Anexo 1 - Presentación tarea 1

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ECUACIONES DIFERENCIALES
UNIDAD UNO
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
Presentado a:
Daniel Francisco Bustos Ríos
Entregado por: 
Diego Armando Jiménez Buelvas 
Código: 1066729863
Grupo: 100412_7
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS 
CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
FECHA
27/09/2023
INTRODUCCIÓN
En este documento se presentan algunos ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de distintos tipos: separables, homogéneas, exactas y lineales. Estos tipos de ecuaciones se caracterizan por tener una forma específica que permite aplicar ciertas transformaciones o procedimientos para obtener la solución general o particular. Además, se explican los conceptos y las propiedades de cada tipo de ecuación, así como los pasos a seguir para resolverlas. Los ejercicios propuestos tienen un grado de dificultad creciente y abarcan diferentes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en diversas áreas del conocimiento. Al final de cada ejercicio se muestra la solución detallada y se verifica que cumpla con la ecuación diferencial y las condiciones iniciales dadas. También se incluyen algunas gráficas que ilustran el comportamiento de las soluciones en función de las variables independientes.
OBJETIVOS
Objetivo general 
· Resolver y analizar ecuaciones diferenciales de distintos tipos y aplicaciones mediante métodos y técnicas adecuados
Objetivos específicos 
· Identificar y clasificar las ecuaciones diferenciales según su forma, orden y grado
· Aplicar los procedimientos y las fórmulas correspondientes para hallar la solución general o particular de cada tipo de ecuación diferencial
· Interpretar y graficar las soluciones de las ecuaciones diferenciales en función de las variables independientes y las condiciones iniciales.
ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL
EJERCICIOS PARA DESARROLLAR
EJERCICIO 1. ED VARIABLES SEPARABLES
	a) ENUNCIADO EJERCICIO: (LETRA E)
	PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
	RAZÓN O EXPLICACIÓN
	
	Separando variables
	
	Siendo la variable dependiente, dividimos entre 
	
	Sustituimos con 
	
	Rescribimos 
	
	Resolvemos 
	
	Integramos cada lado de la ecuación 
	
	Despejamos 
	
	Simplificamos 
EJERCICIO 2. ED PRIMER ORDEN HOMOGÉNEAS
	a) ENUNCIADO EJERCICIO: 
	PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
	RAZÓN O EXPLICACIÓN
	 
	Separando variables
	
	Integramos 
	
	Despejamos
	
	Simplificamos 
EJERCICIO 3. ED EXACTAS Y POR FACTOR INTEGRANTE.
	a) ENUNCIADO EJERCICIO: 
	PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
	RAZÓN O EXPLICACIÓN
	 
	
	
	
	
	
EJERCICIO 4. ED LINEALES DE PRIMER ORDEN
	ENUNCIADO EJERCICIO: 
	PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
	RAZÓN O EXPLICACIÓN
	 
	Despejamos 
	
	Factor integrante 
	
	Reemplazamos 
	
	
	
	
	
	Simplificamos 
EJERCICIO 5. APLICACIONES DE LAS ED DE PRIMER ORDEN.
	PREGUNTAS ORIENTADORAS
	RAZÓN O EXPLICACIÓN
	1. ¿Cuál es el enunciado del problema que me corresponde resolver?
	Aplicación al crecimiento poblacional: Se sabe que la tasa de crecimiento de una determinada población de bacterias es directamente proporcional al número de bacterias existentes. Se realiza un cultivo en laboratorio, introduciendo 2.6 millones de bacterias en un recipiente y se observa que la población se duplica cada 4 horas. Calcular la población existente al cabo de 12 horas
	2. ¿Cuál sería el bosquejo, diagrama o gráfica qué explique la situación problema planteada? 
	
	3. ¿Cuál es la ecuación diferencial que modela la situación problema?
	
	4. ¿Cuál es el método utilizado para encontrar la solución general de la ecuación diferencial?. (Detalle paso a paso de este método).
	El método utilizado para encontrar la solución general y(t) de una ecuación diferencial lineal de primer orden es el siguiente:
1. Se escribe la ecuación en la forma normalizada:
donde no tiene coeficiente y no tiene y
2. Se identifican las funciones y como los coeficientes de y la función del lado derecho respectivamente
3. Se usa la fórmula
para encontrar la solución general.
4. Se calcula y se sustituye en la fórmula
5. Se resuelve la integral del lado derecho usando integración por partes si es necesario
6. Se agrega la constante de integración y se simplifica el resultado dividiendo por y cancelando los exponentes
7. Se escribe la respuesta final como 
	5. De acuerdo con la pregunta del problema planteado, ¿cuáles son los procedimientos algebraicos necesarios para llegar a la solución particular ?
	Los procedimientos algebraicos necesarios para llegar a la solución particular son los siguientes:
1. Se sustituye el valor de ​ en la solución general para obtener la ecuación
2. Se despeja dividiendo ambos lados por ​
3. Se sustituye el valor deencontrado anteriormente:
4. Se sustituye el valor inicial de la población y el tiempo dado en el problema
Este resultado confirma que el número inicial de bacterias es el mismo que el dado en el problema. Si se quisiera encontrar la solución particular para otro valor de , se podría usar la misma fórmula con el valor de ​ hallado
	6. ¿Por qué esta solución particular encontrada en el anterior ítem es la solución de este problema?
	Porque satisface la ecuación diferencial y la condición inicial dadas en el problema. Es decir, cumple con las siguientes propiedades:
La tasa de crecimiento de la población es directamente proporcional al número de bacterias existentes:
El número inicial de bacterias es 2.6 millones
Estas dos condiciones determinan de forma única la solución particular que es la función que modela el crecimiento de la población de bacterias en función del tiempo. Esta solución también se puede verificar sustituyendo los valores en la ecuación diferencial y comprobando que se cumple la igualdad.
 
EJERCICIO 6 . VIDEO DE SUSTENTACIÓN
	Nombre Estudiante
	Ejercicios sustentados
	Link video explicativo
	Ejemplo:
Diego Armando Jiménez Buelvas 
	5E.
	https://vimeo.com/762971127
CONCLUSIONES
· Las ecuaciones diferenciales son herramientas matemáticas que permiten modelar y comprender diversos fenómenos naturales y sociales, así como predecir su comportamiento futuro.
· Existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales que se pueden resolver mediante métodos y técnicas específicas, dependiendo de su forma, orden y grado. Algunos de estos tipos son las ecuaciones separables, homogéneas, exactas y lineales.
· La solución de una ecuación diferencial puede ser general o particular, dependiendo de si se conocen o no las condiciones iniciales del problema. La solución se puede expresar de forma analítica o gráfica, y se debe verificar que cumpla con la ecuación diferencial original.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
García Hernández, A. E. (2015). Ecuaciones diferenciales.. Grupo Editorial Patria. (pp. 2-10). https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39438?page=2
García Hernández, A. E. (2015). Ecuaciones diferenciales.. Grupo Editorial Patria (pp. 32-39). https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39438?page=32
Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción.. Ecoe Ediciones. (pp. 53-58). https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69222?page=53
 
 
 
 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES
 
 
 
 
UNIDAD UNO
 
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
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Presentado a:
 
Daniel Francisco Bustos 
Ríos
 
 
 
 
Entregado por:
 
 
Diego Armando 
Jiménez
 
Buelvas 
 
 
Código: 
1066729863
 
Grupo: 
100412_7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS 
 
CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
 
FECHA
 
27/09/2023
 
 
 
 
 
 
 
 
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Diego Armando Jiménez Buelvas 
 
Código: 1066729863 
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