NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS

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Matemática II – 2do Magisterio IFD “Comenio”- Canelones 
 
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NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS 
 
Fracción: es un par ordenado de números naturales con la segunda componente distinta de cero. 
 
 
( )
*
,
a
par ordenado a b fracción
b
a
es una fracción a b
b
→
⇔ ∈ ∧ ∈ℕ ℕ
 
 
EQUIVALENCIA DE FRACCIONES 
 
Fracciones diferentes, por ejemplo, 2/3 y 4/6, producen el mismo resultado. En efecto, en las dos siguientes 
situaciones: 
“De los 18 alumnos de la clase, los 2/3 son chicas”. 
“De los 18 alumnos de la clase los 4/6 son chicas”, el número de chicas es el mismo, 12. 
En realidad, disponemos de infinitas fracciones para comparar el número de chicas 12 con el total de la clase 
18: 2/3, 4/6, 6/9, 8/12, etc. Decimos que estas fracciones son equivalentes entre sí. 
Esta situación se suele ilustrar en la escuela primaria mediante gráficos como el siguiente: 
 
 
 
 
 
4/6 de 18 chicas = 12 chicas 2/3 de 18 chicas = 12 chicas 
 
Fracciones equivalentes. Caracterización: 
 
Dos fracciones a/b, c/d son equivalentes si se cumple “la igualdad de los productos cruzados”, o sea: a.d = b.c 
 
 
 
 
 
Esta relación cumple las tres condiciones exigidas a las llamadas relaciones de equivalencia, o sea: 
• Reflexiva: toda fracción es equivalente a sí misma; 
• Simétrica: si una fracción x es equivalente a otra fracción y e y es equivalente a x, entonces x e y son la misma 
fracción; 
• Transitiva : si una fracción x es equivalente a otra fracción y e y es equivalente a otra fracción z, entonces x y z 
son equivalentes. 
 
Reflexiva 
,
a a a
a b b a
b b b
∀ ⇔ × = ×∼ esto se cumple por propiedad conmutativa del producto de naturales 
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ◊ ◊ 
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ◊ ◊ 
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ◊ ◊ 
 
 ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ 
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ 
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ 
equivalente
a c
a d b c
b d↓
⇔ × = ×∼
 
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Simétrica 
.
,
prop conmutativa prop simétrica de
del prod de naturales la igualdad de nat
a c a c c a
si
b d b d d b
a c c a
si a d b c d a c b c b d a
b d d b
 ∀ ⇒ 
 
⇒ × = × ⇒ × = × ⇒ × = × ⇒
∼ ∼
∼ ∼
 
 
Transitiva 
*
.
*
, ,
:
Hipótesis Tesis
prop transiitiva prop asociativa y
de la igualdad conmutat
a c e a c c e a e
si
b d f b d d f b f
Demostración
a c
a d b c a d f b c f
b d
a d f d e b
c e
c f d e c f b d e b
d f
 
 
∀ ∧ ⇒ 
 
 
 

⇒ × = × ⇒ × × = × × 
⇒ × × = × × ⇒
⇒ × = × ⇒ × × = × ×

∼ ∼ ∼
������� ���
∼
∼ .
.
0
iva del prod de nat
prop cancelativa
del prod de nat
a f d e b d
a f d e b d a e
a f e b
Además d b f
× × = × ×
× × = × × 
⇒ × = × ⇒≠ 
∼
 
 
 
* 1 
 
Es importante destacar que en la mayor parte de las situaciones, las fracciones equivalentes se usan 
indistintamente. Intuitivamente vemos que dos fracciones equivalentes, tales como 2/3 y 4/6 se refieren a una 
misma cantidad si se trata de una magnitud o a una misma razón si se trata de una comparación. Lo mismo 
ocurre con todas las fracciones equivalentes a la dada: 3/9, 20/30, 200/300, etc. Esta idea intuitiva se formaliza 
introduciendo los números racionales. 
 
 
 
 
 
1
 Si en una igualdad multiplico ambos miembros por un mismo número la igualdad se mantiene 
 
 
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Ejemplo: Dada la fracción 
3
4
, multiplico numerador y denominador por 3 y obtengo la fracción 
9
12
, podemos 
 observar que 
3 9
4 12
∼ 
Número racional 
 
El conjunto de las fracciones queda dividido en “clases de equivalencia”, cada una de ellas formada por 
todas las fracciones equivalentes entre sí. Cada una de las clases se dice que es un número racional; y el 
conjunto de todas las clases, el conjunto de los números racionales absolutos Qa. 
 
Esta descripción abstracta se puede interpretar desde un punto de vista más intuitivo: 
El número racional [2/3] = {2/3, 4/6,...} lo identificamos con la fracción 2/3 cuando es usada como 
representante de cualquier otro miembro de la clase de fracciones equivalentes a 2/3. 
Las distintas fracciones de una misma clase de fracciones equivalentes son todas ellas diferentes unas 
de otras. Cuando se escribe: 
3 6 9
5 10 15
= = 
estas tres fracciones, en tanto que tales fracciones, no son iguales entre sí, sino equivalentes (se puede 
sustituir una por otra). Pero todas estas fracciones representan la misma clase de equivalencia, el mismo 
número racional. Por ello usamos el símbolo de igualdad 
Si se multiplican ambas componentes de una fracción 
(numerador y denominador) por un mismo número natural 
distinto de cero se obtiene una fracción equivalente. 
Si se dividen ambas componentes de una fracción por un mismo 
número natural divisor de ambas se obtiene una fracción 
equivalente. 
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( ) ( )
*
:
:
:
 esta igualdad se cumple por propiedad conmutativa y
 
por definición
a
Hipótesis es una fracción
b
n N
a n a
Tesis
b n b
Demostración
a n a
a n b b n a
b n b
∈
×
×
× ⇔ × × = × ×
×
∼
∼
 asociativa del producto de números naturales 
 
Ejemplo: Dada la fracción 
15
10
, divido numerador y denominador entre 5 que es divisor de 15 y de 10 y obtengo 
 la fracción 
3
2
, podemos observar que 
15 3
10 2
∼ 
 
 Demostración análoga a la anterior. 
 
 
La equivalencia de fracciones y razones es la propiedad que justifica varias técnicas importantes de 
manipulación de racionales. Una de ellas es la técnica de 'simplificación de fracciones' que nos permite pasar de 
una fracción a la fracción irreducible 2 equivalente a ella y que consiste en dividir numerador y denominador 
por el máximo común divisor de ambos números. Otra técnica es la de 'reducir a común denominador' o 'reducir 
a común numerador' varias fracciones, técnica consistente en elegir fracciones equivalentes a las dadas, todas 
ellas con el mismo denominador o con el mismo numerador, para lo cual hay que buscar el mínimo común 
múltiplo de los denominadores o numeradores. 
 
Fracciones irreducibles: 
 
Cuando trabajamos con un número racional, conviene designarle por la fracción más simple posible, como por 
ejemplo, 3/5 en el ejemplo anterior. Estas fracciones que no se pueden simplificar (dividiendo numerador y 
denominador por el mismo número) se llaman fracciones irreducibles. 
 
Números racionales particulares 
 
• Todo número entero es un racional, pues cualquier entero se puede escribir en la forma de fracción: 
- 0 = 0/1 = 0/2 =... 
 
2
 Se llama fracción irreducible a una fracción en la que numerador y denominador son primos entre sí, es decir, no tienen ningún factor 
primo común. 
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- 1 = 1/1 = 2/2 =... 
- 2 = 4/2 = 6/3 =... 
• Todo número decimal es un racional, pues todo número decimal se puede escribir bajo la forma de una 
fracción cuyo denominador es una potencia de diez. 
1,2 = 12/10 (= 6/5) 
34,56 = 3456/100 
En consecuencia, el conjunto de los enteros y el de los decimales son subconjuntos de Q, el conjunto de los 
números racionales. 
 
Simplificación entre fracciones: 
Ejemplo: 
4
24 12 6
28 14 7
24 6
(24,28) 4
28 7
divido
num y den
entre
MCD
↓
= ⇒
∼ ∼
∼
 
Ejercicios 
 
1) ¿Puedes simplificar la fracción 1/3? ¿Y 3/5? ¿Por qué? ¿Y amplificarlas? 
 
2) Escribe tres fracciones equivalentes a cada unade éstas: 2/5; 3/2; 10/4. 
3) Entre tres amigos se han repartido 360 cromos de la siguiente manera: al primero 3/9, al segundo 4/12 y al 
tercero 1/3. ¿Cuántos cromos le corresponde a cada uno? ¿Qué relación hay entre las tres fracciones? 
 
4) ¿Cuál de las siguientes fracciones es irreducible? 10/21; 15/24; 220/1617 
5) Simplificar las siguientes fracciones: 
54 36 250 55
, , ,
26 108 150 121
. 
6) Una pelota rebota 2/3 de la altura que ha caído. 
 i) Si cae de 18m, ¿a qué altura rebota? 
 ii) ¿De qué altura fue dejada caer si rebota 4m? 
 
7) Retiro del banco los 3/7 de mi depósito que equivalen a $1110. ¿Cuánto he dejado depositado? 
 
8) Un chacarero vendió 2/5 de su campo y arrendó 1/3 del resto quedando para él 300 hectáreas. 
 ¿Cuál era la superficie total de su campo antes de hacer sus negocios? 
 
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Representación gráfica de Qa 
 
 
 
 O 
 
 µ 
Si tengo que representar por ejemplo la fracción 2/3, divido la unidad en 3 partes y de esas tomo 2. 
 
 
 
 
 
Orden en Qa 
 
Definición: 
a c
a d b c
b d
< ⇔ × < × 
 
Ejemplo: 
2 5
2 4 3 5 8 15
3 4
cierto< ⇔ × < × ⇔ < 
 
Definición: 
a c c a
c b d a a d b c
b d d b
> ⇔ < ⇔ × < × ⇔ × > × 
 
Ejemplo: 
2 1
2 8 7 1 16 7
7 8
cierto> ⇔ × > × ⇔ > 
 
9) Comparar: 
 
 9 11 7 9 7 9......... .......... ............
4 5 11 10 5 7
 
 
 
Casos particulares: 
1) fracciones de igual denominador 
 
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. .
0
a c
a b b c a c
b b
b
< ⇔ = ⇔ <
≠
 
Si dos fracciones tienen igual denominador es menor la que tiene menor numerador. 
 
2) fracciones de igual numerador 
 
. .
0
a a
a c b a c b
b c
a
< ⇔ = ⇔ <
≠
 
Si dos fracciones tienen igual numerador es menor la que tiene mayor denominador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) 
 
Dadas 
a c
y
b d
, queremos encontrar dos fracciones equivalentes a las dadas 
que tengan el mismo denominador (esto es reducir a común denominador). El 
común denominador deberá ser un múltiplo común distinto de cero de los 
denominadores de las fracciones dadas (es conveniente que sea el mínimo 
común múltiplo de b y d) 
 
En general: Si multiplico numerador y denominador de 
a
b
 por d y 
numerador y denominador de 
c
d
 por b, obtengo dos fracciones equivalentes a 
las primeras y tienen el mismo denominador b.d. 
Es decir 
.
. tienen el mismo denominador
.
.
a a d
b b d
c c d
d d b





∼
∼
 
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El reglamento liceal indica que un alumno debe asistir por lo menos los 4/5 del número total de clases dictadas 
por el profesor para ser reglamentado. 
Juan González tiene 16 inasistencias y el profesor asegura que dictará 90 clases en total. 
i) Juan González ya quedó libre? 
ii) En caso negativo, ¿cuántas faltas puede tener? 
 
OPERACIONES CON FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS 
 
ADICIÓN 
 
Definición: 
 
. .
.
a c a d b c
b d b d
a c
sumandos suma de y
b d
↓ ↓
↓
++ =
�����
 
 
 
Propiedades: 
 
1) Propiedad uniforme: el resultado de la suma no depende de la fracción representante de los números 
racionales que se tome. 
'
' ' '
' ''
'
a a
b b a c a c
b d b dc c
d d



⇒ + = +


∼
∼
 
 
2) Propiedad conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma 
a c c a
b d d b
+ = + 
3) Propiedad asociativa: 
a c e a c e
b d f b d f
  + + = + +  
   
 
4) Propiedad de monotonía: 
a c a e c e
b d b f d f
< ⇒ + < + 
5) Propiedad cancelativa: 
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a e c e a c
b f d f b d
+ = + ⇒ = 
6) Existencia de neutro: 
0 0 0
0 / se cumple 
a a a a
Q Q
n b b n n b b
∃ = ∈ ∀ ∈ + = + = 
 
Suma de fracciones de igual denominador: 
La suma de dos fracciones de igual denominador se define como el resultado de sumar los numeradores y dejar 
invariante el denominador, 
a c a c
b b b
++ = 
 
Ejemplo: En una reunión, 2/6 de las personas son hombres y 3/6 son mujeres, ¿Qué fracción de los presentes 
son adultos? 
 
 
 
Efectivamente utilizando la definición de suma de fracciones: 
( )
(
)
.. .
. .factor común fracciones
equivalentes
divido num y
den entre b
a c ba c a b b c a c
b b b b b b b
++ ++ = = = 
SUSTRACCIÓN O DIFERENCIA 
 
Definición: 
 
min
:
uendo sustraendo diferencia
a c e e c a
b d f f d b
a c
Condición de existencia
b d
− = ⇔ + =
≥
 
 
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Regla práctica: 
. .
.
a c a d b c
b d b d
−− = 
Necesitamos demostrar que 
. .
.
a d b c c a
b d d b
− + = 
Demostración: 
( ) ( )
.
. . . .. . . . . . . .
. . . . .
. .
. .
def suma distributiva
de fracciones
simplificando
fracción
primer miembro
a d b c d b d ca d b c c a a a d d b c d b d c a
b d d b b d d b b d d b
a d d a a a
b d d b b b
− +− − ++ = ⇔ = ⇔ = ⇔
⇔ = ⇔ =
 
 
MULTIPLICACIÓN 
 
 
 
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Propiedades: 
 
1) Propiedad uniforme: el resultado del producto no depende de la fracción representante de los números 
racionales que se tome. 
'
' ' '
' ''
'
a a
b b a c a c
b d b dc c
d d



⇒ × = ×


∼
∼
 
 
2) Propiedad conmutativa: el orden de los factores no altera el producto 
a c c a
b d d b
× = × 
3) Propiedad asociativa: 
a c e a c e
b d f b d f
  × × = × ×  
   
 
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4) Propiedad de monotonía: 
*a c a e c e con e
b d b f d f
< ⇒ × < × ∈ Ν 
5) Propiedad cancelativa: 
*
a e c e
a c
b f d f
b d
e
× = × 
⇒ =
∈ Ν 
 
6) Existencia de neutro: 
* / se cumple 
n a a n n a a
con n Q
n b b n n b b
∃ ∈ Ν ∀ ∈ × = × = 
7) Existencia de inverso: 
El inverso de un número e aquel que multiplicado por él nos da la unidad, es decir el neutro de la 
multiplicación. Todos los racionales tienen inverso excepto el 0. 
1 1 1
* ( 0) existe y es único el inverso de ,este sería y se cumple 1
a a a a a a a
Q a
b b b b b b b
− − −
     ∀ ∈ ≠ × = × =     
     
 
Observamos:
1
a b
b a
−
  = 
 
 
8) Absorción: 
se .0 0
a a
Q cumple
b b
∀ ∈ = 
9) Hankeliana 
. 0 0 0
a c a c
o
b d b d
= ⇒ = = 
10) Distributiva de la multiplicación respecto a la adición o sustracción: 
. . .
a c e a e c e
b d f b f d f
 + = + 
 
 . . .
a c e a e c e
b d f b f d f
 − = − 
 
 
 
 
 
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DIVISIÓN 
Definición: 
� � �
dividendo divisor cociente
a c e c e a
b d f d f b
÷ = ⇔ × = 
 
Ejemplo: 
 
En una reunión hay 24 personas, los 2/3 de los presentes son adultos y ¾ de los adultos son hombres. 
a) ¿Cuántas personas adultas hay en la reunión? 
b) ¿Cuántos niños hay en la reunión? 
c) ¿Qué fracción son los hombres respecto del total de personas? 
 
DENSIDAD EN Qa 
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Una propiedad muy importante del orden de racionales es que dados dos racionales, por muy próximos que los 
elijamos siempre podemos encontrar tantos racionales como queramos que sean mayores queuno de ellos y 
menores que el otro. Esta propiedad se suele enunciar diciendo que entre dos números racionales distintos 
existen siempre infinitos racionales. También se dice que el conjunto de los números racionales es un conjunto 
denso. Todo esto implica que en los números racionales, a diferencia de lo que sucede en los naturales, deja de 
tener sentido el concepto de número “siguiente” o “anterior” ya que nunca podremos encontrar dos racionales 
que no tengan otros racionales entre ellos. 
 Ejemplo: ¿Existe un número racional α entre 
2
5
 y 
3
5
? 
La respuesta es sí, por la propiedad enunciada anteriormente (densidad en Qa) 
Para encontrar uno se puede proceder así: 
- Si representamos 
2
5
 y 
3
5
 en la recta numérica, un valor posible de α sería el punto medio del segmento 
determinado por ellos. 
 0 
2
5
 α 
3
5
 1 
 
2 3
15 5
2 2
α α
+
= ⇒ = 
Observación: Si consideramos punto medio entre por ejemplo 
2
5
 y α, encontraríamos otro racional entre 
2
5
 y 
3
5
 , luego punto medio entre 
2
5
 y este último, encontraríamos otro racional entre 
2
5
 y 
3
5
. Este 
procedimiento se puede seguir repitiendo tantas veces como quiera, lo cual nos permite apreciar la 
existencia de infinitos racionales entre 
2
5
 y 
3
5
. 
- Buscamos fracciones equivalentes a 
2
5
 y 
3
5
 con igual denominador, por ejemplo: 
2 4
5 10
∼ y 
3 6
5 10
∼ , es 
decir que buscar un número racional entre 
2
5
 y 
3
5
 es equivalente a buscar uno entre 
4
10
 y 
6
10
, por lo que 
α podría ser 
5 1
10 2
∼ . Si quisiera encontrar más trataría de encontrar otras fracciones equivalentes a las 
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dadas, por ejemplo 
8
20
 y 
12
20
, por lo que racionales entre ambos podrían ser 
9
20
,
10
20
,
11
20
. Observamos 
que 
10
20
es equivalente a 
1
2
, por lo que encontramos dos más, no tres.