Tema 14- Centro de masa y Rotación

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Consideremos que el sistema está formado por un gran número de partículas, con masas m1, m2, …, etc., 
y las coordenadas de m1 son (x1,y1), las de m2 son (x2,y2), …, etc.
( )
1 1 2 2
1 2
...
...
i i
i
cm
i
i
m
m m
x
m m m
+ +
= =
+ +


x
x x
( )
1 1 2 2
1 2
...
...
i i
i
cm
i
i
m
m m
y
m m m
+ +
= =
+ +


y
y y
La posición del centro de masa del sistema es el punto (xcm,ycm), donde:
El centro de masa (c.m.) de un sistema o grupo de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se 
comporta, para todo efecto relacionado con la traslación del sistema como un todo, de la siguiente manera:
- La masa del c.m. es igual a la masa total (la suma) del sistema de partículas.
- En el c.m. está aplicada la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. 
CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
POSICIÓN DEL CENTRO DE MASA
Las componentes x e y de velocidad del centro de masa (vcm-x y vcm-y) son las derivadas de xcm y ycm respecto 
al tiempo.
( )
1 1 2 2
1 2
...
...
i ix
x x i
cm x
i
i
m
m m
v
m m m
−
+ +
= =
+ +


v
v v ( )
1 1 2 2
1 2
...
...
i iy
y y i
cm y
i
i
m
m m
v
m m m
−
+ +
= =
+ +


v
v v
La velocidad del centro de masa del sistema es el vector (vcm-x,vcm-y), donde:
MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
Si llamamos M a la masa total del sistema de partículas: M = m1+ m2+...
1 1 2 2 ...cmMv m v m v P= + + =
La cantidad de movimiento p de un sistema de partículas es la masa total del sistema multiplicada por 
la velocidad del centro de masa, es como si el sistema se comportara como una única partícula, con 
masa total igual a la suma de las masas individuales, moviéndose con la velocidad del c.m.
Las componentes x e y de aceleración del centro de masa (acm-x y acm-y) son las derivadas de vcm y vcm
respecto al tiempo.
( )
1 1 2 2
1 2
...
...
i ix
x x i
cm x
i
i
m
m m
a
m m m
−
+ +
= =
+ +


a
a a ( )
1 1 2 2
1 2
...
...
i iy
y y i
cm y
i
i
m
m m
a
m m m
−
+ +
= =
+ +


a
a a
La aceleración del centro de masa del sistema es el vector (acm-x,acm-y), donde:
ACELERACIÓN DEL CENTRO DE MASA
Si llamamos M a la masa total del sistema de partículas: M = m1+ m2+...
ext cm
i
F Ma=
Cuando fuerzas externas actúan sobre un sistema de partículas, el centro de masa se mueve como si 
toda la masa estuviera concentrada en ese punto y sobre ella actuara una fuerza neta 
igual a la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.
CUERPO RÍGIDO: CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL
Hasta este punto hemos descripto el movimiento de un cuerpo, suponiendo que el 
cuerpo estaba concentrado en un punto o una partícula.
Para la traslación de un cuerpo como un todo, puede describir bastante bien la situación, Sin embargo, en 
muchas otras situaciones esto no es adecuado. Especialmente para describir la rotación pura, sin traslación: 
por ejemplo el movimiento de un CD, de un ventilador de techo, de una calesita, etc.
Esto puede se una buena 
aproximación para algunos casos!
CUERPO RÍGIDO
CUERPO RÍGIDO
Debemos considerar los cuerpos con un dado tamaño y una dada forma. 
Los CUERPOS RÍGIDOS pueden tener tanto 
movimiento TRASLACIONAL como ROTACIONAL
Se trata de un cuerpo rígido que gira sobre un eje fijo, es decir, un eje que está en 
reposo en algún marco de referencia inercial y no cambia de dirección relativa al 
marco.
MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO
Aguja de velocímetro de un auto que gira en sentido antihorario sobre un eje fijo.
La rotación del cuerpo rígido se describe a partir del 
ángulo θ que se forma con el eje x positivo
Se adopta como convención de signos que los ángulos son positivos cuando el movimiento es en el 
sentido antihorario (levógiro) y negativo en el sentido horario (dextrógiro).
Ejemplo:
ÁNGULOS EN RADIANES
2
360º
1 rad = = 57,3º
 
/ 2 


180º = rad
90º = rad 
[rad/s]
El cuerpo gira en torno
al eje de rotación z
[rad]
Es la magnitud del vector velocidad angular instantánea
2 1   −=
2 1
2 1
med z
t t t
  
 −
− 
=
− 
=
[rad/s]
0
z
t
d
t dt
 

 →

=

= lim
[rad/s]z z =
DESPLAZAMIENTO ANGULAR:
VELOCIDAD ANGULAR MEDIA:
VELOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA:
RAPIDEZ ANGULAR
Así como en Cinemática de la partícula definimos desplazamiento, 
velocidad media, velocidad y aceleración, ahora definimos sus 
análogos para la rotación:
REGLA DE LA MANO DERECHA
La velocidad angular es un vector que apunta en el plano perpendicular
al eje de la rotación.
Para ver su dirección podemos aplicar la Regla de la Mano Derecha:
Si bien, su unidad natural es radianes/segundo, también se utilizan otras,
Como revoluciones por minuto (r.p.m.), revoluciones por segundo (r.p.s.)
El pasaje de una unidad a otra se hace por simple regla de tres:
1 revolución = 2𝜋 rad 1 r.p.m. =
2𝜋
60
rad/s (1 rad/s ≈ 10 rpm)
[rad/s2]2 1
2 1
z z z
med z
t t t
  
 −
− 
=
− 
=
2
2
0
z z
z
t
d d
t dt dt
  

 →

= =

= lim [rad/s2]
Así como ocurría en el movimiento lineal, la rotación del 
cuerpo rígido se está acelerando si y tienen el 
mismo signo, y se está decelerando si y tienen 
signos opuestos.
z z
z z
ACELERACIÓN ANGULAR MEDIA
ACELERACIÓN ANGULAR INSTANTÁNEA
Diferentes puntos de un cuerpo rígido en rotación recorren diferentes 
distancias en un tiempo dado, dependiendo de la distancia con respecto al 
eje de rotación. Sin embargo, dado que el cuerpo es rígido, todos los 
puntos giran el mismo ángulo en el mismo tiempo
En cualquier instante, todas las partes de un cuerpo rígido en rotación tienen la misma velocidad angular.
(Similar a MRUV)
𝜃 = 𝜃0 +𝜔0. 𝑡
𝜔(𝑡) = 𝜔0
𝛼(t) =0
ANALOGÍA CON EL MOVIMIENTO DE 
TRASLACIÓN:
Movimiento Rectilíneo
Movimiento RotacionalxPosición
xvVelocidad z
xaAceleración z
Movimiento Rotacional
ROTACIÓN CON ACELERACIÓN 
ANGULAR CONSTANTE
ROTACIÓN CON VELOCIDAD 
ANGULAR CONSTANTE
𝜃 = 𝜃0 +𝜔0. 𝑡 +
1
2
𝛼𝑡2
𝜔𝑧 = 𝜔0 + 𝛼𝑡
𝛼(t) = cte
(Similar a MRU)
RELACIÓN ENTRE CINEMÁTICA LINEAL Y ANGULAR
Cuanto más lejos del eje esté un punto del centro de 
giro, mayor será su rapidez lineal.
Recordemos que esta es una igualdad entre 
módulos, no entre vectores, la velocidad y la 
velocidad angular son vectores perpendiculares!
La dirección del vector de velocidad lineal es siempre tangente a la trayectoria circular.
𝑣 = 𝑟.𝜔
Relación entre rapidez lineal y angular para un cuerpo rígido en rotación
Recordemos que son igualdades entre módulos, no entre vectores
𝑎𝑡𝑎𝑛 = 𝑟. α
Relación entre aceleración lineal y angular para un cuerpo rígido en rotación
Para una partícula en rotación podemos descomponer su aceleración en dos
componentes: 
Por un lado, la aceleración tangencial, tangente a la circunferencia, produce
cambios en la velocidad angular.
Por otro lado, por estar girando existe una aceleración que apunta siempre hacia
el centro, para mantenerlo girando, llamada aceleración radial o centrípeta:
𝑎𝑟𝑎𝑑 =
𝑣2
𝑟
= ω2𝑟
Ejercicios:
1- Calcular la posición del centro de masa para el sistema de la figura:
Masa (posición x[m], posición y[m]) Valor de masa
m1 (0,3) m1 = 2 kg.
m2 (0,0) m2 = 1 kg.
m3 (4,0) m3 = 3 kg.
Rta: (2,1) m
2- Centro de masa.
Un automóvil de 1200 kg circula hacia el este a 60 km/h cuando choca en un cruce con un camión de 3000 kg que circulaba 
hacia el norte a 40 km/h. El automóvil y el camión se acoplan como un solo cuerpo a consecuencia del choque. 
(i) Calcular la velocidad del centro de masa antes de la colisión.
(ii) Determinar la velocidad del conjunto automóvil-camión después del choque.
Rta: (17.14; 28.57) Km/h ambos i-ii.
3- Choque. Centro de masa.
Dos chicos de masas iguales de 50kg, están patinando en una pista de hielo. Inicialmente uno de ellos se dirige hacia la 
izquierda con una velocidad v = 1 m/s, mientras que el otro tiene un movimiento hacia la derecha con v = 3 m/s, en una 
misma recta de acción.Los chicos chocan y se abrazan, de forma tal que continúan el movimiento abrazados.
a) ¿Cuál es la velocidad de la pareja después del choque?
b) ¿Se modifica la velocidad del centro de masa del sistema debido al choque? 
c) ¿Se modifica la energía cinética del sistema debido al choque?
Rta: a) 1 m/s; b) NO; 3) Si, es un choque completamente inelástico, se pierde energía cinética.
4- Choque. Centro de masa.
Dos vagones del ferrocarril con masas de 60000 y 40000 Kg se mueven a lo largo de una vía en igual dirección y sentido, de modo que el más 
pesado va adelante en marcha a 0,5 m/s, mientras que la velocidad del segundo es de 1 m/s. En cierto momento los vagones chocan y se 
acoplan.
a) Calcular las cantidades de movimiento de los dos vagones y del centro de masa del sistema antes y después del choque. 
b) ¿A qué velocidad se mueven los vagones después del choque?
c) Hallar la energía cinética del sistema antes y después del choque.
Rta: a) 30000 Kg m/s, 40000 Kg m/s y 70000 Kg m/s; b) 0.7 m/s; c) 27500 J y 24500 J.
5- a) Convertir los siguientes ángulos de radianes a grados: (i) α = 6,28 (ii) β = 2.π (iii) γ = π/3 (iv) θ = 4 
b) Convertir los siguientes ángulos de grados a radianes: (i) α = 180° (ii) β = 120° (iii) γ = 15° (iv) θ = -15°
6- La posición angular de una calesita viene dada por θ(t) = (5/s3)t3+(2/s) t siendo el diámetro de la calesita es de 3 metros. Calcular:
(i) El ángulo θ, en radianes y en grados, en t1 = 2 s y en t2 = 10 s. 
(ii) La distancia que recorre una partícula en el borde de la calesita entre 2 y 10 s. 
(iii) La velocidad angular media, en rad/s y en RPM, entre t1 = 2 s y t2 = 10 s. 
(iv) La velocidad angular instantánea para t2 = 10 s. 
(v) La aceleración angular media entre t1 = 2 s y t2 = 10 s. 
(vi) La aceleración angular instantánea para t2 = 10 s. 
Rta: i) 44 y 5020; ii) 7464 m; iii) 622 1/s 5942,67 rpm; iv) 62 1/s y 1502 1/s; v) 180 1/s2; vi) 300 1/s2. 
7- Un ventilador de techo se está deteniendo. La velocidad angular del ventilador en t = 0 es de 15/s y su aceleración angular constante es de 
-7/s2. Si se denomina hélice A a la hélice que está a lo largo del eje +x en t = 0. 
(a) ¿Qué velocidad angular tiene el ventilador en t = 0.5 s? 
(b) ¿Qué ángulo forma la hélice A con el eje +x en ese instante?
Rta: a) 11.5 1/s; b) 6,625
8- a) ¿Qué ángulo en radianes es subtendido por un arco de 1.50 m en la circunferencia de un círculo con 2.50 m de 
radio? ¿Cuánto es esto en grados? b) Un arco de 14.0 cm de longitud en la circunferencia de un círculo subtiende un 
ángulo de 128 grados. ¿Qué radio tiene el círculo? c) El ángulo entre dos radios de un círculo con 1.50 m de radio es
0.7 rad. ¿Qué longitud tiene el arco delimitado en la circunferencia por estos dos radios?
9- . Una hélice de avión gira a 1900 rpm. a) Calcule su velocidad angular en [rad/s]. b) ¿Cuántos segundos tarda la hélice 
en girar 30 grados?
10- La velocidad angular de un volante obedece la ecuación ω(t)= A +B.t2 donde t está en segundos y A y B son 
constantes cuyos valores numéricos son 2.75 y 1.50, respectivamente. a) ¿Cuáles son las unidades de A y B si ω está en 
rad/s? b) ¿Cuál es la aceleración angular del volante en i) t= 0 y ii) t= 5 s? c) ¿Qué ángulo gira el volante durante los 
primeros 2 s?
11- ¿Qué diferencia hay entre aceleración tangencial y aceleración radial para un punto de un cuerpo que gira?
12- Un volante gira con velocidad angular constante. ¿Un punto en su borde tiene aceleración tangencial? ¿Y 
aceleración radial? ¿Estas aceleraciones tienen magnitud constante? ¿Y dirección constante? Justifique sus respuestas.
13- Un lanzador de disco gira el disco en un círculo con radio de 80.0 cm. En cierto instante, el lanzador gira con rapidez 
angular de 10/s y la rapidez angular está aumentando a 50/s2. Calcule las componentes de aceleración tangencial y 
centrípeta del disco en ese instante, así como la magnitud de la aceleración total.
Rta: at= 40 m/s
2; ar= 80 m/s
2; atotal= 89,44 m/s
2
14- En t=0, se invierte la corriente de un motor eléctrico de corriente continua, causando un desplazamiento angular del eje 
del motor dado por:
a) ¿En qué instante la velocidad angular del eje del motor es cero?
b) Calcule la aceleración angular en ese instante. c) ¿Cuántas revoluciones gira el eje del motor entre el momento en que se 
invierte la corriente y el instante en el que la velocidad angular es cero? d) ¿Con qué rapidez estaba girando el eje en t= 0, 
cuando se invirtió la corriente? e) Calcule la velocidad angular media para el periodo entre t= 0 y el instante calculado en el 
inciso a).
15- En t= 0, la velocidad angular de una rueda de afilar era de 24.0 1/s, y tuvo una aceleración angular constante de 30.0 
1/s2, hasta que un interruptor de circuito se abrió en t = 2 s. A partir de ese momento, la rueda giró 432 radianes con 
aceleración angular constante hasta parar. a) ¿Qué ángulo total giró la rueda entre t= 0 y el instante en que se detuvo? b) 
¿En qué tiempo se detuvo? c) ¿Qué aceleración tenía al irse frenando?
Rta: a) 540; b) 10.29 s; c) 8,166 1/s2