3 Analisis_tercer_clase

Vista previa del material en texto

ANALISIS MATEMATICO I
3° CLASE
NUMEROS REALES
Números reales y la recta real.
Mucho del cálculo se basa en propiedades del sistema 
de números reales. Estos son números que pueden 
expresarse como decimales:
– 3 / 4 = – 0,750000….. 
1 / 3 = 0,3333333……
2 = 1,4142……
π = 3,14159….
e = 2,71828……
Se pueden representar geométricamente en la 
llamada recta real.
El símbolo R denota el sistema de los números 
reales.. 
Propiedades de los números reales
Propiedades algebraicas : + , – , x , / ( excepto por 
0 ) la operación entre dos números da origen a un 
nuevo número real.
Reglas de desigualdades
Las propiedades de orden se resumen en el siguiente 
cuadro:
Si a, b , c son números reales, entonces:
1.- a < b ⇒ a + c < b + c
2.- a < b ⇒ a – c < b – c
3.- a < b y c > 0 ⇒ a . c < b . c
4.- a < b y c < 0 ⇒ a . c > b . c
5.- a > 0 ⇒ 1 / a > 0
6.- Si a y b son ambos positivos o negativos ⇒ a < b 
⇒ 1 / a > 1 / b
La propiedad de completitud de manera simple dice 
que hay suficientes números reales para completar 
la recta real, en el sentido que no hay agujeros.
Muchos teoremas fallarían si el sistema de los 
números reales no fuera completo.
Subconjuntos de los números reales:
Se distinguen:
1.- Números naturales ( N ) : 1, 2 , 3, 4, …..
2.- Números enteros ( Z ) : 0 , ± 1 , ± 2, ± 3, 
± 4 , …….
3.- Números racionales ( Q ) : Aquellos que pueden 
ser expresados como fracción m / n , donde m y n son 
enteros y n ≠ 0.
Ejemplos: 1 / 2 ; 3 / 4 ; 5 = 5 / 1 ; 0 = 0 / 2 
Estos números tienen una expansión decimal, que 
puede ser:
Finita: los que terminan con una secuencia infinita de 
0.
Ejemplo : 3 / 4 = 0,7500000….. = 0,75
Periódicos: terminan en un bloque de dígitos que se 
repiten. 
Ejemplo: 23 / 11 = 2,09090909….. = 2, 09
Estos números no cumplen con la propiedad de 
completitud.
No existe ningún número racional cuyo cuadrado 
sea 2, hay un agujero donde debería estar 2 .
Estos son los números irracionales ( I ) , tienen 
expansiones decimales infinitas no periódicas.
Intervalos:
Un subconjunto de la recta real se llama intervalo si 
contiene al menos dos números y contiene todos los 
números reales que están entre dos cualesquiera de 
sus elementos.
Por ejemplo:
[ – 2 , 3 ] , [ 6 , 9 ) , ( 6 , ∞ )
Geométricamente, podemos decir, que serán 
segmentos o semirrectas.
Los que son segmentos son intervalos finitos y los 
que son semirrecta corresponden a intervalos 
infinitos.
El intervalo finito puede ser cerrado, si contiene a 
sus dos extremos; semiabierto o semicerrado si 
contiene a un solo extremo; abierto, si no contiene a 
los extremos.
Ejemplo:
Cerrado : [ – 2 , 3 ] 
Semiabierto : [ – 2 , 3 ) 
Abierto: ( – 2 , 3 ) 
Infinito : [ a , ∞ ) , ( −∞ , b ]
( a , ∞ ) , ( −∞ , b )
( −∞ , ∞ )
Resolver:
a) 5x + 6 < 3x + 10
b) x2 – 4 ≤ 0
c) x2 + x – 12 ≥ 0
( x – 3 ) ( x + 4 ) ≥ 0 
d) 
4
𝑥−3
< 0
e) x2 (x2 +2 ) < 0
f) x2 ( x+1)2 ≤ 0
g) x4 ( x2 + 2 ) > 0
Valor absoluto
El valor absoluto de un número x, denotado por 
| x | , se define como :
| x | = 
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
Ejemplo:
a) | 5 | = ??
b) | – 7 | = ??
Solución:
a)| 5 | = ?? 5 > 0 , por lo tanto | 5 | = 5
b) | – 7 | = ?? – 7 < 0 entonces – ( – 7 ) = 7
Geométricamente, | x | representa la distancia de x 
al origen , 0 , en la recta real.
De manera general: | x – y | = | y – x | distancia 
entre x e y es la misma. 
Propiedades:
1.- | – x | = | x | 
2.- | x y | = | x | | y | 
3.- | x / y | = | x | / | y | 
con |y | ≠ 0 
4.- | x + y | ≤ | x |+| y | 
Desigualdad del triángulo
5.- 0 ≤ | x |
6.- – | x | ≤ x ≤ | x |
7.- | x | ≤ K ⟺
– K ≤ x ≤ K
8.- K ≤ | x | ⟺
K ≤ x ∨ x ≤ – K 
9.- | x – y | = | y – x | 
10.-
𝑛
𝑥𝑛 =
 
𝑥 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
𝑥 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
Desigualdades con valor absoluto:
La desigualdad | a | < D dice que la distancia de “a” a 
0 es menor que D. Entonces “a” debe estar 
comprendida entre D y – D.
Entonces:
| a | ≤ D ⟺ – D ≤ a ≤ D
D ≤ | a | ⟺ D ≤ a ∨ a ≤ – D 
Ejemplo:
a) | x – 5 | < 9
b) | x + 3 | > 8
c) | 2 x – 8 | ≥ 14
Cotas y extremos de un conjunto
Sea A ⊂ R
Definición1: El número real c es cota superior de A 
cuando ∀ x ∈ A : c ≥ x
Definición2: El número real d es cota inferior de A 
cuando ∀ x ∈ A : d ≤ x
Definición3: El conjunto A esta acotado superiormente 
cuando posee cota superior.
Definición4: El conjunto A esta acotado 
inferiormente cuando posee cota inferior.
Definición5: El conjunto A esta acotado cuando está 
acotado superiormente e inferiormente.
Ejemplo 1 :
A = [ – 5 , 8 ) Cotas superiores: 9 ; 10 ; 10,1 ; 
8 ( ? ) ; 100 ; 1000 ; ……
Cotas inferiores : – 10 ; – 20; –
4,999; – 5 ( ? ); – 100; …… 
Cotas superiores: [ 8 , ∞ )
Cotas inferiores: ( – ∞ , – 5 ] 
Ejemplo2:
B = [ 7 , ∞ ) Cotas superiores ; NO tiene
Cotas inferiores: ( – ∞ , 7 ]
Definición6: Se llama supremo del conjunto A a la 
menor de las cotas superiores.
Definición7: Se llama ínfimo del conjunto A a la 
mayor de las cotas inferiores.
Definición8: Cuando el supremo pertenece al 
conjunto, se lo llama máximo.
Definición9: Cuando el ínfimo pertenece al conjunto, 
se lo llama mínimo.
Para el ejemplo1:
Sup(A) = 8 
Max(A) = No tiene
Inf(A) = – 5 
min(A) = – 5
Para el ejemplo2: ????