RESOLUCION_PR1T

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RESOLUCIÓN DE LA PRÁCTICA 1
Maŕıa Penkova Vassileva
semestre mayo-julio, 2017
Problema 1. Aplicar el método de Euler (diferencias divididas) con tamaño de paso 0.1, 0.05 y 0.01 a
y′ = 3y + 3t, y(0) = 1, para aproximar la solución en t = 0.5 Analizar el error cometido al disminuir el tamaño de
paso si la solución exacta es: y(t) = 43e
3t − t− 13 .
RESOLUCIÓN:
Usando la aproximación de la derivada con la diferencias divididas transformamos la ecuación diferencial dada
como:
dy
dt
=
yi+1 − yi
ti+1 − ti
=
4
3
e3t − t− 1
3
⇔ yi+1 = yi + (3yi + 3ti)∆t
Creamos tablas en EXCEL: la primera columna contienen los valores de t y la siguiente columna representan los
valores calculados de yi+1. La primera tabla contiene los valores de yi+1 obtenidos con un paso de 0.1, la segunda
con el paso 0.05 y la tercera con paso 0.01. En el primer renglón se introducen las condiciones dados: cuando
t = 0.00, y = 1.00.
ti yi ti yi ti yi
0.0 1.0000 0.00 1.0000 0.0 1.0000
0.1 1.3000 0.05 1.1500 0.01 1.0300
0.2 1.7200 0.10 1.3300 0.02 1.0612
0.3 2.2960 0.15 1.5445 0.03 1.0936
0.4 3.0748 0.20 1.7987 0.04 1.1274
h=0.1 0.5 4.1172 h = 0.05 0.25 2.0985 h = 0.01 0.05 1.1624
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1.0 17.0478 1.00 20.4887 1.00 24.2915
Finalizando calculamos el error en el último paso utilizando la solución exacta dada:
yexacto(1.0) =
4
3
e3(1.0) − (1.0)− 1
3
= 25.4474.
Por lo tanto los errores absolutos relativos son:
• h= 0.1 err = 25.4474− 17.0478
25.4474
× 100% = 33.01%
• h= 0.05 err = 25.4474− 20.4887
25.4474
× 100% = 19.49%
• h= 0.01 err = 25.4474− 24.2915
25.4474
× 100% = 4.54%
Conclusión: En este problema aplicando un tamaño de paso menor obtenemos una disminución del error consid-
erable.
Problema 2 Aplicar el método de Euler (diferencias divididas) con tamaño de paso 0.1, 0.05 y 0.01 a y′ =
−ty, y(0) = 1, para aproximar la solución en t = (0.5). Analizar el error cometido al disminuir el tamaño de paso
y compáralo con el resultado obtenido si la solución exacta es y(t) = e−t
2/2.
RESOLUCIÓN:
Este problema es análogo del Problema 1. Usando la aproximación de la derivada con la diferencias divididas
transformamos la ecuación diferencial dada como:
dy
dt
=
yi+1 − yi
ti+1 − ti
= −tiyi ⇔ yi+1 = yi − tiyi∆t
Creamos tablas en EXCEL: la primera columna contienen los valores de t y la siguiente columna representan los
valores calculados de yi+1. La primera tabla contiene los valores de yi+1 obtenidos con un paso de 0.1, la segunda
con el paso 0.05 y la tercera con paso 0.01.
1
ti yi ti yi ti yi
0.0 1.0000 0.00 1.0000 0.0 1.0000
0.1 1.0000 0.05 1.0000 0.01 1.0000
h=0.1 0.2 0.9900 h = 0.05 0.10 0.9975 h = 0.01 0.02 0.9999
0.3 0.9702 0.15 0.9925 0.03 0.9997
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0.5 0.9035 0.50 0.8928 0.50 0.8845
Finalizando calculamos el error en el último paso utilizando la solución exacta dada:
yexacto(0.5) = −e−0.5
2/2 = 0.8825.
Por lo tanto los errores absolutos relativos son:
• h= 0.1 err = 0.8825− 0.9035
0.8825
× 100% = 2.37%
• h= 0.05 err = 0.8825− 0.8928
0.8825
× 100% = 1.17%
• h= 0.01 err = 0.8825− 0.8845
0.8825
× 100% = 0.23%
Conclusión: En este problema el valor del t para que buscamos la solución de y esta mas cerca del punto inicial
t = 0. Por lo tanto, el error obtenido aplicando un tamaño de paso es menor cuando el paso es menor, ademas de
que es menos que en el problema anterior.
Problema 3 Un grupo de 30 estudiantes asiste a clase en un salón que mide 10 m por 8 m por 3 m. Cada
estudiante ocupa alrededor de 0.075 m3 y genera cerca de 80 W de calor (1 W = 1 J/s). Calcule el incremento de
la temperatura del aire durante los primeros 15 minutos de la clase, si el salón está sellado y aislado por completo.
Suponga que la capacidad caloŕıfica del aire, Cv, es de 0.718 kJ/(kg K). Suponga que el aire es un gas ideal a 20
◦ C
y 101.325 kPa. Obsérvese que el calor absorbido por el aire Q está relacionado con la masa de aire m, la capacidad
caloŕıfica, y el cambio en la temperatura, por medio de la relación siguiente:
Q = m
∫ T2
T1
CvdT = mCv (T2 − T1)
La masa del aire se obtiene de la ley del gas ideal:
PV =
m
Mwt
RT
donde P es la presión del gas, V es el volumen de éste, Mwt es el peso molecular del gas (para el aire, 28.97
kg/kmol), y R es la constante del gas ideal [8.314 kPa m3/(kmol K)].
RESOLUCIÓN:
Para resolver este problema primero debemos calcular la masa del aire. Podemos calcularla de la segunda fórmula
m =
PVMwt
RT
Para estos fines necesitamos el volumen del aire que se obtiene de la manera siguiente:
Vsalón − Vestudiantes = (10× 8× 3)− (30× 0.075) = 240− 2.25 = 237.75m3
Como debemos utilizar la ley de gas ideal necesitamos que la temperatura sea en Kelvin: 20◦ = 273.15 + 20 =
293.15K. Luego, podemos calcular la masa del aire.
m =
PVMwt
RT1
=
(101.325× 103)× (237.75)× (28.77)
(8.314× 103)× (293.15)
= 286.34 kg
2
Para calcular el incremento de la temperatura en el salón de clases después de 15 minutos despejamos la diferencia
de la temperatura de la primera fórmula:
∆T = T2 − T1 =
Q
mCv
Para estos fines necesitamos calcular el calor absorbido por el aire Q que se obtiene multiplicando el calor generado
por un estudiante por el número de estudiantes: Q = 80× 30 = 240 W por segundo. Luego,
∆T =
Q
mCv
=
240
286.34× (0.718× 103)
= 0.00116735 ◦C
Este es el calor que se genera cada segundo. Para determinar el calor después de 15 minutos debemos multiplicar
el valor obtenido por el tiempo transcurrido: 15 minutos = 900 s. Finalmente obtenemos que la temperatura va a
aumentar con 0.00116735× 900 = 1.05◦C.
Problema 4 Para el paracaidista en cáıda libre con arrastre lineal, suponga un primer saltador de 70 kg con
coeficiente de arrastre de 12 kg/s. Si un segundo saltador tiene un coeficiente de arrastre de 15 kg/s y una masa
de 75 kg, ¿cuánto tiempo le tomará alcanzar la misma velocidad que el primero adquiera en 10 s?
RESOLUCIÓN:
Para la resolución este problema primero se debe buscar la velocidad que adquiere el primer saltador en 10 s y
después buscar que tiempo le va a tomar al segundo saltados para adquirir la misma velocidad. Utilizamos la
frmula dada en la Lección 1 de la Unidad 1:
vi+1 = vi +
(
g − c
m
vi
)
∆t
Se define un ∆t que se utilizara para cada caso, por ejemplo ∆t = 0.5 s. Para el primer saltador tenemos
vi+1 = vi +
(
9.81− 12
70
vi
)
(0.5)
y para el segundo saltador
vi+1 = vi +
(
9.81− 15
75
vi
)
(0.5)
Las condiciones iniciales son los del problema dado en la Lección 1 de la Unidad 1: en t = 0 s, v = 0 m/s.
Presentamos los resultados en la tabla en continuación:
ti vi ti vi
0.0 0.0000 0.0 0.0000
0.5 4.9050 0.5 4.9050
1.0 9.3896 1.0 9.3195
· · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · ·
10.0 47.6921 17.0 47.6858
Resultados son obtenidos usando una hoja de EXCEL y muestran que después de aproximadamente 17 s el segundo
saltador obtendrá una velocidad aproximadamente igual a la velocidad del primer saltador. Para obtener mejor
aproximación podemos disminuir el paso y calcular de nuevo.
Problema 5 Obtener los primeros 5 términos de la serie de Taylor para f(x) centrada en el punto a dado.
RESOLUCIÓN:
1. f(x) =
1
x− 1
, a = −2 Usando MATLAB obtenemos:
>> syms x
>> y = 1/(x - 1);
>> T = taylor(y, x, -2, ’Order’, 5);
T = −x/9− (x+ 2)2/27− (x+ 2)3/81− (x+ 2)4/243− 5/9
3
2. f(x) = ln(x3), a = 1
>> syms x
>> y = log(x3);
>> T = taylor(y, x, 1, ’Order’, 5);
T = 3 ∗ x− (3 ∗ (x− 1)2)/2 + (x− 1)3 − (3 ∗ (x− 1)4)/4− 3
3. f(x) = sin(x), a =
π
6
>> syms x
>> y = sin(x);
>> T = taylor(y, x, pi/6, ’Order’, 5);
T = 31/2 ∗ (π/6− x)3/12− (π/6− x)2/4 + (π/6− x)4/48− 31/2 ∗ (π/6− x)/2 + 1/2
Problema 6 Para f(x) = arccos(x).
RESOLUCIÓN:
a). Escribir el polinomio de Mclaurin P3(x) para f(x).
P3(x) = −
x3
6
− x+π
2
b). Completar la siguiente tabla para P3(x) y para f(x) (Utilizar radianes). Como tenemos la función podemos
calcular el error relativo porcentual:
ε =
∣∣∣∣Valor verdadero−Valor aproximadoValor verdadero
∣∣∣∣ · 100
x -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75
f(x) 2.4189 2.0944 1.8235 1.5708 1.3181 1.0472 0.7227
P3(x) 2.3911 2.0916 1.8234 1.5708 1.3182 1.0500 0.7505
ε, % 1.15 0.13 0.004 0 0.006 0.26 3.84
c). Dibujar sus gráficas (de f(x) y P3(x)) en los mismos ejes coordenados.
Notar que la el error se acerca a cero cuando más cerca estamos al punto x = 0 que es el punto alrededor de que
esta desarrollada la serie. Los errores aumentan alejándose del punto del desarrollo de la serie.
4