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 
 
 
 
Función: Operaciones algebraicas. Gráficos. Acotación. 
Paridad. Monotonía – Composición de funciones 
 
Cuestionario 
a) ¿Qué es una función? ¿Qué se entiende por dominio, Codominio e imagen? 
b) ¿A qué se llama variable dependiente y variable independiente de una función? 
c) ¿Qué elementos debe indicar para definir una función? 
d) Si para identificar una función se da únicamente una fórmula, ¿cómo se puede obtener el dominio de la 
misma?, ¿y el codominio? 
e) ¿Podría determinar la imagen de una función sin conocer su dominio? 
g) ¿Cómo obtiene dominio e imagen a partir de la representación gráfica de una función? 
h) ¿Qué se entiende por valor de una función? 
i) ¿Cuándo una función es acotada? 
j) ¿Qué operaciones algebraicas se pueden realizar entre funciones?. Definirlas 
k) Indique qué paridad puede tener una función. Defínalas. 
l) ¿Qué relación hay entre simetría del gráfico y paridad de la función? 
m) ¿Qué monotonía puede tener una función? Defina cada uno de los casos. 
n) ¿Cómo es el gráfico de una función creciente? y de una función decreciente? 
ñ) ¿Qué operación no algebraica se puede realizar entre funciones? Definirla 
o) ¿Cuál es la operación inversa a la operación de composición de funciones? ¿Cómo obtiene las funciones 
elementales que intervienen en una función compuesta? 
 
 
 
Ejercicios Resueltos 
 
1.-) Calcular el dominio de cada una de las funciones que se indica a través de su fórmula. 
a) y = f (x) = x b) y = 
1 
 
 
x2 + x − 6 
−x2 
c) y = − 
 
si x  0 
+ 
1 
x − 5 
d) y = e) y = f (x) = 

3 si 0  x  1 
2x −1 si x  1 
I) En a) calcular f (8) , f (a +1) 
II) En e) calcular si existe f (−2) , f (1 / 2) , f (0) , f (4) 
 
Solución 
Encontrar el dominio de una función significa encontrar todos los valores de la variable independiente para los 
cuales los valores de la variable dependiente sean valores reales. Además el enunciado o fórmula que define a la 
función debe tener sentido para los valores de dichas variables. 
 
a) Para que exista la variable dependiente (y) es necesario que el radicando de las raíces de índice par (aquí raíz 
cuadrada) sea mayor o igual a cero, es decir que en este caso el planteo es: 2x – 3  0. La solución de esta 
inecuación es el dominio de la función. 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 
 
 
2 
3 − t 
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( R − 5 
 
; 
  3 x  
3 
es decir S = 
 3 
  Dom(f ) = ;  

 
2 
T  
2 
  
2 
 
    
b) En este caso el planteo es: x2 + x − 6  0 (recordar que no se puede dividir por cero) 
Las raíces de la ecuación x2 + x − 6 = 0 son x11 = −3  x2 = 2 
Entonces el dominio es Dom(f ) = R − − 3 ; 2  
c) Para esta función el planteo es: x – 2  0  x – 5  0 resolviendo e intersecando ambos conjuntos el 
dominio es: Dom(f ) =  2 ,  )  ) =  2 ,  ) − 5  
 
d) Para determinar el dominio de esta función se debe tener en cuenta únicamente que 3 – t  0 , ya que la raíz 
es de índice impar y como se sabe las raíces de índice impar existen para todos los números reales. Entonces t 
 3. Por lo que Dom ( f ) = R − { 3 } 
 
e) Se trata de una función definida sectorialmente y el dominio es el conjunto formado por la unión de cada uno 
de los subconjuntos para los cuales está definida la función 
Es decir Dom ( f ) = (−, 0)  ( 0, 1 )   1, )  Dom ( f ) =R − { 0 } 
 
I) En a) para calcular f ( 8 ) es necesario reemplazar en la fórmula el valor de x por 8 y realizar las operaciones 
Entonces f ( 8 ) = 8 = 8 
f ( a + 1) = (a + 1 ) 
 
 
= (a + 1) 
 
II) En este caso como la función está definida sectorialmente es necesario determinar primero a que sector 
pertenece y de esta manera saber en qué fórmula reemplazar 
 
Entonces para el cálculo de f (− 2) , determinamos que x = − 2 pertenece al primer sector ( x < 0 ), por lo tanto 
en la fórmula y = − x2 hay que reemplazar x por −2: f (− 2 ) = − (− 2 )2 = − 4 
De la misma forma se procede para los otros valores: 
f ( 1/2 ) = 3 
f ( 0 ) no existe, ya que x = 0 no pertenece al dominio de la función 
f ( 4 ) = 2 . 4 – 1 = 7 
 
2.-) Dadas las funciones f , g  h / f (x) = 2x +1 , g(x) =  h (x) = 
3x 
x − 2 
a) Definir: f + 2 g  g2 / h 
b) Calcular: ( g + 2 f )( 7 ) ( g + 5 f )(7) 
Solución 
A partir de 2 o más funciones f y g se puede definir otras funciones que resultan de operaciones algebraicas entre 
f y g 
Función Suma : f + g : Dom f Dom g → R / (f + g )(x) = f ( x ) + g ( x ) 
Función Diferencia : f − g : Dom f Dom g → R / (f − g )(x) = f ( x ) − g ( x ) 
Función Producto: f . g : Dom f Dom g → R / (f . g )(x) = f ( x ) . g ( x ) 
Función Cociente : f / g : Dom f Dom g −x/g(x) = 0 → R / (f / g )(x) = f ( x ) / g ( x ) 
 
a) Para definir una función debemos indicar fórmula, dominio y codominio de la misma. 
Fórmula: (f + g )(x) = f ( x ) + g ( x ) = 2x + 1 + 2 
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x + 2 
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Para determinar el dominio de la nueva función, la forma más fácil de hacerlo es la siguiente: obtener la fórmula 
de la función, pero no realizar ninguna operación algebraica en ella, luego obtener el dominio a partir de dicha 
fórmula. Una vez calculado el dominio, recién procedemos a simplificar la fórmula, si es posible, por lo tanto el 
planteo para este caso es: x + 2  0  x  2 ; Dom(f + g) =  − 2; ) 
Como codominio se toma el conjunto más amplio con el que se está trabajando, en cualquier caso se puede 
tomar R. Entonces la función queda definida así: 
(f + 2g) :− 2; ) → R / (f + 2g)(x) = 2x +1+ 2 
(g(x))
2
 
Idem para g2 / h (g2 
 
Planteo para el cálculo del dominio: 
/ h)(x) = 
h(x) = 
 
 
 3x 
x − 2 
x + 2  0  3x  0  x – 2  0  Dom (g2 / h ) = − 2, ) − { 0, 2 } 
Codominio = R . Por lo tanto la función queda definida así: 
g2 / h: − 2, ) − 0,2 →R / ( g2 
 
/ h ) ( x ) = 
( x + 2 )
2
 
 3x 
x − 2 
x
2 
− 4 
= 
3x 
b) ( g + 5 f )( 7 ) = g ( 7 ) + 5 f ( 7 ), por lo que podemos calcular g ( 7 ) y f ( 7 ) y luego reemplazar 
g ( 7 ) = 3 , f ( 7 ) = 15 entonces ( g + 5 f ) ( 7 ) = 78 
 
3.-) Determinar la paridad de la función dada y en base a ello indique su simetría, siempre que sea 
posible: f (x) = sen x + 
3
 x
3 
− x 
 
Solución 
Recordar que si una función es par se cumple que f ( – x ) = f ( x ) y si es impar f (– x ) = – f ( x ) 
Calculamos primero f (– x ): f (−x) = sen(−x) + 3 (−x)
3
 − (−x) 
Como ( − x )3 = − x 3 y por identidades trigonométricas: sen (– x ) = – sen x , se tiene que 
f (−x) = − sen x + 3 = − sen x + 3 = − sen x − (1) 
(Sacando factor común (−1) dentro de la raíz cúbica y recordando que 
3 
−x = − 3 x ) 
 
Vemos que de acuerdo a lo obtenido f ( – x )  f ( x ) por lo tanto NO es una función par 
Para ver si es impar calculamos f (−x) = − 

sen x + 
3
 x
3 
− x 

 = − sen x 
− 
3 (2) 
  
  
Comparando (1) y (2)se cumple que f (– x ) = – f ( x ) , entonces se trata de una función impar, y como 
consecuencia será simétrica con respecto al origen. 
Cabe acotar que si esto último no se hubiese cumplido, la función dada no tendría paridad y como consecuencia 
no sería simétrica ni con respecto al origen ni con respecto al eje y. 
 
4.-) Dadas las funciones f, g y h / f ( x ) = 2x + 5 , g ( x ) = x2 + 1 y h ( x ) = 
1
 
x 
a) Definir: ( h o f ) , ( h o g ) 
b) Calcular ( g o f ) ( 1 ) 
 
 x + 
 
 
3 
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Solución 
Composición de funciones 
a) Una operación que se puede realizar entre 2 o más funciones y que no es algebraica es la composición: 
La función compuesta de f y g o bien de f con g, está definida por: 
g of : Dom( f ) −x/f (x)  Dom(g)  →R / ( g o f )( x ) = g ( f ( x ) ) 
 
Para definir una función debemos indicar fórmula, dominio y codominio de lamisma 
Para definir ( h o f ) se procede en forma similar como se hizo para operaciones algebraicas, primero se determina 
la fórmula ( sin realizar ninguna simplificación ni operación) y luego se obtiene el dominio. 
(h o f )( x ) = h ( f ( x ) ) lo que indica que se tiene que reemplazar el argumento de h, por el valor 
f ( x ), es decir h ( f ( x ) ) = h (2x + 5 ) = 
 1 
 
2x + 5 
Para calcular el dominio de esta nueva función se plantea que el denominador sea distinto de cero. 
2x + 5  0  x  − 
5 
 Dom( h o f ) = R−− 5 
2 2 
Por lo tanto la función queda definida así : (h o f ): R−− 5→R / (h o f ) ( x ) = 1 
2 
Idem para ( h o g ) 
Fórmula: ( h o g ) ( x ) = h ( g ( x ) ) = h (x2 + 1 ) = 
 1 
 
2x + 5 
x
2 
+ 1 
Dominio: x2 + 1  0  Dom = R ; Codominio = R 
Es decir la función queda definida así 
(h o f ):R→R / ( h o g ) ( x ) = 
 1 
 
x
2 
+ 1 
 
b) El cálculo de ( g o f ) ( 1 ) se puede realizar de dos maneras 
I) Se determina primero la fórmula de ( g o f ) ( x ) y luego se reemplaza el valor de x por 1 
( g o f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = ( 2 x + 5) 2 + 1  ( g o f ) ( 1 ) = (2.1 + 5) 2 + 1 = 50 
 
II) Por definición ( g o f ) ( 1 ) = g ( f ( 1 ) ) 
Se Obtiene primero f ( 1 ) = 2. 1 + 5 = 7 y luego este valor se lo reemplaza en la expresión anterior ( g o 
f ) ( 1 ) = g ( f ( 1 ) ) = g ( 7 ) = ( 7 )2 + 1 = 50 
Función Suma : f + g : Dom f Dom g → R / (f + g )(x) = f ( x ) + g ( x ) 
 
5.-) Plantear la fórmula de la función que interprete la siguiente situaición problemática y responder 
Costo industrial. Una compañía tiene una 
planta eléctrica construida en la orilla de un 
río, que se considera recto y de ancho 
constante 200 m. La compañía debe tender un 
nuevo cable desde la planta hasta una ciudad 
A que se encuentra 3 Km río abajo, en la otra 
margen del río. El costo de tendido por el río 
es de 180 dólares el metro, y por tierra: 100 
dólares. Expresar el costo total del tendido 
en función de x, de acuerdo al gráfico 
 
Solución: 
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x 
 
x − 2 
 
 
El problema pide expresar el costo del tendido completo del cable, tanto bajo el río como en tierra, desde la planta 
eléctrica hasta A. 
Como el costo está dado en dólares por metro, para hallar el costo es necesario conocer qué longitud del cable 
será necesario y luego esa longitud, dada en metros, se multiplicará por el precio del metro para hallar el costo. 
Costo de tendido = Costo de un metro por el precio de cada metro. 
Y el costo total es igual al costo por Río más el costo a orillas del río – por Tierra –. 
Llamando CT al costo total, se observa que depende del valor donde termine el tendido por río. La longitud x 
es la variable independiente y CT , la variable dependiente. 
CT = Costo por río + Costo por tierra 
CT = 180.Longitud del tendido por río + 100.Longitud del tendido por tierra 
 
La primera longitud se calcula como la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos 
catetos son “x” y el ancho del Río “200 m” 
La segunda longitud es la diferencia de 3 Km (reducido a metros) y la longitud “x”, 
es decir: 
Por lo tanto la expresión del costo total, en función de “x” es: 
 
 
 
Ejercicios del TP Nº 2 para resolver en clase 
 
1.-) Hallar el dominio de las siguientes funciones reales, dadas por su fórmula: 
 
a) y = x + 
x3 + x +1 si x  −3 
b) y = 
  
 
x − 7 
4  
16  si x  0 
c) y = 
 ________ 
si − 3  x  3 
 
 
 
d) y =  x
2 −1 
sen x si x  0 
 x si x  3 
 
2.-) Hallar la imagen de las siguientes funciones dadas por su fórmula, aplicando propiedades de los 
números reales. 
a) y = b) y = x6 +1 c) y =− x 
 
3.-) Dadas las siguientes funciones, por su gráfico, indicar dominio e imagen. Dar los intervalos de 
monotonía 
b) 
 
a) 
4 10 − x 
x2 − 25 
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x +1 
x 
4.-) a) Definir las siguientes funciones dadas por sus fórmulas e indicar si son iguales 
5x2 − 30x 
y = F(x) =  
x − 6 
y = G (x) = 5x 
b) Si f (x) = 
x + 8 
x − 4 
, g(x) = definir 5f + g2 
c) Definir 
h 
, si h (x) = 6(10 + x)
−3 
i 
 i (x) = x2 − x + 2 
 
5.-) Expresar las fórmulas de las funciones dadas por los siguientes enunciados. Indicar el dominio. 
a) 
Se construye una caja sin tapa a partir de una pieza 
rectangular de cartón de 12 cm por 20 cm, cortando 
cuadrados iguales de lado x, en cada esquina. Luego se 
dobla hacia arriba los rectángulos como se ve en la figura. 
Expresar el volumen V, de la caja, en función de x. 
b) Un alambre de un metro de largo se corta en dos pedazos. Con el primero se forma un círculo y 
con el segundo, un cuadrado. A(x) expresa la suma de las áreas de las dos figuras, siendo “x” de la 
longitud del primer pedazo de alambre. (Expresar la Longitud en cm) 
 
6.-) Identificar las funciones que son acotadas. Justificar. 
a) f : ℝ → ℝ / y = x2 + 1 
b) La función g, cuya fórmula es y = cos 
c) h : ( − , − 2 → / y = 
1
 
, para x  0 
 
7.-) Estudiar la paridad de las siguientes funciones dadas por su fórmula. Indicar la simetría que tiene 
el gráfico. 
a) f(x) = 
3x 
 b) y = 
 
c) y = − d) y = 5 x + x2 
 
8.-) Dar los intervalos de monotonía de las siguientes funciones dadas por su fórmula: 
a) y = (3 − x)(3 + x) b) y = x − 2 
 
9.-) Realizar el gráfico de una función que cumpla las siguientes condiciones: 
Dom(f) = ℝ , Img(f) = (− 4; 2] , f es par, f (0 ) = − 1 , f ( 5 ) = 0 , f crece en el intervalo ( 0 ; 3 ) , 
f decrece en ( 3 ,  ) 
 
10.-) Dadas las siguientes fórmulas de funciones: h(x) = 
a) Completar: 
i) (h ∘ m)(x) =…………………………..……. 
, m(x) = 2x + 9 , z(r) = 3x−2 
2x + 9 
x 
x
4 
+ 2 
1+ x + x
2
 1− x + x
2
 
 
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x 
y 
f 
1 
1 
g 
ii) (m ∘ z ∘ h)(x) =…………………………..……. 
b) Definir la función compuesta z ∘ h 
 
 
11.-) a) Indicar las funciones elementales cuya composición permite obtener la siguiente fórmula: 
 
f (x) = 12 + 
 
b) Dar las funciones elementales y las operaciones entre funciones que se realizaron en f, siendo 
f (x) = sen (2x −1) + 
7 
 
 
x
5 
+ 3 
 
12. −) Utilizar las gráficas de f y de g para evaluar 
cada expresión. Si la expresión solicitada no existe, 
explicar por qué. 
a) (f o g ) (− 4) 
b) g ( f ( 2 ) ) 
c) g ( f ( 5 ) ) x 
d) (f o g ) (1) 
e) (g o f ) (−1) 
f) f ( g ( −1) ) 
 
 
 
Ejercicios Adicionales: Trabajo Práctico N° 2 
 
1.-) Dados los siguientes enunciados de funciones, indicar las variables dependiente e independiente, la 
fórmula y el dominio: 
a) En un rectángulo el triple de la base es igual a doble de la altura. Y la diagonal es un valor entre 
80 y 100 m. Se pide la diagonal en función de la base 
b) Un hombre de 1,6 m de alto se encuentra a una distancia de D metros de una pared, en la cual 
se encuentra encendido un foco, situado a 4,6 m de altura. Encontrar una relación entre la sombra 
proyectada, S, por el hombre y la distancia D. 
 
2.-) Definir funciones a partir de fórmulas que se presentan: 
Si f (x) = 1−  g(x) = x2 definir 
2f 
 f ∘ g 
g 
 
 
 
 
 
1 
8x