Tema 16- Energía y Cantidad de Movimiento Angular

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ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO
Energía cinética de un cuerpo rígido que rota con velocidad angular ω alrededor de un eje que pasa 
por el centro de masa.
Energía cinética de la i-ésima partícula:
Pero, la velocidad angular es la misma para todas las partículas en
rotación, así que, si sumamos, sale de factor común:
Un cuerpo rígido en rotación es una masa en movimiento, entonces, tiene una energía cinética de rotación, que 
no la habíamos tenido en cuenta cuando lo considerábamos una partícula, y que se puede expresar en términos 
de la rapidez angular y el momento de inercia:
1 1 2 2
1 1 1 1
...
2 2 2 2
i i i i
i i
K m m m m   
 
= + + = =  
 
 2 2 2 2 2 2 2 2r r r r
1 1
2 2
i i i im v m 
2 2 2
= r
1
2
CMK I =
2
TRABAJO EN EL MOVIMIENTO ROTACIONAL
Recordemos el Teorema del Trabajo-Energía Cinética que aprendimos para la traslación de3 partículas:
La energía cinética de un cuerpo es igual al trabajo efectuado para acelerar ese cuerpo desde el reposo. 
Cuanto mayor sea el momento de inercia de un cuerpo, más difícil será ponerlo a girar si está en reposo, y 
más difícil será detener su rotación si ya está girando.
TOT 2 1
W = K - K = K
1 1
2 2
−2 22 1F.s = m.v m.v
Suponga que una fuerza tangencial Ftan actúa en el borde de un disco pivoteado; por ejemplo, una niña que corre 
empujando una calesita
La rueda gira un ángulo infinitesimal dθ alrededor de un eje fijo durante un tiempo
infinitesimal dt. 
El trabajo dW efectuado por Ftan mientras un punto del borde se mueve una distancia 
ds es dW = Ftan ds. Si dθ se mide en radianes, entonces, ds = R dθ
Así:
Pero, Ftan.R es el torque τz, entonces:
Integrando:
Si τz es constante sale fuera de la integral: 
𝑊 = න
𝜃1
𝜃2
𝜏𝑧 𝑑𝜃
𝑊 = 𝜏𝑧 𝜃2 − 𝜃1 = 𝜏𝑧𝛥𝜃
Podemos expresar el trabajo en términos del torque y el desplazamiento angular.
𝑊 = 𝜏𝑧 𝜃2 − 𝜃1 = 𝜏𝑧𝛥𝜃
Trabajo efectuado por
un torque constante.
𝑊 = න
𝜃1
𝜃2
𝜏𝑧 𝑑𝜃
Trabajo efectuado por un 
torque que varía con el ángulo.
Notemos la analogía con: 
TRABAJO EN EL MOVIMIENTO ROTACIONAL
𝑊𝑇𝑂𝑇 = 𝜏𝑧𝛥𝜃 =
1
2
𝐼𝜔2
2 −
1
2
𝐼𝜔1
2
EL TEOREMA TRABAJO-ENERGÍA CINÉTICA PARA LA ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO QUEDA:
𝑊𝑇𝑂𝑇 = න
𝜃1
𝜃2
𝜏𝑧 𝑑𝜃 =
1
2
𝐼𝜔2
2 −
1
2
𝐼𝜔1
2
W = F.s
MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA
[kg.m2/s]
Todas las cantidades rotacionales que hemos visto en los temas 13, 14 y 16 son análogas a cantidades que
definimos previamente para el movimiento traslacional de una partícula. El análogo al momento lineal o cantidad de
movimiento de una partícula en el movimiento rotacional, es el momento angular, una cantidad vectorial denotada
con L. Su relación con la cantidad de movimiento o momento lineal) es exactamente la misma que entre el torque y la
fuerza. Para una partícula de masa constante m, velocidad v, momento lineal p y vector de posición r relativo al
origen de coordenadas O de un marco inercial, definimos al momento angular como
El valor de depende del origen O elegido, ya que en él interviene el vector
de posición de la partícula r relativo al origen. 
En la figura, el vector momento angular es perpendicular al plano xy. La regla de 
la mano derecha para productos vectoriales nos indica que su dirección es en el 
eje +z, y su magnitud es
Donde l es el “brazo de palanca” para el vector de momento lineal.
(1)
(2)
L r p r mv=  = 
( )L mvrsen mvl= =
Si una fuerza neta actúa sobre una partícula, cambian su velocidad y su momento lineal, y también puede cambiar su 
momento angular . Podemos demostrar que la rapidez de cambio del momento angular es igual al torque de la fuerza 
neta. Derivamos la ecuación (1) con respecto al tiempo usando la regla de la derivada de un producto:
El primer sumando es cero porque contiene el producto vectorial de dos vectores paralelos. En el segundo sumando, 
sustituimos por la fuerza neta obteniendo:
La rapidez de cambio del momento angular de una partícula es igual a la torca de la fuerza neta que actúa 
sobre ella. 
Compare este resultado con la ecuación:
dL
r F
dt
=  =
dp
F
dt
=
- Podemos usar la ecuación (2) para calcular el momento angular total de un 
cuerpo rígido que gira en torno al eje z con rapidez angular ω. Consideremos 
primero una rebanada del cuerpo que está en el plano xy. Cada partícula de la 
rebanada se mueve en un círculo centrado en el origen, y en cada instante su 
velocidad es perpendicular a su vector posición como se indica. Por 
consiguiente, en la ecuación (2), φ = 90° para todas las partículas. 
- Una partícula de masa mi que está a una distancia ri de O tiene una rapidez vi
igual a riω. Por la ecuación (2), la magnitud Li de su momento angular es:
- La dirección del momento angular de cada partícula, dada por la regla de la
mano derecha para el producto vectorial, es sobre el eje +z.
- El momento angular total de la rebanada que está en el plano xy es la suma de los momentos angulares Li de las 
partículas. Haciendo la sumatoria de la ecuación tenemos:
El vector de velocidad angular también está sobre el eje de rotación. Así, para un cuerpo rígido que gira alrededor de un 
eje de simetría, y tienen la misma dirección, y tenemos la relación vectorial:
L=Iω
En particular, si el centro de giro es el centro de masas:
෍ Ԧ𝜏𝐶𝑀 =
𝑑𝐿𝐶𝑀
𝑑𝑡
Para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje de simetría y 
alrededor del C.M.
La suma involucra sólo los torque externos! Los torque producidos 
por fuerzas internas se cancelan mutuamente!
.CM CML I =
Si , entonces , y es constante.
Si el torque externo neto que actúa sobre un sistema es cero, el momento angular total del 
sistema es constante (se conserva).
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR EN LA ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO
෍ Ԧ𝜏𝐶𝑀 =
𝑑𝐿𝐶𝑀
𝑑𝑡
Si el torque externo neto que actúa sobre un sistema es cero, el momento angular total
del sistema es constante!!! (se conserva).
Suponga que una trapecista acaba de separarse de un columpio con los brazos y las piernas extendidos, y girando 
en sentido antihorario alrededor de su centro de masa. Al encoger los brazos y las piernas, su momento de inercia Icm con 
respecto a su centro de masa cambia de un valor grande I1 a uno mucho menor I2. La única fuerza externa que actúa sobre 
ella es su peso, que no tiene torque con respecto a un eje que pasa por su centro de masa. Así, su momento angular 
permanece constante, y su velocidad angular aumenta al disminuir I. Esto es,
0
ext
 = 0
dL
dt
= L
1 1 2 2. .z zI I =
ROTOTRASLACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO: TRASLACIÓN Y ROTACIÓN COMBINADAS
¿Qué sucede si el eje de rotación se traslada? 
En tal caso, el movimiento del cuerpo es de traslación y rotación combinados.
Cada posible movimiento de un cuerpo rígido puede representarse como una combinación de movimiento 
traslacional del centro de masa y rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa.
Cuerpo rígido con 
traslación y rotación
ENERGÍA CINÉTICA TOTAL:
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA:
1 1
2 2
CM CMK Mv I = +
2 2
. .GRAV CMU M g y=
Para un cuerpo de masa total M, la energía potencial gravitacional U es simplemente:
Para un cuerpo rígido en rotación, es válido aplicar los principios de energía vistos en la primer parte 
de la materia para una partícula aislada.
𝑊𝑁𝑜𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 = 𝐾2 + 𝑈𝐺𝑅𝐴𝑉,2 + 𝑈𝐸𝐿,2 −( 𝐾1 + 𝑈𝐺𝑅𝐴𝑉,1 + 𝑈𝐸𝐿,1)
TEOREMA DEL TRABAJO-ENERGÍA MECÁNICA
La energía potencial gravitacional asociada a cualquier cuerpo rígido de masa M, es la misma que si 
sustituimos el cuerpo por una partícula de masa M situada en el centro de masa del cuerpo.
El trabajo de las fuerzas no conservativas es igual al cambio en la energía mecánica. Hemos 
aquí incorporado en el término cínético K, la suma de las energías cinéticas de traslación y 
rotación. Asimismo, la energía potencial gravitatoria calculada como la ec. (3).
(3). .GRAV CMU M g y=
RODADURA(RODAR SIN DESLIZAR)
R es el radio de la rueda y ω su rapidez angular alrededor del centro de masa.
Condiciones para rodar sin resbalar
Un caso importante de traslación y rotación combinadas es el de rodar sin deslizar:
y
Si un cuerpo rueda sin deslizar, la fuerza de rozamiento no realiza trabajo!!! Ya que el punto de 
contacto está instantáneamente detenido, no hay desplazamiento ( = 0).
𝑊 = Ԧ𝐹. 𝛥𝑥 = 0
.CMa R=.CMv R=
es el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de masa.
incluye todos los torques externos con respecto a este eje.
Si un cuerpo tiene movimientos traslacional y rotacional al mismo tiempo, necesitamos dos ecuaciones
de movimiento independientes para el mismo cuerpo. 
Describe la rotación alrededor del eje 
que pasa por el centro de masa.
Describe la traslación del centro de masa.
DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO
- Si la suma de las fuerzas externas es cero, diremos que el cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación.
- Si la suma de los torques externos es cero, diremos que el cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación.
- Si ambos son cero, diremos que el cuerpo está en EQUILIBRIO.
.z CM zI =
.ext CMF M a=
CMI
z
Ejercicios
1- ¿Una sola fuerza aplicada a un cuerpo puede alterar tanto su movimiento de traslación como su movimiento rotacional? 
Explique por qué.
2- Un automóvil con tracción en las cuatro ruedas acelera hacia delante partiendo del reposo. Demuestre la dirección en 
que giran las ruedas del vehículo y cómo esto origina una fuerza de fricción debida al pavimento, que acelera el auto hacia 
delante.
3- Al encenderse un motor eléctrico, tarda más en alcanzar su rapidez final si hay una rueda de afilar conectada al eje. ¿Por 
qué?
4- El trabajo efectuado por una fuerza es un producto de fuerza y distancia. El torque debido a una fuerza es también un 
producto de fuerza y distancia. ¿Implica esto que torque y el trabajo sean equivalentes? Explique por qué.
5- Imagine que, usted está de pie en el centro de una mesa giratoria horizontal grande, que comienza a girar libremente 
sobre cojinetes sin fricción (ningún motor la impulsa). Si camina hacia el borde de la mesa giratoria, ¿qué pasa con el 
momento angular combinado de usted y la mesa? ¿Qué sucede con la rapidez de rotación de la mesa? Explique su 
respuesta.
6- Calcule el torque (magnitud y dirección) alrededor del punto O debido a la fuerza en cada una de las situaciones (ver 
página siguiente). En todos los casos, la fuerza y la varilla están en el plano de la página, la varilla mide 4.00 m de largo y la 
fuerza tiene una magnitud de 10 N.
7- Una piedra de 2.00 kg tiene una velocidad horizontal con magnitud de 12.0 m/s cuando está
en el punto P de la figura. a) ¿Qué momento angular (magnitud y dirección) tiene con respecto a
O en ese instante? b) Suponiendo que la única fuerza que actúa sobre la piedra es su peso, 
calcule la rapidez del cambio (magnitud y dirección) de su momento angular en ese instante.
Rta: a) -115,28 Kgm2/s2 k ; b) 127.94 N.m k
8- En ciertas circunstancias, una estrella puede colapsarse formando un objeto extremadamente
denso constituido principalmente por neutrones y llamado estrella de neutrones. La densidad de
tales estrellas es unas 1014 veces mayor que la de la materia sólida ordinaria. Suponga que 
representamos la estrella como esfera sólida rígida uniforme, tanto antes como después del 
colapso. El radio inicial era de 7 105 km (comparable al del Sol); y el final, de 16 km. Si la estrella 
original giraba una vez cada 30 días, calcule la rapidez angular de la estrella de neutrones.
9- Una puerta de madera sólida de 1 m de ancho y 2 m de alto tiene las bisagras en un lado 
y una masa total de 40.0 kg. La puerta, que inicialmente está abierta y en reposo, es golpeada 
en su centro por una bola de lodo pegajoso con masa de 0.5 kg, que viaja en dirección
perpendicular a la puerta a 12.0 m/s justo antes del impacto. Calcule la rapidez angular final de 
la puerta. ¿Es apreciable la aportación del lodo al momento de inercia?
10- Un disco sólido rueda sin resbalar en una superficie plana con rapidez constante de 2.5 m/s. a) ¿Hasta qué altura 
puede subir por una rampa de 30.0° antes de parar? b) Explique por qué su respuesta anterior no depende de
la masa ni del radio del disco.
x
y
z
11- Dos personas de 75 kg de masa cada una están situadas en el borde de un disco de
2.6 m de diámetro y 20 kg de masa (ICM = M.R2/2). El disco gira a razón de 8 rpm respecto
del eje perpendicular al disco y que pasa por su centro.
a) Calcular el momento de inercia y el momento angular del conjunto disco-personas.
b) ¿Cuál será la velocidad angular del disco si cada persona se desplaza 60 cm hacia el centro del disco?
c) Calcular la variación de energía cinética de rotación del sistema. 
12- Una persona se para en el centro de una mesita giratoria con los brazos extendidos horizontalmente y una mancuerna de 
5.0 kg en cada mano. Se le pone a girar sobre un eje vertical, dando una revolución cada 2.0 s. Calcule la nueva velocidad 
angular si la persona pega las mancuernas a su abdomen. Su momento de inercia (sin las mancuernas) es de 3 Kg m2 con los 
brazos estirados, y baja a 2.2 Kg m2 si pone las manos en el abdomen. Las mancuernas están a 1.0 m del eje al principio y a 
0.20 m al final; trátelas como partículas. Rta: 5π 1/s.
13- La figura muestra dos discos. Uno (A) es un volante de motor; el otro (B), una placa de 
embrague sujeta a un eje de transmisión. Sus momentos de inercia son IA e IB. 
Inicialmente, los discos están girando con rapideces angulares constantes ωA y ωB, 
respectivamente. Luego, juntamos los discos con fuerzas que actúan sobre el eje, 
con la finalidad de no aplicar un torque a ningún disco. Los discos se frotan entre
sí y finalmente alcanzan una rapidez angular final común ω. Deduzca una expresión para ω.
14- Una esfera sólida (ICM = 2.M.R2/5) de 5 kg y radio 12 cm parte del reposo y cae rodando sin deslizar por un plano 
inclinado de 30° desde una altura de 20 metros. 
a) Hacer un diagrama de las fuerzas que actúan sobre la esfera durante su movimiento.
b) Calcular la cantidad de movimiento y el momento angular de la esfera al llegar al pie del plano inclinado. 
c) ¿Qué trabajo tendrá que realizar una persona para frenar la esfera en ese punto? 
15- Un cilindro sólido de 100 kg y radio 40 cm cae rodando sin deslizar por un plano inclinado de 30° desde una altura de 
20 metros. 
a) Hacer un diagrama de las fuerzas que actúan sobre el cilindro durante su movimiento.
b) ¿Cómo interviene la rugosidad de la superficie en el movimiento del cilindro? ¿Cambiaría el tipo de movimiento si la 
superficie de la pista fuese lisa? 
c) ¿Puede utilizarse el principio de conservación de la energía mecánica cuando se analiza una rodadura sin 
deslizamiento?
d) Calcular la velocidad lineal y la velocidad angular del cilindro.
e) Calcular la energía cinética al llegar al pie del plano inclinado.
f) Repetir los puntos d) y e) si se trata de un cilindro hueco de pared delgada (donde la masa está concentrada en su 
exterior).
16- Una pelota se suelta desde una altura h = 2 m y desciende por una pista rodando sin deslizar (ver figura). Pasa por un 
rulo y termina su recorrido comprimiendo un resorte (k = 200 N/m). El radio de la pelota es r = 2 cm y su masa es m = 0,5 
kg, el radio del rulo es R = 0,4 m. (ICM = 2.m.r2/3)
a) Hallar la distancia x de compresión del resorte.
b) ¿Qué velocidad tiene la pelota en el punto más alto del rulo?
17- a) Enunciar las condiciones de equilibrio para un cuerpo rígido. b) ¿Cuáles de las dos condiciones de equilibrio se 
cumplen para cada caso?
18- Una tabla uniforme de 5 metros de longitud y de masa 30 kg está colocada sobre dos balanzas A y B situadas a una 
distancia de 0,3 metros de cada uno de los extremos. 
a) Calcular la lectura que mostrarán las balanzas cuando una persona de 50 kg de masa, se sitúe en el extremo izquierdo 
de la tabla. 
b) ¿Cuál es la masa de una persona másrobusta si cuando se para en el extremo izquierdo de la tabla, la balanza de la 
derecha marca cero? 
19- Una escalera uniforme de 10 m de longitud pesa 100 N y está apoyada contra una pared vertical sin rozamiento. El 
pie de la escalera está a 6 m de distancia de la pared. ¿Cuál es el mínimo coeficiente de rozamiento estático necesario 
entre el suelo y la escalera para que esta no deslice? Rta: 0,37