FUNCION EXPONENCIAL

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FUNCION EXPONENCIAL 
Esta función se define por f: R → R+ y f(x) = a x, con a > 0 y a ≠ 1. 
Para la construcción de la gráfica damos valores arbitrarios a la variable x y obtenemos los 
valores correspondientes de las imágenes. Por ejemplo si a >1 y f(x) = 2x.. 
 
X -2 -1 0 1 2 
y 1/4 1/2 1 2 4 
 
 
 
Es una función estrictamente creciente, lo que asegura su inyectividad. Al restringir su conjunto 
de llegada a los reales positivos aseguramos su sobreyectividad, por lo tanto es una función biyectiva y 
posee inversa (la función logarítmica). Tiene como asíntota el eje de las abscisas. 
 
En cambio si 0 < a < 1, f(x)= (1/2)x 
 
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X -2 -1 0 1 2 
y 4 2 1 1/2 ¼ 
 
Es una función estrictamente decreciente, lo que asegura su inyectividad. Al restringir su 
conjunto de llegada a los reales positivos aseguramos su sobreyectividad, por lo tanto es una función 
biyectiva y posee inversa (la función logarítmica). Tiene como asíntota el eje de las abscisas. 
Recordar que la función exponencial :f +→ , f(x) = ax 
Dominio R 
Rango R+ 
Es continua, inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto es biyectiva. 
Tiene función inversa (la función logarítmica) 
Los puntos (0,1) y (1,a) pertenecen a la gráfica. 
Si a>1 la función es estrictamente creciente y si a<1 es estrictamente decreciente. 
Las curvas y=ax , y=(1/a)x son simétricas respecto al eje Y 
Tiene como propiedad característica que f( x1 + x2) = f(x1) * f(x2) 
No tiene asíntotas verticales 
 
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Fenómenos con crecimiento exponencial 
1. El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno. 
2. En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la tasa coincide 
con el índice de inflación. 
3. El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente con n. 
4. El número de bacterias que se reproducen por mitosis. 
5. El número de individuos en poblaciones de ecosistemas cuando carecen de depredador . 
La catástrofe malthusiana debe su nombre al demógrafo y economista político conservador Thomas 
Robert Malthus y la visión pesimista del crecimiento de población expuesta en su obra “Ensayo sobre 
el principio de la población”. Las tesis de Malthus aunque desajustadas a los hechos, tuvieron gran 
influencia política. Malthus llegó a afirmar que el crecimiento de la población libre de contenciones era 
un crecimiento exponencial, mientras que la producción de alimentos según su argumento era un 
crecimiento lineal. Puesto que la tasa de crecimiento de la población era más acelerada que la de 
alimentos a partir de un cierto umbral de población, Malthus pronosticó que habría una escasez de 
alimentos y una gran hambruna hacia mediados del siglo XIX. La gran hambruna predicha por Malthus 
jamás se produjo mostrando que los presupuestos lógicos de Malthus eran simplistas y en ocasiones 
hasta erróneos. 
La curva logística es un refinamiento del crecimiento exponencial. Cuando una magnitud crece en 
un sistema finito, a partir de cierto punto el tamaño finito del sistema limita el crecimiento de la 
magnitud al no existir recursos abundantes suficientes para seguir permitiendo el crecimiento 
exponencial. Un caso típico son los ecosistemas biológicos donde ciertas especies basan su 
supervivencia en altas tasas de reproducción o natalidad (estrategia r). Inicialmente cuando existe un 
pequeño número de individuos el crecimiento es exponencial, pero a partir de cierto momento el hecho 
de que los recursos alimentarios del territorio no sean infinitos "satura" el crecimiento. 
La teoría de selección r/K hipotetiza que las fuerzas evolutivas operan en dos direcciones diferentes: r 
ó K en relación con la probabilidad de supervivencia de individuos de diferentes especies de plantas y 
animales. 
 
 
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De acuerdo con la teoría de selección r/K: 
• Las especies que siguen una estrategia r producen numerosos descendientes, cada uno de los 
cuales posee una probabilidad de supervivencia baja, y la especie es poco dependiente del 
futuro de un pequeño número de individuos. 
• Las especies con estrategia K invierten gran cantidad de recursos en unos pocos descendientes, 
cada uno de los cuales tiene una alta probabilidad de supervivencia, esa estrategia puede 
resultar exitosa pero hace a la especie vulnerable respecto a la suerte de un pequeño número de 
individuos. 
Las plantas anuales o perennes, con abundantes semillas, pequeñas, sin compuestos secundarios ni 
otras defensas contra la depredación son típicas de estrategia r, v. gr., pinos, robles, ceibas, pastos y 
yerbas en general; mientras que árboles con pocas semillas, grandes, ricas en nutrientes, cargadas de 
alcaloides o con defensas mecánicas (espinas, cortezas duras…), son típicas de estrategia K, v. gr., 
palma de coco, aguacate, zapote… En forma análoga, los invertebrados terrestres y acuáticos, muchas 
especies de peces, producen innumerables propágulos que se dispersan pasivamente, sufren altas tasas 
de depredación -estrategia r, contrario a aves y mamíferos que invierten tiempo y energía en el cuidado 
de sus hijos, durante períodos prolongados, son el epítome de los estrategas K. Estos ejemplos subrayan 
el hecho de que r y K son extremos de un espectro de adaptaciones; de facto la mayoría de las especies 
tanto de plantas como de animales manifiestan estrategias intermedias. 
 Se escribe a continuación algunas de las propiedades de la potenciación: 
1) am an = am+n 
2) am/an = am-n 
3) ( am)n= am*n 
 
 
 
 
 
 
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FUNCION LOGARITMICA 
 Esta función se define por f: R+ →R y f (x) = logax, con a >0 y a ≠1. 
 La función logarítmica se presenta con diferentes bases, siendo la base “a” y el argumento x 
y = log2x base 2 
y = log x base 10, logaritmo decimal 
y = ln x base e, logaritmo natural o neperiano. 
 NOTA: La base 10 y e no se escriben, quedan sobreentendidas. 
 Para la construcción de la gráfica damos valores arbitrarios a la variable x y obtenemos los 
valores correspondientes de las imágenes. Por ejemplo si f(x)= log x 
X 1/4 1/2 1 2 3 
y -0,60 -0,30 0 0,30 0,47 
 
 
Es una función estrictamente creciente, lo que asegura su inyectividad. Al ser de su conjunto de 
llegada los reales es sobreyectiva, por lo tanto es una función biyectiva y posee inversa (la función 
exponencial). Tiene como asíntota el eje de las ordenadas. 
 
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Es una función estrictamente decreciente, lo que asegura su inyectividad. Al ser de su conjunto 
de llegada los reales es sobreyectiva, por lo tanto es una función biyectiva y posee inversa (la función 
exponencial). Tiene como asíntota el eje de las ordenadas. 
Recordar 
Dominio R+ 
Rango R 
Es continua, inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto es biyectiva. 
Tiene función inversa (la función exponencial) 
Los puntos (1,0) y (a,1) pertenecen a la gráfica. 
Si a>1 la función es estrictamente creciente y si a<1 es estrictamente decreciente. 
Las curvas y=loga x , y=log(1/a) x son simétricas respecto al eje X 
Tiene como propiedad característica que f( x1 * x2) = f(x1) + f(x2) 
No tiene asíntotas horizontales 
Los números negativos y el cero no tienen logaritmo 
Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2’718281... 
 
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 También se puede presentar como y = log (x + 1), y =log(x2 + 3x), y =ln (x2-1) –x. Para cada 
uno de estos casos se tiene que definir el dominio de la función. 
Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o 
incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: 
productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes. 
Se llama logaritmo en basea del número x al exponente b al que hay que elevar la base para 
obtener dicho número, log ba x b a= ↔ = x que significa "el logaritmo en base a del número x es b", o 
también "el número b es el logaritmo del número x respecto de la base a". 
La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del logaritmo. 
La operación logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el 
campo real cuando la base “a” del logaritmo y el número x son positivos, (siendo “a” distinto de 1) 
Algunas de las propiedades de los logaritmos son: 
1) loga1=0 
2) logaa=1 
3) log ( a • b) = log a + log b 
4) log (a / b ) = log a – log b 
5) log an= n log a 
6) 
n
aan loglog = 
7) aloga x=x 
Para cambiar un logaritmo de base a “a” la base “b” usamos loglog
log
b
a
b
xx
a
=