𝑢2
𝜕𝑥3
+
𝜕𝑢3
𝜕𝑥2
𝜕𝑢3
𝜕𝑥1
+
𝜕𝑢1
𝜕𝑥3
𝜕𝑢3
𝜕𝑥2
+
𝜕𝑢2
𝜕𝑥3
𝜕𝑢3
𝜕𝑥3
+
𝜕𝑢3
𝜕𝑥3
=
Simétrico
Simétrico
Tensiones normales Tensiones tangenciales
Ecuaciones constitutivas para las tensiones viscosas normales:
𝝉′𝒙𝒙 = λ 𝒆𝒙𝒙 + 𝒆𝒚𝒚 + 𝒆𝒛𝒛 + 𝟐μ𝒆𝒙𝒙
𝝉′𝒚𝒚 = λ 𝒆𝒙𝒙 + 𝒆𝒚𝒚 + 𝒆𝒛𝒛 + 𝟐μ𝒆𝒚𝒚
𝝉′𝒛𝒛 = λ 𝒆𝒙𝒙 + 𝒆𝒚𝒚 + 𝒆𝒛𝒛 + 𝟐μ𝒆𝒛𝒛
Tensiones normales derivadas solo de los 
efectos de la viscosidad 
(faltan las debidas al peso del fluido o presión 
hidrostática por eso es 𝝉′𝒊𝒊)
Ecuaciones constitutivas para las tensiones viscosas tangenciales o por cortante son:
𝝉𝒙𝒚 = 𝝉𝒚𝒙 = μ 𝒆𝒚𝒙 + 𝒆𝒙𝒚
𝝉𝒛𝒚 = 𝝉𝒚𝒛 = μ 𝒆𝒚𝒛 + 𝒆𝒛𝒚
𝝉𝒙𝒛 = 𝝉𝒙𝒚 = μ 𝒆𝒛𝒙 + 𝒆𝒙𝒛
𝝉𝒊𝒋 =
𝝉𝒙𝒙 𝝉𝒙𝒚 𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒚𝒙 𝝉𝒚𝒚 𝝉𝒚𝒛
𝝉𝒛𝒙 𝝉𝒛𝒚 𝝉𝒛𝒛
𝒆𝒊𝒋 =
𝒆𝒙𝒙 𝒆𝒙𝒚 𝒆𝒙𝒛
𝒆𝒚𝒙 𝒆𝒚𝒚 𝒆𝒚𝒛
𝒆𝒛𝒙 𝒆𝒛𝒚 𝒆𝒛𝒛
𝜕𝑢
𝜕𝑥
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
𝜕𝑣
𝜕𝑦
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
)
𝜕𝑤
𝜕𝑧
Tensiones tangenciales o por cortante 
derivadas de los efectos de la viscosidad 
➢ 𝝁 Coeficiente de viscosidad dinámico: 
Obtenido de forma experimental. Relaciona la tensión de corte con el gradiente de la velocidad.
➢ 𝝀 Coeficiente de viscosidad global 
Relacionados por el supuesto de STOKES
¿ ¿ 𝒆𝒙𝒙 + 𝒆𝒚𝒚 + 𝒆𝒛𝒛? ?
Permite definir la presión hidrostática
𝝉𝒙𝒚 = 𝝉𝒚𝒙 = μ
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
) +
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
𝝉𝒛𝒚 = 𝝉𝒚𝒛 = μ
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
) +
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
)
𝝉𝒙𝒛 = 𝝉𝒛𝒙 = μ
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
) +
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
𝒆𝒙𝒙 + 𝒆𝒚𝒚 + 𝒆𝒛𝒛 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 𝛁 . Ԧ𝑣
𝝉′𝒙𝒙 = λ 𝒆𝒙𝒙 + 𝒆𝒚𝒚 + 𝒆𝒛𝒛 + 𝟐μ𝒆𝒙𝒙
𝝉′𝒚𝒚 = λ 𝒆𝒙𝒙 + 𝒆𝒚𝒚 + 𝒆𝒛𝒛 + 𝟐μ𝒆𝒚𝒚
𝝉′𝒛𝒛 = λ 𝒆𝒙𝒙 + 𝒆𝒚𝒚 + 𝒆𝒛𝒛 + 𝟐μ𝒆𝒛𝒛
𝝉𝒙𝒚 = 𝝉𝒚𝒙 = μ 𝒆𝒚𝒙 + 𝒆𝒙𝒚
𝝉𝒛𝒚 = 𝝉𝒚𝒛 = μ 𝒆𝒚𝒛 + 𝒆𝒛𝒚
𝝉𝒙𝒛 = 𝝉𝒙𝒚 = μ 𝒆𝒛𝒙 + 𝒆𝒙𝒛
𝝉′𝒙𝒙 = λ∇ . Ԧ𝑣 + 𝟐μ
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝝉′𝒚𝒚 = λ∇ . Ԧ𝑣 + 𝟐μ
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝝉′𝒛𝒛 = λ∇ . Ԧ𝑣 + 𝟐μ
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝝉𝒙𝒚 = 𝝉𝒚𝒙 = μ
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝝉𝒛𝒚 = 𝝉𝒚𝒛 = μ
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝝉𝒙𝒛 = 𝝉𝒛𝒙 = μ
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
Tensiones viscosas 
normales
Tensiones viscosas 
tangenciales
τ𝑖𝑗 = − 𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 𝜎𝑖𝑗
PARTE HIDROSTÁTICA
PARTE DINÁMICA
[τ𝑖𝑗] =
−𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝜆𝛁 ⋅ Ԧ𝑣 μ
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
μ
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
μ
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝜆𝛁 ⋅ Ԧ𝑣 μ
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
μ
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
μ
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
−𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+ 𝜆𝛁 ⋅ Ԧ𝑣
τ𝑖𝑗 = − 𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇 𝑒𝑖𝑗 + 𝜆𝛁 ⋅ Ԧ𝑣 𝛿𝑖𝑗
𝜎𝑖𝑗 = 2𝜇 𝑒𝑖𝑗 + 𝜆𝛁 ⋅ Ԧ𝑣
[τ𝑖𝑗] =
−𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝜆𝛁 ⋅ Ԧ𝑣 μ
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
μ
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
μ
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝜆𝛁 ⋅ Ԧ𝑣 μ
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
μ
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
μ
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
−𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+ 𝜆𝛁 ⋅ Ԧ𝑣
Ecuación constitutiva del Tensor de las tensiones 
para Fluido-Newtoniano
(en función de las viscosidades dinámica y global) 
2𝜇 𝑒𝑖𝑖 = 2𝜇
1
2
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖
+
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖
𝒆𝑖𝑗 =
𝑒𝑥𝑥 𝑒𝑥𝑦 𝑒𝑥𝑧
𝑒𝑦𝑥 𝑒𝑦𝑦 𝑒𝑦𝑧
𝑒𝑧𝑥 𝑒𝑧𝑦 𝑒𝑧𝑧
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
𝜕𝑣
𝜕𝑦
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
)
𝜕𝑤
𝜕𝑧
Todos los términos tienen la forma
𝒆𝑖𝑗 =
1
2
(
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
)
Diagonal Fuera de la diagonal
2𝜇 𝑒𝑖𝑗 = 2𝜇
1
2
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
2𝜇 𝑒𝑖𝑗
Buscamos la notación indicial de 𝝉𝒊𝒋:
Recordemos que con 𝑝 debimos apelar a 𝜹𝒊𝒋. ¿ A qué otro término debemos aplicar 𝜹𝒊𝒋?
τ𝑖𝑗 = − 𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 𝜎𝑖𝑗
¿Cómose expresa en notación indicial?
𝜆𝛁 ⋅ Ԧ𝑣 𝜆𝛁 ⋅ Ԧ𝑣 𝛿𝑖𝑗 𝜎𝑖𝑗 = 2𝜇 𝑒𝑖𝑗 + 𝜆𝛁 ⋅ Ԧ𝑣 𝛿𝑖𝑗
Observación:
FLUIDO INCOMPRESIBLE 𝛁 ⋅ Ԧ𝑣 = 0
τ𝑖𝑗 = − 𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇 𝑒𝑖𝑗
𝜎𝑖𝑗 = 2𝜇 𝑒𝑖𝑗
Ecuación constitutiva del Tensor de las tensiones 
para Fluido-Newtoniano INCOMPRESIBLE
Tensor de Deformación 𝑫
Tensiones normales TOTALES para FLUIDO EN MOVIMIENTO:
Nos resta redefinir las tensiones normales considerando al fluido en movimiento, pero en función de un solo coeficiente de viscosidad.
Recordemos que cuando consideramos un fluido estático, obtuvimos que las tensiones totales normales tenían su magnitud coincidente solo con 
la presión hidrostática.
𝝉 𝒙𝒙
∗ = 𝝉 𝒚𝒚
∗ = 𝝉 𝒛𝒛
∗ = − 𝒑 𝒑 presión estática 
o hidrostática
Sentido hacia el interior de la partícula (signo menos)
Magnitud = a la de las tensiones normales
Tensiones normales totales, para fluido en movimiento:
Tensiones viscosas normales + Tensiones normales debido al peso del fluido o presión hidrostática 
𝝉𝒙𝒙 = 𝝉 𝒙𝒙
∗ + 𝝉′𝒙𝒙 = −𝒑 + λ𝛁 . Ԧ𝑣 + 𝟐μ
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝝉𝒚𝒚 = 𝝉 𝒚𝒚
∗ + 𝝉′𝒚𝒚 = −𝒑 + λ𝛁 . Ԧ𝑣 + 𝟐μ
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝝉𝒛𝒛 = 𝝉 𝒛𝒛
∗ + 𝝉′𝒛𝒛 = −𝒑 + λ𝛁 . Ԧ𝑣 + 𝟐μ
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑚. 𝑎 𝑚.
𝝉𝒙𝒙+ 𝝉𝒚𝒚+ 𝝉𝒛𝒛 = −𝟑𝒑 + (3λ + 𝟐μ)𝛁 . Ԧ𝑣
Tensiones normales
TOTALES debido a la 
viscosidad y a 𝒑
𝜏𝑖𝑖 = 𝜏11 + 𝜏22 + 𝜏33 = −𝟑𝒑 + (3λ + 𝟐μ)𝛁 . Ԧ𝑣
Notación indicial
𝝉𝒙𝒙+ 𝝉𝒚𝒚+ 𝝉𝒛𝒛 = −𝟑𝒑 + (𝟑𝝀 + 𝟐𝝁)𝛁 . Ԧ𝑣
De donde tenemos que si los coeficientes de viscosidad dinámico y global cumplen con la condición: 𝟑𝝀 + 𝟐𝝁 = 𝟎
Fluido estático 𝒑 = −
1
3
(𝝉𝒙𝒙+ 𝝉𝒚𝒚+ 𝝉𝒛𝒛)
Supuesto de Stokes
𝜆 = −
2
3
𝜇
Reescribimos las ecuaciones constitutivas eliminando el coeficiente de viscosidad global 𝝀 mediante el supuesto de Stokes:
𝝉𝒙𝒙 = 𝝉 𝒙𝒙
∗ + 𝝉′𝒙𝒙 = −𝒑 + λ𝛁 . Ԧ𝑣 + 𝟐μ
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝝉𝒚𝒚 = 𝝉 𝒚𝒚
∗ + 𝝉′𝒚𝒚 = −𝒑 + λ𝛁 . Ԧ𝑣 + 𝟐μ
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝝉𝒛𝒛 = 𝝉 𝒛𝒛
∗ + 𝝉′𝒛𝒛 = −𝒑 + λ𝛁 . Ԧ𝑣 + 𝟐μ
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝝉𝒙𝒙 = −𝑝 −
2
3
𝜇 𝛁 . Ԧ𝑣 + 𝟐μ
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝝉𝒚𝒚 = −𝑝 −
2
3
𝜇 𝛁 . Ԧ𝑣 + 𝟐μ
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝝉𝒛𝒛 = −𝒑 −
2
3
𝜇 𝛁 . Ԧ𝑣 + 𝟐μ
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝝉𝒙𝒚 = 𝝉𝒚𝒙 = μ
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝝉𝒛𝒚 = 𝝉𝒚𝒛 = μ
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝝉𝒙𝒛 = 𝝉𝒛𝒙 = μ
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
Aclaración: En relación a la definición de presión, cabe decir que la misma es coincidente con la de presión termodinámica, si en el punto en 
cuestión existe equilibrio termodinámico (hipótesis considerada para esas relaciones). Es decir, se debe pensar que todos los procesos 
termodinámicos deben tener una escala de tiempo mucho menor que la correspondiente a la del flujo.
ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA FLUIDO NEWTONIANO
[𝜏𝑖𝑗] =
−𝑝 −
2
3
𝜇 𝛁 . Ԧ𝑣 + 2𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−𝑝 −
2
3
𝜇 𝛁 . Ԧ𝑣 + 2𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
−𝑝 −
2
3
𝜇 𝛁 . Ԧ𝑣 + 2𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑧
Por lo tanto el TENSOR DE LAS TENSIONES para un FUIDO EN MOVIMIENTO, en el cual se consideran las TENSIONES VISCOSAS, formadas por las 
tangenciales (o por cortante) y las normales, aplicando el Supuesto de Stokes para los coeficientes de viscosidad, resulta ser:
𝜎𝑖𝑗 = 2𝜇 𝑒𝑖𝑗−
2
3
𝜇 𝛁. Ԧ𝑣 𝛿𝑖𝑗τ𝑖𝑗 = − 𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 𝜎𝑖𝑗
[τ𝑖𝑗] =
−𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝜆𝛁 ⋅ Ԧ𝑣 μ
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
μ
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
μ
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝜆𝛁 ⋅ Ԧ𝑣 μ
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
μ
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
μ
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
−𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+ 𝜆𝛁 ⋅ Ԧ𝑣
Buscamos la notación indicial de 𝝉𝒊𝒋:
La forma de 𝝉𝒊𝒋 es igual a la que consideramos 𝜇 y 𝜆
excepto por lo términos de la diagonal 
τ𝑖𝑗 = − 𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇 𝑒𝑖𝑗 + 𝜆𝛁 ⋅ Ԧ𝑣 𝛿𝑖𝑗
τ𝑖𝑗 = − 𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇 𝑒𝑖𝑗−
2
3
𝜇 𝛁. Ԧ𝑣 𝛿𝑖𝑗
Ecuación constitutiva del Tensor de las tensiones 
para Fluido-Newtoniano
(en función solo de la viscosidad dinámica) 
Observación:
FLUIDO INCOMPRESIBLE 𝛁 ⋅ Ԧ𝑣 = 0 τ𝑖𝑗 = − 𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇 𝑒𝑖𝑗𝜎𝑖𝑗 = 2𝜇 𝑒𝑖𝑗
Ecuación constitutiva del Tensor de las 
tensiones para Fluido-Newtoniano 
INCOMPRESIBLE (ya vista)
Finalmente llegamos a las ECUACIONES GENERALES PARA FLUIDO NEWTONIANO O ECUACIONES DE NAVIER-STOKES.
Para ello sustituimos las ecuaciones constitutivas para un fluido Newtoniano, en las ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento:
ρ
𝑑𝑢
𝑖
𝑑𝑡
= ρ(
𝜕𝑢
𝑖
𝜕𝑡
+ 𝑢j 
𝜕𝑢
𝑖
𝜕𝑥
𝑗
) =
𝜕τij
𝜕𝑥𝑗
+ ρ𝑔ⅈ
ρ
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑥 +
𝜕τ𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕τ𝑥𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕τ𝑥𝑧
𝜕𝑧
ρ
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑦 +
𝜕τ𝑦𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕τ𝑦𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕τ𝑦𝑧
𝜕𝑧
ρ
𝑑𝑤
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑧 + (
𝜕τ𝑧𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕τ𝑧𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕τ𝑧𝑧
𝜕𝑧
)
𝝉𝒙𝒙 = −𝑝 −
2
3
𝜇 𝛁 . Ԧ𝑣 + 2μ
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝝉𝒚𝒚 = −𝑝 −
2
3
𝜇 𝛁 . Ԧ𝑣 + 2𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝝉𝒛𝒛 = −𝑝 −
2
3
𝜇 𝛁 . Ԧ𝑣 + 2μ
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝝉𝒙𝒚 = 𝝉𝒚𝒙 = μ
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝝉𝒛𝒚 = 𝝉𝒚𝒛 = μ
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝝉𝒙𝒛 = 𝝉𝒛𝒙 = μ
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥 ρ
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑥 +
𝜕(−𝑝 −
2
3 𝜇 𝛁 . Ԧ𝑣 + 2μ
𝜕𝑢
𝜕𝑥
)
𝜕𝑥
+
𝜕(μ
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
𝜕𝑦
+
𝜕(μ
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
𝜕𝑧
Analizamos en la DD- 𝑥
ρ
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑥 +
𝜕(−𝑝 −
2
3
𝜇 𝛁 . Ԧ𝑣 + 𝟐μ
𝜕𝑢
𝜕𝑥
)
𝜕𝑥
+
𝜕(μ
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
𝜕𝑦
+
𝜕(μ
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
𝜕𝑧
Usando algo de álgebra, considerando que las variables son funciones continuas en el tiempo y el espacio y que el coeficiente de viscosidad
es constante:
ρ
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
−
2
3
𝜇
𝜕(𝛁 . Ԧ𝑣)
𝜕𝑥
+ 2μ
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ μ
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ μ
𝜕
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
ρ
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
−
2
3
𝜇
𝜕(𝛁 . Ԧ𝑣)
𝜕𝑥
+ 2μ
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ μ
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+ μ
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ μ
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
+ μ
𝜕
𝜕𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑥
Como las derivadas cruzadas son iguales:
ρ
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
−
2
3
𝜇
𝜕(𝛁 . Ԧ𝑣)
𝜕𝑥
+ μ
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ μ
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ μ
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+ μ
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ μ
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
+ μ
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑧
μ
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
ρ
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
−
2
3
𝜇
𝜕(𝛁 . Ԧ𝑣)
𝜕𝑥
+ μ(
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
) + μ
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ μ
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ μ
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝛁 . Ԧ𝑣 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
ρ
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+
1
3
𝜇
𝜕(𝛁 . Ԧ𝑣)
𝜕𝑥
+ μ(
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
)ρ
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
−
2
3
𝜇
𝜕(𝛁 . Ԧ𝑣)
𝜕𝑥
+ μ(
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
) + μ
𝜕 𝛁 . Ԧ𝑣
𝜕𝑥
Y de manera equivalente para todas la direcciones:
ρ
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+
1
3
𝜇
𝜕(𝛁 . Ԧ𝑣)
𝜕𝑥
+ μ(
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
)
ρ
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑦 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+
1
3
𝜇
𝜕(𝛁 . Ԧ𝑣)
𝜕𝑦
+ μ(
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
)
ρ
𝑑𝑤
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑧 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+
1
3
𝜇
𝜕(𝛁 . Ԧ𝑣)
𝜕𝑧
+ μ(
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
)
ρ
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= ρ Ԧ𝑔 − 𝛁𝑝 +
1
3
𝜇 𝛁(𝛁 . Ԧ𝑣) + μ∇2 Ԧ𝑣 ECUACIONES DE NAVIER-STOKES
Son las tres componentes de la ecuación vectorial de cantidad de movimiento lineal.
𝜌
𝑑𝑢𝑖
𝑑𝑡
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑖
+ 𝜌𝑔𝑖 + μ ∇
2𝑢𝑖 +
1
3
μ
𝜕
𝜕𝑥𝑖
(∇ . Ԧ𝑣)
Buscamos la notación indicial de las ecuaciones de Navier-Stokes
ρ
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+
1
3
𝜇
𝜕(∇ . Ԧ𝑣)
𝜕𝑥
+ μ(
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
)
ρ
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑦 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+
1
3
𝜇
𝜕(∇ . Ԧ𝑣)
𝜕𝑦
+ μ(
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
)
ρ
𝑑𝑤
𝑑𝑡
= ρ𝑔𝑧 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+
1
3
𝜇
𝜕(∇ . Ԧ𝑣)
𝜕𝑧
+ μ(
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
)
ρ
𝑑𝑢𝑖
𝑑𝑡
𝜌𝑔𝑖
−
𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑖
1
3
μ
𝜕
𝜕𝑥𝑖
(∇ . Ԧ𝑣)
μ ∇2𝑢𝑖
∇2𝑢𝑖 =
𝜕2𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑗
∇2𝑢𝑖 =
𝜕2𝑢𝑖
𝜕𝑥1
2 +
𝜕2𝑢𝑖
𝜕𝑥2
2 +
𝜕2𝑢𝑖
𝜕𝑥3
2
ECUACIONES DE NAVIER-STOKES-1
(notación de Einstein)
Otra forma (2) de obtener la notación indicial de las ecuaciones deNavier-Stokes resulta de considerar el Tensor de las Tensiones para fluido 
Newtoniano tendiendo en cuenta solo la viscosidad dinámica: 
τ𝑖𝑗 = − 𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇 𝑒𝑖𝑗−
2
3
𝜇 ∇. Ԧ𝑣 𝛿𝑖𝑗
ρ
𝑑𝑢
𝑖
𝑑𝑡
=
𝜕τij
𝜕𝑥𝑗
+ ρ𝑔ⅈ
Recordemos que para hallar las ecuaciones de Navier-Stokes partimos de la ecuación de conservación de cantidad de movimiento: 
𝜌
𝑑𝑢𝑖
𝑑𝑡
=
𝜕(− 𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇 𝑒𝑖𝑗−
2
3 𝜇 ∇. Ԧ𝑣 𝛿𝑖𝑗)
𝜕𝑥𝑗
+ 𝜌𝑔𝑖
𝜌
𝑑𝑢𝑖
𝑑𝑡
=
𝜕τ𝑖𝑗
𝜕𝑥𝑗
+ 𝜌𝑔𝑖
𝜌
𝑑𝑢𝑖
𝑑𝑡
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑖
+ 𝜌𝑔𝑖 +
𝜕
𝜕𝑥𝑗
[2μ 𝑒𝑖𝑗 −
2
3
μ (∇ . Ԧ𝑣) δ𝑖𝑗]
ECUACIONES DE NAVIER-STOKES-2
(notación de Einstein)
ρ
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= ρ Ԧ𝑔 − ∇𝑝 +
1
3
𝜇 ∇(∇ . Ԧ𝑣) + μ∇2 Ԧ𝑣
𝑑𝜌
𝑑𝑡
+ 𝜌∇. Ԧ𝑣 = 0
FLUIDO INCOMPRESIBLE:
𝑑𝜌
𝑑𝑡
+ 𝜌∇. Ԧ𝑣 = 0
∇. Ԧ𝑣 = 0 ρ
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
= ρ Ԧ𝑔 − 𝛁𝑝 + μ∇2 Ԧ𝑣
Forma más usual de las ecuaciones de Navier-Stokes 
en temas relacionados con ingeniería mecánica y 
química, dado que los flujos más habituales son 
incompresibles (líquidos o los gases a bajas velocidades)
ESPECIALIZACIÓN DE LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOKES:
Especializaremos las ecuaciones de Navier-Stokes para casos simples a modo de comprender el significado físico de algunos términos. También 
haremos uso de la ecuación de conservación de la masa.
FLUIDO INCOMPRESIBLE + EFECTOS VISCOSOS DESPRECIABLES:
ρ
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= ρ Ԧ𝑔 − ∇𝑝 +
1
3
𝜇 ∇(∇ . Ԧ𝑣) + μ∇2 Ԧ𝑣 ρ
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
= ρ Ԧ𝑔 − 𝛁𝑝
Ecuación de Euler
(Fluido ideal = incompresible + no viscoso )
FLUIDO ESTÁTICO:
Eliminamos todos los términos que contienen a la velocidad. 
0 = ρ Ԧ𝑔 − ∇𝑝 Con Ԧ𝑔 actuando en la DD -𝒛 0 = −ρ𝑔 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
De donde surge la relación conocida: 
Aproximación Hidrostática
𝑝 𝑧 = 𝑝 0 + ρ𝑔𝑧
Esta especialización tuvo como objetivo mostrar que una vez conocidas las ecuaciones de Navier-Stokes, todos los problemas con fluidos pueden 
ser formulados a partir de las mismas, haciendo las hipótesis correspondientes
Aproximación hidrostática (N-S): Análisis de escala fluido incompresible
𝑑𝑤
𝑑𝑡
= −𝑔 −
1
ρ
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+
μ
𝜌
(
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
)
𝑃0
𝐻
𝑝 disminuye en ≈ un orden de magnitud desde el 
suelo (𝑃0) hasta la tropopausa (profundidad 𝐻)
ρ
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
= ρ Ԧ𝑔 − ∇𝑝 + μ∇2 Ԧ𝑣
No consideramos Co
Escala sinóptica y latitudes medias
El campo de 𝒑 está en equilibrio hidrostático con 𝒈: 
𝑝 = Peso de una columna de aire por encima
𝑑𝑤
𝑑𝑡
se desprecia
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= −ρ𝑔
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= −ρ𝑔
“Análisis engañoso”
NO es suficiente mostrar que: 
𝑑𝑤
𝑑𝑡
<< 𝑔
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝜕𝑝
𝜕𝑦
Solo
está directamente acoplada al 
campo de velocidad horizontal
Es necesario demostrar que 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝜕𝑝
𝜕𝑦
está en equilibrio hidrostático con el campo de densidad
que también varía horizontalmente 
Para hacer esto, es 
necesario primero definir: promediada horizontalmente para cada 𝒛Presión Standard 𝒑0(𝒛)
Densidad Standard 𝝆0(𝒛) correspondiente
de modo que 𝒑0(𝒛) y 𝝆0(𝒛) estén en 
equilibrio hidrostático exacto en una 
atmósfera standard (en REPOSO)
1
𝝆0
𝑑𝒑0
𝑑𝑧
= −𝑔
Entonces podemos escribir los campos de 𝒑 y 𝝆 totales como:
𝑝 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑝0 𝑧 + 𝑝′(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝜌0 𝑧 + 𝜌′(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
Parte Estática-Estacionaria 
Estado de referencia estático – Estado de Base 
(reposo) en equilibrio hidrostático
Parte Dinámica
Variación o fluctuación debida al movimiento. 
Desviación del equilibrio hidrostático o Perturbación
¿Qué términos se anulan en una atmósfera standard?
−
𝜌′𝑔
𝜌0
−
1
𝜌0
𝜕𝑝′
𝜕𝑧
1
𝜌0
𝑑𝑝0
𝑑𝑧
= −𝑔
𝑝 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑝0 𝑧 + 𝑝′(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝜌0 𝑧 + 𝜌′(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑝′ << 𝑝0 𝑧
𝜌′ << 𝜌0 𝑧
Suposición
𝜌′
𝜌0
≪ 1
1
𝜌0 + 𝜌′
≅
1
𝜌0
(1 −
𝜌′
𝜌0
)
−
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧
− 𝑔 = −
1
𝜌0 + 𝜌
′
𝜕 𝑝0+ 𝑝
′
𝜕𝑧
− 𝑔 ≈
1
𝜌0
𝜌′
𝜌0
𝑑𝑝0
𝑑𝑧
−
𝜕𝑝′
𝜕𝑧
= −
1
𝜌0
𝜌′𝑔 +
𝜕𝑝′
𝜕𝑧
= −
𝜌′𝑔
𝜌0
−
1
𝜌0
𝜕𝑝′
𝜕𝑧
Movimiento Escala sinóptica ~
𝛿𝑃
𝜌0𝐻
~ 10
− 1
𝑚 𝑠𝑒𝑔
− 2
~ 10
− 1
𝑚 𝑠𝑒𝑔
− 2
𝑑𝑤
𝑑𝑡
𝑩𝑨
con las del resto de los términos de la ecuación: 
Considerando la ecuación
Si comparamos la magnitud de 𝑨 𝑩
En una muy buena aproximación, el campo de 𝑝′
está en equilibrio hidrostático con el campo de 𝜌′
𝜕𝑝′
𝜕𝑧
+ 𝜌′𝑔 = 0
1
𝝆′
𝜕𝒑′
𝜕𝑧
= −𝑔
Recapitulamos algunos conceptos importantes: 
1.12: Componentes del campo de velocidad
τ𝑖𝑗 = − 𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 𝜎𝑖𝑗
Forma general del 
Tensor de las Tensiones
𝑒𝑖𝑗 =
1
2
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
Tensor de Deformación TOTAL (lineal 
o normal y tangencial o por cortante)
Fluido incompresible ∇ ⋅ Ԧ𝑣 = 0
τ𝑖𝑗 = − 𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇 𝑒𝑖𝑗𝜎𝑖𝑗 = 2𝜇 𝑒𝑖𝑗
𝜎𝑖𝑗 = 2𝜇 𝑒𝑖𝑗 + 𝜆∇ ⋅ Ԧ𝑣 𝛿𝑖𝑗
Considerando viscosidades dinámica y global
Fluido compresible
τ𝑖𝑗 = − 𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇 𝑒𝑖𝑗 + 𝜆∇ ⋅ Ԧ𝑣 𝛿𝑖𝑗
Considerando viscosidad dinámica (Supuesto de Stokes)
Fluido compresible
𝜎′𝑖𝑗 = 2𝜇 𝑒𝑖𝑗−
2
3
𝜇 ∇. Ԧ𝑣 𝛿𝑖𝑗 τ𝑖𝑗 = − 𝑝 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇 𝑒𝑖𝑗−
2
3
𝜇 ∇. Ԧ𝑣 𝛿𝑖𝑗
2𝜇 𝑒𝑖𝑖 = 2𝜇
1
2
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖
+
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖
𝑒𝑖𝑗 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
𝜕𝑣
𝜕𝑦
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
)
𝜕𝑤
𝜕𝑧
Diagonal
Fuera de la diagonal 2𝜇 𝑒𝑖𝑗 = 2𝜇
1
2
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
Definimos: σ’ 
Tensor de Deformación puro
𝑫′= 𝑒′𝑖𝑗 = 𝑒𝑖𝑗 si ⅈ ≠ 𝑗
Solo deforma al fluido (deformación por cortante), no lo comprime ni 
lo dilata (no incluye deformación lineal), es decir, no están las 
componentes de la diagonal: 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
,
𝜕𝑣
𝜕𝑦
, 
𝜕𝑤
𝜕𝑧
ni tampoco la presión
σ' es proporcional a las deformaciones puras 𝑫′ a través de 𝝁
𝜎′𝑖𝑗 = 2𝜇 𝑒′𝑖𝑗
¿Cómo representamos el campo de velocidades?
Hacemos un desarrollo de Taylor de primer orden para la velocidad
Ԧ𝑣 (Ԧ𝑟) = Ԧ𝑣 (Ԧ𝑟0) + ( Ԧ𝑟 − Ԧ𝑟0) . ∇ Ԧ𝑣 (Ԧ𝑟0) Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣0 + Ԧ𝑟. ∇ 𝒗
Tensor gradiente de la velocidad
𝛁 Ԧ𝑣 =
1
2
(𝛁 Ԧ𝑣 + 𝛁 Ԧ𝑣 T) +
1
2
(𝛁 Ԧ𝑣 − 𝛁 Ԧ𝑣 T)
𝑫 =
1
2
(𝛁 Ԧ𝑣 + 𝛁 Ԧ𝑣 T)
𝜴 =
1
2
(𝛁 Ԧ𝑣 − 𝛁 Ԧ𝑣 T)𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
= 𝒆𝑖𝑗 + [Ω𝑖𝑗]
Vimos que 𝛁 Ԧ𝑣 se puede descomponer como parte simétrica y antisimétrica
Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣0 + Ԧ𝑟 . 𝑫 + Ԧ𝑟 . 𝜴
El desarrollo de Taylor resulta: 𝒆𝑖𝑗
𝜎′ = 2𝜇𝑫′
1. Buscamos representar la Deformación TOTAL como la suma de Deformación Pura (por cortante) + la Deformación debida a compresiones y 
dilataciones:
𝒆𝒊𝒋 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
𝜕𝑣
𝜕𝑦
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
)
1
2
(
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
)
𝜕𝑤
𝜕𝑧
Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣0 + Ԧ𝑟 . 𝑫 + Ԧ𝑟 . 𝜴
𝑫
El concepto de Deformación Pura 𝑫′ implica quitar del tensor de Deformación total 𝑫 (Velocidad de Deformación) los elementos de la diagonal. 
𝜎′ = 2𝜇𝑫’
𝑫 = 𝑫’ + 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
0 0
0
𝜕𝑣
𝜕𝑦
0
0 0
𝜕𝑤
𝜕𝑧
• Los elementos de la diagonal son 
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖
. Son tres y diferentes entre sí
• La suma de los elementos de la diagonal 
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖
forman la divergencia
• A 𝑫′ debería sumarle un único elemento diagonal 
• Resuelvo tomando el promedio de los mismos 
Cuidado: la DIV es un número, 𝑫 y 𝑫′ son tensores
𝑫 = 𝑫′ +
1
3
∇ ⋅ Ԧ𝑣
𝑫𝒊𝒋 = 𝑫′𝒊𝒋 + 
1
3
∇ ⋅ 𝑣 𝛿𝑖𝑗
(
Ԧ𝑟
2
. 𝛁) Ԧ𝑣 −(
Ԧ𝑟
2
. Ԧ𝑣)𝛁 = 𝛁𝑥 Ԧ𝑣 𝑥
Ԧ𝑟
2
= 𝝎 x
𝒓
𝟐
Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣0 + Ԧ𝑟 . 𝑫 + Ԧ𝑟 . 𝜴
2. Buscamos representar el tensor Rotación en función del rotor de la velocidad. Recordemos:
𝑫𝒊𝒋 = 𝑫′𝒊𝒋 + 
1
3
∇ ⋅ 𝑣 𝛿𝑖𝑗
𝜴 =
1
2
(𝛁 Ԧ𝑣 − 𝛁 Ԧ𝑣 T)
[𝒓𝑖𝑗] = 
0 −𝜔3 𝜔2
𝜔3 0 −𝜔1
−𝜔2 𝜔1 0
𝐴. 𝐶 𝐵 − 𝐴. 𝐵 𝐶 = (𝐶 x 𝐵) x 𝐴
ω = ∇ × Ԧ𝑣 ω =
𝜕𝑤
𝜕𝑦
−
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝒊 +
𝜕𝑢
𝜕𝑧
−
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝒋 +
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝒌
ω𝟏 ω𝟐 ω𝟑
[Ω𝑖𝑗] = 
1
2
𝜕𝑢
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢𝜕𝑦
−
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑧
−
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
−
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑧
−
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑦
−
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑧
−
𝜕𝑤
𝜕𝑧
El campo de velocidades estaba representado por: 
Ԧ𝑟 . 𝜴 = Ԧ𝑟 .
1
2
(𝛁 Ԧ𝑣 − 𝛁 Ԧ𝑣 T) =
Ԧ𝑟
2
. 𝛁 Ԧ𝑣 −
Ԧ𝑟
2
. 𝛁 Ԧ𝑣 T =
Ԧ𝑟
2
. 𝛁 Ԧ𝑣 −
Ԧ𝑟
2
. Ԧ𝑣𝛁 = (
Ԧ𝑟
2
. 𝛁) Ԧ𝑣 −(
Ԧ𝑟
2
. Ԧ𝑣)𝛁
𝛁 Ԧ𝑣 T= Ԧ𝑣𝛁
Usando la propiedad: 
Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣0 + Ԧ𝑟 . 𝑫 + Ԧ𝑟 . 𝜴
Ԧ𝑟. 𝑫 = Ԧ𝑟. 𝑫′ +
1
3
∇ ⋅ Ԧ𝑣 . Ԧ𝑟
Ԧ𝑟 . 𝜴 = 𝜔 x
Ԧ𝑟
2
Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣0 + Ԧ𝑟. 𝐷′ +
1
3
∇ ⋅ Ԧ𝑣 . Ԧ𝑟 + 𝜔 x
Ԧ𝑟
2
¿Qué significa cada término?
Componentes del campo de velocidad: Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣0 + ω x 
Ԧ𝑟
2
+ 
1
3
(∇. Ԧ𝑣) Ԧ𝑟 + Ԧ𝑟 . D’ 
𝒗0
Traslación
Rotación Divergencia debida a 
compresiones o dilataciones 
(deformación lineal o normal)
Deformación Pura
(tangencial o por cortante) 
𝒗0 𝑢
𝑣
Traslación
x
y
x
y
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
x
y
𝑢
𝑣
𝜕𝒗
𝜕𝒚 𝜕𝑢
𝜕𝑥
Divergencia
x
y
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
ω =
𝜕𝑤
𝜕𝑦
−
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝒊 +
𝜕𝑢
𝜕𝑧
−
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝒋 +
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝒌
Rotación
∇. Ԧ𝑣 = (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝑤
𝜕𝑧
) 𝜕𝑤
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝒊 +
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝒋 +
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝒌
Deformación pura
Teorema de Gauss o de la Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es la manera de medir la variación 
de densidad de un flujo en un punto determinado.
඾
S
Ԧ𝐴 ⋅ ⅆ Ԧ𝑆 =ම
𝑉
∇ ⋅ Ԧ𝐴 ⅆ𝑉
Flujo de Ԧ𝐴 a través de S
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