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AUTOEVALUACIÓN DE CÁLCULO I - SOLUCIONES
Para Grados en Ingenieŕıa
Caṕıtulo 4: Integración en una variable
Domingo Pestana Galván
José Manuel Rodŕıguez Garćıa
—————
Soluciones del Examen de Autoevaluación - Caṕıtulo 4
PROBLEMA 1. Calcular el siguiente ĺımite expresándolo como una integral:
ĺım
n→∞
[
1
n+ 1
+
1
n+ 2
+ · · ·+ 1
n+ n
]
.
Solución: Usando la definición de integral de Riemann, tenemos que:
ĺım
n→∞
[
1
n+ 1
+
1
n+ 2
+ · · ·+ 1
n+ n
]
= ĺım
n→∞
1
n
 1
1 +
1
n
+
1
1 +
2
n
+ · · ·+ 1
1 +
n
n

=
∫ 1
0
1
1 + x
dx =
[
log |1 + x|
]x=1
x=0
= log 2 .
PROBLEMA 2. Calcular las siguientes integrales
a)
∫
dx
3 +
√
2x+ 5
b)
∫
cos3 x sen 2x dx c)
∫ e2
1
x log2 x dx
Solución:
a) Haciendo el cambio de variable t =
√
2x+ 5 tenemos que t2 = 2x+ 5, luego t dt = dx, por
lo que ∫
dx
3 +
√
2x+ 5
=
∫
t
t+ 3
dt =
∫ (
1− 3
t+ 3
)
dt = t− 3 log |t+ 3|+ c
=
√
2x+ 5− 3 log
∣∣√2x+ 5 + 3∣∣+ c .
b) Haciendo el cambio de variable t = senx, tenemos dt = cosx dx, con lo que∫
cos3 x sen 2x dx =
∫
cos2 x sen 2x cosx dx
=
∫
t2(1− t2) dt = t
3
3
− t
5
5
+ c =
sen3x
3
− sen
5x
5
+ c .
c) Integrando por partes y poniendo u = log2 x, dv = x dx, tenemos du = 2 log x (1/x) dx,
v = x2/2, con lo que∫ e2
1
x log2 x dx =
[x2
2
log2 x
]x=e2
x=1
−
∫ e2
1
x2
2
2 log x
1
x
dx = 2e4 −
∫ e2
1
x log x dx . (1)
Integrando de nuevo por partes con u = log x, dv = x dx, tenemos du = dx/x, v = x2/2,
con lo que∫ e2
1
x log2 x dx = 2e4 −
[x2
2
log x
]x=e2
x=1
+
∫ e2
1
x2
2
1
x
dx
= 2e4 − e4 +
∫ e2
1
x
2
dx = e4 +
[x2
4
]x=e2
x=1
= e4 +
e4
4
− 1
4
=
5e4 − 1
4
.
PROBLEMA 3. Calcular el siguiente ĺımite
ĺım
x→0
cosx
∫ x
0
sen t3 dt
x4
.
Solución: Usando el Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal y la Regla de L’Hopital,
tenemos que:
ĺım
x→0
cosx
∫ x
0
sen t3 dt
x4
= ĺım
x→0
cosx ĺım
x→0
∫ x
0
sen t3 dt
x4
= ĺım
x→0
senx3
4x3
=
1
4
,
donde hemos usado el bien conocido ĺımite: ĺımt→0(sen t)/t = 1.
PROBLEMA 4. Encontrar la función f(x) que satisface la relación∫ x
0
f(t) dt =
∫ 1
x
t f(t) dt+
x2
2
− arctanx+ C .
Solución: Derivando ambos miembros de la relación y usando el Teorema Fundamental del
Cálculo Infinitesimal obtenemos que:
f(x) = −x f(x) + x− 1
1 + x2
=⇒ (1 + x) f(x) = x
3 + x− 1
1 + x2
=⇒ f(x) = x
3 + x− 1
(1 + x)(1 + x2)
.
PROBLEMA 5. Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al girar alrededor del
eje OY el recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = x, g(x) = x2.
Solución: El sólido de revolución se obtiene al extraer el volumen engendrado por la gráfica de
g(x) = x2 del volumen engendrado por la gráfica de f(x) = x al girar alrededor del eje OY. Por
lo tanto,
V = 2π
∫ 1
0
x(x− x2) dx = 2π
∫ 1
0
(x2 − x3) dx = 2π
[x3
3
− x
4
4
]x=1
x=0
= 2π
(1
3
− 1
4
)
=
π
6
.