Apuntes Pretensado

Vista previa del material en texto

HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO I 
 
 
HORMIGÓN PRETENSADO 
 
Apuntes de Teoría 
 
10 de abril de 2003 
 
Unidad Docente de Hormigón Estructural 
Departamento de Mecánica de los Medios Continuos y Teoría de Estructuras 
Universidad Politécnica de Madrid 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Documento nº: apuntes_pretensado EDB 100403 
Edición nº: B 
Preparado: APC,MFD 
Comprobado: 
Aprobado: HCP 
Hormigón Pretensado 2/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
INDICE 
 
1 INTRODUCCIÓN 3 
2 TIPOS DE PRETENSADO 3 
2.1 Pretensado Preteso 3 
2.2 Pretensado Posteso 4 
2.3 Pretensado Exterior 5 
3 DISEÑO DEL TRAZADO DEL PRETENSADO EN ESTRUCTURAS 
POSTESAS 6 
4 PÉRDIDAS DE PRETENSADO 7 
4.1 Pérdidas instantáneas 7 
4.1.1 Pérdidas por rozamiento (20.2.2.1.1 EHE) 7 
4.1.2 Pérdidas por penetración de cuña (20.2.2.1.2 EHE) 8 
4.1.3 Pérdidas por acortamiento elástico (20.2.2.1.3 EHE) 10 
4.2 Pérdidas diferidas (20.2.2.2 EHE) 10 
5 SIMULACIÓN DE LOS EFECTOS DEL PRETENSADO MEDIANTE 
FUERZAS EQUIVALENTES DE PRETENSADO 11 
5.1 Introducción 11 
5.2 Deducción de la expresión de las fuerzas equivalentes de pretensado 11 
5.3 Cálculo simplificado de Fuerzas equivalentes de pretensado 15 
5.4 Modelización de estructuras de canto variable. 16 
5.5 Momento hiperestático del pretensado 17 
6 ESTADO LÍMITE ÚLTIMO 20 
7 ESTADO LÍMITE DE SERVICIO 22 
7.1 Comprobación de tensiones (49.2 EHE) 22 
7.1.1 Comprobación en vacío 22 
7.1.2 Comprobación a tiempo infinito 23 
7.2 Comprobación de fisuración en secciones pretensadas 23 
8 BIBLIOGRAFÍA 28 
Hormigón Pretensado 3/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
 
1 INTRODUCCIÓN 
En este documento se incluye una breve introducción al diseño de estructuras de 
hormigón pretensado. En él se incluye una definición de los principales tipos de 
pretensado, criterios para definir el trazado de tendones de pretensado posteso, 
cálculo de pérdidas de pretensado, formas de simular los efectos de pretensado 
(cargas equivalentes o deformaciones impuestas), determinación del momento 
último de secciones pretensadas, comprobaciones de tensiones (vacío y servicio) y 
cálculo de abertura de fisuras en elementos pretensados. 
 
Se trata por lo tanto de una visión global del proceso de diseño y verificación de 
estructuras de hormigón pretensado. 
2 TIPOS DE PRETENSADO 
2.1 Pretensado Preteso 
El pretensado preteso se caracteriza porque los cables se ponen en tensión antes de 
hormigonar el elemento. Para ello, resulta necesario disponer de un banco de tesado 
como el representado en la figura siguiente tomada de la referencia [1]: 
 
 
 
En el pretensado preteso no se dispone ni vaina de pretensado ni anclajes en el 
hormigón. La fuerza de pretensado se transfiere al hormigón mediante adherencia. No 
obstante sí se disponen anclajes de cuña en la bancada, necesarios para la fijación 
provisional de los cordones de pretensado. 
 
En la figura siguiente, se muestran una vista de una bancada de pretensado con y sin la 
ferralla del elemento pretensado 
Hormigón Pretensado 4/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
En la figura siguiente se puede ver el anclaje de los cordones de pretensado en la 
bancada mediante un sistema de cuñas. 
 
 
Como consecuencia de la forma en que se fabrica este tipo de elemento, en general el 
trazado de pretensado es recto, aunque, excepcionalmente, se pueden plantear 
trazados de tipo poligonal introduciendo desviadores intermedios. 
2.2 Pretensado Posteso 
El pretensado posteso se caracteriza porque los cables se ponen en tensión despúes 
de hormigonado del elemento. Por ello, es necesario dejar prevista una vaina (ver 
foto) con objeto de permitir el libre desplazamiento del pretensado en el hormigón 
con objeto de poder realizar el tesado. 
 
 
 
 
 
 
En este caso el anclaje del pretensado en el hormigón se hace por medios mecánicos 
mediante una placa que se apoya en una trompeta. En las fotos siguientes se muestran 
algunos detalles de este tipo de elemento. 
 
 
 
 
 
Hormigón Pretensado 5/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
 
 
 
 
Generalmente, una vez realizado el tesado, se procede a inyectar la vaina con lechada 
de cemento. La inyección dos funciones principales: 
 
 Proteger a la armadura activa de la corrosión 
 Proporcionar adherencia entre armadura activa y hormigón 
2.3 Pretensado Exterior 
El pretensado exterior se caracteriza porque el cable de pretensar discurre por fuera 
de la sección de hormigón, ya sea por el interior de un aligeramiento, ya sea por el 
exterior del canto del elemento como en el caso de soluciones con pretensado 
extradosado. 
 
El pretensado exterior tiene grandes posibilidades debido a que sus aplicaciones no se 
limitan a los puentes de hormigón como puede verse en la figura siguiente donde se 
muestra el Puente sobre el Barranco de Cavalls que es una estructura de celosía mixta 
con pretensado exterior. 
Hormigón Pretensado 6/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
 
3 DISEÑO DEL TRAZADO DEL PRETENSADO EN 
ESTRUCTURAS POSTESAS 
Para plantear el trazado de los cables de pretensado se pueden adoptar, en términos 
generales, las siguientes reglas: 
 
 En los anclajes, el trazado del pretensado debe pasar por el centro de 
gravedad de la sección, debido a que el momento en dicho punto suele ser 
nulo. No obstante, existen excepciones a esta regla, como por ejemplo cables 
pertenecientes a una fase de un procedimiento constructivo. 
 El cable debe tener su máxima excentricidad en los puntos de máximo 
momento (apoyos intermedios y centros de vanos interiores y a una distancia 
aproximada del 40% de la luz desde el apoyo extermo en vanos exteriores) 
Esta excentricidad viene limitada por la necesidad de dejar un recubrimiento 
geométrico de una vaina. Dependiendo del calibre de los tendones de 
pretensado, el diámetro de la vaina varía en aplicaciones de puentes entre 10 y 
12 cm, por lo que el recubrimiento mecánico mínimo varía entre 15 y 18 cm. 
 En los puntos de máxima excentricidad el cable tiene tangente horizontal. 
 El trazado de pretensado está compuesto por una succesión de parábolas 
tangentes que en algún caso pueden degenerar en rectas. Es importante que 
el trazado sea recto en una longitud de 1.00 a 2.00 metros de la proximidad de 
un anclaje o un acoplador. 
 Si considera el tramo de trazado comprendido entre la máxima excentricidad 
en centro de vano (punto A) y la máxima excentricidad en el apoyo (Punto C), 
estos dos puntos están alineados con el punto en el que se produce la 
tangencia de las dos parábolas (punto B), como se demuestra en la figura 
siguiente. 
 
 
 
Si se fija un criterio para definir la distancia del punto de tangencia al punto de 
máxima excentricidad, el trazado de pretensado queda perfectamente 
1.5h
L1 L2
1.5
φ
f2
f1
h
1.5φ
A
B
C
=
=
21
1 2
1
' 1
1 2
1
2
f
y x
L
f
y x
L
= =' 11 1
1
2f
Para x L y
L
=
=
22
2 2
2
' 2
2 2
2
2
f
y x
L
f
y x
L
= =' 22 2
2
2f
Para x L y
L
= ⇒ =' ' 1 21 2
1 2
f f
y y
L L
Por lo tanto A,B y C están alineados
1.5h
L1 L2
1.5
φ
f2
f1
h
1.5φ
A
B
C
1.5h
L1 L2
1.5
φ
f2
f1
h
1.5φ
A
B
C
=
=
21
1 2
1
' 1
1 2
1
2
f
y x
L
f
y x
L
= =' 11 1
1
2f
Para x L y
L
=
=
22
2 2
2
' 2
2 2
2
2
f
y x
L
f
y x
L
= =' 22 2
2
2f
Para x L y
L
= ⇒ =' ' 121 2
1 2
f f
y y
L L
Por lo tanto A,B y C están alineados
Hormigón Pretensado 7/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
definido. Un posible criterio es limitar la longitud de la parábola del apoyo que 
tiene curvatura negativa a 1.5 veces el canto de la estructura, con objeto de 
conseguir que las fuerzas de desvío correspondientes a dicha parábola entren 
en el apoyo sin incrementar significativamente la necesidad de disponer 
armadura de cortante (ver figura) 
 
 
4 PÉRDIDAS DE PRETENSADO 
La fuerza de pretensado que se especifica en el gato al tesar una estructura, no es la 
misma fuerza que alcanza las distintas secciones de la misma. De forma instantánea y 
a lo largo del tiempo, se producen pérdidas de pretensado que dependen de la 
sección considerada. Las pérdidas no afectan de igual forma los distintos tipos de 
pretensado (pretensado preteso, pretensado posteso, pretensado exterior) 
 
En esta sección se describen los distintos tipos de pérdidas de pretensado, 
relacionándolos con los distintos sistemas de pretensar. 
4.1 Pérdidas instantáneas 
4.1.1 Pérdidas por rozamiento (20.2.2.1.1 EHE) 
Las pérdidas por rozamiento se producen por fricción entre los cables de pretensado 
y la vaina. Este tipo de pérdidas se produce solamente en elementos postesos puesto 
que en elementos pretesos, el tesado se hace sin más rozamiento que el del aire. 
 
Las pérdidas por rozamiento pueden calcularse de acuerdo con la expresión siguiente: 
 
1 1
k
x
kP P e
µ α
µ
 
− + 
 
 
 ∆ = −
  
 
 
En esta expresión, µ es el coeficiente de rozamiento en curva, k es el coeficiente de 
rozamiento parásito en recta, α es la variación angular entre el punto en que se calcula 
la pérdida de pretensado y la sección en que la fuerza de pretensado es Pk y x es la 
distancia horizontal entre dichas secciones. 
 
En la tabla siguiente se presentan los valores más habituales de µ y k/µ. 
1.5h
h
1.5h 1.5h
h
1.5h
Hormigón Pretensado 8/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
 
Como valores típicos para un puente de hormigón posteso se pueden adoptar µ=0.21 
y k/µ=0.006. 
 
4.1.2 Pérdidas por penetración de cuña (20.2.2.1.2 EHE) 
Las pérdidas por penetración de cuñas se producen en el momento en que el gato 
suelta el cable. Debido a que el sistema de anclaje se produce por fricción, resulta 
inevitable un pequeño deslizamiento del cordón en la cuña. Este deslizamiento 
arrastra la cuña y estrecha el hueco por el que pasa el torón, aumentando el 
rozamiento hasta que se obtiene un anclaje total. 
 
Aunque el concepto es el mismo en puentes pretesos que postesos, su cálculo es 
diferente debido a que en unos ésta pérdida afecta a todo el cable por igual, mientras 
que en otros se produce un rozamiento negativo que limita la zona de cable afectada. 
 
El valor de la penetración de cuña (a) es un dato inherente al sistema de pretensado y 
su valor está en torno a 4-6 mm. 
Elementos pretesos 
En elementos pretesos la pérdida por penetración de cuña viene dada por la siguiente 
expresión: 
2 p p p p
a
P E A E A
L
ε∆ = ∆ = 
Elementos postesos 
En elementos postesos el cálculo de las pérdidas por penetración de cuña supone la 
determinación de dos incógnitas (ver figura): 
 
 El valor de esta pérdida en la sección del anclaje 
 La longitud x de cable afectada por la pérdida 
 
 
 
 
1
1
8
L
a
=α
321
1
ααααα ++==∑
=
x
i
i
α Variación angular total
0.240.200.15
Con lubricación 
ligera (aceite 
soluble)
0.270.230.18
Con lubricación 
ligera (aceite 
soluble)
0.280.220.18Sin lubricar
2) Tendón formado por un 
único elemento aislado, en 
una vaina sin tratamiento.
Sin lubricar1) Tendón formado por 
varios elementos 
agrupados en una misma 
vaina de acero sin 
tratamiento superficial.
0.31
Barras laminadas 
corrugadas.
0.25
Barras laminadas 
lisas.
0.21
Alambres o 
cordones trefilados.
Naturaleza de los aceros constitutivos de las armadurasEstado 
superficial de 
las 
armaduras.
Disposición de las 
armaduras en las 
vainas.
Valores del coeficiente de rozamiento µ en curva.
0.006
>60
0.007
60
0.009
50
0.012
40
0.016
30
k/µ
Diámetro interior del 
conducto [mm]
1
1
8
L
a
=α
321
1
ααααα ++==∑
=
x
i
i
α Variación angular total
0.240.200.15
Con lubricación 
ligera (aceite 
soluble)
0.270.230.18
Con lubricación 
ligera (aceite 
soluble)
0.280.220.18Sin lubricar
2) Tendón formado por un 
único elemento aislado, en 
una vaina sin tratamiento.
Sin lubricar1) Tendón formado por 
varios elementos 
agrupados en una misma 
vaina de acero sin 
tratamiento superficial.
0.31
Barras laminadas 
corrugadas.
0.25
Barras laminadas 
lisas.
0.21
Alambres o 
cordones trefilados.
Naturaleza de los aceros constitutivos de las armadurasEstado 
superficial de 
las 
armaduras.
Disposición de las 
armaduras en las 
vainas.
Valores del coeficiente de rozamiento µ en curva.
0.006
>60
0.007
60
0.009
50
0.012
40
0.016
30
k/µ
Diámetro interior del 
conducto [mm]
Hormigón Pretensado 9/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
 
Para resolver el problema se pueden plantear las siguientes consideraciones: 
 
 La penetración de cuña es un desplazamiento que se obtiene como integral 
de la deformación que se produce por la pérdida por penetración de cuña lo 
largo de la longitud de cable afectada por la misma: 
( ) ( )2 2
1 1 1 1
( ) 0
2
x x
p p p p p po o
a x dx P x dx S P x x
E A E A E A
ε= ∆ = ∆ = ≈ ∆ = ×∫ ∫ 
 
 Si se admite que el rozamiento al tesar es igual al rozamiento negativo que se 
produce al anclar las cuñas, se puede establecer una relación de semejanza de 
triángulos según se muestra en la figura siguiente: 
 
 
 
 
Combinando estas ecuaciones se puede obtener la pérdida por penetración de cuña 
en la sección del anclaje: 
 
( ) [ ]22 2
2
1 1 1 1
0 ( 0)
2 4
( 0) 4
B A
p p p p A B
A B
p p
B A
x x
a P x x P x
E A E A P P
P P
P x aE A
x x
−
= ∆ = × = ∆ =
−
−
→∆ = =
−
 
 
 
2
2
( 0)1 1
( 0)
2 2
A B B A
B A A B
P xP P x x
x P x
x x x P P
∆ =− −
= → = ∆ =
− −
∆P1
∆P2
P
P0
S
x
Ley de fuerza de pretensado al destesar.
Ley de fuerza de pretensado al 
tesar (P0-∆P1).
∆P1
∆P2
P
P0
S
x
Ley de fuerza de pretensado al destesar.
Ley de fuerza de pretensado al 
tesar (P0-∆P1).
Ley de fuerzas a lo largo del elemento
0
50
100
150
200
250
300
350
0 3 4 5 6 7 8 9
Distancia [m]
Fu
er
za
[k
N
]
x
∆P2
A
B
C
D
Ley de fuerzas a lo largo del elemento
0
50
100
150
200
250
300
350
0 3 4 5 6 7 8 9
Distancia [m]
Fu
er
za
[k
N
]
x
∆P2
Ley de fuerzas a lo largo del elemento
0
50
100
150
200
250
300
350
0 3 4 5 6 7 8 9
Distancia [m]
Fu
er
za
[k
N
]
x
∆P2
A
B
C
D
Hormigón Pretensado 10/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
De esta forma queda resuelto el problema. 
4.1.3 Pérdidas por acortamiento elástico (20.2.2.1.3 EHE) 
Elementos pretesos 
En elementos pretesos la pérdida por acortamiento elástico se produce al cortar los 
cables. En este caso la fuerza de cada uno de los cables produce un acortamiento en la 
viga que, a su vez se traduce en una pérdida de pretensado al acortarse el hormigón 
coincidente con la fibra media del pretensado. Por lo tanto, la pérdida de pretensado 
por acortamiento elástico se puede determinar multiplicando la deformación del 
hormigón debida al pretensado más las cargas permanentes ( εcgp=σ cgp /Ecj) por el 
módulo de deformación del acero (Ep) y por el área de pretensado (Ap): 
 
3p
p cgp p cgp p
cj
E
P E A A
E
ε σ∆ = = 
Elementos postesos 
En el caso de elementos postesos, el problema es distinto debido a al procedimiento 
de tesado. Si se tesa un solo cable, no existe pérdida por acortamiento elástico debido 
a que al tesar se controla la fuerza y el acortamiento elástico se compensa 
aumentando el recorrido del gato hasta obtener la fuerza de tesado especificada. En el 
caso en que se tengan dos cables que se tesan de forma consecutiva, el último cable 
en tesarse no tendrá pérdida alguna por acortamiento elástico, mientras que el primer 
cable tendrá una pérdida equivalente a la producida por la mitad de la fuerza de 
tesado total. Por lo tanto la pérdida media de pretensado sería: de ( )0 1/ 2 / 2 1/ 4+ = de 
la que se habría producido en el caso de un elemento preteso. Con tres cables, la 
pérdida media sería ( )0 1/ 3 2 / 3 / 3 1/ 3+ + = de la de un elemento preteso. Con carácter 
general, la fórmula que se debe aplicar es la siguiente: 
 
 
3
1
2
p
p cgp p cgp p
cj
En
P E A A
n E
ε σ−∆ = = 
 
4.2 Pérdidas diferidas (20.2.2.2 EHE) 
De acuerdo con el modelo de la EHE, las pérdidas diferidas pueden calcularse a partir 
de la siguiente expresión: 
 
( )
0 0
2
0
( , ) ( , ) 0.8
1 1 1 ( , )
cp p cs pr
dif p
p c p
c c
n t t E t t
P A
A A y
n t t
A I
ϕ σ ε σ
χϕ
+ + ∆
∆ =
 
+ + +  
 
 
 
siendo: 
 
Ap Área de pretensado 
Ac Área de la sección de hormigón 
Ic Inercia de la sección de hormigón 
χ Coeficiente de envejecimiento. Se puede tomar igual a 0.8. 
ϕ Coeficiente de fluencia ver (39.8 EHE) 
εcs Deformación de retracción (37.7 EHE) 
n Coeficiente de equivalencia (n=Es/Ec) 
Hormigón Pretensado 11/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
∆σpr Relajación intrínseca del pretensado (38.9 EHE) 
 
En esta expresión, el denominador tiene en cuenta la coacción que ejerce la armadura 
adherente de pretensado frente al libre desarrollo de las deformaciones diferidas, 
mientras que el numerador corresponde a la pérdida de pretensado debida a la 
deformación que se produciría sin coacción alguna. 
 
5 SIMULACIÓN DE LOS EFECTOS DEL PRETENSADO 
MEDIANTE FUERZAS EQUIVALENTES DE 
PRETENSADO 
5.1 Introducción 
En este apartado se describe una forma de simular el efecto del pretensado sobre una 
estructura basado en la introducción de fuerzas en la estructura que tienen un efecto 
equivalente al efecto del pretensado. 
 
Este procedimiento permite el cálculo de esfuerzos y deformaciones debidas al 
pretensado. 
 
Cuando se estudia el estado tensional o los esfuerzos (no las flechas) debidos al 
pretensado, sólo es necesario recurrir al cálculo de fuerzas equivalentes de 
pretensado si la estructura es hiperestática. De otra manera, los esfuerzos se pueden 
obtener de forma directa y son iguales a: 
 
( )
( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )p cdg
N P x
M P x y x y x P x e x
=
= × − = ×
 
 
En este caso, no existe momento hiperestático de pretensado (ver 5.5). 
5.2 Deducción de la expresión de las fuerzas equivalentes de 
pretensado 
El conjunto de fuerzas equivalentes de pretensado es un sistema autoequilibrado de 
fuerzas concentradas en los anclajes y fuerzas distribuidas a lo largo del trazado de los 
cables de pretensado. 
 
El sistema debe ser autoequilibrado, debido a que, si se considera el sistema 
estructura+pretensado, al tensar sobre este sistema no se aplica ninguna carga 
exterior. El gato tira del cable de pretensar apoyándose en la estructura. 
 
Por esta razón, las fuerzas equivalentes de pretensado se calculan imponiendo la 
condiciones de equilibrio ( 0; 0; 0x yF F M= = =∑ ∑ ∑ ). 
 
Como ya se indicó más arriba, el cable de pretensado ejerce sobre el hormigón: 
 
- Unas fuerzas concentradas en los anclajes (o en la zona de transferencia si se 
trata de un pretensado preteso). 
- Unas fuerzas normales al cable debidas a la curvatura del mismo y tangenciales 
al mismo, debidas al rozamiento. El problema resulta equivalente al de las 
fuerzas que ejerce un cable sobre una polea. 
 
Hormigón Pretensado 12/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
 
Figura 1 — Fuerzas equivalentes de pretensado 
 
Debido a que resulta difícil trabajar con fuerzas en un sistema de coordenadas 
curvilíneas (n,t), para plantear las ecuaciones de equilibrio, resulta cómodo proyectar 
las fuerzas n y t según 2 direcciones ortogonales (horizontal y vertical) y referir el 
punto de actuación de la componente horizontal de cada sección al centro de 
gravedad de la viga. 
 
De esta manera, el sistema de fuerzas n,t, se transforma en un sistema de fuerzas 
equivalente q,h,m: 
 
cos
cos
( )cdg p
q n t sen
h n sen t
m h y y
α α
α α
= × + ×
= × + ×
= × −
 
 
siendo 
 
α ángulo que forma el cable de pretensado respecto de la horizontal 
yp distancia de la fibra de pretensado respecto una fibra de referencia 
arbitraria 
ycdg distancia del centro de gravedad de la sección a una fibra de referencia 
arbitraria 
 
 
Figura 2 — Fuerzas equivalentes de pretensado proyectadas según 2 ejes ortogonales y referidas al 
centro de gravedad de la sección. 
 
En general, las fuerzas q, h y m varían a lo largo del eje del elemento. 
 
Para su cálculo se puede discretizar el elemento en rebanadas, suficientemente 
pequeñas como para que pueda considerarse que dentro de la rebanada q, h y m son 
constantes. Debido al efecto del pretensado cada rebanada está sometida a un 
conjunto de fuerzas autoequilibradas: 
 
 La fuerza de pretensado al inicio de la rebanada, Pk1. 
 La fuerza de pretensado al final de la rebanada, Pk2. 
 Las fuerzas distribuidas a lo largo de la rebanada q, h y m. 
l
b
d
d´
h
P 2P1 n
t
l
b
d
d´
h
P 2P1 n
t
V1
h
d´
d
b
l
H1
M1=H1 x e1
V2
H2
M2=H2 x e2
hx
n,t
q(x)
M(x)
V1
h
d´
d
b
l
H1
M1=H1 x e1
V2
H2
M2=H2 x e2
hx
n,t
q(x)
M(x)
Hormigón Pretensado 13/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
 
Pk1 y Pk2, pueden calcularse a partir de la fuerza de tesado en los extremos mediante el 
cálculo de pérdidas de pretensado y son por lo tanto valores conocidos. 
 
q, h y m pueden determinarse a partir de las ecuaciones de equilibrio. En lo que sigue 
se denomina V a la componente vertical de la fuerza de pretensado, H a la 
componente horizontal y M al producto de H por la excentricidad del pretensado 
respecto del centro de gravedad de la sección (momento isostático de pretensado). 
 
 
V1
h
d´
d
b
l
H1
M1=H1 x e1
V2
H2
M2=H2 x e2
hx
n,t
q(x)
M(x)
e 2
∆x
e 1
m
h
q
α1
Pk1
α2
Pk2
V1
h
d´
d
b
l
H1
M1=H1 x e1
V2
H2
M2=H2 x e2
hx
n,t
q(x)
M(x)
V1
h
d´
d
b
l
H1
M1=H1 x e1
V2
H2
M2=H2 x e2
hx
n,t
q(x)
M(x)
e 2
∆x
e 1
m
h
q
α1
Pk1
α2
Pk2
e 2
∆x
e 1
m
h
q
α1
Pk1
α2
Pk2
e 2
∆x
e 1
m
h
q
α1
Pk1
α2
Pk2
Hormigón Pretensado 14/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
 
Figura 3 - Fuerzas de pretensado actuantes en una rebanada 
 
 
Equilibrio de fuerzas verticales: 
 
 
Equilibrio de fuerzas horizontales: 
 
 
Equilibrio de momentos (se toma momentos respecto del centro de gravedad de la 
sección 2): 
 
Repitiendo este procedimiento para todas las rebanadas consideradas, se obtienen los 
valores del sistema de fuerzas equivalentes a lo largo del elemento (q(x), m(x) y h(x)). 
e 2
∆x
e 1
m
h
q
α1
Pk1
∆x
m
h
V1
H1
M1= H1 e1
V2
H2 M2= H2 e2
q
e 2
∆x
e 1
m
h
q
α1
Pk1
e 2
∆x
e 1
m
h
q
α1
Pk1
∆x
m
h
V1
H1
M1= H1 e1
V2
H2 M2= H2 e2
q
∆x
m
h
V1
H1
M1= H1 e1
V2
H2 M2= H2 e2q
1 1 2 21 2
1 2 0
k kP sen P senV Vq x V V q
x x
α α−−
∆ − + = ⇒ = =
∆ ∆
2 2 1 12 1
1 2
cos cos
0 k k
P PH H
h x H H h
x x
α α−−
∆ + − = ⇒ = =
∆ ∆
( ) ( )
2
1 2
1 1 2 1
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
0
2 2
cos cos
2
k k k k
x M M x
V x M q m x M m V q
x
P e P e P sen P sen
m
x
α α α α
∆ − ∆
− ∆ − + + ∆ + = ⇒ = + −
∆
− +
= +
∆
Hormigón Pretensado 15/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
5.3 Cálculo simplificado de fuerzas equivalentes de pretensado 
El procedimiento explicado en el apartado anterior resulta adecuado para el cálculo 
por ordenador, pero resulta demasiado complejo para un cálculo a mano. 
 
Las expresiones anteriores, pueden, sin embargo simplificarse de forma muy notable 
si se admiten las siguientes hipótesis: 
 
 Se admite un coeficiente de pérdidas global, de tal forma que la fuerza de 
pretensado se considera igual en todas las secciones. Como valor indicativo, 
se pueden evaluar las pérdidas instantáneas de pretensado en un 10% de la 
fuerza de tesado (P0), mientras que las pérdidas de pretensado pueden estar 
en torno a un 15% de la fuerza de tesado. Con estas premisas, se puede 
escribir: 
 
1 2 00.75P P P P≈ ≈ × = 
 
 El trazado de pretensado es tal que el ángulo que forma el cable con la 
horizontal, α, es pequeño. Esta condición se cumple en la práctica debido a 
que las vigas son elementos alargados, en los cuales la luz puede ser del orden 
de 20 veces el canto. Esta condición da lugar a ángulos α máximos del orden 
de 10 a 15º. Con esta premisa, se pueden plantear las siguientes 
simplificaciones: 
 
cos 1.0
( )sen tg radianes
α
α α α
≈
≈ ≈ 
 
 El trazado de pretensado está formado por un conjunto de parábolas 
tangentes en sus extremos (o rectas, que pueden considerarse como 
parábolas degeneradas). Esta condición también suele cumplirse en la 
práctica. 
 
Admitiendo estas simplificaciones, se pueden volver a examinar las ecuaciones de 
equilibrio anteriores. 
 
Figura 4 — Definición geométrica de un tramo de trazado parabólico. 
 
 
Equilibrio de fuerzas verticales: 
 
 
 
Dado que la parábola es de segundo grado: 
 
( ) ( )( )1 1 2 2 1 2 2 2 2k k
P sen P sen P P
q tg tg a x x ax aP
x x x
α α
α α
−
= ≈ − = − +∆ + = −
∆ ∆ ∆
cdg
Sección 2Sección 1 ∆x
y 0
x
e 1 e 2 y = ax2-y0
α1 α2
α=0
y
Sección 1 Sección 2
( )'1 1 1 2y tg sen a x xα α= = = − +∆
( )
( )
2
1 1 0
2
1 1 0
y e a x x y
y e a x x y
=− = +∆ −
= = − +∆ +
'
2 2 2 2y tg sen axα α= = =−
2
2 2 0
2
2 2 0
y e ax y
y e ax y
= − = −
= = − +
cdg
Sección 2Sección 1 ∆x
y 0
x
e 1 e 2 y = ax2-y0
α1 α2
α=0
y
cdg
Sección 2Sección 1 ∆x
y 0
x
e 1 e 2 y = ax2-y0
α1 α2
α=0
y
cdg
Sección 2Sección 1 ∆x
y 0
x
e 1 e 2 y = ax2-y0
α1 α2
α=0
cdg
Sección 2Sección 1 ∆x
y 0
x
e 1 e 2 y = ax2-y0
α1 α2
α=0
y
Sección 1 Sección 2
( )'1 1 1 2y tg sen a x xα α= = = − +∆
( )
( )
2
1 1 0
2
1 1 0
y e a x x y
y e a x x y
=− = +∆ −
= = − +∆ +
'
2 2 2 2y tg sen axα α= = =−
2
2 2 0
2
2 2 0
y e ax y
y e ax y
= − = −
= = − +
Hormigón Pretensado 16/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
1
" 2y a
r
≈ = 
 
y la ecuación anterior puede escribirse como: 
 
P
q
r
= 
 
Por lo tanto la fuerza de desvío producida por el pretensado es igual a la fuerza axil 
dividida por la curvatura (al igual que ocurre en una polea, o en un tubo sometido a 
presión). 
 
Equilibrio de fuerzas horizontales: 
 
 
 
Debido a que se ha supuesto un coeficiente de pérdidas global y que se iguala el cosα 
a 1, no se requiere fuerza horizontal para garantizar el equilibrio. 
 
Equilibrio de momentos: 
 
De la ecuación de la parábola, se obtiene (ver figura 4): 
 
 
 
y del equilibrio de momentos: 
 
Este resultado también es lógico, puesto que m es el momento producido por h que, 
como se acaba de ver, es nulo. 
 
Por lo tanto de forma simplificada las fuerzas equivalentes de pretensado se reducen 
a: 
 
 Fuerzas concentradas en los anclajes o zona de transmisión 
 Para cada tramo de parábola, una fuerza vertical constante igual a la fuerza de 
pretensado dividida por el radio de curvatura de la parábola. En tramos 
rectaos (pretensado preteso), la fuerza de desvío es nula (r=∞). 
5.4 Modelización de estructuras de canto variable. 
En las piezas de canto variable, al modelizar el pretensado mediante fuerzas 
equivalente, resulta de gran importancia que la geometría del modelo tenga en cuenta 
la variación del centro de gravedad de la sección, puesto que, en este caso el 
momento de pretensado en una sección viene dado además de por las fuerzas 
( )2 2 1 1cos cos 1 1 0k kP P Ph
x x
α α−
= ≈ − =
∆ ∆
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 1 1 1 21 1 2 2 2 2cos cos 2 0
2 2
k k k k
ax a x xP e P e P sen P sen
m P ax a x P
x
α α α α + +∆− +
= + ≈ − − ∆ + =
∆
( )2 2 21 1 0 0 2y e a x x y y ax ax x a x= = − +∆ + = − − ∆ + ∆
2
2 2 0y e y ax= = −
Hormigón Pretensado 17/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
distribuidas por el producto de la fuerza horizontal en los anclajes por la variación de 
la posición del centro de gravedad. 
 
 
5.5 Momento hiperestático del pretensado 
Debido a que el sistema de fuerzas equivalentes de pretensado es un sistema 
autoequilibrado, por equilibrio global de la estructura, la suma de reacciones debidas 
al pretensado debe ser nula. En el caso de elementos isostáticos, esta condición 
requiere que todas las reacciones sean nulas. En dicho caso, el momento de 
pretensado en cada sección es igual al momento respecto de esa sección de las 
fuerzas equivalentes de pretensado situadas a la izquierda (o, alternativamente a la 
derecha) de dicha sección. 
 
 
 
 
 
Figura 5 — Momento de pretensado en una estructura isostática 
 
Haciendo referencia a la Figura 5 (en la que se admiten, sin que ello tenga influencia en 
este razonamiento, un esquema de fuerzas equivalentes simplificado y que el 
pretensado pasa por el centro de gravedad de la sección en el anclaje), si se corta una 
estructura isostática en una sección distante x de la sección de apoyo (y a+x de la 
sección del anclaje), la suma de los momentos respecto del centro de gravedad de la 
sección de corte (y respecto de cualquier otro punto) debe ser nula, puesto que esta 
Modelo Estructural
Pk Pk
∆M=Pk ∆ycdg∆M=Pk ∆ycdg
Modelo Estructural
Pk Pk
∆M=Pk ∆ycdg∆M=Pk ∆ycdg
Modelo Estructural
Pk Pk
∆M=Pk ∆ycdg∆M=Pk ∆ycdg
xa
P
V1
Vx
P
M = P e
e
R=0
xa
P
V1
Vx
P
M = P e
e
R=0
Hormigón Pretensado 18/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
es la condición que se impuso para calcular las fuerzas de pretensado, por tratarse de 
un sistema autoequilibrado: 
 
2
1
( )
( ) 0
2
x a
M q V x a P e
+
= × + × + − × =∑ 
 
Por lo tanto el momento de las fuerzas equivalentes de pretensado situadas a la 
izquierda de la sección de corte, que es igual al momento de pretensado en dicha 
sección, vale P×e. 
 
En el caso de una estructura hiperestática, si bien la suma de reacciones debe ser igual 
a cero, esto no es cierto de cada una de las reacciones. 
 
En la Figura 6, se propone un ejemplo que puede ayudar a entender este problema. 
 
 
Figura 6 — Ejemplo de una estructura hiperestática pretensada 
 
Si se considera esta viga de 2 vanos y, simplificadamente, que la fuerzas equivalentes 
de pretensado pueden representarse por las fuerzas en los anclajes y una fuerza de 
desvío vertical constante, q, para determinar las reacciones, se puede seguir el 
siguiente procedimiento (ver Figura 7): 
 
 se libera el apoyo central 
 se calcula la flechadebida a q en el centro de la estructura, fq. 
 se impone una fuerza, que se denomina, por razones prácticas, 2R en 
el centro de la estructura y se calcula su valor en función de R, f2R. 
 Se impone la condición de compatibilidad que permite deducir el 
valor de la incógnita hiperestática: fq= f2R. 
l
b
d
d´
h
PP
V V
q
l
b
d
d´
h
PP
V V
q
Hormigón Pretensado 19/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
 
 
 
Figura 7 — Determinación de reacciones hiperestáticas de pretensado. 
 
Si en el apoyo central aparece una reacción hacia abajo (tracción en el apoyo) de 2R, 
por equilibrio global y simetría, en los apoyos extremos, debe aparecer una reacción 
igual a R. 
 
Si ahora, se vuelve a considerar el caso de la Figura 5, el equilibrio en la sección situada 
a una distancia x del apoyo se ve alterado por la presencia de una reacción no nula. 
Esta situación se representa en la Figura 8. 
 
 
 
 
 
 
P P
h
d´
d
b
l
V
R2RR
V
q
P P
h
d´
d
b
l
V
R2RR
V
q
V
q
P P
l
f q V
f 2R
PP
V V
2R
l
R R
V
q
P P
l
f q VV
q
P P
l
f q V
f 2R
PP
V V
2R
l
R R
f 2R
PP
V V
2R
l
R R
Hormigón Pretensado 20/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
a x
eP
V1
q
R=0
P
Vx
M=P e+R x
a x
eP
V1
q
R=0R=0
P
Vx
M=P e+R x
 
 
Figura 8 — Momento de pretensado en una estructura hiperestática 
 
Como puede verse, el momento total de pretensado es ahora la suma de dos 
términos: 
 
 P×e, que es el momento debido a las fuerzas equivalentes de pretensado y se 
denomina momento isostático de pretensado, y 
 R×x, que es debido a la aparición de una reacción de pretensado no nula y que 
se denomina momento hiperestático de pretensado. 
 
De forma general, el momento total de pretensado es la suma de estos dos términos. 
En el caso de estructuras isostáticas, el segundo término es nulo y el momento de 
pretensado es directamente P×e. 
 
6 ESTADO LÍMITE ÚLTIMO 
Este apartado se refiere exlusivamente a secciones con armadura activa adherente. 
 
El problema de cálculo del momento resistente de una sección pretensada es, en 
principio, un problema de flexión compuesta. En el lado solicitante se tiene, el 
momento de las cargas exteriores Md, el momento hiperestático de pretensado Mp,hip, 
el momento isostático de pretensado Mp,isos =P×e y la fuerza de pretensado P. En el 
lado resistente, por su parte, se tiene la compresión en el hormigón y la capacidad a 
tracción remanente del pretensado, equivalente al área de la armadura activa 
multiplicada por el límite elástico del pretensado menos la tensión debida a la 
predeformación del pretensado en caso de que ésta armadura se platifique. En caso 
contrario, la tracción debida a la armadura de pretensado sería su área multiplicada 
por el módulo de deformación del pretensado y por la deformación del hormigón 
deducida del plano de deformación de rotura ε1p. 
 
1 Este planteamiento supone despreciar la deformación de neutralización que corresponde a la 
deformación que tiene la sección debida a la acción del pretensado y que es de sentido 
contrario a la deformación que se genera al plantear el plano de rotura, que se mide a partir de 
un estado no deformado o neutro. Por ello, de forma más precisa la deformación total del 
pretensado se compone de tres términos: la predeformación, la deformación de neutralización 
y la deformación compatible con la deformación del hormigón. Se trata de un efecto favorable 
de pequeña entidad si se compara con el valor de la predeformación. 
Hormigón Pretensado 21/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
 
Figura 9 - Cálculo en E.L.U. de una sección pretensada. Planteamiento inicial 
 
A continuación se proporcionan las expresiones de la compresión, la tracción y de la 
predeformación del pretensado. La expresión correspondiente a la predeformación 
supone que se pretensa al 75% de la tensión de rotura fpu (normalmente 1860∼1900 
MPa) y que las pérdidas de pretensado (instantáneas más diferidas) pueden estimarse 
en un 25%. 
 
El sistema de fuerzas formado por el axil de pretensado, aplicado en el centro de 
gravedad y el momento isostático de pretensado es equivalente a un axil aplicado en 
la fibra de pretensado, como se muestra en la figura siguiente. 
 
Figura 10 - Cálculo en E.L.U de una sección pretensada. Fuerza de pretensado aplicada en el c.d.g. de 
la armadura activa. 
 
 
El equilibrio se mantiene si a los dos lados de la ecuación se añade la misma fuerza con 
la misma excentricidad. 
 
 
( )0
0
0.85 0.8
min ;
0.75
0.75
1.0
cd
p p p pyd p
pu
p
p
C f b x
T A E f E
f
E
ε ε
ε
γ
= ×
= −
≈
=
C
A
10 ‰ 2 ‰
3.5 ‰B
C
T
P
0.
8x
e
h
d ´
d
b
Md Mp,hip
Misos=Pe
σc =0.85 fcd
∆x
cd
x
C
A
10 ‰ 2 ‰
3.5 ‰B
C
A
C
A
10 ‰ 2 ‰
3.5 ‰B
C
T
P
0.
8x
e
h
d ´
d
b
Md Mp,hip
Misos=Pe
σc =0.85 fcd
∆x
cd
x
10 ‰ 2 ‰
3.5 ‰B
C
T
P
0.
8x
e
h
d ´
d
b
Md Mp,hip
Misos=Pe
σc =0.85 fcd
∆x
cd
x
C
A
10 ‰ 2 ‰
3.5 ‰B
C
TP
x 0.
8x
e
h
d´
d
b
Md Mp,hip
σc =0.85 fcd
∆x
A
C
B
C
TP
x 0.
8x
e
h
d´
d
b
Md Mp,hip
σc =0.85 fcd
∆x
A
C
B
x 0.
8x
e
Md Mp,hip
σc =0.85 fcd
∆x
C
T
B
P
h
d´
d
b
C
A P
P
x 0.
8x
e
Md Mp,hip
σc =0.85 fcd
∆x
C
T
B
P
h
d´
d
b
C
A P
P
Hormigón Pretensado 22/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
Figura 11 - Cálculo en E.L.U de una sección pretensada. Se suma la misma fuerza a ambos lados. 
 
 
Figura 12 - Cálculo en E.L.U de una sección pretensada. Planteamiento habitual en ELU. 
 
 
 
Con este planteamiento, el problema se transforma formalmante en un problema de 
flexión simple que vendría a ser una generalización del problema ya estudiado para 
hormigón armado. Las diferencias son dos: 
 
 A la deformación de pretensado hay que añadirle la predeformación ε0. 
 Al momento debido a las cargas exteriores hay que añadirle el momento 
hiperestático de pretensado. 
 
7 ESTADO LÍMITE DE SERVICIO 
7.1 Comprobación de tensiones (49.2 EHE) 
7.1.1 Comprobación en vacío 
En general, el pretensado se dimensiona para garantizar unas ciertas condiciones 
tensionales y de abertura de fisura para tiempo infinito y combinación de cargas 
frecuente. Al pretensar la viga, la carga aplicada es mucho menor (sólo actúa el peso 
propio) y la fuerza de pretensado alcanza su valor máximo debido a que aún no se ha 
producido ninguna pérdida diferida. En esta situación puede ocurrir que el 
pretensado, (proyectado para tiempo infinito y una carga mayor) sea excesivo. Ello 
puede dar lugar a los siguientes problemas: 
 
 Una tracción que dé lugar a una fisuración no controlada en la fibra opuesta a 
la de la fibra de pretensado. 
 Una compresión excesiva en la fibra cercana a la fibra de pretensado que dé 
lugar a una microfisuración del hormigón. 
 
El primer problema se resuelve, en caso de producirse tracciones importantes, 
disponiendo una armadura pasiva en la cara opuesta a la del pretensado que sea 
suficiente para controlar la fisuración que se pueda producir al tesar. Las fisuras que 
puedan abrirse al tesar se cerrarán posteriormente por efecto de la aplicación de la 
carga muerta y el desarrollo de las pérdidas diferidas de pretensado. 
 
( )( )
0
0min ;
p p
p p p pyd
P A E
T P A E f
ε
ε ε
=
+ = +
T+P
C
x 0.8
x
e
Md Mp,hip
σc =0.85 fcd
∆x
A
C
b
d
d´
h
B
T+P
C
x 0.8
x
e
Md Mp,hip
σc =0.85 fcd
∆x
A
C
b
d
d´
h
B
Hormigón Pretensado23/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
El segundo problema no puede resolverse tan fácilmente y se exige un límite a la 
compresión máxima, que viene dado por: 
 
0.6c ckjfσ ≤ × 
 
donde: 
σc tensión en la fibra más comprimida 
fckj resistencia característica del hormigón en el momento de tesar 
 
La combinación de esfuerzos a considerar para la comprobación en vacío es la 
siguiente: 
 
ip k
P ppγ + 
 
siendo: 
pp el peso propio de la viga 
Pki fuerza de pretensado a tiempo cero 
γp coeficiente de ponderación del pretensado igual a 1.1 si el efecto del 
pretensado es desfavorable y 0.9 si el efecto de pretensado es 
favorable. 
 
 
En el caso de la comprobación en vacío el efecto del pretensado es claramente 
perjudicial para la estructura y por lo tanto γp debe tomarse igual a 1.10 en el caso de 
estructuras construidas in situ y 1.05 en el caso de estructuras prefabricadas.. 
7.1.2 Comprobación a tiempo infinito 
Para el estado final de una estructura, la Instrucción EHE exige las siguientes 
condiciones, en función del tipo de ambiente: 
 
 Ambiente Tipo I (interior) 
o Abertura de fisura inferior a 0.2 mm para la combinación de cargas 
frecuente. 
 
 Ambiente Tipo II,H 
o Abertura de fisura inferior a 0.2 mm para la combinación de cargas 
frecuente. 
o Fibras de pretensado totalmente comprimidas para la combinación 
cuasipermanente. 
 
 Ambientes Tipo III,IV,Q,F 
o Sección totalmente comprimida para la combinación frecuente. 
7.2 Comprobación de fisuración en secciones pretensadas 
Para el cálculo de la abertura de fisura en secciones pretensadas, es válido el modelo 
general ya estudiado para hormigón armado. 
 
La abertura de fisura media, se calcula como el producto de la separación media entre 
fisuras (sm) por la diferencia media entre la deformación del acero y la deformación del 
hormigón en el entorno de la fisura (εsm). La abertura de fisura característica se obtiene 
multiplicando el valor anterior por el factor β que permite pasar de valores medios a 
Hormigón Pretensado 24/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
valores característicos. En general, en la dirección del pretensado el problema de 
fisuración es debido a un problema de cargas exteriores, por lo que β vale 1.7: 
 
1.7k m smw s ε= × × 
 
 La separación media se calcula a partir de la siguiente expresión2: 
 
,
12 0.2 0.4
c ef
m
s
A
s c s k
A
φ= + + × × 
 
Al estar las secciones de hormigón pretensado sometidas, normalmente a flexión 
compuesta (ó compresión compuesta, en cuyo caso, no resulta necesario comprobar 
la fisuración), el factor k1 es igual a 0.125. 
 
La definición de los términos de esta ecuación es igual que para elementos de 
hormigón armado. 
 
La diferencia de deformación media entre el hormigón y el acero en el entorno de la 
fisura viene dada por: 
2
1 0.5s srsm
s sE
σ σ
ε
σ
  
 = −     
 
 
Determinación de σs, σsr La determinación de σs y σsr es más compleja en el caso de estructuras sometidas a 
flexión compuesta que en el caso de secciones sometidas a flexión simple, puesto que 
es este caso, las propiedades de la sección fisurada no pueden calcularse a partir de la 
condición de que la fibra neutra coincida con el centro de gravedad de la sección 
fisurada. En este caso la profundidad depende de la excentricidad de la carga y para 
cada momento exterior debe volver a calcularse la profundidad de la fibra neutra xfis. 
 
En el caso más sencillo, correspondiente a una sección rectangular, debe resolverse 
una ecuación de tercer grado. 
 
A continuación se plantean las ecuaciones, de compatibilidad, las ecuaciones 
constitutivas, y las ecuaciones de equilibrio. 
 
Ecuaciones de compatibilidad: 
 
 Se admite la hipótesis de Navier. Si se toma como fibra de referencia la fibra 
neutra de la sección con los valores de ordenadas positivos hacia arriba y se 
admite que las tensiones de compresión son positivas esta condición puede 
ponerse como: 
1
( )y y
r
ε = 
 Se admite la hipótesis de adherencia perfecta entre hormigón y acero activo y 
pasivo. 
 
Ecuaciones constitutivas: 
 
2 Esta expresión supone despreciar el efecto del pretensado en el cálculo de la separación 
entre fisuras y queda del lado de la seguridad. La armadura de pretensado se podría sumar a As 
en el denominador del tercer término con un valor minorado para tener en cuenta su menor 
adherencia. 
Hormigón Pretensado 25/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
 
 Hormigón 
0
0 0
c c c c
c c
E si
si
σ ε ε
σ ε
= >
 = <
 
 
 Acero de Pretensar 
( )0p p pEσ ε ε= + 
 Acero pasivo 
s s sEσ ε= 
 
Ecuaciones de equilibrio 
 
 Equilibrio de axiles 
0
0 ( )
fisx
c p p s sb y dy A Aσ σ σ= + +∫ 
 
 Equilibrio de momentos. El equilibrio de momentos se establece respecto de 
la fibra neutra que se toma como fibra de referencia. 
( ),
0
( ) ( )
fisx
serv P hip c p p fis p s s fisM M M b y ydy A x d A x dσ σ σ+ = = + − + −∫ 
 
Introduciendo las ecuaciones constitutivas y de compatibilidad en las ecuaciones de 
equilibrio se obtiene el siguiente sistema dos ecuaciones, con dos incógnitas (xfis,1/r): 
 
( )
0
0
2 2 2
0
0
1
0 ( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
fis
fis
x
p s
c p fis p s fis p p
c c
x
p s
c p fis p s fis p p fis p
c c
E E
E yb y dy A x d A x d E A
r E E
E E
M E y b y dy A x d A x d E A x d
r E E
ε
ε
 
= + − + − +  
 
 
= + − + − + −  
 
∫
∫
 
 
En la expresión anterior, EpApεp es el axil de pretensado cambiado de signo, -P, puesto 
que representa la tracción en la armadura, y EpApεp(x-dp) es el momento isostático de 
pretensado, respecto de la fibra neutra, que, en este caso no coincide con el centro de 
gravedad de la sección fisurada. Por otra parte, el paréntesis en la ecuación de 
equilibrio de axiles es el momento estático de la sección fisurada respecto de la fibra 
neutra (Bfis) y el término entre paréntesis en la ecuación de equilibrio de momentos es 
el momento de inercia de la sección fisurada respecto de la fibra neutra (Ifis). 
 
 
El sistema de ecuaciones anteriores se puede resolver, eliminando en primer lugar la 
curvatura. Para ello, hay que pasar al término solicitante el axil de pretensado y su 
momento y dividir la ecuación de equilibrio de momentos por la de equilibrio de 
axiles. Como resultado de esta operación se obtiene la siguiente ecuación: 
 
( )1
( )fis p fis fis
fis p
fis fis
M P x d I IM
e x d
P B P B
+ × −
= ⇒ = = − − Ec. 7.2.1 
 
De esta ecuación se deduce el valor de xfis (ver aplicación numérica a una sección 
rectangular más abajo). La curvatura se determina, posteriormente a partir de 
cualquiera de las dos ecuaciones de equilibrio. Finalmente, a partir de x,1/r y la 
ecuación constitutiva, se puede calcular la tensión en el acero: 
Hormigón Pretensado 26/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
 
( )1 1
1
( )
fis p
c fis c fis
s s fis
M P x dP
ó
r E B r E I
E x d
r
σ
+ −
= =
= −
 
 
Esta operación debe repetirse para determinar el valor de σsr. En este caso, el 
momento solicitante es el momento de fisuración de la sección. El valor de este 
momento debe tener en cuenta el estado de presolicitación debido a la actuación del 
pretensado. Mfis, se calcula a partir de: 
 
1
1
fis c
ctm fis ctm
c c c
M P e IP P
f y M f P e
A I A y
 − ×
= + ⇒ = − + × 
 
 
 
siendo 
 
fctm la tensión de fisuración media 
P la fuerza de pretensado 
e la excentricidad de la armadura activa respecto del centro de gravedad de lasección de hormigón 
y1 la distancia entre la fibra más traccionada de la sección y el centro de 
gravedad de la sección de hormigón 
Ic Inercia de la sección de hormigón 
Ac Área de la sección de hormigón. 
 
Aplicación Numérica 
 
Se considera una sección rectangular de 40×30 (b×h) pretensada con una armadura de 3 cm2, situada a 6.3 cm de la 
cara inferior de la sección. La armadura pasiva está formada por 3φ20 con 4 cm de recubrimiento mecánico. 
 
 La fuerza de tesado es de 450 kN. El momento exterior debido a las cargas frecuentes es de 108 kN. Se pide calcular la 
abertura de fisura. 
 
Determinación de σs: 
 
( ) ( )
( ) ( )
2 23
2
1
3
1
2
fis fis p p fis p s s fis
fis fis p p fis p s s fis
I bx n A x d n A x d
B bx n A x d n A x d
= + − + −
= + − + −
 
Rescribiendo la ecuación 7.2.1: 
 
( )( )( )
( )( )( )
13 2
1
1
2 2
1
3 2
1 2 3 4
( )1
( ( )) 0
6 2
0
0
p
fis fis p fis fis fis
p p p s s p p p s s fis
p p p s s p p p p s s s
fis fis fis
e d
I e x d B bx bx
n A d n A d e d n A n A x
n A d n A d e d n A d n A d
a x a x a x a
−
− + − = ⇔− −
− + + − + +
+ + + − + =
⇔ + + + =
 
 
Cálculo de xfis y σs en el caso del ejemplo considerado, 
 
MPaEc 2977983585003 =+= 
 
 
 
Hormigón Pretensado 27/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
( )
2
2
1
1
2
3
200000
6.72
3 9.43
3
0.26
0.237
450 0.75 337.5
99
0.293
337.5
0.4
0.0667
6
0.293 0.237
0.40 0.0112
2
6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.26
0.293 0.237 6.72 3 6.72 9.4
p s
p s
s
p
p
E E MPa
n n
A cm
A cm
d m
d m
P kN
e m
a
a
a
π
= =
= =
= × =
=
=
=
≈ × =
= =
= − = −
−
= − × = −
× × + × ×
= −
+ − × + ×( )
( )( )
4 3
2 2
4 4
4
3 2 3 4
10 2.593 10
3
6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.26
10 6.606 10
0.293 0.237 6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.26
0.0667 0.0112 2.593 10 6.606 10 0 0.1285fis fis fis fis
a
x x x x m
− −
− −
− −
 
× = − × 
 
 × × + × ×
= × = ×  + − × × + × × 
− × − − × + × = ⇒ =
 
 
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2 4
3 3 3 1
3 3
2 23 4
4 4
1
0.40 0.1285 6.72 3 0.1285 0.237 9.43 0.1285 0.26 10
2
1 337.5
2.25 10 5.037 10
29779 10 2.25 10
1
0.40 0.1285 6.72 3 0.1285 0.237 9.43 0.1285 0.26 10
3
91
4.16 10
fis
fis
B
m m
r
I
m
r
−
− − −
− −
−
−
= × × + × × − + × − × =
= × ⇒ = = ×
× × ×
= × × + × × − + × − × =
= × ⇒ =
( ) 3 1
3 4
9 337.5 0.1285 0.237
5.035 10 . .
29779 10 4.16 10
m o k− −− −
+ × −
= × ⇒
× × ×
 
 
( )3200000 5.037 10 0.1285 0.26 132.47s MPaσ −= × × × − = 
 
Cálculo del momento de fisuración: 
 
2
3 4
2 23
1
4
1
1
2
0.15 0.063 0.087
0.40 0.30 0.12
1
0.40 0.30 9 10
12
0.30 35 3209 /
0.15
335.7 9 10
3209 337.5 0.087 65.40
0.12 0.15
65.40
0.194
337.5
0.4
0.0667
6
0.194 0.2
c
c
ctm
fis
e
A m
I
f kN m
y
M kNm
e m
a
a
−
−
= − =
= × =
= × = ×
= − = −
= −
× = − − + × =  − 
= =
= − = −
−
= −
( )( )
( )( )
3
4 3
3
2 2
4 4
4
37
0.40 8.600 10
2
6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.26
10 1.177 10
0.194 0.237 6.72 3 6.72 9.43
6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.26
10 4.502 10
0.194 0.237 6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.26
0.0
a
a
−
− −
− −
× = ×
× × + × × 
= − × = − × + − × + × 
 × × + × ×
= × = ×  + − × × + × × 
− 3 3 2 3 4667 8.600 10 1.177 10 4.502 10 0 0.1844fis fis fis fisx x x x m
− − −× + × − × + × = ⇒ =
 
 
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2 4
3 3 3 1
3 3
2 23 4
4 4
1
0.40 0.1844 6.72 3 0.1844 0.237 9.43 0.1844 0.26 10
2
1 337.5
6.216 10 1.823 10
29779 10 6.216 10
1
0.40 0.1844 6.72 3 0.1844 0.237 9.43 0.1844 0.26 10
3
1
8.778 10
fis
fis
B
m m
r
I
m
r
−
− − −
−
−
−
= × × + × × − + × − × =
= × ⇒ = = ×
× × ×
= × × + × × − + × − × =
= × ⇒
( ) 3 1
3 4
64.40 337.5 0.1844 0.237
1.784 10 . .
29779 10 4.16 10
m o k− −−
+ × −
= = × ⇒
× × ×
 
( )3200000 11.80 10 0.1844 0.26 27.21sr MPaσ −= × × × − = 
 
 
Hormigón Pretensado 28/28 
 
 
Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón Estructural
Fecha: 16/05/03 
( )
2
4
2
132.47 27.21
1 0.5 6.48 10
200000 132.47
0.4 0.04 7.5 0.02
2 0.03 0.20 0.133 0.4 0.125 0.02 0.167
3 0.01
1.7 0.167 0.648 0.183 0.20
sm
m
k
s m
w mm mm
ε
π
−
  
= − = ×     
× + ×
= × + × + × × =
× ×
= × × = ≤
 
 
8 BIBLIOGRAFÍA 
 
[1] Souza Veríssimo, G.,Lenz César, K. Jr. Concreto Pretendido. Fundamentos Básicos. 
Universidade Federal de ViÇosa . 4ªEd. Noviembre 1998.