MATEMATICAS USAC

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MATEMÁTICA MAYA
1Módulo 
MATEMÁTICA 
MAYA
2
MATEMÁTICA MAYA
Los sistemas de numeración son uno de los grandes 
descubrimientos de la humanidad. La expresión 
cuantitativa, al utilizar el valor posicional de la 
forma en que lo hace, permitió desarrollar muchas 
ideas. Aquí analizaremos algunas posibilidades y 
sobre todo comprenderemos de mejor manera la 
magnificencia de la numeración maya.
INTRODUCCIÓN
3
MATEMÁTICA MAYA
MATEMÁTICA MAYA, SISTEMA BINARIO 
Y OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Las letras S, L, O son útiles para escribir las palabras SOL o LOS y ambas tienen significado, lo 
mismo pasa con la palabra MANILA, si se toman sus letras y se colocan en diferente orden se 
forma la palabra ANIMAL, que también tiene significado, y así hay otros ejemplos como CASA, 
SACA, AMOR, ROMA. Los símbolos son útiles para comunicarnos y el orden en que estos se utilizan 
es importante para lograr entendernos de manera correcta. 
Esta idea no es diferente para el caso de los sistemas de numeración, en estos el orden y la posición 
que ocupan los símbolos, que para nuestro caso son los números, también son importantes.
1.1 Base decimal 
Nuestro sistema de numeración es de base 10, esto significa que se necesitan diez símbolos para 
representar a todos los números: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Este es el conjunto de los dígitos en la 
base 10. El valor de cada dígito dependrá de la posición que ocupa en una cifra, por ejemplo:
El número 232, en base 10, representa la cantidad doscientos treinta y dos, que significa: 2 
centenas, 3 decenas y 2 unidades. Como se puede apreciar, el dígito 2 colocado en las centenas 
significa 200 unidades, mientras que el otro dígito 2 significa únicamente 2 unidades. También 
podríamos considerar las 3 decenas como 3 grupos de 10 unidades y 2 centenas como 2 grupos 
de 100 unidades (o bien 20 grupos de 10 unidades). Esto nos da un procedimiento para escribir 
el número 232 en base 10.
232 2 100 3 10 2= × + × +
 
 Y este proceso sirve para cualquier número, por ejemplo, el 5432.
 
En otras palabras, el número 5432 representa 5 unidades de mil, 4 centenas, 3 decenas y 2 
unidades.
Otro ejemplo (escribiendo 100 como 210 ), el número 609 se escribe:
 
Es decir que cada número se puede escribir como suma de potencias de 10, por ejemplo, el 
número 30567 se escribe como expansión de la base 10:
 
A esta expansión se le conoce como la expansión en base 10 del número 30567. Nótese que los 
exponentes de la base 10 van descendiendo.
Módulo 1
4 3 230567 3 10 0 10 5 10 6 10 7= × + × + × + × +
5432 5 1000 4 100 3 10 2= × + × + × +
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MATEMÁTICA MAYA
1.2 Base binaria
Considere el siguiente diagrama, hay 13 puntos en la última casilla a la derecha, el juego consiste 
en que cada vez que se pueda hacer parejas, se coloca en la siguiente casilla el número de 
parejas encontradas.
Como hay 13 puntos, hay 6 parejas y un punto sobrante, por lo que en la siguiente casilla se 
colocan 6 puntos y queda uno en la última casilla a la derecha.
Cada punto en la casilla siguiente vale el doble del anterior. Esto significa que
 
 13 6 2 1= × +
Si se repite el procedimiento, se consigna en la siguiente casilla 3 puntos y no sobra ninguno.
De donde se obtiene que
 
 
213 3 2 2 0 2 1 3 2 0 2 1= × × + × + = × + × +
Por último nos queda la configuración:
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MATEMÁTICA MAYA
De donde se obtiene que
 
 
3 213 1 2 2 2 1 2 2 0 2 1 1 2 1 2 0 2 1= × × × + × × + × + = × + × + × +
Resulta que el número inicial 13, escrito en base 10, se pueden escribir en términos de los dígitos 
{ }0,1 , específicamente como
 
 1101
A esta expansión se le llama la expansión en base 2 o expansión binaria, que significa que el 
número 13 en base 10 es equivalente a 1101 en base 2. Para diferenciar las bases, usualmente 
se utiliza la notación:
 10 213 1101=
1.3 Conversión de base 10
Siempre en las expresiones numéricas, la posición es importante. Tendremos a mano la siguiente 
tabla para poder ayudarnos a llevar a cabo las conversiones de base 10 a una base b determinada: 
 
Paso 1: de la cantidad en base 10 que se quiere convertir se identifica la base que se trabajará.
CANTIDAD A CONVERTIR
Paso 2: se cosigna la cantidad de grupos que se pueden hacer de b elementos y se dejan los que 
sobran (residuo de dividir la cantidad que se quiere convertir entre b).
CANTIDAD DE GRUPOS 
DE b ELEMENTOS DE LA 
CASILLA ANTERIOR
RESIDUO DE DIVIDIR LA 
CANTIDAD ENTRE b
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MATEMÁTICA MAYA
Paso 3: se repite el proceso, pero con los que nos quedaron en la siguiente casilla.
CANTIDAD DE GRUPOS 
DE b ELEMENTOS DE LA 
CASILLA ANTERIOR
RESIDUO DE DIVIDIR 
ENTRE b, NUEVAMENTE
RESIDUO DE DIVIDIR LA 
CANTIDAD ENTRE b
El proceso se repite, se detiene hasta que ya no se puedan hacer más grupos de b elemento. Se 
pueden agregar más cuadros si es necesario.
Los números que se obtienen en cada cuadrito representan los dígitos en base b, que solo pueden 
ser . 
Por ejemplo, en la base 10, solo se tienen los dígitos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Mientras que en la base 
2 los dígitos son .
Ejemplo: el número 42 está escrito en base 10, ¿cuál será su expansión en base 3?
Paso 1: se identifica que la base es 3, por lo que el problema es hacer grupos de 3.
42
Paso 2: en 42 se pueden hacer 14 grupos de 3, y no sobra ninguno. Esto es 
14 0
 42 14 3 0= × +
Paso 3: nuevamente se hacen grupos de 3, pero ahora con el 14. En 14 caben 4 grupos de 3 y 
sobran 2, por lo que se tiene la siguiente casilla:
4 2 0
 
242 4 3 2 3 0= × + × +
b
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MATEMÁTICA MAYA
Paso 4: nuevamente se hacen grupos de 3, pero esta vez con el 4. En 4 cabe solo un grupo de 3 
y sobra uno. Entonces:
1 1 2 0
 
3 242 1 3 1 3 2 3 0= × + × + × +
Como ya no se puede seguir haciendo grupos, el proceso se detiene, con lo cual la expansión 
de 42 en base 3 es la mostrada arriba.
 10 342 1120=
1.4 Conversión de cualquier base a base 10 
El número 11012 ¿a cuánto equivale en la base 10?
Leyendo de derecha a izquierda y recordando la tabla sugerida, se tiene 1 en la casilla de las 
unidades; más 0 grupos de 2; más 1 grupo de 2 2 4× = ; y por último, 1 grupo de 2 2 2 8× × = . 
Entonces, 21101 8 4 0 1 13= + + + = ; entonces, 2 101101 1 3= .
El número 21111 ¿a cuánto equivale en base 10?
De nuevo de derecha a izquierda, 1 unidad; 1 grupo de la base, o sea 2; 1 grupo de la base 
multiplicado por la base, o sea, 2 2 4× = ; y por último, 1 grupo de la base por la base por la base, 
o sea, 2 2 2 8× × = . Al final se tiene 21111 8 4 2 1 15= + + + = , por lo tanto, 2 101111 15= .
En general, se escribe el dígito y se multiplica por una potencia de la base, de acuerdo a la 
posición que ocupa el dígito, contada de derecha a izquierda, por ejemplo: el número 42201 , 
representa al número:
 
3 2
4 102201 2 4 2 4 0 4 1 128 32 0 1 161= × + × + × + = + + + =
Ejercicio corto
Ejercicio corto
Convertir el número 45, escrito en base 10, a base 7. Respuesta: 10 745 63=
Convertir 34, escrito en base 5, a base 4. Respuesta: 5 434 43=
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MATEMÁTICA MAYA
1.5 Bases mayores de 10
Para trabajar con la base 12 son necesarios 12 dígitos, pero los dígitos usuales solo son 10, es decir 
que hacen falta 2, por lo que es necesario utilizar algunos signos especiales para representar 
al 10 y al 11, por ejemplo, es posible utilizar la letra A para representar al 10 y la letra B para 
representar al 11. 
Entonces, el conjunto de dígitos de la base 12 es {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B}.
Ejemplo
Si tenemos 1225 , como siempre, para hacer la conversión, leemos de derecha a izquierda. 
Recordando nuestra tabla de apoyo, tenemos 5 unidades y 2 grupos de la base, y como esta es 
12 tenemos 12 1025 2 12 5 24 5 29= × + = + = .
Ejemplo 
El número 123A representa A unidades (recuerde que A es 10) y 3 grupos de la base (que es 12), 
o sea, 3 12 36× = . Entonces, 12 103 3 12 36 10 46A A= × + = + = . 
Ejemplo: 
12277 equivale a 7 unidades; 7 grupos de la base (7 grupos de 12), es decir, 7 12 84× = ; 
y el dígito2 representa dos grupos de 12 12× , es decir, 2 12 12 288× × = . Entonces se tiene 
2
12 10227 2 12 7 12 7 288 84 7 379= × + × + = + + = .
Ejercicio corto
Ejercicio corto
Convertir el número 432, escrito en base 5, a base 10. Respuesta:
¿Cuántos y cuáles son los dígitos que se usan en base 5?. Respuesta: se usan 5 dígitos y son {0, 1, 2, 3, 4}
5 10432 117=
3 4 7 12
+ 8 9 5 12
1 0 2 0 12
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MATEMÁTICA MAYA
1.6 Sistema de numeración maya
Este sistema de numeración es vigesimal, es decir que es de base 20, por lo que utiliza 20 dígitos 
para representar todos sus números, estos son los números del 0 al 19. Los mayas no utilizaban 
los dígitos 0, 1, 2, etc. Para representar sus números, en cambio, utilizaban únicamente 3 signos 
y sus combinaciones para crear los 20 dígitos necesarios y escribir cualquier número. Estos tres 
símbolos son:
El punto
Que representa al número 1
La barra
Que representa al número 5
El cero
Que representaba al número 0
Estos tres símbolos se combinan para formar los 20 dígitos que utiliza el sistema de numeración 
maya, o de base 20, que son los siguientes:
Otra regla importante es que en lugar de escribir los dígitos de derecha a izquierda, se escriben 
de abajo hacia arriba respetando siempre el valor posicional, de manera que la primera posición 
de abajo hacia arriba representa unidades; la segunda posición, los grupos de la base; la tercera 
posición, los grupos de la base por la base; y así sucesivamente. 
Ejemplo
Convertir el número mostrado a base 10.
0 1 2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
0 1 2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
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MATEMÁTICA MAYA
La idea es la misma que con las casillas horizontales y cualquier base, solo que los símbolos se 
escriben de forma distinta. Note que hay dos casillas, por lo que la primera casilla (de abajo 
hacia arriba) representa 6 unidades, mientras que la segunda representa 7 grupos de 20 (porque 
20 es la base). Así, el número es
 
Ejemplo 
Convertir el número mostrado a base 10.
En la casilla de abajo hay 15 unidades, mientras que en la segunda casilla hay 3, que representan 
3 grupos de 20, entonces el número escrito en base 10 es
 
Ejemplo 
¿Cuál es la escritura en base 20 del número 101333 ?
Se procede igual que con cualquier base, se hacen grupos de 20. En 1333 hay 66 grupos de 20 y 
sobran 13, por lo que 
101333 66 20 13= × +
Luego, se repite el proceso con 66. En 66 hay 3 grupos de 20, sobran 6, por lo tanto,
 
2
101333 3 20 6 20 13= × + × +
0 1 2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
7 20 6 146× + =
3 20 15 75× + =
11
MATEMÁTICA MAYA
Entonces, el número 101333 se escribe en numeración maya como:
0 1 2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
Convertir el número 4032, escrito en base 10, a número maya.
Ejercicio corto
12
MATEMÁTICA MAYA
Ha desarrollado ya un concepto claro de lo que 
significan los sistemas numéricos. Realice bien su 
autoevaluación y luego pase al siguiente módulo. 
Mucha suerte.
Conclusiones
13
MATEMÁTICA MAYA
La actualidad, exactitud, obligaciones de derechos de autor, integridad o calidad del contenido (texto, gráficos, 
links, acotaciones, comentarios, etc.) del presente material es responsabilidad exclusiva de su(s) autor(es). La 
División de Educación a Distancia en Entornos Virtuales de la Dirección General de Docencia no asume ninguna 
responsabilidad al respecto. Año 2019.
Los contenidos de esta obra están sujetos a la licencia Reconocimiento-No Comercial-Sin 
Obra Derivada 4.0 Internacional de Creative Commons, por lo que se permite la copia, 
distribución y comunicación pública siempre y cuando se cite al autor o autores de la misma, 
pero no se pueden hacer usos comerciales ni obra derivada. Para ver una copia de esta 
licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/.
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
Autoridades
M.Sc. Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos
Rector
Arq. Carlos Enrique Valladares Cerezo
Secretario General
Dr. Olmedo Abihail España Calderón
Director General de Docencia
DIVISIÓN DE EDUCACIÓN A DISTANCIA EN ENTORNOS VIRTUALES 
DIRECCIÓN GENERAL DE DOCENCIA
Autor
M.A. Bayardo Arturo Mejía Monzón
Producción académica
M.Sc. Sonia Alejandra Recinos Fernández
Lcda. Madelline Cárcamo
Lic. Carlos Alberto Piñeiro Estrada
Lic. Ronald Oliverio Chubay Gallina
Lic. Erick Girón
Diagramación e ilustración
Lic. Edgar Armando Morales Cortez
Corrección de estilo
Lcda. María Mazariegos
1
LÓGICA MATEMÁTICA
LÓGICA MATEMÁTICA
2Módulo 
123456789
0
2
LÓGICA MATEMÁTICA
Entre las funciones más importantes de la mente 
está el desarrollo del pensamiento, y este tiene 
siempre una actividad operativa que ayuda a 
tomar decisiones apropiadas para actuar en 
cualquier circunstancia de la vida. Esta actividad 
implica el uso de la lógica, cuyos procesos 
dependen grandemente de la lengua materna. 
En este módulo aprenderemos algunas de las 
reglas necesarias para comprender los procesos 
de pensamiento.
INTRODUCCIÓN
3
LÓGICA MATEMÁTICAMódulo 2
Uno de los grandes logros de la humanidad en su evolución a lo largo del 
tiempo es el lenguaje. No hay espacio geográfico en el mundo donde los 
grupos sociales que lo habitan no tengan un idioma mediante el cual se 
comuniquen para expresarse en todas las esferas de la relación humana. 
Estos idiomas nos permiten comunicar nuestras necesidades, nuestros 
pensamientos, nuestras ideas, nuestros sentimientos, nuestras pasiones, 
angustias, entre otros.
Lo interesante es que esa forma de comunicarnos tiene una organización interna que todos 
aceptamos y que nos permite reconocer una “lógica” que garantiza una comunicación 
más fluida y eficaz. 
La matemática es un idioma mediante el cual podemos modelar el fenómeno que nos 
interesa estudiar para entenderlo mejor y hacerlo accesible y comprensible a otros, ya que 
es un lenguaje reconocido universalmente.
2.1 Proposición
En el sentido matemático, una proposición es todo enunciado del cual se sabe con certeza 
si es falso o verdadero.
 
Por ejemplo, la expresión La luna es de queso es una proposición falsa; 
Guatemala es un país centroamericano es una proposición verdadera; 
Mañana va a llover es una proposición incierta pues no tenemos los elementos 
para asegurar su veracidad o su falsedad. La primera ley de Newton es la ley 
de la inercia es una proposición verdadera; Cristóbal Colon fue el primero en 
darle la vuelta al mundo en avión es una proposición falsa. La ecuación 
 es una proposición incierta hasta que se proponga el valor de x y 
se determine si es falsa o verdadera. 
Para cada proposición se establece el valor de verdad, el cual es una asignación única, que 
puede ser:
V para indicar que la proposición es verdadera y F para indicar que la proposición es falsa.
El valor de verdad de la proposición “La tierra es el centro de nuestro sistema planetario” es 
falso, por lo que se le asigna F.
El valor de verdad de la proposición “La capital de la República de Guatemala es Guatemala” 
es verdadero, por lo que se le asigna V.
Este tipo de proposiciones se llaman proposiciones simples. Es decir, aquellas que no están 
conformadas por la unión de proposiciones más pequeñas. Cuando se combinan dos o más 
proposiciones simples a través de conectivos lógicos se tiene una proposición compuesta. 
LÓGICA MATEMÁTICA
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LÓGICA MATEMÁTICA
Ejemplo
Julio Verne escribió 20,000 leguas de viaje submarino y Julio Cortázar escribió Mulata de tal. 
Julio Verne escribió 20,000 leguas de viaje submarino tiene valor de verdad Verdadero.
Julio Cortázar escribió Mulata de tal, tiene valor de verdad Falso. 
En este caso, una parte es Verdadera, pero la otra es Falsa, por lo tanto, se deben tener reglas 
claras para tomar la decisión respecto del valor de verdad de la proposición compuesta.
Para representar las proposiciones simples, usualmente se utilizan las letras p, q, r, s, t. 
Para formar una proposición compuesta, se utilizan conectivos lógicos. Lasiguiente tabla 
representa los conectivos, su simbología y su significado.
Nombre Símbolo Significado
Negación ~
Cambia el valor de verdad de una proposición. 
Ejemplo
p = Hoy es lunes. Verdadero.
~ p = Hoy no es lunes. Falso.
Conjunción ∧
Se representa con “y”. La proposición compuesta es 
verdadera solo en el caso de que ambas sean verdaderas. 
Ejemplo
p = Daniel está comiendo. Verdadero.
q = Daniel está caminando. Falso.
∧p q = Daniel está comiendo y caminando. Falso.
Disyunción 
inclusiva ∨
Se representa con “o”. La proposición compuesta es 
verdadera cuando al menos una de las dos proposiciones es 
verdadera. 
Ejemplo
p = Daniel está comiendo. Verdadero.
q = Daniel está caminando. Falso.
∨p q = Daniel está comiendo o caminando. Verdadero.
5
LÓGICA MATEMÁTICA
Disyunción 
exclusiva ∨
Se representa con “o … o”. La proposición es verdadera si las 
dos proposiciones tienen valor de verdad distinto.
Ejemplo:
p = Daniel está comiendo. Verdadero.
q = Daniel está caminando. Falso.
p ∨ q = O Daniel está comiendo o está caminando. 
Verdadero.
Implicación 
o 
condicional
 ⇒
Se representa con “Si… entonces”. La proposición es falsa en 
el único caso en que la primera proposición es verdadera y 
la segunda, falsa.
Ejemplo
p = Me pagan hoy. Verdadero.
q = Vamos al cine. Falso.
⇒p q = Si me pagan hoy, entonces vamos al cine. Falso.
Doble 
condicional ⇔
Se representa con “… si y solo si…”. La proposición es 
verdadera, únicamente si ambas proposiciones tienen el 
mismo valor de verdad.
Ejemplo
p = Me pagan hoy. Verdadero.
q = Vamos al cine. Falso.
⇒p q = Me pagan hoy si y solo si vamos al cine. Falso.
6
LÓGICA MATEMÁTICA
Todas las reglas descritas en la tabla anterior se pueden resumir en lo que se conoce como 
tablas de verdad, para cada conectivo se puede elaborar una tabla de todos los posibles 
casos y combinaciones entre dos proposiciones. Para dos proposiciones (p y q, digamos), solo 
hay cuatro posibilidades: que ambas sean verdaderas; la primera verdadera y la segunda 
falsa; la primera falsa y la segunda verdadera; y por último, que ambas sean falsas.
Esto se resume en la siguiente tabla.
 
p
 
q
V V
V F
F V
F F
Entonces, todas las opciones para los operadores son:
Negación
 
p
 
~ p
V F
F V
Conjunción
 
p
 
q
 ∧p q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disyunción inclusiva
 
p
 
q
 ∨p q
V V V
V F V
F V V
F F F
7
LÓGICA MATEMÁTICA
Disyunción exclusiva
 
p
 
q p
 
∨
 
q
V V F
V F V
F V V
F F F
Condicional
 
p
 
q
 ⇒p q
V V V
V F F
F V V
F F V
Doble condicional
 
p
 
q
 ⇔p q
V V V
V F F
F V F
F F V
Ejemplo
Considerar las dos proposiciones. 
p = José ganó la presidencia.
q = José cumplió su promesa.
Como se explicó anteriormente solo hay cuatro posibilidades:
• José sí ganó la presidencia y José sí cumplió su promesa.
• José sí ganó la presidencia y José no cumplió su promesa.
• José no ganó la presidencia y José sí cumplió su promesa.
• José no ganó la presidencia y José no cumplió su promesa.
Si la proposición compuesta es Si José gana la presidencia, entonces, José cumple su promesa.
Note que la proposición compuesta es una condicional. Acontinuación se analizan todos los 
casos.
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LÓGICA MATEMÁTICA
En el primer caso, José ganó la presidencia y cumplió su promesa. José dijo algo verdadero, por 
lo tanto, la proposición compuesta es verdadera.
 
En el segundo caso, José ganó la presidencia, pero no cumplió su promesa. José dijo una 
mentira, por lo tanto, la proposición compuesta es falsa.
En el tercer caso, José no ganó la presidencia, pero sí cumplió su promesa. José no dijo mentiras, 
por lo tanto, la proposición compuesta es verdadera.
En el cuarto caso, José no ganó la presidencia y no cumplió su promesa. José no dijo mentiras, 
por lo tanto, la proposición compuesta es verdadera.
Básicamente se está haciendo uso de la tabla de verdad del condicional, es decir:
 
p
 
q 
⇒p q
V V V
V F F
F V V
F F V
9
LÓGICA MATEMÁTICA
Ha adquirido una herramienta de trabajo que le 
será útil en la organización de sus argumentos para 
que no solo sean claros y de fácil comprensión, sino 
que logren ser convincentes y sus interlocutores 
puedan comprender mejor su discurso.
Conclusiones
10
LÓGICA MATEMÁTICA
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Corrección de estilo
Lcda. María Mazariegos
1
CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTOS
NUMÉRICOS
3Módulo 
2
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Una de las manifiestaciones del desarrollo de la 
mente humana fue el aparecimiento de sistemas 
numéricos que le permitieron cuantificar las cosas 
para entenderlas mejor y ofrecer explicaciones 
comprensibles para las mayorías. Gracias al 
concepto de número, la ciencia ha podido 
enriquecer el conocimiento de nuestro entorno 
físico y social y ha permitido que la tecnología 
apoye cada vez más la existencia de la humanidad 
en nuestro planeta.
INTRODUCCIÓN
3
CONJUNTOS NUMÉRICOSMódulo 3
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Medir se convirtió en una necesidad en algún momento de la historia de la humanidad. Era 
importante encontrar una forma de expresar una idea abstracta, que fuera comprendida 
por la mayoría, por ejemplo, el número de habitantes para calcular los impuestos, el número 
de soldados en el campo de batalla, la cantidad de comida necesaria para satisfacer el 
hambre, la cantidad de pueblos, etc. La humanidad entendió que necesitaba definir esas 
ideas y expresar esas cantidades, así que decidieron que no solo era necesario medir, sino 
tener instrumentos y una manera de expresar esas medida. Es entonces que nace la idea 
de número. 
La capacidad de medir permitió expresar muchas ideas cuantificables y entender de 
mejor manera un fenómeno natural o de cualquier índole. Se generó entonces el lenguaje 
matemático, reconocido como el lenguaje de la ciencia y de la naturaleza. 
3.1 Números naturales
En palabras del matemático Leopold Kronecker: 
“Los números naturales son obra de Dios, todo lo demás es obra del hombre”
El conjunto de los números naturales se identifica con la letra  . Son los números utilizados 
con mayor frecuencia, y es común escribirlos así:
 
Los puntos suspensivos indican que el conjunto continúa indefinidamente, es decir que 
tiene infinitos elementos. También, por razones prácticas, podemos representar los números 
en una recta numérica para tener una idea gráfica de ellos.
En la anterior recta numérica el punto representa el primer número natural, que es cero, y 
la flecha a la derecha significa que la recta numérica se puede extender hacia la derecha 
indefinidamente, es decir que tiene infinitos elementos. Observe que los números están 
todos a una misma distancia y que cadauno de ellos denota la distancia que lo separa 
de cero. A esta propiedad se le llama valor absoluto del número.
0 1 2 3 4 5 6
4
CONJUNTOS NUMÉRICOS
3.2 Números enteros
Los números enteros se representan con el símbolo  , usualmente se representan así:
 
Los puntos suspensivos a la izquierda significan que hay infinitos números antes, usualmente 
se dice que vienen desde el infinito negativo. Y los puntos suspensivos de la derecha 
significan que hay infinitos números después, usualmente se dice que van hacia el infinito 
positivo.
Ahora considere un principio fundamental: “Todo número es negativo, positivo o cero”. 
Este principio es llamado ley de la tricotomía. La distancia de un número hasta cero es 
siempre un número positivo. Observe que la distancia a cero desde −4 es la misma que 
desde 4. Esta propiedad se llama valor absoluto de los números, y se refiere a la distancia 
del número hasta cero, la cual es positiva. Para representar el valor absoluto se utilizan 
estos símbolos: n . Por ejemplo, 7 7− = , de la misma manera que 7 7= .
En la recta numérica, entre cada dos números hay espacios vacíos, es decir que no tienen 
otro número entero entre ellos, por ejemplo, entre 6 y 7 o entre 3− y 4− . Lo interesante 
es que sí hay otros números, por ejemplo entre 6 y 7 se encuentra el 6.5 . Esto implica que 
existen otros conjuntos numéricos aparte de los enteros.
Dato curioso
Piense
La actividad de contar formalmente implica asignar a objetos cualquiera una relación única 
con los naturales, por ejemplo, a un grupo de personas se le asigna una sola vez un número 
natural, al primero se le asigna 1, al segundo, 2, etc.
¿Cuántos números naturales existen?. Respuesta: hay infinitos números naturales
5
CONJUNTOS NUMÉRICOS
3.3 Números racionales
Los racionales se representan por la letra  y se definen de la siguiente manera:
Un número racional esta formado por un par ordenado de números enteros, donde el segundo 
elemento del par nunca puede ser 0.
 
Básicamente un número racional es la división de dos enteros, siempre que no se divida un número 
entre cero. Los racionales se expresan como , donde llamaremos numerador al número a y 
denominador al número b . El número formado por ambos se llama fracción.
Se llama fracción propia cuando el numerador es menor que el denominador, por ejemplo, 7 / 9. 
Se llama fracción impropia cuando el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo, 9 / 5 .
Se llama fracción mixta cuando hay una combinación de un número entero y una fracción propia, 
por ejemplo, .
Las impropias pueden expresarse como mixtas, todo lo que hay que hacer es dividir, dejar el cociente 
como la parte entera y el residuo como la fracción propia deseada.
Ejemplos
 es una fracción impropia. Al dividir 12 entre 7, se tiene el cociente 1 y el residuo 5, por lo 
 que 512 1 7 7= .
 
9
2 es una fracción impropia. Al dividir 9 entre 2, se tiene el cociente 4 y el residuo 1, por lo 
 que 9 14 2 2=
.
Dada una fracción mixta, para convertirla a una fracción impropia se debe multiplicar el denominador 
de la fracción con la parte entera, luego, sumarle el numerador de la fracción. Ese procedimiento 
da como resultado el numerador de la fracción impropia.
Ejemplos 
 
64 7 , aquí se multiplica el entero por el denominador de la fracción, en este caso 4 7 28× = , 
 luego se le suma el numerador de la fracción, es decir, 4 7 6 28 6 34× + = + = , con lo cual se 
 tiene 6 344 7 7= .
 23 3 se convierte en 3 3 2 9 2 11× + = + = , con lo cual 
2 113 3 3= .
a)
b)
a)
b)
y
6
CONJUNTOS NUMÉRICOS
3.3.1 Representación de los racionales en la recta numérica
Aquí hay algunos ejemplos de las posiciones que los racionales ocupan en la recta numérica:
Esto se debe a que los racionales también pueden escribirse como lo que se conoce como 
números decimales, que consiste únicamente en efectuar la división indicada, así por ejemplo
1
2 se calcula dividiendo 1 entre 2, con lo cual 1 0.500002 = …(con infinitos ceros), mientras que 
7 2.33333
− = − … (con infinitos 3). También 9 0.81818111= … (infinitas repeticiones de 81). 
Suceden aspectos interesantes en el estudio de los conjuntos numéricos, el hecho de que 
toda fracción positiva o negativa pueda escribirse siempre como un número decimal (que 
tiene una parte que se repite infinitamente), pero que no todos los números decimales 
puedan escribirse como fracciones, es decir que existe otro conjunto, aparte del conjunto de 
los racionales, este se llama conjunto de los números irracionales, por ejemplo, los números 
2, 3, ,eπ son números irracionales. 
 
 
 Al unir el conjunto de los números racionales con 
 el conjunto de los números irracionales se obtiene 
 el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. 
− 3 −2 −1 1 2 30
−7/3 1/2
7
CONJUNTOS NUMÉRICOS
a)
b)
a)
b)
c)
a)
b)
3.4 Divisibilidad
Cuando un número se divide por otro y el resultado es exacto (el resultado es un número 
entero), es decir, no hay residuo, decimos que existe divisibilidad entre ellos. Formalmente, si 
a b c÷ = , y c es un número entero, decimos que a es divisible entre b , o bien, b divide a a .
Ejemplos
 28 es divisible por 7 , porque 28 / 7 4= . 
 70 es divisible por 10 , porque 70 /10 7= .
 38 no es divisible por 5 , porque 38 / 5 7.6= , que no es un número entero.
3.4.1 Criterios de divisibilidad
Existen proposiciones que permiten determinar si un número es divisible entre otro.
• Todo número entero es divisible por 2 si el dígito de las unidades es par (cero es par). 
Ejemplos
 3 383 857 este número NO es divisible por 2.
 5 775 743 630 este número SÍ es divisible por 2.
 8 636 este número SÍ es divisible por 2.
 
• Todo número entero es divisible por 3 si la suma de los dígitos que lo conforman es 
 múltiplo de 3. 
Ejemplos
 65 438 333 , la suma de los dígitos que lo componen es 35, y 35 NO es múltiplo de 3, 
 por lo tanto, el número en cuestión NO es múltiplo de 3. 
 1 221 354 522 , la suma de los dígitos que componen este número es 27, y este SÍ es un 
 múltiplo de 3, por lo tanto, el número en cuestión SÍ es múltiplo de 3.
c)
8
CONJUNTOS NUMÉRICOS
a)
a)
b)
a)
b)
• Un número entero es divisible por 4 si el número formado por sus últimos dos dígitos 
 es un número de dos cifras divisible por 4. 
Ejemplos
 546 300 tiene como últimos dos dígitos 00 , los cuales son un número divisible por 4, 
 por lo tanto, el número original es divisible por 4.
 582 531 224 tiene como últimos dos dígitos 24 , y 24 es divisible por 4, por lo tanto, el 
 número original también es divisible por 4.
 3 552 374 tiene como últimos dígitos 74 , pero 74 NO es divisible por 4, por lo tanto, el 
 número en cuestión NO es divisible por 4.
• Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5. 
Ejemplos
 7 3771 20 termina en 0, por lo tanto, el número es divisible por 5.
 764 9981 25 termina en 5, por lo tanto, el número es divisible por 5.
• Un número entero es divisible por 6 si es divisible por 2 y además por 3. 
Ejemplos
 5463312 es un número par y también es divisible por 3 (por el criterio del 3), entonces 
 SÍ es divisible por 6.
 1 332 657 es un número impar, por lo que no es divisible por 2, y, por lo tanto, no es 
 divisible por 6. Note que aunque sí se divide por 3, si no cumple alguno de los dos 
 criterios, no puede ser divisible por 6.
• Un número entero es divisible por 7 si al eliminar el dígito de las unidades (dejando 
 el número con una cifra menos) y restar del número obtenido el doble del dígito de 
 las unidades, el resultado es divisible por 7. 
Ejemplos
 784 es divisible por 7, porque cuando se elimina el dígito de las unidades (dejando 
 78 ) y al restar el doble del dígito de las unidades se obtiene 78 2 4 78 8 70− × = − = , y 70 
 es divisible por 7.
a)
b)
c)
9
CONJUNTOS NUMÉRICOS
b) 10 766 , a este número se le quita el dígito de las unidades y se deja el número 
 1 076. Luego, se le resta el doble del dígito de las unidades, lo cual resulta en 
 1 076 12 1 064− = (como no se sabe si es divisible por 7, se aplica nuevamente el 
 proceso, pero ahora con el número 1 064 ).
 Repitiendo el proceso con 1 064 , se tiene 106 8 98− = (como nuevamente no se 
 sabe si es divisible por 7, se aplica el proceso una vez más).
 Repitiendo el proceso con 98 , se tiene 9 16 7− = − . Como 7− es divisible por 7 (el signo 
 no afecta la divisibilidad), 98 es divisible por 7, con lo cual 1 064 también 
 es divisible por 7, y finalmente, 10 766 es divisible por 7.
 4 562 , a este número se le aplica el mismo proceso. Al número 456 , se le resta el doble 
 de 2, así: 456 4 452− = . Se repite el proceso con 452 . Se opera 45 4 41− = (como no 
 es divisible por 7, se repite el proceso una vez más), el número 41 se vuelve a operar, 
 4 2 2− = . El resultado claramente no es divisible por 7. Entonces, 41 no es divisible 
 por 7, 452 tampoco y, por último, 4 562 no es divisible por 7.
3.5 Números primos
Un número primo es un entero positivo distinto de 1, que únicamente es divisible por sí mismo 
y por 1.
c)
Dato curioso
Una forma de saber si un número es primo es probar que no 
pueda dividirse entre ninguno de los primos que le anteceden, por 
ejemplo, con 29, debería probarse con los primos anteriores, que 
son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23. Lo cual es mucho trabajo para un 
número tan pequeño.
Otra forma es probar que no pueda dividirse por los primos menores 
que su raíz cuadrada (aproximada), por ejemplo, el 29 tiene raíz 
cuadrada entre 5 y 6. Por lo que es suficiente saber si se divide o 
no entre 2, 3 y 5. Lo cual es mucho más eficiente que el método 
anterior.
10
CONJUNTOS NUMÉRICOS
3.5.1 Los factores primos de un número
Un número que no es primo (por ejemplo 12) se llama compuesto. El término compuesto se 
refiere a que este número puede ser escrito como producto de números primos. Por ejemplo:
 8 2 2 2; 27 3 3 3; 48 2 2 2 2 3; 1 4 2 7;= × × = × × = × × × × = ×
 70 2 5 7; 210 2 3 5 7= × × = × × ×
A este hecho se le conoce como descomposición en números primos, y esta descomposición 
es única para cada número. 
Siempre que se necesite descomponer un número en sus factores primos, se puede hacer 
buscando todos los factores 2 que tenga el número, luego todos los factores 3, luego todos 
los factores 5, es decir, todos los factores que sean números primos comenzando desde el 
más pequeño (que es 2), y terminando hasta que el número que quede sea 1. 
Ejemplos 
a) Descomponer 160 en factores primos
NÚMERO FACTORES PRIMOS
160 2
80 2
40 2
20 2
10 2
5 5
1
Entonces 160 2 2 2 2 2 5= × × × × × , que se puede abreviar con exponentes 5160 2 5= × .
b) Descomponer 105 en factores primos
NÚMERO FACTORES PRIMOS
105 3
 35 5
 7 7
 1
Entonces 105 3 5 7= × × , que no puede abreviarse con exponentes.
11
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Mínimo común múltiplo (mcm)
Cuando n es divisible por m , se dice también que n es un múltiplo de m . Básicamente, 
todos los múltiplos de un número n se pueden obtener multiplicando n con los números 0, 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..., por ejemplo, los múltiplos de 3 son { 0, 3, 0, 3, 6, 9,12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 
33, 36, 39...}, los múltiplos de 4 son {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44...}. Observe que 
siempre hay múltiplos comunes para dos números, aparte del cero, que es un múltiplo 
común para todos los números.
En el caso del 3 y 4, los múltiplos comunes son { 0, 12, 24, 36,...} y son infinitos. El primer 
múltiplo común distinto de cero, que es 12, se conoce como el mínimo común múltiplo 
de 3 y 4, usualmente abreviado como ( )3,4 12=mcm .
En general, para dos números enteros positivos a y b , el mínimo común múltiplo, denotado 
como , es el múltiplo común más pequeño entre a y b , y distinto de cero.
Ejemplos
a) El mínimo común múltiplo entre 12 y 15. 
 Los múltiplos de 12 son { 0. 12, 24, 36 48, 60, 72, 84, 96,...}.
 Los múltiplos de 15 son { 0. 15, 30, 45, 60, 75, 90,...} 
 El múltiplo más pequeño distinto de cero, común a 
 12 y 15 es 60.
Es considerado el teorema más importante de la aritmética y trata sobre 
números primos. El teorema dice que cualquier número natural mayor 
que 1 puede escribirse como producto de números primos, y lo más 
importante es que esta forma de “factorizar” siempre existe y es única 
para cada número. 
Por ejemplo, para el número 480, la descomposición en números primos 
es
Teorema fundamental de la aritmética
480
12
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Una forma más práctica de encontrar el mcm sería la siguiente: tomar las dos cifras 
y calcular todos los números primos que dividen a cualquiera de las dos. 
Nota: el signo para este caso 12 -15, no es una resta, solo separa los dos números.
 2
 2
 3
 5 
 1
b) Encontrar el mínimo común múltiplo entre 16 y 24.
 2 
 2 
 2
 2
 3 
 1
c) Encontrar el mínimo común múltiplo entre 25 y 30.
 2
 3 
 5
 5
 1
Al descomponer los números en sus factores primos hasta que 
quede la unidad, sin importar si son comunes o no, se obtienen los 
factores 2, 2, 2 y 3. 
Por lo tanto, mcm (16, 24) = 2 × 2 × 2 × 3 = 48. 
Al descomponer los números en sus factores primos hasta que quede 
la unidad, sin importar si son comunes o no, se obtienen los factores 
2, 2, 3 y 5. 
Por lo tanto, mcm (12,15) = 2 × 2 × 3 × 5 = 60.
Al descomponer los números en sus factores primos hasta que 
quede la unidad, sin importar si son comunes o no, se obtienen 
los factores 2, 3, 5 y 5. 
Por lo tanto, mcm (25, 30) = 2 × 3 × 5 × 5 = 150.
16-24
8-12
4-6
2-3
1-3
1-1
12-15
6-15
3-15
1-5
1-1
25-30
25-15
25-5
5-1
1-1
13
CONJUNTOS NUMÉRICOS
d) Encontrar el mínimo común múltiplo de 10, 12 y 30.
 2
 2 
 3
 5
 1
Máximo común divisor (MCD)
Cuando n es divisible por m , se dice también que m es un divisor de n . A diferencia 
de los múltiplos, la cantidad de divisores es limitada, por ejemplo, si se considera el 
conjunto de todos los divisores de 18, este conjunto es {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Mientras que el 
conjunto de todos los divisores de 24 es { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Note que el 1 siempre es 
un divisor común a cualquier pareja de números. 
De entre los divisores que son comunes para 
ambos números, es decir, el conjunto { 1, 2, 3, 
6}, se elige el más grande. A este divisor común 
se le llama máximo común divisor de 24 y 18, 
que es 6.
 
En general, para dos enteros positivos a y b , el 
máximo común divisor, denotado como MCD 
, es el divisor común a a y b , que además 
es el más grande. Existe un método similar al 
cálculo del mcm explicado en la sección 
anterior.
Al descomponer los números en sus factores primos hasta que 
quede la unidad, sin importar si son comunes o no, se obtienen 
los factores 2, 2, 3 y 5.
Por lo tanto, mcm (10,12, 30) = 2 × 2 × 3 × 5 = 60. 
10-12-30
5-6-15
5-3-15
5-1-5
1-1-1
14
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Ejemplos
a) Encontrar el máximo común divisor entre 18 y 24.
 2 * 
 2
 2 .
 3 *
 
 1*
b) Encontrar el mcm y el MCD entre 450 y 360.
 2 *
 2
 2
 3 *
 3 *
 5 *
 5 
 1*
Se marcaron con asterisco (*) los divisores comunes, el mcm 
(18, 24) es el producto de todos los factores encontrados, 
es decir que mcm .
Mientras que el MCD de 18 y 24 es el producto de los 
factores primos comunes únicamente, es decir, solo los 
que se marcaron con asterisco (*), en este caso es MCD 
.
Al descomponer en factores primos y considerar 
únicamente los factores repetidos, se tiene que MCD 
 .
18-24
9-12
9 - 6
9 - 3
3 - 1
1 - 1
450-360
225-180
225-90
225-45
75-15
25-5
5-1
1-1
15
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Hay casos en los que este proceso no genera factores en común, es de recordar que 
1 siempre es un factor en común, es decir que siempre 1 aparece al final del proceso 
generado por este listado, por lo que el MCD es 1. Siempre existe tanto el mcm como el 
MCD de dos números enteros positivos.
El mcm y MCD siempre existen, pero en ocasionessucede que entre dos números no 
hay factores en común. En estos casos la pareja de números se llama primos relativos, los 
cuales forman parte de un estudio importante en la teoría de números. En estas parejas, 
el MCD de los dos números es 1 y el mcm es el producto de los números. Ejemplo, 16 y 9 
no tienen factores en común, el MCD es 1 y el mcm es 16×9=144.
Haciendo uso del MCD y el mcm, procederemos a realizar 
operaciones con fracciones.
Dato curioso
Aunque no es común que aparezca en los textos, el algoritmo más eficiente para 
calcular el MCD de dos números se llama algoritmo de Euclides y consiste en que MCD
.
Es decir que consiste en copiar el número menor de los dos e ir restando los números 
(mayor menos menor) para hacerlos cada vez más pequeños. El proceso termina en 
solo dos posibles términos: MCD o MCD . 
Ejemplos
 MCD .
.
Algoritmo de Euclides
 MCD
MCDMCD MCD
MCD MCD MCD MCD MCD
16
CONJUNTOS NUMÉRICOS
3.6 Multiplicación de fracciones
Para multiplicar dos fracciones, se multiplica numerador con numerador y denominador 
con denominador. En el caso en que se pueda simplificar, se hace. Se respetan siempre 
los signos y el orden.
Ejemplos
a) Multiplicar 2 / 5 por 3 / 7 .
 
b) Multiplicar 7 / 9− por 3 / 5 .
 
3.7 División de fracciones
Para dividir dos fracciones, primero se invierte la segunda fracción (divisor), cambiando 
el signo de división por uno de multiplicación. Como se tiene una multiplicación, se 
multiplica numerador con numerador y denominador con denominador. En el caso en 
que se pueda simplificar, se hace. Se respetan siempre los signos y el orden.
Ejemplos
 a) Dividir 6 / 7 entre 9 / 8 .
17
CONJUNTOS NUMÉRICOS
 b) Dividir 7 / 8− entre 9 /16− .
 
 c) Dividir 5 / 9 entre 4 / 5 . 
 
3.8 Suma y resta de fracciones
Para sumar hay que tener presente que solo se puede sumar si los denominadores son 
iguales, por ejemplo, hay dos pasteles del mismo tamaño, el primer pastel se divide en 10 
pedazos y el segundo en 12 pedazos, una persona recibe un pedazo de cada pastel y 
surge la duda, ¿qué fracción de pastel se comió la persona?, claramente no se puede 
comparar ambos pedazos, pues son de distintos tamaños, por lo cual, sumar o restar 
fracciones no es lo mismo que multiplicar o dividir, en necesario que los denominadores 
sean del mismo tamaño. Hay 2 posibilidades.
• Con denominadores iguales: si ambas fracciones tienen el mismo denominador se 
 opera así:
 
Ejemplos 
 a) Sumar 3 / 7 con 1/ 7 .
 
 
 b) Sumar 2 / 9− , 5 / 9 y 3 / 9− .
Cuidado con la tentación de sumar los denominadores.
18
CONJUNTOS NUMÉRICOS
• Con denominadores diferentes: debe convertirse primero todas las fracciones a fracciones 
equivalentes con un común denominador, y luego, proceder como antes. Para convertir 
las fracciones equivalentes con común denominador, lo que se hace es buscar el mcm 
de ambos denominadores y luego amplificar las fracciones cuantas veces sea necesario, 
hasta que el denominador sea el mcm.
Ejemplos
a) Sumar 1/10 con 1/12 .
Primero se calcula el mcm de 10 y 12.
 2
 2
 3
 5
 1
 
b) Calcular 3 / 4 2 / 3+ .
Primero se calcula el mcm de 4 y 3.
 2
 2
 3
 1
 
 
El mcm .
Luego se convierte a fracciones equivalentes: para hacer 
llegar el 10 a 60, hay que multiplicarlo por 6, y a 12, por 5.
El mcm .
Luego se convierte a fracciones equivalentes: para 
hacer llegar el 4 a 12, hay que multiplicarlo por 3, y 
a 3, por 4.
10-12
5-6
5-3
5-1
1-1
4-3
2-3
1-3
1-1
19
CONJUNTOS NUMÉRICOS
c) Calcular 2 / 9 3 /12 2 / 3+ − .
Primero se calcula el mcm de 9, 12 y 3.
 2
 2
 3
 3
 1
3.9 Jerarquía en las operaciones
Cuando se combinan dos o más operaciones entre números reales, es importante 
reconocer que existe un orden operacional y también un orden en la utilización de 
los signos de agrupación que se deben respetar. Ambas normas son muy útiles para 
operar con los números reales.
Es común realizar operaciones en un orden incorrecto, por ejemplo, ¿a qué será 
igual la expresión 3 4 8+ × ? Es tentador realizar las operaciones como se lee en un 
texto, de izquierda a derecha, de esta forma se obtendría 56. Pero en este caso el 
orden operacional no es así, y la respuesta correcta es 35. Por eso es importante 
reconocer el orden correcto al realizar operaciones.
Las normas planteadas tienen que ser respetadas 
siempre en todas las expresiones matemáticas. Esto se 
conoce como JERARQUÍA DE OPERACIONES.
El mcm . 
Luego se convierte a fracciones equivalentes: para 
hacer llegar el 4 a 12, hay que multiplicarlo por 3, y a 3, 
por 4.
9-12-3
9-6-3
9-3-3
3-1-1
1-1-1
))
20
CONJUNTOS NUMÉRICOS
• Cuando se combinan varias operaciones, deben realizarse primero las potencias 
y raíces; luego, los productos y cocientes; por último, las sumas y restas, a menos que 
existan signos de agrupación que indiquen lo contrario.
• Si aparecen signos de agrupación, los cuales son ( ) , [ ] y {} , se ejecuta primero 
lo que está dentro de estos signos y una vez despejado, se llevan a cabo las demás 
operaciones indicadas según la norma anterior.
Ejemplos 
a) Operar
 
Como hay paréntesis, se procede a realizar las operaciones indicadas 
dentro del paréntesis.
 27 5 6 3 1 2+ − ÷ + ×
Primero
Segundo
Tercero
Realizar potencias y raíces
Productos y cocientes
Sumas y restas
( )27 5 6 3 3 2 2+ − ÷ + − ×
21
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Como ya no hay paréntesis, se operan primero las potencias y raíces, como indica la 
regla 1.
 7 25 6 3 1 2+ − ÷ + ×
Como ya no hay potencias y raíces, se operan los productos y cocientes.
 7 25 2 2+ − +
Quedan únicamente sumas y restas, con lo cual, solo falta operarlas.
 7 25 2 2 32.+ − + =
b) Operar 5 4 3 6 16 8 3 – 4 2 1+ × ÷ + ÷ × × +
Como no hay raíces o potencias, se efectúa primero los productos y cocientes.
 5 2 6 – 8 1+ + +
Como ya no hay productos y cocientes, se realizan las sumas y restas.
 5 2 6 8 1 6.+ + − + =
c) Operar 
 
Primero los paréntesis.
 
( ) ( )5 4 3 16 – 9 7 5 – 3+ × + ÷ +
9 3 7 7 5 – 3× + ÷ +
22
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Ejercico corto ( )( )5 10 5 2 5 12 8 3 1× − × ÷ + − × + . Respuesta: 105
¿Cuánto es 2 2 5− × ?. Respuesta: 8− .
Al realizar el producto queda 2 2 5 2 10− × = − . Recuerde que los 
números enteros tienen reglas específicas para suma y resta, en 
este caso 2 10 8− = − .
Piense
 Como no hay potencias o raíces, se operan los productos y cocientes.
 27 1 5 – 3+ +
 Por último, las sumas y restas.
 27 1 5 – 3 30.+ + =
23
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Ha tenido usted la oportunidad de estar en contacto 
con los conjuntos numéricos y ha aprendido a 
operar con ellos. Conocimientos básicos para 
comprender mejor sus diferentes aplicaciones en 
cualquier campo de la vida.
Conclusiones
24
CONJUNTOS NUMÉRICOS
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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
Autoridades
M.Sc. Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos
Rector
Arq. Carlos Enrique Valladares Cerezo
Secretario General
Dr. Olmedo Abihail España Calderón
Director General de Docencia
DIVISIÓN DE EDUCACIÓN A DISTANCIA EN ENTORNOS VIRTUALES 
DIRECCIÓN GENERAL DE DOCENCIA
Autor
M.A. Bayardo Arturo Mejía Monzón
Producción académica
M.Sc. Sonia AlejandraRecinos Fernández
Lcda. Madelline Cárcamo
Lic. Carlos Alberto Piñeiro Estrada
Lic. Ronald Oliverio Chubay Gallina
Lic. Erick Girón
Diagramación e ilustración
Lic. Edgar Armando Morales Cortez
Corrección de estilo
Lcda. María Mazariegos
1
RAZONES Y PROPORCIONES
RAZONES Y 
PROPORCIONES
4Módulo 
2
RAZONES Y PROPORCIONES
La proporcionalidad es una manifestación de la 
comprensión de las medidas y de cómo estas 
se distribuyen en la misma naturaleza. Es una 
oportunidad también para comprender los modelos 
matemáticos mediante los cuales desarrollamos una 
idea cuantitativa para saber la relación entre causa 
y efecto. Medite cuidadosamente sobre los ejemplos 
que aparecen en el módulo y analice qué otras ideas 
llegan a sus pensamientos para comprender mejor su 
entorno y la naturaleza misma. 
INTRODUCCIÓN
3
RAZONES Y PROPORCIONESMódulo 4
RAZONES Y PROPORCIONES
En el módulo 3 cuando se estudiaron las fracciones, se explicaron algunas de sus 
aplicaciones, ahora se considerarán otros usos interesantes. Primero, se define una 
razón como la relación cuantitativa entre variables expresadas numéricamente. Por 
ejemplo, si se considera que por cada 7 casas hay 9 automóviles en la ciudad, se 
representa esta relación como 7/9, que se lee 7 es a 9, se puede concluir que si hay 14 
casas, se encontrarán 18 automóviles, o que por cada 21 casas habrá 27 automóviles.
Este número brinda la relación de crecimiento entre el número de casas y el de 
automóviles. A este tipo de comparaciones se les llama razones.
La naturaleza tiene muchas manifestaciones proporcionales. La longitud de los brazos 
de toda persona es proporcional a su estatura. También hay una proporción entre el 
peso y la estatura de una persona. Si se mide la longitud del perímetro de la cabeza y 
luego el del puño cerrado también se encontrará que esas medidas son proporcionales. 
Una proporción matemática es la igualdad entre dos razones, lo que estudiamos como 
igualdad de fracciones. Si dos razones son iguales, existe proporcionalidad entre las 
variables que se consideran.
Recuerde 
 ,si y solo si= =a c ad bc
b d
Al cumplirse la igualdad se dice que hay proporcionalidad entre las variables, o bien, 
que las cantidades son proporcionales.
Si hay proporcionalidad entre dos variables, puede suceder que una variable 
aumente y la otra también, en este caso, se dice que las variables son directamente 
proporcionales. Pero si una variable aumenta y la otra disminuye, se dice que las 
variables son inversamente proporcionales.
7/9 7 es a 9
4
RAZONES Y PROPORCIONES
Ejemplos
a. En un auto que viaja a cierta velocidad se cumple lo siguiente: si se 
 aumenta la velocidad actual, se disminuye el tiempo en llegar al 
 destino. Si se disminuye la velocidad actual, se aumenta el tiempo 
 de llegada. Aquí la relación entre las variables tiempo y velocidad es 
 inversamente proporcional.
b. Se compran libros a un precio fijo. Si se aumenta el número de libros 
 (al mismo precio individual), incrementa el valor total a pagar. Si se 
 reduce el número de libros, reduce el precio a pagar. Aquí la relación 
 entre las variables cantidad de libros y total a pagar es directamente 
 proporcional.
En la expresión 3 / 4 1 2 /16= , hay proporcionalidad, las fracciones son equivalentes. Como 
las proporciones son comparaciones entre cantidades cuando se tiene una cantidad 
desconocida y se sabe que hay proporcionalidad, es posible encontrar la variable 
faltante. En el caso de que las variables sean inversamente proporcionales, se invierte 
una razón y con eso se logra la proporcionalidad directa.
 
a. En la proporción 
7
9 36
x
= , hace falta un valor. Para hallarlo se hace uso de la definición 
 de igualdad de fracciones. Se tiene entonces que ( )9 7 36x= , con lo cual 9 252x= . 
 Por lo tanto, 252 / 9 28x = = .
b. En la proporción 
8 35
42x
= , el valor de x se calcula como ( )8 42 35x= , de donde 
 336 35x= , entonces 336 / 35 x= , y finalmente 9.6x = .
c. Un chorro de agua permanece abierto 24 horas y en ese tiempo vierte 5000 litros 
 de agua. ¿Cuántos litros de agua verterá si permanece abierto 30 horas?
Solución: se nota que las variables son el tiempo que permanece abierto el chorro y la 
cantidad de agua, y que estas están en proporción directa, por lo que el planteamiento 
del problema se resume en 24 es a 30 , como 5000 es a x , donde x es la cantidad 
desconocida de agua. Esto se escribe en fracciones como 
 
24 5000
30 x
=
De donde 6250x = , entonces en 30 horas, el chorro verterá 6250 litros 
de agua.
5
RAZONES Y PROPORCIONES
d. Si 32 ejemplares de un texto cuestan Q 485.72, ¿Cuánto costarán 45 ejemplares 
 del mismo texto? 
Solución: esta proporción es directa, por lo que la igualdad de fracciones es
 
32 485.72
45 x
=
De donde ( )32 45 485.72x = , con lo cual 683.04x = es lo que se debe pagar por los 45 
libros.
e. Se sabe que 24 trabajadores construyen una barda en 18 días, pero no se logró 
 contratar a todos y solo se tiene a 12 personas. ¿Cuántos días tardarán los 
 12 trabajadores para construir la barda?
Solución: las cantidades que deben compararse son los días tardados y el número de 
trabajadores. Note que si la cantidad de personas disminuyó, la cantidad de días debe 
aumentar, es decir que las cantidades están en relación inversa, por lo que una de las 
dos razones 24 /12 o 18 / x se debe invertir, y la igualdad quedaría 
 
24
12 18
x
=
Con lo cual, al calcular x , se obtiene , que representa los días que deben 
trabajar para construir el muro.
6
RAZONES Y PROPORCIONES
Toda razón es un cociente (fracción) entre dos cantidades, 
pero además, toda fracción puede expresarse como un 
número decimal y como un porcentaje, a esta fracción se 
le conoce como constante de proporcionalidad, por 
ejemplo, si la razón entre dos variables es 3/4, entonces su 
constante de proporcionalidad es 0.75, esta constante de 
proporcionalidad es práctica para realizar cálculos. Por 
ejemplo, la fuerza de atracción en la luna (gravedad) es 1/6 
del valor de la gravedad de la tierra, entonces la constante 
de proporcionalidad es de 0.17 (valor aproximado a dos 
decimales). Entonces, si alguien pesa en la tierra 285 libras, 
en la luna pesaría ( )0.17 185 31.45= . Por lo tanto, el peso de 
esta persona en la luna es aproximadamente de 31.45 libras.
A veces es útil escribir la fracción como un porcentaje, esto 
es, escribir la parte decimal y multiplicarla por 100, luego, 
colocarle el símbolo de porcentaje ( % ). Por ejemplo, 
3 / 4 0.75= , y esto a su vez es 0.75 75%= .
De la misma manera, para convertir un 
porcentaje a número decimal, únicamente 
se divide entre 100, por ejemplo, el número 
37% equivale a 0.37, esta conversión es 
muy útil en el cálculo de porcentajes.
Por ejemplo, si se desea encontrar el 82% 
de 225.48, lo que se hace es multiplicar 
la cantidad dada por el decimal 
correspondiente al porcentaje, es decir, 
( )( )0.82 225.48 184.89= aproximadamente. 
Entonces, el 82% de 225.48 es 184.89 . 
7
RAZONES Y PROPORCIONES
Ha aprendido en esta experiencia el significado 
clásico de la proporción. Utilice este conocimiento 
para tomar decisiones apropiadas cuando estas 
tengan que ver con aspectos que puedan expresarse 
cuantitativamente, como los impuestos, los intereses 
sobre cuentas, lo que significa una deuda, las tarjetas 
de crédito, la proporcionalidad de crecimiento 
poblacional y otros temas. 
Conclusiones
8
RAZONES Y PROPORCIONES
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1
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
TERMINOLOGÍA 
ALGEBRAICA
5Módulo 
2
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
Uno de los logros matemáticos es la posibilidad 
de establecer generalizaciones para aspectos 
en principio particulares. Para ello fue necesario 
construir un idioma utilizando símbolos naturales 
como el alfabeto. Este nuevo lenguaje se usa para 
establecer símbolos generales y expresar ideas que 
van a cumplirse siempre, por ejemplo, el teorema de 
Pitágoras, que algebraicamente acepta la expresión 
a2+b2=c2. La terminología que aprenderá ahora 
ampliará su capacidad de expresión matemática 
para poder entender mejor el mundo.
INTRODUCCIÓN
3
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICAMódulo 5
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
En los módulos anteriores se utilizaron únicamente números, esta vez se hará uso de símbolos 
que representen cantidades desconocidas. Por ejemplo, la oración: El estudiante vendrá el 
próximo viernes, no puede determinarse si es verdadera o falsa, pues ¿quién es el estudiante?, 
este fragmento de El estudiante… puede sustituirse por un nombre que haga verdadera o 
falsa la expresión. Otro ejemplo es en la expresión a b c+ = , que tiene un conjunto infinito de 
valores para las cuales es verdadera, como 3 4 7+ = .
En esta unidad se introducirá la terminología apropiada de símbolos que permitan 
representar ideas y conceptos para resolver problemas, por ejemplo, ¿qué números 
multiplicados entre sí dan como resultado 42?, esto se puede escribir con dos números 
desconocidos o variables, que se pueden denotar con x e y , con lo cual la respuesta a la 
pregunta se escribe como 42=xy . 
Una expresión algebraica es una expresión matemática que contiene números, letras que 
representan números cualesquiera y signos matemáticos que indican operaciones entre los 
números (suma, resta, multiplicación, etc.), por ejemplo:
 
2 73 2 3, 5
4
zx x x ++ − +
Un término es una expresión algebraica que solo contiene productos y cocientes (es decir, 
no aparecen sumas o restas exteriormente). Por ejemplo:
 
2 13 2xy x
x
+ −
Es una expresión algebraica que consta de tres términos, los cuales son:
 
2 13 , 2 , xy x
x
−
Las expresiones algebraicas se separan en términos, con los signos 
" " + o " "− . Si una expresión tiene un solo término, se llama MONOMIO; 
si tiene dos términos, BINOMIO; si tiene tres términos, TRINOMIO; etc. 
En general, si tiene más de un término se llama POLINOMIO. 
a)
b)
4
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
Por ejemplo, las expresiones 
2
2 3 2 2
4
7 234 , 23 , 9 , , , 3
2 8
+
abc mnxy mnk x m k a b
bc mn , 
5 33 7m o 
22dr , 
son todas monomios, pues contienen un solo término, es decir que no hay separaciones 
mediante los signos " " + o " "− . Ahora bien, los términos se llaman 
binomios, pues tienen solo una separación. 
Las expresiones algebraicas representan de forma general alguna situación concreta, por 
ejemplo:
a) Un número aumentado en cuatro unidades……………………………………………….… 4x +
b) Un número disminuido en 7 unidades……………………………………………….………… 7m −
c) La séptima parte de un número aumentado en 5 unidades… …………………… ( )1/ 7 5d +
d) El triple de la distancia recorrida más 8 unidades……………………………………..……3 8d +
e) Catorce menos el triple de un número…………………………………………………………14 3n−
5.1 Valor numérico de una expresión algebraica
Cuando se le asignan valores a las variables, se calcula el valor numérico asociado a la 
expresión algebraica. Consiste en sustituir los valores de las variables y calcular. Así, por 
ejemplo, al evaluar la expresión 2 3+ −a b c cuando 5=a , 2= −b y 1=c . 
Se sustituyen los valores de , ,a b c en la expresión algebraica.
 ( ) ( ) ( )2 5 3 2 1 10 6 1 3+ − − = − − =
Encontrar el valor numérico de la expresión
 2 32m mn k+ − , si 3m = − , 0n = , 4k = .
 ( ) ( )( ) ( )2 32 32 3 2 3 0 4 9 0 64 55m mn k+ − = − + − − = + − =−
a)
b)
5
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
5.2 Términos semejantes
Dados dos monomios, se dice que son semejantes si las partes literales de las dos expresiones 
algebraicas son iguales.
Ejemplos
a) Las expresiones algebraicas 4x y 9x tienen la misma parte literal, por lo que son términos 
 semejantes. 
b) Las expresiones algebraicas 3abe y 5− aeb , tienen la misma parte literal (aunque el 
 orden cambie), por lo que son términos semejantes. 
c) Las expresiones algebraicas 25m kc y −7mkc, no tienen la misma parte literal, pues m no 
 tiene el mismo exponente en ambas expresiones, por lo que NO son términos semejantes.
d) Las expresiones 38− mn y 3–8m n , no tienen la misma parte literal, pues los exponentes 
 no son los mismos para cada letra, por lo que NO son términos semejantes.
5.3 Sumas y restas de expresiones algebraicas
Para sumar y restar expresiones algebraicas, únicamente se reducen los términos que sí sean 
semejantes, mientras que los que no son semejantes, no se pueden reducir.
Ejemplos
a) Sumar ( )2 25 2 ab ab b− + , con ( )2 23 5ab ab b− + + .
 
 
2 25 2ab ab b− +
 
 
2 23 5 ab ab b− + +
 
 
2 2 2 3 2ab ab b= + +
+
6
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
b) De ( )2 23 9 8 9xy x y y+ − − , restar ( )2 215 3 7 9xy x y y z+ − + − .
 
2 23 9 8 9xy x y y+ − −
 ( )
2 23 7 9 15xy x y y z− − + − +
 Que es lo mismo que cambiar signos a toda la expresión de abajo.
 
2 23 9 8 9xy x y y+ − −
 2 23 7 9 15xy x y y z− + − + −
 
2 1 6 17 16x y y z− + −
5.4 Productos y cocientes
En este caso no es necesario trabajar con términos semejantes. Primero se deben tener reglas 
claras sobre operar con exponentes, a esto se le llama reglas o leyes de potenciación.
LEYES DE POTENCIACIÓN EJEMPLO
 *a b a bx x x +=
Productos de potencias de 
igual base, se copia la base y 
se suman los exponentes. ( )( )3 5 3 5 8z z z z+= =
 a b a bx x x −÷ =
División de potencias de igual 
base, se copia la base y se 
restan los exponentes.
 ( )5 15 1 5 1 6y y y y y− −− +÷ = = =
 0 1x =
Todo número distinto de cero, 
al elevarlo a la potencia 
cero, es igual a uno.
 025 1=
 
( ) *a a bxy x x=
Potencia de un producto, se 
separa la potencia en cada 
término del producto. 
( )4 4 4 42 2 16a a a= =
 
( ) *ba a bx x=
Potencia de otra potencia, se 
copia la base y se multiplican 
los exponentes. 
( ) ( )( )2 2 22 4z z z− − −= =
+
7
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
Utilizando estas leyes, el producto y el cociente consisten únicamente en multiplicar o 
dividir los coeficientes de cada término y la parte literal. 
Ejemplos
 a. Multiplicar 
23x yz con 
3 14x y−− .
 
 b. Dividir 235a b− entre 2 25a bc− −− .
 
( ) ( )
2
2 2 21 1 2 2 0 2 4 2
2 2
35 7 7 7 .
5
a b a b c a b c a c
a bc
− − − −− +
− −
−
= = =
−
5.5 Polinomios
Un polinomio en la variable x , denotado como ( )p x , es una suma de términos con parte 
literal nx , para n +∈ .
 ( )
1 2 2
1 2 2 1 0
n n n
n n np x a x a x a x a x a x a
− −
− −= + + +…+ + +
 con 
El grado del polinomio está dado por el exponente más grande de la variable x .
Ejemplos
 El polinomio ( ) 3 22 5p x x x x= + + − , es un polinomio en la variable x , y es de grado 3.
 El polinomio( ) 25 10 8q y y y= − + − , es un polinomio en la variable y , y es de grado 2.
 
 El polinomio ( ) 6 1r t t= − , es un polinomio en la variable t , y es de grado 6. 
 La expresión 
35 2 4x x− + + , tiene un exponente negativo, por lo que no es un polinomio.
 La expresión 2
4 
1
x
x
+
− , tiene una variable en el denominador, por lo que no es un 
 polinomio.
a)
b)
c)
d)
e)
8
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
Es común ordenar los polinomios de forma descendente empezando siempre con el 
monomio de mayor grado, por ejemplo, el polinomio ( ) 3 5 66 2 3 8p x x x x x= + − + − se ordena 
y queda
 ( )
6 5 33 2 6 8p x x x x x= − + + + −
5.6 Operaciones con polinomios
Sumas y restas: las sumas y restas de polinomios se realizan agrupando los 
términos semejantes y sumando o restando los coeficientes, respectivamente.
Ejemplos
 Si
 ( )
3 28 3 2 4p x x x x= + − +
 
( ) 3 27 12 10q x x x= + −
a) Si se desea calcular la suma p q+ , entonces se debe colocar cada término semejante 
uno debajo del otro, realizar la operación aritmética indicada entre sus coeficientes y copiar 
la variable junto con su exponente (regla de sumas y restas de expresiones algebraicas).
 
 ( )p x =
 
38x
 
23x+
 
2x−
 
4+
 ( )q x =
 
37x
 
212x+
 
10−
 
p q+ =
 
315x
 
215x+
 
2x−
 
 6−
b) Mientras que p q− , se debe cambiar los signos de ( )q x , y proceder igual que el ejemplo 
anterior
 ( )p x = 38x 23x+ 2x− 4+
 
( )q x− = 37x− 212x− 10+
 3x 29x− 2x− 
f)
6+
9
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
5.6.1 Producto
Para multiplicar dos polinomios se recurre a la propiedad distributiva del producto respecto a la 
suma.
Ejemplo
 Sea 
( ) 4 2p x x= +
( ) 5 3q x x= −
El producto ( ) ( )*p x q x es
 ( )( ) ( ) ( )4 2 5 3 4 5 3 2 5 3pq x x x x x= + − = − + −
 
2 220 12 10 6 20 2 6x x x= − + − = − −x x
Otra manera de expandir el mismo producto es de forma vertical, semejante a la utilizada para 
multiplicar números enteros.
 ( )p x =
 
4x
 
2+
 
 ( )q x =
 
5x
 
3−
 
220x
 
10x+
 
 
12x−
 
6−
 pq =
220x
 
2x−
 
6−
 ( ) ( )
220 2 6= − −p x * q x x x
En donde también se aplica la propiedad distributiva, y los monomios se colocan uno debajo del 
otro según sean términos semejantes y se realizan las operaciones aritméticas indicadas.
Multiplicar
Resultados
Sumar
10
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
El producto ( )( )2 22 3 1 5 2x x x x+ + − + .
 ( )p x =
 
22x
+3 x 
1+
 
 ( )q x =
 
2x
 
5x−
 
2+
 
42x
 
33x+
 
2x+
 
310x−
 
215x−
 
5x−
 
6x+
 
2+
 
pq =
 
42x
 
37x−
 
210x−
 
x+
 
2+
 ( ) ( ) 4 3 22 7 10 2= − − + +p x * q x x x x x
5.6.2 División
Para dividir polinomios el caso más sencillo es la división de un polinomio entre un monomio, para 
ello, cada término del polinomio se dividirá entre el monomio, utilizando la regla del cociente.
Ejemplo
a) Dividir 3 26 3 9x x x− + entre x . 
 
3 2 3 2
26 3 9 6 3 9 6 3 9x x x x x x x x
x x x x
− +
= − + = − +
Se dividen los coeficientes entre sí y se aplica la ley de exponentes para la parte literal.
Cuando se divide un polinomio con otro polinomio se debe seguir el siguiente algoritmo, conocido 
como división larga.
Multiplicar
Resultados
Sumar
24x
11
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
Si 1p y 2p son polinomios y si 2 0p ≠ , entonces existen polinomios únicos 3p y 4p , tales que
1 2 3 4*p p p p= +
Donde el grado de 4p es menor que el grado de 2p , 3p se conoce como el cociente y 4p el 
residuo.
Ejemplo 
Realizar la siguiente división:
 
3 23 4 8
3
x x x
x
+ − +
+
Se realiza como un análogo del algoritmo para dividir números enteros. Se reescribe la división:
 
 3x + 3 23 4 8x x x+ − +
Si el grado del polinomio del dividendo es mayor o igual al grado del divisor, es posible obtener 
un cociente distinto de cero. En este caso, el dividendo tiene grado 3 y el divisor 1.
Se busca un monomio que multiplicado por 3x + tenga como coeficiente principal 
34x , en este 
caso 
24x cumple. Otra forma de verlo es hacer la división 
3
24 4x x
x
= .
 
24x
 
x
 
3+
 
34x 25x+
 
x−
 
8+
 
3(4x−
 
212 )x+
12
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
Se multiplica el monomio con el divisor, al resultado se le cambia de signos y se reduce con los 
términos semejantes. 
 
24x
 
x
 
3+
 
34x
 25x+ x−
 
8+
 
34x−
 212x−
 27x− x−
Se redujeron los términos semejantes, y el resultado es un polinomio de menor grado. Como el 
polinomio resultante es de grado mayor o igual al divisor, se repite el proceso. 
Ahora 
27 7x x
x
−
= − , con lo cual
 
 
 
x
 
3+
 
34x
 25x+ x−
 
8+
 
34x−
 212x−
 27x− x−
 27x+ 
21x+
 
20x+
 
8+
7x−24x
13
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
Por último 
20 20x
x
+
=
.
 
24x
 
 
x
 
3+
 
34x
 25x+ x−
 
8+
 
34x−
 212x−
 27x− x−
 27x+ 
21x+
 
20x+
 
8+
 
20x−
 
60−
 
52−
Note que el algoritmo se detiene, pues el grado del polinomio resultante es menor que el grado 
del divisor.
Por lo tanto:
 
3 2
23 4 8 524 7 20
3 3
x x x x x
x x
+ − + −
= − + +
+ +
Que equivalentemente es
 
 ( )( )
3 2 23 4 8 4 7 20 3 52x x x x+ − + = − + + −x x
Donde claramente se tiene el cociente 24 7 20x x− + y el residuo 52− .
 
7x−
20 20x
x
+
=
14
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
Ahora estamos listos para dar los siguientes pasos 
y no solo aprender más y mejor, sino entender 
nuestro entorno natural de mejor manera.
Conclusiones
15
TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
Autoridades
M.Sc. Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos
Rector
Arq. Carlos Enrique Valladares Cerezo
Secretario General
Dr. Olmedo Abihail España Calderón
Director General de Docencia
DIVISIÓN DE EDUCACIÓN A DISTANCIA EN ENTORNOS VIRTUALES 
DIRECCIÓN GENERAL DE DOCENCIA
Autor
M.A. Bayardo Arturo Mejía Monzón
Producción académica
M.Sc. Sonia Alejandra Recinos Fernández
Lcda. Madelline Cárcamo
Lic. Carlos Alberto Piñeiro Estrada
Lic. Ronald Oliverio Chubay Gallina
Lic. Erick Girón
Diagramación e ilustración
Lic. Edgar Armando Morales Cortez
Corrección de estilo
Lcda. María Mazariegos
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ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
ECUACIONES 
E INECUACIONES LINEALES 
Y CUADRÁTICAS
6Módulo 
2
ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
En este módulo aprenderemos a resolver algunas 
expresiones especiales que nos ayudan a 
encontrar soluciones para muchos problemas. 
Llamaremos ecuaciones lineales a todas aquellas 
cuyas variables tengan exponente 1, y a las 
que tengan como exponente 2, las llamaremos 
ecuaciones de segundo grado o cuadráticas.
No olvide que si quiere aprender, es necesario 
hacer muchos ejercicios, más tarde veremos 
que saber solucionar ecuaciones nos ayudará a 
resolver cierto tipo de problemas.
INTRODUCCIÓN
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ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICASMódulo 6
Cuando dos expresiones algebraicas se relacionan con el símbolo de la igualdad (=) se crea 
otra expresión algebraica que puede ser una identidad. Si la expresión es cierta para todo valor 
que se le dé a las variables, por ejemplo, la expresión 2+ =x x x , es cierta para cualquier valor 
de que se utilice, mientras que la expresión 2 3 11+ =x , solo es una expresiónverdadera cuando 
4=x .
A las expresiones que solo son ciertas para un determinado conjunto de valores, se les denomina 
ecuaciones. De acuerdo con la forma que tienen las ecuaciones, se clasifican, por ejemplo, en 
ecuaciones polinomiales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc. En las ecuaciones 
es importante identificar el miembro izquierdo de la igualdad, como la expresión algebraica que 
está en el lado izquierdo del signo igual, y el miembro derecho, como la expresión algebraica 
que está en el lado derecho del signo igual. En el ejemplo anterior:
 2 3 11+ =x
El miembro izquierdo es 2 3+x , mientras que el derecho es 11 . 
6.1 Ecuaciones lineales o ecuaciones de primer grado
Se denominan ecuaciones lineales a las ecuaciones de tipo polinomial de grado uno.
Para resolver este tipo de ecuaciones se utilizan dos reglas únicamente:
ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES 
Y CUADRÁTICAS
Ecuación lineal
REGLA 1
Se puede sumar (o restar) una misma expresión en ambos miembros de la ecuación.
REGLA 2
Se puede multiplicar (o dividir) una misma expresión no nula en 
ambos miembros de la ecuación.
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ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
Ejemplos
a) Resolver la ecuación 2 3 11+ =x .
Primero se busca que todos los términos con la variable x estén en un solo miembro de la ecuación 
y todos los términos que sean números únicamente en el otro miembro. Para ello se deben utilizar 
las dos reglas en un orden apropiado. Los pasos a realizar serían:
1. En el miembro izquierdo 2 3+x , hay un término con variable y otro que es un número únicamente, 
por lo que hay que transponer el número al miembro derecho, para lo cual se puede agregar -3 
en los dos miembros de la ecuación (regla 1).
 2 3 3 11 3+ − = −x
Lo cual deja
 2 8=x
2. Se tiene que en el miembro izquierdo de esta nueva ecuación la variable está multiplicada por 
2, por lo que hay que dividir ambos miembros entre 2 (regla 2).
 
Con lo cual 4.=x
b) Resolver la ecuación ( )3 4 5 2− = +x x .
Pasos a seguir:
1. Expandir el producto para tener todos los términos.
 
 
2. Dejar en un solo miembro los términos con x y en el otro los independientes.
 
 
3 4 5 10− = +x x
3 4 5 5 10 5− − = + −x x x x
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ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
Esta primera aplicación de la regla 1 elimina en el miembro derecho el término que tiene variable 
y al reducir términos semejantes en el miembro izquierdo queda: 
 2 4 10− − =x
Se repite la regla 1, ahora con los números.
 2 4 4 10 4− − + = +x
Con lo cual la ecuación se convierte en:
 
3. Se utiliza la segunda regla, y se divide entre 2− .
 
2 14
2 2
−
=
− −
x
Con lo cual la respuesta es:
 
c) El doble de un número desconocido, aumentado en 18 unidades, deja como resultado 38, 
¿cuál es el número? 
Es posible tratar de adivinar por ensayo y error o intuir la solución, pero lo más seguro es plantear 
una ecuación que modele el problema y lo resuelva. 
Considere la siguiente tabla.
Enunciado Expresión 
matemática
Número desconocido x
El doble del número 2x
Aumentar en 18 
unidades 18+
Uniendo todos los datos, se tiene que el doble de un número desconocido aumentado en 
18 unidades se escribe como 2 18+x , y dejar como resultado 38 consiste en igualar las dos 
expresiones. Esto deja la ecuación:
 2 18 38+ =x
2 14− =x
7= −x
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ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
Que se resuelve como
 2 18 18 38 18+ − = −x
 2 20=x 
 
2 20
2 2
=
x
Con lo cual 
 10=x
d) En la actualidad la edad de Luis es el triple de la de Pedro y dentro de 10 años será el doble. 
¿Cuantos años tienen ambos en la actualidad?
Enunciado Expresión matemática
Edad actual de Pedro x
Edad actual de Luis 3x
Edad de Pedro dentro de 10 
años
 10+x
El doble de la edad de Pedro 
en 10 años ( )2 10+x
Edad de Luis dentro de 10 años 3 10+x
Con estos datos se modela la expresión “Dentro de 10 años la edad de Luis será el doble de la 
edad de Pedro”. Esto deja la ecuación:
 ( )3 10 2 10+ = +x x
Que se resuelve así:
 3 10 2 20+ = +x x
 3 10 2 2 20 2+ − = + −x x x x
 
 10 20+ =x
 10 10 20 10+ − = −x
 10=x
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ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
Por lo que la edad actual de Pedro es de 10 años, entonces la edad de Luis es de 30 años. Es 
fácil ver que se cumplen las condiciones del enunciado, pues en 10 años, las edades van a ser 
20 años para Pedro y 40 años para Luis, que es el doble de la edad de Pedro.
e) En un número de dos dígitos, el digito de las decenas es 3 unidades menor que el de las 
unidades. Si el número excede en seis al cuádruplo de la suma de sus dígitos, encontrar el 
número.
Se debe elegir una variable, en este caso es un número de dos dígitos, pero hay que tener 
cuidado de escribir bien el número de dos cifras, si se escribe nm como el número de dos 
cifras, se puede entender como el producto de dos números n y m . La forma correcta es 
escribir nm , donde la barra indica que los números son dígitos (o que es periódico si fueran 
decimales). Otra forma de escribir un número de dos cifras nm es como 10 +n m , pues así 
queda claro que el dígito n se está multiplicando por 10 para ser decena.
Enunciado Expresión matemática
Dígito de las unidades x
Dígito de las decenas 3−x
Número desconocido de dos 
dígitos ( )10 3− +x x
Suma de dígitos del número
 ( )3− +x x
Cuádruplo de la suma de 
dígitos ( )( )4 3− +x x
Con lo cual la ecuación queda planteada como:
 ( ) ( )10 3 4 3 6− + = − + +x x x x 
Luego se resuelve: 
 10 30 4 12 4 6− + = − + +x x x x
 11 30 8 6− = −x x
 11 8 6 30− = − +x x
 3 24=x
 8=x
 3 5− =x
Entonces el número es 58. 
8
ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
f) La diferencia entre dos números es 8. El doble del mayor, aumentado en 2 unidades, se divide 
entre el menor, y como resultado se obtiene 5 exactos. ¿Cuál es el número mayor y cuál es el 
menor?
Eligiendo al mayor como la variable se tiene:
Enunciado Expresión matemática
Número mayor x
Número menor 8−x
El doble del mayor aumentado 
en 2
 2 2+x
Se divide el doble del mayor aumentado en 2 unidades, con el menor, y se e igualándolo a 5:
 
2 2 5
8
+
=
−
x
x
En este caso se tiene que no es posible transponer los número al miembro derecho, pues hay una 
división antes, por lo que primero se multiplica por ( )8−x .
 
( ) ( )2 2 8 5 8
8
+
− = −
−
x x x
x
 ( )2 2 5 8+ = −x x
 2 2 5 40+ = −x x
 2 5 40 2− = − −x x
 3 42− = −x
 14=x 
Por lo que el menor es 14 8 6− =
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ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
Fórmula cuadrática
6.2 Ecuaciones cuadráticas de segundo grado
Una ecuación cuadrática es una ecuación polinomial de segundo grado.
Donde los números , ,a b c son conocidos. Ejemplos de estas ecuaciones son:
 
2 2 223 2 0, 3 2 2 , 7 1 0
5
+ − = − = + − =x x m m k k
Existen diversos métodos para resolverlas, en este módulo se utilizará la fórmula general de 
segundo grado. Esto es:
2 4
2
− ± −
=
b b acx
a
Ejemplos
a) Resolver 
2 8 9 0− − =x x . 
Primero se identifican las variables , ,a b c , que son 1=a (coeficiente del término cuadrático), 
8= −b (coeficiente del término lineal) y 9= −c (término independiente), luego se calcula el 
valor numérico, sustituyendo los valores en la fórmula y entonces se tiene: 
 
( ) ( ) ( )( )
( )
28 8 4 1 9
2 1
− − ± − − −
=x
 
8 64 36
2
± +
=x
 
 
8 100
2
±
=x
 
 
8 10
2
±
=x
Ecuación cuadrática
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ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
Esta última expresión se divide en dos soluciones, una usando el signo positivo y otra usando el 
signo negativo. Entonces:
 
1 2
8 10 18 8 10 29 & 1
2 2 2 2
+ − −
= = = = = = −x x 
b) Resolver la ecuación 23 2 1− =n n .
Hay que fijarse en que la ecuación no está igualada a cero, por lo que no está en la forma 
estándar, primero hay que llevarla a esa forma. Entonces:
23 2 1 0− − =n n
De donde