Sistema de Inecuaciones

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GUÍA DE EJERCICIOS SOBRE SISTEMA DE 
INECUACIONES (REGIÓN SOLUCIÓN) 
Elaborada por el Prof.: Guillermo Arraiz. 
Definición: Se llama sistema de inecuaciones al conjunto de dos o más de 
inecuaciones cuya solución es una región del plano cartesiano. 
 
Ejemplo: 








74
312
4
2 xyx
x
yx
Ry; 
 
Nótese que, a diferencia de un sistema de ecuaciones donde se tienen igualdades, 
acá se tienen las relaciones de orden:  ;;; . Otra de las diferencias es que, 
mientras en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas la solución es un 
punto P(x,y); acá será, como se dijo anteriormente una región del plano 
cartesiano. Lo que nos lleva a utilizar un método netamente gráfico para su 
resolución. 
 
Ejercicio Resuelto: Determine la región solución del 
siguiente sistema de inecuaciones. 
 








22
21
4 2
xy
y
xy
Ry; 
 
Solución: 
 
Lo primero que debemos hacer es transformar todas las relaciones de orden en 
igualdades, así: 
 








22
21
4 2
xy
y
xy
 
 
 
Si observamos, al colocar estas igualdades nos queda lo siguiente: 
 
24 xy  ; Esto es una función cuadrática. 
21 y ; Esto es una ecuación con valor absoluto. 
22  xy ; Esto es una función lineal. 
 
Como se trata de un método gráfico, haremos el estudio de cada una de ellas: 
 
1. 24 xy  
 
Como se trata de una FUNCIÓN CUADRÁTICA, procedemos a hacer su estudio 
así, (recordar lo que se vio en clase presencial sobre trazado de parábolas): 
 
a. Abertura: Convexa (x2 es negativo) 
b. Discriminante: acb 42  (a=-1, b=0, c=4, ver la función) 
 )4)(1(402  
 16 (Positivo: La parábola corta dos veces a “x”) 
 
c. Vértice: 




 

a
bac
a
b
V
4
4
;
2
2
 (a=1, b=0, c=-4, ver la función) 
 










)1(4
0)4)(1(4
;
)1(2
0 2
V , por lo que:  4;0V 
 
d. Corte con los ejes: 
Con “x”: 
2202
202
0)2)(2(
04 2




xxx
xx
xx
x
 Con “y”: 
4
04 2


y
y
 
 
 
2. 21 y 
 
Como se trata de una ECUACIÓN CON VALOR ABSOLUTO, procedemos a 
resolverla de la siguiente manera: 
 
 
 






11221
11221
21
yyy
yyy
y 
 
Si observamos acá, nos están quedando dos funciones constantes “y=1” y “y=-1” las 
cuales se representan como rectas horizontales en el plano cartesiano. 
 
NOTA: SI EL VALOR ABSOLUTO CONTIENE “X” EN SU INTERIOR LO QUE 
VA A RESULTAR SON 2 RECTAS VERTICALES. 
 
3. 22  xy 
 
Como se trata de una FUNCIÓN LINEAL, según la teoría vista, debemos elaborar 
como primer paso una tabla de valores con cualquier valor real: 
 
Valor Sustitución Resultado 
x=-1 y= - (-1)-2 y=-1 
x=0 y= -(0)-2 Y=-2 
x=1 y= -(1)-2 Y=-3 
 
2do paso: Corte con los ejes. 
Con “x”: 
2
2
02



x
x
x
 Con “y”: 
2
20


y
y
 
 
La representación gráfica de lo que acabamos de resolver quedaría así: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: Como pueden notar, las rectas “y=1” y “y=-1”, son segmentadas y las funciones 
lineal y cuadrática son continuas. Esto se debe a lo siguiente: 
 
- Si la inecuación original tiene las relaciones de orden ;; la gráfica se 
traza “continua” así: 
- Si la inecuación original tiene las relaciones de orden ; la gráfica se 
“segmentada” así: 
 
Ahora determinaremos la región solución probando el punto P (0,0) en las inecuaciones 
lineal y cuadrática del sistema original así: 
 
 El punto P (0.0) para la inecuación: 24 xy  
 
40
040
4
2
2


 xy
 
 
Esto es cierto. Y como el punto P (0,0) se encuentra dentro de la parábola se tomará esa 
región del plano como parte de la solución. 
 
 El punto P (0.0) para la inecuación: 22  xy 
 
20
2)0(20
22


 xy
 
 
Esto es cierto. Y como el punto P (0,0) se encuentra por encima de la recta se tomará esa 
región del plano como parte de la solución. 
 
Ahora nos queda sólo la inecuación: 21 y 
 
Para ello haremos uso de la siguiente propiedad: 
axaax  
 
La aplicamos así: 
21221  yy 
 1212  y 
 31  y 
 
Esto indica que la región solución del valor absoluto está dentro de las rectas: “y=-1” y 
“y=3”. 
 
 
Finalmente, si representamos sobre el gráfico anterior todas las regiones que acabamos 
de obtener, nos queda lo siguiente: 
 
 
 
 
Leyenda: 
 
 Región Solución de la Función Lineal. 
 Región Solución de la Función Cuadrática. 
 Región Solución de la Inecuación con Valor Absoluto. 
 
 
Nótese que la región solución del sistema de inecuaciones (Marcada con R.S.) está 
representada por la intersección de todas las regiones solución de las distintas 
inecuaciones del sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios Propuestos: Determine la región solución de los 
siguientes sistemas de inecuaciones: 
 
1. 








4
21
3
2xy
x
yx
Ry;
 
 
 
2. 








632
52
92
xy
y
xx
Rx;
 
 
 
3.
 








yxx
y
yx
24
21
632
Rx; 
 
 
4. 








03
21
9 2
yx
y
xy
Rx; 
 
 
5. 








4
21
3
2xy
x
y
Ry; 
 
 
6. 








9
51
32
2xy
y
yx
Ry;