Interpolacion lineal - cuadratica - Lagrange

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FACULTAD DE INGENIERÍA 
Universidad Nacional de Jujuy 
INTERPOLACION Y APROXIMACION – PARTE 01 
 
Mg Ing Ariel Alejandro Vega 1 
 INTERPOLACION Y APROXIMACIÓN 
INTRODUCCION 
Una gran variedad de ramas de la ingeniería y de las ciencias requieren la aproximación de 
funciones y datos. El concepto de aproximación se basa en reemplazar una función 𝑓 por otra más 
simple 𝑓, que se utilizará como sustituta de la primera. Esta técnica a su vez se utiliza como base 
en un conjunto grande de aplicaciones y técnicas numéricas, como por ejemplo, búsqueda de 
raíces de ecuaciones no lineales, integración numérica, técnicas de optimización, entre otras; en 
donde el objetivo consiste en poder simplificar los cálculos al utilizar como base 𝑓. 
La aproximación también puede ser la única opción a utilizar cuando solo se conozca 
parcialmente la forma de 𝑓 por medio de valores en alguna colección finita de datos. En estos 
casos se construye una función 𝑓 que represente a la colección de datos. 
Existe una gran variedad de funciones que se suelen aproximar mediante el uso de un polinomio 
de Taylor en un intervalo dado. Computacionalmente, esta sustitución genera un alto costo porque 
se requiere del conocimiento tanto de 𝑓 como de sus derivadas hasta el orden 𝑛 en un punto 𝑥0. 
Además el polinomio de Taylor puede resultar ineficaz en la representación de la función 𝑓 en un 
punto lo suficientemente lejano al valor determinado por 𝑥0. 
Por ejemplo, si se desea evaluar la aproximación de la función 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥
 mediante el polinomio 
de Taylor de grado 10 construido alrededor del punto 𝑥0 = 1; primero se debe construir el 
polinomio de Taylor que tendrá la siguiente forma 
𝑃10(𝑥) = 2 − 𝑥 + (𝑥 − 1)
2 − (𝑥 − 1)3 + (𝑥 − 1)4 − (𝑥 − 1)5 + (𝑥 − 1)6 − (𝑥 − 1)7
+ (𝑥 − 1)8 − (𝑥 − 1)9 + (𝑥 − 1)10 
Luego se podría realizar un gráfico que compare la función con su polinomio de Taylor, tal como 
se observa en la Figura 1 
 
Figura 1 
Se puede deducir que la afinidad entre la función (indicada con línea continua) y su polinomio de 
Taylor (indicado con línea discontinua) es muy buena en un pequeño entorno alrededor de 𝑥0 =
1, mientras que resulta insatisfactoria cuando 𝑥 − 𝑥0 se hace grande. 
 
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Esto es provocado en gran parte a que los polinomios de Taylor se construyen en base a un único 
punto 𝑥0, por lo tanto es de esperarse que sus aproximaciones sean poco precisas a medida que se 
alejan de ese punto. Por lo tanto la aplicabilidad del polinomio de Taylor para aproximar 
funciones se restringe a puntos cercanos a 𝑥0, siendo más conveniente utilizar métodos de 
aproximación que empleen la información disponible de los puntos que se poseen. 
El estudio de la teoría de la aproximación implica dos tipos de problemas. El primero surge 
cuando se tiene explícitamente una función pero se desea encontrar un tipo de función más fácil 
de operar (como por ejemplo un polinomio) y que a la vez se pueda usar para determinar los 
valores aproximados a la función dada. El segundo tipo de problemas de la teoría de aproximación 
consiste en ajustar funciones a datos dados y encontrar una función que dentro de ciertos 
parámetros sea la que mejor representa a los datos. 
INTRODUCCION A LA INTERPOLACIÓN 
En una gran variedad de problemas es deseable representar una función a partir del conocimiento 
de su comportamiento en un conjunto discreto de puntos. En algunos problemas solo tendremos 
valores en un conjunto de datos, mientras que en otros, buscaremos representar una función 
mediante otra más simple. En el primer caso hablaremos de interpolación de datos, mientras que 
el segundo caso hace referencia a la interpolación de funciones. 
En la interpolación de datos se parte de la suposición de que se tiene un conjunto de valores 
𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 para los cuales se sabe su valor de 𝑓(𝑥) con la particularidad de que no puede 
hacer uso de la expresión analítica de 𝑓(𝑥), y por lo tanto no se puede calcular directamente el 
valor de la función en otro punto. Este hecho es muy común cuando los valores 𝑓𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖) son 
resultados obtenidos mediante la medición o la aplicación de un cálculo numérico complicado 
que no admite una expresión funcional sencilla. 
Se desea poder utilizar estos pares de datos (𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖) para estimar el valor de 𝑓(𝑧) en un punto 
concreto 𝑧 ≠ 𝑥𝑖 mediante una función denominada interpolante (que significa que esta función 
en esos puntos coincide con la función desconocida o de expresión analítica compleja). 
Si el valor de 𝑧 se halla contenido por los valores 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 entonces se realizará lo que se 
denomina interpolación, caso contrario se resolverá un problema de extrapolación. 
Se pueden utilizar diferentes tipos de funciones interpolantes como por ejemplo polinomios, 
funciones racionales, funciones trigonométricas, etc. En este apartado nos centraremos en las 
funciones interpolantes polinómicas. 
Los polinomios como funciones interpolantes son naturalmente la primera opción debido a que 
sus derivadas e integrales son relativamente fáciles de obtener y devuelven otros polinomios. 
Además son fácilmente manipulables al momento de formarlos de tal forma que pasen por los 
puntos que se poseen como información. 
En la interpolación de funciones, la razón principal por la cual se busca aproximar funciones 
reales mediante el uso de otras radica en la necesidad de realizar cálculos con mayor rapidez y 
facilidad de cálculo, a la vez que permitan minimizar la introducción de errores en los mismos. 
Los procedimientos de cálculo que usan los ordenadores actuales (desktops, notebooks, celulares, 
calculadoras, electrodomésticos, vehículos, consolas de video juegos, etc) para evaluar funciones 
 
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incorporadas (por ejemplo sen 𝑥, cos 𝑥 o 𝑒𝑥) involucran aproximaciones mediante polinomios 
por las razones indicadas en el párrafo anterior. De hecho los métodos más efectivos que hoy se 
utilizan son las funciones racionales (que son cocientes de polinomios); sin embargo la teoría de 
la aproximación polinomial es la más adecuada para una primera introducción al cálculo numérico 
en la temática de aproximación de funciones. Más aun considerando que la interpolación se utiliza 
como base para otras técnicas de métodos numéricos como la integración numérica, entre otras. 
INTERPOLACION LINEAL 
Suponga que posee una tabla de valores de una función y desconoce la función (o es muy compleja 
de aplicar y los valores obtenidos son resultado de una medición). Nos interesa el valor de la 
función para determinado 𝑥𝑖 distinto de los que figuran en la tabla. 
La interpolación lineal consiste en trazar un polinomio de grado 1 (es decir una recta) que pasa 
por dos puntos de la tabla y determinar el valor de 𝑓(𝑥𝑖) estimándolo a partir de este polinomio. 
Demostración 
 
Figura 2 
Dado el gráfico de la Figura 2, donde 𝑥1 y 𝑥2 son valores pertenecientes a la tabla que poseemos, 
entonces por tabla sabemos que 
𝑦1 = 𝑓(𝑥1) 
y 
𝑦2 = 𝑓(𝑥2) 
Queremos saber, pues 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 
cuando 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2, utilizando una recta que pasa por (𝑥1, 𝑦1) y (𝑥2, 𝑦2) para estimar el valor 
de la función en 𝑥 según esta recta en lugar de utilizar la función real. Esto es 
𝑦 = 𝑓(𝑥) ≅ 𝑟(𝑥) 
 
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Gráficamente podemos determinar la ecuaciónde la recta aplicando el concepto de Semejanza de 
Triángulos por el cual 
𝐵𝐴�̂� = 𝐶𝐴�̂� 
Entonces 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
= 
𝐶𝐸̅̅ ̅̅
𝐵𝐷̅̅ ̅̅
 
Despejando obtenemos 
𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ 
O lo que es lo mismo 
(𝑦 − 𝑦1) = 
(𝑥 − 𝑥1)
(𝑥2 − 𝑥1)
 (𝑦2 − 𝑦1) 
Finalmente 
𝑟(𝑥) = 𝑦 = 
(𝑥 − 𝑥1)
(𝑥2 − 𝑥1)
 (𝑦2 − 𝑦1) + 𝑦1 
Nota: Cuando se desea estimar un valor usando esta interpolación se genera un error cuando la 
función real es una curva. Para disminuir ese error el intervalo de interpolación debe ser el más 
pequeño posible. En general se recomienda usar polinomios de mayores grados. 
Ejemplo 1: 
El número de bacterias por unidad de volumen existentes en una incubación después de 𝑥 horas 
es presentado en la siguiente tabla. Se desea saber cuál es el volumen de bacterias para el tiempo 
de 3,5 horas. 
Horas(x) 0 1 2 3 4 
Volumen de bacterias (y) 30 48 67 91 135 
 
Si se usan los siguientes puntos: (2,67) y (4, 135) [recuerde que se requiere que el valor a estimar 
este contenido dentro del intervalo] y se los reemplaza en la ecuación de interpolación lineal 
obtenemos 
𝑟(𝑥) = 𝑦 = 
(𝑥 − 𝑥1)
(𝑥2 − 𝑥1)
 (𝑦2 − 𝑦1) + 𝑦1 
 
𝑟(3,5) = 𝑦 = 
(3,5 − 2)
(4 − 2)
 (135 − 67) + 67 
 
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𝑟(3,5) = 𝑦 = 
(1,5)
(2)
 (68) + 67 
𝑟(3,5) = 𝑦 = 118 
• Pregunta 1: ¿Es la mejor aproximación que podemos obtener con la interpolación lineal? 
Justifique su respuesta. 
• Pregunta 2: Si la observación del fenómeno dio como resultado 112, ¿Cuál es el error 
absoluto y relativo respecto a la mejor aproximación que puede tener con este método? 
• Pregunta 3: Para meditar…¿El valor obtenido por observación es el valor real? 
Ejemplo 2: 
Luis tiene una fábrica de helados, y quiere hacer un estudio para determinar los ingresos que tuvo 
en agosto a partir de los gastos hechos. El administrador de la empresa realiza una gráfica que 
expresa esa relación, pero Luis desea saber: 
¿Cuáles hubieran sido los ingresos de agosto, si se hubiera realizado un gasto de $ 55 000? 
 
De la observación de la gráfica no se pueden determinar en forma exacta los valores del intervalo, 
aun así se pueden estimar estos valores por observación, por ej: 
Gastos (𝑥) Ingresos (𝑦) 
$ 50000 $ 62000 
$ 60000 $ 77000 
Entonces aplicando la interpolación lineal tendremos: 
𝑟(𝑥) = 𝑦 = 
(𝑥 − 𝑥1)
(𝑥2 − 𝑥1)
 (𝑦2 − 𝑦1) + 𝑦1 
𝑟(55000) = 𝑦 = 
(55000 − 50000)
(60000 − 50000)
 (77000 − 62000) + 62000 
𝑟(55000) = 𝑦 = 
(5000)
(10000)
 (15000) + 62000 
𝑟(55000) = 𝑦 = 69500 
 
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• Pregunta 1: Suponga que en el gráfico anterior los puntos indicados son valores exactos, 
esto es 
Gastos (𝑥) Ingresos (𝑦) 
$ 20000 $ 25000 
$ 45000 $ 56000 
$ 62000 $ 78000 
Utilizando la interpolación lineal determine el valor de ingresos para el mismo valor de 
gastos que el punto anterior. ¿Este resultado será mejor aproximación que el anterior? 
• Pregunta 2: Para este caso ¿la interpolación lineal será suficiente para estimar nuevos 
valores o debería utilizar polinomios de mayor grado que 1? 
Ejemplo 3: 
Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolación lineal. Primero, realice el cálculo por 
interpolación entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1,791759. Después, repita el procedimiento, pero use un 
intervalo menor (de ln 1 a ln 4 (1,386294)). Observe que el valor verdadero del ln 2 es 
0,6931472. 
𝑟(𝑥) = 𝑦 = 
(𝑥 − 𝑥1)
(𝑥2 − 𝑥1)
 (𝑦2 − 𝑦1) + 𝑦1 
𝑟(2) = 𝑦 = 
(2 − 1)
(6 − 1)
 (1,791759 − 0) + 0 
𝑟(2) = 𝑦 = 
(1)
(5)
 (1,791759) + 0 
𝑟(2) = 𝑦 = 0,3583519 
Este valor representa un error relativo del 48,3%. 
Para el segundo intervalo el resultado de la interpolación es 0,4620981. Note que con este 
intervalo el error relativo se reduce a 33,3%. Ambas interpolaciones se muestran en la Figura 3 
junto a la función logarítmica. 
 
Figura 3 
 
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Referencias Aproximación, Interpolación e Interpolación Lineal 
1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra y trigonometría con geometría analítica. Pearson 
Educación. 
2. Harpe, P. d. (2000). Topics in Geometric Group Theory. University of Chicago Press. 
3. Hazewinkel, M. (2001). Linear interpolation», Encyclopedia of Mathematics. 
4. J. M. (1998). Elementos de métodos numéricos para Ingeniería. UASLP. 
5. E. (2002). A chronology of interpolation: from ancient astronomy to modern signal and 
image processing. Proceedings of the IEEE. 
6. numérico, I. a. (2006 ). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González. 
7. Chapra (2007). Steven C Chapra. Métodos numéricos para ingenieros. Quinta Edición. 
McGraw-Hill Interamericana. 
8. Fernandez (2012). José Antonio Ezquerro Fernández. Iniciación a los métodos 
numéricos. Servicio de publicaciones de la Universidad de la Rioja. 
 
 
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INTERPOLACION CUADRATICA 
La interpolación cuadrática se utiliza en aquellos casos en que se desea minimizar (o incluso 
eliminar) el error cometido al aproximar una curva mediante una línea recta. En consecuencia, 
una estrategia para mejorar la estimación consiste en introducir alguna curvatura a la línea que 
une los puntos. 
 
Dado tres puntos (𝑥0 ,𝑦0), (𝑥1 ,𝑦1) y (𝑥2 ,𝑦2) no alineados de una función desconocida o cuya 
expresión algebraica genera una gran cantidad de cálculos para su aplicación, se puede calcular 
el valor de la función en un punto 𝑥 ∈ [𝑥0 , 𝑥2 ] mediante la expresión 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
 
Donde los coeficientes 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 pueden calcularse resolviendo el siguiente sistema de tres 
ecuaciones con tres incógnitas 
𝑦0 = 𝑎𝑥0
2 + 𝑏𝑥0 + 𝑐
𝑦1 = 𝑎𝑥1
2 + 𝑏𝑥1 + 𝑐
𝑦2 = 𝑎𝑥2
2 + 𝑏𝑥2 + 𝑐
 
 
De esta forma aplicando algunos de los métodos disponibles para resolución de sistemas de 
ecuaciones podríamos obtener los coeficientes. Luego reemplazando los coeficientes en la 
ecuación original se halla la ecuación cuadrática y es posible entonces estimar el valor de la 
función para un x en particular. 
Sin embargo se puede automatizar el procedimiento anterior para evitar hallar los coeficientes de 
la función. Para ello es conveniente de expresar el polinomio de segundo grado (o polinomio 
cuadrático o parábola) de la siguiente manera 
𝑓2(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) (Ecuación 1) 
 
Nota: El polinomio interpolador siempre es el mismo (y único), no importando la forma en la que 
se ha llegado a obtener su forma. Dado que el polinomio de interpolación cuadrático puede ser 
considerado un caso particular del polinomio de Newton o del polinomio de Lagrange 
reservaremos los cálculos algebraicos que dan su forma cuando se vean estos métodos en 
particular. 
Con esta forma de expresión del polinomio interpolador de segundo grado, su aplicación consiste 
en determinar los coeficientes 𝑏0 , 𝑏1 y 𝑏2. 
Para hallar 𝑏0 se puede proceder a evaluar con 𝑥 = 𝑥0. De esta evaluación se obtiene que 
𝑓(𝑥0) = 𝑏0 
Si reemplazamos en la Ecuación 1 
 
𝑓2(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) (Ecuación 2) 
 
Si a esta ecuación resultante la evaluamos en 𝑥 = 𝑥1 
 
𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥0) + 𝑏1(𝑥1 − 𝑥0) 
 
De la cual podemos despejar 𝑏1 
 
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𝑏1 =
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
 
 
Si reemplazamos 𝑏0 y 𝑏1 en la Ecuación 1 y se evalúa en 𝑥 = 𝑥2 obtendremos que 
 
𝑏2 = 
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
(𝑥2 − 𝑥1)
− 
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
(𝑥2 − 𝑥0)
 
 
Entonces el polinomio interpolador cuadrático queda de la siguiente forma: 
 
𝑓2(𝑥) = 𝑓(𝑥0) +
𝑓(𝑥1)− 𝑓(𝑥0)
𝑥1−𝑥0
(𝑥 − 𝑥0) + 
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
(𝑥2−𝑥1)
− 
𝑓(𝑥1)− 𝑓(𝑥0)
𝑥1−𝑥0
(𝑥2−𝑥0)
(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) 
 
El cual resulta práctico de usar bajo la asistencia de una herramienta de cálculo en donde se 
ingresen los valores de los puntos y el valor de x buscado. 
 
Ejemplo 1: 
 
Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolación cuadrática. Primero, realice el cálculo 
por interpolación entre ln 1 = 0, ln 4 = 1,386294 y ln 6 = 1,791759. Después, compare con 
respecto al resultado obtenido en la interpolación lineal. Observe que el valor verdadero de ln 2 
es 0,6931472 
Contamos entonces con la siguiente información 
𝑥𝑖 Valor 𝑓(𝑥𝑖) 
0 1 0 
1 4 1,386294 
2 6 1,791759 
 
Entonces 
 
𝑏0 = 𝑓(𝑥0) = 0 
 
𝑏1 =
𝑓(𝑥1)− 𝑓(𝑥0)
𝑥1−𝑥0
= 
1.386294− 0
4−1
 = 0,4620981 
 
𝑏2 = 
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
(𝑥2−𝑥1)
− 
𝑓(𝑥1)− 𝑓(𝑥0)
𝑥1−𝑥0
(𝑥2−𝑥0)
 = 
1,791759−1,386294)
(6−4)
− 0,4620981
(6−1)
 = −0,0518731 
 
Y sustituyendo en la Ecuación 1 tenemos que 
 
𝑓2(𝑥) = 0 + 0,4620981(𝑥 − 𝑥0) + (−0,0518731)(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) 
 
Entonces para el valor 𝑥 = 2 tendremos que 
 
𝑓2(2) = 0 + 0,4620981(2 − 1) + (−0,0518731)(2 − 1)(2 − 4) 
 
𝑓2(2) = 0,568444 
 
 
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Este resultado arroja un error relativo del 18,4%. Esto significa que la curvatura del polinomio 
interpolador cuadrático mejora la interpolación comparándola con el resultado obtenido al usar 
líneas rectas, tal como lo muestra la Figura 4. 
 
Comparación entre interpolación lineal e interpolación cuadrática 
 
Observe que, como en el caso de la interpolación lineal, 𝑏1 todavía representa la pendiente de la 
línea que une los puntos 𝑥0 y 𝑥1. Así, los primeros dos términos de la Ecuación 1 son equivalentes 
a la interpolación lineal de 𝑥0 a 𝑥1. El último término,𝑏2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1), determina la curvatura 
de segundo grado en la ecuación. 
 
 
Figura 4 
 
Otros usos de la interpolación cuadrática 
 
La interpolación cuadrática aprovecha la ventaja de que un polinomio de segundo grado con 
frecuencia proporciona una buena aproximación a la forma de f(x) en las cercanías de un valor 
óptimo (Figura 5). 
 
Figura 5 
 
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Así como existe sólo una línea recta que pasa por dos puntos, hay únicamente una ecuación 
cuadrática o parábola que pasa por tres puntos. De esta forma, si se tiene tres puntos que contienen 
un punto óptimo, se ajusta una parábola a los puntos. Después se puede derivar e igualar el 
resultado a cero, y así obtener una estimación de la 𝑥 óptima. 
Así, es posible demostrar mediante algunas operaciones algebraicas que el resultado es 
𝑥3 = 
𝑓(𝑥0)(𝑥1
2− 𝑥2
2)+ 𝑓(𝑥1)(𝑥2
2− 𝑥0
2)+ 𝑓(𝑥2)(𝑥0
2− 𝑥1
2)
2𝑓(𝑥0)(𝑥1− 𝑥2)+ 2𝑓(𝑥1)(𝑥2− 𝑥0)+ 2𝑓(𝑥2)(𝑥0− 𝑥1)
 (Ecuación 3) 
Donde 𝑥0, 𝑥1 y 𝑥2 son los valores iniciales, mientras que 𝑥3 es el valor que corresponde al valor 
máximo del ajuste cuadrático para los valores iniciales. 
Este hecho es relevante, por cuanto se puede observar que la interpolación sirve como base para 
otras técnicas de métodos numéricos como por ejemplo la optimización. 
 
Ejemplo 2: 
Use la interpolación cuadrática para aproximar el máximo de 𝑓(𝑥) = 2 sen 𝑥 − 
𝑥2
10
 con los valores 
iniciales 𝑥0 = 0, 𝑥1 = 1 y 𝑥2 = 4. Se sabe que el valor de 𝑥 que satisface lo solicitado es 𝑥 =
1,4276, el cual determina el valor máximo de 𝑓(1,4276) = 1,7757. 
 
Se evalúa la función en esos tres valores iniciales 
𝑥0 = 0 𝑓(𝑥0) = 0 
𝑥1 = 1 𝑓(𝑥1) = 1,5829 
𝑥2 = 4 𝑓(𝑥2) = −3,1136 
 
Sustituyendo en la ecuación 3, se obtiene 
𝑥3 = 
0 + 1,5829(16 − 0) + (−3,1136)(0 − 1)
0 + 2 (1,5829)(4) + 2(−3,1156)(− 1)
= 1,5055 
 
Para este valor la función 𝑓(1,5055) = 1,7691 
 
Este valor obtenido es una aproximación. Se pueden utilizar distintas técnicas que introducen este 
valor como inicial descartando alguno de los 3 que se usó al principio. 
Por ejemplo la técnica “Sección Dorada” determina que 
• Si el valor de la función del punto obtenido es mayor que el de la función en el punto 
intermedio entonces, 
• Si el valor del punto obtenido está a la derecha del punto intermedio, el punto intermedio 
se corre a la izquierda y su lugar es ocupado por el punto obtenido. 
• En cambio si el valor del punto obtenido está a la izquierda del punto intermedio, el punto 
intermedio se corre a la derecha y su lugar es ocupado por el punto obtenido. 
De esta manera se volverá a aplicar la interpolación cuadrática para ir mejorando la aproximación 
hasta que converja al valor que obtiene el valor de la función. Solo como referencia observe que 
al usar la técnica de optimización denominada “Sección Dorada” se obtendrá el siguiente cuadro 
de convergencia 
 
 
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Observe que luego de iterar 5 veces con la interpolación cuadrática en conjunto con la regla de 
“Sección Dorada” se llega al valor óptimo. 
 
Referencias Interpolación Cuadrática 
1. Chapra (2007). Steven C Chapra. Métodos numéricos para ingenieros. Quinta Edición. 
McGraw-Hill Interamericana. 
2. Fernandez (2012). José Antonio Ezquerro Fernández. Iniciación a los métodos 
numéricos. Servicio de publicaciones de la Universidad de la Rioja. 
INTERPOLACION DE LAGRANGE 
La interpolación polinomial se puede expresar en varias formas alternativas que pueden 
transformarse entre sí. Entre éstas se encuentran las series de potencias, la interpolación de 
Lagrange y la interpolación de Newton hacia atrás y hacia adelante. 
Así, un polinomio de orden 𝑛 que pasa a través de 𝑛 + 1 puntos es único. Esto significa que, 
independientemente de la ecuación de interpolación, todas las interpolaciones polinomiales que 
se ajustan a los mismos datos son matemáticamente idénticas. 
Suponga que se dan 𝑛 + 1 puntos como 
𝑥0 𝑥1 … 𝑥𝑛 
𝑓0 𝑓1 … 𝑓𝑛 
 
donde 𝑥0 𝑥1 … 𝑥𝑛 son las abscisas de los puntos (puntos de la malla) dados en orden creciente. 
Los espacios entre los puntos de la malla son arbitrarios. El polinomio de orden 𝑛 que pasa a través 
de los 𝑛 + 1 puntos se puede escribir en una serie de potencias como 
𝑔(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥
𝑛 
Donde los 𝑎𝑖 son coeficientes. El ajuste de la serie de potencias a los 𝑛 + 1 puntos dados da un 
sistema de ecuaciones lineales 
𝑓0 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥0 + 𝑎2𝑥0
2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥0
𝑛 
𝑓1 = 𝑎1 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥1
2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥1
𝑛 
 . 
 . 
 . 
𝑓𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑛 + 𝑎2𝑥𝑛
2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛
𝑛 
Aunque los coeficientes ai pueden determinarse resolviendo las ecuaciones simultáneas por 
medio de un programa computacional, dicho intento no es deseable por dos razones: 
• Primero, se necesita un programa que resuelva un conjunto de ecuaciones lineales. 
• En segundo lugar, la solución del ordenador quizás no sea precisa. (realmente, las 
potencias de x𝑖 en la ecuación pueden ser nümeros muy grandes, y si es así, el efecto de 
los errores por redondeo será importante.)Por fortuna, existen mejores métodos para determinar una interpolación polinomial sin resolver 
las ecuaciones lineales. Entre éstos están la formula de interpolación de Lagrange. 
Desarrollo del polinomio de Lagrange 
Partimos del polinomio de interpolación lineal 
𝑃1(𝑥) = 
(𝑥 − 𝑥0)
(𝑥1 − 𝑥0)
 (𝑦1 − 𝑦0) + 𝑦0 
 
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INTERPOLACION Y APROXIMACION – PARTE 01 
 
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𝑃1(𝑥) = 𝑦0 + (𝑦1 − 𝑦0) 
(𝑥 − 𝑥0)
(𝑥1 − 𝑥0)
 
Deseamos evaluar el resultado de la ecuación cuando 𝑥 = 𝑥0 y 𝑥 = 𝑥1. 
Para 𝑥 = 𝑥0 el resultado es 𝑦0 
𝑃1(𝑥0) = 𝑦0 + (𝑦1 − 𝑦0) 
(𝑥0 − 𝑥0)
(𝑥1 − 𝑥0)
= 𝑦0 + (𝑦1 − 𝑦0) 0 = 𝑦0 
Para 𝑥 = 𝑥1 el resultado es 𝑦1 
𝑃1(𝑥1) = 𝑦0 + (𝑦1 − 𝑦0) 
(𝑥1 − 𝑥0)
(𝑥1 − 𝑥0)
= 𝑦0 + (𝑦1 − 𝑦0) 1 = 𝑦1 
El matemático francés Joseph Louis Lagrange obtuvo el mismo resultado al expresar el polinomio 
de grado 1 de esta manera: 
𝑃1(𝑥) = 𝑦0
(𝑥− 𝑥1)
(𝑥0− 𝑥1)
+ 𝑦1
(𝑥− 𝑥0)
(𝑥1− 𝑥0)
 (Ecuación 5) 
Efectivamente 
Para 𝑥 = 𝑥0 el resultado es 𝑦0 
𝑃1(𝑥0) = 𝑦0
(𝑥0 − 𝑥1)
(𝑥0 − 𝑥1)
+ 𝑦1
(𝑥0 − 𝑥0)
(𝑥1 − 𝑥0)
= 𝑦0(1) + 𝑦1(0) = 𝑦0 
Para 𝑥 = 𝑥1 el resultado es 𝑦1 
𝑃1(𝑥1) = 𝑦0
(𝑥1 − 𝑥1)
(𝑥0 − 𝑥1)
+ 𝑦1
(𝑥1 − 𝑥0)
(𝑥1 − 𝑥0)
= 𝑦0(0) + 𝑦1(1) = 𝑦1 
Lagrange expresó el polinomio (Ecuación 5) de tal forma que cada sumando de esta relación es 
un término lineal, por lo que su suma será un polinomio de grado menor o igual a 1. 
Luego Lagrange denotó a los cocientes involucrados de la siguiente manera 
𝐿1,0(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥1)
(𝑥0 − 𝑥1)
 
𝐿1,1(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥0)
(𝑥1 − 𝑥0)
 
Estos cocientes se denominan polinomios coeficientes de Lagrange. La fórmula queda 
𝑃1(𝑥) = 𝑦0𝐿1,0(𝑥) + 𝑦1𝐿1,1(𝑥) 
Que se puede expresar de la siguiente manera 
𝑃1(𝑥) = ∑ 𝑦𝑘𝐿1,𝑘(𝑥)
1
𝑘=0
 
Generalización del polinomio de Lagrange 
Teorema 1: 
Si 𝑥0 𝑥1 … 𝑥𝑛 son 𝑛 + 1 números diferentes y 𝑓 es una función cuyos valores están dados en 
esos puntos, entonces existe un único polinomio 𝑃 de grado 𝑛 con la propiedad de que 
𝑓(𝑥𝑘) = 𝑃𝑛(𝑥𝑘) 
Para cada 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛 
Este polinomio está dado por 
 
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𝑃𝑛(𝑥) = ∑ 𝑦𝑖𝐿𝑛,𝑖(𝑥)
𝑛
𝑖=0
 
Demostración 
Por una serie de 𝑛 + 1 puntos pasa un polinomio de grado 𝑛 que se puede expresar en función de 
sus raíces de la siguiente manera 
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑎0(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) … (𝑥 − 𝑥𝑛) + 𝑎1(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥2) … (𝑥 − 𝑥𝑛)
+ 𝑎2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3) … (𝑥 − 𝑥𝑛) …
+ 𝑎𝑖(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥𝑖−1)(𝑥 − 𝑥𝑖+1) … (𝑥 − 𝑥𝑛)
+ 𝑎𝑛−1(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥𝑛−2)(𝑥 − 𝑥𝑛)
+ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥𝑛−2)(𝑥 − 𝑥𝑛−1) 
Los coeficientes del polinomio se determinan haciendo cumplir las condiciones 
𝑃(𝑥0) = 𝑦0 
𝑃(𝑥1) = 𝑦1 
 .. 
 .. 
𝑃(𝑥𝑛) = 𝑦𝑛 
Con lo cual se obtiene 
𝑎0 = 
𝑓(𝑥0)
(𝑥0 − 𝑥1)(𝑥0 − 𝑥2) … (𝑥0 − 𝑥𝑛)
 
𝑎1 = 
𝑓(𝑥1)
(𝑥1 − 𝑥0)(𝑥1 − 𝑥2) … (𝑥1 − 𝑥𝑛)
 
 
 …. 
 
𝑎𝑖 = 
𝑓(𝑥𝑖)
(𝑥𝑖 − 𝑥0)(𝑥𝑖 − 𝑥1) … (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1) … (𝑥𝑖 − 𝑥𝑛)
 
Que se puede expresar 
𝑎𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖) ∏
1
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=0
𝑗≠𝑖
 
Si reemplazamos esto en la ecuación del polinomio de grado 𝑛 obtenemos 
𝑃𝑛(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑖)𝐿𝑛,𝑖(𝑥)
𝑛
𝑖=0
 
con 
𝐿𝑛,𝑖(𝑥) = ∏
(𝑥 − 𝑥𝑗 )
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=0
𝑗≠𝑖
 
 
 
Que es el polinomio de Lagrange 
 
Ejemplo 1: 
 
De una función 𝑓, conocemos la información de la tabla que sigue. Interpolar 𝑓(0,35) usando un 
polinomio interpolante 𝑃3(𝑥) indicando la subtabla que se va a utilizar. 
𝑥 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 
𝑓(𝑥) 0,3 0,31 0,32 0,33 0,34 0,45 0,46 0,47 
 
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Se pide utilizar un polinomio de grado 3, por lo tanto se necesita utilizar una subtabla que 
involucre a cuatro datos. Una posible opción es utilizar 
 
𝑥 0,2 0,3 0,4 0,5 
𝑓(𝑥) 0,32 0,33 0,34 0,45 
 
Entonces el polinomio tendrá el siguiente desarrollo 
 
y entonces 𝑓(0,35) ≈ 𝑃3(0,35) = 0,32875 
 
También se puede visualizar gráficamente el mismo 
 
 
Pregunta 1: Si toma otro conjunto como subtabla ¿el resultado será el mismo? Justifique su 
respuesta. 
Pregunta 2: ¿Cuál es la ecuación del polinomio que se ha graficado? 
 
Ejemplo 2: 
 
Determine y grafique el polinomio de interpolación de Lagrange que utilice los puntos de esta 
tabla 
𝑥 0 
𝜋
2
 
 
π 
𝑓 0 1 0 
 
Si los puntos de esta tabla corresponden a la función 𝑓(𝑥) = sen 𝑥 compare ambos gráficos y 
conteste las preguntas. 
Aplicando el polinomio de Lagrange a esta situación, entonces 
 
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𝑃2(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑖)𝐿2,𝑖(𝑥)
2
𝑖=0
 
𝑃2(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑖) ∏
(𝑥 − 𝑥𝑗)
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 )
2
𝑗=0
𝑗≠𝑖
2
𝑖=0
 
 
𝑃2(𝑥) = 𝑓(𝑥0)
(𝑥 − 𝑥1 )
(𝑥0 − 𝑥1)
 
(𝑥 − 𝑥2 )
(𝑥0 − 𝑥2)
+ 𝑓(𝑥1)
(𝑥 − 𝑥0 )
(𝑥1 − 𝑥0)
 
(𝑥 − 𝑥2 )
(𝑥1 − 𝑥2)
+ 𝑓(𝑥2)
(𝑥 − 𝑥0 )
(𝑥2 − 𝑥0)
 
(𝑥 − 𝑥1 )
(𝑥2 − 𝑥1)
 
𝑃2(𝑥) = 0
(𝑥 −
𝜋
2 )
(0 − 
𝜋
2 )
 
(𝑥 − π )
(0 − π)
+ 1
(𝑥 − 0 )
(
𝜋
2 − 0)
 
(𝑥 − π )
(
𝜋
2 − π)
+ 0
(𝑥 − 0 )
(π − 0)
 
(𝑥 −
𝜋
2 )
(0 − 
𝜋
2)
 
 
𝑃2(𝑥) = −
4
𝜋2
 (𝑥2 − 𝜋𝑥) 
Esta función y la función real se muestran en la siguiente figura, donde la función real es la línea 
continua y la función interpolante está representada por la línea discontinua. 
 
 
Pregunta 1: ¿Es la función interpolante más simple que la función real? 
Pregunta 2: ¿La función interpolante es buena para aproximar la función real? 
Pregunta 3: ¿Puede mejorar la función interpolante? Justifique su respuesta. 
Pregunta 4: ¿La función intepolante será buena para aproximar un valor no contenido en el 
intervalo definido por la tabla de datos? 
 
Ejemplo 3: 
 
Se desea estudiar un problema de análisis de tendencia para el caso de la caída de un paracaidista. 
Suponga que posee un instrumento para medir la velocidad del paracaidista a medida que avanza 
el tiempo. Los datos obtenidos en una prueba en particular son 
Tiempo (seg) Velocidad media v 
(cm/seg) 
1 800 
3 2310 
5 3090 
7 3940 
13 4755 
 
Estime la velocidad del paracaidista en 𝑡 = 10 𝑠𝑒𝑔 para completar la tabla y tener mediciones en 
rangos de tiempo uniformes. 
 
 
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Como se debe ser consciente de que el comportamiento de los polinomios de interpolación puede 
resultar inesperado; es una buena estrategia construir polinomios de diferentes grados y comparar 
los resultados. En este caso se construirá el polinomio de Lagrange para los grados 1, 2, 3 y 4. 
 
Por lo tanto para este problema lo importante es comparar las formas de los polinomios 
interpolantes de diferentes grados con el objetivo de elegir cual es el que mejor se “comporta” de 
la forma esperada. 
La siguiente imagen compara los cuatro polinomios interpoladores de Lagrange. Observe que 
contrariamente a lo que uno podría suponer para este conjunto de puntos el polinomio interpolador 
de Lagrange de grado 4 no es el mejor para predecir el comportamiento de la velocidad en el 
tiempo 10 ya que su valor parece ser mucho más grande que la tendencia global de los datos. 
Por el contrario los polinomios de menor gradoson más adecuados para realizar el análisis de la 
tendencia de los puntos. Se puede concluir que para este tipo de problemas los polinomios de 
grado superior tienden a sobrepasar la tendencia de los datos. 
Por último se debe destacar que se están tratando datos inciertos, por lo tanto las técnicas de 
regresión son más adecuadas que el uso de polinomios de interpolación; siendo el objetivo del 
ejemplo brindado mostrar las amplias posibilidades de uso que tienen las técnicas de 
interpolación. 
 
 
a) Polinomio de grado 4 – b) Polinomio de grado 3 – c)Polinomio de grado 2 – d) Polinomio de grado 1 
 
 
Ventajas y desventajas del método de Lagrange 
 
Entre las ventajas se tiene que 
• El polinomio de Lagrange es una reformulación del polinomio de Newton que evita el 
cálculo de diferencias divididas. 
• Su implementación en un ordenador es muy sencilla 
Entre las desventajas se pueden indicar 
• La cantidad de cálculos necesarios para una interpolación es grande 
• La interpolación para otro valor de 𝑥 necesita la misma cantidad de cálculos adicionales, 
ya que no se pueden utilizar partes de la aplicación previa. 
• Cuando el número de datos tiene que aumentar o disminuir, no se pueden utilizar los 
resultados de cálculos previos 
• La evaluación del error no es fácil. 
• Para un grado alto es altamente susceptible a los errores de redondeo. Esto se puede 
reducir si se utiliza ordenadores que trabajen los algoritmos con aritmética de doble 
 
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precisión; sin embargo habrá un punto donde el error de redondeo interferirá con la 
habilidad para interpolar. 
 
Referencias Interpolación de Lagrange 
1. Fernandez (2012). José Antonio Ezquerro Fernández. Iniciación a los métodos 
numéricos. Servicio de publicaciones de la Universidad de la Rioja. 
2. Paganini( (2010). José Humberto Paganini & Juan Carlos Rodriguez. Apuntes de cátedra. 
3. Mathews (200). Jhon H Mathews. Métodos Numéricos con MATLAB. Prentice Hall. 
4. Mora (2010). Walter Mora Flores. Introducción a los métodos numéricos. 
Implementaciones en Basic-Calc de Libre Office y wxMaxima. Revista Digital 
Matemática Educación e Internet. Escuela de Matemática, Instituto Tecnológico de Costa 
Rica.