Analisis_y_Evaluacion_de_Proyectos_de_Inversion_by_Raul_Coss_Bu

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inversión
/ ) * ■ /
Análisis y evaluación de 
proyectos de inversión
Raúl Coss Bu
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL 
INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS 
SUPERIORES DE MONTERREY
a LIMUSA
NORIEGA EDITORES
MÉXICO • Esparta • Venezuela • Colombia
1 7 o o '
 
 
La presentación y disposición en conjunto de
ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE 
PROYECTOS DE INVERSIÓN
SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NlNGUNA PARTE DE 
ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANS­
MITIDA, MEDÍANTE NINGÚN SISTEMA O MÉTODO, 
ELECTRÓNICO O MECÁNICO (INCLUYENDO EL FOTO- 
COPIADO, LA GRABACIÓN O CUALQUIER SISTEMA DE 
RECUPERACIÓN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMA­
CIÓN), SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL 
EDITOR.
Derechos reservados:
© 1995, EDITORIAL LIMUSA, S.A. de C.V. 
GRUPO NORIEGA EDITORES 
Balderas 95, México, D.F.
C.P. 06040
® 521-21-05
B 512-29-03
CANIEM Núm. 121
Décima reimpresión
Hecho en México
A mi esposa Idalia 
y a mis hijos Kartita y Raulito
Prólogo
Este libro ha sido escrito teniendo como principal objetivo contribuir en mínima 
parte al desarrollo y estudio de esta materia. Además, puesto que la gran mayoría de los 
libros existentes relacionados con esta materia, están escritos en inglés, y los que están 
escritos en español son traducciones, con este libro se pretende dar una idea de la aplica­
ción de las técnicas de análisis y evaluación de proyectos dentro del contexto de nuestro 
país, es decir, a través de los ejemplos presentados a lo largo del texto, se intenta descri­
bir la situación actual de México, y no la de países extranjeros a los cuales pertenecen 
la gran mayoría de los autores relacionados con esta materia.
El contenido del libro es presentado a través de dieciséis capítulos. En los primeros 
doce capítulos se describen las principales técnicas que se utilizan para evaluar proyectos 
bajo certeza. En esta primera parte, además de presentar los métodos tradicionales de eva­
luación de proyectos, se da especial atención y se enfatiza el impacto que la inflación 
tiene en el rendimiento de un proyecto y en el costo de la fuente utilizada para financiar­
lo. En la segunda parte del libro, se describen y explican a través de ejemplos Sencillos, las 
técnicas más utilizadas para manejar el riesgo y la incertidumbre que es inherente a todo 
nuevo proyecto de inversión.
El desarrollo de este libro ha sido influenciado por dos factores. El primero se refie­
re a la gran cantidad de experiencias y opiniones recopiladas en el salón de clase, y en las 
enseñanzas obtenidas de varios maestros y amigos, como: Dr. Alberto Sabino Paria, Dr. 
Fernando González, Robert Oakford, Grant Ireson, etc. El segundo se refiere a las expe­
riencias prácticas obtenidas en el análisis y evaluación de nuevos proyectos de inversión 
reales. En este aspecto agradezco profundamente al Sr. Fernando Díaz Villanueva la gran 
oportunidad que me brindó para adquirir experiencia práctica en esta materia.
Enumerar todas las personas que contribuyeron directa o indirectamente al desarro­
llo de este libro podría ser interminable. Sin embargo, merecen especial mención, Martha 
Graciela Serna Ríos, quien se encargó de mecanografiar el manuscrito de este libro, y Ro­
lando Santos y Celso Ramírez quienes se encargaron de desarrollar las tablas de interés.
7
8 Prólogo
Finalmente, agradezco profundamente a mi esposa Idalia su paciencia durante la 
preparación de este libro. Ella demostró gran interés durante el desarrollo del libro al pre­
guntar constantemente: “Si sabes mucho sobre evaluación de nuevas inversiones, ¿por qué 
no somos ricos?”
Raúl Coss Bu
Contenido
1. INTRODUCCION 15
1.1. Identificación de alternativas. 15
1.2. Consecuencias cuan tifie ables. 16
1.3. Consecuencias no cuantificables 16
1.4. Análisis délas alternativas. 16
1.5. Control déla alternativa seleccionada. 17
2. VALOR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO 19
2.1. Valor del dinero a través del tiempo. 19
2.2. Interés simple e interés compuesto. 19
2.3. Fórmulas de equivalencia asumiendo interés compuesto discreto. 20
2.3.1. Flujos de efectivo únicos. 20
2.3.2. Series uniformes de flujos de efectivo. 22
2.3.2.1. Valor futuro de una serie uniforme de flujos
de efectivo. 22
2.3.2.2. Valor presente de una serie uniforme de flujos
de efectivo. 24
2.3.3. Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y
geométricos. 25
2.3.3.1. Gradientes aritméticos. 25
2.3.3.2. Gradientes geométricos 27
2.4. Interés nominal e interés efectivo. 29
2.5. Interés real. 31
2.6. Fórmulas de equivalencia asumiendo interés compuesto continuo 33
2.6.1. Flujos de efectivo únicos. 33
2.6.2. Series uniformes de flujos de efectivo. 34
9
10 Contenido
2.6.2.1. Valor futuro de una serie uniforme de flujos 
de efectivo.
2.6.2.2 Valor presente de una serie uniforme de 
flujos de efectivo.
2.6.3. Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y 
geométricos. /
2.6.3.1. Gradientes aritméticos.
2.6.3.2. Gradientes geométricos
Fórmulas de equivalencia suponiendo que los flujos de efectivo 
son a través del período.
2.7.1. Valor presente de un flujo de fondos.
2.7.2. Valor futuro de un flujo de fondos.
3. METODO DEL VALOR ANUAL EQUIVALENTE
3.1. Análisis y evaluación de un proyecto individual.
3.2. Selección de alternativas mutuamente exclusivas.
3.2.1. Los ingresos y gastos son conocidos.
3.2.2. Solamente los gastos son conocidos.
3.2.3. Las vidas de las alternativas son diferentes.
3.3. Selección de alternativas mutuamente exclusivas cuando más de dos 
alternativas son consideradas.
3.4. Anualidades de inversiones de larga vida.
4. METODO DEL VALOR PRESENTE
4.1. Análisis y evaluación de un proyecto individual.
4.2. Selección de proyectos mutuamente exlcusivos. 
4.2:1. Valor presente de la inversión total.
4.2.2. Valor presente del incremento en la inversión.
4.3 Inconsistencia del método del valor presente al comparar 
alternativas mutuamente exclusivas.
5. METODO DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO
PARTE 1. PROYECTOS CON UNA SOLA TASA INTERNA 
DE RENDIMIENTO
5.1. Tasa interna de rendimiento (TIR)
5.2. Significado de la tasa interna de rendimiento.
5.3. Evaluación de un proyecto individual.
5.4. Evaluación de proyectos mutuamente exclusivos.
PARTE 2. PROYECTOS CON MULTIPLES TASAS INTERNAS DE 
RENDIMIENTO
Contenido 11
5.5. Proyectos sin tasas internas de rendimiento. 81
5.6. Proyectos con una sola tasa interna de rendimiento. 81
5.7. Proyectos con múltiples tasas internas de rendimiento. 81
5.8. Algoritmo de James C. T. Mao. 82
5.8.1. Clasificación de los proyectos. 82
5.8.2. Descripción del algoritmo. 84
6. CONSIDERACION DE IMPUESTOS EN ESTUDIOS ECONOMICOS 91
6.1. Depreciación — qué significa. 91
6.2. Métodos de depreciación. 92
6.3. Ganancias y pérdidas extraordinarias de capital. 94
6.4. Tasa interna de rendimiento y valor presente después de impuestos. 96
6.5. Certificados de promoción fiscal (CEPROFI). 101
6.6. Depreciación acelerada. 105
7. TECNICAS DE ANALISIS EN ESTUDIOS DE REEMPLAZO 113
7.1. Consideraciones de un estudio de reemplazo. 113
7.1.1. Causas que originan un estudio de reemplazo. 113
7.1.2. Factores a considerar en un estudio de reemplazo. 115
7.1.3. Tipos de reemplazo. 116 x
7.2. Determinación de la vida económica de un activo. 116
7.3. Análisis de reemplazo del activo actual. 120
7.3.1. Vida del defensor mayor o igual ala vida económica del
retador. 121
7.3.2. Horizonte de planeación conocido. 122
7.4. Conclusiones. 125
8. SELECCION DE PROYECTOS EN CONDICIONES LIMITADAS
DE PRESUPUESTO 129
8.1 Generación de alternativas mutuamente exclusivas. 130
8.2. Selección entre muchos proyectos con restricciones. 134
8.3. Formulación con programación entera. 134
8.3.1. Construcción del modelo sin considerar pasivo. 135
8.3.2. Construcción del modelo considerando incrementos en el
pasivo e inversiones líquidas. 138
8.3.3. Utilidad y aplicabilidad. 139
8.4. Métodos de selección aproximados. 139
8.4.1. Ordenado por tasa interna de rendimiento. 141
A) Asignación de recursos en una corporación formada
por dos divisiones. 141B) Asignación de recursos en una corporación formada
por muchas divisiones. 143
8.4.2. Ordenado del valor presente por peso invertido. 143
12 Contenido
8.4.3. Ordenados combinados. 144
8.5. Decisiones secuenciales vs. decisiones en grupo. 145
9. EVALUACION DE PROYECTOS DE INVERSION EN SITUACIONES
INFLACIONARIAS 151
9.1. Inflación — qué significa. 151
9.2. Efecto de la inflación sobre el valor presente. 152
9.3. Efecto de la inflación sobre la tasa interna de rendimiento. 153
9.4. Efecto de la inflación en inversiones de activo fijo. 154
9.5. Efecto de la inflación en inversiones de activo circulante. 159
9.6. Efecto de la inflación en nuevas inversiones con diferentes proporciones
de activo circulante. 160
9.7. Efecto de la inflación en activos no depreciables. 162
9.8. Inflación diferencial. 165
9.9. Conclusiones. 167
10. COSTO DE CAPITAL 171
10.1 Costo de capital — cómo se calcula. 172
PARTE 1. COSTO DE CAPITAL DE FUENTES EXTERNAS 173
10.2. Proveedores. 173
10.3. Préstamos bancarios de corto plazo. 174
10.4. Pasivo alargo plazo. 176
Obligaciones. 176
Crédito hipotecario industrial. 179
Crédito hipotecario normal. 179
Crédito hipotecario con inflación. 180
Crédito hipotecario con tasas flotantes e inflación. 181
Crédito hipotecario con cambios de paridad e inflación. 184'
Crédito hipotecario con deslizamiento e inflación 185
Crédito hipotecario con tasas flotantes, inflación y cambios
de paridad. 186
Arrendamiento financiero. 187
PARTE 2. COSTO DE CAPITAL DE FUENTES INTERNAS 192
10.5. Acciones preferentes. 192
10.6. Acciones comunes. 194
10.7. Utilidades retenidas. 196
10.8. Costo ponderado del capital. 197
10.9. Conclusiones. 198
APENDICE “A” al capítulo 10. Amortización creciente,
un nuevo método de amortización 203
Contenido 13
A. 10.1 Introducción 205
A.l 0.2 Análisis comparativo de los métodos tradicionales 
de amortización 205
A. 10.2.1 Flujo de efectivo cuando la amortización es constante 205
A.l 0.2.2 Flujo de efectivo cuando el capital se amortiza en partes 
iguales y los intereses son sobre saldos insolutos 206
A.l 0.2.3 Flujo de efectivo cuando la amortización es en forma 
creciente, pero con valor presente constante 208
A.l 0.2.4 Comparación de los flujos de efectivo que resultan con 
cada forma de amortización 210
A. 10.3 Costo después de impuestos que se obtiene con los diferentes métodos 
de amortización 213
A.l 0.3.1 Costo después de impuestos cuando la amortización 
es constante 213
A.1 0.3.2 Costo después de impuestos cuando el capital se amortiza 
en partes iguales y los intereses son sobre saldos insolutos. 213 
A.l 0.3.3 Costo después de impuestos cuando la amortización es en 
forma creciente pero con valor presente constante 214
A.l 0.4 Costo después de impuestos que se obtiene en los diferentes métodos 
de amortización, al considerar la inflación 215
A. 10.5 Conclusiones 217
Saldo del crédito cuando la amortización de capitale interés es 
constante 218
11. EFECTO DE LA INFLACION EN EL RENDIMIENTO DE UN PROYECTO
Y EN EL COSTO DE LA FUENTE UTILIZADA PARA FINANCIARLO 221
11.1. Efecto de la inflación sobre el rendimiento de un proyecto. 222
11.2. Efecto de la inflación sobre el costo de un crédito hipotecario. 222
11.3. Efecto de la inflación en la aceptación de un proyecto de inversión. 223
11.4. Conclusiones 227
12. DISTINCION ENTRE DECISIONES DE INVERSION Y DECISIONES
DE FINANCIAMIENTO 229
12.1. Decisión de inversión y decisión de financiamiento. 229
12.2. Combinación de la decisión de inversión y la decisión de
financiamiento. 232
12.3 Conclusión. 237
13. ANALISIS DE SENSIBILIDAD 239
13.1. Sensibilidad de una propuesta individual. 239
13.2. Isocuanta de una propuesta individual. 245
13.3. Sensibilidad de varias propuestas. ’ 248
13.4. Conclusiones. 250
14 Contenido
14. ARBOLES DE DECISION 253
14.1. Arboles de decisión. 253
14.2. Conclusiones. 259
15. ANALISIS DE RIESGO 263
15.1. Distribuciones de probabilidad más utilizadas en análisis de riesgo. 264
15.1.1. Distribución normal. 264
15.1.2. Distribución triangular. 265
15.2. Teorema del límite central. 267
15.3. Distribución de probabilidad del valor presente neto. 267
15.4. Distribución de probabilidad del valor anual equivalente. 272
15.5. Distribución de probabilidad de la tasa interna de rendimiento. 273
15.6. Conclusiones. 275
16. SIMULACION 279
16.1. Ideas básicas en análisis de riesgo. 279
16.2. Lógica de la simulación. 280
16.3. Conclusiones. 288
APENDICE A. INTERES COMPUESTO DISCRETO 291
APENDICE B. INTERES COMPUESTO CONTINUO 317
APENDICE C. FLUJOS DE FONDOS 343
APENDICE D. SOLUCIONES A PROBLEMAS 363
APENDICE E. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 371
1
Introducción
Este libro es en última instancia, una presentación de algunas técnicas utilizadas en 
el proceso de toma de decisiones. Aun cuando el grueso de este libro se limita a cierto 
tipo de decisiones, es de cualquier modo conveniente decir algunas ideas sobre decisiones 
en general.
El hecho de que a lo largo de nuestra vida debemos tomar un sinnúmero de decisio­
nes, podría hacernos pensar que el dirigir esfuerzos a estudiar algo que todo mundo hace, 
es perder el tiempo. Sin embargo, la mayor parte de las decisiones que tomamos son tri­
viales, esto significa que no se requiere de ningún procedimiento formal o estructurado 
para tomarlas. Además, cuando las decisiones son triviales, las consecuencias de no tomar 
la mejor decisión son despreciables. Por el contrario, cuando tenemos que tomar una deci­
sión importante, no debemos proceder de igual manera, es decir, no debemos tomar la 
decisión de una manera intuitiva, sino que debemos establecer un procedimiento gene­
ral que nos ayude a seleccionar la decisión que producirá los mejores resultados para no- 
• sotros.
1.1 IDENTIFICACION DE ALTERNATIVAS
Cuando nos enfrentamos a una decisión, lo primero que tenemos que hacer es deter­
minar los posibles cursos de acción que se pueden seguir. La existencia de diferentes cursos 
de acción es un requisito indispensable en el proceso de toma de decisiones. Cuando sólo 
se tiene una sola alternativa de decisión, no es necesario perder tiempo en analizar cómo 
proceder; se deberá seguir la única alternativa existente.
Este' paso del proceso de toma de decisiones requiere que se generen todas las alter­
nativas disponibles. Lo anterior significa que se debe tener mucho cuidado en tratar de 
incluir ^odas las alternativas. Para esto, debemos estar capacitados para reconocer cuan­
do ya se han agotado los diferentes cursos de acción a través de los cuales una decisión 
puede ser tomada. La recomendación anterior es muy importante, puesto que sería muy 
indeseable descubrir una mejor forma de hacer las cosas, después de habernos comprome­
tido irreversiblemente en otro curso de acción.
Se ha dicho que es recomendable generar todas las alternativas disponibles para una 
determinada decisión. Sin embargo, esto no significa que siempre estaremos generando
15
16 Introducción
nuevas alternativas, y postergando por consiguiente la decisión, sino por el contrario, tam­
bién vale la pena preguntarnos cuándo vamos a dejar de generar alternativas y empezar a 
analizar las disponibles. La respuesta a la pregunta anterior es clave, ya que de otra mane­
ra el proceso de toma de decisiones sería demasiado lento.
1.2 CONSECUENCIAS CUANTIFICABLES
Una vez que se han generado todas las alternativas a analizar, el siguiente paso es de­
terminar las consecuencias cuantificables de cada alternativa, es decir, es necesario evaluar 
todo aquello que sea factible de cuantificar. Si aplicamos estas ideas generales en la eva­
luación de proyectos de inversión, entonces, después de generar las alternativas con las 
cuales se puede realizar el proyecto, se debe tratar de expresar en términos monetarios 
las consecuencias de cada curso de acción.
Es muy importante distinguir claramente cuáles resultados son relevantes. Lo que es 
común a todas las alternativas bajo análisis es irrelevante. Por ejemplo, si en la compra de 
cierto equipolos ingresos son independientes del tipo de equipo, entonces, en el análisis 
del tipo de equipo a adquirir, los ingresos serían irrelevantes y sólo se deben considerar 
los costos que se tendrían con cada tipo diferente de equipo. También es importante seña­
lar que el pasado por ser común a todas las alternativas es irrelevante. El único valor que 
puede tener el pasado es para ayudarnos a predecir el futuro.
1.3 CONSECUENCIAS NO CUANTIFICABLES
Al analizar las diferentes alternativas disponibles, es muy común encontrar factores 
que son importantes pero que no se pueden medir monetariamente. Por ejemplo, todos 
sabemos que un Renault Mirage es más económico que un LeBaron; sin embargo, muchas 
veces la gente se decide por comprar un LeBaron, ya sea porque le gusta más, o porque 
es de más “status” tener este tipo de carro.
Aun cuando no es posible medir cuantitativamente ciertos factores relevantes, éstos 
deben ser considerados en el análisis antes de tomar la decisión. Normalmente lo que se 
hace es seleccionar aquellas alternativas que presenten las mayores ventajas monetarias^ 
a menos de que los factores imponderables pesen más que los que se pueden evaluar obje­
tivamente.
1.4 ANALISIS DE LAS ALTERNATIVAS
Una vez que las alternativas han sido generadas y sus consecuencias cuantificables 
evaluadas, el siguiente paso es utilizar algún procedimiento general que ayude a seleccio­
nar la mejor de ellas. El grueso de este libro precisamente está dedicado a indicar cómo se 
deben comparar estas alternativas.
En la evaluación de las alternativas se tomará el punto de vista de un analista y no el 
de un ejecutivo. Lo anterior significa que el analista es responsable de hacer un análisis 
que soporte mejor la decisión del ejecutivo, el cual antes de tomar la decisión deberá 
considerar los factores imponderables.
Aun cuando el resto del libro está dedicado al análisis de alternativas, es conve-
Control de la alternativa seleccionada 17
niente mencionar algunas consideraciones generales que debemos seguir cuando las anali­
zamos.
La primera establece que es necesario hacer una diferenciación con respecto al ta­
maño de los proyectos a analizar, es decir, no podemos utilizar el mismo método de análi­
sis o asignar la misma cantidad de recursos, cuando se está decidiendo comprar una máquina 
de escribir, que cuando se desea incursionar en nuevos mercados con nuevas líneas de 
productos.
El análisis de las alternativas como cualquier otro estudio, requiere de recursos para 
realizarse. Por consiguiente, debemos de preguntarnos ¿cuánto estamos dispuestos a 
gastar en el análisis? La respuesta es simple: nunca debemos gastar más de los benefi­
cios que esperamos recibir. Lo anterior significa que las decisiones poco importantes, donde 
una mala decisión no tenga consecuencias desastrosas, deberán tomarse después de un 
análisis muy superficial.
Por otra parte, otra consideración que debemos tomar en cuenta son los diferen­
tes métodos de análisis, de los cuales podemos distinguir: los empíricos y los cuantitativos. 
La diferencia entre estos métodos estriba en que en estos últimos se utilizan técnicas nu­
méricas que nos ayudan a visualizar mejor las diferencias entre las alternativas, mientras 
que con los primeros solamente se hace una evaluación subjetiva de dichas diferencias. Lo 
anterior significa que el usar métodos cuantitativos nos lleva a ser más consistentes en nues­
tras decisiones, porque siempre se usaría la misma lógica para arribar a la decisión reco­
mendada. Además, es de esperarse que el usar procedimientos lógicos, basados en cálculos 
matemáticos, nos ayudará consistentemente a tomar mejores decisiones.
Finalmente, es conveniente decir algunas ideas sobre lo que es una buena decisión. 
Debemos distinguir entre una buena decisión y un buen resultado. Para la mayoría de las 
personas esta distinción no es fácil de hacer. Una buena decisión es una basada en la infor­
mación disponible y tomada después de un análisis lógico que considere todas las conse­
cuencias de las diferentes alternativas. Sin embargo, una buena decisión no necesariamente 
producirá buenos resultados, y una mala decisión puede producir buenos resultados, esto 
es, nadie espera que una persona obtenga buenos resultados de todas y cada una de las 
decisiones que tome, sin embargo, si una persona toma consistentemente buenas decisio­
nes, entonces, tendrá un alto porcentaje de buenos resultados.
1.5 CONTROL DE LA ALTERNATIVA SELECCIONADA
Procedimientos para seguir y controlar las propuestas de inversión seleccionadas, 
aseguran el logro de las metas fijadas por la organización y permiten mejorar el proceso de 
planeación al eliminar aquellas estrategias que conducen ala organización hacia un objetivo 
no planeado y no deseado.
Mediante procedimientos de seguimiento y control del proyecto seleccionado, es 
posible comparar la inversión actual, los ingresos netos obtenidos, y el rendimiento real 
obtenido, con las estimaciones de inversión, ingresos netos y rendimiento esperado del 
proyecto. Estos procedimientos de seguimiento y control de las inversiones es muy reco­
mendable que sean implantados en toda organización, pues permiten comparar los 
resultados obtenidos con los planeados. Cuando sistemáticamente los costos incurridos 
en un proyecto de inversión son mayores que los estimados, entonces es obvio que el ren­
dimiento real obtenido en este proyecto será mucho menor que el esperado. Para este tipo 
de situaciones, vale la pena preguntarse si los procedimientos de evaluación que se utilizan
18 Introducción
son los adecuados, o si vale la pena ser más pesimista al estimar las inversiones, ingresos y 
gastos del proyecto de inversión.
Para .implantar procedimientos de seguimiento y control de las inversiones, se re­
comienda emitir reportes periódicos durante la vida de la inversión y al término de ésta. 
Con los reportes que se emitan durante la vida del proyecto, se podrá cambiar de direc­
ción, o establecer medidas correctivas que encaucen o dirijan a la organización hacia los 
objetivos planeados. Con el reporte emitido al final de la vida de la propuesta, se podrá 
evaluar qué tan alejado se está de los objetivos planeados.
Los procedimientos de seguimiento y control no tienen como objetivo señalar al 
responsable de los errores ocurridos, sino evitar que estos mismos errores se vuelvan a co­
meter en el futuro. Además, cuando estos procedimientos son implementados, la alta 
administración de una organización está en una mejor posición de evaluar el riesgo y la 
incertidumbre inherente a todo proyecto de inversión.
2
Valor del dinero a través del tiempo
La palabra interés significa la renta que se paga por utilizar dinero ajeno, o bien 
la renta que se gana al invertir nuestro dinero. Puesto que estas dos situaciones se presen­
tan en innumerables formas, es conveniente desarrollar una serie de fórmulas de equivalencia 
con las cuales se pueda evaluar más exactamente: el rendimiento obtenido en una deter­
minada inversión, o el costo real que representa una determinada fuente de financiamiento. 
Por consiguiente, el objetivo de este capítulo es presentar las fórmulas de equivalencia 
más utilizadas considerando interés compuesto, tanto discreto como continuo, así como 
también flujos de fondos.
2.1 VALOR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO
Puesto que el dinero puede ganar un cierto interés, cuando se invierte por un cierto 
período usualmente un año, es importante reconocer que un peso que se reciba en el 
futuro valdrá menos que un peso que se tenga actualmente. Es precisamente esta relación 
entre el interés y tiempo lo que conduce al concepto del valor del dinero a través del tiem­
po. Por ejemplo, un peso que se tenga actualmente puede acumular intereses durante un 
año, mientras que un peso que se reciba dentro de un año no nos producirá ningún rendi­
miento. Por consiguiente, el valor del dinero a través del tiempo significa que cantidades 
iguales de dinero no tienen el mismovalor, si se encuentran en puntos diferentes en el 
tiempo y si la tasa de interés es mayor que cero.
2.2 INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO
La diferencia fundamental entre interés simple e interés compuesto estriba en el 
hecho de que cuando se utiliza interés compuesto, los intereses a su vez generan intereses, 
mientras que cuando se utiliza interés simple los intereses son función únicamente del prin­
cipal, el número de períodos y la tasa de interés.
Para ilustrar la diferencia entre estos dos conceptos, suponga que se han pedido pres-
19
20 Valor del dinero a través del tiempo
tados $1,000 para pagarlos dentro de dos años a una tasa de interés del 10% . Si se utiliza 
interés simple, entonces, la cantidad a pagar sería:
1000 4- 1000 (2) (.1)= 1200
Por otra parte, si se utiliza interés compuesto, el adeudo al final del segundo año se­
ría como se muestra a continuación:
Año
Adeudo al 
principio
del año In tereses
Adeudo 
al final 
del año
1 1000 100 1100
2 1100 110 1210
Como se puede observar, existe una diferencia entre los adeudos obtenidos median­
te estos dos enfoques. Esta diferencia se debe precisamente a los intereses ($10) que pro­
dujeron los intereses ($100) generados en el primer año.
23 FORMULAS DE EQUIVALENCIA ASUMIENDO INTERES 
COMPUESTO DISCRETO
Puesto que el interés compuesto es más frecuentemente encontrado en la práctica 
que el interés simple, a lo largo de este capítulo se supondrá que el interés es compuesto, 
a menos de que se especifique lo contrario. También en esta sección se va a suponer que 
los períodos de interés son discretos, es decir, las tasas de interés utilizadas serán anuales, 
semestrales, mensuales, etc. Bajo estas suposiciones, en esta sección se van a desarrollar 
fórmulas de equivalencia que relacionan flujos de efectivo únicos, series uniformes de flu­
jos de efectivo y flujos de efectivo con gradientes aritméticos y geométricos.
23.1 Flujos de efectivo únicos
Para desarrollar la fórmula de equivalencia que relaciona una cantidad presente con 
una cantidad futura, veamos primero la figura 2.1. En esta figura, P representa el desem­
bolso inicial, el cual ocurre al principio del primer período, Fia cantidad que se va a recu­
perar al final del período n, y n es el número de períodos durante los cuales se está ganando 
una tasa de interés de z% . Puesto que el interés es compuesto, la cantidad acumulada al 
final del primer período sería P 4- /¥, la cual es equivalente a P (1 4- z), y la cantidad acu­
mulada al final del segundo período, sería la cantidad que se tiene al principio del segundo 
período (final del primer período) P (1 4- z), más los intereses generados por esta cantidad 
P (1 4- i )i, es decir, la cantidad acumulada al final del segundo período sería P (1 4- z)2 . Si­
guiendo esta misma lógica se pueden seguir obteniendo las cantidades que se acumulan al 
final de los siguientes períodos (ver tabla 2-1). De esta tabla se puede observar que la 
fórmula que relaciona una cantidad presente con una cantidad futura es:
Formulas de equivalencia 21
f=p(i+íji (2.1)
esto es, para obtener la cantidad que se acumula después de n períodos a una tasa de inte 
rés de i% , solamente se multiplica la cantidad presente P por el factor (1 + i)n, el cual ge 
neralmente se denota por (F/P, i%, tí).
1 2 3 n — 1 n
P
FIGURA 2.1. Diagrama de flujo que relaciona un valor presente con un valor futuro.
TABLA 2-1. Desarrollo del factor que relaciona una cantidad presente con una 
cantidad futura.
Ano Cantidad 
acumulada 
al principio 
del año
Intereses 
ganados
Cantidad
acumulada
al final 1
del año
1 P Pi P+Pi =P(1 +0
2 p(\+i) p (1 + 0 i p(i +¡) + P(i + 0 i =P(1 + ¡)2
3 P(1 +¿)2 P(1 + í)2¿ P(1 + í)2 +P(1 +Í)2Í =P(1 + »)3
n P (1 + ¿)”_1 p (1 +í)”_1í P(i + ¡)"’1 + P(l +o"-1í =P(1 +(•)"
También la ecuación (2.1) puede ser presentada en la forma siguiente:
P = F—^------
(1+zf
(2.2)
la cual se utilizará para determinar la cantidad presente que se tiene que invertir durante n 
períodos a una tasa de interés de i%, para acumular una cantidad F. Al factor 1/(1 + i)n 
se le denota por (P/F, i %, ri). Este factor al igual que el anterior y los próximos a derivar, se 
pueden encontrar en tablas (ver apéndice), o bien muchas de las calculadoras de bolsillo 
producidas por la Hewlett Packard o por la Texas lnstruments, tienen la facilidad de 
obtenerlos directamente.
Ejemplo 2.1
Una persona pide prestado la cantidad de $1000 para pagarla dentro de 5 años a 
una tasa de interés del 20% anual. ¿Cuánto pagaría esta persona al final del quinto año?
22 Valor del dinero a través del tiempo
Utilizando la ecuación (2.1) tenemos:
F = 1000 (1 + 0.2)s
F= 1000 (2.4883) = 2488.30
esto es, la cantidad a pagar al final del quinto año sería de $2488.30.
2.3.2 Series uniformes de flujos de efectivo
Existen situaciones tales como: depósitos constantes al final de cada período, o 
percepción de ingresos constantes al final de cada período, en las cuales es conveniente 
derivar fórmulas para obtener la equivalencia de estos flujos en el presente, o bien su equi­
valencia en el futuro.
2.3.2.1 Valor futuro de una serie uniforme de flujos de efectivo
Para determinar la equivalencia en el futuro de una serie uniforme de flujos de efec­
tivo, es necesario introducir una nueva variable, la cual denotaremos por A (ver figura 2.2) 
Esta variable representa el flujo neto al final del período, el cual ocurre durante n perío­
dos. Por consiguiente, la cantidad acumulada F al final del año n, se puede obtener al su­
mar la equivalencia (al final del período tí) de cada una de las A ’s.
FIGURA 2.2. Diagrama de flujo que relaciona una cantidad futura con una 
serie uniforme de flujos de efectivo.
Por ejemplo, la equivalencia de la última A en el tiempo n es A, puesto que este flujo no 
produce ningún interés. Sin embargo, la penúltima A produce intereses durante un perío­
do, por lo cual su equivalencia en el tiempo n es A (1 + z). Siguiendo esta misma lógica, la 
primera A produce intereses durante n — 1 períodos por lo cual su equivalencia en el tiempo 
n es A (1 + z)”"1. Sumando las equivalencias de las n A’s encontramos:
F = A (1 +(1 +z) + (l +i)2 + • • +(1 +0" _1)
la cual se reduce a:
F = A (-0 +F ~ 1 ) 
i
F = A(F/A, i%, n)
(2.3)
Fórmulas de equivalencia 23
La ecuación (2.3) también puede ser expresada en la forma siguiente:
X=F (--------------i--------- 1)
(1 + i/* - 1
(2-4)
Ó
A=F(A¡Ft i%, n)
esto es, con esta última expresión se trata de determinar el flujo neto A al final de cada 
período durante n períodos, que es necesario desembolsar, para acumular al final del pe­
ríodo n una cantidad F.
Ejemplo 2.2
Un estudiante del ITESM que actualmente está cursando su último semestre de la 
carrera, y que paga actualmente una colegiatura de $250,000; desea conocer lo que sus 
futuros hijos pagarán de colegiatura semestral en el ITESM. Para esto se va a asumir que 
la colegiatura aumentará 20% por semestre y que su primer hijo ingresará al ITESM a cur­
sar una carrera profesional dentro de 20 años.
Utilizando la ecuación (2.1) tenemos:
F= 250,000(1 + ,2)40 = 5367,442,900
Ejemplo 2.3
Considere usted que en este momento tiene $250,000 que a la paridad actual equi­
valen a 1,000 Dlls. Si los bancos en México pagan un interés anual de 50% en depósitos 
a un año, y los bancos en U.S.A. pagan un 10% anual en depósitos similares, ¿cuál es el 
deslizamiento diario a partir del cual conviene depositar nuestro dinero en U.S.A.? 
Utilizando la ecuación (2.1) tenemos:
^MEXICO = 250,000 (1 T .5) = 375,000 pesos
lo cual se reduce a:
fu.s.a. 1,000(1 + .1) = 1,100 doláres
si se igualan las dos ecuaciones anteriores y se considera a d como el deslizamiento diario, 
se obtiene lo siguiente:
V r -
1,100(250 + 365d) = 375,000
24 Valor del dinero a través del tiempo
Ejemplo 2.4
Una persona deposita al final de cada mes, durante dos años, la cantidad de $1000. 
Si la cuenta de ahorros paga el 1.5%mensual, ¿cuánto se acumularía al final del segundo 
año?Utilizando la ecuación (2.3) se tienr
F=1000 (-^ + -015) 4 - )
.015
F = 1000 (28.6335) = 28,633.5
esto es, al final del segundo ano se habrá acumulado la cantidad de $28, 633.50
23.2.2 Valor presente de una serie uniforme de flujos de efectivo
La figura 2.3 muestra un diagrama de flujo que relaciona una cantidad en el presen­
te con una serie uniforme de flujos de efectivo. Para determinar la equivalencia en el tiempo 
cero de estos flujos netos al final de cada período durante n períodos, se puede proceder 
en igual forma que en el inciso anterior, es decir, la equivalencia en el tiempo cero de esta 
serie uniforme de flujos de efectivo, se puede obtener al sumar la equivalencia en el tiem­
po cero de cada una de las n A k
FIGURA 2.3. Diagrama de flujo que relaciona una cantidad presente con una serie 
de flujos de efectivo.
Por ejemplo, la equivalencia en el tiempo cero del primer flujo es A/(l + z) y la equivalen­
cia del segundo esj4/(l + í)2. Siguiendo esta misma lógica, la equivalencia del último flujo 
en el tiempo cero es A 1(1 4- z)n. Sumando todas estas equivalencias encontramos:
P = A (----- 1--- +------- í-----+ .. . + _____ 1___
(1+í) (1+02 (1+0"
y simplificando la expresión anterior se obtiene:
P = A (-^ + ~ 1 )
z (1 +0"
(2-5)
Fórmulas de equivalencia 25
o
P=A(P/A, i%, ri)
también la ecuación (2.5) se puede poner en la forma siguiente:
A =P
1 (1 + /)” - 1 ’
/ kjO Al ' 0**^ E G>o\uA¿f^‘1 (2.6)
O
A = P (A/P, i%, n)
la cual se utiliza para determinar la cantidad A que se recibiría (pagaría) al fmal de cada 
período durante n períodos, si en el tiempo cero se invierte (recibe) una cantidad P.
Ejemplo 2.5
Una persona deposita $100,000 en una cuenta que paga el 5% semestral. Si esta 
persona quisiera retirar cantidades iguales al final de cada semestre durante 5 años, ¿de 
qué tamaño sería cada retiro?
Sustituyendo esta información en la ecuación (2.6) se tiene:
A = 100,000 (--05 o + -05)1 °_)
(1 + .05)*0 - 1
A= 100,000 (.12950) = 12,950
esto significa que dicha persona podrá hacer 10 retiros iguales de $12,950 al final de los 
cuales se agotará la cuenta.
2.3.3 Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y geométricos
Ciertos proyectos de inversión generan flujos de efectivo que crecen o disminuyen 
una cierta cantidad constante cada período. Por ejemplo, los gastos de mantenimiento de 
un cierto equipo se pueden incrementar una cierta cantidad constante cada periodo. Tam­
bién, es posible que ciertos proyectos generen flujos que se incrementan un cierto porcen­
taje constante por cada periodo. Este último caso se comprende fácilmente cuando se supo­
ne que los flujos por el efecto de la inflación crecen a un porcentaje constante por período. 
Por consiguiente, en el presente inciso se van a desarrollar fórmulas de equivalencias para 
flujos de efectivo que se comporten en forma de gradiente ya sea aritmético o geométrico.
2.3.3.1 Gradientes aritméticos
Un flujo de efectivo en forma de gradiente aritmético sería aquel que aparece en la 
figura 2.4. Como puede observarse en esta figura, el flujo del primer año es,4 j, y del según-
26 Valor del dinero a través del tiempo
do año en adelante el flujo se incrementa en una cantidad constante g. Por consiguiente, 
si quisiéramos transformar el flujo de efectivo de la figura 2.4 a uno parecido al de la 
figura 2.5, el cual es completamente equivalente, una alternativa es considerar que en el 
período dos empieza una serie uniforme de flujos de efectivo de tamaño g. También otra 
serie uniforme de flujos de efectivo empieza en el período tres y así sucesivamente hasta
g'
g
g‘
g
FIGURA 2.4. Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos.
FIGURA 2.5. Flujo de efectivo equivalente al mostrado en la figura 2.4.
llegar al último período. De acuerdo con esta lógica, la cantidad ^42 se puede obtener al mul­
tiplicar la suma de los valores futuros de estas series por (A/Ft i%, n), esto es, Á2 se puede 
determinar por medio de la siguiente expresión:
A2 =8 ( (F/A, i%, n - 1) + (F/A, z%, n - 2) + ... + (F/A, i%, 2)+ .. .
... +(F/AÍ%,1) ) (A/F,i%,n)
A2=j- ((1 + z)"_1 +(1 +z)n_2 +... + (1 +i)2 +(1 + í)-(n-1))(4/F, i%,n)
(1 +z)"-l
-nX )i (1 + 0" - 1
Fórmulas de equivalencia 27
la cual se reduce a:
a2 =g (—---------------- -------- )
i (1+/)”-!
(2.7)
O
A2=g (A/g, i%, ri)
Es importante señalar que a pesar de que el gradiente empieza en el período dos, en la 
obtención del factor (A/g, i%, n) se utiliza el valor de n y no el de n — 1.
Ejemplo 2.6
Una persona piensa abrir una cuenta de ahorros que paga el 12% anual. Para empe­
zar, esta persona piensa depositar al final del año $ 5,000. Sin embargo, puesto que su sala­
rio está creciendo constantemente, esta persona cree poder incrementar la cantidad a 
ahorrar en $1,000 cada año. Si esta misma persona hiciera depósitos anuales de la misma 
magnitud, ¿de qué tamaño tendrían que ser para que la cantidad acumulada en 10 años 
fuera la misma?
Utilizando la ecuación (2.7)y sustituyéndola información presentada en el ejemplo, 
esta persona tendría que depositar:
A = 5,000 + 1,000 (-1----------------19------ )
.12 (1 + .12)10 — 1
>1 = 5,000 + 1,000(3.585)
>1 =$8,585
es decir, depositar $8,585 al final del año durante diez años, es equivalente a depositar al 
final del primer año $5,000 y después incrementar el depósito en $1,000 por año.
2.3.3.2 Gradientes geométricos
Los flujos de efectivo en forma de gradientes geométricos (ver figura 2.6) ocurren 
como se mencionaba anteriormente, en ambientes crónicos inflacionarios o bien en épo­
cas de recesión. Esto significa que los flujos de efectivo de un período al siguiente pueden 
aumentar o disminuir de acuerdo a un porcentaje fijo, es decir, el flujo de efectivo del Kth 
período se puede representar como:
Ak =Ak-\ (1 + /) para/¿ = 2, 3, . .
ó
=^i (1 +/)Á’~1 para K = 1,2, 3,. . , n
28 Valor del dinero a través del tiempo
FIGURA 2.6. Flujos de efectivo en forma de gradiente geométrico.
donde / representa el porcentaje fijo de cambio (aumento o disminución) del flujo de 
efectivo entre un período y el siguiente. Conociendo este porcentaje de cambio entre un 
período y el siguiente, el valor presente de estos flujos vendría dado por la siguiente 
expresión:
p
n Ak n A^\+jf^
K=l0.+i)K (1+0*
ó
Al £ (1+'> 1 +/ K=1 1 +i 7
la cual se reduce a:
( 1-(1+/)"/(!+01) SiI^
0-7)
(2-8)
o a la siguiente expresión:
(2-9)
Independientemente de que / sea igual o diferente a z, las ecuaciones (2.8) y (2.9) se repre­
sentan en forma general de acuerdo a la expresión siguiente:
Interés nominal e interés efectivo 29
Ejemplo 2.7
Un padre de familia ha destinado un cierto fondo de dinero para que su hijo estudie 
la carrera de US en el ITESM. La carrera en esta institución dura 9 semestres y debido a la 
inflación, la colegiatura aumenta el 8% semestral. Si el padre de familia deposita este 
fondo en una cuenta bancaria que paga el 6% semestral, ¿cuánto tendría que depositar si 
la colegiatura del primer semestre es de $10,000? Suponga que el pago de la colegiatura 
ocurre al final del semestre.
Sustituyendo esta información en la ecuación (2.8), se obtiene:
P = 10,000 ( _l-(l + -08)9/(l + .06)9 }
(.06 - .08)
P = 10,000 (9.1603)= 91,603
lo cual significa que este padre de familia tiene que depositar ahorita $91,603, con los 
cuales se pagaría la colegiatura de los próximos nueve semestres.
2.4 INTERES NOMINAL E INTERES EFECTIVO
Generalmente, en muchos estudios económicos las tasas de interés utilizadas son en 
bases anuales. Sin embargo, en la práctica es posible encontrar situaciones en las cuales los 
intereses se tengan que pagar más frecuentemente, ya sea cada semestre, cada trimestre o 
cada mes. En tales situaciones, conviene analizar, por ejemplo, si existe alguna diferencia 
entre pagar el 1% mensual y el 12% anual. Para analizar si existe realmente diferencia, 
suponga que usted necesita $1,000 y ha recurrido al banco a solicitarlos. El banco ha 
acordado prestárselos a una tasa del12% anual. Por otra parte, usted conoce a otra 
persona, la cual le presta la misma cantidad de dinero cobrándole el 1% mensual. Si el 
plazo que se le da para reponer el dinero es de un año, entonces, usted tendría que pagar a 
cada parte lo siguiente:
Fbanco = 1000 (1 + .12)* = $1,120.00
Apersona: = 1000 (1 + -OI)12 = $1,126.80
como se puede observar, aceptar el dinero al 12% anual resulta más conveniente.- Este 
resultado no es nada sorprendente, puesto que al cobrarse los intereses en base mensual, 
es obvio que se acumularán más intereses, ya que cuando el interés que se cobra es com­
puesto, los intereses generados a su vez producen más intereses.
Del ejemplo anterior se puede concluir que el 1% mensual no equivale al 12% anual. 
Por consiguiente, si quisiéramos determinar el interés efectivo anual al cual equivale el 1^ 
mensual, tendríamos que hacer el siguiente cálculo:
1,126.80- 1,000
- % 
*
1,000
= 12.68%
30 Valor del dinero a través del tiempo
Esto significa que la fórmula general para determinar el interés efectivo anual sería:
, PO.+r/Mf-P
ef~ ’ P
(2.10)
(2.10)
donde:
4/ = interés efectivo anual
r = interés nominal anual
M = número de períodos en los cuales se divide el año
Por ejemplo, el 12% anual sise capitaliza cada semestre, equivale al 12.36% efectivo anual; 
si se capitaliza cada trimestre, equivale al 12.55% efectivo anual; si se capitaliza cada mes, 
equivale al 12.68% y así sucesivamente. Sin embargo, si la capitalización es más frecuente 
aún, el interés efectivo anual no aumenta gran cosa, esto significa que en el caso límite de 
capitalizar un número infinito de períodos en el año, esto es, continuamente, el interés 
efectivo anual converge a:
¡ef= Lím ( (1 + r/M/1lr )' - 1
pero
Lím (1 +r/M?tlr = e
Por consiguiente:
\lef = er(2.11)
es decir, si el interés nominal anual r se capitaliza continuamente, entonces, el interés 
efectivo anual es er - 1.
Para finalizar este inciso, conviene puntualizar que siempre el interés a utilizar en un 
determinado problema, debe corresponder al tamaño del período seleccionado, es decir, si 
el período es de un semestre, el interés debe ser expresado en forma semestral. También 
conviene señalar que cuando la capitalización es más frecuente que un año (mensual, tri­
mestral, etc.) y los flujos de efectivo ocurren sólo al final del año, entonces, existen dos 
alternativas de resolver el problema: 1) seleccionar como período ya sea el mes, trimes­
tre o semestre y la tasa de interés correspondiente, o 2) seleccionar como período un año 
y utilizar el interés efectivo anual. Cuando son flujos únicos es indistinto usar cualquiera 
de las dos alternativas, sin embargo, cuando se están manejando series uniformes de flujos de 
efectivo, conviene utilizar la segunda alternativa.
Interés real 31
2.5 INTERES REAL
Existen en la práctica ciertos problemas en los cuales se nos asegura que nos van a 
cargar una cierta tasa de interés. Los problemas más comunes de este tipo son las compras 
que se hacen a crédito, los préstamos bancarios, etc. Sin embargo, muy probablemente en 
la mayoría de estas transacciones el interés real es mucho mayor al que supuestamente se 
nos está cobrando.
El concepto de interés real es muy similar al de interés efectivo, de hecho, son equi­
valentes. Sin embargo, cuando hablamos de interés efectivo, normalmente nos referimos a 
un año, y cuando hablamos de interés real, el tamaño del período puede ser de un mes, un 
trimestre o un semestre. Lo anterior significa que al interés real también le podemos lla­
mar interés real efectivo. Para comprender mejor este concepto analicemos los siguientes 
ejemplos:
Ejemplo 2.8
Una persona ha solicitado al banco un préstamo por la cantidad de $10,000. El ban­
co para este tipo de préstamos otorga un plazo de seis meses a un interés del 1.5% men­
sual. Si la persona recibe $10,000 menos los intereses generados por el préstamo, ¿cuál es 
el interés real mensual en esta transacción?
Primeramente se va a determinar la cantidad neta de dinero que esta persona recibe:
P= 10,000 - (10,000 (1 + .015)6 - 10,000)
P = 9,066
Pz 10,0^
C * ) . S. V . rs.-J* I
es decir, la persona va a recibir $9,066 a cambio de pagar $10,000 dentro de seis meses. 
Lo anterior significa que el interés real mensual en este préstamo, sería la tasa de interés 
que hace $9,066 igual a $10,000 dentro de seis meses, esto es:
9,066(1 +z^)6 =10,000
y despejando iR encontramos:
Ln
io,oou
9,066 n )-1 = 1.65%
Por consiguiente, el interés real de este préstamo es de 1.65% mensual, el cual equivale a 
21.70% anual efectivo. Además, conviene señalar que 1.65% representa también el inte­
rés efectivo mensual, es decir, en este caso es indistinto usar el término interes real men­
sual o interés efectivo mensual.
La razón por la cual el interés real resultó mayor que 1.5%, estriba en el hecho de 
que los intereses se están calculando sobre una cantidad mayor a la que estamos recibien­
do, y además se están cobrando por adelantado.
Ejemplo 2.9
Un alto ejecutivo desea comprar un automóvil que vaya de acuerdo con el nivel je­
rárquico que ocupa. Para esto ya se ha decidido por un “Century Limited” modelo 1985,
32 Valor del dinero a través del tiempo
el cual cuesta $5.000,000. Las condiciones de pago son dar el 20% de enganche y el resto 
a 36 meses. Si el banco le financia el 80% del valor del automóvil y le cobra un 2.6% glo­
bal mensual y le determina el tamaño de los pagos mensuales de la siguiente manera:
Mensualidad = 4,000,000 + 4,000,000 (.026) (36) 36 = 215,111
¿Cuál sería el interés real mensual que resulta de aceptar esta fuente de financiamiento?
El interés real mensual en esta operación sería la tasa de interés que iguala el valor 
presente de 36 mensualidades de $215,111, con el valor del financiamiento de $4,000,000, 
esto es:
4,000,000 = 215,111 (P/A, iR%,36)
y el valor de iR que satisface la ecuación anterior es de 4.13%. Lo anterior significa que 
si se acepta el financiamiento del banco, el interés real mensual sería de 4.13% y el efec­
tivo anual de 62.52%/
Ejemplo 2.10
Una persona planea casarse dentro de cuatro meses. Su principal preocupación por 
el momento es comprar lo más indispensable para la casa, como lo son: la estufa, el come­
dor, el refrigerador, la sala y la recámara. Específicamente esta persona está interesada en 
comprar una recámara modelo “provenzal delicias”, la cual está marcada a un precio de 
$30,000. Sin embargo, ésta persona tiene dos opciones para comprar dicha recámara: 1) 
comprarla de contado a un precio de $18,000, o 2) comprarla a crédito (12 pagos men­
suales) a una tasa de interés del 1.5% mensual. Si esta persona compra la recámara a cré­
dito, ¿cuál sería el interés real mensual?
Antes de evaluar el interés real mensual, primero es necesario determinar la magni­
tud de cada pago mensual para la alternativa de comprar a crédito. Tal mensualidad la 
mueblería la calcula de la manera siguiente:
30,000 + 30,000 (.015) (12)
12
= 2,950
Por consiguiente, el interés real mensual en esta transacción, sería la tasa de interés que 
iguala el valor presente de doce mensualidades de tamaño $2,950 con el valor de contado 
el cual es de $18,000, esto es:
18,000 = 2,950 (P/A, iR%, 12)
y el valor de iR que satisface la ecuación anterior es de 12.3%. Esto significa que si la re­
cámara se compra a crédito, el interés real mensual sería de 12.3% y el efectivo anual de 
302%.
Existen básicamente dos razones por las cuales el interés real en este ejemplo es 
excesivamente alto: 1) primeramente, los intereses se obtienen a partir del precio a crédi-
Fórmulas de equivalencia 33
to (S 30,000) y 2) los intereses generados en el futuro (próximos 12 meses) se están su­
mando como si estuvieran en el mismo punto del tiempo.
Los dos ejemplos anteriores muestran claramente la importancia de manejar bien
estos conceptos, puesto que de esta manera se podrán tomar mejores decisiones en la 
compra de activos a crédito, es decir, se podrán encogermejorías fuentes de financiamien- 
to (más baratas) con las cuales se adquirirán los activos.
2.6 FORMULAS DE EQUIVALENCIA ASUMIENDO INTERES
COMPUESTO CONTINUO
Puesto que generalmente las transacciones monetarias dentro de una empresa ocu­
rren diariamente, y el dinero normalmente se pone a trabajar inmediatamente después de 
que se recibe, vale la pena desarrollar fórmulas de equivalencia en las cuales se considere que 
el interés compuesto es capitalizado continuamente. Por consiguiente, en esta sección 
se van a desarrollar las mismas fórmulas presentadas anteriormente, pero asumiendo una 
capitalización continua.
2.6.1 Flujos de efectivo únicos
Para determinar la fórmula de equivalencia que relaciona un valor presente P con un 
valor futuro F, cuando el interés nominal anual r se capitaliza continuamente, los intere­
ses generados a cada instante deben ser agregados al principal (P) al final de cada infinitesi­
mal período de interés, esto es, si la capitalización es anual, el valor futuro sería:
F = P(1 +r)n
si la capitalización es semestral, el valor futuro sería:
F=P(1 +r/2')2n
si la capitalización es mensual, el valor futuro sería:
F = P(1 + r/12)12"
y si la capitalización es continua, el valor futuro sería:
F= Lím P(1 + r¡Mfn
pero rearreglando términos tenemos:
34 Valor del dinero a través del tiempo
y como
Lím (1 4- r/M^^r = é
entonces, el valor futuro se obtiene con la siguiente expresión:
F=Pern (2.12)
y al factor resultante Z" comúnmente se le representa por(F/P, r%, rí).
La ecuación (2.12) también se puede representar como:
P = (2-13)
en la cual se trata de obtener el valor presente dado que se conoce el valor futuro. Al fac­
tor resultante e~rn se le denota por (P/F, r%, rí).
Ejemplo 2.11
En países con altas tasas de inflación como Bolivia, donde se han llegado a padecer 
inflaciones del 30,000% anual, se puede considerar para propósitos prácticos, que la capi­
talización es continua, ya que los precios de los bienes y de los servicios suben casi a cada 
momento. Si se asume que la inflación en este país es de .5% cada seis horas, y un automó­
vil mediano cuesta $20,000,000, ¿cuánto costará dicho automóvil dentro de un año?
Puesto que la tasa de inflación cada seis horas es de .5%, entonces, la tasa anual no­
minal es de 730% y usando la ecuación (2.12) el valor del coche sería:
F = 20,000,000 e(7J) = 29,606 millones
2.6.2 Series uniformes de flujos de efectivo
2.6.2.1 Valor futuro de una serie uniforme de flujos de efectivo
Siguiendo el mismo razonamiento presentado en las secciones anteriores, la suma 
acumulada al final del año n, se puede obtener al sumar las equivalencias de cada una de 
las A ’s en el año n, es decir:
F=A (1 +er 4-e2r + . .. + e(n“1)r)
la cual se reduce a:
(
Z-l
■) (2.14)
ó
F = A (F/A, r%, rí)
Fórmulas de equivalencia 35
también la ecuación (2.14) puede ser expresada en la forma:
A = F (—~ 1 ) (2.15)
ó
A = F (A/F, r%, n)
Ejemplo 2.12
Seis depósitos semestrales iguales de S 10.000 son hechos en t = 0, 1,2, 3, 4 y 5 en 
una cuenta que paga el 40% anual capitalizable continuamente. Posteriormente se van a 
hacer dos retiros iguales de $%ení = 8yr=ll.Si con el segundo retiro se agota la 
cuenta, ¿cuál es el tamaño de estos retiros?
De acuerdo con la figura que se presenta a continuación y aplicando las ecuaciones 
(2.12), (2.13) y (2.14) se obtiene:
0 1 2 3 4 5 6 7
i i $x ♦
i i---------------
8 9 10 11
o v
A- SI 0,0.00
10,000 (F/p. 20%, 5) + 10,000 (F/A. 20%, 5) = X (P/F, 20%, 3) + X (P/F, 20%, 6) y 
sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B se obtiene:
10,000(2.7183)+ 10,000(7.7609) = X (.5488) +X(.3012)
X = 104,792
.8498
X = $123,314^-
2.6.2.2 Valor presente de una serie uniforme de flujos de efectivo
La equivalencia en el tiempo cero de una serie uniforme de flujos de efectivo, se 
puede obtener siguiendo la misma lógica del inciso anterior, es decir, sumando las equi­
valencias en el tiempo cero de cada una de las A ’s, esto es:
P = A (e~r + e"2r + . . . +e“Mr)
la cual se reduce a.
(2-16)
36 Valor del dinero a través del tiempo
ó
P — A (P/A, r%, n)
la ecuación (2.16) también se puede expresar como:
A = P( g'~-l -) 
1 „-rn (2.17)
ó
A =P (A/P, r%, ri)
Ejemplo 2.13
¿Cuánto es necesario depositar en una cuenta de ahorros que paga el 30% anual ca­
pitalizadle continuamente, si se quieren hacer 5 retiros anuales iguales de $100,000, em­
pezando dos años después de hacer el depósito?
El diagrama de flujo de efectivo de este ejemplo se presenta a continuación:
i
A =100,000
b ‘iL i > M i
1
F
2 5 6
P =?
De acuerdo con esta figura y aplicando las»ecuaciones (2.12) y (2.16), se obtiene:
P = 100,000 (P/A, 30%, 5) (P/F, 30%, 1)
y sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B, se obtiene:
P = 100,000 (2.2205) (.7408) = $164,490
Ejemplo 2.14
Considere una tasa nominal anual de $300% y que un refrigerador cuesta $500,000. 
¿De qué tamaño serían 3 anualidades iguales que saldaran dicha cantidad?
Utilizando la ecuación (2.17) y la información presentada en el ejemplo, se obtiene:
A = 500,000 M/P, 300%, 3)
A = 500.000 [(e3 - 1)/(1 - e-9)]
A = $9,543,723
Fórmulas de equivalencia 37
2.6.3 Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y geométricos
2.6.3.1 Gradientes aritméticos
De acuerdo a las figuras 2.4 y 2.5 y a la ecuación (2.14), la cantidad A2 se puede 
determinar por medio de la siguiente expresión:
A2=g( (F/A, r%, n - 1)4- (F/A, r%,n-2)+...+ (F/A, r%, 1) ) (A/F, r%,«)
la cual se reduce a:
Ejemplo 2.15
A 2 = g(A/g, r%, n)
(2.18)
¿Cuánto es necesario depositar en una cuenta que paga el 30% anual capitalizable. 
continuamente, si se requiere hacer 5 retiros anuales? Suponga que el primer retiro es de 
$20,000 y a partir del segundo los retiros aumentan a una razón constante de $5,000.
Utilizando las ecuaciones (2.16) y (2.18) y la información presentada en el ejemplo, 
se obtiene:
P = [20,000 + 5,000 (X/g, 30%, 5)] (P/X, 30%, 5)
y sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B, se obtiene:
P = [20,000 + 5,000 (1.4222)] (2.2205)
P = $60,200
2.6.3.2 Gradientes geométricos
De acuerdo a la figura 2.6 y a la ecuación (2.13) y suponiendo que el flujo de efecti­
vo período se puede expresar como:
38 Valor del dinero a través del tiempo
AK=Ax(\+¡'f 1 para K= 1,2,3,... n
el valor presente de estos flujos de efectivo vendría dado por la siguiente expresión:
n A
P = s
K = 1
ó
p__ i - 2 ( 1 +¡ )K 
K=i er(1 +/)
la cual se reduce a:
o
(2-19)
P = AX (P/A, r%fj%f n)
Ejemplo 2.16
Una persona ha depositado 5100,000 en una cuenta de ahorros que paga el 30% 
anual capitalizable continuamente. Si esta persona desea sacar de la cuenta 5 retiros que 
crezcan a una razón de 15% anual, ¿cuál sería el tamaño del primer retiro, de tal modo 
que al hacer el quinto se agote la cuenta?
Utilizando la ecuación (2.19) y la información presentada en el ejemplo, se tiene:
A = 100,000
1 (P/^, 30%, 15%, 5)
y sustituyendo el factor que aparece en el apéndice B, se obtiene:
100,000
2.7580 = 536,258
2.7 FORMULAS DE EQUIVALENCIA SUPONIENDO QUE LOS 
FLUJOS DE EFECTIVO SON A TRAVES DEL PERIODO
En las secciones anteriores se suponía que los flujos de efectivo ocurrían al final del 
período. Sin embargo, es muy probable que en algunos casos el dinero fluya a través del pe­
ríodo. Por consiguiente, en algunas ocasiones es conveniente suponer que el dinero fluye 
continuamente a través del período a una razón constante. En tales situaciones, en vez de 
tener una serie uniforme de flujos de efectivo discretos de magnitud A, se va a tener un 
flujo A, el cual fluye uniforme y continuamente a través del período de tiempo dado.
Fórmulas de equivalencia 39
2.7.1 Valor presente de un flujo de fondos
Para determinar la fórmula de equivalencia que determina el valor presente de una 
serie uniforme de flujos de fondos, vamos a analizar el comportamiento del valor presente 
a medida que se desparrama el flujo a través del período, esto es, primero se va a determi­nar, por ejemplo, el valor presente de gastar (recibir) A pesos al final del año durante n años 
si el interés nominal anual es r. Tal valor presente viene dado por:
P = A
r(l+r)"
Ahora, si en lugar de gastar (recibir) A pesos al final del año gastamos (recibimos) X/2 al 
final de cada semestre (durante n años), entonces, el valor presente sería:
P = ( G + r/2)^w— 1 )
2 -y 0 + r/2)2"
y si por otra parte se gasta (se recibe) >1/4 pesos al final de cada trimestre (durante n años), 
entonces, el valor presente sería:
A ( (1 +r/4)4n - 1
4 — (l+r/4)4”
4
Es obvio que la expresión anterior a medida que se desparrama más el flujo durante el año, 
más se aproxima a un valor límite. Este límite se alcanza precisamente cuando el número 
de períodos en el año es infinito, es decir, cuando el flujo de efectivo fluye a través del 
año. El valor presente en tal situación sería:
A^(X+r!Mfn-l
M -L (1 + r/Mfn 
rearreglando la expresión anterior encontramos:
(ji+r/w)M/ry/2 -1
P — A ( >--------------- ------------ )
r ((1
la cual se reduce a:
P=Z( )r ¿n
(2.20)
40 Valor del dinero a través del tiempo 
ó
P = A (P/A, r%, rí)
es importante señalar que la ecuación (2.20) aunque se desarrolló suponiendo que los pe 
ríodos son de un año, también se puede aplicar a casos en los cuales el período sea menor 
que un año. Lo importante en la aplicación de esta fórmula es suponer que el flujo será a 
través del período. Por ejemplo, si A es el flujo que fluye a través de un semestre, enton­
ces, r sería el interés nominal semestral.
Por otra parte, la ecuación (2.20) también puede ser expresada en la forma siguiente:
(2.21)
O
Á=P(A/P, r%, n)
Ejemplo 2.17
¿Cuál es el valor presente de un flujo de efectivo que fluye a través del año durante 
5 años y que crece a una razón de 30% anual? Suponga que el flujo de efectivo del primer 
año es de $25,000 y la tasa de interés nominal anual es de 25%.
Utilizando la ecuación (2.20) para el flujo del primer año, se tiene:
P = 25,OOO(P//4,25%, 1)
y sustituyendo el factor que aparece en el apéndice C, se obtiene:
P = 25,000 (.8848) = $22,120
Lo anterior significa que el flujo de fondos original, se transforma en un flujo de efectivo 
que se comporta de acuerdo con un gradiente geométrico, que crece a una razón anual de 
30%. En forma gráfica, el flujo de efectivo resultante, sería como el que se muestra a con­
tinuación:
Fórmulas de equivalencia 41
Por consiguiente, si se aplica la ecuación (2.19). el valor presente de dicho flujo sería:
P = 22,120 + 28,756(PM. 25%. 30%. 4)
y sustituyendo el factor que aparece en el apéndice B. se obtiene:
P = 22.120 + 28.756 (3.1738)
P = SI 13.386
2.7.2 Valor futuro de un flujo de fondos
Siguiendo el mismo razonamiento que en el inciso anterior, el valor futuro de una 
serie uniforme de flujo de fondos que ocurren durante n períodos, vendría dado por la 
expresión:
F = Lím ( 0 + r¡Mfn - 1 M v r/M
y rearreglando la expresión anterior encontramos:
Lím ~A ( Ld - 1 }
M— r
la cual se reduce a:
ó
(2.22)
F = A (F¡A, r%, rt)
Por otra parte la ecuación (2.22) también puede ser expresada como:
A=F(
ern -1
(2.23)
42 Valor del dinero a través del tiempo
ó
A = F(A/Ff r%, n)
Finalmente, conviene señalar que aunque interés compuesto continuo y flujos de 
fondos representan más de cerca las transacciones que ocurren en una empresa, estos con­
ceptos no han sido ampliamente aceptados por los analistas encargados de evaluar proyec­
tos de inversión.
Ejemplo 2.18
¿Cuál es el valor futuro de gastar $100,000, $120,000, $140,000, $160,000 y 
$180,000 en t - 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente si los desembolsos se hacen a través del 
período, y la tasa de interés nominal anual es de 20%.
Utilizando la ecuación (2.22) para un período de un año. el flujo de efectivo origi­
nal se transforma en un flujo con gradiente aritmético, como el que se muestra a conti­
nuación:
Lo anterior significa que ahora se tiene un flujo de efectivo con gradiente aritmético 
de $22,140, y por consiguiente, el valor futuro será:
F = [110,700 4- (22,140) (Ajg, 20%, 5)] (FM/20%,5)
y sustituyendo los factores que aparecen en el apéndice B, se obtiene:
F = [110.700 + (22,140) (1.6068)] (7.7609)
Problemas 43
ZÍ
2.2
2.3
2.4
2^/
2.6
■ 2
2.7
2.8
/
2.9
l/
2.10
2.11
2.12
2.13
\---------- -^4 - - -
PROBLEMAS
Si en una cuenta de ahorros que paga el 15% anual se depositan $1,000 anuales 
durante 5 años, ¿qué cantidad se acumularía al final del año 10, si el primer depó- 
to se hizo al final del año 1 ?
¿Qué cantidad es, necesario depositar ahora en una cuenta de ahorros que paga el 
10% para acumular al final del quinto año $ 10,000?
¿Cuál es el interés que se gana en un proyecto que requiere de una inversión inicial 
de $10,000 y produce $20,114 al término de su vida de 5 años?
¿Cuál es el tamaño de 60 mensualidades y de 5 anualidades que resultan de la 
compra de un terreno con valor de $500,000, si la tasa de interés es de 18% anual, 
y las condiciones.de pago son 10% de enganche y el resto se reparte por igual en 
mensualidades y anualidades?
¿Cuánto tiempo tomaría una cantidad de $P en duplicarse, si la tasa de interés es 
de 10% anual?
Un padre de familia desea que su hijo de 7 años estudie una carrera profesional en 
el ITESM. Las carreras en este Instituto duran normalmente 8 semestres, y la cole­
giatura semestral que actualmente es de $20,000, crece por el efecto de la inflación 
a una razón del 10% semestral. Para lograr este objetivo, el padre de familia pien­
sa ahorrar una cantidad anual durante 10 años, empezando al final del octavo ani­
versario del nacimiento de su hijo. Si la cuenta de ahorros paga un 15% anual, y el 
primer pago semestral se hace al final de la primera mitad del año 18; ¿z) ¿De qué 
tamaño deben ser las anualidades que se depositan en la cuenta de ahorros, de tal 
modo que al hacer el pago de la última cuota semestral se agote la cuenta? b) ¿De 
qué tamaño debe ser,el primer depósito, si las cantidades que se depositan cada 
año pueden crecer a una razón constante de $5,000?
Una persona deposita en una cuenta de ahorros una cantidad anual que va dismi­
nuyendo a una razón constante de $500 por año. La magnitud del primer depósito 
que se hace es de $10,000 y el último de $5,500. Si en la cuenta de ahorros se 
gana un 15% anual, ¿de qué magnitud debe ser un depósito anual constante du­
rante el mismo tiempo, de tal modo que la cantidad acumulada sea la misma? 
¿Qué cantidad debe ser depositada en una cuenta de ahorros que paga el 10% anual, 
de modo que se puedan retirar $700 al final del año 1, $1,500 al final del año 3 y 
$2,000 al final del año 5, y la cuenta quede agotada?
Una persona deposita en una cuenta de ahorros $10,000 anuales durante 5 años, al 
final de los cuales la mitad del saldo acumulado es retirado. Posteriormente, $20,000 
anuales son depositados en la misma cuenta durante 5 años más, siendo el saldo 
acumulado retirado a¡ final del año 15. Si en la cuenta de ahorros se gana un 10% 
anual, ¿qué cantidad sería retirada: a) al final del quinto año;Z?) al final del año 15? 
Una deuda por valor de SX es contraída en t = 0. Si el interés que se cobra es de 
10%, y los pagos que se acordaron hacer son de $5,000, $4,000, $3,000, $2,000 y 
$ 1,000 ení = 6,7,8,9y 10 respectivamente, determine el valor de $^f.
¿Cuál es el interés efectivo de una tasa de interés de 18% anual si se capitaliza: 
a) anualmente, Z?) sem&stralmente, c) mensu^lmente y d) continuamente?
Si se hacen depósitos anuales de $1,000 durante 5 años, en una cuenta de ahorros 
que paga el 5% semestral, ¿cuál es la cantidad que se acumula al final del año 5? 
Una persona desea recibir $1,000 al final de cada uno de los próximos cuatro tri-
condiciones.de
44 Valor del dinero a través del tiempo
mestres. Si la cuenta de ahorros paga un 8% anual capitalizable cada trimestre, 
¿cuál es el depósito inicial requerido?
2/14 Una persona ha solicitado un préstamo de $10,000 a una tasa interés de 10% 
anual capitalizable cada trimestre,el cual piensa pagar en 10 pagos semestrales 
iguales. Si el primer pago se hace un año después de conseguir el préstamo, ¿cuál
1 | 2 2.15
4^fc-^2.16
i o '&'*-* ■2.17
sería la magnitud de estos pagos?
¿Cuánto tiempo tomaría una cantidad de $P en triplicarse, si la tasa de interés es 
de 10% anual capitalizable cada semestre?
Una* persona ha solicitado un préstamo de $10,000 a una institución bancada que 
le cobra un interés de 12% anual capitalizable cada semestre. Esta persona desea 
devolver el préstamo en seis anualidades iguales. Si el primer pago se hace al mo­
mento de recibir el préstamo, ¿cuál sería eltamaño de estas anualidades?
Después de haber analizado los intereses reales que se cobran en diferentes esta­
blecimientos comerciales, una persona ha decidido dedicarse a prestamista. Para 
ello, va a establecer la compañía llamada “El Ultimo Recurso”. En esta compañía,
la forma de operar es la siguiente: Cuando una persona solicite un préstamo de $P, 
esta cantidad será transladada al final del plazo concedido en años, de acuerdo a la 
expresión: F — P (F/P, 10%, ri). Posteriormente, para determinar el tamaño de los 
pagos anuales, la cantidad F es dividida entre el número de años que abarca el 
préstamo. Si una persona solicita a esta compañía un préstamo de $P a un plazo 
de 5 años, ¿cuál sería el interés real anual que resulta de esta transacción?
2.18 Una persona obtuvo un préstamo de $5,000 a un plazo de 3 años, y a una tasa de 
interés de 15% anual. Los intereses que se generan en este plazo se determinaron
como sigue:
(
Intereses = 5,000 (F/P, 15%, 3) - 5,000 = 2*,605
y fueron deducidos del principal. Por consiguiente, esta persona recibió la canti­
dad de $2,395.00 a cambio de pagar $5,000 dentro de 3 años. ¿Cuál es el interés 
real anual que se va a pagar en este préstamo?
Una persona ha solicitado un préstamo de $100,000 para comprar un automóvil. 
Ella desea pagar este préstamo en 36 mensualidades iguales. Si la agencia prestamis­
ta cobra un 2% mensual y determina el tamaño de los pagos mensuales de la si­
guiente manera:
Mensualidad = 10°.°0° + 100.0°° ( °2) 36 _¿„8
36
/ 
/¿Cuál sería el interés real mensual que resulta de aceptar esta fuente de financia- 
/ miento?
2/20 Cuatro depósitos trimestrales iguales de $1,000 son hechos en í = 0, 1,2 y 3 (los 
períodos son trimestres) en una cuenta que paga el 10% anual capitalizable conti­
nuamente. Posteriormente se van a hacer dos retiros iguales de $X en t = 5 y r = 10. 
Si con el segundo retiro se agota la cuenta, ¿cuál es el tamaño de estos retiros?
2.21 Depósitos semestrales de $500 son hechos en una cuenta que paga el 12% anual 
capitalizable continuamente. ¿Cuál sería el valor acumulado en esta cuenta des­
pués de hacer 10 d.epósito£?
{/>r -
(J r
Problemas 45
2.22 ¿Cuánto es necesario depositar en una cuenta de ahorros que paga el 10% anual
capitalizable continuamente, si se quieren hacer 10 retiros anuales? Suponga que 
el primer retiro es de $1,000 y a partir del segundo, los retiros aumentan a una ra­
zón constante de $500.
Una persona ha depositado $10,000 en una cuenta de ahorros que paga elk^5%^2.23
anual capitalizable continuamente. Si esta persona desea sacar de la cuenta 10 re­
tiros que crezcan a una razón de ip%jínual, ¿cuál sería el tamaño del primer reti­
ro, de tal modo que al hacer el décimo se agote la cuenta?
2.24 ¿Cuál es el valor presente de un flujo de efectivo que fluye a través del año duran­
te 5 años y que crece a una razón del 20% anual? Suponga que el flujo de efectivo 
del primer año es de $5.000 y la tasa de interés nominal anual es de 10%.
2.25 ¿Cuál es el valor futuro de gastar $10,000, $15,000 y $20,000 en t = 1,3 y 5 res-rpectivamente, si los desembolsos se hacen a través del período, y la tasa de interés
nominal anual es de 15%?
2.26 Para el siguiente diagrama de flujo de efectivo, determine el factor (P/gf i%, n).
g
s
A
"T3 n
2.21 Para el siguiente diagrama de flujo de efectivo, determínelos factores (/%4, i %, nx) 
y (F/A, i%, nx).
A A A A
X
Nota: X es un número entero mayor que 1.
46 Valor del dinero a través del tiempo
2.28 Resolver el problema 2.26 suponiendo que: a) la capitalización es continua y ¿>) 
los flujos de efectivo son a través del período.
2.29 Resolver el problema 2.27 suponiendo que la capitalización es continua.
2.30 Para el siguiente diagrama de flujo de efectivo, determine los factores (A/g, í%, nx) 
y (A/g, r%, nx).
X 2X 3X «X (n - 1)X nX
8 t
g x
l
g
A
3
Método del valor anual equivalente
El concepto del valor del dinero a través del tiempo introducido en capítulos ante­
riores, revela que los flujos de efectivo pueden ser trasladados a cantidades equivalentes-a 
cualquier punto del tiempo. Existen tres procedimientos que comparan estas cantidades 
equivalentes:
• Método del valor anual equivalente '
• Método del valor presente
• Método de la tasa interna de rendimiento
Los tres métodos anteriores son equivalentes, es decir, si un proyecto de inversión es ana­
lizado correctamente con cada uno de estos métodos, la decisión recomendada será la 
misma. La selección de cuál método usar dependerá del problema que se vaya a analizar, 
de las preferencias del analista y, de cuál arroja los resultados en una forma que sea fácil­
mente comprendida por las personas involucradas en el proceso de toma de decisiones. 
De los tres métodos mencionados, en este capítulo se discutirá y analizará el mé­
todo del valor anual. En el capítulo, primeramente se explica el significado e interpreta- ' 
ción del método del valor anual cuandc éste se aplica al análisis y evaluación de un proyecto 
individual. Posteriormente, en el capítulo se muestra cómo aplicar el método del valor 
anu^l cuando: 1) Los ingresos y gastos de las alternativas son conocidos; 2) Solamente los 
gastos de cada alternativa son conocidos; y 3) Las vidas de las alternativas son diferentes. 
Finalmente, en el capítulo se muestra el proceso de selección de alternativas mutuamente 
exclusivas cuando más de dos alternativas son consideradas y, cómo analizar proyectos de 
inversión de vida infinita.
Por otra parte, cabe hacer la aclaración que los análisis mostrados en este capítulo 
son aqtes de impuestos. El efecto de los impuestos en estudios económicos será tratado 
en capítulos subsiguientes.
3.1 ANALISIS Y EVALUACION DE UN PROYECTO INDIVIDUAL
/
Con el método del valor anual equivalente, todos los ingresos y gastos que ocurren 
durante un período son convertidos a una anualidad equivalente (uniformé). Cuando di-
47
48 Método del valor anual equivalente
cha anualidades positiva, entonces, es recomendable que el proyecto sea aceptado. Este 
método es muy popular porque la mayoría de los ingresos y gastos que origina un proyecto 
son medidos en bases anuales. Esta característica hace al método más fácil de aplicar y de 
entender que los otros métodos mencionados.
Para comprender mejor la mecánica de este método, suponga que usted.está intere­
sado en comprar una computadora /7P-3000 con la cual se podría proporcionar servicios 
de consultoría a la pequeña y mediana industria. Tales servicios podrían ser: nómina, mo­
vimientos de personal, facturación, distribución, inventarios, etc. También, asuma que 
investigaciones preliminares de la inversión requerida y del mercado, arrojan la siguiente 
información: la computadora ya instalada cuesta un millón de pesos y su valor de rescate 
después de 5 años de uso intensivo se considera despreciable, y el mercado para éste nego­
cio es tal que la utilidad proyectada en los próximos 5 años es de $400,000/año. Final­
mente, suponga que usted ha pedido prestado el millón de pesos a una institución bancaria 
la cual le cobrará una tasa de interés anual de 20% y le exige devolver el préstamo en 5 
anualidades iguales.
A = 400,000 - 1,000,000 (A/p, 20%, 5)
A = 400,000 - 1,000,000(33438) 
A = $65,620
Para esta información, el método del valor anual equivalente sugiere transformar 
todos los flujos que origina este proyecto (ver figura3.1) a una base anual. Por consiguiente, 
el valor anual neto sería la diferencia entre los ingresos anuales y la anualidad pagada al 
b““: IM;,;1; ílWKOtoW
1
Puesto que la anualidad equivalente es positiva, entonces, vale la pena emprender este pro-
FIGURA 3.1. Flujo de efectivo que resulta de la adquisición de una computadora 
HP-3000.
El ejemplo anterior sugiere que cada vez que la anualidad sea positiva, se acepte el 
proyecto en cuestión. Sin embargo, este criterio de decisión puede resultar peligroso si en 
la determinación de la anualidad neta se utiliza como tasa de interés/ el costo de capital 
(costo ponderado de las fuentes de financiamiento utilizadas para financiar los proyectos 
de inversión). Para comprender mejor esta deficiencia, suponga que las utilidades proyec­
tadas en lugar de ser de $400,000 anuales sean de $340,000. Con la información modifi­
cada, la anualidad equivalente sería de $5,562. Sin embargo, es obvio que este nivel de
Selección de alternativas 49
utilidad es demasiado pequeño comparado con la inversión total realizada y sería insufi­
ciente para reemplazar en el futuro el equipo actual. Por consiguiente, se recomienda seguir 
utilizando el mismo criterio de decisión (aceptar si la anualidad equivalente es positiva), 
pero utilizando como tasa de interés, una tasa mayor que el costo de capital y a la cual se 
le denotará como TREMA (tasa de recuperación mínima atractiva). De esta manera, no 
existe ningún riesgo en aceptar proyectos con anualidades cercanas a cero, ya que en el 
caso crítico de tener un proyecto con una anualidad de cero, significaría que el rendimiento 
obtenido es exactamente igual al mínimo requerido. Además, el utilizar como valor de z la 
TREMA, tiene la ventaja de ser establecida muy fácilmente, porque en ella se pueden con­
siderar factores tales como: 1) El riesgo que representa un determinado proyecto; 2) La 
disponibilidad de dinero de la empresa; y 3) La tasa de inflación prevaleciente en la eco­
nomía nacional. -—,
Para finalizar esta sección, se muestran a continuación las fórmulas generales que se 
pueden utilizar para determinar la anualidad equivalente de un proyecto de inversión:
A = -p(A/p, i°/o, n) +
(1 + 0f
(A/p, iX.n) + F\A/F, i%, n) (3.1)
donde:
A = Anualidad equivalente.
p = Inversión inicial.
= Flujo de efectivo neto del año £
F = Valor de rescate.
n = Número de años de vida del proyecto.
i = Tasa de recuperación mínima atractiva (TREMA).
También, la fórmula (3.1) puede ser presentada de otra forma, si se hace uso de la identidad
(A/p, i%, n) = (A/F, i%, n) + Z% (3.2)
y si además se supone que los flujos de efectivo netos de todos los años son iguales, la 
ecuación (3.1) se transforma en:
, A = S — {(p-F) (A/p, i°/o, ri) + F(z%)} (3.3)
3.2 SELECCION DE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUSIVAS
La selección de alternativas mutuamente exclusivas se puede presentar en diversas 
formas, es decir, puede ser que de las alternativas a comparar se conozcan los ingresos y 
gastos o solamente se conozcan los gastos, o bien pueden ser que las vidas de las alterna­
tivas sean diferentes. A continuación se detallan cada uno de estos casos.
3.2.1 Los ingresos y gastos son conocidos
Cuando los ingresos y gastos que generan las alternativas de inversión son conocidos, 
la alternativa seleccionada será aquella que tenga el mayor valor anual equivalente (siem­
50 Método del valor anual equivalente
pre y cuando esta anualidad sea positiva).
Para ilustrar esta situación, analicemos el mismo ejemplo presentado en la sección 
anterior, pero suponiendo que existen actualmente en el mercado dos tipos de compu­
tadora con las cuales el servicio de consultoría se podría proporcionar adecuadamente. La 
información para cada alternativa se muestra en la tabla 3-1. También, considere que pa­
ra comparar estas dos alternativas se va a utilizar un valor de TREMA de 25%. Para esta
ahp
información, y aplicando la ecuación (3.3), las anualidades que se obtienen para cada alter­
nativa son: \
y
APw
y puesto que la anualidad mayor corresponde a la computadora Honeywell, entonces esta 
alternativa deberá ser seleccionada. V
TABLA 3-1. Flujos de efectivo para las dos computadoras consideradas (miles de 
pesos).
HP - 300*0 Honeywell 4080
Inversión inicial -$1,000 -$1,500
Ingresos anuales 700_ W _700^ 11
Gastos anuales 300 100
Valor de rescate - 300 w
Vida 5 años 5 años
Finalmente, conviene mencionar que es posible que en ciertos casos cuando se ana­
lizan alternativas mutuamente exclusivas, todas tengan valores anuales negativos. En tales 
casos, la decisión a tomar es “no hacer nada”, es decir, se deberán rechazar todas las alter­
nativas disponibles.
3.2.2 jotamente los gastos son conocidos
Frecuentemente ocurre que cada una de las alternativas mutuamente exclusivas que 
se están analizando, generan los mismos ingresos, ahorros, o beneficios. También, es muy 
posible que estos ahorros o beneficios sean intangibles o muy difíciles de estimar, por lo 
que las alternativas deberán ser juzgadas de acuerdo a sus valores anuales negativos o más 
apropiadamente, de acuerdo a sus costos anuales equivalentes. Por ejemplo, los ingresos 
que se derivan de una máquina cortadora de cintas adhesivas son muy difíciles de evaluar 
porque la máquina puede cortar cintas adhesivas de diferentes medidas, con diferentes 
precios y con costos agregados distintos. Para este tipo de situación, las máquinas corta­
doras que satisfagan las necesidades actuales deberán ser evaluadas en base a sus costos 
relativos, porque cada alternativa que sea capaz de satisfacer los requerimientos del sistema 
producirá el mismo ingreso al sistema. Cuando es aparente que en una evaluación sola­
Selección de alternativas 51
mente los costos son conocidos, es conveniente ignorar la convención de signos negativos 
y comparar las alternativas en base al valor absoluto de los costos.
Para ilustrar el caso que surge cuando solamente los gastos son conocidos, analice­
mos el ejemplo de las máquinas cortadoras. Suponga que Industrias Tuck, S. A., para efec­
tos de balancear sus líneas de producción y de satisfacer la demanda creciente de cintas 
adhesivas en sus diferentes tipos y presentaciones (masking, celofán, etc.), esté analizando 
la necesidad de comprar una máquina cortadora. Investigaciones recientes sobre los costos 
de los posibles proveedores (Alemania y Estados Unidos de América) arrojaron los resul­
tados mostrados en la tabla 3-2. También, suponga que la empresa utiliza una TREMA de 
25%para evaluar sus proyectos de inversión. Para esta información y aplicando la ecua­
ción (3.3), los costos anuales equivalentes que se obtienen para cada alternativa son: 
<S x
= 150’°00 + {400,000 (A/p, 25%, 5) + 100,000 (.25) }= $323,640 
' 4 QlflO 000¿o.53if)+ 75000]
y
CA = 80,000 + {640,000 (A/p, 25%, 5) + 160,000 (.25) } = $357,824
De este modo, la máquina cortadora fabricada en los Estados Unidos, teniendo el menor 
costo anual equivalente, se transforma en la mejor alternativa.
TABLA 3-2. Flujos de efectivo para las dos máquinas cortadoras consideradas.
Cortadora 
(Estados Unidos)
Cortadora 
(Alemania)
Inversión inicial $500,000 $800,000
Gastos anuales 150,000 80,000
Valor de rescate 100,000 160,000
Vida 5 años 5 años
Finalmente, cabe señalar que en el caso de conocer solamente los gastos, la alterna­
tiva “no hacer nada” no se puede considerar, es decir, forzosamente se tendrá que selec­
cionar una de las alternativas (la de menor costo anual equivalente). Lo anterior es obvio 
puesto que los ingresos, ahorros o beneficios aunque desconocidos, generalmente justifi­
can las inversiones requeridas. Por el contrario, si estos ingresos fueran insuficientes, se 
estaría hablando de inversiones obligatorias pero injustificables desde el punto de vista 
económico.
3.2.3 Las vidas de las alternativas son diferentes
En los ejemplos hasta ahora presentados, se analizan y se comparan alternativas mu­
tuamente exclusivas de igual vida. Sin embargo, sería interesante