Estadistica_para_educacion_fisica

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Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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SEGUNDA EDICIÓN 
 
 
 
FERNANDO MAUREIRA CID 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
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© Texto: Fernando Maureira Cid 
 
© Estadística básica para educación física 
 
ISBN papel: 978-84-686-4579-7 
ISBN digital: 978-84-686-4604-6 
 
Impreso en España Código de barras 
Editado por Bubok Publishing S.L 
 
 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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Fernando Mauriera Cid 
 
Es PhD. en Educación, con especialización en 
neurociencia. Autor de más de 60 artículos científicos 
y varios libros sobre neurociencia, neuropsicobiología, 
ciencias cognitivas, metodología de la investigación y 
estadística. 
Profesor de la Escuela de Educación en Ciencias del 
Movimiento y Deportes, Universidad Católica Silva 
Henríquez. Santiago de Chile. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
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Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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Dedicado a mis hermanas 
Miriam y Yessenia 
a mis padres 
Fernando y Nidia, 
a mi amor 
Elizabeth 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
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Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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La segunda edición de Estadística 
para educación física es una introducción al 
cálculo de diversas pruebas descriptivas e 
inferenciales, siendo en primera instancia 
un proceso manual y luego utilizando el 
programa estadístico SPSS. Este libro 
puede ser utilizado como base para un 
curso de estadística en carreras de educa-
ción física o ciencias del deporte y/o 
magísteres o maestrías en dichas discipli-
nas. 
Cada vez estoy más convencido de 
la importancia de conocer y entender los 
fundamentos de la estadística y su aplica-
ción en el ámbito de la educación física, 
ya que esto nos permitirá generar nuevo 
conocimiento, expandiendo el campo de 
acción de nuestra disciplina y entregando 
sólidas bases a nuestro quehacer. 
Algunas características que se han 
mantenido de la primera edición del libro 
son: el enfoque pedagógico, realizando 
las pruebas estadísticas paso a paso, de 
manera que el estudiante pueda desarro-
llar manualmente los estadísticos y así 
comprenda los fundamentos matemáticos 
que justifican la utilización de los diver- 
 sos análisis; los ejemplos enfocados en 
situaciones y estudios en el ámbito de la 
educación física, de manera que la reali- 
dad analizada sea lo más cercana al 
lector; y la utilización del SPSS como 
herramienta computacional para realizar 
las pruebas de contraste de hipótesis. 
En esta nueva edición se incluyen 
definiciones más completas de los funda-
mentos teóricos de la estadística y de las 
pruebas inferenciales; mayor número de 
análisis de datos; nuevos ejemplos para 
familiarizar al lector con la aplicación de 
las diversas pruebas; y la utilización de 
una versión más actualizada del SPSS. 
En esta nueva edición de Estadística 
para educación física quisiera volver a 
agradecer a mis estudiantes, los cuales 
gracias a sus necesidades y dudas rela-
cionadas con los análisis de datos, fueron 
un estímulo para la redacción de este 
libro y para quienes espero este texto sea 
de utilidad. 
 
 
Santiago, Julio 2017 
Fernando Maureira Cid 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
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Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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INTRODUCCIÓN 19 
 
PARTE I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 21 
 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 23 
Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 33 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 47 
Capítulo 4. Estadística descriptiva: medidas de forma y gráfico de caja 61 
 
PARTE II. MUESTRAS Y PROBABILIDADES 77 
 
Capítulo 5. Muestra y Muestreo 79 
Capítulo 6. Distribuciones de probabilidades 87 
 
PARTE III. ESTADÍSTICA INFERENCIAL UNIVARIADA PARAMÉTRICA 101 
 
Capítulo 7. Estadística inferencial: aspectos básicos 103 
Capítulo 8. Normalidad de los datos 115 
Capítulo 9. Homogeneidad de varianzas 127 
Capítulo 10. Comparación de dos grupos 137 
Capítulo 11. Análisis de varianza 155 
Capítulo 12. ANOVA de medidas repetidas 169 
Capítulo 13. Correlación y regresión 183 
 
PARTE IV. ESTADÍSTICA INFERENCIAL UNIVARIADA NO PARAMÉTRICA 201 
 
Capítulo 14. Comparación de dos grupos 203 
Capítulo 15. Comparación de tres o más grupos 225 
Capítulo 16. Asociación de variables 243 
 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 255 
 
ANEXOS 257 
 
 
 
 
 
 
Fernando Maureira Cid 
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Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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INTRODUCCIÓN 19 
 
PARTE I 
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 21 
 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 23 
1.1 Definiciones básicas 23 
1.2 Niveles de medición 25 
 1.2.1 Datos categóricos 25 
 1.2.2 Datos numéricos 25 
1.3 Análisis de datos 26 
1.4 Desarrollo histórico de la estadística 27 
 
Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 33 
2.1 Tablas de frecuencia 33 
2.2 Gráficos de barra y torta 36 
2.3 Diagrama de tallo y hoja 36 
2.4 Histograma, polígonos de frecuencia y ojiva 38 
2.5 Representación de datos en SPSS 42 
 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 47 
3.1 Medidas de tendencia central 47 
 3.1.1 Media aritmética 47 
 3.1.2 Mediana 48 
 3.1.3 Moda 50 
3.2 Medidas de dispersión 51 
 3.2.1 Amplitud o rango 51 
 3.2.2 Varianza 51 
 3.2.3 Desviación estándar 53 
3.3 Medidas de posición 54 
 3.3.1 Percentiles 54 
 3.3.2 Cuartiles 55 
 3.3.3 Quintiles y deciles 56 
3.4 Medidas centrales, dispersión y posición en SPSS 57 
 
Capítulo 4. Estadística descriptiva: medidas de forma y gráfico de caja 61 
4.1 Asimetría 61 
4.2 Curtosis 63 
4.3 Distribución según su forma 65 
4.4 Gráfico de caja (box-plot) 67 
Fernando Maureira Cid 
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4.5 Gráfico de dispersión (scatter-plot) 70 
4.6 Medidas de forma en SPSS 72 
4.7 Gráfico de caja en SPSS 74 
 
 
PARTE II 
MUESTRAS Y PROBABILIDADES 77 
 
Capítulo 5. Muestra y muestreo 79 
5.1 Muestras en investigación 79 
 5.1.1 Calculo del tamaño de la muestra 79 
 5.1.2 Muestras para construir un instrumento de medición 82 
5.2 Muestreo 83 
 5.2.1 Para muestras probabilísticas 83 
 5.2.2 Para muestras no probabilísticas 85 
 
Capítulo 6. Distribuciones de probabilidades 87 
6.1 Conceptos básicos en probabilidades 87 
6.2 Distribuciones discretas 88 
 6.2.1 Distribuciónde Bernoulli 88 
 6.2.2 Distribución binominal 89 
 6.2.3 Distribución de Poison 92 
 6.2.4 Distribución hipergeométrica 93 
6.3 Distribuciones continuas 94 
 6.3.1 Distribución normal 94 
 6.3.2 Distribución Z 95 
 6.3.3 Distribuciones con muestras pequeñas 97 
 
 
PARTE III 
ESTADÍSTICA INFERENCIAL UNIVARIADA PARAMÉTRICA 101 
 
Capítulo 7. Estadística inferencial: aspectos básicos 103 
7.1 Conceptos básicos en estadística inferencial 103 
 7.1.1 Nivel de significancia 103 
 7.1.2 Métodos de inferencia estadística 104 
7.2 Intervalos de confianza 107 
7.3 Normalidad de los datos 114 
7.4 Prueba de normalidad KS en SPSS 117 
 
Capítulo 8. Normalidad de los datos 115 
8.1 Prueba KS de normalidad 115 
8.2 Prueba de normalidad de Shapiro-Wilks 118 
8.3 Prueba KS de normalidad en SPSS 121 
8.4 Prueba de normalidad de Shapiro-Wilks en SPSS 123 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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Capítulo 9. Homogeneidad de varianzas 127 
9.1 Prueba de Cochran, Hartley y Bartlett 127 
9.2 Prueba de homogenidad de varianzas en SPSS 134 
 
Capítulo 10. Comparación de dos grupos 137 
10.1 Prueba t de Student para muestras independientes 137 
10.2 Prueba t de Student para muestras relacionadas 141 
10.3 Prueba t para una muestra en SPSS 146 
10.4 Prueba t para muestras independientes en SPSS 148 
10.5 Prueba t para muestras relacionadas en SPSS 151 
 
Capítulo 11. Análisis de varianza 155 
11.1 Análisis de varianza de un factor 155 
 11.1.1 Comparaciones posteriores a F 160 
11.2 ANOVA de un factor en SPSS 162 
 
Capítulo 12. ANOVA de medidas repetidas 169 
12.1 Análisis de varianza de un factor de medidas repetidas 169 
 12.1.1 Comparaciones posteriores a F 174 
12.2 ANOVA de medidas repetidas en SPSS 176 
 
Capítulo 13. Correlación y regresión 183 
13.1 Coeficiente de correlación de Pearson 183 
13.2 Regresión lineal simple 187 
13.3 Correlación de Pearson en SPSS 191 
13.4 Correlaciones parciales en SPSS 193 
13.5 Regresión lineal simple en SPSS 195 
 
 
PARTE IV 
ESTADÍSTICA INFERENCIAL UNIVARIADA NO PARAMÉTRICA 201 
 
Capítulo 14. Comparación de dos grupos 203 
14.1 Prueba U de Mann-Whitney 203 
14.2 Prueba de rangos de Wilcoxon 206 
14.3 Prueba de Chi-cuadrado 208 
14.4 Prueba de Chi-cuadrado 2x2 211 
14.5 Prueba de McNemar 213 
14.6 Prueba Z de proprociones 214 
14.7 Prueba U de Mann-Whitney en SPSS 215 
14.8 Prueba de rangos de Wilcoxon en SPSS 218 
14.9 Prueba de Chi-cuadrado en SPSS 219 
14.10 Prueba de Chi-cuadrado 2x2 en SPSS 222 
14.11 Prueba de McNemar en SPSS 223 
 
Fernando Maureira Cid 
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Capítulo 15. Comparación de tres o más grupos 225 
15.1 Análisis de la varianza unifactorial de rangos de Kruskal-Wallis 225 
15.2 Prueba de varianza por rango de Friedman 230 
15.3 Prueba Q de Cochran 234 
15.4 Prueba de Kruskal-Wallis en SPSS 236 
15.5 Prueba de Friedman en SPSS 239 
15.6 Prueba Q de Cochran en SPSS 241 
 
Capítulo 16. Asociación de variables 243 
16.1 Correlación de Spearman 243 
16.2 Correlación de Phi 247 
16.3 Correlación de Spearman en SPSS 249 
16.4 Correlación de Phi en SPSS 251 
 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 255 
 
ANEXOS 257 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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Fórmula 1. Frecuencia relativa 34 
Fórmula 2. Media 47 
Fórmula 3. Mediana 49 
Fórmula 4. Rango 51 
Fórmula 5. Varianza 52 
Fórmula 6. Desviación estándar 53 
Fórmula 7. Percentil 55 
Fórmula 8. Cuartil 56 
Fórmula 9. Corrección cuartil 56 
Fórmula 10. Coeficiente de asimetría de Fisher 62 
Fórmula 11. Coeficiente de apuntamiento de Fisher 64 
Fórmula 12. Distancia inter-cuartil 67 
Fórmula 13. 1° cota 68 
Fórmula 14. 2° cota 68 
Fórmula 15. Tamaño de una muestra infinita 81 
Fórmula 16. Tamaño de una muestra finita 82 
Fórmula 17. Tamaño de una muestra estratificada 84 
Fórmula 18. Probabilidades 87 
Fórmula 19. Probabilidad de Bernoulli 89 
Fórmula 20. Probabilidad binominal 90 
Fórmula 21. Posibilidad de Poisson 92 
Fórmula 22. Modelo hipergeométrico 93 
Fórmula 23. Calificación Z 95 
Fórmula 24. Error estándar de la media con desviación estándar conocida 107 
Fórmula 25. Error estándar de la media con desviación estándar desconocida 108 
Fórmula 26. Diferencia de la media muestral y poblacional 108 
Fórmula 27. Intervalo de confianza para una población con desviación estándar 
 conocida 109 
Fórmula 28. Intervalo de confianza para una población con desviación estándar 
 desconocida 111 
Fórmula 29. Intervalo de confianza para proporciones 112 
Fórmula 30. Contraste de hipótesis para proporciones 113 
Fórmula 31. Prueba de Shapiro-Wilk 119 
Fórmula 32. Valor F 128 
Fernando Maureira Cid 
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Fórmula 33. R de Cochran 129 
Fórmula 34. F de Hartley 130 
Fórmula 35. B de Bartlett 132 
Fórmula 36. Valor C 132 
Fórmula 37. Valor S2p 132 
Fórmula 38. Error estándar de la diferencia de medias independientes con desviación 
 estándar conocida 138 
Fórmula 39. Error estándar de la diferencia de medias independientes con desviación 
 estándar desconocida 138 
Fórmula 40. Intervalos de confianza de diferencia de medias independientes 139 
Fórmula 41. Valor t de muestras independientes 139 
Fórmula 42. Tamaño del efecto de la prueba t para muestras independientes 140 
Fórmula 43. Desviación típica combinada 140 
Fórmula 44. Suma de cuadrados de la diferencia 143 
Fórmula 45. Desviación estándar de diferencia de medias relacionadas 143 
Fórmula 46. Error estándar de diferencia de medias relacionadas 143 
Fórmula 47. Intervalos de confianza de diferencia de medias relacionadas 144 
Fórmula 48. Valor t de muestras relacionadas 145 
Fórmula 49. Tamaño del efecto de la prueba t para muestras relacionadas 145 
Fórmula 50. Suma de cuadrados totales 156 
Fórmula 51. Suma de cuadrados inter-grupos 157 
Fórmula 52. Suma de cuadrados intra-grupos 157 
Fórmula 53. Cuadrados medios inter-grupos 158 
Fórmula 54. Cuadrados medios intra-grupos 158 
Fórmula 55. Valor F de análisis de varianza 158 
Fórmula 56. Cuadrado medio intra-grupo promedio 160 
Fórmula 57. Error estándar de una media 161 
Fórmula 58. Valor D 161 
Fórmula 59. Suma de cuadrados totales 170 
Fórmula 60. Suma de cuadrados inter-grupos 171 
Fórmula 61. Suma de cuadrados inter-sujetos 171 
Fórmula 62. Suma de cuadrados residual 172 
Fórmula 63. gl inter-grupos 172 
Fórmula 64. gl inter-sujetos 172 
Fórmula 65. gl residual 172 
Fórmula 66. gl total 172 
Fórmula 67. Media cuadrática inter-grupos 172 
Fórmula 68. Media cuadrática residual o intra-grupos 173 
Fórmula 69. Valor F 173 
Fórmula 70. Intervalos de confianza para pares de medias 175 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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Fórmula 71. Covarianza 184 
Fórmula 72. Correlación de Pearson 185 
Fórmula 73. Coeficiente de determinación 186 
Fórmula 74. Regresión lineal 188 
Fórmula 75. Suma de los errores al cuadrado 188 
Fórmula 76. Valor β1 188 
Fórmula 77. Valor SSxy 188 
Fórmula 78. Valor SSxx 188 
Fórmula 79. Valor β0 189 
Fórmula 80. Varianza residual 190 
Fórmula 81. Estadístico de contraste t para regresión lineal 191 
Fórmula 82. ValorU de Mann-Whitney 204 
Fórmula 83. Puntuación Z de la U de Mann-Whitney 205 
Fórmula 84. Puntuación Z de la prueba de Wilcoxon 208 
Fórmula 85. Media de la T de Wilcoxon 208 
Fórmula 86. Desviación estándar de la T de Wilcoxon 208 
Fórmula 87. Frecuencia esperada 209 
Fórmula 88. Prueba de Chi-cuadrado 210 
Fórmula 89. Grados de libertad de Chi-cuadrado 210 
Fórmula 90. Valor de Chi-cuadrado para tabla de 2x2 212 
Fórmula 91. Valor X2 de McNemar 213 
Fórmula 92. Prueba Z de proporciones 214 
Fórmula 93. Valor de Kruskal-Wallis sin empates 227 
Fórmula 94. Valor de Kruskal-Wallis con empates 227 
Fórmula 95. Valor crítico de diferencias de KW 229 
Fórmula 96. Valor de Friedman sin empates 232 
Fórmula 97. Valor de Friedman con empates 232 
Fórmula 98. Valor crítico de diferencias de Friedman 233 
Fórmula 99. Valor Q 235 
Fórmula 100. Correlación de Spearman sin empates 245 
Fórmula 101. Correlación de Spearman con empates 246 
Fórmula 102. Correlación de Phi 248 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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La estadística es un elemento funda-
mental para desarrollar nuestras investí-
gaciones científicas, ya que ella nos per-
mite clasificar, comparar y asociar nues-
tros datos, de manera tal que podamos 
generar conclusiones e inferencias. Una 
vez que determinamos nuestro tipo de 
investigación (exploratoria, descriptiva, 
correlacional o explicativa), nuestro dice-
ño (experimental o no experimental), 
nuestros instrumentos y recogemos los 
datos, debemos proceder a aplicar diver-
sos análisis estadísticos para obtener 
nuestros resultados. 
Existen falencias en los conocimien-
tos y aplicaciones de la estadística por 
parte de los estudiantes y profesionales 
de la educación física, por lo que surge la 
idea de este libro con los aspectos básicos 
de esta ciencia, orientado a los lectores 
que estudian por primera vez esta área de 
conocimiento, ya sea por la exigencia de 
un curso o por la necesidad de realizar 
una investigación orientada a la obten-
ción de una licenciatura o magíster. 
El libro está dividido en 4 partes: la 
primera corresponde a la estadística des-
criptiva, constituida por cuatro capítulos 
donde se explican algunos conceptos fun-
damentales para esta ciencia, se presenta 
una clasificación de los principales análi-
sis, se realiza un breve resumen de la his-
toria de esta rama de las matemática, se 
muestra el paso a paso de los cálculos de 
frecuencia, las principales formas de 
representación gráfica de las mismas, los 
principales análisis de tendencia central, 
dispersión, posición y forma. Todos para 
presentar los datos de una investigación. 
 En la segunda parte, constituida por 
dos capítulos, se estudia el cálculo del ta-
maño de las muestras y las formas de 
muestreo. Además se analizan breve-
mente las principales distribuciones de 
datos, tanto discretas como continuas. 
La tercera parte corresponde a la 
estadística inferencial univariada para-
métrica y está constituida por siete 
capítulos. En ellos se realiza una intro-
ducción a los conceptos más relevantes 
en estadística inferencial: nivel de signi-
ficancia, estimaciones, contraste de hipó-
tesis y cálculos de normalidad en la dis-
tribución de datos. Luego se explican los 
cálculos de igualdad de varianzas y 
pruebas estadísticas para comparar dos y 
tres o más grupos diferentes (prueba t 
para muestras independientes y ANO-
VA de un factor), dos y tres o más 
mediciones al mismo grupo (prueba t 
para muestras relacionadas y ANOVA 
de un factor de medidas repetidas) y 
asociaciones entre variables (correlacio-
nes de Pearson y regresiones lineales 
simples). 
La cuarta parte corresponde a la 
estadística inferencial univariada no 
paramétrica, constituida por tres capítu-
los. En ellos se explican los análisis para 
datos que no poseen una distribución 
normal, comparando dos y tres o más 
grupos diferentes (prueba U de Mann-
Whitney, de Wilcoxon y Chi-cuadrado), 
comparando dos y tres o más mediciones 
al mismo grupo (Kruskal-Wallis, Fried-
man y Q de Cochran) y asociación de 
variables (correlaciones de Spearman y 
de Phi). 
Fernando Maureira Cid 
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Cada capítulo presenta los análisis 
de datos en su versión manual y en el 
programa estadístico SPSS 22.0. 
Es importante destacar que los ejem-
plos mostrados en cada uno de los capítu-
los y temas de este libro son FICTICIOS y 
solo formulados para ilustrar los análisis 
correspondientes. 
 Espero que este libro pueda ser una 
guía para estudiantes de pre-grado y 
magíster en educación física, como así 
también para profesionales del área que 
deseen explorar y desarrollar la inves-
tigación científica y ayuden de este modo 
al crecimiento de nuestra disciplina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
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La estadística es una rama de las 
matemáticas que reúne y clasifica los da-
tos numéricos para generar conclusiones 
e inferencias a partir de ellos. General-
mente se cuenta sólo con un pequeño con-
junto de datos, ya que puede resultar difí-
cil medir a todas las unidades que posean 
las características que interesan al investí-
gador. Pese a ello es posible inferir parti-
cularidades del conjunto total de unida-
des con sólo un pequeño grupo de ellas. 
Por ejemplo, es posible conocer con cierta 
precisión la estatura promedio de todos 
los estudiantes de un colegio, aun cuando 
sólo evaluemos a algunos de ellos. 
La particularidad de describir e infe-
rir información es lo que hace de la esta-
dística una disciplina tan atractiva para 
cualquier ámbito de conocimiento. Debi-
do a la necesidad de incorporar esta rama 
de las matemáticas a la educación física es 
que comenzaremos nuestro estudio con la 
aclaración de algunos conceptos funda-
mentales y que se utilizarán a los largo de 
este libro. 
 
 
1.1 DEFINICIONES BÁSICAS 
 
a) Población: conjunto total de sujetos o 
unidades de análisis sobre los que de-
seamos hacer conclusiones. En gene-
ral este conjunto es demasiado grande 
para abarcarlo en su totalidad. Por 
 ejemplo: los 10.000 estudiantes de 
enseñanza media de los colegios de 
la comuna de Santiago Centro, los 
5.000 adultos mayores de la zona 
oriente de Santiago, los 700 estudian-
tes de enseñanza básica de un colegio 
de Iquique, las 1.200 personas que 
asisten a un gimnasio de la comuna 
de Providencia, etc. 
 
b) Muestra: subconjunto de la pobla-
ción a la cual tenemos acceso y sobre 
quienes se realizarán verdaderamen-
te las mediciones. Por ejemplo: 250 
estudiantes de enseñanza media de 5 
colegios de la comuna de Santiago 
Centro, 160 adultos mayores de la 
zona oriente de Santiago, 80 estu-
diantes de enseñanza básica de un 
colegio de Iquique, 130 personas que 
asisten a un gimnasio de la comuna 
de Providencia, etc. 
 
c) Variable: es una característica obser-
vable que varía entre los diferentes 
individuos de una población. Por 
ejemplo: la edad, estatura, peso, 
porcentaje de grasa corporal, fuerza, 
resistencia, etc. 
 
d) Dato: un valor particular de una va-
riable,también llamado observación 
o medición. Por ejemplo: 28 años, 
1,82 mts. de estatura, 84 kilos, 21% de 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
24 
 
 
grasa corporal, 7 minutos en el test de 
Naveta, etc. 
 
e) Parámetro: Cantidad numérica calcu-
lada sobre una población. Por ejem-
plo: la estatura media de los 10.000 
estudiantes de enseñanza media de 
los colegios de la comuna de Santiago 
Centro, la fuerza del tren superior de 
los 5.000 adultos mayores de la zona 
oriente de Santiago, la resistencia de 
los 700 estudiantes de enseñanza 
básica de un colegio de Iquique, el 
porcentaje de grasa de las 1.200 
personas que asisten a un gimnasio 
de la comuna de Providencia, etc. 
 
f) Estadístico: Cantidad numérica calcu-
lada sobre la muestra. Por ejemplo, la 
 estatura media de 250 estudiantes de 
enseñanza media de los colegios de 
la comuna de Santiago Centro, la 
fuerza del tren superior de 160 
adultos mayores de la zona oriente 
de Santiago, la resistencia de 80 
estudiantes de enseñanza básica de 
un colegio de Iquique, el porcentaje 
de grasa de 130 personas que asisten 
a un gimnasio de la comuna de 
Providencia, etc. 
 
g) Censo: datos de una o más variables 
de toda la población. Por ejemplo: el 
CENSO poblacional que se realiza en 
nuestro país cada 10 años. 
 
h) Unidad de análisis: corresponde al 
objeto estudiado. Por ejemplo, una 
 
 
 
 
 
 Variable Caso Observación 
 
Figura 1.1 Conceptos importantes en un conjunto de datos. 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
________________________________________________________________________ 
 
25 
 
 
persona, una familia, un colegio, una 
región, un país, etc. 
 
i) Caso o registro: corresponde al con-
junto de mediciones realizadas sobre 
una unidad de análisis. Por ejemplo: 
el sexo, la edad, el curso y el IMC de 
una persona; la fuerza, velocidad, 
resistencia y flexibilidad de un depor-
tista, etc. 
 
 
1.2 NIVELES DE MEDICION 
 
Los datos obtenidos de nuestras va-
riables evaluadas pueden ser de dos ti-
pos: a) categóricos; b) numéricos. Deter-
minar correctamente el nivel de medición 
(o naturaleza de los datos) es fundamen-
tal en estadística, ya que esto determinará 
finalmente que tipos de análisis podemos 
realizar con ellos. 
 
 
1.2.1 Datos categóricos 
 
Las variables categóricas son las que 
registran la presencia de un atributo. Es 
importante destacar que las categorías 
deben ser excluyentes, es decir, un mismo 
sujeto no puede estar en dos categorías al 
mismo tiempo. La cantidad de categorías 
va a depender de las características del 
atributo medido. Son ejemplos de datos 
categóricos la puntuación baja, media y 
alta de un test; la presencia y ausencia de 
una cualidad; el tipo de colegio (munici-
pal, subvencionado y particular), etc. 
Las variables categóricas se dividen a 
su vez en dos grupos: 
 
a) Variables categóricas nominales: Son 
aquellas donde las categorías no po-
seen un orden, todas valen los mismo. 
 Estas variables pueden ser dicotó-
micas (cuando poseen dos catego-
rías) o policotómicas (tres o más ca-
tegorías). Por ejemplo: 
 Sexo de un sujeto: masculino-feme-
nino (variable dicotómica) 
 Presencia o ausencia de un atributo: 
embarazada – no embarazada (varia-
ble dicotómica) 
 Religión: cristiano, musulmán, pro-
testante, budista, etc. (variable poli-
cotómica) 
 Estado civil: soltero, casado, separa-
do, viudo (variable policotómica). 
 Comuna de residencia: Santiago Cen-
tro, Recoleta, Providencia, Ñuñoa, 
Maipú, etc. (variable policotómica). 
 
b) Variables categóricas ordinales: Son 
aquellas donde las categorías poseen 
un orden jerárquico, es decir, hay 
categorías mayores o más importan-
tes que otras. Por ejemplo: 
 Cursos del colegio (1°, 2°, 3°, 4°, etc.) 
 Nivel de desarrollo de patrones mo-
tores (bajo, medio y alto) 
 IMC (bajo-peso, normal, sobrepeso, 
obeso) 
 Puesto de trabajo (rector, director, 
subdirector, jefe de UTP, profesor, 
etc.) 
 
 
1.2.2 Datos numéricos 
 
También conocidas como variables 
continuas o discretas. Las variables nu-
méricas son las que presentan el resul-
tado de sus observaciones como núme-
ros, permiten ordenar los valores en un 
continuo y el intervalo entre cada par de 
valores es siempre el mismo indepen-
diente del lugar donde este (el intervalo 
entre el 4 y el 5 es el mismo que entre el 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
26 
 
 
81 y 82). Estas variables se clasifican 
en dos grupos: 
 
a) Variables intervalares: Son aquellas 
que miden atributos donde el cero es 
arbitrario y no significa la ausencia 
del atributo. También puede tomar 
valores negativos. Por ejemplo: 
 Las puntuaciones en las pruebas. 
 Las puntuaciones de coeficiente inte-
lectual. 
 Las puntuaciones de un test cognitivo 
(atención, memoria, planificación, 
etc.). 
 La temperatura (en grados Celsius o 
Fahrenheit). 
 Las puntuaciones de un test de motri-
cidad, agilidad, coordinación, etc. 
 
b) Variables de razón: Son aquellas que 
miden atributos donde el cero no es 
arbitrario, sino que indica la ausencia 
de dicha característica. No existen los 
valores negativos. Por ejemplo: 
 Edad, peso, estatura, etc. 
 Número de hermanos (el cero indica 
que no se tiene hermanos). 
  Velocidad, fuerza, resistencia, etc.  Número de ingreso y egreso de una 
carrera, etc. 
 
Como se dijo anteriormente, es muy 
importante definir correctamente el tipo 
de datos al que corresponden nuestros 
valores medidos, ya que eso determina 
que tipos de análisis estadísticos son 
posibles de realizar y cuáles no. Por 
ejemplo, obtener el promedio de una 
variable numérica tiene sentido en 
cambio determinar el promedio de una 
variable categórica no lo tiene. 
 
 
1.3 ANALISIS DE DATOS 
 
La estadística se divide en dos gran-
des áreas: la estadística descriptiva o aná-
lisis exploratorio de datos (presentación 
de los datos organizados y resumen de 
los mismos) y la estadística inferencial 
(conjunto de métodos que permiten pre-
decir características de un fenómeno). 
La estadística descriptiva contiene 
las tablas de frecuencia, gráficos, medi- 
 
 
 
 
Figura 1.2 Tipos de datos. 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
________________________________________________________________________ 
 
27 
 
 
 
 
Figura 1.3 Tipos de análisis en la estadística descriptiva. 
 
 
 
das de tendencia central, medidas de dis-
persión, medidas de posición y medidas 
de forma (Fig. 1.3). 
Por su parte, la estadística inferen-
cial se divide en Univariada (cuando en 
la investigación existe una sola variable 
dependiente, pudiendo existir 1 o más va-
riables independientes) y Multivariada 
(cuando en la investigación existen dos o 
más variables dependientes, pudiendo 
existir una o más variables independien-
tes). La estadística univariada puede divi-
dirse en paramétrica y no paramétrica, 
existiendo en ambos casos prueba para 
comparar grupos y para realizar asocia-
ciones entre variables (Fig. 1.4). Por su 
parte, la estadística multivariada se 
divide en métodos de dependencia, 
métodos de interdependencia y métodos 
 estructurales (en este libro se abordará la 
estadística descriptiva y la univariada). 
 
 
1.4 DESARROLLO HISTÓRICO DE 
 LA ESTADÍSTICA 
 
La estadística es tan antigua como 
la escritura y corresponde a un elemento 
complementario a todas las ciencias. La 
historia de esta disciplina puede clasifi-
carse en 4 etapas: Censos, Aritmética Po-
lítica, Cálculo de probabilidades y Esta-
dística moderna. 
 
a) La primera etapa de la estadística se 
conoce como los censos, ya que se 
basa en la descripción de la población 
y riquezas por parte de los gobernan- 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
28 
 
 
 
 
Figura 1.4 Tipos deanálisis en la estadística inferencial univariada. 
 
 
 
tes para lograr mejorar la administra-
ción de los estados. A continuación 
se presentan los hechos más relevan-
tes de esta etapa: 
 
 Los primeros indicios se remontan al 
antiguo Egipto unos 3.050 años A.C., 
con los censos de población y registro 
de las riquezas. 
 Situación similar ocurre en China en 
el año 2238 A.C. 
 Los romanos fueron quienes más uti- 
 utilizaron la estadística con censos, 
registros de nacimientos, defunción, 
matrimonios, riquezas, etc. 
 
b) La segunda etapa de la estadística: la 
aritmética política. 
 
 Durante los mil años posteriores a la 
caída del imperio romano se realiza-
ron muy pocas operaciones estadísti-
cas, con la excepción de las compila-
ciones de tierras de la iglesia realiza- 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
________________________________________________________________________ 
 
29 
 
 
da por el rey franco Pipino el Breve 
en 758 D.C. 
 En el año 1532 Enrique VII exige el 
registro de las defunciones en Ingla-
terra, debido al temor que tenía a la 
peste. Misma época en que los cléri-
gos franceses debían registrar los 
nacimientos, defunciones y matrimo-
nios. 
 En 1540 Sebastián Muster realiza una 
compilación de datos sobre la organi-
zación política, comercio y recursos 
militares de Alemania. 
 En 1632 se publican las Cuentas de 
Mortalidad en Inglaterra con los datos 
de nacimientos y defunciones. 
 En 1662 John Graunt publica Observa-
ciones Políticas y Naturales hechas a 
partir de las Cuentas de Mortalidad, 
donde utiliza registros de 30 años 
para efectuar predicciones sobre la 
muerte de personas por diversas en-
fermedades, siendo el primer intento 
de inferencia estadística del que se 
tiene registro. 
 
c) La tercera etapa de la estadística es 
denominada cálculo de probabilida-
des. 
 
 Las probabilidades comenzaron a ser 
formalizada por los franceses Blaise 
Pascal y Pierre Fermat en 1654 quie-
nes encontraron la solución a cómo 
repartir las apuestas de un juego que 
no había finalizado, mediante las pro-
babilidades de ganar que tuviese cada 
participante en ese momento. 
 En 1665 Blaise Pascal publica Tratado 
sobre el triángulo aritmético que se basa 
en las propiedades combinatorias del 
posteriormente llamado triángulo de 
Pascal (una representación de los 
coeficientes binominales ordenados 
en forma de triángulo). 
 
 
 
Figura 1.5 En las imágenes superiores 
Pipino el Breve (izquierda) y Enrique VII 
(derecha); en las imagenes inferiores 
Sebastián Muster (izquierda) y John 
Graunt (derecha). 
 
 
 
 
 
Figura 1.6 En las imagenes superiores 
Blaise Pascal (izquierda) y Pierre Fermat 
(derecha); en las imagenes inferiores 
Jacob Bernoulli (izquierda) y Godofredo 
Achenwall (derecha). 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
30 
 
 
 
 
Figura 1.7 En las imágenes superiores 
Thomas Bayes (izquierda) y Pierre 
Laplace (derecha); en las imagenes 
inferiores Karl Gauss (izquierda) y 
Jacques Quételec (derecha). 
 
 
 En 1687 se publica la obra póstuma El 
arte de la Conjetura del matemático 
Suizo Jacob Bernoulli, donde se en-
cuentra entre otras cosas, las bases del 
teorema de Bernoulli (frecuencia 
aproximada que un suceso a la proba-
bilidad p ocurra a medida que se 
repite un experimento). 
 En 1760 Godofredo Achenwall, pro-
fesor alemán, acuño el término esta-
dística que proviene del latín status 
que significa estado o situación. 
 En 1764 se publica la obra póstuma 
de Thomas Bayes Ensayo sobre la 
resolución de un problema en la doctrina 
del azar, la cual fue ignorada por sus 
contemporáneos, pero 2 siglos des-
pués sirvió para formulación de la 
inferencia bayesiana, la cual asigna 
probabilidades a fenómenos no alea-
torios, pero cuyos resultados no son 
conocidos. 
  En 1812 Pierre Simón Laplace publi-
ca Teoría analítica de probabilidades 
donde estudia los problemas de las 
probabilidades continuas. También 
descubre y demuestra el teorema de 
límite central y fusiona el cálculo de 
probabilidades y la estadística. 
 En 1823 Karl Friedrich Gauss desa-
rrolla la teoría de errores (conjunta-
mente con Bessel y Laplace) estable-
ciendo el método de mínimos cua-
drados. Además de esto, el estudio 
de la distribución normal fue el gran 
aporte de Gauss al cálculo de proba-
bilidades. 
 En 1835 Jacques Quételect (matemá-
tico belga) es quien aplica por prime-
ra vez la estadística a las ciencias so-
ciales. 
 
d) La cuarta etapa de la estadística es 
denominada Estadística moderna. 
 
 En 1837 Simeón Poisson publicó 
Tratado de probabilidades que contiene 
la ley de probabilidades conocida 
como distribución de Poisson y la 
generalización de la ley de los gran-
des números de Bernoulli. 
 En 1888 Francis Galton introdujo el 
término correlación para hacer refe-
rencia a la influencia relativa de una 
variable sobre otra. También trabajo 
en regresión lineal, componentes de 
varianza y diseño curvas normales 
inversas llamadas ojivas. Sus trabajos 
en la ley normal bivariada de proba-
bilidades dieron origen a la ley nor-
mal multivariada, base de la estadís-
tica multivariante. 
 En 1892 Karl Pearson publica La 
gramática de la ciencia, donde estudió 
curvas asimétricas y generó el test de 
Chi-cuadrado. También trabajó y 
perfeccionó los análisis de correla- 
Capítulo 1. Conceptos básicos en estadística 
________________________________________________________________________ 
 
31 
 
 
ción de Galton, desarrollando la 
correlación de Pearson. 
 En 1902 el inglés William Sealey 
Gosset publica un artículo con las ba-
ses de la distribución t de Student 
(seudónimo con el cual publicó dicho 
artículo). 
 En 1925 Ronald Arnold Fisher, 
matemático y biólogo inglés, publica 
su libro Métodos estadísticos para inves-
tigadores. Creo el análisis de varianza, 
numerosos análisis multivariados y 
del método de máxima verosimilitud 
para la estimación de parámetros. 
Desarrollo el diseño experimental en 
bloques, la aleatorización y los dice-
ños factoriales. Considerado el más 
grande estadístico del siglo XX. 
 En 1933 el ruso Andrei Kolmogorov 
desarrolló una teoría de probabilida-
des totalmente basada en axiomas 
fundamentales totalmente rigurosos. 
 En 1934 el polaco Jerzy Neyman 
introduce la teoría de los intervalos 
de confianza. También publica el pri-
mer trabajo en muestreos de pobla-
ciones finitas. 
 En 1936 Jerzy Neyman y Egon Pear-
son (hijo de Karl Pearson) presentan 
una teoría sobre la prueba de hipóte-
sis en estadística. 
 La década de 1930-1940 fue el auge de 
la estadística multivariada con Maha-
lanobis (1936), Fisher (1936), Hotte-
ling (1936), Bartlett (1938), etc. 
 En 1945 el estadounidense Frank 
Wilcoxon publicó un trabajo donde 
reemplazó los datos por sus rangos, 
de manera que fue posible conocer 
propiedades distribucionales de los 
mismos, creando así la prueba de 
rangos de Wilcoxon. Esta idea es la 
 
 
 
Figura 1.8 En las imágenes superiores 
Francis Galton (izquierda) y Karl 
Pearson (derecha); en las imagenes 
inferiores Ronald Fisher (izquierda) y 
Frank Wilcoxon (derecha). 
 
 
base de la estadística no paramétrica. 
 En 1952 los estadounidenses William 
Kruskal y Allen Wallis publican el 
análisis de rangos que lleva su nom-
bre. 
 A partir de la segunda mitad del 
siglo XX, la estadística está fuerte-
mente asociada a la computación, ya 
que el desarrollo de software estadís-
ticos permite la realización de cientos 
o miles de cálculos en tiempos redu-
cidos o el trabajo con decenas de 
variables al mismo tiempo. Por ejem-
plo el programa SPSS fue creado en 
1968 y en el 2016 se lanzó su versión 
24.0. Los programas estadísticos más 
usados en la actualidad son: SPSS, 
SAS, R, Statistica, Stata, Matlab, 
Minitab, etc. 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
32Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 
________________________________________________________________________ 
 
33 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
La estadística descriptiva o análisis 
exploratorio de datos ofrece modos de 
presentar y evaluar las características más 
importantes de un conjunto de datos. Esto 
a través de tablas, gráficos y medidas re-
súmenes. Es importante recordar que la 
finalidad de estos análisis no es el de 
obtener conclusiones sobre las variables 
que se están midiendo, sino solamente 
mostrar las características que presentan 
los datos que hemos recolectado. 
 
 
2.1 TABLAS DE FRECUENCIA 
 
Nivel de medición: 
Nominal y Ordinal 
 
La tabla de frecuencia es el modo 
más sencillo de presentar los datos, en 
ella se observa: 
 
 El nombre de las categorías: grupos 
en los cuales se clasifican los datos 
obtenidos. Por ejemplo: presión arte-
rial baja, presión arterial media y pre-
sión arterial alta; soltero, casado, di-
vorciado, viudo; colegio municipal, 
colegio subvencionado, colegio parti-
cular, etc. 
 La frecuencia absoluta: número de 
sujetos que componen cada catego-
ría. Por ejemplo: de 155 personas 
evaluadas 20 de ellas poseen una pre- 
 sión arterial baja, 80 personas una 
presión arterial media y 55 personas 
una presión arterial alta. 
 La frecuencia relativa: porcentaje 
que representa el número de sujetos 
en cada categoría en relación al total 
de observaciones. Por ejemplo: el 
12,9% de las personas evaluadas po-
seen una presión arterial baja, el 
51,6% poseen una presión arterial 
media y el 35,5% posee una presión 
arterial alta. 
 La frecuencia acumulada: porcentaje 
acumulado que corresponde a la su-
ma de los porcentajes de cada catego-
ría más las categorías anteriores. Por 
ejemplo: el 12,9% de las personas 
evaluadas posee una presión arterial 
baja, el 64,5% posee una presión arte-
rial baja-media y el 100% posee una 
presión arterial baja-media-alta. 
 
Los pasos de elaboración de una ta-
bla de frecuencias se observan en el 
ejemplo 2.1. 
También es posible utilizar tablas 
de frecuencia con datos de naturaleza 
numérica, sin embargo, aquí es necesario 
realizar un agrupamiento de los datos en 
intervalos de clases, donde cada inter-
valo corresponde a una categoría y con 
ellas es posible seguir los pasos para 
construir la tabla. Este proceso se observa 
en el ejemplo 2.2. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
34 
 
 
Ejemplo 2.1 
Un profesor busca conocer el IMC de 15 estudiantes de primer año básico de un colegio 
de Santiago, para ello mide la talla y el peso de ellos y luego calcula el IMC obteniendo 
los siguientes resultados: 
 
 
 
 Paso 1: 
Para elaborar la tabla de frecuencia debemos agrupar los valores del IMC obtenidos en 
diversas categorías: 
 
Bajo peso (<18,5) = 1 sujeto 
Normal (18,5 a 24,9) = 6 sujetos 
Sobre-peso (25 a 29,9) = 4 sujetos 
Obesidad I (30 a 34,9) = 2 sujetos 
Obesidad II (35 a 39,9) = 1 sujetos 
Obesidad III (>40) = 1 sujeto 
 
 Paso 2: 
Calculamos la frecuencia relativa (fr) de cada categoría con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 1) 
 
fr = n1 * 100 
 N 
 
 
n1 = número de observaciones de una categoría 
N = número de todas las observaciones 
 
Aplicamos la fórmula de la fr a los datos obtenidos en el paso 1: 
 
Bajo peso = 1 sujeto (1/15)*100 = 6,7 
Normal = 6 sujetos (6/15)*100 = 40,0 
Sobre-peso = 4 sujetos (4/15)*100 = 26,7 
Obesidad I = 2 sujetos (2/15)*100 = 13,2 
Obesidad II = 1 sujetos (1/15)*100 = 6,7 
Obesidad III = 1 sujeto (1/15)*100 = 6,7 
 
 Paso 3: 
Calculamos la frecuencia acumulada con la frecuencia relativa de la primera categoría, 
luego la frecuencia relativa de la segunda más la primera categoría, luego la tercera más 
la segunda y más la primera, así sucesivamente. 
Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 
________________________________________________________________________ 
 
35 
 
 
Bajo peso 6,7 
Normal = 40,0 + 6,7 = 46,7 
Sobre-peso = 26,7 + 40,0 + 6,7 = 73,4 
Obesidad I = 13,2 + 26,7 + 40,0 + 6,7 = 86,6 
Obesidad II = 6,7 + 13,2 + 26,7 + 40,0 + 6,7 = 93,3 
Obesidad III = 6,7 + 6,7 + 13,2 + 26,7 + 40,0 + 6,7 = 100,0 
 
 Paso 4: 
Elaboramos la tabla de frecuencia con los datos anteriores: 
 
 
 
En la tabla de frecuencia podemos observar que la categoría normal presenta el mayor 
número de sujetos (6) y por ende la mayor frecuencia relativa (40,0%). Por otra parte, la 
categoría bajo peso, normal y sobre-peso presentan una frecuencia acumulada de 73,4%, 
es decir, las tres categorías suman ese porcentaje de sujetos de la muestra. 
 
 
 
Ejemplo 2.2 
Un profesor desea conocer cómo se distribuyen las notas de sus estudiantes en el último 
control realizado. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: 
 
 
 
 Paso 1: 
Debido a que la variable es numérica es necesario establecer intervalos de clases: 
 
Notas entre 2,0 y 2,9 Notas entre 4,0 y 4,9 Notas entre 6,0 y 6,9 
Notas entre 3,0 y 3,9 Notas entre 5,0 y 5,9 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
36 
 
 
 Paso 2: 
Construimos la tabla de frecuencia como en el ejemplo 2.1: 
 
 
 
*Nota: generalmente los intervalos de clases poseen la misma longitud. 
 
 
 
2.2 GRÁFICOS DE BARRA Y TORTA 
 
Nivel de medición: 
Nominal y Ordinal 
 
Una vez que hemos desarrollado 
una tabla de frecuencias es posible gene-
rar una representación de esta mediante 
gráficos. 
El gráfico de barras se utiliza para 
representar variables categóricas nomi-
nales u ordinales. La altura de cada barra 
indica un valor de frecuencia absoluta o 
relativa (Fig. 2.1), por lo tanto, es posible 
comparar visualmente las diferencias en-
tre cada categoría. También es posible uti-
lizar el gráfico de barra para comparar 
dos o más distribuciones (Fig. 2.2). 
El grafico de torta (también conoci-
do como circular o de sectores) repre-
senta la frecuencia como un ángulo y una 
porción dentro de un círculo (Fig. 2.3). 
Para calcular los grados de arco que co- 
rresponden a cada categoría es necesario 
multiplicar la frecuencia por 360 (que 
corresponde a la cantidad total de grado 
de un círculo) y el resultado dividirlo en 
 100. Por ejemplo: en un grupo evaluado 
el 40% son varones, por lo tanto el valor 
de frecuencia relativa debe multiplicarse 
por 360 (40*360 = 14.440) y ese resultado 
se divide por 100 (14.440 / 100 = 144), 
siendo la porción del grafico de torta que 
representa a los varones de 144°. 
Este tipo de grafico es igual de útil 
que el de barra para representar la dis-
tribución de un grupo, pero resulta me-
nos eficiente para representar a dos o 
más grupos siendo necesario utilizar va-
rios gráficos (uno por cada población o 
muestra). 
 
 
2.3 DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA 
 
Nivel de medición: 
Intervalar y de razón 
 
Corresponde a una alternativa a 
gráficos como el de barra, con la ventaja 
que no se pierde la información original. 
En este diagrama las decenas co-
rresponden al tallo y las unidades a las 
hojas, las cuales deben ubicarse siempre 
Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 
________________________________________________________________________ 
 
37 
 
 
 
 
Figura 2.1 Gráfico de barra del porcentaje de IMC en estudiantes de primer año medio 
de un colegio de la ciudad de Santiago. 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 Gráfico de barra del IMC comparando estudiantes de sexo masculino y 
femenino de primer año medio de un colegio de la ciudad de Santiago. 
 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
38 
 
 
 
 
Figura 2.3 Gráfico de torta de la distribución de una muestra según sexo. Los varones 
representan el 40% (144° del círculo) y las damas el 60% (216° del círculo).a la derecha. En el ejemplo 2.3 se explica 
el proceso para generar un diagrama de 
estas características. 
 
 
2.4 HISTOGRAMA, POLÍGONOS DE 
 FRECUENCIA Y OJIVA 
 
Nivel de medición: 
Intervalar y de razón 
 
Es el más conocido de los gráficos 
para representar variables numéricas. A 
diferencia del gráfico de barra, en un 
histograma no existe separación entre 
categorías (a menos que una categoría 
tenga valor cero), ya que sus valores son 
continuos. 
En el ejemplo 2.4 se observa la re-
presentación de una tabla de frecuencia 
en forma de histograma. Es importante 
destacar que la representación visual de 
 este tipo de gráfico depende de la canti-
dad de clases que utilicemos (divisiones 
de los datos como categorías). 
Muchas clases provocarán que po- 
cos datos queden dentro de cada clase y 
por ende el histograma presentará una 
distribución uniforme. Por el contrario, 
pocas clases provocarán que muchos da-
tos queden dentro de una clase y el gráfi-
co mostrará pocas características impor-
tantes. El número ideal de clases se ha 
calculado entre 6 y 15. 
Los histogramas pueden utilizarse 
tanto con las frecuencias relativas, como 
con las frecuencias acumuladas y repre-
sentan la base para elaborar polígonos 
de frecuencia, que corresponden a una 
gráfica lineal que se construye uniendo 
los puntos centrales de cada barra del 
histograma (ejemplo 2.5). Así obtenemos 
una imagen de la curva que genera la 
distribución de la variable. 
 
Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 
________________________________________________________________________ 
 
39 
 
 
Ejemplo 2.3 
Un entrenador evalúo la flexibilidad de 18 gimnastas varones (edades entre 9 y 11 años) 
mediante una prueba de elevación frontal de la pierna. Los resultados fueron los 
siguientes: 
 
 
 
 Paso 1: 
El primer dígito de cada valor se convierte en el tallo y el segundo en la hoja, ubicando 
los tallos en forma ascendente. Luego el segundo dígito se ubica a la izquierda del tallo: 
 
5 7 
6 0 3 5 6 9 
7 0 4 8 
8 1 4 8 
9 0 0 1 2 4 5 
 
En el diagrama es posible observar que la mayor cantidad de casos se encuentran en el 
rango de 90 cms. o más, en tanto el rango de 50 a 59 cms. solo presenta un sujeto. 
E 
 
 
Ejemplo 2.4 
Un profesor evaluó el desarrollo de los patrones motores en 42 estudiantes de tercer año 
básico de un colegio de Santiago. El test presenta una puntuación de 1 a 5 (1=muy bajo; 
2=bajo; 3=ni bajo ni alto; 4=alto; 5=muy alto). A continuación se presenta la tabla de 
frecuencia con los resultados: 
 
 
 
La frecuencia relativa de las puntuaciones del test de patrones motores de tercer año 
básico se presenta en el siguiente histograma: 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
40 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 Histograma de las puntuaciones de los patrones motores de 42 estudiantes de 
tercer año básico de un colegio de la ciudad de Santiago. 
 
 
 
Ejemplo 2.5 
Un profesor evaluó la coordinación de 15 niños de 6 años de un colegio de Santiago, 
mediante una escala de 1 a 5 (1=muy baja; 2=baja; 3=ni baja ni alta; 4=alta; 5=muy alta) y 
obtuvo los siguiente resultados: 
 
 
 
Se construyó la tabla de frecuencia: 
 
 
.. 
Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 
________________________________________________________________________ 
 
41 
 
 
 Paso 1: 
Elaboramos el histograma y unimos el centro de cada barra con una recta, entregando la 
forma del polígono de frecuencia: 
 
 
 
Figura 2.5 Polígono de frecuencia relativa de los puntajes de la coordinación. 
 
 
 Paso 2: 
Elaboramos el histograma con la frecuencia acumulada y unimos las barras con una 
recta, entregando la ojiva. 
 
 
 
Figura 2.6 Ojiva de los puntajes de la coordinación. 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
42 
 
 
Finalmente, si construimos el histo-
grama con la frecuencia acumulada y se 
unen los puntos de cada barra se obtiene 
un polígono de frecuencia acumulada, 
también llamada ojiva, la que resulta ser 
una curva ascendente que comienza con 
la 1° frecuencia acumulada y termina con 
un 100%. En este gráfico es posible 
conocer cómo van sumando las categorías 
y tener una visión de la evolución de la 
frecuencia de los datos. 
 2.5 REPRESENTACIÓN DE DATOS 
 EN SPSS 
 
En la actualidad existen muchos 
programas estadísticos que pueden ayu-
darnos a realizar los cálculos necesarios 
para nuestras investigaciones. A conti-
nuación se utilizará el programa SPSS 
(Statistical Package for the Social Scien-
ces) para trabajar los análisis descripti-
vos. 
 
 
Tras instalar el SPSS en nuestro computador abrimos el programa mostrando una 
pantalla como la figura siguiente: 
 
 
 
 
Figura 2.7 Pantalla inicial del SPSS 22.0. 
 
 
Luego debemos ingresar los descriptores de las variables que utilizaremos presionando 
Vista de variables en la barra inferior, con esto aparece una pantalla como la figura 2.8. 
En la primera columna colocamos los nombres de las variables. En la columna Tipo 
aparece el concepto de numérico (en variables numéricas) o cadena (en variables 
categóricas, con nombres en lugar de números). En la columna Decimales podemos 
modificar la cantidad de decimales de nuestros valores. 
 
Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 
________________________________________________________________________ 
 
43 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 Descripción de las variables en el SPSS 22.0. 
 
 
Si la variable es categórica debemos describir dichas categorías presionando en la 
columna Valores, así aparecerá una pantalla como la siguiente: 
 
 
 
Figura 2.9 Valores de las variables. 
 
En el recuadro Valor colocamos el número asignado a cada grado de la categoría. Por 
ejemplo, si la variable es sexo, un valor será 1 para femenino y 2 para masculino. En el 
recuadro de Etiqueta escribimos el nombre de la categoría. 
Una vez introducidos ambos valores presionamos Añadir para grabar los datos y 
comenzamos a realizar lo mismo nuevamente con la siguiente categoría de la variable. 
Recuerde que las variables numéricas no necesitan completar esta información. 
Una vez completada la información de todas las variables volvemos a Vista de varia-
bles y podemos escribir los valores para cada variable hasta completar el traspaso de 
datos. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
44 
 
 
 
 
 
Figura 2.10 Pantalla con los datos en el SPSS 22.0. 
 
 
Para realizar todos los análisis estadísticos debemos ir a Analizar que se ubica en la 
barra superior y se desplegará el índice general de pruebas. Cuando seleccionamos una 
de estas alternativas se desplegará un nuevo índice con los análisis particulares para 
cada caso. 
 
 
 
 
Figura 2.11 Desplegar los analisis estadisticos del SPSS 22.0. 
 
Capítulo 2. Estadística descriptiva: representación de datos 
________________________________________________________________________ 
 
45 
 
 
Para obtener una tabla de frecuencia y los gráficos en el SPSS 22.0 vamos en el 
menú a: 
 
 Analizar 
 Estadísticos descriptivos 
 Frecuencia 
 
 
 
Figura 2.12 Pantalla de frecuencia en el SPSS 22.0. 
 
 
En el cuadro de la izquierda aparece la lista de nuestras variables. Tomamos la variable 
categórica y la llevamos al cuadro derecho (Variables). Luego presionamos Gráficos y 
marcamos Gráfico de barra, Gráficos circulares o Histograma (Fig. 2.13). 
 
 
 
 
Figura 2.13 Pantalla de graficos en el SPSS 22.0. 
 
 
Tras esto presionamos Continuar para volver a la pantalla de frecuencia y presionamos 
Aceptar. La hoja de cálculos del programa nos entrega una tabla como la siguiente: 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
46 
 
 
 
Tabla 2.1 Tabla de frecuencia 
 
 
 
En la tabla de frecuencia observamoslos nombres de las categorías de la variable, la 
frecuencia (número de sujetos en la categoría), el porcentaje o frecuencia relativa, el 
porcentaje válido (porcentaje que se ajusta cuando existen casos perdidos) y el 
porcentaje acumulado o frecuencia acumulada. 
La hoja de cálculos del programa también nos entregará el gráfico que se ha escogido. 
 
 
 
 
Figura 2.14 Grafico de barras entregado por el SPSS 22.0. 
 
 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 
________________________________________________________________________ 
 
47 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
 
 
 
3.1 MEDIDAS DE TENDENCIA 
 CENTRAL (MTC) 
 
Nivel de medición: 
Intervalar y de razón 
 
Son medidas resúmenes de posición 
central alrededor de los cuales se encuen-
tran las observaciones realizadas. Tam-
bién pueden ser definidas como el com- 
portamiento más común en un conjunto 
de datos. Las medidas de tendencia cen-
tral más usadas son la media, la mediana 
y la moda. 
 3.1.1 Media aritmética 
 
La media aritmética, media o pro-
medio es la MTC más utilizada y corres-
ponde a la suma de los valores de cada 
observación y cuyo resultado se divide 
por la cantidad de datos. El cálculo de la 
media se aprecia en los ejemplos 3.1 y 
3.2. 
La media de una muestra se desig-
na con la letra y la media de una pobla-
ción se designa con la letra griega µ 
(mu). La media representa el punto de 
equilibrio de los datos y es muy sensible 
 
 
Ejemplo 3.1 
Un profesor ha evaluado la velocidad en 30 metros lanzados de nueve estudiantes de 
primer año medio de un colegio de Santiago y ha encontrado los siguientes resultados: 
 
 
 
 Paso 1: 
Calculamos la media aritmética con la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
 = ∑ Xi 
 n 
 
(fórmula 2) 
 
∑ X1 = suma del valor de todas las observaciones o datos 
n = número total de observaciones 
. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
48 
 
 
Ahora con los datos del ejemplo 3.1 reemplazamos en la fórmula de la media: 
 
 = 7,30 + 8,15 + 4,60 + 9,10 + 6,40 + 5,50 + 7,25 + 6,30 + 8,05 = 6,96 
 9 
 
La media de velocidad de los 9 estudiantes en el test de 30 mts. es de 6,96 segundos. 
 
 
 
Ejemplo 3.2 
En un partido de básquetbol de la liga nacional ocho jugadores de un equipo realizan 
lanzamientos a la canasta (independiente que estos terminen en puntos o no) y su 
entrenador registra el número de intentos de cada uno de ellos y obtiene la siguiente 
tabla: 
 
 
. 
En la primera columna vemos el número de jugadores, en la segunda los lanzamientos a 
la canasta realizadas en el primer tiempo por cada uno de ellos que generan una media 
de 5,25. Finalmente, en la tercera columna observamos una cantidad similar de 
lanzamientos excepto en el jugador seis que de 2 lanzamiento aumento a 75, por lo 
tanto, la media aumento a 14,38. Esto sirve para graficar como un solo dato outlier 
produce grandes variaciones en la media de un conjunto de datos. 
 
 
 
a los datos extremos (outliers), es decir, 
datos demasiado atípicos o extremos pro-
ducen cambios importantes en ella (ejem-
plo 3.2). 
 
3.1.2 Mediana 
 
Corresponde al dato que ocupa la 
posición central al ordenar las observacio- 
 nes de menor a mayor. Esta se obtiene 
con el número total de observaciones y la 
suma de una unidad, luego el resultado 
es dividido en 2 entregando el lugar don-
de se encuentra la mediana (ejemplo 3.3). 
Este análisis se utiliza con datos numé-
ricos, pero también con datos ordinales y 
es una medida robusta, muy poco sen-
sible a los datos outliers. 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 
________________________________________________________________________ 
 
49 
 
 
Ejemplo 3.3 
Un profesor evaluó la motricidad de 15 niños de edades pre-escolares de un jardín 
infantil de Santiago y los resultados del test se presentan ordenados de menor a mayor 
en la siguiente tabla: 
 
 
 
 Paso 1: 
Calculamos la mediana con la siguiente fórmula: 
 
 
Mediana = n + 1 
 2 
 
(fórmula 3) 
 
n = número total de observaciones 
 
Mediana = 15 + 1 = 16 = 8 
 2 2 
 
La mediana corresponde al valor ubicado en el lugar 8 en el orden de menor a mayor y 
que en esta base de datos corresponde a una puntuación de 10 en el test de motricidad. 
 
 
Si la cantidad de datos es par la mediana es el valor promedio de los dos datos 
centrales. Por ejemplo, si tomamos los 10 primeros casos del ejemplo anterior y 
utilizamos la fórmula 2 tenemos: 
 
Mediana= (10 + 1) / 2 = 5,5 
 
La mediana se encuentra en el centro de los valores 5 y 6. 
 
. 
Como los valores de los lugares 5° y 6° son 7 y 8, respectivamente, es necesario obtener 
la media aritmética de dichos valores: 
 
= (7 + 8) / 2 = 7,5 que corresponde a la mediana de estos datos. 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
50 
 
 
3.1.3 Moda 
 
Es el dato que ocurre con mayor 
frecuencia en el conjunto de observacio-
nes, pudiendo utilizarse en datos numé-
ricos y categóricos. 
 Cuando una distribución presenta 
una sola moda recibe el nombre de uni-
modal, cuando presenta dos modas se 
denomina bimodal y cuando presenta 
tres o más modas se designa como dis-
tribución multimodal (Fig. 3.1). 
 
 
Ejemplo 3.4 
Un entrenador evaluó la cantidad de abdominales en un minuto que realizan 18 
seleccionados universitarios de fútbol como parte del proceso de evaluación de su 
condición física y los resultados fueron los siguientes: 
 
 
 
La moda es el número 60, ya que es el valor que se presenta más veces en este conjunto 
de datos (6 en total). 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 Distribuciones según sus modas. En la imagen superior izquierda se grafica 
una distribución unimodal, en la imagen superior derecha una distribución bimodal y en 
la imagen inferior una distribución multimodal. 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 
________________________________________________________________________ 
 
51 
 
 
3.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN 
 
Nivel de medición: 
Intervalar y de razón 
 
Las medidas de dispersión o varia-
bilidad describe cuan cerca se encuentran 
los datos entre sí o cuan cerca se en-
cuentran de alguna medida de tendencia 
central. 
 
3.2.1 Amplitud o rango 
 
Corresponde a la diferencia de las 
observaciones extrema de un conjunto de 
datos (ejemplo 3.5). Es común que en los 
resultados se presenten el valor menor, el 
mayor y el rango, siendo este último muy 
sensible a los valores outliers. 
 3.2.2 Varianza 
 
La varianza (S2) es la media del cua-
drado de las desviaciones respecto a la 
media de los datos. Esto permite conocer 
la diferencia promedio de los valores con 
respecto a su media, siendo la base de 
muchos análisis inferenciales. 
Este análisis siempre corresponde a 
valores positivos (debido a que los valo-
res son elevados al cuadrado), siendo 
muy sensible a datos outliers. La medida 
de la varianza corresponde a la unidad 
de medida de la variable al cuadrado, 
por ejemplo, si la variable es expresada 
en centímetros la varianza será en cen-
tímetros al cuadrado. 
El cálculo de la varianza se observa 
en el ejemplo 3.6. 
 
 
Ejemplo 3.5 
Un entrenador evaluó la fuerza del tren superior en 14 seleccionados de Judo. Esto se 
realizó a través de una RM en press banca y los resultados fueron los siguientes: 
 
 
  Paso 1: 
Calculamos el rango con la siguiente fórmula: 
 
 
Rango = Vmayor – Vmenor 
 
(fórmula 4) 
 
Vmayor = valor mayor de los datos 
Vmenor = valor menor de los datos 
 
Rango = 128 – 78 = 50 
 
50 kilos corresponde al rango de estos datos. 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________52 
 
 
Ejemplo 3.6 
Un investigador desea conocer los niveles de memoria visual de 11 estudiantes de 
pedagogía en educación física de una universidad de Santiago y para ello se aplica un 
test neuropsicológico. Los resultados de las observaciones son los siguientes: 
 
 
 
 Paso 1: 
Calculamos la varianza con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 5) 
 
 
S2 = ∑(Xi – 2 
 n – 1 
 
 
∑(Xi – )2 = suma de los cuadrados de la diferencia entre cada puntuación y la media de las 
 puntuaciones 
n = número de datos 
 
 
 Paso 2: 
Calculamos la suma de cuadrados para los datos de la memoria: 
 
 
 
 Paso 3: 
Aplicamos la fórmula 5 para nuestros datos: 
 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 
________________________________________________________________________ 
 
53 
 
 
 
S2 = 28,55 = 28,55 = 2,855 
 11 – 1 10 
 
En el ejemplo la varianza es de 2,855 
 
 
 
3.2.3 Desviación estándar 
 
Corresponde al grado en que las 
puntuaciones de la variable se alejan de la 
media. Se calcula con la raíz cuadrada de 
la varianza (ejemplo 3.7). 
La desviación estándar muestral se 
designa con la letra S y la desviación es-
tándar poblacional con la letra sigma (σ . 
Este análisis es muy útil para cono-
cer cuánto se alejan los datos de la media 
de una muestra cuando esta posee una 
distribución simétrica. Esto ocurre cuan- 
do la mayoría de los datos obtenidos se 
encuentran en los puntajes centrales y 
muy pocos datos se encuentran en los 
extremos (Fig. 3.2). 
 Por ejemplo, en un test de fuerza 
muy pocas personas tendrán valores 
muy bajos o muy altos, la mayoría 
obtendrán puntuaciones medias. Esta 
situación ocurre en la mayoría de los pro-
cesos naturales si la muestra es lo sufí-
cientemente grande (tiende a infinito). 
Si la desviación estándar de la 
muestra se encuentra entre la cuarta y 
quinta parte del rango se considera que 
la distribución es homogénea, es decir, 
los datos obtenidos de todos los sujetos 
evaluados se encuentran cercanos a la 
media. Si la desviación estándar no se en-
cuentra en ese rango, la muestra se consi-
dera heterogénea. Cuando ocurre esta 
segunda opción podría ser interesante 
 
 
Ejemplo 3.7 
Utilizando la varianza del ejemplo 3.6 sobre la memoria de los estudiantes 
universitarios, calculamos la desviación estándar con la siguiente fórmula: 
 
 
S = √S2 
 
(fórmula 6) 
 
√S2 = raíz cuadrada de la varianza 
 
S = √2,855 = 1,689 
 
El promedio o media de los datos sobre la memoria de estudiantes de educación física 
fue de 5,64 y la desviación estándar fue de 1,689 esto quiere decir que todos los datos 
entre – 1 S (3,951) y + 1 S (7,329) se encuentran a una desviación de la media y 
siempre en este espectro se agrupa el 68% de los datos recolectados. Esto indica que casi 
el 70% de las observaciones obtuvieron puntajes entre 3,951 y 7,329. 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
54 
 
 
 
 
Figura 3.2 Distribución simétrica. En estos datos la cantidad de observaciones que se 
encuentra entre una desviación estándar a la derecha y a la izquierda es del 68,26%, en 
dos desviaciones estándar es del 95,45% y en tres desviaciones es del 99,73%. 
 
 
comparar los resultados de los grupos 
extremos de datos que hemos obtenido, 
para saber si existen diferencias entre 
las puntuaciones más altas y más bajas. 
Para el ejemplo 3.6 de la memoria de 
los estudiantes universitarios: 
 
Rango = 6 
S = 1,689 
1/4 rango = 6/4 = 1,5 
1/5 rango = 6/5 = 1,2 
 
Como S =1,689 no se encuentra entre 
la cuarta y quinta parte del rango (1,5 y 
1,2 respectivamente) esta muestra se con-
sidera heterogénea. 
Para muestras homogéneas los valo-
res de rango, varianza y desviación están-
dar serán menores, debido a que los datos 
se encuentran más agrupados. En mues-
tras heterogéneas ocurrirá lo contrario. 
 3.3 MEDIDAS DE POSICIÓN 
 
Nivel de medición: 
Intervalar y de razón 
 
3.3.1 Percentiles 
 
Las medidas de posición se basan 
en el orden que poseen ciertos valores de 
las observaciones, comúnmente reciben 
el nombre de cuantiles y se define como 
el valor de la variable por debajo de la 
cual se encuentra una frecuencia acumu-
lada α. 
Un percentil es un valor p% que 
deja una cantidad de p% de datos de bajo 
de él y 1-p% sobre él. Por ejemplo, un 
percentil 30 deja por debajo el 30% de las 
observaciones o datos y por encima un 
70% de las observaciones. 
Los percentiles separan a la mues- 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 
________________________________________________________________________ 
 
55 
 
 
tra en grupos de 1% y la mediana siem-
pre corresponde al percentil 50. Se repre-
sentan con la letra P. 
En el ejemplo 3.7 se observa como 
calcular un percentil. 
 3.3.2 Cuartiles 
 
Son valores que dividen a las obser-
vaciones en cuatro grupos con frecuen-
cias similares (25% cada una). El primer 
 
 
Ejemplo 3.7 
Un profesor midió la estatura de 21 estudiantes de cuarto año medio de un colegio de la 
comuna de Santiago en la clase de educación física. Los resultados fueron los siguientes: 
 
 
 
 Paso 1: 
Los datos siempre deben ser ordenados de menor a mayor. 
 
 
 Paso 2: 
Calculamos los percentiles con la siguiente fórmula: 
 
 
P = n * K 
 100 
 
(fórmula 7) 
 
n = número de datos 
K = percentil que se desea conocer 
 
Si queremos conocer el percentil 20 reemplazamos: 
 
P20 = 21 * 20 = 420 = 4,2 
 100 100 
 
El resultado corresponde al lugar de la lista de datos, ordenadas de menor a mayor, 
donde se encuentra el valor del percentil. Si el resultado es una fracción, el valor del 
percentil corresponde al lugar inmediatamente superior, en este caso el lugar 5 (1,68 
mts.) corresponderá al percentil 20. Esto quiere decir que el 20% de los estudiantes 
medidos están bajo 1,68 de estatura y el 80% restante está sobre 1,68. 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
56 
 
 
cuartil corresponde al percentil 25 (cuantil 
0,25), el segundo cuartil corresponde al 
percentil 50 (cuantil 0,5) y el tercer cuartil 
corresponde al percentil 75 (cuantil 0,75). 
Los cuartiles sirven para establecer 
cuatro grupos de datos, así podemos 
transformar una variable numérica en 
categórica. Por ejemplo, los valores igua-
les o bajo el cuartil 0,25 corresponden a 
un nivel bajo, valores entre el cuartil 0,25 
y 0,50 a un nivel medio bajo, valores entre 
el cuartil 0,50 y 0,75 a un nivel medio alto 
y valores sobre 0,75 a un nivel alto. 
 En el ejemplo 3.8 se toman los mis-
mos valores de la estatura de 21 estu-
diantes de 4° medio para calcular los 
cuartiles 
 
 
3.3.3 Quintiles y deciles 
 
Los quintiles son valores que divi-
den a las observaciones en cinco grupos 
con frecuencias similares (20%). El pri-
mer quintil corresponde la percentil 20 
(quintil 0,2), el segundo quintil corres- 
 
 
Ejemplo 3.8 
Utilizando los mismos valores del ejemplo 3.7 
 
 
 
 Paso 1: 
Calculamos los cuartiles con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 8) 
 
Qx = K * (n + 1) 
 4 
 
K = valor del cuartil (1, 2 o 3) 
n = número de datos 
 
En caso que el cálculo no corresponda con la posición exacta se utiliza la siguiente 
corrección: 
 
 
(fórmula 9) 
 
Qx = Li + K * (Ls – Li ) 
 4 
 
Ls = límite superior del intervalo 
Li = límite inferior del intervalos 
. 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 
________________________________________________________________________ 
 
57 
 
 
Utilizando los datos de la estatura reemplazamos en la fórmula 8: 
 
Q1 = 1 * (21 + 1) = 22 = 5,5 
 4 4 
 
Q2 = 2 * (21 + 1) = 44 = 11 
 4 4 
 
Q3 =3 * (21 + 1) = 66 = 16,5 
 4 4 
 
Q1 corresponde a los valores en la posición 5 y 6 (1,68 y 1,69); Q2 corresponde al valor en 
la posición 11 (1,74) y Q3 corresponde al valor en la posición (1,77 y 1,79). Para el cuartil 
1 y 3 es necesario utilizar la fórmula 9 de corrección: 
 
 
 
 
 
ponde al percentil 40 (quintil 0,4), el ter-
cer quintil corresponde al percentil 60 
(quintil 0,6) y el cuarto quintil correspon-
de al percentil 80 (quintil 0,8). 
Los deciles son valores que dividen 
a las observaciones en diez grupos con 
frecuencias similares (10%). El decil 1 co- 
 rresponde al percentil 10, el decil 2 al 
percentil 20, el decil 3 al percentil 30 y así 
sucesivamente. 
La finalidad de los quintiles y deci-
les es la misma que cuartiles: poder esta-
blecer grupos y categorías más detalla-
das de nuestros datos. 
 
 
3.4 MEDIDAS CENTRALES, DISPER- 
 SIÓN Y POSICIÓN EN SPSS 
 
 
 
En el paquete estadístico SPSS vamos en el menú a: 
 
 Analizar 
 Estadísticos descriptivos 
 Frecuencia 
 
Fernando Maureira Cid 
________________________________________________________________________ 
 
58 
 
 
 
 
 
Figura 3.3 Frecuencia en el SPSS 22.0. 
 
 
El programa mostrará una pantalla como la figura 3.4 con un cuadro a la izquierda que 
muestra nuestras variables, las cuales llevaremos al cuadro derecho (variables). Hecho 
esto presionamos Estadísticos abriéndose una pantalla como figura 3.5. 
 
 
 
Figura 3.4 Pantalla de frecuencia en el SPSS 22.0 
 
 
En la pantalla de estadísticos marcamos las medidas de tendencia central: media, mediana 
y moda; también podemos marcar desviación estándar, varianza, rango, mínimo y máximo; 
en la sección valores percentiles podemos marcar cuartiles y en punto de corte para n 
grupos iguales indicamos el número de percentiles que deseamos (en este caso 10 para 
obtener los deciles). 
 
 
Capítulo 3. Estadística descriptiva: medidas centrales, dispersión y posición 
________________________________________________________________________ 
 
59 
 
 
 
 
 
Figura 3.5 Pantalla estadísticos en el SPSS 22.0 
 
 
Una vez marcados los estadísticos que deseamos presionamos Continuar para volver a 
la pantalla de frecuencia y presionamos Aceptar. 
La hoja de cálculos del programa nos entrega una tabla como la siguiente: 
 
 
Tabla 3.1 Estadísticos descriptivos de una variable. 
 
 
. 
En la tabla 3.1 observamos la cantidad de datos válidos, la cantidad de datos perdidos, 
la media, la mediana, la moda, la desviación estándar, la varianza, el rango de los datos, 
Fernando Maureira Cid 
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el mínimo y el máximo de los datos, el cuartil 0,25 (percentil 25), el cuartil 0,50 (percentil 
50) y el cuartil 0,75 (percentil 75) y los deciles que corresponden a los percentiles 10, 20, 
30, etc. 
 
 
Capítulo 4. Estadística descriptiva: medidas de forma y gráfico de caja 
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4.1 ASIMETRÍA 
 
Nivel de medición: 
Intervalar y de razón 
 
La asimetría corresponde a la forma 
de la curva de una distribución en rela-
ción a su imagen derecha-izquierda. Una 
distribución es simétrica si la mitad iz-
quierda es igual a su mitad derecha (Fig. 
4.1) y por lo tanto, la mayor parte de los 
datos se encuentran cercanos a la media, 
existiendo pocos casos en los extremos. 
En este tipo de distribuciones la media, la 
mediana y la moda poseen igual valor. 
 
 
 
Figura 4.1 Distribución simétrica. 
 
 
Una distribución asimétrica es aque-
lla donde los datos tienden a agruparse 
hacia alguno de los lados: 
 
 Distribución asimétrica positiva: es 
aquella donde los datos se agrupan 
 hacia la izquierda, dejando una cola 
hacia la derecha, por lo tanto, la ma-
yoría de los datos se encuentran 
cerca de las puntuaciones más bajas. 
En estas distribuciones la media es 
mayor que la mediana (Fig. 4.2). 
 
 Distribución asimétrica negativa: es 
aquella donde los datos se agru-
pan hacia la derecha, dejando una 
cola hacia la izquierda, por lo tanto, 
la mayoría de los datos se encuentran 
cerca de las puntuaciones más altas. 
En estas distribuciones la media es 
menor que la mediana (Fig. 4.2). 
 
Para calcular la asimetría de una 
distribución existen varios análisis esta-
dísticos, nosotros utilizaremos el coefi-
ciente de asimetría de Fisher (g1), que se 
basa en la relación entre las distancias a 
la media y la desviación estándar. En el 
ejemplo 4.1 se estudian los pasos para 
calcular la asimetría de una distribución. 
El valor entregado por el coeficiente 
de asimetría se interpreta de la siguiente 
manera: 
 
 Valores de asimetría de cero indi-
can una distribución simétrica. 
 Valores de asimetría sobre cero in-
dican una asimetría positiva. 
 Valores de asimetría bajo cero in-
dican una asimetría negativa. 
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Figura 4.2 Distribuciones asimétricas. La figura izquierda corresponde a una distribución 
positiva y la figura derecha a una distribución negativa. 
 
 
Ejemplo 4.1 
Un profesor evaluó la capacidad de planificación de los estudiantes de pedagogía en 
educación física de una universidad de Santiago. Los resultados de las puntuaciones 
fueron los siguientes: 
 
 
. 
 
 Paso 1: 
Calculamos la asimetría con la siguiente fórmula: 
 
 
(fórmula 10) 
 
 
g1 = ∑(Xi – 3 
 n * S3 
 
 
∑(Xi – 3 = suma de cada observación menos la media de todas las observaciones elevada al 
 cubo 
n = número de datos 
S3 = desviación estándar de los datos al cubo 
 
 
 Paso 2: 
Calculamos la suma de cubos para los datos de la planificación: 
 
 
Capítulo 4. Estadística descriptiva: medidas de forma y gráfico de caja 
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 Paso 3: 
Para obtener el coeficiente de asimetría de Fisher reemplazamos en la fórmula 10: 
 
g1 = 0,52 = 0,52 = 0,52 = 0,014 
 (9 * 1,593) 9 * 4,02 36,18 
 
El coeficiente de asimetría de Fisher es de 0,014 (distribución asimétrica positiva). 
 
 
 
4.2 CURTOSIS 
 
La curtosis corresponde al grado de 
apuntamiento o aplastamiento de una 
distribución. Existen tres tipos de curto-
sis: 
 
 Platicúrtica: es aquella distribución 
que presenta una forma achatada, esto 
significa que existen muchos casos 
lejos de la media y pocos cerca de ella 
(Fig. 4.3). 
 
 Mesocúrtica: es aquella distribución 
que presenta una elevación media, lo 
cual muestra un grado mediano de 
concentración de los datos alrededor 
del promedio (Fig. 4.3). 
 
 Leptocúrtica: es aquella distribución 
 que presenta una elevación alta, esto 
significa que existen pocos casos lejos 
de la media y muchos cerca de ella 
(Fig. 4.3). 
 
Para calcular la curtosis se puede 
utilizar el coeficiente de apuntamiento 
de Fisher (g2). En el ejemplo 4.2 se realiza 
un análisis paso a paso del cálculo de la 
curtosis de una distribución. 
El valor entregado por el coeficiente 
de curtosis se interpreta de la siguiente 
manera: 
 
 Valores de la curtosis de cero indi-
can una distribución mesocúrtica. 
 Valores sobre cero indican una dis-
tribución leptocúrtica. 
 Valores bajo cero indican una dis-
tribución platicúrtica. 
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Figura 4.3 Tipos de curtosis. Una distribución platicúrtica (imagen superior izquierda), 
una distribución mesocúrtica (imagen superior derecha) y una distribución leptocúrtica 
(imagen inferior). 
 
 
Ejemplo 4.2 
Para el cálculo de la curtosis utilizaremos los datos de la planificación de los estudiantes 
de educación física: 
.