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Modulo Ingeniería Económica_2016
Andrea Zapata
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INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
2 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
El módulo de estudio de la asignatura Matemáticas Financieras es propiedad de la Corporación Universitaria Remington. Las imágenes
fueron tomadas de diferentes fuentes que se relacionan en los derechos de autor y las citas en la bibliografía. El contenido del módulo está
protegido por las leyes de derechos de autor que rigen al país.
Este material tiene fines educativos y no puede usarse con propósitos económicos o comerciales.
AUTOR
Pablo Emilio Botero Tobón
Estudios de Ingeniería de Minas, Tecnólogo en Contaduría y Tributaria, Diplomado en Docencia Universitaria, Diplomado
en la construcción de Módulos, Diplomado en Administración Financiera.
Profesor de Matemáticas y Física en la Corporación Remington, Profesor de Física en el colegio Teresiano (Envigado),
Coordinador académico del programa Bachillerato Semiescolarizado de la Corporación Remington en las sedes de Medellín y
Envigado, Director Regional de la sede de Montería (E), Coordinador académico del programa Jóvenes con Futuro en Convenio
Municipio de Medellín CUR, profesor de Matemáticas en el Politécnico Aburrá. Asesor Pedagógico, Metodológico y Didáctico
de Virtual UNIREMINGTON. Docente Virtual de la Ruta de Formación Docente de UNIREMINGTON.
Elaboración de los módulos para la educación a distancia
pbotero@uniremington.edu.co
Nota: el autor certificó (de manera verbal o escrita) No haber incurrido en fraude científico, plagio o vicios de autoría; en caso contrario
eximió de toda responsabilidad a la Corporación Universitaria Remington, y se declaró como el único responsable.
RESPONSABLES
Hernán Alberto Cuervo Colorado
Decano de la Facultad de Ciencias Empresariales
hcuervo@uniremington.edu.co
Eduardo Alfredo Castillo Builes
Vicerrector modalidad distancia y virtual
ecastillo@uniremington.edu.co
Francisco Javier Álvarez Gómez
Coordinador CUR-Virtual
falvarez@uniremington.edu.co
GRUPO DE APOYO
Personal de la Unidad CUR-Virtual
EDICIÓN Y MONTAJE
Primera versión. Febrero de 2011.
Segunda versión. Marzo de 2012
Tercera versión. noviembre de 2015
Derechos Reservados
Esta obra es publicada bajo la licencia Creative Commons.
Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual 2.5 Colombia.
3 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
TABLA DE CONTENIDO
Pág.
1 MAPA DE LA ASIGNATURA .............................................................................................................................. 6
2 UNIDAD 1 TASAS DE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO ...................................................................... 7
2.1 RELACIÓN DE CONCEPTOS ..................................................................................................................... 8
2.2 OBJETIVO GENERAL ................................................................................................................................ 9
2.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ......................................................................................................................... 9
2.4 TEMA 1 INTERÉS SIMPLE ........................................................................................................................ 9
2.5 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ............................................................................................................... 14
2.5.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ........................................................................................................... 19
2.5.2 EJERCICIO DE APRENDIZAJE: ............................................................................................................ 22
2.5.3 EJERCICIO DE APRENDIZAJE ............................................................................................................. 25
2.5.4 EJERCICIO DE APRENDIZAJE ............................................................................................................. 30
2.5.5 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ........................................................................................................... 34
2.5.6 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO .................................................................................................... 36
2.6 TEMA 2 INTERÉS COMPUESTO ............................................................................................................. 39
2.6.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ........................................................................................................... 42
2.6.2 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO .................................................................................................... 45
3 UNIDAD 2 TASAS DE INTERÉS Y EQUIVALENCIAS .......................................................................................... 48
3.1 RELACIÓN DE CONCEPTOS ................................................................................................................... 48
3.2 OBJETIVO GENERAL .............................................................................................................................. 50
3.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ....................................................................................................................... 50
3.4 TEMA 1 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y TASA DE INTERÉS EFECTIVA ................................................... 50
4 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
3.4.1 EJERCICIO DE APRENDIZAJE ............................................................................................................. 52
3.4.2 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE: .......................................................................................................... 54
3.4.3 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ........................................................................................................... 56
3.4.4 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO .................................................................................................... 57
3.5 TEMA 2 TASAS DE INTERÉS EQUIVALENTES ......................................................................................... 58
3.5.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ........................................................................................................... 60
3.5.2 EJERCICIO DE APRENDIZAJE ............................................................................................................. 63
3.6 TEMA 3 ECUACIONES DE VALOR .......................................................................................................... 65
3.6.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ........................................................................................................... 67
3.6.2 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO .................................................................................................... 70
4 UNIDAD 3 ANUALIDADES, VALOR PRESENTE NETO Y TASA DE RETORNO .................................................... 79
4.1 RELACIÓN DE CONCEPTOS ................................................................................................................... 79
4.2 OBJETIVO GENERAL .............................................................................................................................. 80
4.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ....................................................................................................................... 80
4.4 TEMA 1 ANUALIDADES ......................................................................................................................... 80
4.4.1 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO .................................................................................................... 89
4.5 TEMA 2 EVALUACIÓN DE ALTERNATIVASDE INVERSIÓN .................................................................... 91
4.5.1 EJERCICIO DE APRENDIZAJE ............................................................................................................. 94
4.5.2 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO .................................................................................................... 94
4.6 TEMA 3 INGENIERÍA ECONÓMICA ....................................................................................................... 97
4.6.1 EJERCICIO DE APRENDIZAJE ........................................................................................................... 103
4.6.2 EJERCICIO DE APRENDIZAJE ........................................................................................................... 107
4.6.3 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ......................................................................................................... 115
5 PISTAS DE APRENDIZAJE .............................................................................................................................. 120
5 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
5.1.1 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO .................................................................................................. 126
6 GLOSARIO .................................................................................................................................................... 128
7 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................................. 129
6 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
1 MAPA DE LA ASIGNATURA
7 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
2 UNIDAD 1 TASAS DE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS
COMPUESTO
Interés Compuesto: Enlace
Tasa de interés simple y tasa de interés compuesto - banco WWW.BCU.GUB.UY/USUARIO-
FINANCIERO/.../TASAS_SIMPLE_COMPUESTO.ASPX
8 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
2.1 RELACIÓN DE CONCEPTOS
Definición de Conceptos
Interés Simple: Es el interés o beneficio que se obtiene de una inversión financiera o de capital cuando
los intereses producidos durante cada periodo de tiempo que dura la inversión se deben únicamente
al capital inicial, ya que los beneficios o intereses se retiran al vencimiento de cada uno de los periodos
Interés Compuesto: Representa la acumulación de intereses que se han generado en un período determinado por
un capital inicial (CI) o principal a una tasa de interés (r) durante (n) periodos de imposición, de modo que los
intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al
capital inicial, es decir, se capitalizan.
Líneas de Tiempo: Es un planteamiento gráfico de la situación financiera que se manejará. Gracias a esta, es que
nos podemos asegurar de que todas las variables están incluidas en la forma y medida correcta. A la vez permite
la verificación del planteamiento y el uso de la fórmula adecuada.
Flujo de Caja: En finanzas y en economía se entiende por flujo de caja o flujo de fondos (en inglés cash flow) los
flujos de entradas y salidas de caja o efectivo, en un período dado.
Valor Presente: También conocido como valor actualizado neto o valor presente neto (en inglés net present value),
cuyo acrónimo es VAN (en inglés, NPV), es un procedimiento que permite calcular el valor presente de un
determinado número de flujos de caja futuros, originados por una inversión.
9 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
Valor Futuro: Es la cantidad de dinero que alcanzará una inversión en alguna fecha futura al ganar intereses a
alguna tasa compuesta.
Finanzas: Las finanzas son las actividades relacionadas para el intercambio de distintos bienes
de capital entre individuos, empresas, o Estados y con la incertidumbre y el riesgo que estas actividades conllevan.
2.2 OBJETIVO GENERAL
Aplicar los conceptos de interés simple e interés compuesto en las diferentes operaciones financieras.
2.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Calcular el Interés Simple de un dinero colocado a determinado tiempo.
Calcular el Interés Compuesto (interés sobre interés) de un dinero colocado a determinado tiempo
2.4 TEMA 1 INTERÉS SIMPLE
LAS FINANZAS
La demanda de bienes y servicios que se realiza permanentemente, nos hace partícipes del ahorro, aunque no se
hable o se trate de ello en nuestra vida cotidiana. Hoy por hoy se habla de:
• La bolsa de valores,
• Las acciones,
• Los bonos,
• La rentabilidad, entre otros
Por lo tanto, y sin quererlo, se está oyendo hablar de una de las tantas maneras como las empresas se capitalizan.
La abundancia del dinero en el mercado, que lleva a que las empresas y personas demanden más, un excesivo
gasto del gobierno, pueden llevar a que la demanda, en forma global se incremente. Ambos son muestras de una
demanda mayor que la oferta y, por consiguiente, de un incremento generalizado en los precios, la INFLACIÓN.
10 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
Nota 1:
Nota 2: Si Por algún momento la tasa de interés (precio del dinero medido en porcentaje), se incrementa
(significa una demanda de dinero mayor que la oferta), esto es, hace falta dinero en el mercado, por lo tanto:
• Las empresas se abstendrán de solicitar créditos (que los necesitan permanentemente para poder
funcionar) y disminuye la producción y el empleo,
• Existirán menos productos en el mercado (disminuirá la oferta de bienes y servicios), y
11 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
• Subirán los precios al mismo tiempo que, como aumenta el desempleo habrá menos ingresos y hasta la
situación social se deterioraría.
Nota 3: El dinero que hay en la economía es administrado por las instituciones financieras, tales como:
• Bancos comerciales,
• Corporaciones de ahorro y vivienda,
• Corporaciones financieras,
• Compañías de financiamiento comercial, y
• Cooperativas de grado superior.
1. Éstas entidades son intermediarios, es decir, están entre dos agentes: reciben o captan dinero de las
empresas, de las familias, de las instituciones, ya sea porque no lo están necesitando por ahora o porque
es un excedente, en este caso éstos organismos ofrecen dinero y las instituciones financieras lo
demandan, lo captan; si hay una oferta y una demanda hay un precio, ese precio es el interés, el depósito
sobre los depósitos que pagan las entidades financieras, por captar dinero se llama Tasa de Interés de
Captación (o tasa de interés pasiva).
2. Cuando las instituciones financieras salen del dinero que han captado: Este dinero (sólo una parte) lo va
a ofrecer a otras empresas, otras familias y a otras instituciones que lo requieran; en ésta oportunidad
éstos últimos organismos actúan como demandantes y las instituciones financieras como oferentes; hay
otro mercado y otro precio, esta vez el precio por colocar ese dinero en la economía, lo cobran las
instituciones financieras, se llama Tasa de interés de Colocación (o tasa de interés activa).
3. Cuando las instituciones financieras también se demandan y ofrecen dinero entre ellas, el precio que
cobran se conoce con el nombre de Tasa de Interés Interbancaria.
Nota: Es evidente que los organismos financieros no “compran huevos para vender huevos”, en consecuencia,
la tasa de interés de colocación será mayor que la tasa de interés de captación y su diferencia se conoce como
MARGEN DE INTERMEDIACIÓN FINANCIERO.
Por ejemplo: Si una corporación de ahorro y vivienda (Bancolombia, Davivienda, AVVILLAS) captan al 8% efectivo
anual o sea el interés que pagan a quienes tengan cuenta allá; estarán colocando, prestando al 22%, más o menos,
su margen de intermediación es del 14%.
EL INTERÉS
Cuando se presta dinero a alguien, hay algo que se debe precisar: en qué fecha los va a pagar.
No tiene el mismo efecto económico cancelar dentro de un mes que cancelar dentro de un año. Puesto que en
nuestro sistema económico hemos aceptado la capacidad que tiene el dinero de aumentar su magnitud cuando
transcurre el tiempo. Esto se debe a la existencia del interés.
12 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
DEFINICIONES:
A continuación, se definirán algunos elementos fundamentales para el desarrollo de este módulo, en especial
para esta unidad, definiciones tales como:
Valor del dinero en el tiempo. El valor del dinero en el tiempo, en inglés, Time Value of Money (TVM), es
un concepto basado en la premisa de que un inversor prefiere recibir un pago mayor de una suma fija de
dinero en el futuro, en lugar de recibir el mismo que invirtió, como si no lo hubiera usado, es decir, el
producido del dinero fuese nulo.
Valor recibido o entregado por el uso del dinero a través del tiempo: Se puede afirmar que no es lo mismo
un millón de pesos de hoy a un millón de pesos dentro de un año, pues por los efectos de la inflación, y
otras variables económicas, no se pueden comprar los mismos bienes de hoy dentro de un año, por lo
tanto, se puede afirmar que el dinero tiene un valor diferente en el tiempo, dado que está afectado por
varios factores, tales como:
• La inflación que hace que el dinero pierda poder adquisitivo en el tiempo, es decir, que se
desvalorice.
• El riesgo en que se incurre al prestar o al invertir, pues no se tiene certeza absoluta de recuperar
el dinero prestado o invertido.
• La oportunidad que tendría el inversor en otra actividad económica, protegiéndolo no sólo de la
inflación sino también con la posibilidad de obtener una utilidad.
Beneficio económico o ganancia que generará un capital (también denominado utilidad): Es un término
utilizado para designar la ganancia que se obtiene de un proceso o actividad económica. Es más bien
impreciso, dado que incluye el resultado positivo de esas actividades medido tanto en forma material o
"real" como monetaria o nominal. Consecuentemente, algunos diferencian entre beneficios y ganancia.
Precio que se paga por el uso del dinero que se tiene en préstamo, durante un período determinado: Este
precio es lo que se denomina como tasa de interés (o tipo de interés) y es el precio del dinero o pago
estipulado, por encima del valor depositado, que un inversionista debe recibir, por unidad de tiempo
determinado, por haber usado su dinero durante ese tiempo. Comúnmente se le llama "el precio del
dinero" en el mercado financiero, ya que refleja cuánto paga un deudor a un acreedor por usar su dinero
durante el periodo previamente determinado.
Rendimiento de una inversión: Es una herramienta que mide la efectividad total de la generación de
utilidades con la inversión disponible; la mejor alternativa de inversión es aquella que maximiza las
utilidades.
Nota: Antes de entrar a definir el cálculo del interés de una inversión, se revisarán unos conceptos de suma
importancia y aplicabilidad en el desarrollo del tema.
13 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
TANTO POR CIENTO
Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las cien partes-iguales en que se puede dividir dicho
número, es decir, uno o varios centésimos de un número.
El signo del tanto por ciento es %.
Así, el 3% de 490 es 14.70, porque 490 se divide en 100 partes iguales y de ellas tomamos tres, esto es:
!"#
$##×& = !. "×& = $!. )#
ELEMENTOS DEL TANTO POR CIENTO
Base Número del que se toma cierto número
de veces una centésima.
Se denota por B
Tanto por ciento Número de veces que se toman
centésimas de la base.
Se denota por T
Porcentaje Es el resultado de tomar de la base
tantos centésimos como indica el tanto.
Se denota por P
La suma de la Base más el porcentaje Se llama Monto. Se denota por M
La Base menos el porcentaje Se llama Diferencia. Se denota por D
En tal forma para el caso que nos compete se tiene:
!"# + $!. )# = +#!. )# (.)
!"# − $!. )# = !)+. &# (1)
14 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
RECUERDE QUE:
La razón entre dos números enteros no es más que una división así:
+
2 = 2. + (345ó7)
La igualdad de dos razones conforma una proporción, así:
+
2 =
$#
! 89 :;9<9 =9:=989>?@= ?@ABCé> @8í +: 2 ∷ $#: !
Los casos generales del tanto por ciento se resuelven por medio de la siguiente proporción:
$## (HIJ3KLM)
N (.KOPM)
= Q (LKOPM)
R (HIJ3KLM), también se puede escribir:
$##: N ∷ Q: R
Dónde: N = S@>?T, Q = V@89, R = WT=X9>?@Y9
• Nota 1: El 10% de 100 es 10, porque 100 se divide en 100 partes iguales y de ellas tomamos 10. Es
evidente que el 100% de un número, es el mismo número. Así, el 100% de 20 es 20.
• Nota 2: El tanto por ciento se puede expresar en forma fraccionaria, o en forma decimal, así:
Forma fraccionaria: &% = &
$##
(Por ciento, representado por el símbolo % significa centésimos).
Forma decimal: &% = #. #
EJEMPLOS DE CASOS QUE SE PRESENTAN CON EL TANTO POR CIENTO
2.5 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE
Analicemos 3 casos generales del tanto por ciento:
1. Hallar el porcentaje (Número).
2. Hallar la base (Número).
15 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
3. Hallar el tanto.
1 Hallar el porcentaje (número)
Hallar el 15% <9 $ 3.400
Procedimiento
Se utiliza la proporción:
$## (HIJ3KLM)
N (.KOPM)
= Q (LKOPM)
R (HIJ3KLM)
, Reemplazando, se tiene:
$## (HIJ3KLM)
$+ (.KOPM) =
&. !## (LKOPM)
a (HIJ3KLM)
Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones:
PRODUCTO DE MEDIOS=PRODUCTO DE EXTREMOS
Se tiene:
$## ∗ a = $+ ∗ &!## → a =
$+ ∗ &!##
$## → a =
+$. ###
$## → a = +$#
Lo anterior es la consecuencia de una regla de tres simples:
% $
$## &!##
$+ a
→ a =
&!## ∗ $+
$## → a =
+$###
$## → a = +$#
2. Hallar la base
Cobré el 35% de lo que me adeudaban. Si me dieron $2.800, ¿a cuánto ascendía el total de la deuda?
Procedimiento
Se utiliza la proporción:
$## (HIJ3KLM)
&+ (.KOPM) =
a (LKOPM)
2d## (HIJ3KLM)
16 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
También, $##: &+ ∷ a: 2d## → &+ ∗ a = 2d## ∗ $## →
e =
2800 ∗ 100
35 → e =
280000
35 → e = $ 8000
Observe para este caso, la disposición de la proporción con respecto al primer caso general del tanto por
ciento.
Utilizando la regla de tres simples:
% $
&+ 2d##
$## a
→ a =
2d## ∗ $##
$+ → a =
2d####
&+ → a = $ d###
3. Hallar el tanto por ciento:
Compré una máquina en $5.600 y perdí en ella 504. ¿Cuál es el tanto por ciento de pérdida?
Procedimiento
Utilizando la regla de tres simples:
$ %
+h## $##
+#! a
→ a =
+#! ∗ $##
+h## → a =
+#!##
+h## → a = "%
Nota: Este caso tiene aplicación a cada partida del estado de Pérdidas y Ganancias tomando como base, las
ventas totales de fin de período, equivalente al 100%.
TENGA PRESENTE QUE:
17 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
CASO EJEMPLO
a) Para hallar el porcentaje de un número, es
decir, el 15% de 32, se obtiene mediante
una sencilla regla de tres, planteada así:
$##% − &2
$+% − a → a =
&+×$+
$##
a = !. d
b) En la práctica; para encontrar el % de un número, se multiplica el número base, por el número
porcentual y se divide por 100.
Así: El 20% de 80 → a = 2#×d#
$##
= $h
c) Para hallar un número, cuando se conoce un
tanto por ciento de dicho número. Por ejemplo:
¿De qué número es 46 el 23%?
2&% − !h
$##% − a →a =
!h×$##
2&
a = 2##
d) Dados dos números se puede averiguar qué
tanto por ciento es uno del otro mediante
una regla de tres.
Ejemplo: ¿Qué % de 8.400 es 2.940?
d!## − $##%
2"!# − a → a =
$##×2"!#
d!##
a = &+%
Interpretando la respuesta: 2940 es el 35% de
8400.
18 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
CASOS PARTICULARES DEL
TANTO POR CIENTO
SOLUCIÓN EJEMPLOS
Tanto por ciento más.
Ejemplo: ¿De qué número es 265 el 6%
más?
El número que se busca lo representamos por su
100%. Si 265 es el 6% más que ese número, 265 será
el 100% + 6% igual al 106% del número buscado. Para
encontrarlo planteamos una regla de tres, así:
$#h% − 2h+
$##% − a →
a =
2h+×$##
$#h
a = 2+#
Tanto por ciento menos.
Ejemplo: ¿De qué número es 265 el 6%
menos?
Se procede, al contrario del caso anterior, es decir, el
6% se resta, del 100%. Si 265 es el 6% menos que ese
número buscado, 265 es el
100% -6% igual a 94%, del número buscado. Para
encontrarlo planteamos, una regla de tres, así:
"!% − 2h+
$##% − a →
a =
2h+×$##
"!
a = 2d$. "$
Tanto por mil: Se llama tanto por mil de un número, a una o varias de las mil partes iguales en que
se puede dividir dicho número, es decir, uno o varios, milésimos de un número. El signo del tanto
por: mil es °/oo. En el tanto por mil se contemplan los mismos casos que, en el tanto por ciento y su
tratamiento es similar.
19 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
PISTA DE APRENDIZAJE
Tenga presente: Cuando en un problema nos dan el monto o la diferencia, para
hallar la base o el porcentaje, conocido también el tanto por ciento.
2.5.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE
1. Compré mercancía por valor de $630 y deseo venderla ganando el 15% sobre el precio de compra. ¿En
cuánto debo venderla?
Procedimiento
Se aplica la proporción:
$##: $## + $+ ∷ h&#:a →
% $
$## − h&#
$$+ − a
→ a =
h&#×$$+
$## → a =
)2!+#
$##
→ a = $ )2!. +#
2. Compré una casa en $949,20, si el que me la vendió ganó el 13%. ¿Cuánto le costó?
Procedimiento
Se aplica la proporción:
$##: $## + $& ∷ a: "!". 2# →
% $
$$& − "!". 2#
$## − a
→ a =
"!". 2#×$##
$$& → a
=
)2!+#
$##
→ a = $ d!#
3. Una sortija me costó $450 y la vendí perdiendo el 16%; ¿en cuánto la vendí?
20 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
Procedimiento
Se aplica la proporción:
$##: $## − $h ∷ !+#: a →
% $
$## − !+#
d! − a
→ a =
!+#×d!
$##
→ a =
&)d##
$##
→ a = $&)d
• La regla de interés es una operación por medio de la cual se halla la ganancia o interés que produce una
suma de dinero o capital, prestado a un tanto por ciento dado y durante un tiempo determinado;
También, puede decirse, que es la compensación que recibe el capital por su uso o por su cesión a otra
persona. Se representa por P (interés).
En el estudio de las operaciones comerciales, entran los siguientes conceptos, aparte del interés ya reseñado:
• CAPITAL
• INTERÉS
• TIEMPO
DEFINICIÓN DE CONCEPTOS
CONCEPTO DEFINICIÓN - EJEMPLO
Capital
• Es la cantidad de dinero que se presta. También se le conoce con el nombre de
Valor Actual, Valor Presente o, simplemente, Presente. Se representa por R,
por i o por jk.
• También se puede decir que el capital, es un depósito de dinero efectivo
producto de una renta, esto es: El interés.
Tasa de Interés Es la cantidad de dinero que se paga por el alquiler de $100, o por el alquiler de $1.
ü En el primer caso se denomina tasa porcentual, y
ü En el segundo caso, tasa por UNO.
En ambos casos se representará por l = P.
Por ejemplo, si tengo que pagar $3, de interés por un préstamo de $100, entonces
21 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
la tasa será del 3 por ciento, que se escribe &% y si se tiene que pagar tres centavos
por el préstamo de $1 la tasa será 0.03 por UNO que también se puede escribir
como &%, desde que:
&% =
&
$##
Por Ciento (Porcentaje) El término por ciento, representado por el símbolo % significa centésimos; o sea
que,2#% es otra forma de representar
2#
$##
; #. 2#; $
+
Podemos decir también que la tasa de interés: es el valor que se fija en la unidad
de tiempo a cada 100 unidades monetarias que se dan o se reciben en préstamo.
Se dice por ejemplo: 3.5% mensual; 42% anual.
Al decir el 3.5% mensual: por cada $100 se cobra o se pagan $3,50 al mes; este es
el precio fijado a cien pesos en un mes.
Nota: Mientras no se dé ninguna especificación en contrario, la tasa de interés se
entenderá anual.
Al calcular la tasa de interés, el resultado viene dado en forma decimal y como
normalmente se expresa en porcentaje, puede ser escrito como por ciento,
colocando el punto decimal dos lugares a la derecha y el símbolo porcentaje.
Tiempo Es el lapso durante el cual se hace uso o se cede el capital y según las partes puede
dividirse en meses, trimestres, semestres, años.
También podemos decir del tiempo, que es la duración del préstamo;
normalmente, la unidad de tiempo es el año y lo representaremos por J M 7.
CLASIFICACIÓN DEL INTERÉS
Existen “el interés simple y el interés compuesto”.
22 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
Nota: En este aparte se trabajará lo correspondiente al interés simple.
INTERÉS SIMPLE:
Es simple cuando el interés o rédito, es decir, la ganancia que produce el capital, se percibe al final
de períodos iguales de tiempo, sin que el capital varíe. Es decir, el interés simple, es el que produce
un capital de $ C que permanece constante a través del tiempo y por lo tanto la renta (interés) que
produce, será siempre igual de un período a otro.
Nota: Siempre será igual de un período a otro a menos que cambie la tasa de interés.
• Cálculo del interés que produce el dinero
¿Cómo se calcula la suma que se debe recibir en cada período?
La suma de dinero que se recibe periódicamente como paga por el préstamo del dinero, resulta de multiplicar el
número de unidades prestadas por la tasa de interés.
Si el préstamo es de $1’000.000 (millón de pesos) y se decide cobrar una tasa del 2% mensual, el interés se obtiene
multiplicando:
$1’000.000*2%=20.000
Es decir, el interés que se debe pagar es de $20.000 (veinte mil pesos mensuales).
2.5.2 EJERCICIO DE APRENDIZAJE:
El señor Patiño le prestó al señor Cano la suma de $1.000, con la condición de que el señor Cano le devuelva al
señor Patiño la suma de $1.500 dos meses después.
Se puede observar: Que el señor Patiño se ganó $500 por prestarle $1.000 al señor Cano durante dos meses. Esto
indica que los intereses fueron de $500 durante dos meses, o sea $250 mensuales.
I=$500
El problema planteado se puede representar en un diagrama económico:
23 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
• DIAGRAMA ECONÓMICO
Consiste en la representación gráfica del problema financiero, que nos permite visualizarlo y hacer una definición
y un análisis correcto de las condiciones para transferir o manejar el dinero.
El diagrama económico consta de los siguientes elementos:
1. Líneas de tiempo: es una línea horizontal donde se representan todos los periodos en los cuales se ha
dividido el tiempo para efectos de la tasa de interés.
2. Flujo de Caja: se representa con unas flechas hacia arriba y otras hacia abajo (ingresos-egresos).
• TASA DE INTERÉS
La tasa de interés (P) es la relación entre lo que recibe de interés ((n) y la cantidad inicial invertida (R). Esta se
expresa en forma porcentual.
• INTERÉS SIMPLE:
valor que se obtienen al multiplicar el capital invertido por la tasa y el plazo pactado, esto es:
n = R ∗ P ∗ 7
n: Interés
R: Capital invertido
P: Tasa
7: Plazo
Nota1: la tasa (P) y el plazo (7) o períodos tienen que estar en la misma unidad de tiempo.
Nota 2: Al calcular la tasa interés en cualquier período, el capital inicial nunca va a variar, pues los intereses no se
capitalizan.
Para visualizar la solución de problemas y comprender la deducción de las fórmulas nos apoyaremos en los
24 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
diagramas de tiempo: consiste en trazar una línea horizontal y dividirla en períodos iguales de tiempo, según la
frecuencia de liquidación de intereses. El tiempo O (cero) se considera el presente o inicio del período, el tiempo
1 el final del período 1, el tiempo2, el final del período 2, así sucesivamente hasta agotar los periodos pactados.
Nota: Tener presente que: el final del período 1 es el principio del período dos, que el final del período dos, es
el principio del período 3 y así sucesivamente para 7 períodos; el tiempo 7 se considera el mal del período 7,
el final del período (7 − $) es el principio del período 7.
El diagrama de Líneas de Tiempo, puede representar:
ü Entradas de dinero y desembolsos que ocurren en un tiempo dado, o
ü Cuentas por cobro y cuentas por pagar.
ü Las entradas de dinero, cuentas por cobrar, se representan por una flecha
dirigida hacia arriba.
ü Los desembolsos, las cuentas por pagar, se representan por una flecha
dirigida hacia abajo.
Diagrama de tiempo para un prestatario (persona que necesita y solicita dinero) , está dado por:
______ 1 _______ 2 ________ S _______ > − 1 _______
0
> ?C9A:T (9o:=98@<T 9> @ñT8)
Interpretación: Al inicio del período uno (hoy) se recibe un préstamo de $10.000, a una tasa del 24% anual a
interés simple, durante 5 años. Se debe reintegrar al cabo de los 5 años, un Monto: capital inicial + los intereses
causados durante los 5 años.
Diagrama de tiempo para el prestamista o inversionista (persona que facilita el dinero a alguien), está dado por:
25 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
q = . = i + $
0 ______ 1 _______ 2 ________ S S _______ > − 1 _______ 7 K7 4ñMr
i = $$#. ###
P = 2!% 47s4t
7 = + 4ñMr
Interpretación: Sacar dinero para prestarlo; al final de los 5 años se debe reintegrar un monto o valor futuro: que
corresponde al capital inicial que se cede, más los intereses que se ganan por prestar dinero.
• ¿QUÉ SE REQUIERE PARA DETERMINAR EL INTERÉS?
Este se determina conociendo:
• El capital,
• El tiempo y
• La tasa de interés.
2.5.3 EJERCICIO DE APRENDIZAJE
1. Supongamos que se realiza un préstamo de $1.000 al 1% mensual con un plazo de tres (3) meses, determinar
el interés a pagar en los 3 meses.
Procedimiento
El razonamiento puede ser el siguiente:
Si $100 ganan $1 en un mes, ¿cuánto ganarán $1.000?
Esto equivale a plantear una regla de tres simples:
$ $
100 − 1
1000 − e
Efectuando producto de medios es igual al producto de extremos, se tiene:
$##a = $###×$ → a =
$###
$## → a = $#
Esto quiere decir que $1.000 en un mes producen $10 al 1% mensual.
26 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
Veamos cuánto producen en 3 meses.
Un razonamiento similar al anterior resuelve el problema, si en un mes producen $10 ¿Cuánto producirán en 3
meses?
u98 $
1 − 10
3 − e
Efectuando producto de medios es igual al producto de extremos, se tiene:
$ ∗ a = & ∗ $# → a =
&#
$ → a = &#
(Produce $ 30 en tres meses).
Analizando las respuestas obtenidas se observa que:
30 no es más que el producto del capital por la tasa de interés y por el tiempo.
Esto es: a = $###×#. #$×& → a = &#
De lo anterior se puede sacar como expresión final para determinar el valor del interés simple que produce un
capital de $P o $C, invertido a una tasa i = R, durante n = T períodos, la siguiente:
n = i×P×7 (.éJMOM v47w43PM)
Tenga presente que: al calcular el interés, que tanto la tasa de interés como el tiempo, deben quedar reducidos
a la misma base, es decir, si la tasa está dada mensualmente y el tiempo en años se deben convertir los años a
meses o viceversa, para resolver problemas sin ningún contratiempo o dificultad que conlleven al error.
1. ¿Qué interés produce un capital de $15.000 al 6% semestral en tres años?
Procedimiento
ü Datos del problema:
i = $$+. ###, P = h% rKLKrJ34t, 7 = & 4ñMr
P = h% =
h
$## = #. #h
Recuerde que: un año son 2 semestres, 3 años son 6 semestres (La tasa de interés y el tiempo deben quedar
reducidos a la misma, base, es decir, como tasa está dada semestralmente y el tiempo en años, se deben convertir
27 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
los años a semestres porque la tasa se dio semestral).
ü Solución:
n = i×P×7 → n = $$+. ###×#. #h×h →
n = $ +. !##
El interés ganado en 3 años es de $ +. !##
Nota 1: Para todas las operaciones comerciales, se tomará:
• El año comercial= 360 días.
• Mes comercial= 30 días.
Nota 2: La tasa de interés en forma decimal será la utilizada en el proceso matemático de los ejercicios
de esta unidad. La respuesta se presenta en forma porcentual.
2. ¿A qué tasa de interés mensual simple estuvo invertido un capital de $40.000 para que en un tiempo de
2 años, 4 meses y 27 días produjera $28.900 de intereses?
Procedimiento
• Se utiliza la ecuación: n = i×P×7
Se despeja P → P = n
i×7
• Se convierten 2 años, 4 meses y 27 días en días de la siguiente forma:
• 2 4ñMr × &h#Oí4r $ 4ñM = )2# Oí4r
• ! LKrKr × &#Oí4r $LKr = $2# Oí4r
• 2) Oí4r
• Entonces 2 años, 4 meses y 27 días equivalen a )2# Oí4r $2# Oí4r2) Oí4r = dh) Oí4r
• Se convierten estos días en meses de la siguiente forma:
28 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
1í4r .KrKr
&# $
dh) a
→ a = $×dh)
&#
→ a = 2d. " LKrKr
Reemplazando en P = n
i×7
→ P = 2d."##
!#.###×2d."
→ P = #. #2+
Como la tasa viene expresada en forma decimal para expresarla en forma porcentual la multiplicamos por 100,
acompañado de la denotación %, esto es:
P = #. #2+×$## → P = 2. +%
• ¿Qué período de tiempo lleva P?
En meses, por cuanto 7 está dado en meses.
MONTO O VALOR FUTURO (. M jx)
Se llama así la suma del capital y sus intereses.
Se dice que una operación financiera se maneja bajo el concepto de interés simple, cuando los intereses liquidados
no se suman periódicamente al capital, es decir los intereses no devengan intereses.
Deducción:
y9@> jk = i4kPJ4t M z4tM3 k3KrK7JK,. = jx = .M7JM M j4tM3 xsJs3M, n = n7JK3ér →
. = jx = jk + n
Recuerde que:
n = jk×P×7
Reemplazando se tiene:
. = jx = jk + jk×P×7
Sacando factor común jk:
. = jx = jk ∗ ($ + P×7)
29 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
Nota: ¿Cuál es la idea práctica del monto?
En ocasiones no se pagan periódicamente los intereses y por lo tanto se acumulan, debiéndose
pagar al vencimiento junto con el capital.
CARACTERÍSTICAS DEL VALOR FUTURO A INTERÉS SIMPLE
1. El capital inicial no varía durante todo el tiempo de la operación financiera, ya que los intereses no se
suman al capital inicial.
2. Como consecuencia, la tasa de interés siempre se aplicará sobre el mismo capital, es decir, sobre el capital
inicial (así se retiren o no los intereses).
3. Los intereses serán siempre iguales en el mismo período.
Nota 1: Otra forma de expresar el valor futuro, está dada por la siguiente expresión:
q = R ($ + 7P)
Dónde:
q: Representa valor futuro. Es decir: el capital inicial + los intereses generados en un tiempo determinado.
R: Valor presente, capital invertido.
P : Interés
7 : Periodo de tiempo
Nota 2: De esta expresión se pueden despejar cada una de las variables que hacen parte de esta, así:
• R = q
(${7P)
(Valor Presente)
• P =
q
R|$
7
(Interés)
• 7 =
q
R|$
P
(Periodos)
30 INGENIERÍAECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
2.5.4 EJERCICIO DE APRENDIZAJE
¿Qué suma se tendrá que pagar al término de 3 años, si se tomaron prestados $60.000 al 6% semestral simple
pagadero al vencimiento?
Procedimiento:
Datos del problema:
i = $h#. ###
P = h% rKLKrJ34t = #. #h rKLKrJ34t
7 = &4ñMr = h rKLKrJ3Kr
• Aplicando la ecuación: u = }~ = � ∗ (1 + C×>)
}~ = 60.000 ∗ 1 + 0.06 ∗ 6 = 60.000 ∗ (1 + 0.36)
}~ = 60.000 ∗ 1.36 → }~ = $ 81.600
• Calculando el interés generado en los tres años:
n = i×P×7 → n = h#. ### ∗ #. #h ∗ h
n = 2$. h##
INTERÉS SIMPLE MEDIANTE DIAGRAMAS DE LÍNEA DE TIEMPO
Resaltando del concepto de interés simple mediante diagramas de línea de tiempo a través de dos ejemplos:
1. Sea el siguiente diagrama de líneas de tiempo:
_________ 1 _________ 2 _________ 3 _________ 4 __ jx =¿ ? K7 4ñMr
← − − 2#% 47s4t−→ | ← − − 2!% 47s4t − −−→ |
← − − −n =¿ ?−−→ |← − − −n =¿ ?− − − − −→ | n = i×P×7
31 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
i = $ $#. ###
Procedimiento:
PRIMER PROCEDIMIENTO:
nN = n$ = n2
n$ = $#. ###×#. 2×2 = !. ###
n2 = $#. ###×#. 2!×2 = !. d##
}~ = � + ÖÜ → }~ = 10.000 + 4.000 + 4.800 → }~ = 10.000 + 8.800 →
}~ = 18.800
SEGUNDO PROCEDIMIENTO:
jx = i ∗ ($ + P ∗ 7), en donde:
n ∗ 7 = á ∗= P$ ∗ 7$ + P2 ∗ 72 ∗ 7 = #. 2 ∗ 2 + #. 2! ∗ 2 = #. dd
Con P$ = #. 2, Reemplazando se tiene:
P2 = #. 2!jx = $#. ### ∗ ($ + #. dd)
7$ = 2 → jx = $#. ### ∗ $. dd → jx = $d. d##
72 = 2
2. Sea el siguiente diagrama de líneas de tiempo:
jx = 22. ####
1 2 3 4… 23… 24 25 26… 47 48
32 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
-------- 2% LK7rs4t | &% LK7rs4t |
i = ¿ ?
INTERÉS: 2% LK7rs4t = 2! 47s4t = !d% vP47s4t #. !d
&% LK7rs4t = &h 47s4t = )2% vP47s4t #. )2
áà.â 1H näNHlHáHá = #. !d + #. )2 = $. 2#
SOLUCIÓN
PRIMER PROCEDIMIENTO:
i =¿ ?
jx = i + P → 22. ### = i + (#. !di + #. )2i)
22. ### = i + $. 2i → 22. ### = 2. 2i → i =
22. ###
2. 2
→
i = $ $#. ###
SEGUNDO PROCEDIMIENTO:
jx = i $ + P ∗ 7 → 22. ### = i $ + $. 2# → 22. ### = i 2. 2# →
→ i =
22. ###
2. 2# → i = $$#. ###
Nota: Para trabajar el interés simple también se puede emplear la siguiente expresión denominada método de
supresión de factores:
n =
i×l×N
$##×àN
I=Interés
33 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
C=Capital
R=Rata, Porcentaje o tasa
T=Tiempo
UT=Unidad de tiempo
El factor unidad de tiempo se determina en base al tanto por ciento de interés (l) (P) y al tiempo (J) (7), así:
Nota: Para resolver este tipo de problemas se puede aplicar cualquiera de las dos fórmulas determinadas, ya
que el resultado será el mismo, esto es:
n =
i×l×N
$##×àN
R T UT
1. a) % 47s4t
âñMr $
b) % 47s4t
.KrKr $2
w) % 47s4t 1í4r &h#
2.
4) % LK7rs4t âñMr $
$2
v) % LK7rs4t .KrKr $
w) % LK7rs4t 1í4r &#
34 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
M
n = i×P×7
Nota: Con las expresiones anteriores se puede encontrar cualquiera de los elementos que en ella intervienen,
haciendo uso de los conocimientos necesarios para el desarrollo y aplicación de la fórmula.
2.5.5 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE
1. ¿Cuánto producen $5.000 colocados al 15% anual durante un año?
Solución:
a. Aplicando:
n =
i×l×N
$##×àN
Se tiene: n = i×l×N
$##×àN
→ n = +.###×$+×$
$##×$
→ n = $ )+#
b. Aplicando:
n = i×P×7 →
Se tiene: n = +. ###×#. $+×$ → n = $ )+#
2. ¿Qué tiempo será necesario para duplicar un capital de $4.000 al 2% mensual simple? Elaborar el
diagrama de líneas de tiempo.
Procedimiento:
35 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
PRIMER PROCEDIMIENTO:
n = w×P×J → J =
n
i×P (Hws4wPó7 $)
0_______1________2________3___________ss_________> − 1__________> =¿ ?A9898
� = $ 4.000 }~ = $ 8.000
SEGUNDO PROCEDIMIENTO:
Si el capital inicial corresponde a $4.000 y se duplica en n periodo de tiempo; quiere decir, que el monto será de
$8.000, por lo tanto:
jx = w + n → jx|i = n Reemplazando:
n = d. ### − !. ### → n = !. ##
Reemplazando en la ecuación 1: J = n
i×P
Hws4wPó7 $ :
? =
4.000
4.000×0.02 → ? =
4.000
80 → ? = 50
¿QUÉ UNIDAD DE TIEMPO TENDRÁ T?
Como la tasa es mensual, por lo tanto, el tiempo se da en meses.
(Nota: 50 meses equivalen a 4 años y 2 meses).
36 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
2.5.6 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO
Es bastante importante que realices esta prueba, aunque ya hayas realizado problemas similares y hayas
respondido preguntas iguales, ya que son conceptos de suma importancia para el desarrollo de la asignatura:
1. De acuerdo a los temas tratados, responde a las siguientes preguntas
a. En tus propias palabras define el concepto de interés y el de tasa de interés
b. ¿Qué es interés simple?
c. Con un ejemplo numérico calcule los intereses y defina las características del interés simple.
d. ¿Qué es interés simple?
2. Analizar a que concepto corresponde la siguiente definición: _________ qué porcentaje representa 80 mil pesos
con respecto a 1.200.000.
a. 3,15% b.6,67% c. 8,25 % d.11%
3. Analizar a que concepto corresponde la siguiente definición: _________ en qué porcentaje se debe incrementar
un salario de $500.000 para que se convierta en $620.000.
a. 30% b.25% c. 24% d.15%
4. Analizar a que concepto corresponde la siguiente definición: _________ un vendedor gane el 10% de comisión
por ventas si gano $350.000 venta de un equipo, ¿por cuánto vendió el equipo?
a. $3.000.000 b. $4.500.000 c. $3.500.000 d. $3.750.000
5. Analizar a que concepto corresponde la siguiente definición: _________. Un artículo tiene un precio de venta
de $750.000 si concede un descuento del 8% ¿cuál sería el nuevo precio?.
a. 690.000 b. 630.000 c.670.000 d. 625.000
6. A continuación encontrará una serie de enunciados con cuatro respuestas, de las cuales una sola es verdadera.
Marque con una X la que usted considere correcta.
37 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
ü Analizar a qué concepto corresponde la siguiente definición: __________ qué es una tasa de interés:
a. Recipiente donde se coloca un líquido de interés
b. Relación entre el interés obtenido en un período y el capital inicial invertido.
c. Porcentaje que representa la relación entre una porción determinada con respecto al ciento por ciento.
d. Diferencia entre el valor presente y valor futuro.
ü Analizar a que concepto corresponde la siguiente definición: _________ Un capital.
a. Dinero que se invierte al inicio o final de un período
b. Dinero que se obtiene al final de un período
c. Dinero invertido al inicio de un período
d. Dinero que se obtiene entre la diferencia de un valor futuro y un valor presente
ü Analizar a qué concepto corresponde la siguiente definición: _________ qué es un flujo de caja.
a. Representa los ingresos o egresos de caja.
b. Gráfico que representa los ingresos y egresos de caja
c. Representa solo los ingresos de caja
d. Solo los egresos
ü Analizar a qué concepto corresponde la siguiente definición: _________ el valor del dinero en el tiempo
se mide por medio de:
a. La tasa de interés b. los intereses c. la inflación d. dividendos
ü Analizar a que concepto corresponde la siguiente definición: _________. Valores ubicados en fechas
diferentes se pueden sumar si y solo si
a. Están invertidos a la misma tasa de interés.
b. Si tienen el mismo valor
c. Si están en la misma fecha focal (futuroo presente)
d. Es indiferente si tienen diferente valor.
38 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
7. Resuelva los siguientes problemas de interés simple:
a . Durante cuánto t iempo ha de imponerse un capita l de $ 25.000.000 a l 4% para que
se convierta en $50.000.000.
b . Se prestan $5.000.000 y a l cabo de 2 años, 7 meses y 5 d ías se rec iben # 12.500.000.
Ca lcu lar e l tanto por c iento de interés .
c . Hal lar é l tanto por c iento de interés s imple a l que deberá prestarse un capita l para
que a l cabo de 10 años los intereses sean iguales a l capita l prestado.
d . ¿En cuánto t iempo se cuadrupl ica un capita l co locado a l 6%?
e . Hal lar e l interés producido durante 3 años, por un capita l de $ 60.000.000, a l 3%.
f . Ca lcu lar en qué se convierte , en 12 meses, un capita l de $15.000.000, a l 2 .7%.
g . ¿Durante cuánto t iempo ha de co locarse un capita l de $ 75 000?000 a l 4% para que
se convierta en $ 150.000.000 (esto es , para que se dupl ique)?
PISTAS DE APRENDIZAJE
Recuerde que: La regla de interés es una operación por medio de la cual se halla la ganancia o interés que produce
una suma de dinero o capital, prestado a un tanto por ciento dado y durante un tiempo determinado; También,
puede decirse, que es la compensación que recibe el capital por su uso o por su cesión a otra persona. Se
representa por P (interés).
Tenga presente que: Al calcular el interés, que tanto la tasa de interés como el tiempo, deben quedar reducidos
a la misma base, es decir, si la tasa está dada mensualmente y el tiempo en años se deben convertir los años a
meses o viceversa, para resolver problemas sin ningún contratiempo o dificultad que conlleven al error.
Recuerde que: Una operación financiera se maneja bajo el concepto de interés simple, cuando los intereses
liquidados no se suman periódicamente al capital, es decir los intereses no devengan intereses.
Recuerde que: Un Diagrama Económico consiste en la representación gráfica del problema financiero, que nos
permite visualizarlo y hacer una definición y un análisis correcto de las condiciones para transferir o manejar el
dinero.
Recuerde que: Un diagrama económico consta de los siguientes elementos:
• Líneas de tiempo: es una línea horizontal donde se representan todos los periodos en los cuales se ha
dividido el tiempo para efectos de la tasa de interés.
• Flujo de Caja: se representa con unas flechas hacia arriba y otras hacia abajo (ingresos-egresos).
• Tasa de Interés.
39 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
2.6 TEMA 2 INTERÉS COMPUESTO
INTERÉS COMPUESTO
Es el que produce un capital que cambia al final de cada período, debido a que los intereses se adicionan al capital,
para formar un nuevo capital; es decir:
En general se dice que el interés compuesto (llamado interés sobre intereses), es aquel que al final del período
capitaliza los intereses causados en el período anterior, es decir, el capital vario al final de cada período, porque
los intereses obtenidos se le adicionan al capital, obteniendo así un nuevo capital y sobre este se calculan los
próximos intereses.
Se supone, entonces, que los intereses se capitalizan, es decir se reinvierten automáticamente.
Nota 1: Capitalización: Es un proceso en el cual los intereses que se causan en un período se suman al capital
anterior.
Nota 2: Período de Capitalización: Período pactado para convertir el interés en capital.
También se puede decir, que el interés es compuesto, cuando:
• Los intereses que produce el capital se suman a éste, al final de cada período de
tiempo,
• Formando de este modo un nuevo capital.
• Es decir, los intereses producen nuevos intereses.
Ejemplo: Sea un capital de $1.000 al 20% anual compuesto.
Al finalizar el primer año sus intereses serán $200 los cuales se reinvierten, por lo tanto:
• Al comienzo del segundo año, el capital será de $1.200 y los intereses de este año serán de $240, que
• Al capitalizarlos formarán un capital de $ 1.440 para el tercer año, y
• Así sucesivamente, año tras año, el capital aumentará los intereses y éstos aumentarán el capital.
SE CALCULA EL INTERÉS SOBRE EL MONTO ANTERIOR, PARA
FORMAR UN NUEVO MONTO.
40 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
• CÁLCULO DE LA ECUACIÓN GENERAL PARA CALCULAR EL INTERÉS COMPUESTO
Conviene, ahora, llegar a una fórmula general para obtener el monto de un capital de $, jk j4tM3 k3KrK7JK ,
a una tasa P por período al término de 7 períodos y en forma compuesta.
Para ello, se elabora una tabla en forma numérica, luego en forma algebraica y al final en forma gráfica, teniendo
en cuenta que el capital de cada período es el monto del anterior
a. En forma numérica:
ãåçÍèêè (ëñí) ìëãîïëñ îóîìîëñ îóïåçÉô ìëãîïëñ öîóëñ
1 1.000 200 1.200
2 1.200 240 1.440
3 1.440 288 1.728
4 1.728 345.60 2.073,60
La tabla anterior muestra los valores acumulados al final de cada año, cuando se invierte la suma de $1.000 a una
tasa de 20% anual durante 4 años.
b. En forma Algebraica:
PERÍODO CAPITAL
INICIAL
INTERÉS CAPITAL FINAL
1 W W ∗ C jx$ = jk + jk(P = jk(($ + P)
2 jk ∗ (1 + C) jk(∗ 1 + C ∗ C jx2=jk(*(1+i)+ jk(*(1+i)*i=
41 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
jk(∗ ($ + P)2
3 jk ∗ (1 + C)ú jk((1 + C)ú ∗ C }~ù = jk(* 1 + C ú + jk(∗ 1 + C ú ∗ C =
R ∗ ($ + P)&
: : : :
n jk(1 + C)û|ü jk(1 + C)û|ü jx7 = jk( $ + P 7|$ + jk( $ + P 7|$ ∗ P =
jk(∗ ($ + P)7
Se concluye entonces que la ecuación para calcular el Interés está dada por:
jx7 = jk ∗ ($ + P)7
jx = i4kPJ4t xP74t LM7JM , j4tM3 xsJs3M.
jk = j4tM3 R3KrK7JK, i4kPJ4t n7PwP4t.
P = N4r4 OK P7JK3ér k434 Kt kK3íMOM.
7 = äúLK3M OK kK3íMOMr.
c. En forma de diagrama de línea de tiempo
0 _________ 1 _________ 2 __________ 3 _________________SS
}~ü=}°+Ö jx2 = jx$ + jx$ ∗ P ∗ 7
jx& = jx2 + jx2 ∗ P ∗ 7
jx$ = jk + n
jx2 = jx$($ + P)
jx& = jx2 ∗ ($ + P)
42 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
jx$ = jk + jk ∗ P ∗ 7
jx2 = jk ∗ $ + P ∗ $ + P
jx& = jk ∗ $ + P 2 ∗ ($ + P)
jx$ = jk ∗ ($ + P) jx2 = jk ∗ ($ + P)2
jx& = jk ∗ $ + P &
Así se puede continuar, por ejemplo, para el período diez se tiene que:
jx$# = }° ∗ (1 + C)ü¢
En general, para el último período (n) o n-ésimo, se tiene que:
jx7 = jk ∗ $ + P 7
Nota: El problema se reduce ahora a darle solución al factor:
jx = jk ∗ $ + P 7 â zK3 ∗
De la expresión anterior se pude conocer cada una de las variables que lo componen esto es:
• jk =
jx
${P 7
(Valor Presente)
• P = jx
jk
7 − $(Interés)
• 7 =
£§(
jx
jk
)
£§(${P)
(Periodos)
2.6.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE
1. ¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2.000.000 que paga el 3% anual, para que se
convierta en 7.500.000?
Procedimiento
43 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
a. Tabla de datos
7 =¿ ? (Periodo)
jk = $ 2. ###. ### (Valor Presente – Capital)
P = &% = #, #& (Interés)
jx = $ ). +##. ### (Valor Futuro – Monto)
b. Utilizando la expresión 7 =
£§(
jx
jk
)
£§(${P)
y reemplazando los valores correspondientes, se tiene:
7 =
£§(
jx
jk
)
£§($ + P) → 7 =
£§(). +##. ###2. ###. ###)
£§($ + #, #&) → 7 = !!, )2 4ñMr
La respuesta en meses sería:
7 = !!, )2 4ñMr×$2 LKrKr$ 4ñM → 7 = +&h, h! LKrKr
2. ¿Cuánto es necesario invertir ahora para tener $ 10.000.000 en 10 años a una tasa de interés del 8%?
Procedimiento
a. Tabla de datos
7 = $# 4ñMr (Periodo)
jk =¿ ?(Valor Presente – Capital)
P = d% = #, #d (Interés)
jx = $ $#. ###. ### (Valor Futuro – Monto)
b. Utilizando la expresión jk =
jx
${P 7
(Valor Presente) y reemplazandolos valores correspondientes, se
tiene:
44 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
jk =
jx
${P 7
→ jk =
$#.###.###
${#,#d $#
→ jk = !. h&$. "&+
c. Solución: se debe invertir un capital de $ !. h&$. "&+
3. Si se toma un préstamo de $ 1.000.000 durante 12 meses a una tasa de "1% por mes", ¿cuánto debe
pagar?
Procedimiento
a. Tabla de datos
7 = $2 LKrKr (Periodo)
jk = $. ###. ###(Valor Presente – Capital)
P = $% = #, #$ (Interés)
jx =¿ ?(Valor Futuro – Monto)
b. Utilizando la expresión:
jx7 = jk ∗ $ + P 7 (Valor Futuro) y reemplazando los valores correspondientes, se tiene:
jx7 = jk ∗ $ + P 7 → jx7 = $. ###. ### ∗ $ + #, #$ $2 →
jx7 = $. $2h. d2+
c. Solución: se deben pagar al cabo de 12 meses la suma de
$ $. $2h. d2+
4. Una cantidad de $ 1,500.000 se deposita en un banco el pago de una tasa de interés anual del 4,3%,
compuesto trimestralmente. ¿Cuál es el saldo después de 6 años?
Procedimiento
45 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
a. Tabla de datos
7 = h 4ñMr (Con periodos trimestrales, esto es 4 periodos por año)
jk = $. +##. ###(Valor Presente – Capital)
P = !, & % = #, #!& (Interés)
jx =¿ ?(Valor Futuro – Monto)
b. Utilizando la expresión:
jx7 = jk ∗ $ + P 7 (Valor Futuro) y reemplazando los valores correspondientes, se tiene:
jx7 = jk ∗ $ + P 7 → jx7 = $. +##. ### ∗ $ +
#, #!&
! ∗
!(h)
→
jx7 = $. "&d. d&)
* El interés anual se divide por 4 porque es trimestral, por lo tanto tiene 4 periodos de capitalización cada
año, con el exponente se debe multiplicar por 4 por la misma razón.
c. Solución: El saldo (Valor Futuro) al cabo de 6 años es de:
$ $. "&d. d&)
2.6.2 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO
Nota: Algunos de los problemas tienen la respuesta, esta te ayudará en el desarrollo del problema, pero lo
interesante es el análisis que realices de cada uno de ellos, recuerda que en la presentación del tema tienes
algunos modelos resueltos.
1. Determine el monto acumulado de $50.000.000 que se depositan en una cuenta de valores que paga 9% anual
convertible mensualmente:
46 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
a) Al cabo de un año
b) Al cabo de 3 años
2. Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300.000.000 si se reembolsa al año capital
e interés y la tasa aplicada es de 14 % anual convertible trimestralmente.
3. ¿Cuánto dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular un monto de $ 450.000 en un plazo de 4
años, y la tasa de interés es de 7% convertible mensualmente?
4. ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un documento por
$650.000.000 que incluye capital e intereses a 14% convertible trimestralmente, y tiene vencimiento en 36
meses?
5. Una deuda de $50.000.000 se documenta mediante un pagaré que incluye intereses a razón de 2% trimestral,
y que será pagadero al cabo de un año. ¿Qué cantidad puede obtenerse por él si se descuenta al cabo de 4 meses
a una tasa de interés de 10% convertible mensualmente?
6. Hoy se invierten $1’000.000.000 en un certificado de depósito a término (CDT) a una tasa de interés del 3%
mensual durante 6 meses, se quiere saber ¿Cuánto se recibe al cabo de los 6 meses? Elabore el diagrama
económico.
7. ¿Qué interés producen $50.000 en 12 meses al 2?35% mensual?
8. ¿Durante cuánto tiempo estuvo invertido un capital de $100.000 para que al 3% produjera $87.000 de
intereses?
9. Se tienen 3 documentos para cobrar así:
$500.000 para el primero de mayo de 2.015
$1’050.000 para el primero de Julio de 2.015
$350.000 para el primero de agosto de 2.015
47 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
Dadas necesidades de efectivo, no vemos en la obligación de entregarlos a un intermedio financiero que como
producto de sus actividades obtiene rendimientos del 3.5% mensual.
La pregunta es: ¿Cuánto dinero esperamos recibir si la negociación la realizamos el primero de enero de 2.015?
10. ¿Cuál es el monto de $120.000 invertidos al 30% anual durante tres años y dos meses? (R/ $234.000)
11. ¿Cuánto se necesita depositar hoy en una corporación que reconoce el 3% mensual, para disponer de
5’000.000 al cabo de un año? (R/ $ 3’676.470)
12. Una persona hipoteca su propiedad y mensualmente paga $450.000 de interés, si la tasa de interés es el 3%
mensual, ¿En cuánto la hipotecó?
(R/ $15’000.000)
13. En un préstamo de $5’000.000 a cuatro años se pacta un interés del 15% semestral los dos primeros años y
el 16,5% semestral los dos últimos años. ¿Cuánto espera de interés en los 4 años? (R/ $6’300.000)
PISTAS DE APRENDIZAJE
Recuerde que;
INTERÉS COMPUESTO: Es el que produce un capital que cambia al final de cada período, debido a que los intereses
se adicionan al capital, para formar un nuevo capital; es decir:
Recuerde que:
• La Capitalización es un proceso en el cual los intereses que se causan en un período se suman al capital
anterior.
• Período de Capitalización: Período pactado para convertir el interés en capital.
Traiga a la memoria que: También se puede decir, que el interés es compuesto, cuando:
• Los intereses que produce el capital se suman a éste, al final de cada período de tiempo,
• Formando de este modo un nuevo capital.
• Es decir, los intereses producen nuevos intereses.
SE CALCULA EL INTERÉS SOBRE EL MONTO ANTERIOR, PARA FORMAR
UN NUEVO MONTO.
48 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
3 UNIDAD 2 TASAS DE INTERÉS Y EQUIVALENCIAS
Equivalencia de Tasas: Enlace
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3.1 RELACIÓN DE CONCEPTOS
49 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
Definición de conceptos
Tasa de interés: La tasa de interés (o tipo de interés) es el precio del dinero o pago estipulado, por encima del
valor depositado, que un inversionista debe recibir, por unidad de tiempo determinado, del deudor, a raíz de
haber usado su dinero durante ese tiempo.
Tasa Interés Nominal: las tasas anuales, con las cuales se indica cómo y cuándo se liquida el interés, pero no
corresponde a una tasa real.
Tasa de Interés Efectiva: es la tasa que efectivamente se está pagando (Ahorros) o que efectivamente se está
cobrando (Créditos).
Capitalización: La capitalización simple es un tipo de capitalización de recursos financieros que se caracteriza
porque la variación que sufre el capital no es acumulativa. Los intereses que se generan en cada periodo no se
agregan al capital para el cálculo de los nuevos intereses del siguiente periodo, aspecto que la diferencia de
la capitalización compuesta. De esta manera los intereses generados en cada uno de los periodos serán iguales.
Frecuencia de Capitalización: Es el número de veces (períodos) que en un año se me liquidan los intereses para
sumarlos al capital (reinvertirlos).
Tasas Equivalentes: Son aquellas que teniendo diferente convertibilidad producen el mismo monto al final de un
año.
50 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
Ecuaciones de Valor: Aplicación en una fecha dada, de las equivalencias de un conjunto de valores que se van a
reemplazar, haciéndolo tanto a interés simple como a interés compuesto.
3.2 OBJETIVO GENERAL
Evaluar en forma correcta las diferentes tasas de interés y equivalencias tratadas en las actividades financieras.
3.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Definir Tasa Interés nominal y sus características.
Definir Tasa Interés Efectiva y sus características.
Definir Tasas de Interés Equivalentes y su aplicabilidad en el campo financiero.
Determinarlas Ecuaciones de Valor y su aplicabilidad en las finanzas.
3.4 TEMA 1 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y TASA DE INTERÉS
EFECTIVA
¿QUÉ ES TASA DE INTERÉS NOMINAL?
Las instituciones financieras con fines prácticos, expresan el costo o rendimiento con tasas anuales, entonces las
tasas nominales se definen como las tasas anuales, con las cuales se indica cómo y cuándo se liquida el interés,
pero no corresponde a una tasa real.
La tasa nominal se acompaña de dos apelativos que identifican la frecuencia de capitalización en un año y como
se liquida el interés.
Se distingue con la siguiente nomenclatura:
51 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
PERIODO VENCIDO LECTURA ANTICIPADO LECTURA
MES MV Mes Vencido MA Mes Anticipado
BIMESTRE BV Bimestre
Vencido
BA Bimestre
Anticipado
TRIMESTRE TV Trimestre
Vencido
TA Trimestre
Anticipado
SEMESTRE SV Semestre
Vencido
SA Semestre
Anticipado
AÑO AV Año Vencido AA Año Anticipado
Nota 1: Si se pacta pagar el interés al culminar el mes, se denominará vencido.
Por lo tanto la tasa que nos ocupa se presentará con la letra P7, así:
P7 = 2!% .j
Se lee: “Veinticuatro por ciento, mes vencido”
Otra forma de expresarla: 24% nominal con capitalización mensual vencido.
Nota 2: Si se pacta pagar el interés al inicio del mes, es decir al momento de
entregar la suma prestada, se denominará anticipado.
Si la tasa se conviene anticipada, se escribirá así:
P7 = 2!% .â
52 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
Se lee: “Veinticuatro por ciento, mes anticipado”
Otra forma de expresarla: 24% nominal con capitalización mensual anticipada.
CARACTERÍSTICAS DE LA TASA NOMINAL
• Siempre será una tasa de interés anual,
• Se puede dividir por la frecuencia de capitalización para obtener la tasa periódica, o sea la que se liquida
en cada período del año.
• Sólo sirve para saber que tasa de interés periódico se va a liquidar.
TASA NOMINAL:
Es la tasa que se da normalmente para un año. La representaremos por P o P7 (tasa nominal) pero no
es aplicable directamente en la ecuación.
Nota: A la tasa nominal, siempre se le adicionan dos palabras que indican él número de liquidaciones de interés
(Número de veces que los intereses se capitalizan en un año: L).
3.4.1 EJERCICIO DE APRENDIZAJE
Decir 24% C T (Capitalizable o convertible trimestralmente).
Significa que la tasa para todo el año es el 24% nominal, pero cada 3 meses se liquidan los intereses por año.
Naturalmente, de lo expuesto anteriormente, se deduce que la tasa del período (un trimestre en este caso) es
iguala tasa del año (nominal) dividida por el número de períodos que hay en un año, esto es:
PK = n7JK3ér KxKwJPzM, Pk = n7JK3ér kK3íMOM,
P7 = n7JK3ér 7MLP74t,L = äúLK3M OK kK3íMOMr
53 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
PK = Pk =
P7
L
(2)
PK = Pk =
P7
L =
2!%
! = h% HxKwJPzM N3PLKrJ34t
La tasa que se cobra cada 3 meses es del 6% y esta última recibe el nombre de tasa efectiva para el trimestre.
7 = $: (Número total de períodos a que fue invertido el capital).
L = !: (Las veces que los intereses se suman al capital siendo n = 1 año), ya que el año tiene 4 trimestres.
Como la tasa efectiva del período es trimestral, n (tiempo) = 1 año se reduce a trimestres. (1 año = 4 trimestres),
ya que, para la solución de los problemas a interés compuesto, tanto la tasa del interés como el tiempo deben
estar reducidos a la misma base, entraremos a definir lo que es una tasa efectiva, de la siguiente manera:
TASA DE INTERÉS EFECTIVA:
Es la tasa para un período. La representaremos por P o Pk (es la que se utiliza en la fórmula anterior).
*(A): jx = jk ∗ $ + P 7
Además, como su nombre lo dice es la tasa que efectivamente se está pagando (Ahorros) o que efectivamente se
está cobrando (Créditos). Esto si suponemos que al final de cada período del pago de intereses, se reinvierte o se
presta el mismo capital, más los intereses que este generó.
CARACTERÍSTICAS DE LA TASA DE INTERÉS EFECTIVA
• Toda tasa de interés periódica es efectiva.
• No se puede dividir.
• Se mide dentro de un periodo de un año.
• Puede ser periódica o tasa de interés efectiva anual.
• Si no se especifica que la tasa de interés es efectiva, se debe suponer que es una tasa de interés nominal
y que partiendo de ésta se llegará a una efectiva.
54 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
Nota 1: Si la tasa es capitalizable, necesariamente se trata de una tasa nominal, ya que las efectivas no se
capitalizan, sino que son las que resultan al capitalizar las nominales.
Nota 2: El término capitalizable tiene que ver con los intereses causados por período que se le agregan al capital.
El periodo puede ser (diario-mensual-trimestral, semestral, anual).
3.4.2 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE:
1. Hallar el Monto o valor futuro de una inversión de $25.000 al 30% (Capitalizable o convertible semestralmente)
durante 3 años.
Procedimiento
a. Se halla la tasa efectiva que se usa en la fórmula.
Donde P7 = n7JK3ér 7MLP74t. L = äúLK3M OK kK3íMOMr: Número de veces que los
intereses se suman al capital en un año:
Aplicando la ecuación PK = Pk =
P7
L
y hallando el número total de períodos, se tiene que:
Como en un año hay 2 períodos, en 3 años habrá 6 períodos (n = 6).
Reemplazando en la fórmula se tiene:
PK = Pk =
P7
L =
&#%
2 = $+% HxKwJPzM áKLKrJ34t
El valor futuro es, por lo tanto:
jx7 = jk ∗ $ + P 7 → jxh = 2+. ### ∗ $ + #. $+ h →
jxh = $ +). d2h, +2
2. Hallar la tasa nominal capitalizada mensualmente, si hoy se invierte un capital de $30.000 y al cabo de 2 años
y 6 meses se triplicó.
Procedimiento
55 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
a. Recuerde que:
jx = jk ∗ ($ + P)7
â jx = $ "#.###
jk = $ &#. ###
PK =¿ ?
P7 =¿ ?
7 = 2 4ñMr • h LKrKr = &# LKrKr
b. Reemplazando los valores conocidos en â , se tiene que:
jx = jk ∗ ($ + P)7 → "#. ### = &#. ### ∗ ($ + P)&# =
$ + P &# =
"#. ###
&#. ### → $ + P
&# = & →
Sacando raíz 30 a ambos lados de la igualdad:
$ + P &#&# = &&# → $ + P = $. #&))2"" → P = $. #&))2"" − $ →
P = #. #&))2""
(Su tasa con período mensual, por cuanto el tiempo está dado en meses).
Por lo tanto: PK = &. )2"" KxKwJPzM 47s4t.
La tasa nominal está dada por:
PK =
P7
L → &. )2"" =
P7
$2 → P7 = $2×&. )2""
P7 = !!. )h% 47s4t, w4kPJ4tP54vtK LK7rs4tLK7JK
Nota: La fórmula del interés compuesto implica una tasa ordinaria, es decir, que el pago
56 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
de intereses se hace al final del período.
• Frecuencia de Capitalización (¶)
Es el número de veces (períodos) que en un año se me liquidan los intereses para sumarlos al capital (reinvertirlos).
3.4.3 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE
1. 24% nominal anual, liquidado anualmente:
• Ahora hallemos el valor futuro de $1.000.000 en un año:
jx = jk ($ + P)7 → jx = $. ###. ### ($ + #, 2!)$ → jx = $. 2!#. ###
}~ = $ 1.240.000
2. 24% nominal SV (semestre Vencido)
Se halla el valor futuro de $1.000.000 en un año:
jx = jk ($ + P)7 → jx = $. ###. ### ($ +
#, 2!
2 )
2 → jx = $. ###. ### ($ + #, $2)2
jx = $. ###. ### ($, $2)2 → jx = $. 2+!. !## → jx = $$. 2+!. !##
P7 =
2+!.!##
$.###.###
→ P7 = #, 2+! → P7 = 2+, !%
3. 24% TV (Trimestre Vencido)
Se halla el valor futuro de $1.000.000 en un año:
jx = jk ($ + P)7 → jx = $. ###. ### ($ +
#, 2!
! )
! → jx = $. ###. ### ($ + #, #h)!
jx = $. ###. ### ($, #h)! → jx = $. 2)h. !)+ → jx = $$. 2)h. !)+
P7 =
2)h. !)+
$. ###. ### → P7 = #, 2)h → P7 = 2), h%
57 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
4. 24% nominal liquidado mes vencido (MV)
Se halla el valor futuro de $1.000.000 en un año
jx = jk ($ + P)7 → jx = $. ###. ### ($+
#, 2!
$2 )
$2 → jx = $. ###. ### ($ + #, #2)$2
jx = $. ###. ### ($, #2)$2 → jx = $. 2hd. 2!2 → jx = $$. 2hd. 2!2
P7 =
2hd. 2!2
$. ###. ### → P7 = #, 2hd → P7 = 2h, d%
De las actividades anteriores se observa que:
1. Se tomó la tasa de interés nominal como frecuencia de que se liquidaría una tasa interés del
24%, pero ésta sólo sirvió para saber qué interés periódico se liquidaría en cada periodo,
dependiendo de la frecuencia de capitalización.
2. A mayor frecuencia de capitalización mayor van a ser los intereses, o sea mayor va a ser la
tasa de interés efectiva.
3. Partiendo de la tasa de interés nominal, se halla la efectiva periódica y la efectiva anual.
4. Para medir la rentabilidad de una inversión o el costo de un crédito, se toma como referencia
la tasa de interés efectiva.
5. Cuando la frecuencia de capitalización es anual, la tasa de interés nominal, periódica y
efectiva es igual en éste caso al 24%.
Nota: Ahora para no tener que hallar primero el valor futuro de un capital, despejar los intereses y dividirlo por
el valor presente y saber que tasa de interés efectiva se liquida, se utilizará la siguiente Expresión:
% Öß = 1 + ÖW)û − 1 ∗ 100
3.4.4 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO
1. Calcular el valor futuro de una inversión por $100.000.000 que se capitaliza instantáneamente a una tasa
del 15% anual durante 4 años.
2. Un pagaré de $ 15.000.00 se vence dentro de un mes. Calcule el valor presente al 9% compuesto
continuamente.
58 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
3. ¿A cuánto ascenderá un préstamo de 2.000.000 al cabo de un año si el interés del 26% capitaliza
mensualmente? ¿Cuál es la Tasa Efectiva Anual?
4. Determinar la tasa efectiva semestral, si se realiza una inversión de $ 20.000.000 durante 2 años:
• Si la tasa de interés es de 7% por trimestre,
• Calcular las tasas efectivas semestrales y anuales.
• Determinar las tasas nominales.
5. Una institución financiera publicita que su tasa de interés sobre préstamos que otorga es 1.86% mensual.
Determinar la tasa efectiva anual y el factor simple de capitalización para 12 años.
PISTAS DE APRENDIZAJE
Recuerde que:
a. Las Características de la Tasa Nominal son:
• Siempre será una tasa de interés anual,
• Se puede dividir por la frecuencia de capitalización para obtener la tasa periódica, o sea
la que se liquida en cada período del año.
• Sólo sirve para saber que tasa de interés periódico se va a liquidar.
b. Las Características de la Tasa de Interés Efectiva son:
• Toda tasa de interés periódica es efectiva.
• No se puede dividir.
• Se mide dentro de un periodo de un año.
• Puede ser periódica o tasa de interés efectiva anual.
• Si no se especifica que la tasa de interés es efectiva, se debe suponer que es una tasa de
interés nominal y que partiendo de ésta se llegará a una efectiva.
3.5 TEMA 2 TASAS DE INTERÉS EQUIVALENTES
TASAS DE INTERÉS EQUIVALENTES
Son aquellas que teniendo diferente convertibilidad producen el mismo monto al final de un año.
59 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
Lo anterior se comprueba partiendo del hecho, de que las dos tasas de interés son equivalentes, cuando un mismo
capital invertido con cada una de ellas, produce el mismo monto en igual tiempo.
En otras palabras, se puede decir que dos o más tasas son equivalentes cuando un capital invertido o liquidado, a
cada una de ellas nos da en el mismo lapso de tiempo el mismo valor futuro o monto, de acuerdo a lo visto
anteriormente, liquidan el mismo interés efectivo.
Nota: Nominal y periódicamente serán diferentes, pero al final del año será la misma tasa efectiva.
Ejemplo: Entonces se podrá decir que una tasa del 2% mensual será equivalente a una tasa del 26.82% efectiva.
2% A98 24,24 % Vu 24,48% S} 25,23% y} 26,82% ®©
26,82%
Por lo tanto, cualquier capital invertido a cada una de éstas tasas de interés da el mismo monto, como se dijo
anteriormente debe ser en igual lapso de tiempo.
Nota: Para hallar una tasa de interés que sea equivalente a otra conocida, basta con igualar los montos.
APLICACIONES
Aplicando el principio de “Tasas de Interés Equivalente”, se resuelven casos como los siguientes:
CONOCIDA HALLAR
a. La tasa nominal.
La tasa nominal equivalente.
b. La tasa efectiva anual.
La tasa nominal equivalente.
60 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
c. La tasa efectiva del período
(mensual, trimestral, semestral). La tasa efectiva.
d. La tasa efectiva del período
(mensual, trimestral). La efectiva semestral y a partir de
ésta hallar la efectiva anual.
Nota: Es conveniente distinguir los casos anteriores, por lo tanto, a continuación, se realizarán ejercicios de
aprendizaje que le permitirán asumir con propiedad tales diferencias.
3.5.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE
1. Hallar una tasa de interés anual con capitalización semestral, que sea equivalente al, 24% anual, capitalización
trimestral.
Procedimiento
Dados:
jx$ = jx2, wM7 7 = $4ñM, (De acuerdo al principio de tasas de interés equivalentes).
Utilizando la ecuación:
jx = jk ∗ $ + P 7 se tiene: jk ∗ $ +
P∗$
2
2
= jk ∗ $ +
#.2!
!
!
Simplificando jk y sacando la raíz cuadrada a ambos términos, queda:
$ +
P ∗ $
2 = $ +
#. 2!
!
2
→ $ +
P ∗ $
2 = $ + #. #h
2 →
$ +
P ∗ $
2 = $ + #. #h
2 → $ +
P ∗ $
2 = $. #h
2 →
$ +
P ∗ $
2 = $. $2&h → P = $. $2&h − $ ∗ 2 →
P = #. 2!)2 → P = 2!. )2% Anual, capitalización semestral.
A través de los siguientes casos se verificará la validez de lo anterior:
61 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
Un capital de $100.000 y un plazo de 2 años, hallar el monto en cada una de estas tasas:
a) Para 24.72 % anual con capitalización semestral.
jx$ = $##. ### $ + #, $2&h ! → jx$ = $##. ### $, $2&h ! →
jx$ = $##. ### $, +"&d!d#)+ → jx$ = $ $+". &d!, d$
b) Para 24% anual con capitalización trimestral.
jx2 = $##. ### $ + #, #h d → jx2 = $##. ### $, #h d →
jx2 = $##. ### $, +"&d!d#)+ → jx2 = $ $+". &d!, d$
Conclusión: Quiere decir, que es indiferente invertir al 24,72% anual con capitalización semestral o al 24% anual
con capitalización trimestral, ya que se obtiene el mismo resultado debido al principio de tasas equivalentes.
2. Hallar la tasa anual capitalizada mensualmente, que sea equivalente al 24% anual efectivo.
Procedimiento
Dadas las siguientes expresiones e igualándolas, se tiene que:
jx$ = jx2 → jk $ +
P ∗ $
$2
$∗$2
= jk ($ + #. 2!)$ → jk $ +
P ∗ $
$2
$2
= jk( $ + #. 2!)
jk $ +
P ∗ $
$2
$2
= jk( $. 2!)
Simplificando la jk y sacando RAIZ doce a ambos términos, queda:
$ +
P ∗ $
$2 = ($. 2!)
$
$2 → $ + P ∗ $$2 = $.#$d#$!h
Despejando P, se tiene:
P = $. #$d#$!h − $ ∗ $2 → P = #. #$d#$!h ∗ $2
62 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
P = #. 2$h$)+2 → P = 2$. h$% Anual capitalizable mensualmente
Nota 1: Cálculo de la tasa efectiva a partir de la tasa nominal anticipada:
P =
P4
$ − P4
Dónde: P4: N4r4 7MLP74t 47JPwPk4O4
P = N4r4 zK7wPO4
Nota 2: Tenga presente que, si la tasa de interés anticipada es mensual, al reemplazarla en la anterior expresión,
se obtiene la tasa de interés vencida mensual.
1. Una corporación cobra una tasa del 28% anual con capitalización trimestral anticipada, hallar la tasa efectiva
anual vencida.
Procedimiento
a. Se halla la tasa de interés trimestre anticipado:
P = 2d%
!
= )% Trimestre anticipado.
b. Se halla la tasa de interés trimestre vencido:
P =
P4
$ − P4
→ P =
#. #)
$ − #. #) → P =
#. #)
#. "&
P = #. #)+ → P = #. #)+ Trimestre vencido.
c. Se aplica el procedimiento ya conocido para las tasas vencidas:
63 INGENIERÍA ECONÓMICA
ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
Se Halla la Tasa Efectiva Anual a partir de la efectiva trimestral
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