Mecánica_Para_Ingeniería_Dinámica_5ta_Edicion_Anthony_Bedford,_Wallace

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Mecánica para ingeniería
D I N Á M I C A
QUINTA EDICIÓN
Anthony Bedford • Wallace Fowler
University of Texas at Austin
Alex Elías Zúñiga
Departamento de Ingeniería Mecánica 
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, Campus Monterrey
Miguel Ángel Ríos Sánchez
Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, Campus Estado de México
TRADUCCIÓN
Jesús Elmer Murrieta Murrieta
Maestro en Investigación de Operaciones
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, Campus Morelos
REVISIÓN TÉCNICA
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Authorized translation from the English language edition, entitled Engineering mechanics: Dynamics, 5th edition by Anthony Bedford and Wallace T.
Fowler, published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall. Copyright © 2008. All rights reserved. 
ISBN 0136129161
Traducción autorizada de la edición en idioma inglés titulada Engineering mechanics: Dinamics 5th edition por Anthony Bedford y Wallace T. Fowler,
publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall. Copyright © 2008. Todos los derechos reservados.
Esta edición en español es la única autorizada.
Edición en español
Editor: Luis Miguel Cruz Castillo
e-mail: luis.cruz@pearsoned.com 
Editor de desarrollo: Bernardino Gutiérrez Hernández
Supervisor de producción: Rodrigo Romero Villalobos
Edición en inglés
Datos de catalogación bibliográfica
BEDFORD, ANTHONY; FOWLER, WALLACE T. 
Mecánica para ingeniería. Dinámica
Quinta edición
�����������PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008
ISBN: 978-970-26-1278-0
Área: Ingeniería
Formato: 20 � 25.5 cm Páginas: 672
Vice President and Editorial Director, ECS: Marcia J. Horton
Acquisitions Editor: Tacy Quinn
Associate Editor: Dee Bernhard
Managing Editor: Scott Disanno
Media Editor: David Alick
Marketing Manager: Tim Galligan
Production Editor: Craig Little
Media Project Manager: Rich Barnes
Director of Creative Services: Paul Belfanti
Creative Director: Juan Lopez
Art Director: Jonathan Boylan
Interior Designer: Kenny Beck
Cover Designer: Jonathan Boylan
Art Editor: Xiaohong Zhu
Manufacturing Manager: Alexis Heydt-Long
Manufacturing Buyer: Lisa McDowell
QUINTA EDICIÓN, 2008
D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. 
Atlacomulco 500-5o. piso
Col. Industrial Atoto
53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031.
Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. 
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación
de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o
cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.
ISBN 10: 970-26-1278-0
ISBN 13: 978-970-26-1278-0
Impreso en México. Printed in Mexico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08
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iii
Contenido
Prefacio xiii
Acerca de los autores xxi
Créditos de fotografías xxiii
12 Introducción 3
12.1 Ingeniería y mecánica 4
Resolución de problemas 4
Números 5
Espacio y tiempo 5
Leyes de Newton 6
Sistema internacional de unidades 7
Unidades de uso común en Estados Unidos 8
Unidades angulares 8
Conversión de unidades 8
12.2 Gravitación de Newton 15
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13 Movimiento de un punto 21
13.1 Posición, velocidad y aceleración 22
13.2 Movimiento en línea recta 24
Descripción del movimiento 24
Análisis del movimiento 26
Cuando se conoce la aceleración como una función del tiempo 29
Cuando se conoce la velocidad como una función del tiempo 29
Cuando la aceleración es constante 30
13.3 Movimiento en línea recta cuando la aceleración
depende de la velocidad o de la posición 41
13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas 
cartesianas 49
13.5 Movimiento angular 61
Movimiento angular de una línea 61
Rotación de un vector unitario 61
Movimiento angular de una línea 63
Rotación de un vector unitario 63
13.6 Movimiento curvilíneo: Componentes normal 
y tangencial 67
Movimiento planar 67
Movimiento circular 70
Movimiento tridimensional 71
Componentes normal y tangencial en el movimiento planar 72
Movimiento en el plano x–y de un marco de referencia 
cartesiano 73
Movimiento en una trayectoria circular 73
13.7 Movimiento curvilíneo: Coordenadas polares 
y cilíndricas 84
Coordenadas polares 88
Coordenadas cilíndricas 89
13.8 Movimiento relativo 99
Problemas de repaso 104
iv Contenido
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14 Fuerza, masa y aceleración 107
14.1 Segunda ley de Newton 108
Ecuación de movimiento para el centro de masa 108
Marcos de referencia inerciales 110
14.2 Aplicaciones: Coordenadas cartesianas y movimiento
en línea recta 112
14.3 Aplicaciones: Componentes normal 
y tangencial 133
14.4 Aplicaciones: Coordenadas polares y cilíndricas 146
14.5 Mecánica de órbitas 153
Determinación de la órbita 153
Tipos de órbitas 156
Problemas de repaso 160
15 Métodos energéticos 165
15.1 Trabajo y energía cinética 166
Principio del trabajo y la energía 166
Evaluación del trabajo 167
Potencia 168
Principio del trabajo y la energía 169
Evaluación del trabajo 170
Potencia 170
15.2 Trabajo realizado por fuerzas particulares 180
Peso 180
Resortes 182
15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas 196
Energía potencial 196
Fuerzas conservativas 197
Fuerzas conservativas y energía potencial 200
Conservación de la energía 200
Energías potenciales asociadas con fuerzas particulares 201
15.4 Relaciones entre la fuerza y la energía 
potencial 213
Problemas de repaso 217
Contenido v
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16 Métodos de la cantidad de movimiento 223
16.1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento 224
16.2 Conservación de la cantidad de movimiento
lineal y los impactos 238
Conservación de la cantidad de movimiento lineal 238
Impactos 239
Colisión perfectamente plástica 242
Impactos 242
Conservación de la cantidad de movimiento lineal 242
Impacto central directo 243
Impacto central oblicuo 243
16.3 Cantidad de movimiento angular 255
Principio del impulso y de la cantidad de movimiento angular 255
Movimiento bajo una fuerza central 256
Cantidad de movimiento angular 257
Principio del impulso y de la cantidad de movimiento angular 257
Movimiento bajo una fuerza central 258
16.4 Flujos de masa 263
Problemas de repaso 272
17 Climática plana de cuerpos rígidos 279
17.1 Cuerpos rígidos y tipos de movimiento 280
Traslación 281
Rotación respecto a un eje fijo 281
Movimiento plano 282
17.2 Rotación respecto a un eje fijo 283
17.3 Movimientos generales: velocidades 290
Velocidades relativas 290
Vector de la velocidad angular 292
Velocidades relativas 294
Movimiento de rodadura 295
Vector de velocidad angular 295
17.4 Centros instantáneos 308
17.5 Movimientos generales: aceleraciones 315
Velocidades y aceleraciones relativas 318
Movimiento plano 318
Movimiento de rodadura 318
17.6 Contactos deslizantes 328
17.7 Marcos de referencia móviles 342
Movimiento de un punto respecto a un marco
de referencia móvil 342
Marcos de referencia inerciales 343
Movimiento de un punto respecto a un marco
de referencia móvil 347
Marcos de referencia 348
Problemas de repaso359
vi Contenido
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18 Dinámica plana de cuerpos rígidos 365
18.1 Principios de la cantidad de movimiento para 
un sistema de partículas 366
Principio de la fuerza y la cantidad de movimiento lineal 366
Principios del momento y la cantidad de movimiento angular 367
Principio de la fuerza y la cantidad de movimiento lineal 369
Principios del momento y la cantidad de movimiento angular 369
18.2 Ecuaciones de movimiento plano 369
Rotación alrededor de un eje fijo 369
Movimiento plano general 370
Apéndice: Momentos de inercia 395
Objetos simples 395
Teorema de los ejes paralelos 398
Problemas de repaso 408
19 Energía y cantidad de movimiento en 
la dinámica de cuerpos rígidos 413
19.1 Trabajo y energía 414
Energía cinética 415
Trabajo y energía potencial 417
Potencia 419
Principio del trabajo y la energía 419
Energía cinética 420
Trabajo realizado por una fuerza 420
Trabajo realizado por un par 421
Conservación de la energía 421
Potencia 422
19.2 Impulso y cantidad de movimiento 436
Cantidad de movimiento lineal 436
Cantidad de movimiento angular 437
Cantidad de movimiento lineal 440
Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido 
en movimiento plano 440
19.3 Impactos 450
Conservación de la cantidad de movimiento 450
Coeficiente de restitución 451
Cantidad de movimiento lineal 454
Cantidad de movimiento angular 455
Coeficiente de restitución 455
Problemas de repaso 468
Contenido vii
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20 Cinemática y dinámica tridimensionales 
de cuerpos rígidos 475
20.1 Cinemática 476
Velocidades y aceleraciones 476
Marcos de referencia en movimiento 477
20.2 Ecuaciones de Euler 491
Rotación respecto a un punto fijo 491
Movimiento tridimensional general 494
Ecuaciones de movimiento plano 496
Segunda ley de Newton 497
Giro respecto a un punto fijo 497
Movimiento tridimensional general 498
20.3 Ángulos de Euler 513
Objetos con un eje de simetría 513
Objetos arbitrarios 517
Ángulos de Euler para un objeto con un eje de simetría 519
Precesión estable 520
Precesión estable libre de momento 521
Conos espacial y de cuerpo 522
Ángulos de Euler para un objeto arbitrario 522
Apéndice: Momentos y productos de inercia 529
Objetos simples 529
Placas delgadas 530
Teoremas de los ejes paralelos 532
Momento de inercia respecto a un eje arbitrario 534
Ejes principales 534
Problemas de repaso 544
21 Vibraciones 549
21.1 Sistemas conservativos 550
Ejemplos 550
Soluciones 551
21.2 Vibraciones amortiguadas 566
Amortiguamiento subcrítico 566
Amortiguamientos crítico y supercrítico 567
Amortiguamiento subcrítico 569
Amortiguamiento crítico y supercrítico 570
21.3 Vibraciones forzadas 578
Función forzante de excitación oscilatoria 579
Función forzante de excitación polinomial 581
Solución particular para una función forzante de excitación 
oscilatoria 583
Solución particular para una función de excitación polinomial 583
Problemas de repaso 592
viii Contenido
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APÉNDICES
A Repaso de matemáticas 597
A.1 Álgebra 597
Ecuaciones cuadráticas 597
Logaritmos naturales 597
A.2 Trigonometría 598
A.3 Derivadas 598
A.4 Integrales 599
A.5 Series de Taylor 600
A.6 Análisis vectorial 600
Coordenadas cartesianas 600
Coordenadas cilíndricas 600
B Propiedades de áreas y líneas 601
B.1 Áreas 601
B.2 Líneas 604
C Propiedades de volúmenes y objetos
homogéneos 605
D Coordenadas esféricas 608
E Principio de D’Alembert 609
Soluciones a los problemas de práctica 611
Respuestas a los problemas 
con número par 637
Índice 645
Contenido ix
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xi
Prefacio
El desarrollo de la quinta edición de Mecánica para Ingeniería:
Estática y Dinámica comenzó al preguntarnos de qué manera
podrían reestructurarse nuestros libros de texto para ayudar a
los estudiantes a aprender mecánica de manera más eficaz y
eficiente.
Desde las primeras ediciones, nuestro objetivo ha sido pre-
sentar el material de una forma que emule el desarrollo de los
conceptos por parte del profesor en el salón de clases y enfatice
el análisis visual para mejorar la comprensión del estudiante.
Ahora, con base en nuestras experiencias a través de mu-
chos años en el salón de clases y los comentarios de colegas y
estudiantes, hemos diseñado la quinta edición para apegarnos
a la manera en que los estudiantes actualmente usan los libros
de texto para aprender mecánica. Durante el desarrollo de
los nuevos elementos descritos anteriormente seguimos ape-
gados a nuestros objetivos originales de enseñar procedimien-
tos eficaces para la resolución de problemas y la importancia
central de los diagramas de cuerpo libre.
Novedades en esta edición
Ejemplos activos
Un nuevo formato de ejemplo diseñado para ayudar a los estu-
diantes a aprender conceptos y métodos, y a probar la compren-
sión de los mismos. Los análisis se relacionan de manera visual
con figuras y ecuaciones en un diseño con ilustraciones y texto
integrados para una lectura eficiente. Al final del ejemplo activo
se proporciona un “problema de práctica” de manera que los
estudiantes se vean motivados a verificar si comprendieron el
material; y pueden evaluar fácilmente sus conocimientos al con-
sultar la respuesta, que se proporciona en la misma página, o
estudiando la solución completa que se presenta en el apéndice,
con el mismo formato de ilustraciones y texto integrados.
Problemas con enfoque en ejemplos
Se incluyen nuevos problemas de tarea diseñados para incen-
tivar a los alumnos a estudiar los ejemplos dados y expandir su
comprensión de los conceptos. Los números de estos proble-
mas se mencionan al inicio de cada ejemplo, de manera que los
profesores puedan usarlos con facilidad para estimular el estu-
dio de ciertos temas seleccionados.
Resultados
La mayoría de las secciones del libro ahora concluye con una
nueva subsección de resultados, una descripción completa y
suficiente de los resultados necesarios para entender los ejem-
plos y problemas siguientes. Para una comprensión más fácil,
se presentan en el mismo formato de ilustraciones y texto inte-
grados que se usa en los ejemplos activos y se puede consultar
de manera eficiente estas subsecciones mientras se estudia el
ejemplo y trabaja con los problemas.
Conjunto de problemas
En este texto, treinta por ciento de los problemas son nuevos.
Se han marcado con un asterisco aquellos que son relativa-
mente más largos o difíciles. También es posible generar pro-
blemas adicionales usando el sistema de tareas en línea con sus
capacidades algorítmicas (vea el sitio Web de este libro).
Elementos especiales de este texto
Ejemplos
Además de los nuevos ejemplos activos, mantenemos los
que siguen una estructura con tres partes —Estrategia/
Solución/Razonamiento crítico— diseñados para ayudar a los
estudiantes a desarrollar sus habilidades en la resolución de
problemas de ingeniería. En las secciones de estrategia, demos-
tramos cómo planear la solución de un problema, la cual pre-
senta los pasos detallados necesarios para llegar a los resulta-
dos requeridos.
Algunos de los ejemplos se concentran en el diseño y pro-
porcionan análisis detallados de aplicaciones de la dinámica al
diseño de ingeniería.
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Mecánica en computadoras
Algunos profesores prefieren enseñar dinámica sin dar énfa-
sis al uso de la computadora. Otros la usan como una oportu-
nidad de introducir a los estudiantes al uso de las computado-
ras en ingeniería, y piden a los alumnos que escriban sus
propios programas en un lenguaje de nivel básico o que uti-
licen software de nivel superior para la resolución de proble-
mas. Nuestro libro es compatible con ambos enfoques. Existe
material opcional de mecánica en computadoras en el sitio
Web Companion, donde se incluyen tutoriales en MathCad y
MATLAB. Para mayor información, vea la sección de suple-
mentos.Programa de ilustraciones
Reconocemos la importancia de ayudar a los estudiantes a
visualizar los problemas de mecánica. Los alumnos prefieren
y se sienten más motivados con situaciones reales. Nuestros
textos incluyen muchas fotografías y “figuras realistas” que
ayudan a visualizar las aplicaciones y proporcionar una cone-
xión más fuerte con la práctica de la ingeniería.
Uso del segundo color
Para ayudar a reconocer e interpretar los elementos de las figu-
ras, hemos usado ciertos valores de identificación:
Triple verificación de la exactitud:
Compromiso con los estudiantes
y profesores
Nuestro compromiso con los estudiantes y profesores es tomar
precauciones para asegurar la exactitud del texto hasta donde
nuestra capacidad lo permita. Usamos un sistema de triple veri-
ficación de la exactitud en el cual tres participantes, además de
los autores, resuelven los problemas en un esfuerzo por asegurar
que las respuestas son correctas y que tienen un nivel de dificul-
tad apropiado. Nuestro equipo de exactitud se compone de:
• Scott Hendricks, de la Virginia Polythecnic University
• Karim Nohra de la University of South Florida
• Kurt Norlin del Laurel Technical Services
Estos participantes también revisaron el texto, los ejemplos y los
problemas para asegurar su exactitud. Cualquier error sigue sien-
do responsabilidad de nosotros, los autores, y agradeceremos la
comunicación de estudiantes y profesores en relación con yerros
o áreas de mejoramiento. Nuestra dirección de correo es Depart-
ment of Aerospace Engineering and Engineering Mechanics,
University of Texas at Austin, Texas 78712. Nuestra dirección
de correo electrónico es: abedford@mail.utexas.edu.
Recursos adicionales 
Recursos para el estudiante
El paquete de estudio Dynamics está diseñado para pro-
porcionar a los estudiantes herramientas que mejoren sus habi-
lidades al dibujar diagramas de cuerpo libre, y para repasar los
temas antes de los exámenes. Contiene una ayuda para los dia-
gramas de cuerpo libre con cincuenta problemas de práctica de
dificultad ascendente, los cuales incluyen soluciones comple-
tas. Las estrategias y recomendaciones adicionales ayudan a
los estudiantes a comprender cómo utilizar los diagramas en
la resolución de problemas relacionados. Este suplemento y
material de repaso adicional para cada capítulo fue preparado
por Peter Schiavone de la University of Alberta. 
Evaluación en la red y tutoriales: Los estudiantes pueden
acceder a los recursos de ayuda, como los problemas de prácti-
ca complementarios, en el sitio Web de este libro.
www.pearsoneducacion.net/bedford
El sitio Web cuenta con archivos de ayuda para MATLAB y
MathCad. En cada uno de estos archivos se analiza un concep-
to básico de mecánica, y después se demuestra cómo resolver
un problema específico relacionado con este concepto usando
MATLAB y MathCad. Existen veinte archivos de ayuda tanto
en MATLAB como en MathCad. La hojas de cálculo fueron desa-
rrolladas por Ronald Larsen y Stephen Hunt de la Montana State
University-Bozeman.
xii Prefacio
Vectores unitarios
Fuerzas
Pares
Posiciones
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Prefacio xiii
Adicionalmente, los profesores pueden asignar tareas en
línea a los estudiantes usando PH GradeAssist. Las respuestas
y los resultados se califican y registran de manera electrónica.
Recursos para el profesor
Manual de soluciones para el profesor: Este suple-
mento, disponible para los profesores en la página Web, con-
tiene soluciones completas. Cada solución viene con el enunciado
del problema e ilustraciones asociadas. Cabe aclarar que todos
estos complementos se encuentran en idioma inglés.
Evaluación en la red y recursos adicionales: A través
de PH GradeAssist, el profesor puede crear tareas en línea para
los estudiantes usando problemas del texto, los cuales están en
un formato algorítmico, de manera que cada alumno trabaje con
problemas un poco diferentes. Las respuestas a los problemas se
registran en un libro de calificaciones en línea que puede ba-
jarse en Excel. Para recursos adicionales, acceda al sitio Web del
libro, donde encontrará series de problemas complementarios
y demás información. Para mayores detalles contacte a su re-
presentante de Pearson Educación.
Reconocimientos
Los siguientes colegas realizaron revisiones con base en su
conocimiento y experiencia en la enseñanza, las cuales fueron
de gran ayuda al preparar tanto esta edición como las anteriores.
Shaaban Abdallah
University of Cincinnati
Edward E. Adams
Michigan Technological University
George G. Adams
Northeastern University
Raid S. Al-Akkad
University of Dayton
Jerry L. Anderson
Memphis State University
James G. Andrews
University of Iowa
Robert J. Asaro
University of California, San Diego
Leonard B. Baldwin
University of Wyoming
Haim Baruh
Rutgers University
Gautam Batra
University of Nebraska
David M. Bayer
University of North Carolina
Glenn Beltz
University of California-Santa Barbara
Mary Bergs
Marquette University
Don L. Boyer
Arizona State University
Spencer Brinkerhoff
Northern Arizona University
L. M. Brock
University of Kentucky
William (Randy) Burkett
Texas Tech University
Donald Carlson
University of Illinois
Major Robert M. Carpenter
U.S. Military Academy
Douglas Carroll
University of Missouri, Rolla
Paul C. Chan
New Jersey Institute of Technology
Namas Chandra
Florida State University
James Cheney
University of California, Davis
Ravinder Chona
Texas A & M University
Daniel C. Deckler
The University of Akron Wayne College
Anthony DeLuzio
Merrimack College
Mitsunori Denda
Rutgers University
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James F. Devine
University of South Florida
Craig Douglas
University of Massachussets, Lowell
Marijan Dravinski
University of Southern California
S. Olani Durrant
Brigham Young University
Estelle Eke
California State University, Sacramento
Bogdan I. Epureanu
University of Michigan
William Ferrante
University of Rhode Island
Robert W. Fitzgerald
Worcester Polytechnic Institute
George T. Flowers
Auburn University
Mark Frisina
Wentworth Institute
Robert W. Fuessle
Bradley University
Walter Gerstle
University of New Mexico
William Gurley
University of Tennessee, Chattanooga
John Hansberry
University of Massachusetts, Dartmouth
Mark J. Harper
United States Naval Academy
W. C. Hauser
California Polytechnic University, Pomona
Linda Hayes
University of Texas-Austin
R. Craig Henderson
Tennessee Technological University
Paul R. Heyliger
Colorado State University
James Hill
University of Alabama
Robert W. Hinks
Arizona State University
Allen Hoffman
Worcester Polytechnic Institute
Edward E. Hornsey
University of Missouri, Rolla
Robert A. Howland
University of Notre Dame
Joe Ianelli
University of Tennessee, Knoxville
Ali Iranmanesh
Gadsden State Community College
David B. Johnson
Southern Methodist University
E. O. Jones, Jr.
Auburn University
Serope Kalpakjian
Illinois Institute of Technology
Kathleen A. Keil
California Polytechnic University, San Luis Obispo
Yohannes Ketema
University of Minnesota
Seyyed M. H. Khandani
Diablo Valley College
Charles M. Krousgrill
Purdue University
B. Kent Lall
Portland State University
Chad M. Landis
Rice University
Kenneth W. Lau
University of Massachusetts, Lowell
xiv Prefacio
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Prefacio xv
Norman Laws
University of Pittsburgh
William M. Lee
U.S. Naval Academy
Donald G. Lemke
University of Illinois, Chicago
Richard J. Leuba
North Carolina State University
Richard Lewis
Louisiana Technological University
John B. Ligon
Michigan Tech University
Bertram Long
Northeastern University
V. J. Lopardo
U.S. Naval Academy
Frank K. Lu
University of Texas, Arlington
Mark T. Lusk
Colorado School of Mines
K. Madhaven
Christian Brothers College
Nels Madsen
Auburn University
James R. Matthews
University of New Mexico
Gary H. McDonald
University of Tennessee
James McDonald
Texas Technical UniversityJim Meagher
California Polytechnic State University, San Luis Obispo
Lee Minardi
Tufts University
Norman Munroe
Florida International University
Shanti Nair
University of Massachusetts, Amherst
Saeed Niku
California Polytechnic State University, San Luis Obispo
Mohammad Noori
North Carolina State University
Harinder Singh Oberoi
Western Washington University
James O’Connor
University of Texas, Austin
Samuel P. Owusu-Ofori
North Carolina A & T State University
Venkata Panchakarla
Florida State University
Assimina A. Pelegri
Rutgers University
Noel C. Perkins
University of Michigan
Corrado Poli
University of Massachusetts-Amherst
David J. Purdy
Rose-Hulman Institute of Technology
Yitshak Ram
Louisiana State University
Colin E. Ratcliffe
U.S. Naval Academy
Daniel Riahi
University of illinois
Charles Ritz
California Polytechnic State University, Pomona
George Rosborough
University of Colorado, Boulder
Edwin C. Rossow
Northwestern University
Kenneth Sawyers
Lehigh University
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xvi Prefacio
Robert Schmidt
University of Detroit
Robert J. Schultz
Oregon State University
Richard A. Scott
University of Michigan
Brian Self
U.S. Air Force Academy
William Semke
University of North Dakota
Patricia M. Shamamy
Lawrence Technological University
Sorin Siegler
Drexel University
Peng Song
Rutgers State University
Candace S. Sulzbach
Colorado School of Mines
L. N. Tao
Illinois Institute of Technology
Craig Thompson
Western Wyoming Community College
John Tomko
Cleveland State University
Kevin Z. Truman
Washington University
John Valasek
Texas A & M University
Christine Valle
Georgia Institute of Technology
Dennis VandenBrink
Western Michigan University
Thomas J. Vasko
University of Hartford
Mark R. Virkler
University of Missouri, Columbia
William H. Walston, Jr.
University of Maryland
Andrew J. Walters
Mississippi University
Reynolds Watkins
Utah State University
Charles White
Northeastern University
Norman Wittels
Worcester Polytechnic Institute
Julius P. Wong
University of Louisville
T. W. Wu
University of Kentucky
Constance Ziemian
Bucknell University
Los elementos nuevos que diferencian esta edición de las
anteriores, particularmente la integración de texto e ilustraciones,
fueron desarrollados con ayuda de estudiantes, colegas y
editores. Los revisores de las primeras pruebas nos motivaron
y sugirieron refinamientos útiles. Después de haber establecido
el nuevo formato, el apoyo que recibimos de Prentice Hall en el
desarrollo de los libros fue estupendo. Nuestra editora Tacy
Quinn organizó el gran esfuerzo en equipo que requieren los
libros de este tipo y nos ofreció una ayuda entusiasta y consejos
valiosos. Marcia Horton y Tim Galligan hicieron la revisión
más importante desde las conversaciones iniciales acerca de
nuestras ideas hasta la publicación del libro. Craig Little
continuó enseñándonos los detalles de la producción del libro y
fue el instrumento para mantener el proyecto dentro del calendario
establecido. De nuevo, Xiaohong Zhu nos proporcionó un apoyo
consumado en los aspectos relativos a ilustraciones y foto-
grafías. Dee Bernhard y Mack Patterson administraron nuestra
comunicación con los revisores y usuarios de los libros. Jennifer
Lonschein proporcionó apoyo editorial y de producción. David
Alick, Ben Paris y Kristin Mayo coordinaron el desarrollo de los
recursos en línea que se han convertido en herramientas tan
esenciales para los usuarios. Jonathan Boylan diseñó las
portadas. Agradecemos a Peter Schiavone por desarrollar los
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paquetes de estudio que acompañan a los libros, y a Stephen
Hunt y Ronald Larsen por escribir los apoyos en MATLAB y
MathCad. Scout Hendricks, Karim Nohra y Kart Norlin,
valiosos colegas de nuestras campañas anteriores, nos dieron
consejos con respecto al estilo y la claridad, corrigieron muchos
de nuestros errores y revisaron los manuales de solución. Somos
responsables por los errores que aún quedan. Nancy Bedford
nos ofreció consejo editorial y nos ayudó con la revisión.
Muchas otras personas talentosas y profesionales tanto de
Prentice Hall como de otras partes también contribuyeron en la
revisión de este texto, por lo que les estamos agradecidos. Y
una vez más agradecemos a nuestras familias, especialmente a
Nancy y Marsha, por su paciencia y comprensión en la reali-
zación de las nuevas ediciones.
Anthony Bedford y Wallace Fowler
Austin, Texas 
Prefacio xvii
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xix
Acerca de los autores
Anthony Bedford es profesor emérito de Ingeniería Aero-
espacial e Ingeniería Mecánica en la University of Texas at
Austin, y ha ejercido la docencia desde 1968. Es miembro de la
Academia de Maestros Distinguidos de la University of Texas.
Su actividad profesional principal ha sido la educación y la in-
vestigación en la mecánica para ingeniería. Ha escrito artículos
sobre teoría mixta, propagación de ondas y la mecánica de im-
pactos a alta velocidad, y es autor de los libros Principio de
Hamilton en Mecánica Continua, Introducción a la Propagación
Elástica de Ondas (con D. S. Drumheller) y Mecánica de Ma-
teriales (con K. M. Liechti). Tiene experiencia industrial en
Douglas Aircraft Company, TRW, y Sandia National Laborato-
ries.
Wallace T. Fowler es Profesor Centenario Paul D. & Betty
Robertson de ingeniería en la University of Texas y es director
del Consorcio de Apoyo Espacial de Texas. Pertenece al Ame-
rican Institute of Aeronautics and Astronautic (AIAA) y a la
American Society for Engineering Education (ASEE). El
Dr. Fowler recibió el premio de excelencia en la enseñanza de
dinámica general en 1976, el premio John Leland Atwood
de AIAAA y ASEE en 1985 (para el mejor profesor en inge-
niería aeroespacial), el premio a la enseñanza del concejo de
maestros de la University of Texas en 1990-1991, además
del premio a la enseñanza en diseño Fred Merryfield de ASEE
en 1994. En 1997 fue seleccionado para pertenecer a la acade-
mia de profesores distinguidos de la University of Texas. El
Dr. Fowler también se desempeñó como presidente de la Ame-
rican Society for Engineering Education de 2000 a 2001. Los in-
tereses del Dr. Fowler relativos a la investigación y la enseñanza
en la UT en Austin, se enfocan en la ingeniería y el diseño de
sistemas espaciales.
Anthony Bedford (l ) y Wallace T. Fowler
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Mecánica para ingeniería
D I N Á M I C A
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C A P Í T U L O
12
Introducción
¿Cómo diseñan y construyen los ingenieros los disposi-
tivos que se usan en la vida diaria, desde objetos simples
como sillas y sacapuntas hasta estructuras complica-
das como presas, automóviles, aviones y naves espacia-
les? Ellos deben tener un conocimiento profundo de la
física subyacente al diseño de tales dispositivos y ser ca-
paces de usar modelos matemáticos para predecir su
comportamiento. Al estudiar mecánica, los estudiantes
de ingeniería comienzan a aprender cómo analizar y pre-
decir los comportamientos de los sistemas físicos.
� Los movimientos del bobsled (trineo) y su tripulación —sus posiciones,
velocidades y aceleraciones— pueden analizarse usando las ecuaciones de la
dinámica. Los ingenieros emplean la dinámica para predecir los movimientos
de los objetos.
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4 Capítulo 12 Introducción
12.1 Ingeniería y mecánica
ANTECEDENTES
¿Cómo pueden los ingenieros diseñar sistemas complejos y predecir sus característi-
cas antes de construirlos? Los ingenieros siempre han confiado en su conocimiento
de diseños anteriores, en experimentos y en su ingenio y creatividad para producir
nuevos diseños. Los ingenieros modernos tienen además una poderosatécnica: desa-
rrollan ecuaciones matemáticas basadas en las características físicas de los objetos
que diseñan. Con estos modelos matemáticos predicen el comportamiento de sus
diseños, los modifican y los prueban antes de su construcción real. Los ingenieros
aeroespaciales usan modelos matemáticos para predecir las rutas que seguirá un tras-
bordador espacial durante su vuelo; los ingenieros civiles usan modelos matemáti-
cos para analizar los efectos de las cargas sobre edificios y sus cimientos.
En su nivel más básico, la mecánica es el estudio de las fuerzas y sus efectos.
La mecánica elemental se divide en estática, que es el estudio de los objetos en
equilibrio, y dinámica, que es el estudio de los objetos en movimiento. Los resul-
tados obtenidos en la mecánica elemental se aplican directamente a muchos cam-
pos de la ingeniería. Los ingenieros civiles y mecánicos que diseñan estructuras
usan ecuaciones de equilibrio obtenidas por medio de la estática. Los ingenieros
civiles que analizan las respuestas de edificios frente a terremotos y los ingenie-
ros aeroespaciales que determinan las trayectorias de satélites, usan las ecuaciones
de movimiento obtenidas de la dinámica.
La mecánica fue la primera ciencia analítica, por eso los conceptos funda-
mentales, los métodos analíticos y las analogías de la mecánica se encuentran en
casi todas las ramas de la ingeniería. Los estudiantes de ingeniería química y eléc-
trica aprecian de una manera más profunda conceptos básicos de sus campos,
como el equilibrio, la energía y la estabilidad, al aprenderlos en sus contextos
mecánicos originales. Cuando estudian mecánica vuelven a trazar el desarrollo
histórico de esas ideas.
La mecánica consiste en principios generales que rigen el comportamiento de
los objetos. En este libro se describen esos principios y se proporcionan ejemplos
que muestran algunas de sus aplicaciones. Aunque es esencial que el estudiante
resuelva problemas similares a esos ejemplos, y se incluyen muchos problemas
de este tipo, el objetivo del texto es ayudar a entender los principios suficiente-
mente bien para aplicarlos a las nuevas situaciones que se presenten. Cada genera-
ción de ingenieros se enfrenta a problemas nuevos.
Resolución de problemas
En el estudio de la mecánica usted aprenderá procedimientos para resolver pro-
blemas que usará en cursos posteriores y a lo largo de su carrera. Aunque los dife-
rentes tipos de problemas requieren distintos métodos, los siguientes pasos se apli-
can a muchos de ellos:
• Identifique la información dada y la información, o respuesta, que debe deter-
minarse. Con frecuencia resulta útil reformular el problema en sus propias
palabras. Cuando sea apropiado, asegúrese de que entiende el sistema físico o
el modelo involucrado.
• Desarrolle una estrategia para el problema. Esto es, identifique los principios
y ecuaciones aplicables y decida cómo los usará. Cuando sea posible, dibuje
diagramas para visualizar y resolver el problema.
• Siempre que pueda, trate de predecir la respuesta. Esto desarrollará su intui-
ción y lo ayudará a reconocer una respuesta incorrecta.
• Resuelva las ecuaciones y, cuando sea posible, interprete sus resultados y
compárelos con su predicción. El último paso se llama verificación en la rea-
lidad. ¿Es razonable su respuesta?
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12.1 Ingeniería y mecánica 5
Números
Las mediciones, los cálculos y los resultados de ingeniería se expresan en nú-
meros. Usted necesita saber cómo se expresan los números en los ejemplos y
problemas de este libro, y cómo deberá expresar los resultados de sus propios
cálculos.
Dígitos significativos Este término se refiere al número de dígitos significati-
vos (o sea, exactos) en un número, contando hacia la derecha a partir del primer
dígito distinto de cero. Los números 7.630 y 0.007630 están expresados con cua-
tro dígitos significativos. Si se sabe que sólo los primeros cuatro dígitos del núme-
ro 7,630,000 son exactos, esto se puede indicar escribiendo el número en notación
científica como 7.630 � 106.
Si un número es el resultado de una medición, los dígitos significativos que
contiene están limitados por la exactitud de la medición. Si el resultado de una
medición es 2.43, esto significa que el valor real estará más cercano a 2.43 que a
2.42 o a 2.44.
Los números pueden redondearse a cierta cantidad de dígitos significativos.
Por ejemplo, el valor de � puede expresarse con tres dígitos significativos, 3.14, o
con seis dígitos significativos, 3.14159. Cuando se usa una calculadora o una com-
putadora, el número de dígitos significativos está limitado por la cantidad de cifras
significativas que la máquina puede manejar según su diseño.
Uso de números en este libro Los números dados en los problemas deben
tratarse como valores exactos sin importar cuántos dígitos significativos conten-
gan. Si un problema establece que una cantidad es igual a 32.2, se puede suponer
que su valor es 32.200. . . . Por lo general se utilizarán al menos tres dígitos sig-
nificativos para expresar los resultados intermedios y las respuestas en los ejem-
plos, así como las respuestas a los problemas. Si usa calculadora, sus resultados
deben tener esa exactitud. Asegúrese de evitar los errores que ocurren al redon-
dear resultados intermedios cuando realice una sucesión de cálculos. En vez de
esto, efectúe sus cálculos con la exactitud disponible reteniendo los valores en su
calculadora.
Espacio y tiempo
El espacio se refiere simplemente al universo tridimensional en que vivimos. Las
experiencias diarias proporcionan una noción intuitiva del espacio y las ubicacio-
nes, o posiciones, de los puntos en éste. La distancia entre dos puntos en el espa-
cio es la longitud de la línea recta que los une.
Para medir la distancia entre puntos en el espacio se requiere una unidad de
longitud. Se usarán tanto las unidades del Sistema Internacional, o unidades SI,
como las unidades de uso común en Estados Unidos. En unidades SI, la unidad de
longitud es el metro (m); en unidades de uso común en Estados Unidos la unidad
de longitud es el pie.
Por supuesto, el tiempo resulta familiar; la vida se mide por medio de él. Los
ciclos diarios de luz y oscuridad, y las horas, minutos y segundos medidos por un
reloj proporcionan una noción intuitiva del tiempo. Éste se mide mediante los
intervalos entre eventos repetidos, como las oscilaciones del péndulo de un reloj o
las vibraciones en un reloj de cristal de cuarzo. Tanto en las unidades SI, como
en las de uso común en Estados Unidos, la unidad de tiempo es el segundo (s);
también se usan comúnmente minutos (min), horas (h) y días.
Si la posición de un punto en el espacio en relación con algún punto de refe-
rencia cambia con el tiempo, la razón del cambio de su posición se llama veloci-
dad, y la razón del cambio de su velocidad se denomina aceleración. En unidades
SI, la velocidad se expresa en metros por segundo (m/s) y la aceleración en metros
por segundo cuadrado (m/s2). En las unidades de uso común en Estados Unidos, la
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6 Capítulo 12 Introducción
velocidad se expresa en pies por segundo (pie/s) y la aceleración en pies por segun-
do cuadrado (pie/s2).
Leyes de Newton
La mecánica elemental se estableció sobre una base sólida con la publicación en
1687 de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Isaac Newton. Aunque
sumamente original, este trabajo se basó en conceptos fundamentales desarrolla-
dos durante una lucha larga y difícil hacia el conocimiento (figura 12.1).
 Guerra del Peloponeso 400 a.C.
400 d. C.
800
1200
1400
1600
1650
1700
Invasión de Roma a Bretaña
Coronación de Carlomagno
Conquista normanda de Bretaña
Firma de la Carta Magna
Peste bubónica en Europa
Impresión de la Biblia de Gutenberg
Viaje de Colón
Fundación de la colonia de Jamestown
Guerra de los Treinta Años
Llegada de los peregrinos a Massachusetts
Fundación de la Universidad de Harvard
Colonizaciónde Carolina
Cesión de Pennsylvania a William Penn
Juicios a brujas de Salem
Aristóteles: Estática de palancas, especulaciones sobre dinámica
Arquímedes: Estática de palancas, centros de masa, flotación
Hero de Alejandría: Estática de palancas y poleas
Papo: Definición precisa del centro de masa
Juan Filopono: Concepto de inercia
Jordano de Nemora: Estabilidad del equilibrio
Alberto de Sajonia: Velocidad angular
Nicola d’Oresme: Cinemática gráfica, coordenadas
William Heytesbury: Concepto de aceleración
Nicolás Copérnico: Concepto del sistema solar 
Dominic de Soto: Cinemáticas de objetos que caen
Tycho Brahe: Observaciones de movimientos planetarios
Simon Stevin: Principio del trabajo virtual
Johannes Kepler: Geometría y cinemática de
movimientos planetarios
Galileo Galilei: Experimentos y análisis en estática y
dinámica, movimiento de un proyectil
René Descartes: Coordenadas cartesianas
Evangelista Torricelli: Experimentos sobre hidrodinámica
Blaise Pascal: Análisis en hidrostática
John Wallis, Christopher Wren, Christiaan Huyghens:
Impactos entre objetos
Isaac Newton: Concepto de masa, leyes de movimiento,
postulado de la gravitación universal, análisis
de movimientos planetarios
0
Figura 12.1
Cronología de desarrollos en mecánica hasta la publicación del Principia de Newton en 
relación con otros eventos en la historia de Estados Unidos.
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12.1 Ingeniería y mecánica 7
Newton enunció tres “leyes” del movimiento que, expresadas en términos
modernos, son:
1. Cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a cero,
su velocidad es constante. En particular, si inicialmente la partícula se en-
cuentra en reposo, permanecerá en reposo.
2. Cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula no es igual a
cero, la suma de las fuerzas es igual a la razón de cambio de la cantidad de
movimiento lineal de la partícula. Si la masa es constante, la suma de las
fuerzas es igual al producto de la masa de la partícula y su aceleración.
3. Las fuerzas ejercidas por dos partículas entre sí son iguales en magnitud y
opuestas en dirección.
Observe que no se definió fuerza ni masa antes de enunciar las leyes de Newton. La
visión moderna es que estos términos se definen mediante la segunda ley. Para
demostrarlo, suponga que se elige un cuerpo arbitrario y se especifica que tiene
masa unitaria. Luego se define una unidad de fuerza como la fuerza que imparte a
esta masa unitaria una aceleración de magnitud unitaria. En principio, es posible
determinar la masa de cualquier cuerpo: se le aplica una fuerza unitaria, se mide la
aceleración resultante y se usa la segunda ley para determinar la masa. También se
puede determinar la magnitud de cualquier fuerza: se le aplica a la masa unitaria,
se mide la aceleración resultante y se usa la segunda ley para determinar la fuerza.
De esta manera, la segunda ley de Newton proporciona significados precisos
a los términos masa y fuerza. En unidades SI, la unidad de masa es el kilogramo
(kg). La unidad de fuerza es el newton (N), que es la fuerza requerida para
impartir a una masa de un kilogramo una aceleración de un metro por segundo al
cuadrado (m/s2). En las unidades del uso común en Estados Unidos, la unidad de
fuerza es la libra (lb). La unidad de masa es el slug, que es la cantidad de masa ace-
lerada a un pie por segundo cuadrado por una fuerza de una libra.
Aunque los resultados que se analizan en este libro son aplicables a muchos
de los problemas que surgen en la práctica de la ingeniería, hay límites para la vali-
dez de las leyes de Newton. Por ejemplo, éstas no dan resultados precisos si un
problema implica velocidades que no son pequeñas comparadas con la velocidad
de la luz (3 � 108 m/s). La teoría de la relatividad especial de Einstein se aplica a
tales problemas. La mecánica elemental también falla en problemas que implican
dimensiones que no son grandes comparadas con las dimensiones atómicas. Para
describir los fenómenos en la escala atómica se debe usar la mecánica cuántica.
Sistema internacional de unidades
En unidades SI, la longitud se mide en metros (m) y la masa en kilogramos (kg). El
tiempo se mide en segundos (s), aunque cuando es conveniente también se usan
los minutos (min), las horas (h) y los días. A los metros, kilogramos y segundos se
les llama unidades básicas del SI. La fuerza se mide en newtons (N). Recuerde que
esas unidades están relacionadas por la segunda ley de Newton: un newton es la
fuerza requerida para imprimir a un objeto de un kilogramo de masa una acelera-
ción de un metro por segundo cuadrado:
Como el newton se puede expresar en función de las unidades básicas, se le llama
unidad derivada.
Para expresar cantidades por medio de números de tamaño conveniente, los
múltiplos de unidades se indican por medio de prefijos. En la tabla 12.1 se mues-
tran los prefijos más comunes, sus abreviaturas y los múltiplos que representan.
Por ejemplo, 1 km es 1 kilómetro, o sea 1000 m, y 1 Mg es 1 megagramo, que son
106 g o 1000 kg. Con frecuencia se usan los kilonewtons (kN).
1 N = 11 kg211 m/s22 = 1 kg-m/s2.
Tabla 12.1 Prefijos comunes usados 
en las unidades SI y los múltiplos que
representan.
Prefijo Abreviatura Múltiplo
nano- n
micro-
milli- m
kilo- k
mega- M
giga- G 109
106
103
10-3
10-6m
10-9
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8 Capítulo 12 Introducción
s
s
R
u
u � R
Figura 12.2
Definición de un ángulo en radianes.
Tabla 12.2 Conversión de unidades.
Tiempo 1 minuto � 60 segundos
1 hora � 60 minutos
1 día � 24 horas
Longitud 1 pie � 12 pulgadas
1 milla � 5280 pies
1 pulgada � 25.4 milímetros
1 pie � 0.3048 metros
Ángulo 2p radianes � 360 grados
Masa 1 slug � 14.59 kilogramos
Fuerza 1 libra � 4.448 newtons
Unidades de uso común en Estados Unidos
En las unidades de uso común en Estados Unidos, la longitud se mide en pies y la
fuerza en libras (lb). El tiempo se mide en segundos (s). Éstas son las unidades
básicas de uso común en Estados Unidos. En este sistema de unidades la masa es
una unidad derivada. La unidad de masa es el slug, que es la masa de material ace-
lerado a un pie por segundo cuadrado mediante una fuerza de una libra. La segun-
da ley de Newton establece que
1 lb � (1 slug)(1 pie/s2).
A partir de esta expresión se obtiene
1 slug = 1 lb-s2/pie.
En este sistema se usan otras unidades como la milla (1 mi � 5280 pies) y
la pulgada (1 pie � 12 pulg). También se utiliza la kilolibra (kip), que es igual a
1000 lb.
Unidades angulares
En ambos sistemas de unidades los ángulos se expresan normalmente en radianes
(rad). En la figura 12.2 se muestra el valor de un ángulo u en radianes. Se define
como la razón de la parte de la circunferencia subtendida por u y el radio del círcu-
lo. Los ángulos también se expresan en grados. Como hay 360 grados (360°) en
un círculo completo y la totalidad de la circunferencia del círculo es 2pR, 360° son
iguales a 2p rad.
Las ecuaciones que contienen ángulos casi siempre se obtienen suponiendo
que los ángulos se expresan en radianes. Consecuentemente, cuando se desee sus-
tituir el valor de un ángulo expresado en grados en una ecuación, primero se debe
convertir a radianes. Una excepción notable a esta regla es que muchas calculado-
ras están diseñadas para aceptar ángulos expresados ya sea en grados o en radia-
nes cuando se utilizan para evaluar funciones como sen u.
Conversión de unidades
En la práctica de la ingeniería surgen muchas situaciones que requieren convertir
valores expresados en unidades de una clase a valores en otras unidades. Por
ejemplo, si algunos de los datos que deben usarse en una ecuación están dados en
unidades SI y otros en unidades de uso común en Estados Unidos, todos ellos se
deben expresar en términos de un solo sistema de unidades antes de ser sustitui-
dos en la ecuación. La conversión de unidades es directa pero debe hacerse con
cuidado.
Suponga que se desea expresar 1 milla por hora (mi/h) en términos depie por
segundo (pie/s). Como 1 milla es igual a 5280 pies y 1 hora equivale a 3600 segun-
dos, se pueden emplear las expresiones
como razones cuyos valores son iguales a 1. De esta forma se obtiene
En la tabla 12.2 se proporcionan algunas conversiones útiles entre unidades.
1 mi/h = 11 mi/h2a 5280 pies
1 mi
b a 1 h
3600 s
b = 1.47 pies/s.
5280 1pies
1 mi
y
h
3600 s
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
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12.1 Ingeniería y mecánica 9
Identifique la información dada y la información
que debe determinarse.
Desarrolle una estrategia; identifique los principios
y ecuaciones aplicables y decida cómo los usará.
Siempre que sea posible, trate de predecir la respuesta.
Obtenga la respuesta y, cuando sea posible,
interprétela y compárela con su predicción
Unidades SI: Las unidades básicas son el tiempo en segundos (s),
la longitud en metros (m) y la masa en kilogramos (kg). La unidad
de fuerza es el newton (N), que es la fuerza requerida para acele-
rar una masa de un kilogramo a un metro por segundo cuadrado.
Unidades de uso común en Estados Unidos: Las unidades básicas
son el tiempo en segundos (s), la longitud en pies y la fuerza en
libras (lb). La unidad de masa el slug, que es la masa acelerada a
un pie por segundo cuadrado mediante una fuerza de una libra.
Las cantidades equivalentes, como 1 hora � 60 minutos,
pueden escribirse como razones cuyos valores son 1:
y usarse para realizar la conversión de unidades.
Por ejemplo,
15 min � 15 min � 0.25 h.
Resolución de problemas:
Estos pasos se aplican a
muchos tipos de problemas.
Sistemas de unidades.
Definición de un
ángulo en radianes.
Conversión de unidades.
1 h
60 min � 1,
1 h
60 min
s
u � R
s
R
u
RESULTADOS
Existe un documento muy completo sobre unidades recopilado por Russ Rowlett
de la University of North Carolina en Chapel Hill, el cual está disponible en línea
en www.unc.edu/~rowlett/units.
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10 Capítulo 12 Introducción
Ejemplo 12.2 Conversión de unidades de presión (� Relacionado con el problema 12.6)
Vehículo de sumersión profunda.
La presión ejercida en un punto del casco del vehículo de sumersión profunda es de
3.00 � 106 Pa (pascales). Un pascal es 1 newton por metro cuadrado. Determine la
presión en libras por pie cuadrado.
Estrategia
A partir de la tabla 12.2, 1 libra � 4.448 newtons y 1 pie � 0.3048 metros. Con estas
conversiones de unidades es posible calcular la presión en libras por pie cuadrado.
Solución
La presión (con tres dígitos significativos) es
� 62,700 lb/pie2
Razonamiento crítico
¿Cómo podría haberse obtenido este resultado de una manera más directa?
Observe en la tabla para conversión de unidades de la contraportada de este libro
que 1 Pa � 0.0209 lb/pie2. Por lo tanto,
3 00 10 3 00 10
0 02096 6. ( . )
.× = ×N/m N/m lb/pie2 2
2
11 N/m2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 62,7700 lb/pie2.
 3.00 * 106 N/m2 = 13.00 * 106 N/m22a 1 lb
4.448 N
b a0.3048 m
1 ft
b2
Ejemplo activo 12.1 Conversión de unidades (� Relacionado con el problema 12.11)
Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 6 metros por segundo (m/s).
¿Qué tan rápido se desplaza en kilómetros por hora (km/h)?
Estrategia
Un kilómetro equivale a 1000 metros y una hora a 60 minutos � 60 segundos �
3600 segundos. Estas unidades de conversión pueden utilizarse para determinar su
velocidad en km/h.
Solución
Problema de práctica Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 10 pies por
segundo (pie/s). ¿Qué tan rápido se desplaza en millas por hora (mi/h)?
Respuesta: 6.82 mi/h.
� 21.6 km/h.
Convierta de metros a kilómetros.
Convierta de segundos a horas.
6 m/s � 6 m/s
1 km
1000 m� �
3600 s
1 h� �
1 pie
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12.1 Ingeniería y mecánica 11
Ejemplo 12.3 Determinación de unidades a partir de una ecuación (� Relacionado con el problema 12.20)
Suponga que en la ecuación de Einstein
la masa m está en kilogramos y la velocidad de la luz c en metros por segundo.
a) ¿Cuáles son las unidades SI de E?
b) Si el valor de E en unidades SI es igual a 20, ¿cuál es su valor en las unidades
básicas de uso común en Estados Unidos?
Estrategia
a) Como se conocen las unidades de los términos m y c, es posible deducir las uni-
dades de E a partir de la ecuación dada.
b) Pueden usarse las conversiones de unidades para la masa y la longitud dadas en
la tabla 12.2 para convertir E de unidades SI a unidades de uso común en Estados
Unidos.
Solución
a) De la ecuación para E,
las unidades SI de E son kg-m2/s2.
b) De la tabla 12.2, 1 slug � 14.59 kg y 1 pie � 0.3048 m. Por lo tanto,
El valor de E en unidades de uso común en Estados Unidos es
E = (20)(0.738) = 14.8 slug-pie2/s2.
Razonamiento crítico
En el inciso a), ¿cómo se supo que era posible determinar las unidades de E al
determinar las unidades de mc2? Las dimensiones, o unidades, de cada término en
una ecuación deben ser las mismas. Por ejemplo, en la ecuación a + b = c, las
dimensiones de cada uno de los términos a, b, y c deben ser las mismas. Se dice
que la ecuación es dimensionalmente homogénea. Este requisito se expresa me-
diante la frase coloquial. “No se pueden comparar peras con manzanas”. 
1 1kg-m /s kg-m /s )
1 slug
14.59 kg
2 2 2 2= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
(
11 pie
0.3048 m
⎛
⎝
⎞
⎠
=
2
0 738. sslug-pie /s .2 2
E = 1m kg21c m/s22,
E = mc2,
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12 Capítulo 12 Introducción
12.1 El valor p es 3.14159265. . . . Si C es la circunferencia de
un círculo y r su radio, determine el valor de r/C con cuatro dígi-
tos significativos.
Problemas
Problema 12.1
C
r
12.2 La base de los logaritmos naturales es e � 2.718281828. . . .
a) Exprese e con cinco dígitos significativos.
b) Determine el valor de e2 con cinco dígitos significativos.
c) Use el valor de e obtenido en el inciso a) para determinar el
valor de e2 con cinco dígitos significativos.
[El inciso c) demuestra el peligro de usar valores redondeados du-
rante los cálculos].
12.3 Un técnico perfora un agujero circular en un panel con un
radio nominal r � 5 mm. El radio real del agujero está en el rango
r � 5 � 0.01 mm.
a) ¿Con cuántos dígitos significativos se puede expresar el radio?
b) ¿Con cuántas cifras significativas se puede expresar el área del
agujero?
5 mm
Problema 12.3
12.5 El Burj Dubai, que debe estar terminado en 2008, será el
edificio más alto del mundo, con una altura de 705 m. El área de
su base será de 8000 m2. Convierta su altura y su área de base a
unidades de uso común en Estados Unidos con tres dígitos signifi-
cativos.
Problema 12.5
Problema 12.4
12.4 Una portería de fútbol tiene 24 pies de ancho y 8 pies de
alto, por lo que el área es 24 pies � 8 pies � 192 pies2. ¿Cuál es
el área en m2 con tres dígitos significativos?
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Problemas 13
Problema 12.8
12.7 Suponga que se sabe que la altura del Monte Everest está
entre 29,032 pies y 29,034 pies. Con base en esta información, ¿a
cuántos dígitos significativos puede expresarse la altura a) en pies
y b) en metros?
12.8 El tren maglev (levitación magnética) que viaja de Shanghai
al aeropuerto en Pudong alcanza una velocidad de 430 km/h. De-
termine su velocidad a) en mi/h y b) en pies/s.
12.6 Suponga que acaba de comprar un Ferrari F355 coupe y
desea saber si puede usar su juego de llaves SAE (unidades de uso
común en Estados Unidos) para trabajar en él. Usted tiene llaves con
anchos w � 1/4 pulg, 1/2 pulg, 3/4 pulg y 1 pulg y el automóvil
tiene tuercas con dimensiones n � 5 mm, 10 mm, 15 mm, 20 mm
y 25 mm. Si se establece que una llave ajusta si w no es 2% mayor
que n, ¿cuál de sus llaves puede usar?
w n
Problema 12.6
� 12.11 La energía cinética del hombre del ejemplo activo 12.1
se define mediante donde m es su masa y v es su velocidad.
La masa del hombre es 68 kg y se mueve a 6 m/s, de forma que su
energía cinética es ¿Cuál es 
su energía cinética en unidades de uso comúnen Estados Unidos?
12.12 La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar en
unidades SI es g = 9.81 m/s2. Mediante la conversión de unidades,
utilice este valor para determinar la aceleración debida a la grave-
dad al nivel del mar en unidades de uso común en Estados Unidos.
12.13 Un estadio por quincena es una unidad de velocidad en
broma, inventada tal vez por un estudiante como comentario satí-
rico sobre la gran variedad de unidades con la que deben tratar los
ingenieros. Un estadio equivale a 660 pies (1/8 milla). Una quin-
cena consta de 2 semanas (14 noches). Si usted camina rumbo a
su clase a 2 m/s, ¿cuál es su velocidad en estadios por quincena
con tres dígitos significativos?
12.14 Determine el área de la sección transversal de la viga a) en
m2; b) en pulg2.
1
2(68 kg)(6 m/s)
2 = 1224 kg-m2/s2.
1
2 mv
2,
Problema 12.10
12.9 En los Juegos Olímpicos de Invierno de 2006, la carrera de
ski a campo traviesa de 15 km fue ganada por Andrus Veerpalu de
Estonia en un tiempo de 38 minutos, 1.3 segundos. Determine su
velocidad promedio (la distancia viajada entre el tiempo utilizado)
con tres dígitos significativos a) en km/h; b) en mi/h.
12.10 El motor del Porsche ejerce un par de torsión de 229 pies-
lb (pies-libra) a 4600 rpm. Determine el valor del par de torsión
en N-m (newton-metros).
Problema 12.14
120 mm x
y
40 mm
40 mm
40
mm
200 mm
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14 Capítulo 12 Introducción
x
y
A
Problema 12.15
12.15 El área de la sección transversal de la viga de acero Canal
Estándar Americano C12 � 30 es A � 8.81 pulg2. ¿Cuál es el área
de su sección transversal en mm2?
� 12.16 Un transductor de presión mide un valor de 300 lb/pulg2.
Determine el valor de la presión en pascales. Un pascal (Pa) es
igual a un newton por metro cuadrado.
Problema 12.17
12.17 Un caballo de fuerza equivale a 550 pies-lb/s. Un watt es
igual a 1 N-m/s. Determine cuántos watts son generados por los
motores de un jet comercial, si éstos producen 7000 caballos de
fuerza.
12.18 Las cargas distribuidas sobre vigas se expresan en unida-
des de fuerza por unidad de longitud. Si el valor de una carga dis-
tribuida es de 400 N/m, ¿cuál es su valor en lb/pie?
12.19 El momento de inercia del área rectangular con respecto
al eje x está dado por la ecuación
Las dimensiones del área son b � 200 mm y h � 100 mm. Deter-
mine el valor de I con cuatro dígitos significativos en términos de
a) mm4, b) m4, y c) pulg4.
I = 13 bh
3.
h
b
x
y
Problema 12.19
� 12.20 En el ejemplo 12.3, en vez de la ecuación de Einsten
considere la ecuación L � mc, donde la masa m está en kilogra-
mos y la velocidad de la luz c está en metros por segundo. 
a) ¿Cuáles son las unidades SI de L? b) Si el valor de L en unida-
des SI es 12, ¿cuál es el valor en unidades básicas de uso común
en Estados Unidos?
12.21 La ecuación
se usa en la mecánica de materiales para determinar esfuerzos nor-
males en vigas.
a) Cuando esta ecuación se expresa en términos de unidades bási-
cas SI, M está en newton-metros (N-m), y está en metros (m) e I
está en metros a la cuarta potencia (m4). ¿Cuáles son las unidades
SI de s? 
b) si M � 2000 N-m, y � 0.1 m e I � 7 � 10–5 m4, ¿cuál es el
valor de s en unidades básicas de uso común en Estados Unidos?
s =
My
I
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12.2 Gravitación de Newton 15
12.2 Gravitación de Newton
ANTECEDENTES
Newton postuló que la fuerza gravitatoria entre dos masas m1 y m2 que están sepa-
radas por la distancia r (figura 12.3) es
(12.1)
donde G se denomina constante de gravitación universal. El valor de G en unida-
des SI es 6.67 � 10–11 N-m2/kg2. Con base en su postulado, Newton calculó la
fuerza gravitatoria entre una partícula de masa m1 y una esfera homogénea de masa
m2, y encontró que también está dada por la ecuación (12.1), donde r denota la dis-
tancia de la partícula al centro de la esfera. Aunque la Tierra no es una esfera
homogénea, es posible usar este resultado para obtener el peso aproximado de un
cuerpo de masa m debido a la atracción gravitatoria de la Tierra. Se tiene
(12.2)
donde mE es la masa de la Tierra y r es la distancia del centro de la Tierra al obje-
to. Observe que el peso de un cuerpo depende de su posición con respecto al cen-
tro de la Tierra, mientras que la masa del cuerpo es una medida de la cantidad de
materia que contiene y que no depende de su posición.
Cuando el peso de un objeto es la única fuerza que actúa sobre él, la acelera-
ción resultante se denomina aceleración debida a la gravedad. En este caso la
segunda ley de Newton establece que W = ma, y de la ecuación (12.2) se observa
que la aceleración debida a la gravedad es
(12.3)
La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar se denota con g. Si el
radio de la Tierra se representa mediante RE, se observa a partir de la ecuación
(12.3) que Sustituyendo este resultado en la ecuación (12.3), se
obtiene una expresión para la aceleración debida a la gravedad a una distancia r
del centro de la Tierra en función de la aceleración debida a la gravedad al nivel del
mar:
(12.4)
Como el peso del cuerpo es W � ma, el peso de un cuerpo a una distancia r
del centro de la Tierra es
(12.5)
Al nivel del mar (r � RE), el peso de un cuerpo está dado en función de su
masa mediante la simple relación
(12.6)
El valor de g varía de lugar a lugar sobre la superficie de la Tierra. Los valo-
res que se usarán en los ejemplos y problemas son g � 9.81 m/s2 en unidades SI
y g � 32.2 pies/s2 en unidades de uso común en Estados Unidos.
W = mg.
W = mg 
RE
2
r 2
.
a = g 
RE
2
r 2
.
GmE = gRE2.
a =
GmE
r 2
.
W =
GmmE
r 2
,
F =
Gm1 m2
r 2
,
m2
F
m1
F
r
Figura 12.3
Las fuerzas gravitatorias entre dos partículas
son iguales en magnitud y están dirigidas a lo
largo de la línea que las une.
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16 Capítulo 12 Introducción
donde G es la constante de gravitación universal.
El valor de G en unidades SI es
6.67 � 10�11 N-m2/kg2.
donde g es la aceleración debida a la gravedad al nivel
del mar.
donde m es la masa del objeto y g es la acele-
ración debida a la gravedad al nivel del mar.
W � mg, (12.6)
F � (12.1),
Cuando la Tierra se modela como una esfera homogé-
nea de radio RE, la aceleración debida a la gravedad a
una distancia r desde el centro es
La fuerza gravitatoria entre dos masas m1 y m2 que
están separadas por la distancia r es
Gravitación de Newton.
Aceleración debida a
la gravedad de la tierra.
Peso de un objeto al
nivel del mar.
Gm1m2
r2
,a � g (12.4)
R2E
r2
Ejemplo activo 12.4 Peso y masa (� Relacionado con el problema 12.22)
La prensa C que se muestra en la figura pesa 14 oz al nivel del mar. [16 oz (onzas)
� 1 lb]. La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar es g � 32.2 pies/s2.
¿Cuál es la masa de la prensa C en slugs?
Estrategia
Primero debe determinarse el peso de la prensa C en libras. Después puede usarse
la ecuación (12.6) para determinar la masa en slugs.
Solución
Problema de práctica La masa de la prensa C es 0.397 kg. La aceleración debida a
la gravedad al nivel del mar es g = 9.81 m/s2. ¿Cuál es el peso de la prensa C al nivel
del mar en newtons?
Respuesta: 3.89 N.
Convierta el peso de
onzas a libras.
Use la ecuación (12.6) para
calcular la masa en slugs.
0.875 lb
32.2 pies/s2
1 lb
16 oz
W
g
m � � � 0.0272 slug.
14 oz � 14 oz � 0.875 lb.� �
RESULTADOS
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12.2 Gravitación de Newton 17
Ejemplo 12.5 Determinación del peso de un objeto (� Relacionado con el problema 12.27)
Cuando el vehículo exploratorio de Marte (Mars Exploration Rover) se ensambló
por completo, su masa fue de 180 kg. La aceleración debida a la gravedad en la su-
perficie de Marte es 3.68 m/s2 y el radio de Marte es 3390 km.
a) ¿Cuál era el peso del Rover cuando estaba al nivel del mar en la Tierra?
b) ¿Cuál es el peso del Rover sobre la superficie de Marte?
c) La fase de introducción comenzó cuandola nave espacial alcanzó el punto de in-
terfaz con la atmósfera de Marte a 3522 km desde el centro de Marte. ¿Cuál era el
peso del Rover en ese punto?
Operación de ensamble del vehículo exploratorio de Marte.
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18 Capítulo 12 Introducción
Estrategia
El peso del Rover al nivel del mar en la Tierra está dado por la ecuación (12.6) con
g � 9.81 m/s2.
El peso sobre la superficie de Marte puede determinarse mediante el uso de la ecua-
ción (12.6), con la aceleración debida a la gravedad igual a 3.68 m/s2.
Para determinar el peso del Rover al inicio de la fase de introducción, se puede es-
cribir una ecuación para Marte equivalente a la ecuación (12.5).
Solución
a) El peso al nivel del mar en la Tierra es
b) Sea gM � 3.68 m/s
2 la aceleración debida a la gravedad en la superficie de Marte.
Entonces el peso del Rover sobre la superficie de Marte es
c) Sea RM � 3390 km el radio de Marte. A partir de la ecuación (12.5), el peso del
Rover cuando éste se encuentra a 3522 km por encima del centro de Marte es
Razonamiento crítico
En el inciso c), ¿cómo se supo que la ecuación (12.5) podía aplicarse a Marte? La
ecuación 12.5 se aplica a la Tierra con base en su modelación como una esfera
homogénea. La ecuación puede ser aplicada a otros cuerpos celestes bajo el mismo
supuesto. La exactitud de los resultados depende de qué tan poco esférico y no
homogéneo sea el objeto.
 = 614 N 1138 lb2.
 = 1180 kg213.68 m/s22 13,390,000 m2
2
13,522,000 m22
 W = mgM 
RM
2
r 2
 = 662 N 1149 lb2.
 = 1180 kg213.68 m/s22
 W = mgM
 = 1770 N 1397 lb2.
 = 1180 kg219.81 m/s22
 W = mg
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Problema 12.29
Problemas 19
12.28 Si un objeto está cerca de la superficie de la Tierra, a me-
nudo la variación de su peso con la distancia desde el centro de la
Tierra puede ignorarse. La aceleración debida a la gravedad al
nivel del mar es g � 9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370
km. El peso de un objeto al nivel del mar es mg, donde m es su
masa. ¿A que altura sobre la superficie terrestre el peso del objeto
se reduce a 0.99 mg?
12.29 El planeta Neptuno tiene un diámetro ecuatorial de 49,532
km y su masa es 1.0247 � 1026 kg. Si el planeta se modela como
una esfera homogénea, ¿cuál es la aceleración debida a la grave-
dad en su superficie? (La constante gravitatoria universal es 
G � 6.67 � 10–11 N-m2/kg2).
� 12.22 La aceleración debida a la gravedad en la superficie de
la Luna es 1.62 m/s2. a) ¿Cuál sería la masa de la prensa C del
ejemplo activo 12.4 sobre la superficie de la Luna? b) ¿Cuál sería
el peso de la prensa C en newtons sobre la superficie de la Luna?
12.23 El cubo de hierro de 1 pie � 1 pie � 1 pie pesa 490 lb 
al nivel del mar. Determine el peso en newtons de un cubo de 
1 m � 1 m � 1 m del mismo material al nivel del mar.
Problemas
1 pie
1 pie 1 pie
Problema 12.23
12.24 El área del Océano Pacífico es 64,186,000 millas cuadra-
das y tiene una profundidad promedio de 12,925 pies. Suponga
que el peso por unidad de volumen del agua del océano es 64
lb/pie3. Determine la masa del Océano Pacífico a) en slugs y b) en
kilogramos.
12.25 La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar es 
g � 9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370 km. La constante
gravitatoria universal es G � 6.67 � 10–11 N-m2/kg2. Use esta in-
formación para determinar la masa de la Tierra.
12.26 Una persona pesa 180 lb al nivel del mar. El radio de la
Tierra es de 3960 millas. ¿Qué fuerza ejerce la atracción gravitato-
ria de la Tierra sobre la persona si ésta se encuentra en una esta-
ción espacial en órbita a 200 millas sobre la superficie de la
Tierra?
� 12.27 La aceleración debida a la gravedad en la superficie de
la Luna es 1.62 m/s2. El radio de la Luna es RM � 1738 km. (Vea
el ejemplo 12.5).
a) ¿Cuál es el peso en newtons en la superficie de la Luna de un
objeto que tiene una masa de 10 kg?
b) Usando el método descrito en el ejemplo 12.5, determine la
fuerza ejercida sobre el objeto por la gravedad de la Luna si éste
se encuentra a 1738 km por encima de la superficie lunar.
12.30 En un punto entre la Tierra y la Luna, la magnitud de la
fuerza ejercida sobre un objeto por la gravedad de la Tierra es
igual a la magnitud de la fuerza ejercida sobre el objeto por la
gravedad de la Luna. ¿Cuál es la distancia desde el centro de 
la Tierra hasta ese punto con tres dígitos significativos? La dis-
tancia desde el centro de la Tierra hasta el centro de la Luna
es 383,000 km y el radio de la Tierra es 6370 km. El radio de la
Luna es 1738 km y la aceleración debida a la gravedad en su 
superficie es 1.62 m/s2.
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an at
Movimiento de un punto
En este capítulo se inicia el estudio del movimiento. Aquí no se
tiene interés en las propiedades de los objetos ni en las causas de
sus movimientos; el objetivo consiste sólo en describir y analizar
el movimiento de un punto en el espacio. Después de definir la
posición, velocidad y aceleración de un punto, se considera el
caso más sencillo: el movimiento a lo largo de una línea recta.
Posteriormente se muestra la manera en que el movimiento de
un punto a lo largo de una trayectoria arbitraria se expresa y
analiza usando diversos sistemas coordenados.
C A P Í T U L O
13
� Las líneas muestran las trayectorias seguidas por partículas subatómicas que
se mueven en un campo magnético. Las partículas con trayectorias curvas
tienen tanto componentes de aceleración tangenciales como normales.
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22 Capítulo 13 Movimiento de un punto
(a)
(b)
O
O
r
r
y
x
x
z
z
y
Figura 13.1
Marcos de referencias convenientes para espe-
cificar posiciones de objetos
(a) en una habitación;
(b) en un avión.
13.1 Posición, velocidad y aceleración
ANTECEDENTES
Si alguien observa a la gente que se encuentra dentro de una habitación, por ejem-
plo un grupo de personas en una fiesta, podrá percibir las posiciones en relación
con la habitación. Algunas personas estarán en el fondo de la habitación, otras en
medio del cuarto, etcétera. La habitación es su “marco de referencia”. Para preci-
sar esta idea se puede introducir un sistema de coordenadas cartesianas con sus
ejes alineados con las paredes del cuarto como en la figura 13.1a y especificar la
posición de una persona (en realidad, la posición de algún punto de la persona, por
ejemplo su centro de masa) indicando las componentes del vector de posición r en
relación con el origen del sistema coordenado. Este sistema de coordenadas es un
marco de referencia conveniente para los objetos en la habitación. Si alguien está
sentado en un avión, podrá percibir las posiciones de los objetos dentro del avión
en relación con éste. En tal caso, el interior del avión es su marco de referencia.
Para especificar de manera precisa la posición de una persona dentro del avión, se
puede introducir un sistema de coordenadas cartesianas que esté fijo en relación
con el avión y mida la posición del centro de masa de una persona especificando
las componentes del vector de posición r en relación con el origen (figura 13.1b).
Un marco de referencia es simplemente un sistema coordenado que es adecuado
para especificar posiciones de puntos. Se recomienda familiarizarse por lo menos
con las coordenadas cartesianas. En este capítulo se analiza otro ejemplo y a lo
largo del libro se continúa el estudio de los marcos de referencia.
Se puede describir la posición de un punto P en relación con un marco de
referencia dado con origen O mediante el vector de posición r desde O hasta P
(figura 13.2a). Suponga que P está en movimiento respecto al marco de referencia
escogido, de manera que r es una función del tiempo t (figura 13.2b). Lo anterior
se expresa mediante la notación
r � r(t).
La velocidad de P respecto al marco de referencia dado en el tiempo t se define como
(13.1)v =
dr
dt
= lím
¢t: 0r1t + ¢ t2 - r1t2
¢t
,
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13.1 Posición, velocidad y aceleración 23
P
r
P
(a) (b)
O
r(t � �t)
P(t � �t)
r(t � �t) � r(t)
P(t)
r(t)
(c)
O
O
Figura 13.2
(a) Vector de posición r de P respecto a O.
(b) Movimiento de P respecto al marco de
referencia.
(c) Cambio en la posición de P de t a t � ¢t.
v(t � �t)
v(t � �t)
v(t � �t) � v(t)
v(t)
v(t)
O
r	
r
P
O	
O
(a)
r	
r
R
P
O	
O
(b)
Figura 13.4
(a) Vectores de posición de P relativos a O y O	.
(b) Vector de posición de O	 relativo a O.
donde el vector r(t � ¢t)� r(t) es el cambio de posición, o desplazamiento de P,
durante el intervalo de tiempo ¢t (figura 13.2c). Así, la velocidad es la razón de
cambio de la posición de P.
Las dimensiones de una derivada se determinan como si fuera una proporción,
por lo que las dimensiones de v son (distancia)�(tiempo). El marco de referencia
usado suele ser obvio, y se llamará simplemente v a la velocidad de P. Sin embargo,
recuerde que la posición y la velocidad de un punto pueden especificarse sólo con
respecto a un marco de referencia.
Observe en la ecuación (13.1) que la derivada de un vector con respecto al
tiempo se define exactamente igual que la derivada de una función escalar. Por lo
anterior, la derivada de un vector comparte algunas propiedades de la derivada de
una función escalar. Se usarán dos de esas propiedades: la derivada con respecto
al tiempo, o derivada del tiempo, de la suma de dos funciones vectoriales u y w es
y la derivada respecto al tiempo del producto de una función escalar f y una función
vectorial u es
La aceleración de P respecto al marco de referencia dado en el tiempo t se define
como
(13.2)
donde v(t � ¢t) � v(t) es el cambio en la velocidad de P durante el intervalo de
tiempo ¢t (figura 13.3). La aceleración es la razón de cambio de la velocidad de P
en el tiempo t (la segunda derivada respecto al tiempo del desplazamiento), y sus
dimensiones son (distancia)�(tiempo)2.
Se ha definido la velocidad y la aceleración de P en relación con el origen O
del marco de referencia. Se puede demostrar que un punto tiene la misma velocidad
y aceleración en relación con cualquier punto fijo en un marco de referencia dado.
Sea O	 un punto fijado de manera arbitraria, y sea r	 el vector de posición de O	 a
P (figura 13.4a). La velocidad de P relativa a O	 es v	 � dr	�dt. La velocidad de P
d1fu2
dt
=
df
dt
 u + f 
du
dt
.
d
dt
 1u + w2 = du
dt
+
dw
dt
,
Figura 13.3
Cambio en la velocidad de P desde t hasta 
t � ¢t.
a =
dv
dt
= lím
¢t:0
v1t + ¢t2 - v1t2
¢t
,
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24 Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.2 Movimiento en línea recta
ANTECEDENTES
Este tipo simple de movimiento se analiza primordialmente para que usted obtenga
experiencia antes de pasar al caso general del movimiento de un punto. Sin embar-
go, en muchas situaciones prácticas los ingenieros deben analizar movimientos en
línea recta, como el movimiento de un vehículo sobre un camino recto o el movi-
miento de un pistón en un motor de combustión interna.
Descripción del movimiento
Considere una línea recta que pasa por el origen O de un marco de referencia dado.
Se supone que la dirección de la línea relativa al marco de referencia está fija (por
ejemplo, el eje x de un sistema de coordenadas cartesianas pasa por el origen y
relativa al origen O es v � dr�dt. Se desea demostrar que v	 � v. Sea R el vector
de O a O	 (figura 13.4b), de modo que
r	 � r � R.
Como el vector R es constante, la velocidad de P relativa a O	 es
La aceleración de P relativa a O	 es a	 � dv	�dt, y la aceleración de P relativa a O
es a � dv�dt. Como v	 � v, a	 � a. Así, la velocidad y aceleración de un punto P
relativas a un marco de referencia dado no dependen de la ubicación del punto de
referencia fijo usado para especificar la posición de P.
RESULTADOS
v¿ =
dr¿
dt
=
dr
dt
-
dR
dt
=
dr
dt
= v.
Posición
La posición de un punto P en relación con
un sistema coordenado específico, o marco
de referencia, con origen O puede describir-
se mediante el vector de posición r de O a P.
r
P
O
Velocidad
La velocidad de P relativa a O en el tiem-
po t es la derivada de la posición r con
respecto a t (la razón de cambio de r).
dr
dt
v � . (13.1)
Aceleración
La aceleración de P relativa a O en un
tiempo t es la derivada de la velocidad v
con respecto a t (la razón de cambio de v).
dv
dt
a � . (13.2)
Un punto tiene la misma velocidad y ace-
leración relativas a cualquier punto fijo en
un marco de referencia dado.
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13.2 Movimiento en línea recta 25
t
v
a
t
1
Figura 13.7
La pendiente de la línea recta tangente a la
gráfica de v contra t es la aceleración en el
tiempo t.
tiene una dirección fija en relación con el marco de referencia). Se puede especi-
ficar la posición de un punto P sobre una línea recta respecto a O por medio de una
coordenada s medida a lo largo de la línea que va de O a P. En la figura 13.5a se
define a s como positiva hacia la derecha, por lo que s es positiva cuando P está a
la derecha de O y negativa cuando P está a la izquierda de O. El desplazamiento
de P durante un intervalo de tiempo de t0 a t es el cambio de posición s(t)� s(t0),
donde s(t) denota la posición en el tiempo t.
Al introducir un vector unitario e que es paralelo a la línea y que apunta en la
dirección positiva de s (figura 13.5b), es posible escribir el vector de posición de
P respecto a O como
r � se.
Como la magnitud y la dirección de e son constantes, de�dt � 0, por lo que la velo-
cidad de P respecto a O es
Se puede escribir el vector velocidad como v � ve, y obtener la ecuación escalar
La velocidad v de un punto P a lo largo de la línea recta es la razón de cambio de su
posición s. Observe que v es igual a la pendiente en un tiempo t de la línea tangente
a la gráfica de s como una función del tiempo (figura 13.6).
La aceleración de P respecto a O es
Al escribir el vector de aceleración como a � ae se obtiene la ecuación escalar
La aceleración a es igual a la pendiente en el tiempo t de la línea tangente a la grá-
fica de v como una función del tiempo (figura 13.7).
Con la introducción del vector unitario e, se han obtenido ecuaciones escalares
que describen el movimiento de P. La posición queda especificada por la coordena-
da s, y la velocidad y la aceleración están regidas por las ecuaciones
(13.3)
y
(13.4)
Aplicando la regla de la cadena del cálculo diferencial, es posible escribir la deri-
vada de la velocidad con respecto al tiempo como
con lo que se obtiene una expresión alternativa para la aceleración que frecuente-
mente resulta útil:
(13.5)a =
dv
ds
 v.
dv
dt
=
dv
ds
 
ds
dt
,
a =
dv
dt
.
v =
ds
dt
a =
dv
dt
=
d2s
dt2
.
a =
dv
dt
=
d
dt
 1ve2 = dv
dt
 e.
v =
ds
dt
.
v =
dr
dt
=
ds
dt
 e.
O P
s
(a)
s
O P
r
(b)
s
e
Figura 13.5
(a) Coordenada s de O a P.
(b) Vector unitario e y vector de posición r.
t
s
v
t
1
Figura 13.6
La pendiente de la línea recta tangente a la
gráfica de s contra t es la velocidad en el
tiempo t.
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26 Capítulo 13 Movimiento de un punto
Análisis del movimiento
En algunas situaciones se conoce la posición s de algún objeto como función del
tiempo. Los ingenieros usan métodos como el radar y la interferometría de láser
para medir posiciones en función del tiempo. En este caso, con las ecuaciones
(13.3) y (13.4) pueden obtenerse por diferenciación la velocidad y la aceleración
como funciones del tiempo. Por ejemplo, si la posición del camión de la figura
13.8 durante el intervalo de tiempo de t � 2 s a t � 4 s está dada por la ecuación
entonces, su velocidad y aceleración durante ese intervalo de tiempo son
y
Sin embargo, es más común conocer la aceleración de un cuerpo que su posición,
porque la aceleración de un cuerpo se puede determinar mediante la segunda ley de
Newton cuando se conocen las fuerzas que