leyes del algebra

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Prof. José Boada Página 1 
 
EQUIVALENCIA LOGICA 
Dadas dos formas proposicionales P y Q diremos que son lógicamente equivalentes, si las columnas 
finales son idénticas (exactamente iguales), se denota como P≡Q y para la comprobación de la 
equivalencia sustituimos el símbolo de equivalencia (≡) por un bicondicional (↔) y al completar la 
tabla debe resultar una tautología, de no suceder de esta manera las formas proposicionales NO son 
equivalentes 
Después de comprobar que dos formas proposicionales son equivalentes, podemos sustituir una por 
otra sin alterar el valor de la expresión resultante, lo que nos permitirá simplificar (escribir de forma 
más sencilla) una forma proposicional. 
 
A continuación se presentan las identidades, leyes y equivalencias de uso común en la cátedra. Es-
tán escritas con símbolos en lugar de variables proposicionales para facilitar la generalización de las 
mismas. Es de hacer notar que en cada uno de esos símbolos puede estar escrita una variable pro-
posicional o un signo de agrupación, importando solamente que para símbolos iguales las estructu-
ras que aparezcan en ellos también deben ser iguales. 
 
Identidades (escritas por conectivos) 
 
Conjunción: 
 ∧  ≡  
 ∧ ∼ ≡ F 
 ∧ V ≡  
 ∧ F ≡ F 
 
 
Disyunción: 
 ∨  ≡  
 ∨ ∼  ≡ V 
 ∨ V ≡ V 
 ∨ F ≡  
 
 
Condicional: 
 →  ≡ V 
 →∼ ≡ ∼ 
 → F ≡ ∼ 
 → V ≡ V 
F →  ≡ V 
V →  ≡  
Bicondicional: 
 
 ↔  ≡ V 
 ↔ ∼  ≡ F 
 ↔ V ≡  
 ↔ F ≡ ∼ 
Negación (Involución o doble negación) 
∼(∼) ≡  
 
Las identidades para la conjunción y disyunción que relacionan la variable consigo mismo 
reciben el nombre de ídempotencia, y las que la relación con su negación se denominan de com-
plementación. El único conectivo que no es conmutativo es el condicional, por tanto importa el 
orden en que aparecen los valores de verdad. 
 
SIMPLIFICACIÓN MEDIANTE LEYES 
 
Para la simplificación de formas proposicionales mediante las leyes de álgebra proposicio-
nal, además de las identidades, utilizaremos las siguientes equivalencias. 
 
Conmutativa: 
Se aplica a la conjunción, disyunción y bicondicional. NO se aplica al condicional. Al 
aplicarla puedo cambiar el orden en el cual aparecen las expresiones. 
( ∧ ) ≡ ( ∧ ) 
( ∨ ) ≡ ( ∨ ) 
( ↔ ) ≡ ( ↔ ) 
Asociativa: 
Nos permite agrupar en el orden que queramos tres expresiones, siempre y cuando los co-
nectivos entre ellas sean conjunciones, bicondicionales o disyunciones. 
[( ∨ ) ∨ ] ≡ [ ∨ ( ∨ )] 
[( ∧ ) ∧ ] ≡ [ ∧ ( ∧ )] 
 
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NO se puede aplicar si los conectivos son diferentes. 
[ ∧ ( ∨ )] NO es equivalente a [( ∧ ) ∨ ] 
 
Absorción: 
Para utilizarlo debemos tener dos expresiones diferentes (una de las cuales se repite) y los 
conectivos deben ser conjunción y disyunción, escribimos la expresión que se repite. 
[ ∧ ( ∨) ] ≡  
[ ∨ ( ∧)] ≡  
 
Distributiva: 
Al aplicarlo el conectivo que estaba fuera del signo de agrupación, quedara dentro de los 
mismos y el que estaba dentro queda afuera. 
[ ∧( ∨  )] ≡ [( ∧) ∨ ( ∧ )]Distributiva de la conjunción respecto a la disyun-
ción. 
[ ∨ ( ∧  )] ≡ [( ∨ ) ∧ ( ∨ )] Distributiva de la disyunción respecto a la con-
junción. 
D`Morgan: 
Se aplica cuando aparece una negación que precede a un signo de agrupación, el cual tiene 
por conectivo principal una conjunción o disyunción. 
Al aplicarlo cambio los conectivos (de conjunción a disyunción, o viceversa) y niego las ex-
presiones que enlazaba. 
∼ ( ∧ ) ≡ ∼ ∨ ∼ 
∼ ( ∨ ) ≡ ∼ ∧ ∼ 
 
Al utilizar la simplificación trabajamos con los conectivos básicos (negación, conjunción y 
disfunción), por tanto el condicional y el bicondicional lo transformaremos a una combinación de 
los mismos. 
Equivalencia del Condicional: 
A disyunción: 
( → ) ≡ ( ∼ ∨ ) Se niega el antecedente y el consecuente se conserva igual. 
A conjunción: 
( → ) ≡ ∼ ( ∧ ∼) Se niega el consecuente y se niega la conjunción. 
NOTA: se puede transformar de uno a otro empleando D`Morgan. 
 
Equivalencia del Bicondicional: 
A condicionales y desde allí a disyunciones: 
( ↔ ) ≡ [( → ) ∧ ( → )] 
 ≡ [(∼ ∨ ) ∧ (∼ ∨ )] 
A condicionales y desde allí a conjunciones: 
( ↔ ) ≡ [( → ) ∧ ( → )] 
 ≡ [∼( ∧ ∼ ) ∧ ∼(  ∧ ∼)] 
Otra equivalencia 
( ↔ ) ≡ [( ∧ ) ∨ (∼ ∧ ∼)] 
 
Cuando un bicondicional se encuentra negado, negamos sólo uno de los elementos que enlaza. 
 ∼ ( ↔ ) ≡ (∼ ↔ ) 
 ∼(  ↔ ) ≡ ( ↔ ∼)