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Integración por partes 434
En particular, sifxng ! 0 se verificará que:
lKım
n!1
o.xn/
x3n
D 0: (8.28)
Usando la igualdad (8.27), deducimos que:
log
an
anC1
D
�
nC 1
2
��
1
n
� 1
2n2
C 1
3n3
C o.n�3/
�
� 1D
D 1
12n2
C 1
6n3
C no.n�3/C 1
2
o.n�3/D 1
12n2
C o.n�2/:
Teniendo en cuenta (8.28), deducimos que:
lKım
n!1
n2 log
an
anC1
D 1
12
C lKım
n!1
o.n�2/
n�2
D 1
12
:
Por tanto, existe unn02N tal que para todok > n0 se verifica que:
0 < k2 log
ak
akC1
<
2
12
D 1
6
÷ 0 < log
ak
akC1
<
1
6k2
:
Sumando estas desigualdades desdek D n0 hastak D n � 1 > n0 obtenemos que:
log.an0/ � log.an/D
n�1X
kDn0
log
ak
akC1
<
1
6
n�1X
kDn0
1
k2
6
1
6
n�1X
kD1
1
k2
:
La sucesión
nX
kD1
1
k2
está mayorada porque:
1 � 1
n
D
nw
1
1
x2
dx D
n�1X
kD1
kC1w
k
1
x2
dx >
n�1X
kD1
1
.k C 1/2 :
De donde se sigue que
nX
kD1
1
k2
6 2. En consecuencia:
log.an/ > log.an0/ �
1
3
÷ an >
an0
3
p
e
:
El número
an0
3
p
e
es una constante positiva independiente den, y esta desigualdad es válida para
todon > n0. Por otra parte, teniendo en cuenta que parak > n0 se tiene que:
0 < log
ak
akC1
D log.ak/ � log.akC1/
lo que nos dice que la sucesiónflog.anCn0/g es decreciente y, por tanto, también es decreciente
la sucesiónfanCn0g, concluimos que esta sucesión, y por tanto tambiénfang, converge a un
número positivo. �
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 435
8.6.5. Ejercicios propuestos
390. Calcula las integrales:
2w
1
logx dx ;
w
s2 e2s ds ;
w
arc senx dx ;
4w
1
p
t log t dt ;
ew
1
.logx/2 dx
w
x3ex
2
dx ;
w
log.x2 C 1/dx ;
�=4w
0
#
cos2 #
d#;
w
x2 senx dx ;
ew
1
cos2.logx/dx
En los ejercicios de cálculo de primitivas es una buena práctica comprobar los resultados.
Además es muy sencillo: basta derivar la primitiva que has obtenido.
391. Calcula las primitivas
w
eax cos.bx/dx ; y
w
eax sen.bx/dx . Supuesto quea > 0,
calcula el valor de las integrales
C1w
0
e�ax cos.bx/dx y
C1w
0
e�ax sen.bx/dx .
392. Explica la aparente contradicción
w 1
senx cosx
dx D
w cotgx
cos2x
dx D
w
cotgx tg 0x dx D cotgx tgx �
w
tgx cotg 0x dx
D 1C
w tgx
sen2x
dx D 1C
w 1
senx cosx
dx :
393. Calcula, haciendo uso de los resultados anteriores, las integrales
w
.logx/3 dx ;
w
x4 ex dx ;
�=2w
0
sen4 x dx ;
w
sen5 x dx
393. Prueba las siguientes relaciones de recurrencia
a)In D
w
cosn x dx D 1
n
�
cosn�1 x senx C .n � 1/In�2
�
:
b) In D
w
tgn x dx D 1
n� 1 tg
n�1 x � In�2:
394. Prueba la igualdad:
In D
w 1
.1C x2/n dx D
x
.2n� 2/.1C x2/n�1 C
2n � 3
2n � 2In�1 (8.29)
Sugerencias:In D
w .1C x2/ � x2
.1C x2/n dx D In�1 �
w x2
.1C x2/n dx . Ahora:
w x2
.1C x2/n dx D
2
4
uD x ! du D dx
dv D x
.1C x2/n dx ! v D
1
2.n� 1/
1
.1C x2/n�1
3
5D � � �
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Cálculo diferencial e integral
Integración por sustitución o cambio de variable 436
395. Estudia la convergencia de la integral
In D
C1w
0
x2n�1
.1C x2/.nC3/
dx .n > 1/
Prueba que paran > 2 esIn D
n� 1
nC 2In�1. CalculaI1, I2 eI3.
8.6.6. Integración por sustitución o cambio de variable
Seang W J ! R una función con derivada primera continua en un intervaloJ y que toma
valores en un intervaloI , y f una función continua enI . SeaF una primitiva def en I ,
y pongamosH D F ı g. Tenemos, por la regla de la cadena, queH 0.t/ D F 0.g.t//g 0.t/ D
f .g.t//g 0.t/, es decir, la funciónH es una primitiva enJ de la funciónh.t/D f .g.t//g 0.t/.
Si c, d son puntos deJ , deducimos que:
dw
c
f .g.t//g 0.t/dt DH.d/ �H.c/D F.g.d// � F.g.c//D
g.d/w
g.c/
f .x/dx
Esta igualdad se conoce con el nombre de“fórmula de integración por sustitución o cambio
de variable”. En ella se supone que queremos calcular, por ejemplo, la integral
r b
a f .x/dx y
lo que hacemos es la sustituciónx D g.t/, con lo que dx D g 0.t/dt y se eligenc y d por
la condición de queg.c/ D a, g.d/ D b. Naturalmente, esto tiene interés cuando la función
f .g.t//g 0.t/ es más fácil de integrar que la funciónf . Simbólicamente este proceso suele
representarse en la forma:
bw
a
f .x/dx D
"
x D g.t/; dx D g 0.t/dt
aD g.c/; b D g.d/
#
D
dw
c
f .g.t//g 0.t/dt (8.30)
Para el caso de integrales indefinidas este proceso de sustitución de representa de forma menos
precisa y se escribe simplemente
w
f .x/dx D
"
x D g.t/
dx D g 0.t/dt
#
D
w
f .g.t//g 0.t/dt
En este contexto, es frecuente calcular
r
f .g.t//g 0.t/dt DH.t/, y escribir
r
f .x/dx DH.t/,
igualdad que no tiene mucho sentido si no se especifica también la relación entre las variables
t y x, escribiendo “
r
f .x/dx DH.t/ dondexDg.t/”. Desde luego, el conocimiento deH.t/
y de la relaciónx D g.t/ es suficiente para calcular integrales definidas def , pero también
podemos“deshacer el cambio”para obtener una primitiva def . Para eso la funcióng debe
ser una biyección deJ sobreI con derivada no nula. En tal caso, la funciónF.x/DH.g�1.x//
es una primitiva def enI . En efecto:
F 0.x/DH 0.g�1.x//.g�1/ 0.x/D f .g.g�1.x///g 0.g�1.x//.g�1/ 0.x/D
D f .x/g 0.g�1.x// 1
g 0.g�1.x//
D f .x/:
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