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TEMA‐2: EL LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS 
MATEMÁTICAS‐I. 2011‐12 
     GRADO EN INGENIERÍA INFORMÁTICA. 
 
2.1. Introducción al lenguaje formal de la Lógica de primer orden. 
2.2. El lenguaje de la lógica de proposiciones  
2.3. Teoría de conjuntos.  
2.4. Operaciones entre conjuntos.  
2.5. Relación entre la teoría de conjuntos y la lógica de proposiciones. 
2.6. El lenguaje de predicados. 
2.7. Construcción de fórmulas proposicionales y predicativas.  
2.8. Formalización de fórmulas lógicas en forma clausal y su relación con el lenguaje Prolog.  
2.9. Formalización de razonamientos. 
2.10. Relación entre la teoría de conjuntos y la lógica de primer orden. 
2.11. Ejercicios resueltos. 
2.12. Si quieres saber más… Bibliografía, enlaces web y lógica divertida. 
 
INTERÉS 
Teniendo en cuenta que el principal objetivo del estudio de  la  lógica es el aprendizaje de  las técnicas de demostración 
formales  y  sus  aplicaciones en  la  resolución de problemas,  se  considera necesario  llevar  a  cabo  la  formalización del 
conocimiento y aprender la manipulación del mismo. La formalización se hace mediante el lenguaje formal lógico. 
En este tema se introduce la sintaxis de los lenguajes de la lógica de primer orden, tanto del lenguaje proposicional como 
del lenguaje predicativo. Junto con la noción de conjunto y presentaremos las operaciones entre ellos ya que, además de 
que  su  conocimiento  es  necesario  para  la  formulación  del  lenguaje  predicativo,  para  el  informático,  la  teoría  de 
conjuntos formulada por G. Cantor (XIX), es esencial en gran variedad de disciplinas informáticas que van desde las bases 
de datos y los lenguajes de programación hasta la inteligencia artificial. Por último veremos que la lógica y la teoría de 
conjuntos están estrechamente relacionadas. 
 
OBJETIVOS 
- Aprender a formular proposiciones y razonamientos con el lenguaje de la lógica de primer orden. 
- Conocer el concepto de conjunto de elementos y sus propiedades básicas. 
- Relacionar las conectivas lógicas con las operaciones entre conjuntos. 
 
Palabras  clave:  variable  proposicional,  conectiva,  dominio  de  referencia,  predicado,  conjunto,  subconjunto, 
cuantificación. 
 
 
 
 
 
 
 
TEMA 2: EL LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS 
 
MATEMÁTICAS-I 
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2.1. Introducción al lenguaje formal de la Lógica de primer orden 
En  general,  un  lenguaje  es  un medio  con  el  que  nos  relacionamos  con  los  demás  seres  y  con  el  que  expresamos 
pensamientos y  conocimiento por medio de  señales.  Los  lenguajes pueden  ser naturales  como el español,  inglés,… y 
formales  como  el matemático,  lógico,  etc.  Los  naturales  poseen  gran  poder  expresivo  debido,  principalmente,  a  la 
riqueza semántica (polisemánticos) que les hace ambiguos y por lo tanto poco prácticos para cálculos científicos.  
Precisamente para este cometido se han desarrollado diversos lenguajes formales, que se caracterizan por ser concisos 
y precisos, y carecer de ambigüedad; sus componentes están perfectamente definidas y mantienen el mismo significado, 
independientemente del  contexto;  carecen de  semántica  fuera de  sus operadores propios y  consiguen una  completa 
formalización  del  conocimiento  del  lenguaje  natural  mediante  símbolos  con  los  que  se  obtienen  expresiones  no 
ambiguas, por esto son importantes en la construcción computacional, en matemáticas y otros. 
Uno de los lenguajes formales más potentes para la representación del conocimiento en teoría de la computación es el 
lenguaje formal de la Lógica de primer orden que carece de  imprecisiones y posee una forma clara de representación 
basada  en  la  forma  y no  en  el  contenido.  Formaliza hechos o proposiciones  acerca del mundo obteniendo  fórmulas 
lógicas. Para ello, considera dos niveles de abstracción, que dan lugar al lenguaje proposicional y al predicativo.  
El  lenguaje proposicional  formaliza  las proposiciones  teniendo en  cuenta  sólo  las posibles  conexiones entre ellas;  sin 
embargo el  lenguaje predicativo además de tener en cuenta dichas conexiones, considera  los sujetos o  individuos que 
aparecen en las proposiciones, las propiedades o características que les afectan y las posibles relaciones entre ellos.  
 
Ejemplo 1 “Maripuri es la más simpática de la clase pero la menos estudiosa”. 
Formalizada con el lenguaje de proposiciones tendrá la forma: p ∧ q 
Formalizada con el lenguaje de predicados tendrá la forma: Si(ma) ∧ Mes(ma) 
Donde  p  y  q  son  símbolos  que  llamaremos  variables  proposicionales;  Si(ma), Mes(ma)  son  predicados  con 
argumento constante ma; el símbolo “∧” es el conector conjuntivo que formaliza al nexo “pero”. 
 
El  conjunto  de  símbolos  que  elijamos  para  formalizar  las  proporciones  lo  denominaremos  “marco  conceptual”  del 
problema, y  lo denotaremos por MC. En MC estarán todas  las proposiciones atómicas que aparecen en el problema, y 
que se deben formalizar, junto con los elementos del lenguaje formal elegidos para su formalización.    
 
Ejemplo 2 “Maripuri es la más simpática de la clase pero la menos estudiosa”. 
  El marco conceptual para la formalización de esta sentencia con el lenguaje de proposiciones es: 
MC = { p: Maripuri es la más simpática de la clase; q: Maripuri es la menos estudiosa } 
  Con el lenguaje de predicados es: 
MC = { Si(x): x es simpático;  Mes(x): x es la menos estudiosa; ma: Maripuri } 
 
Lenguaje formal lógico: 
> Es un lenguaje que se define completamente. 
> Se identifica por el conjunto de sus fórmulas lógicas bien formadas que denotaremos por fbf.  
> Una fórmula lógica es una expresión lógica que representa o formaliza a una proposición.  
 
Para definir un lenguaje formal se requiere:  
> Designar el conjunto de símbolos (alfabeto) del lenguaje. 
> Definir el conjunto de reglas de formación de fórmulas del lenguaje.  
> Definir la interpretación de cada símbolo que interviene en la fbf. 
 
 
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2.2. El lenguaje de la lógica de proposiciones 
Es el  lenguaje propio de  la  lógica de proposiciones, nivel básico de  la  lógica de primer orden. Su origen se remonta a 
finales del  siglo  XIX,  coincidiendo  con  la  aparición de  las obras de G.  Boole  (1815‐1864)  y de G.  Frege  (1848‐1925). 
Permite construir fórmulas  lógicas proposicionales a partir de  la formulación de proposiciones atómicas y moleculares 
que definen un determinado problema de razonamiento. Su sintaxis se define a partir de un alfabeto, con los elementos 
básicos  del  lenguaje,  y  unas  reglas  de  formación  de  fórmulas  proposicionales.  Su  semántica  se  define  a  partir  del 
significado de cada una de las componentes que aparecen en una fbf. Su unidad básica de información es la proposición 
simple que  sintácticamente estará definida por una  fbf  formada por una variable proposicional y  semánticamente  se 
interpretará como verdadera o falsa.  
• Alfabeto 
Conjunto de símbolos con los trabajará el lenguaje formado por: 
    *  Variables  proposicionales  para  representar  a  las  proposiciones  atómicas:  se  elegirán  letras  del  alfabeto  o 
combinación de ellas.  
    * Un conjunto de conectivas para formalizar las conexiones entre proposiciones atómicas: ¬,  ∧, ∨, →, ↔ 
    * Símbolos auxiliares: los paréntesis. Su función es dar prioridad a cada componente de la expresión formalizada. 
¡Ojo! Las variables proposicionales no  se deben confundir con  las variables matemáticas o  informáticas. Las variables 
matemáticas son símbolos de valor cuantitativo implícito y en informática es un símbolo que puede tomar valores con los 
que el programa opera y además pueden modificarse durante  la ejecución. Las variables proposicionales representan a 
una proposición (que puede ser verdadera o falsa). 
• Reglaspara la construcción de fórmulas proposicionales bien formadas (fbf): 
R.1. Toda variable proposicional es una fbf. 
R.2. Si A es una fbf entonces ¬A también lo es. 
R.3. Si A y B son fbf  también lo son A ∧ B, A ∨ B, A → 
                que sólo se ve alterada por la presencia de paréntesis (ver Ejemplo 3). 
Prioridad más alta   
B, A ↔ B. 
R.4. Sólo son fbf las que cumplen las reglas R1, R2 y R3. 
R.5. Para evitar exceso de paréntesis se establece la siguiente jerarquía de prioridades entre sus conectivas 
  
 
 
¬  ∧  
∨ 
→ 
↔ 
 
¡OjO!: la prioridad indica el orden en que se debe operar con las conectivas en el cálculo lógico. 
R.6. La fbf queda defin
                  (ver Ejemplo 4). 
ida por la conectiva de mayor jerarquía (la última que se tiene en cuenta en la fbf).  
R.7. Usar paréntesis para agrupar operaciones cuando aparece ambigüedad en la fórmula.  
R.8. Si un operador negativo antecede a otro negativo el de la izquierda tiene mayor prioridad. 
 
Ejemplo 3 Con la tabla de R5 la fbf: (p → ¬q) ∧ r se reconocería como: ((p → (¬q)) ∧ r), es decir, la conectiva con 
mayor prioridad  (con  la que 1º  se operaría)  sería el negador que afecta a q  (¬q); después, debido al paréntesis, el 
implicador →,  (p → ¬q), y por último  la conjunción ∧. Si  la fbf anterior no hubiera tenido paréntesis: p → ¬q ∧ r se 
reconocería como:  p → ( (¬q) ∧ 
escribir como: p   q   r, ya que por R5 no es necesario 
r). 
 
Ejemplo 4 La expresión: (p ∧ q) → r es una fbf que está definida por la conectiva de mayor jerarquía que es “→” 
(R6)    luego  la fórmula es un condicional. Dicha fbf se puede  ∧ →
usar paréntesis, porque 1º se operaría con  ∧ y luego con →. 
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Ejemplo 5 La expresión: p ∨ q ∧ r. No es una fbf ya que hay ambigüedad. Se deben usar símbolos de paréntesis  
(R7). Se puede escribir, p ∨ (q ∧ r) o bien (p ∨ q) ∧ r. 
Ejemplo 6 La expresión: ∨ p ∨ q no es una fbf porque las conectivas binarias deben tener una fbf a ambos lados 
(R3).  
Ejemplo 7 La expresión: p¬ no es una fbf ya que incumple R2. 
Ejemplo 8 La expresión: p ¬ q no es una fbf ya que la conectiva ¬ se está usando como conectiva binaria. 
 
• Representación arborescente de una fórmula lógica 
Para ver claramente la estructura sintáctica de una fórmula y así determinar con claridad la prioridad de cada una de sus 
componentes sintácticas, podemos usar  la representación arborescente. En  las hojas del árbol tendremos  las variables 
proposicionales y en los nodos internos las conectivas lógicas. 
 
Ejemplo 9 Estructura arborescente de la fórmula proposicional :  p ∧ ¬q  → ¬p ∨ q 
q
∧
¬p
→
p
∨
q¬
 
 
 
Una  vez  formalizada  una  proposición  hablaremos  de  fórmula  lógica.  Diremos  que,  una  expresión  formada  por  una 
cadena de símbolos del alfabeto del lenguaje proposicional es una fórmula lógica bien formada (fbf) de dicho lenguaje si 
representa  la  formalización de una proposición  atómica o molecular,  construida  según  las  reglas  establecidas  por  la 
gramática del lenguaje.  
 
Una subfórmula de una fbf A es una parte de A que a su vez es una fbf. 
 
Una fbf atómica no contiene ninguna conectiva lógica, mientras que las moleculares tienen al menos una.  
• Conectivas lógicas 
Sean las proposiciones P1: Jaime canta; P2: Jaime baila, y el MC = {P1: p, P2: q} tenemos: 
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Meta‐expresiones  Forma lógica  Símbolo 
Conectivo  
Formalización: 
fbf 
Ejemplo 
No P1 
Es falso que P1 
Negación  ¬  ¬p 
• Jaime no canta 
• Es falso que Jaime cante 
P1 y P2 
P1 pero P2 
P1 sin embargo P2 
P1 no obstante P2 
P1 a pesar de P2 
Conjunción  ∧  p ∧ q 
 
• Jaime canta y baila 
• Jaime canta pero baila 
• Jaime canta sin embargo baila 
O P1 o P2 o ambas cosas  Disyunción  ∨  p ∨ q  • Jaime canta o baila 
Si P1 entonces P2 
P1 sólo si P2 
P2 es necesario para P1 
P1 es suficiente para P2 
no P1 a menos que P2 
no P1 o P2  
Si no P2 entonces no P1 
Condicional 
→ 
p → q  
p: antecedente; 
q: consecuente 
• Si Jaime canta entonces baila 
• Jaime canta sólo si baila 
• Que Jaime baile es necesario para 
que cante 
• Que Jaime cante es suficiente para 
que baile 
• Jaime no canta a menos que baile 
• O Jaime no canta o baila 
P1 si y sólo si P2 
P1  es  necesario  y  suficiente 
para P2 
Bicondicional  ↔ 
p ↔ q 
• Jaime canta si y sólo si baila 
• Para que Jaime cante es necesario 
y suficiente que baile 
• Agrupación de fbf 
 
En el lenguaje natural sabemos que la puntuación en una oración es indispensable para dar sentido al enunciado, de tal 
forma que  si no  se usaran  tendríamos  interpretaciones de dicha oración que podrían  llevar  a  error. Por  ejemplo,  el 
enunciado:  “Mientras  comían,  los  leones  salieron de paseo” no  significa  lo mismo que:  “Mientras  comían  los  leones, 
salieron de paseo”. Como vemos es importante saber dónde “va” la coma.  En el lenguaje formal también es necesario 
agrupar subfórmulas lógicas dentro de toda fbf. Para realizar dicha agrupación se usan paréntesis, corchetes y llaves, si 
son necesarios. El uso de paréntesis evitara ambigüedades ante la prioridad de las conectivas binarias en la fbf.  
 
Sean A, B, C fórmulas lógicas cualesquiera y & un operador binario. La siguiente relación muestra cómo se entienden en 
el cálculo lógico las diferentes expresiones cuando no se usan paréntesis.  
1.‐ La expresión A & B representa la fbf (A & B). 
2.‐ La expresión A & B → C representa a (A & B) → C;  C → A & B representa a  C → (A & B). 
3.‐ La expresión A & B ↔ C representa a (A & B) ↔ C;  C ↔ A & B representa a  C ↔ (A & B). 
4.‐ La expresión A → B → C representa A → (B → C) (propiedad asociativa por la derecha de →). 
5.‐ La expresión A ∧ B ∨ C representa (A ∧ B) ∨ C. 
6.‐ La expresión A ↔ B → C representa A ↔ (B → 
 ( ¬p )   ( ¬q )  se representa por  ¬p 
C). 
• Fórmulas lógicas proposicionales 
Fbf proposicional atómica: variable proposiocional. 
Fbf proposicional molecular: expresión formada por variables proposicionales y las conectivas que las unen. 
 
Ejemplo 10       
• ∨ ∨ ¬q; 
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• ((p  ∧ ¬q) → (¬p ∨ q)) se representa por p ∧ ¬q  → ¬p ∨ q; 
• ((¬(p ↔ q)) ↔ ((p ∧¬q) ∨ q)) se representa por ¬(p ↔ q) ↔ (p ∧ ¬q) ∨ q. 
 
• Ejemplos de formalización de sentencias con el lenguaje proposicional 
 
Ejemplo 11 P: “Hoy hace sol” 
Proposición atómica. 
MC = {Hoy hace sol: p} 
Formalización:     Fbf (P): p 
 
Ejemplo 12 P: “Hoy vamos al cine pero mañana de paseo”. 
Proposición molecular.  
Forma lógica: conjunción 
MC = {Hoy vamos al cine: p; Mañana vamos de paseo: q} 
Formalización:  Fbf (P): p ∧ q 
 
Ejemplo 13 P: “No vamos al cine a menos que mañana vayamos de paseo”. 
Proposición molecular.  
Forma lógica: condicional  (Si vamos al cine entonces mañana vamos de paseo) 
MC = {Vamos al cine: p; Mañana vamos de paseo: q} 
Formalización:    Fbf (P): p → q 
 
En los siguientes ejemplos consideramos MC = {María va al concierto: p; Silvia va al concierto: q; Juan va al concierto: r} 
 
Ejemplo 14 P: “Ni María, ni Silvia, ni Juan van al concierto”. 
Proposición molecular cuya forma lógica es la conjunción‐“María no va al concierto y Silvia no va al 
concierto y Juan no va al concierto”. 
Formalización:  Fbf (P): ¬p ∧ ¬q ∧ ¬r 
 
Ejemplo 15 P: “Si María va al concierto entonces Silvia también”. 
Proposición molecular condicional.  
Formalización:  Fbf (P): p → q 
 
Ejemplo 16 P: “María no va al concierto a menos que vaya Silvia”. 
Proposición molecular condicional. 
Formalización:  Fbf (P): p → q 
 
Ejemplo 17 P: “Para que María vaya al concierto es necesario que vaya Silvia”. 
Proposición molecular condicional. 
Formalización:  Fbf (P): p → q 
 
Ejemplo 18 P: “Para que María vaya al concierto essuficiente que vaya Silvia”. 
Proposición molecular condicional. 
Formalización:  Fbf (P): q → p 
 
Ejemplo 19 P: “Para que María vaya al concierto es necesario y suficiente que vaya Silvia”. 
Proposición molecular bicondicional. 
Formalización:  Fbf (P): p ↔ q 
 
Ejemplo 20 P: “O María va al concierto o Silvia va al concierto pero no las dos cosas a la vez”. 
Proposición molecular conjunción. 
Formalización:  Fbf (P): (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) 
 
!Ojo¡ Las variables proposicionales sólo simbolizan proposiciones atómicas y no palabras o nombres.  
 
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Ejemplo 21 “Juan come con Pepe” 
MC = {Juan: p; Pepe: q} ERROR… 
 
¡Ojo! En toda fórmula que contenga conectivas debe haber una que domine, que sea la principal.  
 
Ejemplo 22 “Si María ha llegado del cine y no tiene que estudiar, entonces podemos cenar”. 
  Forma lógica condicional: Si A y no B entonces C. Luego la conectiva principal será el implicador. 
2.3. Teoría de conjuntos 
Def.‐ Un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos y diferenciables entre si,  llamados elementos del 
conjunto.  
Los elementos de un conjunto pueden ser de cualquier naturaleza, así se pueden tener conjuntos de todos los enteros, 
de vocales, de  las premisas de un  razonamiento, etc. Los  tipos de datos que usan  los  lenguajes de programación son 
también conjuntos.  
Para denotar  los conjuntos utilizaremos  letras mayúsculas A, B, C,… después escribiremos el signo de  igualdad y entre 
llaves, los elementos que formen parte del conjunto definido.  
• Declaración de conjuntos 
‐ Por extensión o notación de lista: encerrando entre llaves cada uno de sus elementos, A = {1, 2, 3...n}.  
Los conjuntos enumerables pueden representarse con esta notación pero los conjuntos que no pueden enumerarse 
deben escribirse con la siguiente notación: 
‐ Por compresión: enunciando una propiedad característica de sus elementos.  B = {p ∈ Z | p es par}. 
• Pertenencia de un elemento a un conjunto 
Para  indicar  que  un  sujeto  “a”  es  un  elemento  del  conjunto A  escribiremos:  a ∈ A,  “a  es  elemento  de A”,  en  caso 
contrario, escribiremos: a ∉ A.  
 
Ejemplo 23 A  =  {1,2,3}.  La  afirmación  2∈A  es  verdadera;  la  afirmación  4∉A  es  verdadera. 
 
Ejemplo 24 de conjuntos  
 
            U: universo de discurso o conjunto universal que contiene los elementos de todos los conjuntos. 
∅: conjunto vacío que carece de elementos {}.  
N: conjunto de los números naturales. N = {1,2,3,…}.  
Z: conjunto de los números enteros. Z =  {…,‐3,‐2,‐1,0,1,2,3,…}. 
Q: conjunto de los números racionales. Q = {m/n  | m,n ∈ Z con n≠0}. 
R: conjunto de los números reales. Racionales y no racionales. 
C: conjunto de los números complejos. C = {a + bi  |  a, b ∈ R}. 
• Subconjunto de un conjunto 
Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A lo es también de B, sin embargo 
no todo elemento de B necesita ser un elemento de A. Cuando A es un subconjunto de B se dice que A está incluido en B 
y se expresa como A ⊆ B (relación de inclusión), es decir,  
(A ⊆ B)   (a ∈ A ⇒ a ∈ B)  
 
Ejemplo 25 Sean los conjuntos  A = {a,c}, B = {a,b,c,d} y C = {a,d,c}.   
Claramente se verifica que: A ⊆ B y C ⊆ B. 
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MATEMÁTICAS-I 
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jO!: No es lo mismo pertenencia (elemento y conjunto) que inclusión (entre conjuntos). 
jemplo 26 Sea el conjunto A = {0,2,4,6,8}, entonces 2 ∈ A, {4} ∉ A, {6}  ⊆ A, 8  ⊄ A. 
sando diagramas  1 conjunto de A.  
 
 
sean diferentes es suficiente que difieran en al 
enos un elemento, ya que un conjunto se describe por sus elementos.  
E
cuentran  los elementos. Aunque  los elementos  se  repiten en B,  como norma general  aparecen 
solamente una vez. 
E
n, 
precisamente, los elementos del conjunto B, luego A  ⊆ B. De manera similar, se demuestra que B ⊆ A, luego A = B.  
La igualdad entre dos conj  como: 
 
¡O
 
E
 
U de Venn  se representa el conjunto B como un sub
 
B A 
U 
 
 
 
 
 
 
 
• Conjuntos iguales 
Dos conjuntos A y B son iguales (A = B) si tienen los mismos elementos o la misma propiedad característica. Para que los 
conjuntos A y B sean iguales es necesario que A ⊆ B y B ⊆ A y para que 
m
 
jemplo 27 Los conjuntos       A = {0,2,4,6,8}   y  B = {0,2,4,0,6,2,8,0} son iguales, es decir A = B, siendo irrelevante el 
orden en que  se en
 
jemplo 28 Los conjuntos A = {x ∈ R: x2 = 1} y B = {‐1,1} son iguales ya que aunque A y B están escritos de forma 
diferente ambos conjuntos  tienen  los mismos elementos. Las  soluciones de  la ecuación del conjunto A  (x2 = 1)  so
 
untos A y B se puede escribir
(A = B)   (A ⊆ 
o bien, de manera equivalente, con la relación de pertenencia:  
(A = B)   (x ∈ A ↔ x ∈ B)   
Es el conjunto que no tiene elementos. Se denota por φ.  
B) ∧ (B ⊆ A)  
   
 
• Conjunto vacío 
¡OjO!: El  conjunto φ  que el  conjunto A =  {φ}, pues A no es un  conjunto vacío ya que  tiene un elemento, 
recisamente el conjunto vacío.  
roposición: Si A es un conjunto cualquiera se verifica que φ ⊆ A. 
Caracter
- junto de B entonces existe al menos un elemento de A que no es un elemento de B, 
no es  igual 
p
 
P
 
ísticas de la inclusión de conjuntos: 
Si A no es un subcon
escribiremos A ⊄ B.  
- Para cualquier conjunto A se verifica A ⊆ 
 todos los conjuntos. 
Algunos subconjuntos son subconjuntos propios: 
 
A.  
- El conjunto vacío es un subconjunto de
 
 
1 John Venn, matemático inglés. Representación gráfica para visualizar conjuntos. 
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• Subconjunto propio 
A es un subconjunto propio de B si A es un subconjunto de B, pero A no es igual a B. Si A es un subconjunto propio de B, 
escribimos A ⊂ B.  
 
Curiosidad:  Las expresiones  lógicas que  son  tautológicas  (fbf que  siempre  se  interpretan  como verdaderas)forman un 
subconjunto propio del conjunto de todas las expresiones lógicas. El conjunto de los números naturales es un subconjunto 
propio del conjunto de los números enteros, pero no viceversa.   
2.4. Operaciones entre conjuntos 
Dados, al menos, dos conjuntos A y B, podemos obtener nuevos conjuntos realizando determinadas operaciones entre 
ellos. 
• Intersección 
La intersección de los conjuntos A y B, que representamos por A ∩ B, es el conjunto formado por los elementos de A y 
de B, es decir:  
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B }.  
También      x ∈ (A ∩ B)   (x ∈ A)  ∧ (x ∈ B). 
Se verifica:       (A ∩ B) ⊆ A;     (A ∩ B) ⊆ B 
Si A y B no tienen elementos en común, entonces A ∩ B = φ y se dice que A y B son disjuntos. 
Diagrama de Venn: 
 
 
A
B
Ejemplo 29 Sean  A = {a, b, 1}  y  B = {a, 1, 2};        A ∩ B = {a, b, 1} ∩ {a, 1, 2} = {a, 1} 
• Unión 
La unión de dos conjuntos A y B, que representamos por A ∪ B, es el conjunto formado por los elementos de A o de B o 
de ambos, es decir:  
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.  
También      x ∈ (A ∪ B)   (x ∈ A) ∨ (x ∈ B). 
Se verifica:       A ⊆ (A ∪ B);     B ⊆ (A ∪ B) 
Diagrama de Venn: 
BA
 
 
 
 
 
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Ejempl an  A = {a, b, 1}  y   B = {a, 1, 2}.   A ∪ B = {a, b, 1, 2}. 
mos conjunto diferencia de A y B y lo representamos por A ‐ B, al conjunto formado por 
todos los elementos que están en A pero no e
                                                       
A ‐ B = {x: (x ∈ A)  ∧ (x ∉ B)} 
A ‐ B = {p}  mientras que  B ‐ A = {s,t}. 
 
‐ El conju A) y (x ∉ A)} no tiene elementos. 
Diagrama de Venn: 
o 30 Se
• Diferencia 
Sean los conjuntos A y B. Llama
n B: 
 
 
Ejemplo 31 Sean los conjuntos A = {p,q,r}  y  B = {q,r,s,t}.  
nto  A ‐ A  = {x: (x ∈ 
 
 
Sea el conjunto A. El complementario de A, que se escribeA’, es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a 
A, o que  U ‐ A  (U conjunto universal fijado de antemano).  
Diagrama de Venn: 
 
Propo ó  A y B son subconjuntos cualesquiera d
• Complementario 
 pertenecen a la diferencia
 
 
 
 
 
 
sici n:   Si
• φ'= U. 
• U ' = φ 
• (A')' = A.  
• A ⊆ B ⇔ 
• Si A = {x ∈ U: p(x) es una proposición verdadera
• Si A y B son subconjuntos de un conjunto unive
 
B' ⊆ A'.  
 
 
A
A
e U se verifica: 
} entonces A' = {x ∈
rsal U entonces A ‐ B
B
 U: p
 = A
U
U
10
(x) es una proposición falsa}.  
 ∩ B'.  
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IN N PROPIEDADES  UNIÓN  TERSECCIÓ
Idempotencia 
A ∪ 
A ⊆
A = A 
 A ∪   B B y B ⊆ A ∪
A ∩ 
A ⊆
A = A 
 A ∩   B B y B ⊆ A ∩
C  onmutativa A ∪ B = B ∪ A  A ∩ B = B ∩ A 
Asociativa  A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪   ∪ C  A ∩ (B )  B ∩ C ) = ( A ∩   ∩ C B )
Absorción  A ∪ ( A ∩ B ) = A  A ∩ ( A ∪ B ) = A 
Distributiva  A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪    AC )  ∩ ( B ∪ C ) =  ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩   C )
C   A ∪ A' =omplementariedad  U; A ∪ φ   U = U  A ∩ A' = A;  A ∪ = φ; A ∩ φ   U = A = φ;  A ∩
Leyes de Morgan  (A ∪ B)' = A' ∩ B'  (A ∩ B)' = A' ∪ B' 
 
Estas propiedades hacen que partes del universo U con  las operaciones unión e  intersección  tenga una estructura de 
álgebra de Boole.  
que a cada conexión lógica le corresponde una operación de conjuntos. Sean A, B...conjuntos y a, b ... sus propiedades 
lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto. 
 tiene la siguiente correspondencia: 
   
2.5. Relación entre la teoría de conjuntos y la lógica de proposiciones 
Existe  una  relación muy  estrecha  entre  la  teoría  de  conjuntos  y  la  lógica  proposicional.  La  forma  en  que  podemos 
obtener nuevos conjuntos está directamente relacionada con la forma en que operan las conectivas lógicas, de tal forma 
características, es decir, la proposición 
Se
Conjuntos  A ⊆ B A = B A ∪ B A ∩ B A' A − B 
proposi a ⇒ b a ⇔ b a ∨ b a ∧ b a' a ∧ b' ciones 
El  conjunto  vacío  se  corresponde  con  una  contradicción  (conjunción  de  una  fórmula  y  su  negación)  y  el  conjunto 
niversal con una tautología (disyunción de una fórmula y su negación). Con esta correspondeu
sobre
ncia todos los resultados 
 conjuntos se pueden r  en términos de lógica proposicional   viceversa;   
 
eescribir y   
A ∪ ( A ∩ B ) = A a ∨ ( b ∧ c ) ⇔ a 
A ∪ ( B A ∪ C ) a ∨ ( b a ∨ c ) ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ (  ∧ c ) ⇔ ( a ∨ b ) ∧ ( 
( A ∪ B )' = A' ∩ B' ( a ∨ b )' ⇔ a' ∧ b' 
2.6. El lenguaje de predicados 
La  lógica  de  proposiciones  es  conveniente  para  representar  conocimiento  en  donde  no  sea  necesario  formalizar 
propiedades entre  individuos o  relaciones entre ellos. Por ejemplo,  la  sentencia: “Algunos animales  son domésticos”, 
carece de significado hasta que no se determine a qué animales nos referimos. Si dicha sentencia se  formaliza con el 
lenguaje de proposiciones tenemos la fórmula: p, expresión que no expresa conocimiento acerca de los individuos que 
pueden  ser  animales  domésticos.  De  manera  similar  la  proposición:  “Todos  los  animales  son  domésticos”  se 
representaría por la fórmula: q, que tampoco nos permite referirnos a todos los elementos de un dominio. Es   si los 
lementos  de
  más,
  un  dominio  fueran  infinitos,  simplemente  no  se  podría  expresar  conocimiento  acerca  de  todos  los 
 y relaciones, dentro de un 
e
individuos.  
 
El  lenguaje  de  predicados,  también  conocido  como  lenguaje  de  la  lógica  de  primer  orden,  generaliza  al  lenguaje 
proposicional  introduciendo nuevos  elementos del  lenguaje  con  los que  se describen  con más detalle  los  elementos 
sintácticos de una proposición; ésta se formaliza atendiendo a los individuos, sus propiedades
onjunto de referencia. Su precursor fue Gotto Frege (1879). c
TEMA 2: EL LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS 
 
MATEMÁTICAS-I 
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 de e ede ver con el siguiente ejemplo: 
 mortales”. 
ceptual:   MC = {s: Sócrates; H(x): x es hombre; Mo(x): x es mortal}, 
La necesidad xtender el lenguaje de proporciones se pu
 
Ejemplo 32 P1: “Todos los hombres son
                                P2: “Sócrates es un hombre” 
                                 Q: “Sócrates es mortal” 
Si formalizamos este razonamiento con el lenguaje de proposiciones con el marco conceptual: 
                 MC = {Todos los hombres son mortales: p; Sócrates es un hombre: q; Sócrates es mortal: r}. 
El razonamiento p, q ⇒ r, es, a todas  luces, no correcto. Desde el punto de vista sintáctico  la conclusión “r” no tiene 
ninguna relación sintáctica con las premisas ya que al ser éstas atómicas, no existe ninguna forma de extraerla de ellas; 
por otro lado, desde el punto de vista semántico, podríamos interpretar las fórmulas p y q como verdaderas y la fórmula 
r como falsa, esto, como ya veremos (Tema‐3 y 4) significa que el razonamiento dado no es correcto. Sin embargo, dicho 
razonamiento  es  correcto.  Esto  se  puede  demostrar  con  otra  formalización,  la  del  lenguaje  de  predicados.  El 
razonamiento quedaría formalizado con el marco con
como:  ∀x [H(x) →  ⇒ Mo(x), como podemos ver ahora la relación sintáctica es evidente, luego ya podremos 
ce de las premisas. 
Con 
 Los predicados se formalizan con identificadores de predicados y los sujetos con identificadores de términos.  
liza la cantidad de sujetos que intervienen en las sentencias mediante los cuantificadores.   
eden  ser  constantes,  variables  o  funciones,  predicados, 
 (conectivas, variables proposicionales y paréntesis).  
s de un conjunto, 
tan.  
... 
e
   * Funci tienen aplicando una función a otro sujeto 
constante. Pueden    
 
‐ Poliádicas (n>1): representan un individuo en función de otros. 
Mo(x)], H(s) 
averiguar si la conclusión se dedu
el lenguaje de predicados: 
 En las  proposiciones toman relevancia los sujetos y los predicados.  
 Se forma
• Alfabeto 
Conjunto  de  símbolos  formado  por  términos,  que  pu
cuantificadores y símbolos heredados del lenguaje proposicional
Veamos qué significa cada uno de ellos y su formalización: 
   * Constantes: Representan objetos concretos como Juan, Sócrates…. Las constantes son los elemento
llamado dominio de referencia o universo de discurso, que son distinguibles entre sí por las propiedades que les afec
Se formalizan con letras, que pueden estar numeradas, empezando por minúscula: a, b, c, a1, a2, a3
   *  Variables: Se refieren a objetos indeterminados que pertenecen a un conjunto de referencia donde se define el 
razonamiento que se deb  estudiar. Se formalizan con letras típicas de variables: x, y, z, w, x1, x2... 
ón n‐aria (aridad2 n): Representan a sujetos constantes que se ob
ser:
‐ Monádicas (n=1): representan un individuo en función de otro. 
2Ej: “f(x) = x ”, es una función monádica que calcula el cuadrado de un número real “x”.
Ej: “f(x,y) = x + y”, es una función binaria que calcula la suma de dos números reales. 
Toda función tiene un número n ∈ N ∪   la aridad de la función. Las funciones se 
formalizan con letras típicas de función: f, g, h…. 
  * Predicados n ser: 
 
‐ Polliádicos (n>1): representan a las relaciones entre individuos. 
Ej: “María es novia de Carlos”; Fbf: Nov(ma, ca), MC = {ma: María; ca: Carlos; Nov(x,y): x es  novio de y} 
 
{0} de argumentos, que se conoce como
 o relaciones n‐arias: Según la aridad  los predicados puede
‐ Constantes (n=0): representan a las proposiciones atómicas. 
Ej: “María es estudiosa”; Fbf: p, siendo MC = {p: María es estudiosa}. 
‐ Monádicos (n=1): representan a las propiedades de los individuos.
Ej: “María es estudiosa”; Fbf: Es(ma), siendo MC = {ma: María; Es(x): x es estudiosa}. 
 
2 La aridad de una función o de un predicado se define como el número de argumentos que tiene. 
TEMA 2: EL LENGUAJE DELA LÓGICA DE PRIMER ORDEN Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS 
 
MATEMÁTICAS-I 
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Al igual que las funciones, los predicados tienen un número n ∈ N ∪ {0} de argumentos que determinan el carácter de 
dicho predicado. Los predicados se formalizan con letras o expresiones cuya primera letra debe estar en mayúscula: P,Q, 
Ra …. 
¡OjO!:  Si  en  un  predicado  se  sustituyen  los  símbolos  variables  de  sus  argumentos  por  símbolos  constantes,  de  un 
determinado conjunto de referencia, se obtiene una fórmula. 
 
Ejemplo 33         
a) La variable proporcional “p” es un predicado constante (aridad cero), luego es una fórmula atómica. 
b) P(x), es un predicado monádico que atribuye al sujeto “x” la propiedad P. Si el conjunto de referencia es:  
    D = {ana, luis}, al sustituir la variable “x” por “ana” se obtiene la fórmula atómica: P(ana). 
c) P(x,y), es un predicado poliádico que relaciona a los sujetos “x” e “y”. Al igual que en b), si “x = ana” e “y = ana”, por 
ejemplo,  tenemos  la  fórmula atómica: P(ana,  luis), que representa que  los sujetos “ana” y “luis” están relacionados 
mediante el predicado “P”. 
 
¡OjO!: no es  lo mismo una función que un predicado. Los predicados simbolizan fórmulas que pueden ser verdaderas o 
falsas, las funciones representan términos constantes. Éstas se suelen usar para simplificar la escritura de las fórmulas de 
la lógica de predicados. 
 
Ejemplo 34 Un predicado no es una función. 
Dado el conjunto D =  {personas}. El predicado binario “Ma(x,y): x es  la madre de y” no es una  función porque 
dependiendo del valor que tomen las variables “x” e “y”, la fórmula correspondiente será verdadera o falsa. Por 
ejemplo,  si  “x=ana” e  “y=luisa”,  la  fbf: Ma(ana,  luisa)  será  verdadera  si el  sujeto  “ana” es  la madre del  sujeto 
“luisa”. Si hubiésemos querido usar una función podríamos haber puesto “f(x)=y”, donde “f”, calcula la madre “y” 
del sujeto “x”.  
 
Ejemplo 35 “Félix es el padre de Clara” 
1.‐ Formalización mediante funciones:   padre(clara),  da como resultado: Félix. 
 2.‐ Formalización sin funciones:                   Pa(felix,clara),     da como resultado verdadero o falso.  
 
* Cuantificadores:    
‐ Universal (∀): se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen  una determinada 
propiedad o relación. 
‐ Existencial (∃): se utiliza para indicar que hay uno o más elementos de un conjunto que cumplen una 
determinada propiedad. 
 
Ejemplo 36 En el MC = {N(x): x es número natural; Po(x): x es positivo} las sentencias: 
                 a) “Todos los números naturales son positivos”,  se formaliza como: ∀x[Na(x) → Po(x)]. 
                 b) “Algunos números naturales son positivos”, se formaliza como: ∃x[Na(x) ∧ Po(x)]. 
 
* Símbolos del lenguaje proposicional: variables proposicionales, conectivas y paréntesis. 
• Reglas para construir fórmulas de la lógica de primer orden bien formadas (fbf). 
Las expresiones bien formadas de la lógica de predicados, es decir las fórmulas predicativas, se construyen a partir de los 
términos (que representan objetos) y de los predicados cuyos argumentos son, precisamente, los términos.  
• Definición recursiva de término: 
1. Todo símbolo de variable y de constante es un término. 
2. Si f es un símbolo de función de aridad n > 0 y t1, t2,…tn son términos, entonces f(t1, t2,…tn) es un término. 
3. Sólo son términos los definidos por 1 o 2. 
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Ejemplo 37 Las siguientes expresiones son términos:    x;  a;  f(x);  g(x; y);  g(x; f(x));  
               donde x es una variable, a es una constante, f es una función monádica y g es una función binaria. 
• Definición de Fórmula: 
Una  fórmula predicativa puede  ser atómica o molecular.  Las  fórmulas atómicas del  lenguaje  son  las expresiones 
P(t1, . . . , tn), donde P es un símbolo de predicado de aridad n>0 y t1, . . . , tn son términos constantes o de función.  
Las  fórmulas moleculares  del  lenguaje  están  formadas  por  fórmulas  atómicas  conectadas  o  por  fórmulas  en  donde 
aparecen predicados con argumentos variables cuantificados. Si A es una fórmula y x es una variable, entonces (∀xA(x)) y 
(∃xA(x)) son fórmulas.  
¡OjO!: Un término representa un objeto mientras que una fórmula atómica será verdadera o falsa según se interprete en 
un determinado conjunto.  
 
Ejemplo 38 Formalizar la sentencia S: ”María es rubia”, con el lenguaje de predicados 
                          MC = {ma: María; R(x): x es rubia} 
                                               Fbf‐S: R(ma) 
                Explicación de los símbolos usados: 
                 ‐  ma es un término que representa al sujeto:”María”. 
                 ‐  R(ma) es una fórmula atómica que representa al hecho: ”María es rubia”. 
• Reglas de construcción de fórmulas bien formadas de la lógica de primer orden (fbf): 
R.1. Toda variable proposicional es una fbf. 
R.2. Si P es un predicado, entonces P(t1, t2, ..., tn) es una fbf, siendo ti  términos. 
R.3. Si F es una fbf entonces: ∀xi  F [ x1, x2, ..., xi, ..., xn ] ;  ∃xi  F [ x1, x2, ..., xi, ..., xn ] 
             son fbfs. La variable xi queda ligada al cuantificador introducido y las otras variables s libres. 
R.4. Si A y B son fbf entonces ¬A, A ∧ B, A ∨ B, A → B y A ↔ B son fbf. 
R.5. Sólo son fbfs las construidas desde R1 hasta R4. 
R.6. Son válidas todas las reglas de la gramática proposicional. 
 
Ejemplo 39 La siguiente fórmula es sintácticamente correcta: 
∀x [P(x) ∧ Q(z)  →  ∃y R(x, y)] 
   ya que todas las subfórmulas de la fórmula dada son válidas 
  R(x, y)          por R2 
      ∃y R(x, y)        por R3 
      P(x)          por R2 
      Q(z)          por R2 
      P(x) ∧ Q(z)        por R4 
      P(x) ∧ Q(z)  →  ∃yR(x, y)      por R4 
      ∀x  ( P(x) ∧ Q(z)  →  ∃y R(x, y) )    por R3. 
• Fórmula abierta y cerrada 
Las fórmulas lógicas de primer orden, que denotaremos por ϕ, pueden ser abiertas o cerradas según la “forma” en que 
aparezcan las variables que conforman los argumentos de los predicados declarados en la formalización. Si las variables 
están afectadas por algún cuantificador se dice que son variables ligadas y si no lo están, son variables libres.  
 
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.‐ Si toda variable que aparece en una fórmula es ligada, diremos que la fórmula es cerrada. En este caso la fórmula 
pu
2.‐ Si en una fórmula aparece una variable libre, diremos que la fórmula es abierta. En este caso la fórmula no puede 
a verdadera ni a falsa. 
 
Ejemp 
2) En la fórmula: ∀x[P(x) → Q(x) ∧ R(x)] la variable x aparece ligada al cuantificador existencial en todos los predicados. 
L
lo, al decir "Todos los números son positivos", en el conjunto 
 = {1,2,3,4} la proposición ∀xPo(x), siendo Po(x) el predicado que se refiere a que el sujeto x es positivo, es verdadera, 
uando  tenemos  un  dominio  finito  el  cuantificador  universal  se  puede  considerar  como  una  generalización  de  la 
 el c disyunción. 
 
fbf: 
‐ ∀x P(x) es equivalente a: P(a1) ∧ P(a2) ∧ ... ∧ P(an) 
     ‐ ∃x P(x) es equivalente a: P(a ) ∨ P(a ) ∨ ... ∨ P(a ). 
2.7.  
Tod
 para su formalización. 
, ir al paso 1. 
s proposicionales elegidas para  la 
formalización de las proposiciones atómicas.  
5 U
: 
or de cuantificación, universal o existencial. Elegir nombre 
  se debe 
 ir al paso 1. 
abeto elegidos para la 
formalización de las proposiciones atómicas.  
1
ede ser evaluada a verdadera o falsa. 
 
evaluarse ni 
lo 40          
1) En la fórmula: ∀xP(x, y) la variable x aparece ligada y la variable y aparece libre. La fórmula es abierta. 
a fórmula es cerrada. 
• Dominio de referencia o Universo de Discurso 
Es el conjunto no vacío de individuos distinguibles entre sí en el que se definen sus relaciones y propiedades, es decir es 
el conjunto de cosas acercade  las cuales se habla en un determinado contexto. Dependiendo del dominio elegido una 
misma proposición puede ser verdadera o falsa. Por ejemp
D
pero en el conjunto D2={ ‐2,‐1,1,2} la proposición es falsa. 
 
Por convenio, el dominio de discurso es siempre un conjunto no vacío. 
 
C
conjunción y uantificador existencial como una generalización de la 
Ejemplo 41 Sea el dominio D = {a1, a2, ...,an }, tenemos que la 
1 2 n
Construcción de fórmulas proposicionales y predicativas
a proposición tiene su forma lógica y su fórmula bien formada.  
• Normas para formalizar sentencias con el lenguaje de proposiciones: 
1º.‐ Detectar si la proposición dada es atómica o molecular. 
2º.‐ Si es atómica elegir un nombre de variable proposicional
3º.‐ Si es molecular, determinar su forma lógica y detectar cada una de las proposiciones atómicas  que la componen. 
Una vez detectadas las proposiciones atómicas
4º.‐ Definir el marco conceptual del problema, que será el conjunto de  las variable
º.‐  sar paréntesis, si es necesario, para establecer jerarquías entre las conectivas. 
• Normas para formalizar sentencias con el lenguaje de predicados de primer orden
1º.‐ Detectar si la proposición dada es atómica o molecular. 
2º.‐ Si es atómica elegir un nombre de predicado y símbolos para los sujetos constantes. 
3º.‐ Si es molecular es porque o bien no aparecen sujetos constantes o bien porque aparecen en proposiciones que 
están  conectadas.  Si  no  aparecen  sujetos  constantes,  se  debe  valorar  la  cantidad  de  individuos  que  se  deben 
formalizar en la sentencia, eligiendo para ello un identificad
de predicado. Elegir nombres de  variables que deben  formar parte de  los  argumentos del predicado que
formalizar. Si aparecen sólo sujetos constantes
4º.‐ Definir el marco conceptual del problema, que será el conjunto de símbolos del alf
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5 U  entre las subfórmulas. 
1º.‐ Las expresiones que deben  formalizarse con  universal van acompañadas de  la conectiva de  la 
implicación ya que de esta manera restringimos el dominio de la variable cuantificada universal. Así, por ejemplo: 
 
pañadas de  la conectiva de  la 
∃x[P(x) ∧ Q(x)] 
s i e verifica también Q.  
ualquier  fórmula  se  puede  escribir  de manera  equivalente  aplicando  diferentes  reglas  de  equivalencia.  Para  verlo 
  son  expresiones  que  contienen  símbolos  que  representan  fórmulas  lógicas 
a: A → B representa el condicional de las fórmulas A y B.  
º.‐  sar paréntesis, si es necesario, para establecer jerarquías
• Normas para formalizar sentencias cuantificadas: 
 un cuantificador
∀x[P(x) → Q(x)] 
significa que todos  los x, si verifican  la propiedad P entonces verifican la propiedad Q, es decir, no todos   los sujetos 
cumplen necesariamente la propiedad Q, pero sí al menos aquellos que cumplen la propiedad P.  
 
2º.‐ Las expresiones que deben formalizarse con un cuantificador existencial van acom
conjunción. De esta forma: 
ign fica que existe algún sujeto x que verifica el predicado P  y qu
• Estructuras sintácticas equivalentes de una fórmula lógica 
C
usaremos  esquemas  lógicos,  que
cualesquiera. Por ejemplo el esquem
 
Leyes de equivalencia más usuales 
Definición del implicador mediante la disyunción   A → B ⇔ ¬A ∨ B 
Definición del implicador mediante la conjunción        A → B ⇔ ¬(A ∧  ) ¬B
Ley del contrapositivo  A → B ⇔ ¬ A → ¬B 
Leyes de Morgan  ¬A ∨ ¬B = ¬(A ∧ 
¬A ∧ ¬B = ¬(A ∨ B) 
B) 
Ley del bico   A ↔ B ≡  (A →ndicional  B) ∧ (B → A) 
 
 
Ejemplo 42 MC = {Jaim  lógica: p; Jaime es feliz: q}. Las siguientes expresiones son equivalentes: 
 
e estudia
Condicional 
“Si Jaime aprende lógica entonces es feliz”  p → q 
Conjunción 
“Es falso que Jaime aprenda lógica y no sea feliz”  ¬( p ∧  ) ¬q 
Disyunción 
“O Jaime no aprende lógica o es feliz”  ¬p ∨ q 
Contrapositivo del implicador 
“Si Jaime no es feliz, no aprende lógica”  ¬ q → ¬ p 
 
 
 
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• Equivalencia ent as cuantificadas 
 
Existenciales : ∃x¬P(x) 
re fórmul
¬∀xP(x) 
no todos los x tienen la propiedad P 
 negativos
hay algún x que no tiene la propiedad P 
Universales  ∀x¬P(x) 
no existe  P 
 negativos:
todos los x no tienen la propiedad P 
¬∃xP(x) 
 ni dadngún x que tenga la propie
¬∃x¬P(x) 
no  P  hay ningún x que posea la propiedad no
Universales afirmativos:  ∀xP(x) 
todos los x verifican P 
¬∀x¬P(x) 
dos
Existenciales afirmativos: ∃xP(x) 
hay algún x que tiene la propiedad P no to  los x carecen de la propiedad P 
 
Ejemplo 43 Encontrar expresiones equiva s  dalente a la da : 
      ¬∀x[ P(x) → Q(x) ]       
    ⇔    ∃x ¬[ P(x) →     
 
Q(x) ]  
    ⇔   ∃x ¬[ ¬P(x) ∨   Q(x) ]      
    ⇔    ∃x [ P(x) ∧ ¬Q(x) ] 
    ⇔  ¬∃x [ P(x) ∧     
    ⇔    ∀x ¬[ P(x) ∧ Q(x) ]       
 
tación arborescente de fórmulas predicativas 
 del árbol   lógicas y  los 
res. 
 
Ejemplo 44 Estructura  S(x) 
Q(x) ]   
  ⇔    ∀x [ P(x) → ¬Q(x)] 
• Represen
En  las hojas  tendremos  los  identificadores de predicados y en  los nodos  internos  las conectivas
cuantificado
 arborescente de la fórmula predicativa:   ∀x∃y [∃xQ(x) ∨ P(y) ∨ R(x)] ∧
∃ y
S ( x )∀ x
R ( x )∨
∧
∨
Q ( x )
∃ xP ( y )
l ib r e
 
ser 
2.8. Formalización de fórmulas lógicas en forma clausal  y su relación con el lenguaje Prolog 
Las  leyes  de  equivalencia  permiten  transformar  fórmulas  en  otras  más  simples  de  evaluar,  en  especial,  por  un 
computador,  si  éstas  carecen  de  la  conectiva  del  implicador,  conectiva  binaria  que  no  tiene  la  propiedad  de 
conmutativa,  lo que  lo hace engorroso en su tratamiento computacional. Las  fórmulas que prescinden de  la conectiva 
del implicador y se escriben mediante una colección de cláusulas se dice que están escritas en su forma clausal (FC).  
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 una  forma única  lo que  se puede 
autom
 la lógica a la informática, y en concreto a la programación lógica. 
lausal  de  una  fórmula  dada,  veamos  algunos  conceptos 
elacionados. 
usula { L1, ..., Lk}. 
al es
Toda  fórmula escrita mediante su  forma clausal se puede expresar mediante un  lenguaje de Programación Lógica, en 
particular del  lenguaje Prolog.  La notación en FC  tiene  la  ventaja de que  reduce a
escribir de diversas formas. Esto resulta imprescindible si queremos llevar a cabo manipulaciones formales sobre fbfs del 
Cálculo  de  Predicados  y  desarrollar  procesos  de  atización.  De  ahí  la  importancia  de  la  forma  clausal  cuando 
tratamos de aplicar
Antes  de  pasar  a  estudiar  cómo  se  obtiene  la  forma  c
r
Def. Una clá  es una disyunción de literales 
 
Ejemplo 45 La fbf: p ∨ ¬q es una cláusula. 
 
Def. Un liter  una fórmula atómica afirmada o negada. 
 
Ejemplo 46 En la fbf: p ∨ 
 
ef. Una Cláusula vacía es una cláusula sin literales. Se representa por [] y su valor es siempre contradicción. 
P
 
Dada una fór la  es el caso, cada uno de los siguientes pasos: 
n de la regla: 
¬q, las fórmulas p y ¬q son literales. 
D
• roceso para obtener la forma clausal de una fórmula 
mu  lógica aplicar, si
Paso 1. Eliminar implicadores y coimplicadores mediante la aplicació
o A → 
Paso 2. Nor iz ión de las reglas. 
B = ¬A ∨ B 
mal ar negadores mediante la aplicac
o Leyes de Morgan: ¬(A ∨ B) = ¬A ∧¬B; ¬(A ∧ 
Paso 4. El iales aplicando el criterio de Skolem (ver a continuación). 
 lo que 
Paso 6. Ap  necesario,  la  regla distributiva: A ∨  (B ∧ C) =  (A ∨ B) ∧  ( A ∨ C) para obtener una  fórmula cuya 
Paso 7. Ex n el paso 
anterior. 
Paso 8. os  variables.  Se  deben  cambiar,  si  es 
or existencial se encuentra en el ámbito de un cuantificador universal, entonces  la variable de dicho 
uantificador depende  del  valor  de  la  variableafectada por  el  cuantificador  universal.  El  cuantificador  existencial  se 
u
 
jemplo 47 fbf‐A: ∀y∃x P(x,y). El cuantificador ∃x se encuentra en el ámbito de ∀y, luego la variable x se sustituye 
B) = ¬A ∨ ¬B. 
o Ley del doble negador: ¬¬A = A  
Paso 3. En fórmulas cuantificadas, renombrar variables, si es necesario, para que dos cuantificadores no coincidan en el 
nombre de variable que cuantifican. 
iminar cuantificadores existenc
Paso 5. Poner los cuantificadores universales a la cabeza de la fórmula y no volver a escribirlos en los pasos sucesivos, 
ya que llegados a este punto todas las variables de la fórmula están cuantificadas universalmente, por
no es necesario especificarlo. 
licar, si es
conectiva principal sea la conjunción. Reducir y simplificar la fórmula aplicando reglas de equivalencia 
traer  las cláusulas de  la  fórmula que serán cada una de  las disyunciones de  la  fórmula obtenida e
Las  cláusulas  no  pueden  coincidir  en  los  nombres  de  los  argument
necesario, los nombres de los argumentos variables coincidentes. Las constantes pueden coincidir.   
• Criterio de Skolem para eliminar cuantificadores existenciales 
> Si el cuantificad
c
suprime  sustituyendo  su  variable  adosada  por  una  función  que  contiene  un  argumento  con  la  variable  cuantificada 
niversalmente. 
E
por una función dependiente de la variable y. 
  x = f(y);  la fbf‐A quedaría:  ∀y P(f(y),y). 
 
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> Si el cuantificador existencial no se encuentra en el ámbito de ningún cuantificador universal, sustituimos  la variable 
uantificada existencialmente porc   una constante que no se encuentre en la fórmula. 
 
Ejemplo 8  ∃x no  se encuentra en el  ámbito de ∀y,  luego  la  variable  x  se 
sustituye por una constante. 
 
Ejemplo 49 btener la FC de la fórmula: (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q ∨ ¬r) ∧ p.  
órmu tamos por Ci:  
C1: ¬p ∨ q:   C2: ¬p ∨ q ∨ ¬r;   C3: p. 
Ejemplo 50 Obtener la FC de la
 4 fbf‐A: ∃x∀y P(x,y,a). El  cuantificador
  x = b; la fbf‐A quedaría ∀y P(b, y, a). 
O
La f la se encuentra en el paso 8 luego extraemos las cláusulas que deno
 
 fórmula: ((p → q) → r)  →  (p → r) ∧ 
 
 
Paso 2: Normalizar negadore
 
Paso
r )] ∧ [¬r  ∨ ( ¬p p ∨ q ) ∨ ( ¬q ∨ r ) ] ∧ [¬r  ∨ ( ¬q ∨ r ) ] 
[¬p ∨ q ∨  ¬p ∨ r ] ∧ [¬r  ∨ ¬p ∨ r]  ∧  [ ¬p ∨ q ∨ ¬q ∨ r ] ∧ [¬r  ∨ ¬q ∨ r ] 
Paso 7 :  traer cláusulas  
Sólo obtenemos una cláusula C1 : ¬p ∨ q ∨ r  
Ejemplo 51 Obtener → encimaDe(x, y) ] 
 
 y) ] 
 
Paso 7: Extracción de cláusulas. Sólo obtenemos una cláusula: 
1: ¬sobre(x, y) ∨ encimaDe(x, y). 
critas  en  forma  clausal.  Las  cláusulas  que 
conforman dicha forma clausal tienen que un tipo especial de cláusulas llamadas: cláusulas de Horn3. 
 literales, por ejemplo {L1, ..., Lk}. Éstos pueden 
er fbfs atómicas afirmadas {A1, ..., An}  o negadas {¬N1, ..., ¬Nm}, es decir: 
    {L1 , ..., Lk} = {A1 , ..., An} ∪ {¬N1 , ..., ¬Nm} 
 
(q → r) 
Paso 1: Eliminar implicadores: 
¬( ¬( ¬p ∨ q ) ∨ r ) ∨ ( ( ¬p ∨ r ) ∧ ( ¬q ∨ r ) ) 
s: 
( ¬¬( ¬p ∨ q ) ∧ ¬r ) ∨ ( ( ¬p ∨ r ) ∧ ( ¬q ∨ r ) ) 
( ( ¬p ∨ q ) ∧ ¬r ) ∨ ( ( ¬p ∨ r ) ∧ ( ¬q ∨ r ) ) 
 6: Aplicar la regla distributiva y simplificar aplicando reglas de equivalencia: 
[( ¬p ∨ q ) ∧ ¬r ) ∨  ( ¬ ∨   ¬p ∨ q ) ∧ ¬r ) ∨ ( ¬q ∨ r ) ] p  r )] ∧ [(
 ∨ r )]  ∧  [ ¬[( ¬p ∨ q ) ∨  ( ¬p ∨ 
¬p ∨ q ∨ r  
Ex
 
 la FC de la fórmula: ∀x ∀y [ sobre(x, y) 
Paso 1: Eliminar implicadores y coimplicadores: 
∀x ∀y [ ¬sobre(x, y) ∨ encimaDe(x,
C
 
• El lenguaje Prolog 
El lenguaje de programación Prolog (“PROgrammation en LOGique”), creado por Alain Colmerauer (1970), es un lenguaje 
de programación para ordenadores que se basa en el lenguaje de la Lógica de primer orden y que se utiliza para resolver 
problemas en los que entran en juego objetos y relaciones entre ellos. 
Las  sentencias  de  un  programa  escrito  con  el  lengueje  Prolog  están  es
Sabemos que la forma clausal de una fbf está formada por un conjunto de
s
 
 
 
 
3 Reciben este nombre por que este tipo de fbfs fueron investigadas por primera vez por el lógico Alfred Horn (1951). 
TEMA 2: EL LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS 
 
MATEMÁTICAS-I 
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ximo, un literal no negado. 
  
Se distin  Ho
negado (n=1), llamadas cláusulas con cabeza, que pueden ser a su vez: 
Def. Cláusula de Horn Definida: es una cláusula con, como má
La cláusula: 
    {L1 , ..., Lk} = {A1 , ..., An} ∪ {¬N1 , ..., ¬Nm}
es una cláusula de Horn si n ≤ 1.  
guen los siguientes tipos de cláusulas de rn: 
1.‐ Hipótesis o cláusulas con un literal no 
‐ Hechos: sin literales negados (m=0)   {A}  
    Ejemplo mujer(ana) ← 
‐ Reglas: con literales negados (m>0)  {A,¬N1,...,¬Nm}  
    Ejemplo hermanas(x, y)  ←  ), padresDe(x, p, m), padresDe(y, p, m) 
gado (n=0)  o teoremas a demostrar, llamadas cláusulas sin cabeza. 
Todo problema resoluble con cláusulas generales  tiene un modelo equivalente resoluble en Cláusulas de Horn, por  lo 
 una pérdida de capacidad de representación, y en cambio, sí que facilitan 
rmaliza en el lenguaje lógico. Para ello hay que detectar cuáles son las premisas y 
cuál  es  e”  y  similares.  La 
conclusi res.  
Formaliz
 un marco conceptual. 
2º.‐ Escr e usión precedida de fbf‐Q. 
3º.‐ Escribir el razonamiento formalizado: 
a) mediante su notación formal P1, P2, …Pn ⇒ Q, o bien 
mujer(x), mujer(y
2.‐ Preguntas o cláusulas que no tienen literal no ne
  ‐ Metas u objetivos: (m>0)    {¬N1 , ..., ¬Nm}  
    Ejemplo  ← hermanas(ana, pili). 
que las restricciones de notación no conllevan
la formulación. 
2.9. Formalización de razonamientos  
Cualquier razonamiento deductivo se fo
la  conclusión.  Las  premisas  pueden  ir  precedidas  de  las  expresiones:  “puesto  que”,  “ya  qu
ón aparecerá precedida por las expresiones: “luego”, “por lo tanto”, “en consecuencia” o simila
ar un razonamiento conlleva:  
1º.‐ Formalizar premisas y conclusión en el lenguaje elegido definiendo
ibir  n cada línea la fbf de una premisa precedida por fbf‐Pi, y la concl
b) mediante una fórmula que lo represente: P1∧ P2 ∧ …∧   
 
 
 de f
 
 
Ejemplo ante. Lupe no canta ópera puesto que no es cantante”. 
enada, buscamos las sentencias que son as premisas y la que  es la conclusión.  
nces es cantante 
P2: Lupe
Q: Lupe   canta ópera 
pe canta ópera: p; Lupe es cantante: q} 
 q 
Q: ¬
 
Pn → Q.
>> Ejemplos ormalización de razonamientos con el lenguaje de proposiciones 
 52 “Si Lupe canta ópera entonces es cant
La información aparece desord
P1: Si Lupe canta ópera ento
 no es cantante 
no
MC = {Lu
 
Fbf‐P1: p →
Fbf‐P2: ¬ q 
Fbf‐ p  
Notación formal: p → q, ¬ q ⇒ ¬p 
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Ejemplo  puesto que obtuvo la beca y habla muy bien inglés”. 
 
sordenada.  
1: Lupe obtuvo la beca 
P2: Lupe
Q: Lupe  ajará a Londres 
C = {Lupe obtuvo la beca: p; Lupe habla muy bien inglés: q; Lupe viajará a Londres: r} 
 
bf‐P1: p 
Q: r  
 
Ejemplo a un gamberro. Como no ha 
sido ex
 
y ha sido un gamberro 
P2: No h sido expulsado. 
La concl
 ningún altercado y Juan no es un gamberro. 
= {Juan es expulsado del club: ex;  Juan comete altercado: al; Juan es gamberro: ga} 
bf‐P1: ex → al  ∧ ga 
bf‐Q: ¬al ∧ ¬ga  
 53 “Lupe viajará a Londres
La información aparece de
P
 habla muy bien inglés 
vi
 
M
F
Fbf‐P2: q 
Fbf
 
Notación formal: p, q ⇒ r 
 54 “Juan no será expulsado del club a menos que cometa algún altercado y se
pulsado, podemos concluir que no ha cometido ningún altercado ni es un gamberro”. 
La Premisa 1 es un Condicional que podemos enunciar de forma equivalente como: 
P1: Si Juan es expulsado del club es que ha cometido algún altercado 
a 
usión es una conjunción que podemos enunciar, de manera equivalente, así: 
Q: Juan no ha cometido
 
MCF
Fbf‐P2: ¬ex 
F
 
Notación formal: ex → 
 
 de f dos 
 
 
jemplo 55 P1: Las personas que hacen deporte no salen de marcha. 
go, existen personas que se fatigan y no hacen deporte. 
 
  Ma(x): x sale de marcha;  Fa(x): x se fatiga}  
 
Formaliz
fbf‐P1: ∀x[De(x) → ¬Ma(x)] 
fbf‐P2: ∃x[Ma(x) ∧ Fa(x)] 
fbf‐Q: ∃x[Fa(x) ∧¬De(x)] 
 
al  ∧ ga, ¬ex ⇒ ¬al ∧ ¬ga 
 
>> Ejemplos ormalización de razonamientos con el lenguaje de predica
E
P2: Algunos que salen de marcha se fatigan. 
Q: Lue
MC = {De(x): x hace deporte;
ación 
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fbf
Constantes
a, b, ...
Cuantificadores
∀ ∃Literales
Negación
¬
Términos PredicadosP, Q, ...
Variables
x, y, ...
Átomos
Conectivas
¬ ∧ ∨ → ↔
 
Vocabulario de la lógica de primer orden 
 
2.10. Relación entre la teoría de conjuntos y la lógica de primer orden 
La lógica de predicados y la teoría de conjuntos están estrechamente relacionadas ya que toda propiedad lleva asociado 
un  conjunto.  Es más,  todos  los  individuos  que  poseen  una  cierta  propiedad  forman  un  conjunto.  De  hecho  en  un 
principio se pensó que  toda predicado en el  lenguaje de  la  lógica de primer orden  llevaba asociado un conjunto, por 
ejemplo la propiedad P(x) lleva asociado el conjunto {x : P(x)}. Este conjunto estaría formado por los elementos “x” del 
universo de discurso U que satisfacen  la propiedad P(x). Así, por ejemplo, si nuestro universo de discurso es el de  los 
seres humanos, y P(x) es la propiedad de que un humano x es poderoso. Dado un ser humano a; es posible determinar si 
a es poderoso, es decir, si a pertenece al conjunto {x : P(x)}. 
 
2.11. Ejercicios resueltos  
   
>> Formalización de sentencias con el lenguaje proposicional 
Ejercicio 1 “Si acepto el mundo que me ofrecen y soy feliz, entonces empiezo a cavar mi propia sepultura; o bien, si no 
soy feliz así y no tengo posibilidad de cambiar este mundo, emprendo mi propio enterramiento”. 
 
Solución 
  MC  = { Acepto el mundo que me ofrecen:   p; 
    Soy feliz:         q; 
    Empiezo a cavar mi sepultura:     r; 
    Tengo posibilidad de cambiar el mundo: s; 
    Emprendo mi enterramiento:    r } 
Fbf:  [p ∧ q → r] ∨ [¬q ∧ ¬s → r] 
Ejercicio 2  “Me gusta caminar bajo la lluvia siempre que tengo algo triste en que pensar”. 
 
Solución 
  Podemos redactar la sentencia dada de forma  equivalente: 
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«Si tengo algo triste en que pensar, me gusta caminar bajo la lluvia» 
MC = {Tengo algo triste en que pensar: p;  Me gusta caminar bajo la lluvia: q } 
Fbf:   p → q. 
Ejercicio 3  “Si acierto una quiniela me hago rico”. 
 
Solución 
  MC = {Acierto una quiniela: p; Me hago rico: q } 
Fbf:  p → q 
Ejercicio 4  “Sólo si acierto una quiniela me hago rico”. 
 
Solución 
  Se invierte el sentido de la frase porque ahora acertar una quiniela es condición necesaria para hacerme rico: 
Fbf:  q → p 
Ejercicio 5  “No me hago rico a menos que acierte una quiniela”. 
 
Solución 
Fbf:  q → p 
Ejercicio 6  “Me hago rico si y sólo si acierto una quiniela”. 
 
Solución 
Fbf:  q ↔ p 
Ejercicio 7 “Si Drácula cruza las calles ha de indicar qué y cuántos fines persigue, aunque si miente, le daremos con  las 
puertas en las narices pero si dice la verdad le invitaremos a cenar”. 
 
Solución 
  MC = {   Drácula cruza las calles:        p 
    Drácula  indica qué fines persigue:     q 
    Drácula indica cuántos fines persigue:    r 
    Drácula dice la verdad:        s  
    Damos a Drácula con la puerta en las narices:  t 
    Invitamos a cenar a Drácula:      w   } 
Fbf:  (p → q ∧ r) ∧ (¬s → t) ∧ (s → w) 
Ejercicio 8  Formalizar en el lenguaje proposicional la sentencia del lenguaje algorítmico: 
 
si  (condición) entonces 
       acción1 
sino 
       acción2 
fin si 
 
Solución 
  MC = {condición: p;  acción1: q;  acción2: r } 
 
Fbf:  (p → q ∧ ¬r) ∧ (¬p → ¬q ∧ r) 
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Ejercicio 9  Formalizar en el lenguaje proposicional el siguiente razonamiento: 
P1: “Si estudio todo el temario, entonces apruebo la asignatura”: e → ap 
P2: “No he aprobado la asignatura”: ¬ap 
Q: “No he estudiado todo el temario”: ¬e 
 
Solución 
MC = {condición: p;  acción1: q;  acción2: r } 
e → ap, ¬ap ⇒ ¬e 
Ejercicio 10  Formalizar en el lenguaje proposicional la sentencia: 
 
 “Un partido de fútbol no se gana a menos que el árbitro sea malo y el portero no se duerma. 
 
Solución 
  MC = {el partido de fútbol se gana: ga; el árbitro es malo: ma; el portero se duerme: du} 
Fbf: ga → ma ∧ ¬du 
Ejercicio 11  Formalizar en el lenguaje proposicional la sentencia: 
 “Para que nieve pero no caiga granizo es necesario que haga mucho frío y que no llueva”. 
 
Solución 
  MC = {nieva: ni; cae granizo: gr; hace mucho frio:fr; llueve:ll} 
Fbf: ni ∨ ¬gr → fr ∧ ¬ll 
 
 
Formalización de sentencias con el lenguaje predicativo 
 
Formalizar las siguientes sentencias con el MC = {a: Antonio; pe: Pepe; lu: Luís; M(x): x es médico; En(x): x es enfermero; 
Am(x, y): x es amigo de y} 
Ejercicio 12  “Antonio, Pepe y Luis son médicos o enfermeros”. 
 
Solución 
    FBF: (M(a) ∧ M(pe) ∧ M(lu)) ∨ (En(a) ∧ En(pe) ∧ En(lu)) 
Ejercicio 13  “Los médicos son amigos de Luís, que es enfermero”. 
 
Solución 
 «Es suficiente que un sujeto sea médico para que sea amigo de Luís» 
    Fbf: ∀x [M(x) → Am(x, lu) ∧ En(lu)] 
Ejercicio 14  “Algunos médicos son amigos de Luís, que es enfermero”. 
 
Solución 
Fbf:  ∃x [M(x) ∧ Am(x, lu) ∧ En(lu)] 
Ejercicio 15  “Algunos médicos amigos de Luís son amigos de Antonio, que no es médico”. 
 
Solución 
    Fbf:  ∃x [M(x) ∧ Am(x, lu) ∧ Am(x, a) ∧ ¬M(a)] 
Ejercicio 16  “Todos los amigos de Luís son amigos de Antonio, pero los amigos de Pepe, que no son enfermeros, no lo 
son”. 
 TEMA 2: EL LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
 
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Solución 
Fbf:   ∀x [Am(x,lu) → Am(x,a)] ∧ ∀x [Am(x,pe) ∧ En(x) → ¬Am(x,a)] 
Ejercicio 17  “Sólo los amigos de Antonio, que son enfermeros, son amigos de los amigos de Pepe, que no son médicos” 
 
Solución 
Fbf:   ∀x∀y [ A(x,y) ∧ Am(y,pe) ∧ ¬M(y) → Am(x,a) ∧ En(x) ] 
Ejercicio 18  Dados los siguientes conjuntos: 
A = {2,4,6},  B = {4,6,8,10},   C = {10.14,16,26} 
Calcular a) A ∩ B. b) A ∪ B. c) A ∩ φ.  d) A ∩ C. e) A ∩ A, 
 
Solución 
a) A ∩ B  = {4,6} 
b) A ∪ B = {2,4,6,8,10}. 
c) A ∩ φ  = φ.   
d) A ∩ C = φ. 
e) A ∩ A = A 
2.12. Si quieres saber más… 
• Libros: 
 “Lógica  de  Primer Orden”.  Castel Mª  J.  y  Llorens  F.  DCCIA,  U.A. 
1999. 
“Introducción  a  la  Lógica    Formal”.  Deaño,  A.  Alianza  U.Textos, 
1992. 
 
“Lógica Simbólica” Garrido, M. Ed. Tecnos, S.A., 2ºed. 1991 
 
“Matemática Discreta y Lógica. Una perspectiva desde la C. C”. Grassmann, W.K. y Tremblay.  Ed. Prentice Hall, 1996. 
 
• Enlaces: 
 
http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/Filosofia/intro_logica/1_parte.pdf
http://usuarios.bitmailer.com/edeguzman/Lenguaje/01conect.htm
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm
• Lógica divertida  
1. Lenguaje natural … ¿engorroso o con doble intención? 
¿Cómo quieres que vaya de noche a verte si el perro de tu padre sale a morderme? 
2. Bertrand Russell estaba tratando sobre los enunciados condicionales y sosteniendo que un enunciado falso implica 
cualquier cosa. Un filósofo escéptico le preguntó: 
‐ ¿Quiere usted decir que si 2+2=5, entonces es usted el Papa? 
Russell contesto afirmativamente y dio la divertida “prueba” que sigue: 
‐ Si suponemos que 2+2=5, entonces seguramente estará usted de acuerdo en que si restamos 2 de cada lado de la 
ecuación, nos da 2=3. Invirtiendo los términos, tenemos 3=2 y restando 1 de cada lado de la ecuación, nos da 2=1. 
http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/Filosofia/intro_logica/1_parte.pdfhttp://usuarios.bitmailer.com/edeguzman/Lenguaje/01conect.htm
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm
TEMA 2: EL LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS 
 
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3. pendiendo de  cuándo, dónde y por 
sexual de hoy en día: 
 
5. cusión; Filón de Megara afirmaba la implicación 
material siguiente: “p  basta con que no se dé el caso de que el antecedente 
sea verdadero y el con  de  las mismas”. Con esto,  los antiguos filósofos no 
do porque, entonces, la siguiente afirmación: 
 
 
osición 
condicional “si es de noche, entonces discuto" se convirtiese circunstancialmente V durante el día. Para Diodoro si 
una proposición es V lo tiene que ser siempre, esto es, es imposible que se dé el caso de que el antecedente sea V y 
el consecuente F (implicación material estricta). La implicación diodórica se conoce como implicación formal. 
De modo que, como el Papa y yo somos dos personas, y 2=1, entonces el Papa y yo somos uno. Luego, yo soy el 
Papa. 
Un  término puede  referirse a muchos objetos y  tener un  sólo  significado, de
quién sea pronunciado: 
“Dos amigos están hablando del triste estado de la moral 
‐ Yo nunca me acosté con mi mujer antes de que nos casáramos ‐ dice uno de ellos, haciéndose el santo ‐. ¿Y tú? 
‐ No estoy seguro ‐ responde el otro ‐. ¿Cómo se llama?” 
4. En un pueblo se ha formado un club llamado el “Club de los Corazones”, que tiene los siguientes estatutos:   “Para 
cualquier mujer del pueblo si no pertenece a todos los clubs, pertenece al Club de los Corazones”. 
Sobre el implicador. En la antigüedad se sostenía una interesante dis
ara que dos proposiciones se impliquen
secuente falso, sin  importar el contenido
estaban muy de acuer
«Si es de noche, entonces discuto» 
      es verdadera cuando: 
‐ sea de día aunque no discuta (implicación con antecedente F). 
‐ discuto aunque no sea de noche (implicación con consecuente V). 
Diodoro Crono, maestro de Filón, no aceptaba este punto de vista, porque  le parecía absurdo que  la prop
	Tema-2: El Lenguaje de la Lógica de primer orden y la Teoría
	Matemáticas-I. 2011-12
	Grado en Ingeniería Informática.
	* Cuantificadores:
	- Universal \(\(\): se utiliza para af
	- Existencial \(\(\): se utiliza para