resoluciones unidad 3 Vectores

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– 1 – Física – UNIDAD 3 – Vectores. – Ingreso Medicina 2016 
FÍSICA – RESOLUCIONES – INGRESO MEDICINA 2016 
UNIDAD 3 – VECTORES 
 
 Teniendo en cuenta las diferencias fundamentales entre magnitudes escalares y vectoriales, resuelva los 
ejercicios 3.1 y 3.2 
 
3.1 Teniendo en cuenta las magnitudes utilizadas en la unidad 2, escriba tres escalares y tres vectoriales. ¿Por qué 
las puede identificar así? 
 
Por que a las magnitudes vectoriales, para definirlas, además del valor numérico, se requiere indicar dirección 
y sentido. 
 
3.2 Vincule a través de flechas las magnitudes de la columna A con el tipo de magnitud de la columna B: 
 A B 
Calor * 
Aceleración * 
Momento * * Escalares 
Potencia * 
Masa * * Vectoriales 
Velocidad * 
Fuerza * 
Campo eléctrico * 
 
 
 
 Teniendo en cuenta la definición de vector, las posiciones de vectores en un plano cartesiano y las 
operaciones producto de un escalar por un vector y suma y resta de vectores resuelva los siguientes ejercicios: 
 
3.3 En unos ejercicios gimnásticos los atletas deben desplazarse de manera que sigan formando la misma figura. 
La posición inicial que ocupan es la de la gráfica y la instrucción que da el monitor es avanzar (2, -1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Indicar módulo, dirección (ángulo que forma con el semieje positivo de las x), y sentido de los 
vectores que tienen como origen el origen de coordenadas y como extremo cada uno de los 
gimnastas. 
 
 45= ; 4,12)1()1( 222 OAuuuu OA  45= ; 65,5)4()4(
22
OCuuu OC 
 
'36"1856= ; 6,3)3()2( 22  OBuuu OB '44"279= ; 08,6)1()6(
22  ODuuu OD 
 
 
 A' = (3;0) 
 B' = (4;2) 
 C' = (6;3) 
 D' = (8;0) 
 
A
B
C
D
 A' 
 B' 
 C' 
 D' 
– 2 – Física – UNIDAD 3 – Vectores. – Ingreso Medicina 2016 
c) Indicar módulo, dirección (ángulo que forma con el semieje positivo de las x), y sentido de los 
vectores que tienen como origen la posición inicial y como extremo la posición final de cada uno de 
los gimnastas. 
"06'26º333
2
1
 arctg= ; 23,25)1()2( '
222 





 AAuuuu AA' 
"06'26º333
2
1
 arctg= ; 23,25)1()2( '
222 





 BBuuuu BB'
"06'26º333
2
1
 arctg= ; 23,25)1()2( '
222 





 CCuuuu CC' 
"06'26º333
2
1
 arctg= ; 23,25)1()2( 222 





 DD'uuuu DD' 
 
d) Indicar módulo, dirección y sentido del vector que resulta de la suma de los vectores 
 jijijiCDAB 13)3(2)2(1  
 
 "54'33341 ;16,3)1(3 22  uCDAB 
 
 
 
3.4 Dados los vectores a = 2 u , b = 5 u, hallar gráfica y analíticamente los siguientes vectores: 
 
a) 2a 
 
b) -3b 
 
c) a + b 
 
d) b – a 
 
a) u 42 a  = 0º 
 
b) u153  b

  = 90º 
 
 
 
c) uuuu 38,529)5()2(
222  ba 
 
"54'11º68
2
5


 arctg (está en el 4º cuadrante) 
 El resultado está en sentido horario y debemos 
pasarlo a sentido antihorario 
 = – 68º11’54”+ 360º = 291º48’05”   =291º48’05” 
 
 
d) uuuu 38,529)5()2(
222 ab 
"54'11º68
2
5



 arctg (está en el 3º cuadrante) 
 
El resultado dio en el 1º cuadrante y debemos pasarlo al 3º 
 = 180º + 68º11’54” = 248º11’54”   =248º11’54” 
 
 
AB + CD 
a
b

ba 

-a
b
ab
a
b
a2 b3-
 
– 3 – Física – UNIDAD 3 – Vectores. – Ingreso Medicina 2016 
3.5 Dados los vectores t = 10 u , v = 4 u, hallar gráfica y analíticamente los siguientes vectores, sabiendo que el 
vector t es horizontal y el vector v forma con el vector t un ángulo de 60°: 
 a) t
3
1
 3,33u10u
3
1
3
1
t α = 0º 
 
 b) vt 2  uusenuuu 32,1896,335)46,3()18()604()60cos420( 22222 vt 
 
 = arc tg (-3,46/18) = -10°52'51" (dirección )= 349°07'09" 
 
 c) vt 2  uusenuuu 61,1588,243)92,6()14()608()60cos810(2 22222  vt 
 
 = arc tg (6,92/14)= 26°18'09" 
 
 
 Otra forma de expresar los vectores es a través de sus componentes. Teniendo en cuenta esto resuelva los 
ejercicios 3.6 y 3.7 
 
3.6 Dados los vectores jidjim 3 -5y 5 4  , encontrar la dirección y módulo de: 
 
a) dm 6" 26' 243º
(-1)
-2
 tgarc =α ; 2,245413)(-55))((4 22  dm 
 
b) dm  59" 21' 318º1" 38' 41
9
-8
 tgarc =α ; 12,041453)(-55)(4 22 dm 
 
c) md  "' º 
)(-
)(
 ; ,))(()( 5921138
9
8
 tgarcα041214564815345 22 md 
 
 
 
3.7 Dados los vectores jib jia 4 2y 5 4  , encontrar la dirección y módulo de: 
 
a) º20'25"51
4
5
 tgarc= ; 6,441(5)4 22  a 
 
b) '54"33296
2
-4
 tgarc=α ; 4,4720)4(2 22 b 
 
c) ba  27'44" 09º
6
1
 tgarc=α ; 6,08374)-(52)(4 22 ba 
 
d) ba  16" '2877
)2(
(9)
 tgarc= ; 22,9852)45(22)(4  ba 
 
 
3.8 Encuentra las componentes cartesianas de un vector cuyo módulo es 9 u y forma un ángulo de 65º con el 
semieje positivo de las x. 
 
 
uusenusen
uuu
15,8906,0.9º65.9.
80,3422,0.9º65cos.9cos.




v
v
Vy
Vx
 
8,15uVy
3,80uVx


 
 
 
 
 
– 4 – Física – UNIDAD 3 – Vectores. – Ingreso Medicina 2016 
F4 25º 
 
N 
O E 

x1 
x2 
xR 
84° 
23° 
3.9 Hallar analíticamente la resultante del siguiente sistema de fuerzas coplanarias y expresarla como suma de 
sus respectivas componentes vertical y horizontal. 
 
F1 = 70 kgf 
F2 = 90 kgf 
F3 = 50 kgf 
F4 = 35 kgf 
 
 
rx = F1 cos 90° + F2 cos 205°+ F3 cos 270°+ F4 cos 180° 
rx = –81,56 kgf –35 kgf = –116,56 kgf 
 
ry = F1 sen 90° + F2 sen 205°+ F3 sen 270°+ F4 sen 180° 
 
ry = 70 kgf – 38,03 kgf – 50 kgf = –18,03 kgf 
 
j18,03kgfi116,56kgfj
y
ri
x
rr ˆˆˆˆ 

 
 
 
3.10 Hallar analíticamente el vector suma del siguiente sistema de fuerzas coplanarias y expresarlo como suma de 
sus respectivas componentes vertical y horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 j66,68kgfi19,79kgfjyRixRR
ˆˆˆˆ 

 
 
 
 
3.11 Un vehículo avanza haciendo un camino zigzagueante. En la primera etapa el vehículo se desplazó 12 km 
(Δx1) a 84° al norte del oeste. Transcurrida la segunda etapa, el desplazamiento resultante del vehículo (ΔxR) 
fue 15 km a 23° al norte del este. ).¿Cuál fue el módulo, la dirección y el sentido del segundo desplazamiento 
(Δx2)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
F1 
F2 
F3 








338α
16,24km
22
06,15
)07,6(
)07,6(06,15
ˆ07,6ˆ06,15ˆ)93,1186,5(ˆ)25,181,13(
ˆ93,11ˆ25,1ˆ93,11ˆ25,1ˆ96.12ˆ96cos.12
ˆ86,5ˆ81,13ˆ23.15ˆ23cos.15
22
arctg
jiji
jijijseni
jijseni

2
2
11
R
1R2R21
Δx
Δx
ΔxΔx
Δx
ΔxΔxΔxΔxΔxΔx
 
F1= 30 kgf ; F2= 55 kgf ; F3= 25 kgf ; F4= 30 kgf 
 
RX= F1 COS 30° + F2 COS 290°+ F3 COS 180°+ F4 COS 270°= 
Rx = 25,98 kgf + 18,81 kgf –25 kgf = 19,79 kgf 
Ry = F1 sen 30° + F2 sen 290°+ F3 sen 180°+ F4 sen 270°= 
Ry = 15 kgf – 51,68 kgf – 30 kgf = –66,68 kgf 
 
  yF2 F1 
 
70° 30° 
  
 F3 x 
 
 

 F4 
 
 
– 5 – Física – UNIDAD 3 – Vectores. – Ingreso Medicina 2016 
 A partir de los conceptos de producto escalar y vectorial resuelva los siguientes ejercicios: 
 
3.12 Dados los vectores jijia 25 15by 60 20  
 
a) Hallar el ángulo entre dichos vectores. 
b) Hallar el producto escalar de los dos vectores. 
c) Hallar el producto vectorial de los mismos. 
 
entrante. sentidoy plano allar perpendicudireccion ;14006,301sen 15,2924,63x )
12006,130cos15,2924,63cos )
6,130"11'0259"54'3371)
)1("11'025915,29)25(15
)4("06'2628824,63)60()20(
22
22










senc
b
a
cuadrante
cuadrante
bab a 
baba
b
a
 
 
 
3.13 Un cuerpo sufre un desplazamiento jiΔx 5m.2m.  . Si sobre él actúa una fuerza jiF 7N4N  
 ¿Cuál es el trabajo que realiza la fuerza F? 
 
J 27 N.m 27'13"27128 cos8,06Nm38,5cosα T
'13"27128'181560'55"1168α
8,06NN65)7(4 '42"44299'18"1560
4
7
arctgα
5,38mm2952= '55"1168
2
5
arctgα
R
22
F
22
Δx






F Δx
F 
Δx m
 
 
 
3.14 Una fuerza jiF 2N 4N  tiene su punto de aplicación según el vector posición jir 1m 2m  
¿Cuál es el valor del momento de la fuerza respecto al origen de coordenadas? Nota: para la designación de 
ángulos se toma el sentido horario negativo 
 
  m8N=)'48"753(205M
'48"753= ; "6'26º333"54'3326
4
2
 ; "54'3326
2
1
20)2(4 ; 512
o
2222





sensen
arctgarctg Fr


Fr
Fr
 
 
 
3.15 En un carruaje se ataron dos caballo, las fuerzas qua ambos ejercen son paralelas del mismo sentido 
separadas entre sí una distancia de 1m tales que F1 = 80 kgf y F2 = 100 kgf. Calcula el módulo de su 
resultante y su ubicación. 
 
m
kgf
mkgf
m
kgf
mkgf
kgfkgfkgf
44,0
180
1.80.d
d
dd
56,0
180
1.100d.
d
dd
resulta entonces 
ddd
aplicación de punto elencontrar paraStevin de regla Aplicamos
18080100
2
2
1
1
21




R
FRF
R
FRF
RFF
FFR
11
22
12
21
 
 
La fuerza resultante se encuentra a 0,56m de F1 o 0,44m de F2 . Tiene la misma dirección y sentido que F1 y 
F2 y tiene un módulo de 180 kgf. 
 
– 6 – Física – UNIDAD 3 – Vectores. – Ingreso Medicina 2016 
41
 
 
3.16 Sobre un cuerpo se aplican dos fuerzas F1 y F2 paralelas de sentido contrario separadas entre sí 0,5m ; 
cuyos módulos son respectivamente 80 kgf y 200N. Calcula el módulo de su resultante y su ubicación 
 
59,60kgf20,4080kgf
20,40kgf20,41kgf
9,8N
1kgf
200N.


21
22
FFR
FF
 
0,17m
59,60kgf
,5m20,40kgf.0.d
d
d1d
0,67m
59,60kgf
80kgf.0,5m.d
d
dd
resulta entonces 
ddd
aplicación de punto elencontrar paraStevin de regla Aplicamos
1
2
2
21



R
FRF
R
FRF
RFF
22
11
12
 
 
 
La fuerza RESULTANTE tiene punto de aplicación a 0,67m de F2 o 0,17m de F1 . 
 Tiene la misma dirección y sentido que que la mayor de las fuerzas, es decir, misma dirección y sentido que 
F1 y su módulo es de 59,60 kgf. 
 
 
AUTOEVALUACIÓN TIPO MÚLTIPLE OPCIÓN 
 
3.18 De las magnitudes vectoriales puede afirmarse que: 
a) Para definirlas hay que indicar módulo, dirección y sentido. 
b) Se identifican indicando su módulo y su dirección. 
c) Se identifican por su dirección y sentido. 
d) Quedan definidas indicando su módulo. 
e) Sólo se pueden definir gráficamente. 
 
3.19 Entre las siguientes magnitudes ¿cuál es la que corresponde a una de tipo escalar?: 
a) Fuerza 
b) Aceleración 
c) Velocidad 
d) Masa 
e) Momento 
 
3.20 Con respecto a los vectores, todas las siguientes proposiciones son verdaderas, EXCEPTO: 
a) La componente de un vector, correspondiente a un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, puede 
ser negativa. 
b) El ángulo entre dos vectores no nulos es el ángulo convexo que determinan sus direcciones cuando sus 
orígenes coinciden. 
c) El módulo de un vector puede ser negativo. 
d) En sistemas de vectores consecutivos, si el extremo del último vector coincide con el origen del primero, 
el vector resultante es el vector nulo. 
e) El producto escalar entre dos vectores es un número real. 
 
3.21  El vector a – b es equivalente a: 
a) a + b 
b) – a – b 
c) a + (– b) 
d) a – (– b) 

3.22 Dados los vectores de módulos 5 u y 4 u, se cumple : 
a) La máxima resultante posible es 3 u. 
b) La máxima resultante posible es u. 
c) La mínima resultante posible es 3 u. 
d) La máxima resultante posible es 9 u. 
e) La mínima resultante posible es 0 u. 

d 
d2 d1 F2 
 R 
 F1 
 
– 7 – Física – UNIDAD 3 – Vectores. – Ingreso Medicina 2016 
3.23 Dados los vectores d ,c , b ,a , ¿cuál de las siguientes opciones es correcta?: 
a) dba  
b) cba  
c) bda  
d) dba  
 
 
 
 
 
 
3.24 La suma de los vectores dados en el gráfico, da por resultado: 
a) - 4.V2 
b) 3.V4 
c) 3.V3 
d) 2.V1 
e) 2,5.V4 
 
 
 
 
 
 
[R] = 8UNIDADES HORIZONTAL hacia derecha 
Si [V2]=2 unidades horizontal hacia izquierda 
 
[R] = -4V2 
 
 
3.25 Dados los vectores ByA

, se cumple que: 
a) 1
AB
BA





CORRECTA 
 
Es una relación entre MODULOS 
Al realizar A – B ó B – A el vector resultante será el 
mismo en módulo pero su dirección y sentido será diferente
 
Estas dos raíces dará el mismo valor pues los valores están al cuadrado 
 
b) ABBA


 Incorrecta la diferencia entre vectores no es conmutativa
 
c) ABBA


Incorrecta la suma de vectores No es lo mismo que la diferencia
 
d) B
AB
BA 


.2


 NO existe la división de vectores 
e) ABBA


Un vector suma (tiene módulo, dirección y sentido)NO es igual al módulo de su suma
 
 
3.26 Al sumar dos vectores de igual módulo, el módulo de su resultante mide la mitad del módulo de cualquiera 
de los dos vectores antes mencionados. El coseno del ángulo que forman los dos vectores vale: 
a) 9/16 
b) 7/8 
c) 2/3 
d) – 7/8 
e) 5/6 
 
 
 
 
a 
b 
 d 
c 
v1
v2
v3 v4
R= -4V2
 
A B
A
-B
B
-A
V 1/2R 
α 
R 
– 8 – Física – UNIDAD 3 – Vectores. – Ingreso Medicina 2016 
 
 
8
7
 -0,87151ºcos
151º2 es vectoresentre ángulo El
º52,75
25,0
4/12/12/12/1
cos







V
V
V
V
V
R
 
3.27 Dado el vector j4.i2.V

 y el vector j5.i3. N

 , el producto escalar NV

 da por resultado: 
a) 19 
b) 14 
c) -21 
d) 26 
e) -26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.28 Dos personas tiran de una mula terca, sin poder moverla, como se ve en la figura. La fuerza que realiza la 
mula, supuesto su movimiento sobre el eje y, es de: 
a) 181,2 N 
b) 90,7 N 
c) 200 N 
d) 140,7 N 
e) 40 N 
 
 
 
 
 
 
Si la mula no se mueve la resultante es CERO. Si la fuerza de la 
mula está en dirección de Y (OJO aquí es horizontal) esa suma 
debe ser cero 
 
 
3.29 Dos personas transportan un cuerpo de 720 N suspendido de una barra de 4,8 m de longitud. Si el cuerpo se 
ubica 3,2 m de la persona que va adelante, ¿qué fuerza realiza cada persona?: 
a) Fadelante = 460 N ;Fatrás = 140 N 
b) Fadelante = 480 N ; Fatrás = 240 N 
c) Fadelante = 240 N ; Fatrás = 480 N 
d) Fadelante = 350 N ; Fatrás = 250 N 
e) Fadelante = 250 N ; Fatrás = 350 N 
 
 
 
 
   
13,99















 





º54,57cos86,547,4cos..
º54,57º03,239º57,296
º03,239º03,59
3
5
º57,296º43,63
2
4
83,53453
47,42042
1
1
22
22
xxNVNV
tg
tg
N
V
N
v




V
N
F1
F2
Fmula
ß=150ºӨ=195º
181,2NFm 


º195cos.80º150cos.120cos.cos.
º0cos.cos.cos.0
21
21
NNFFF
FFFFx
m
m


 
– 9 – Física – UNIDAD 3 – Vectores. – Ingreso Medicina 2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.30 Una persona viaja 3 km hacia el oeste y luego 4 km en la dirección de 60° al norte del este. El 
desplazamiento, utilizando componentes vectoriales, es: 
a) - 1 km y α = 74° 
b) 5 km y α = 60° 
c) 1 km y α = 120° 
d) 3,6 km y α = - 74° 
e) 0,6 km y α = - 106° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.31 Según la figura, hallar BA  si A = 8m y B = 6m. 
a) 5m 
b) m2 
c) 10m 
d) 5,29 m 
e) 100 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N
m
mN
d
dF
F
d
F
d
N
m
mN
d
dF
F
d
F
d
d
F
d
F
d
N
cuerpo
adelantecuerpo
atrás
cuerpo
cuerpo
adelante
cuerpo
atráscuerpo
adelante
cuerpo
cuerpo
atrás
cuerpo
cuerpo
adelante
atrás
atrás
480
8,4
2,3.720.F
240
8,4
6,1.720.F
resulta entonces 
F
fuerzas las de valor elencontrar paraStevin de regla Aplicamos
720
atrás
adelante
adelante



 21 FFR
46,3º60.4
2º60cos.4cos.
0º180.3.
3º180cos.3cos.





sensen
sensen
B
B
A
A




.B
B
A
A
CBA
By
Bx
Ay
Ax
74º
3,6CyCx
jjj
iii 






º87,73
1
46,3
)46,3()1(
46,346,30
 1 23
2222
arctgarctgC
Cx
Cy
C
ByAyCy
BxAxCx

O E
N
S
A = 3 km
B
 =
 4
 k
m
C
60º
   
10m
8,824,71BABA
8,825,44)(3,38BA
4,712,547,25BA
5,446.sen295ºB.sen25ºB
2,546.cos295ºB.cos25ºB
3,388.sen25ºA.sen25ºA
7,258.cos25ºA.cos25ºA
222
yy
2
xx
yy
xx
y
x
y
x








BA
BA
– 10 – Física – UNIDAD 3 – Vectores. – Ingreso Medicina 2016 
 
 
 
3.32 La figura es un cuadrado de 10 cm de lado, hallar el módulo de la resultante de los vectores 
dibujados, si M y N son puntos medios. 
a) m215 c 
b) 5 cm 
c) cm2 
d) 20 cm 
e) m23 c 
 
 
3.33 Si la resultante de los vectores mostrados es un vector vertical, hallar el módulo de C. 
a) 15,50 N 
b) 30,74 N 
c) 3,18 N 
d) 46,55 N 
e) 21,04 N 
 
Si la resultante del sistema es vertical, significa que no posee componente horizontal 
Rx =0= C + 34 N. cos 150º + 25N . cos 233º 
C = - 34 N. cos 150º - 25N . cos 233º = 21,04N 
 
 
 
3.34 Dos vectores A y B corresponden al plano xy. ¿En qué condiciones la relación 
x
B
x
A
B
A
 ? 
a) Cuando º270
BA
 
b) Cuando son nulos 
c) Cuando 
BA
 2 
d) Cuando 
BABA
ó   
e) Cuando son perpendiculares 
 
BA
B
A
B
A
x
x
Bx
Ax
αα1
cosα
cosα
sisólo
Bcosα
Acosα
B
A
B
A
Si
BcosαB
AcosαA



 
N34