teoria de la recta numerica

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Caṕıtulo 1
Recta numérica
La recta numérica es un objeto matemático que formaliza la cinta de medir
o las reglas.
En una recta ilimitada se elige un punto O que se llama origen y una
unidad, es decir decimos que el segmento OU mide 1. También se incluye
una flecha que indica el sentido de crecimiento, como se indica en la figura
1.1:
O U
Figura 1.1
En la figura 1.2, “desboblamos” la recta en una recta geométrica, donde
hay puntos, y una recta numérica donde ubicaremos los números. Al punto
O haremos corresponder el número 0, al punto U haremos corresponder el
número 1 puesto que, al elegir OU como unidad, ese segmento medirá 1.
Si tomamos V a la derecha de U de manera que el segmento UV mida lo
mismo que el segmento OU, entonces al punto V corresponderá el número
2.
Tomamos cualquier punto A a la derecha del origen O en la recta geomé-
trica y le hacemos corresponder el número a en la recta numérica. Esto
significa que el segmento OA mide a cuando tomamos OU como unidad.
O U V AB W
recta geométrica
recta numérica
0 1 2 a−2 w
Figura 1.2
1
2 CAPÍTULO 1. RECTA NUMÉRICA
Tomemos ahora B el punto sobre la recta geométrica simétrico al punto
V con respecto al origen. Entonces el segmento BO mide 2 unidades. El
número que asociamos a B es −2.
Para un punto W que se encuentra a la izquierda de O, asignamos un
número negativo w. Por lo tanto el segmento OW mide −w. De esta manera
asociamos a cada punto sobre la recta un número.
Definición 1.1: Números reales
Llamamos número real a todos los números que se obtienen de esta
manera.
A los puntos situados a la derecha de O se asignan números posi-
tivos, a los puntos situados a la izquierda de O se asignan números
negativos.
Señalemos de nuevo que en la recta hay dos puntos especiales:
• O al que asignamos el número 0;
• U al que asignamos el número 1.
Dada una longitud ℓ, hay dos puntos A y A′ en la recta de manera que los
segmentos OA y OA′ tienen longitud ℓ : Ellos están situados simétricamente
con respecto al origen sobre la recta numérica. En la figura 1.3 hemos puesto
ejemplos de esta situación
O AA′ B′B
0 1−1 3−3
Figura 1.3
Ejemplo 1.1
Si al punto P le corresponde el número 2 y ℓ = 3, encontrar los puntos X
sobre la recta para los cuales el segmento PX mide 2.
Solución ◮
Comenzamos analizando la situación en la figura 1.4
3
O U P
10 2
Figura 1.4
Hay dos puntos sobre la recta que cumplen con esta condición: uno a la
derecha de P y uno a la izquierda. Para obtener el punto a la derecha debe-
mos movernos 3 unidades a la derecha, y de manera semejante, para obtener
el que está a la izquierda debemos movernos 3 unidades a la izquierda:
O SR P
2
10
Figura 1.5
Las soluciones son los puntosR y S a los que corresponden,respectivamente,
los números −1 y 5. ◭
En la recta numérica se interpretan las propiedades y las operaciones de
los números.
Ejemplo 1.2
Si al punto A le corresponde el número 2 y B está situado a la izquierda de
A, ¿qué número le corresponde a B si la longitud del segmento AB es 3?
Solución ◮
Podemos referirnos solamente a la figura 1.6: Ubicamos el punto A y después
contamos 3 unidades a la izquierda para localizar a B
0 A ≡ 2B ≡ b
Figura 1.6
Obtenemos que
b = −1.
◭
4 CAPÍTULO 1. RECTA NUMÉRICA
1.1 Orden en la recta númerica
La recta numérica está orientada a la recta. En lo que hemos hecho vamos
de izquierda a derecha, y representamos esto por la flecha de crecimiento.
Esto significa que si a es un número en la recta que se encuentra a la derecha
de b, entonces b es má chico que a. Veamos qué sucede cuando los puntos
están a la derecha del origen y A está a la derecha de B.
BO
0
A
b a
Figura 1.7
Por lo que dijimos anteriormente, a mide la longitud del segmento OA
mientras que b mide la longitud del segmento OB. Como el segmento OB
está inclúıdo (contenido) en el segmento OA, b es menor que a y escribimos
b < a.
• A todo punto a la izquierda del origen le corresponde un número
negativo.
• Todo número negativo es menor que todo número positivo.
Cuando A está a la derecha de B y ambos a la izquierda del origen, la
situación es la siguiente,
A O
0
B
ab
A′ B′
a′ b′
Figura 1.8
Tomemos A′ y B′ los simétricos con respecto al origen de A y B respectiva-
mente. Entonces
a′ = −a y b′ = −b
1.2. SUMA GEOMÉTRICA DE NÚMEROS REALES 5
y ahora B′ está a la derecha de A′. Por lo tanto b < a equivale a que
−a′ < −b′.
Observemos que si A′ es el simétrico de A, con respecto al origen, igual-
mente se tiene que A es el simétrico de A′ con respecto al origen. Usando las
notaciones de la figura 1.8, tenemos que a′ = −a y a = −a′ es decir
a = −(a′) = −(−a).
Propiedades del orden
Con lo que hemos construido hasta el momento tenemos las siguientes propiedades
del orden;
• Todo número distinto de 0 o bien es positivo o bien es negativo;
• si a < b y b < c entonces a < c.
Más adelante veremos cómo se comporta el orden con respecto a las opera-
ciones.
Para no tener que hacer cada vez la observación si A está a la derecha o a
la izquierda del origen para calcular la longitud del segmento OA definimos
Definición 1.2: Valor absoluto
El valor absoluto de un número a se escribe |a| y se calcula mediante
la regla
|a| =



a si a > 0
0 si a = 0
−a si a < 0
Por lo tanto el segmento que une A con O tiene longitud (o magnitud)
|a|. Denotamos por |OA| a la longitud del segmento OA. Observemos que
OA = AO
1.2 Suma geométrica de números reales
Tomamos dos puntos sobre la recta numérica A y B a la derecha del origen,
es decir los números a y b son positivos. Nos proponemos definir a+ b.
6 CAPÍTULO 1. RECTA NUMÉRICA
O
0
A B
a b
Figura 1.9
Lo que hacemos es “deslizar” el segmento OA hasta que el extremo
izquierdo coincida con B. El extremo derecho, que llamamos C, es tal que
la magnitid del segmento OC es igual a a+ b,
|OC| = |OB|+ |BC| = |OB|+ |OA|.
O
0
A B
a b
C
a+ b
Figura 1.10
Cuando queremos sumar cualquier par de números debemos tener en cuenta
la orientación. Si A está a la izquierda de O entonces el número a que
corresponde a A es negativo (a < 0).
Interpretamos lo que hicimos para la suma de la manera siguiente:
Pusimos
−→
OA a continuación de
−−→
OB.
Si A está a la izquierda de B y ambos a la izquierda de O, la situación se
ve en las figuras 1.10 y 1.11
A
a
B O
b 0
C
Figura 1.11
y hacemos lo mismo que antes, es decir “deslizamos” el segmento OA a hasta
que el extremo izquierdo coincida con B y aśı obtenemos un punto C a la
izquierda de B de manera que |CB| = |OA| y
|OC| = |OB|+ |BC| = |OB|+ |OA|,
1.2. SUMA GEOMÉTRICA DE NÚMEROS REALES 7
A
a
BC O
b 0a+ b
BC O
b 0a+ b
Figura 1.12
Ejemplo 1.3
Encontrar de manera geométrica la suma de −3 con 2.
Solución ◮
Comencemos con la figura 1.13
A
a
B O
b 0
Figura 1.13
Ponemos
−→
OA a continuación de
−−→
OB
A
2
B O
−3 0
Figura 1.14
Por lo tanto, geométricamente hemos llegado a que
(−3) + 2 = −1
Tomamos dos puntos sobre la recta numérica A y B con A a la izquierda
de B (es decir el número a es más chico que el número b) el segmento que une
a con b mide a − b sin importar dónde está situado el origen con respecto
a esos puntos.
8 CAPÍTULO 1. RECTA NUMÉRICA
ab
Figura 1.15
El lector se puede entretener viendo esto ubicando el origen en todas las
posibles posiciones (hay 5).
Si a es más chico que b, es decir cuando a se localiza a la izquierda de
b, el segmento que los une mide b− a. Usando la definición 1.2, la longitud
del segmento que une los puntos a y b de la recta numérica es |a− b|.
Esto permite resolver el ejemplo 1.3 de manera puramente algebraica:
Tenemos que a = 2. Como el punto B se encuentra a la izquierda de A
entonces la longitud del segmento está dada por a−b. Obtenemos la ecuación
3 = a− b = 2− b.
Al resolverla obtenemos que
b = 2− 3 = −1.
Ejercicios
Resuelva los siguientes ejercicios geométrica y algebraicamente.
1. Si al punto A le correspondeel número 1 y B está situado a la derecha
de A, ¿qué número le corresponde a B si la longitud del segmento AB
es 4?
2. Si al punto A le corresponde el número−1 y B está situado a la derecha
de A, ¿qué número le corresponde a B si la longitud del segmento AB
es 5?
3. Si al punto A le corresponde el número −1 y B está situado a la
izquierda de A, ¿qué número le corresponde a B si la longitud del
segmento AB es 2?
4. Si al punto A le corresponde el número−2 y B está situado a la derecha
de A, ¿qué número le corresponde a B si la longitud del segmento AB
es 2?
1.2. SUMA GEOMÉTRICA DE NÚMEROS REALES 9
En lo que sigue identificaremos el punto geométrico con el número
que asignamos. Esta es la versión geométrica de los números. Se dice
geométrica porque hemos asignado a cada punto de la recta, que es un
objeto geométrico, un número.
Vale la pena recordar las propiedades algebraicas de los números. Estas
propiedades aparecerán múltiples veces en lo que sigue:
Propiedades de la suma de números reales
• La suma es conmutativa. Dados dos números reales a y b siempre
se tiene que
a+ b = b+ a
• La suma es asociativa. Dados tres números reales a, b y c siempre
se tiene que
(a+ b) + c = a+ (b+ c).
Notemos que la suma se define entre dos números. La asociatividad
nos permite no tener que especificar cuáles de las posibles sumas se
hacen primero.
• Existencia de elemento neutro para la suma. Dado un número
real a siempre se tiene que
a+ 0 = 0 + a = a.
Notemos que 0 es la longitud de un “segmento” que se reduce a un
punto (es decir, un segmento que tiene el mismo extremo izquierdo y
extremo derecho).
• Existencia de un inverso aditivo. Dado un número real a existe
un único número real b que hace que
a+ b = 0.
Notemos que cuando tenemos un número real ubicado en la recta
numérica, el inverso aditivo es el número sobre la recta simétrico
con respecto al origen. El inverso aditivo de a se denota por −a
10 CAPÍTULO 1. RECTA NUMÉRICA
0 a−a
0 −bb
Figura 1.5
1.3 Multiplicación geométrica de dos números
Dados dos números reales positivos a y b de manera natural su producto ab es
el área del rectángulo de lados a y b. Si queremos un número que represente
el producto, la manera de conseguirlo es obteniendo un rectángulo de lado
1 con área ab. Con esto en mente, consideremos el rectángulo ABCD de
la figura 1.6. Sobre la diagonal AC tomamos un punto P y trazamos el
segmento RR′ que es perpendicular al segmento QQ′.
A
B
C
D
P
Q′Q
R
R′
Figura 1.6
Veamos que los rectángulos QBR′P y RPQ′C tienen la misma área. Los
triángulos determinados por una diagonal de un rectángulo son congruentes
y tienen la misma área. Esto nos dice que el área del triángulo ABD es igual
a la del triángulo ACD. También lo son las de los triángulos AQP y ARP
y las de los triángulos PR′D y PQ′D. Como el área del triángiulo ABD
se descompone como la suma del área del triángulo AQP, la del triángulo
PR′D y la del rectángulo QBR′P y la del triángulo ADC se descompone
omo la suma del área del triángulo APR, la del triángulo PDQ′ y la del
rectángulo RPQ′C, conclúımos que, en efecto, los rectángulos QBR′P y
RPQ′C tienen la misma área.
1.3. MULTIPLICACIÓN GEOMÉTRICA DE DOS NÚMEROS 11
Si el segmento QB mide a, el segmento QP mide b y el segmento AQ mide
1, y RC midde C, entonces el área del rectángulo QBR′P es ab(unidades
cuadradas) y la del rectángulo RPQ′C es c = c · 1 (unidades cuadradas).
A
a
1 1
B
b
C
D
P
Q′Q
R
R′
c
Figura 1.7
Propiedades del producto de números reales
El producto entre número real fijo tiene que ver con la noción de propor-
cionalidad y para su interpretación gemétrica requerimos usar el plano
cartesiano y la abordaremos más adelante.
• El producto es conmutativo. Dados dos números reales a y b
siempre se tiene que
ab = ba
• El producto es asociativo. Dados tres números reales a, b y c
siempre se tiene que
(ab)c = a(bc).
Al igual que la suma, el producto se define entre dos números y, de
nuevo, la asociatividad nos permite no tener que especificar cuáles de
los posibles productos se efectúan primero.
• Existencia de elemento neutro para el producto. Dado un
número real a siempre se tiene que
a1 = 1a = a
12 CAPÍTULO 1. RECTA NUMÉRICA
• Existencia de un inverso multiplicativo. Dado un número real a
no nulo (esto se escribe: a 6= 0) existe un único número real b que
hace que
ab = 1.
El inverso aditivo de a se denota por
1
a
o bien a−1
Propiedad que vincula la suma y el producto de
números
• La suma distribuye con respecto al producto. Dados tres números
reales a, b y c siempre se tiene que
(a+ b)c = ac+ bc.
También
a(b+ c) = ab+ ac.
Hacemos expĺıcita esta última propiedad,aunque se puede derivar de
la primera, debido a la conmutatividad de la suma y del producto
Propiedades que relacionan el orden y las opera-
ciones
• Si a > 0 y b > 0 entonces
a+ b > 0
• Si a > 0 y b > 0 entonces
ab > 0
• Si a < 0 y b < 0 entonces
ab > 0
Veamos que, a partir de estas propiedades, podemos concluir otras propiedades
de las operaciones de los números. Las deducciones que siguen tienen por
objetivo dar una idea de la manera como funciona un sistema deductivo.
Ejemplo 1.4
Para todo número real a,
1.3. MULTIPLICACIÓN GEOMÉTRICA DE DOS NÚMEROS 13
a0 = 0.
Solución ◮
Como 0 + 0 = 0 Entonces
a0 = a(0 + 0)
Por la distributividad del producto con respecto a la suma
a(0 + 0) = a0 + a0.
Por lo tanto
a0 = a(0 + 0)
= a0 + a0.
Sumamos a ambos lados de la igualdad el inverso aditivo de a0 y obtenemos
0 = a0 + (−a0)
= (a0 + a0) + (−a0)
= a0 + (a0 + (−a0))
= a0.
Cuando juntamos las igualdades anteriores, obtenemos
0 = a0.
◭
Ejemplo 1.5
Si ab = 0 y a 6= 0 entonces b = 0.
Solución ◮
Como a 6= 0, a tiene inverso multiplicativo. Entonces
a−1(ab) = a−1(0) (∗)
Por la asociatividad del producto a−1(ab) = (a−1a)b y por la propiedad que
define el inverso, (a−1a)b = 1(b) = b. Hemos mostrado que el lado izquierdo
de (*) es igual a b. Ya vimos que el lado derecho es igual a 0. por lo tanto
b = 0. ◭
14 CAPÍTULO 1. RECTA NUMÉRICA
Propiedades del Valor Absoluto
• Si a = 0 entonces |a| = 0. Además si |a| = 0 entonces a = 0.
• Desigualdad del triángulo
|a+ b| ≤ |a|+ |b|.
Además
|a+ b| = |a|+ |b|
significa que a y b tienen el mismo signo.
• El valor absoluto se comporta de manera más simple con el producto:
|ab| = |a| |b|.
Otras propiedades de los números reales.
• −a = (−1)a.
• Si a 6= 0 entonces a2 > 0.
• |a|2 = a2.
	Recta numérica
	Orden en la recta númerica
	Suma geométrica de números reales
	Multiplicación geométrica de dos números