022-041

Vista previa del material en texto

Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
 
22 
 
POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS 
Contenidos 
Se define polinomio en una indeterminada y también su grado. Éste permitirá particularizar dife-
rentes polinomios: nulo, iguales, ordenado, completo. Se realizará una breve revisión de opera-
ciones con polinomios; particularmente se detallará el concepto de Divisibilidad y máximo co-
mún divisor y su cálculo a través del Algoritmo de Euclides. 
Se plantean ecuaciones algebraicas, y admitido el Teorema Fundamental del Álgebra, la descom-
posición factorial de las mismas; raíces múltiples y la relación entre coeficientes y raíces de una 
ecuación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivos 
- Hallar el máximo común divisor de polinomios aplicando el algoritmo de Euclides. 
- Desarrollar habilidades en el manejo de los lenguajes coloquial y simbólico a través del plan-
teo y resolución de situaciones problémicas relacionadas a polinomios y ecuaciones algebrai-
cas. 
- Reconocer la importancia de la relación entre raíces y coeficientes de una ecuación para la 
solución y reconstrucción de ecuaciones. 
 
Polinomio 
Divisibili-
dad 
m.c.d. 
 
Algoritmo de Euclides 
y 
y su cálculo 
por el 
Se define 
es toda función P de 
la indeterminada x 
de la forma P(x) = a0 x
n
 + a1 x
n-1
 + a2 x
n-2
 + ... + an 
 = 0 
si 
Se obtiene 
 una 
Ecuación algebraica 
de grado n, que tiene n 
raíces 
 
Raíces múltiples, 
relación entre coefi-
cientes y raíces. 
En la que se 
estudia 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
23 
 
1.- Introducción 
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras, vinculados entre sí por las 
operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. 
Las expresiones algebraicas se clasifican en racionales e irracionales. En las primeras no inter-
viene la radicación, solo las otras cinco operaciones. Las racionales pueden ser enteras o fraccio-
narias, según que en ellas intervengan solamente sumas, restas y multiplicaciones o bien inter-
venga además la división. 
 3 + x x  2x3 es irracional 
 2x
2 
+ 
2
1
x
4
  3 es racional entera 
 2x
5
3
1x
3x2



 es racional fraccionaria 
Una expresión algebraica racional entera se llama también, en general, polinomio. 
 
2.- Polinomio 
Polinomio es una suma algebraica de términos, cada uno de los cuales consta de un coeficiente 
numérico o constante, multiplicado por una cierta potencia de la variable x. 
 P(x) = a 0 x 
n
 + a 1 x 
n-1
 + a 2 x 
n-2
 + ... + a n = 


n
0i
in
i xa 
La constante ai , se llama coeficiente. Cuando todos los coeficientes pertenecen a un cierto campo 
numérico C, se dice que P(x) es un polinomio sobre C. 
Ejemplos: 
1) P(x) = 3x4 + 2x3 – x 2 – 5x + 1 
2) Q(x) = 
2
1
x
3
 + 2i x
2
 – 3 
Los coeficientes de P(x) en 1)  a los R, por lo tanto P(x) es un polinomio sobre el conjunto de 
los Reales; los de Q(x) en 2)  a los Complejos, por lo tanto Q(x) es un polinomio sobre el con-
junto de los Complejos. 
Un polinomio de un término es un monomio. 
 Ejemplos: 3 x
2
 ; 2 y
5
 ;  5 n
3
 
Un polinomio de dos términos es un binomio. 
Ejemplos: 2x
3
 + 5 x ;  3y
7
 + . y
3
 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
 
24 
 
Un polinomio de tres términos es un trinomio. 
Ejemplo: 3x
2
  x + 2 
 
2.1.- Grado de un polinomio 
El grado de un polinomio está dado por el grado del monomio de mayor grado. El polinomio nulo 
no tiene grado. El término a0 x 
n
, que es el que contiene la potencia más alta de x, se llama tér-
mino principal, y a0 coeficiente principal del polinomio. Si el coeficiente principal es 1, entonces 
el polinomio se dice mónico. 
 
2.2.- Polinomios iguales 
Polinomios iguales son aquellos polinomios que tienen los coeficientes de los términos semejan-
tes iguales: 
Dados: P(x) = 


n
0i
in
i xa y Q(x) = 


n
0i
in
i xb ; 
 P(x) = Q(x)   i  ai = bi 
 
2.3.- Polinomio ordenado, polinomio completo 
Polinomio ordenado: es el polinomio cuyos términos están escritos de modo tal, que las potencias 
de la variable x quedan ordenadas en forma creciente o decreciente. 
Polinomio completo: es el polinomio en el que aparecen todas las potencias de x con coeficientes 
distintos de 0. 
Ejemplos: 
P(x) = 3x
4
 + 2x
3
 – x 
2
 – 5x + 1 
P(x) es un polinomio de cuarto grado, completo y ordenado en forma decreciente 
Q(x) = 
2
1
x
3
 + 2i x
2
 – 3 
 Q(x) es de tercer grado, incompleto y ordenado en forma decreciente. 
 
3.- Operaciones con polinomios 
3.1.- Suma 
Dados dos polinomios P(x) y Q(x) , los coeficientes del polinomio suma se obtendrán sumando 
los de los términos del mismo orden de P y Q. 
 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
25 
 
Calcular P(x) + Q(x) ; siendo P(x) = 3 x
3
 – 2 x + 
2
1
 
 y Q(x) = 1x
5
1
xx
3
1 24  
 P(x) + Q(x) = 4x
3
1
 + 3 x
3 
 – x
2
 x
5
9
 – 
2
1
 
La adición de polinomios goza de las propiedades: 
- Ley de cierre. La suma de dos polinomios es otro polinomio. 
- Asociativa: ( P(x) + Q(x) ) + R(x) = P(x) + ( Q(x) + R(x) ) 
- El polinomio nulo, que se designa con 0, es el elemento neutro de la adición de polino-
mios. Para cualquier polinomio  P(x) + 0 = 0 + P(x) = P(x) 
- Todo polinomio P(x) tiene su opuesto – P(x) , siendo los coeficiente de – P(x) los opues-
tos de los coeficientes de P(x), tal que: P(x) + ( P(x)) = ( P(x)) + P(x) = 0 
- Conmutativa: P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) 
 
3.2.- Multiplicación 
Con respectoal producto de polinomios, una vez ordenados se multiplican los términos de uno de 
ellos por cada uno de los términos del otro, y luego se suman los términos semejantes. 
Calcular P(x) . Q(x) , siendo: 
 P(x) = 2 x
4
 – 3 x
2
 + x – 5 
 y Q(x) = 4 x
2
 – x + 1 
 
 Para realizar el producto se dispone en forma práctica, como sigue: 
 P(x) = 2 x
4
 – 3 x
2
 + x – 5 
 Q(x) = 4 x
2
 – x + 1 
 8 x
6
 – 1 2 x
4
 + 4 x
3
 – 20 x
2
 
 – 2 x
5
 + 3 x
3
 – x
2
 + 5x 
 2 x
4
 – 3 x
2
 + x – 5 
 P(x) . Q(x) = 8 x
6
 – 2 x
5 
 – 1 0 x
4
 + 7 x
3
 – 24 x
2
 + 6 x – 5 
 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
 
26 
 
La multiplicación de polinomios goza de las siguientes propiedades: 
- Ley de cierre. El producto de dos polinomios es otro polinomio. 
- Asociativa: ( P(x) . Q(x) ) . R(x) = P(x) . ( Q(x) . R(x) ) 
- l es el elemento neutro de la multiplicación de polinomios. 
 Para cualquier polinomio  1. P(x) = P(x).1 = P(x) 
- Conmutativa: P(x) . Q(x) = Q(x) . P(x) 
- Distributiva con respecto a la adición: P(x).(Q(x) + R(x)) = P(x) . Q(x) + P(x) . R(x) 
 
3.3.-Productos especiales (Expresiones analíticas y geométricas) 
1. Cuadrado de un binomio: ( x + a ) 2 
 
 
 ( x + a ) 
2 
 = x
2
 + 2ax + a
2
 
 
 
 
 
 
2. Cubo de un binomio: ( x + a ) 3 
 ( x + a ) 
3 
 = x
3
 + 3 x
2 
a + 3 x a
2
 + a
3
 
 
3. Producto de la suma por la diferencia de dos términos: ( x + a ) . ( x  a ) 
 
 
 
( x + a ) . ( x  a ) = x
2 
  a
2
 
 
 
 
 
 
 
 
x a 
x
2 
a.x 
a.x 
 a
2 
x 
x + a 
x
 –
 a
 
x 
a
2 
a 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
27 
 
3.4.- División 
Dados dos polinomios P(x) y D(x) , llamados dividendo y divisor respectivamente, éste últi-
mo no nulo; se trata de hallar dos polinomios Q(x) y R(x) , llamados cociente y resto, tales que 
se cumpla la identidad: 
 P (x) = D(x) . Q(x) + R(x) 
 y que además, grado de R(x)  grado de D(x). 
 
Dados los polinomios 
 P(x) = – 10 x + 2 x
4
 + 1 – 5 x
3
 
 y D(x) = – 5 x + 5 + 2 x
2
 
Prácticamente, la división se dispone del siguiente modo: 
 2 x
4
 – 5 x
3
 + 0 x
2
 – 10 x + 1 2 x
2
 – 5 x + 5 
 – 2 x
4
 + 5 x
3
 – 5 x
2
 
2
5
x2  
 – 5 x
2
 – 10 x + 1 
 5 x
2
 – 
2
25
 x + 
2
25
 
 
2
45
 x + 
2
27
 
 Luego: El cociente Q(x) es 
2
5
x2  
 El resto R(x) es 
2
45
 x + 
2
27
 
 
3.5.- Casos especiales 
Regla de Ruffini 
La Regla de Ruffini es una regla práctica que permite hallar los coeficientes del cociente y el res-
to de una división de un polinomio P(x), por otro de la forma x  a. 
Por ejemplo: hallar el cociente y el resto de ( x
2 
  2 x
4
 + 2 ) : ( x + 2 ) 
Se ordena y se completa el polinomio dividendo. 
 ( 2 x
4
 + 0 x
3
 + x
2 
 + 0 x + 2 ) : ( x + 2 ) 
 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
 
28 
 
  2 0 1 0 2 
 
  2 4  8 14  28 
  2 4  7 14  26 R 
 
 
 
Teorema del resto: “ El resto de la división de un polinomio entero en x , por el binomio ( x – 
a ) es el valor que toma dicho polinomio para x = a” . 
Para el ejemplo anterior, el resto se encuentra directamente: 
R = ( 2 )( 2 ) 
4
 + ( 2 ) 
2 
 + 2 =  3 2 + 4 + 2 =  2 6 
4.- Divisibilidad 
Dados los polinomios F(x) y f(x), no nulos, se dice que f(x) divide a F(x), si existe un polinomio 
 (x) tal que satisface la identidad: F(x) = f(x) .  (x). 
 
 4.1.- Propiedades 
1) Si f(x), divide a F(x)  f(x) divide a F(x). (x), cualquiera sea  (x) 
2) Si f(x) divide a F(x) y f(x) divide a (x) ,  f(x) divide a F(x) + (x) 
3) Si el dividendo y divisor se multiplican por un mismo polinomio no nulo, entonces el co-
ciente no varía, pero el resto queda multiplicado por dicho polinomio 
Nota: En la divisibilidad algebraica las constantes desempeñan el mismo papel que la unidad en 
la divisibilidad numérica ya que cualquier polinomio entero es divisible por toda constante no 
nula. 
Corolario: Todo polinomio entero que no tenga otros divisores que constantes cualesquiera, es 
primo. 
 
4.2.- Máximo común divisor 
Se llama m.c.d. de los polinomios A(x) y B(x), diferentes del polinomio nulo, al polinomio D(x) 
que es divisor de ambos y que a la vez es divisible por cualquier otro divisor común de estos po-
linomios. 
 
C(x) =  2 x
3
 + 4 x
2
  7 x 14 R =  2 6 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
29 
 
Si los polinomios están factoreados en sus factores primos, el m.c.d.es el producto de los factores 
comunes a ambos con el menor exponente. 
En general el problema de descomponer polinomios en sus factores primos es complicado, por lo 
tanto debemos encontrar otro procedimiento: el Algoritmo de Euclides 
 
4.3.- Algoritmo de Euclides 
El m.c.d. de dos polinomios, puede ser calculado por un algoritmo de divisiones sucesivas. 
Teorema: Dados dos polinomios normales A(x) y B(x) , su m.c.d. puede obtenerse así: se efectúa 
la división de A por B, y se obtiene un cociente Q0(x) y un resto R1(x); se efectúa la división de 
B(x) y R1(x) ( si éste no es nulo ), obteniéndose un cociente Q1(x) y un resto R2(x); divídase 
R1(x) en R2(x) (si éste no es nulo ), obteniéndose Q2(x) y un resto R3(x) ; y así sucesivamente, se 
llegará a un resto nulo. Entonces, el resto anterior o sea el último divisor usado, es el m.c.d. ; 
D(x) = ( A(x),B(x)) 
En símbolos: 
 A(x) = Q0 (x) . B(x) + R1(x) 
 B(x) = Q1 (x) . R1(x) + R2(x) 
 R1(x) = Q 2 (x) . R 2 (x) + R 3 (x) 
 ........................................... 
 R n - 3 (x) = Q n - 2 (x) . R n – 2 (x) + R n - 1(x) 
 R n – 2 (x) = Q n – 1 (x) . R n - 1(x) + R n (x) 
 R n – 1 (x) = Q n (x) . R n(x) 
 Donde: grado de R1 < grado B(x) 
 grado de R2 < grado R1 
 grado de R3 < grado R2 
 ------------------------------ 
 grado de R n < grado R n - 1 
 0 = R n +1 (x) 
  R n = D(x) 
 
 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
 
30 
 
Aplicando el algoritmo de Euclides, las divisiones se disponen así: 
 
En consecuencia: m.c.d. (A, B) = m.c.d.(B, R1) = m.c.d.(R1, R2) = … = m.c.d.(Rn-2, Rn-1) = 
m.c.d.(Rn-1, Rn) = m.c.d.(Rn, 0) = Rn . Siendo Rn el último resto no nulo de las divisiones suce-
sivas. 
Observación: Si R n es una constante, los polinomio A(x) y B(x) son primos entre sí. 
 
Ejemplo: Dados A(x) = x
5
 – 16 x
4
 + 97 x
3
 – 278 x
2
 + 380 x – 200 y 
 B(x) = 5 x
4
 – 64 x
3
 + 291 x
2
 – 556 x + 380, hallar el m.c.d. (A, B) 
 
 x – 16 –5x + 19 
x
5
 – 16 x
4
 + 97 x
3
 – 278 x
2
 + 380 x – 200 5x
4
 – 64 x
3
 + 291 x
2
 – 556 x + 380 – x
3
 + 9 x
2 
 – 24 x + 20 
5x
5
 – 80 x
4
 + 485 x
3
 – 1390 x
2
 + 1900 x – 1000 
 + 64 x
4 
 – 291 x
3
 + 556 x
2 
 – 380 x 
 + 45 x
3
 – 120 x
2 
 + 100 x 
 –19x
3
 + 171 x
2 
 – 456 x + 380 
 
 – 16 x
4
 + 194 x
3
 – 834 x
2 
 + 1520 x – 1000 
 – 80 x
4
 + 970 x
3
 – 4170 x
2 
 + 7600 x – 5000 
 – 1024 x
3
 + 4656 x
2
 – 8896 x + 6080 
– 171 x
2 
 + 456 x – 380 
 0 
 
(1/54) . – 54 x
3
 + 486 x
2 
 – 1296 x + 1080 
 – x
3
 + 9 x
2 
 – 24 x + 20 
 
 
 el m.c.d. (A, B) = – x
3
 + 9 x
2 
 –24 x + 20 
Nota: Como, multiplicar el dividendo por una constante, no produce otra alteración que multipli-
car el resto por dicha constante, se puede multiplicar cualquier dividendo por la constante precisa 
para evitar coeficientes fraccionarios en el cociente. También puede suprimirse cualquier factor 
numérico común a todos los términos de un dividendo. 
 
 Q 0(x) Q 1(x) Q 2(x) ------ Q n-2(x) Q n-1(x) Q n(x) 
A(x) B(x) R 1(x) R 2(x) ------ R n-2(x) R n-1(x) R n(x) 
R 1(x) R 2(x) R 3(x) R 4(x) ------- R n(x) 0 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
31 
 
5.- Ecuaciones 
5.1.- Ecuaciones algebraicas: Se llama ecuación algebraica a una ecuación que se obtiene igua-
lando a cero un polinomio en una variable x. P(x) = 0 
 a 0 x 
n
 + a1 x 
n  1
 + a2 x 
n  2
 + ... + a n = 0 , donde los a i son los coeficientes 
conocidos, que supondremos por lo general reales y en casos especiales complejos. 
Ecuación mónica o normal: una ecuación se llama mónica o normal, si el coeficiente a 0 (del tér-
mino de mayor grado) es =1. 
 
5.2.- Teorema fundamental del Álgebra 
 
 
 
Consideraciones: 
1.- Cualquier valor de x, que anula al polinomio P(x), se llama raíz de la ecuación P(x) = 0. 
2.- Un número a, es raíz de la ecuación P ( x ) = 0 si P ( x ) es divisible por ( x – a ). 
 
Por el Teorema Fundamental del Álgebra y las consideraciones anteriores, es posible demostrar 
la siguiente proposición: 
 
 
 
 
 
5.3.- Raíces múltiples 
Puede ocurrir que varias de estas raíces sean iguales entre sí, en cuyo caso la raíz se llama múlti-
ple. Por ejemplo, si  h raíces = x1, k raíces = x2 y p raíces = x i, 
podemos agrupar los factores iguales y resulta: 
 P(x) = a0 ( x – x1 )
h
 ( x – x2 )
k
 … ( x – x i )
p
 ; con h + k + ... + p = n 
Donde h, k , .. , p son llamados el orden de multiplicidad de las raíces. 
Decimos entonces que: x 1 es raíz múltiple de orden h, 
 x 2 es raíz múltiple de orden k, 
 ---------------------------------- 
 x i es raíz múltiple de orden p 
 
Teorema Fundamental del Álgebra: Toda ecuación algebraica P( x ) = 0 de grado no nulo, 
de coeficientes reales o complejos, tiene al menos una raíz (real o compleja). 
Toda ecuación de grado n (de coeficientes reales o complejos) tiene exactamente n raíces 
(reales o complejas) y su descomposición (en función de sus raíces) es: 
 P ( x ) = a0 ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) … ( x – x n ) = 0 
 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
 
32 
 
5.3.1.- El concepto de raíz múltiple está estrechamente ligado con el concepto de derivada del 
polinomio como lo veremos en el siguiente teorema; que también lo admitiremos sin demostra-
ción. 
 
 
 
 
 
Por ejemplo, P(x) = x
4
 – 7x
3
 +18x
2
 – 20x + 8 , tiene a 2 como raíz múltiple de orden 3. 
Veamos: 
 
 
 
 
 
5.3.2.- Determinación de si un polinomio admite raíces múltiples 
 
 
 
 
 “las raíces de D(x) son las mismas que las de P(x) con su orden de multiplicidad disminuido 
en una unidad, por lo tanto, las raíces simples de P(x) no figurarán en las de D(x).” 
Si el m.c.d. entre P(x) y P ’(x) es independiente de x, o sea, si P (x) y P’ (x) son primos entre 
sí, la ecuación P(x) = 0 carece de raícesmúltiples. 
Por ejemplo: 
Sea P(x) = x
4
 – 2 x
3
 + 2x – 1, investigue la existencia de raíces múltiples 
 P’(x) = 4x
3
 – 6 x
2
 + 2 
 D(x) = m.c.d. (P, P’) = x
2
 – 2x + 1 
Las raíces de D(x) = x
2
 – 2x + 1 = 0 , son las raíces múltiples de P(x). 
 x
2
 – 2x + 1 = 0, tiene x = 1 raíz doble; por lo tanto 1 es raíz múltiple de orden 3 de P(x) 
P(x) = x
4
 – 7x
3
 +18x
2
 – 20x + 8 P(2) = 2
4
 – 7.2
3
 +18.2
2
 – 20.2 + 8 = 0 
P’(x) = 4 x
3
 – 21x
2
 +36x – 20 P’(2) = 4. 2
3
 – 21.2
2
 +36.2 – 20 = 0 
P’’(x) = 12 x
2
 – 42x +36 P’’(2) = 12.2
2
 – 42.2 +36 = 0 
P’’’(x) = 24x – 42 P’’’(2) = 24.2 – 42 = 6 ≠ 0 
Teorema: La condición necesaria y suficiente para que un número “a” sea raíz múltiple 
de orden h del polinomio P(x), es que anule al polinomio y a sus h – 1 primeras deriva-
das, siendo distinta de cero la de orden h. 
 
Teorema: Las raíces múltiples de P(x) = 0 son todas las raíces de la ecuación D(x) = 0 
(donde D(x) = m.c.d.( P(x), P’(x) ). Esta notación significa que D(x) es el m.c.d. de 
los polinomios P(x) y P’(x) . 
 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
33 
 
5.4.- Obtención de una ecuación con raíces simples 
Probaremos que: “Dividiendo P(x) = 0 por el m.c.d.. entre P(x) y P’(x), la ecuación obtenida, 
tendrá las mismas raíces que P(x), pero simples.” 
Recordemos que D(x) = m.c.d. (P(x) , P’(x) ) 
 
Si dividimos P(x) = ( x – x1 ) 
h
 ( x – x2 ) 
k
 ... ( x – x i ) 
m
 en 
 D (x) = ( x – x1 ) 
h  1
 ( x – x2 ) 
k  1
 ... ( x – x i ) 
m  1 
 obtenemos: 
 
D(x)
P(x)
 = ( x – x1 ) ( x – x2 ) ( x – x3 ) ... ( x – x i )
 
 
En el ejemplo anterior, para P(x) = x
4
 – 2 x
3
 + 2x – 1, D(x) = m.c.d. (P, P’) = x
2
 – 2x + 1 
D(x)
P(x)
 = 
12xx
12x2xx
2
34


 = x
2
 – 1 
 Las raíces de x
2
 – 1 = 0 , son x =1 y x = –1 ; estas raíces son raíces de P(x), pero simples 
 
5.5.- Raíces complejas de polinomios reales 
Si los coeficientes de P(x) son números reales, entonces se prueba que: 
 
 
 
 
 
 
5.6.- Relación entre coeficientes y raíces de una ecuación algebraica 
Dada la ecuación (1) P(x) = a0 x 
n
 + a1 x 
n  1
 + ... + a n = 0, cuyas raíces son x1, x2, ... , x n, 
los coeficientes del polinomio P(x) se relacionan como sigue: 
1
0
1 )1(
a
a
 ( x1 + x2 + ... + x n ) 
2
0
2 )1(
a
a
 ( x1 x2 + x1 x3 + … + x1 x n + ... + x n 
 
1 x n ) 
3
0
3 )1(
a
a
 ( x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + … + x1 x2 x n+ ... + x n 
 
2 x n 
 
1 x n ) 
Si un número complejo a + bi es raíz del polinomio P(x) de coeficientes reales, dicho 
polinomio tiene también por raíz el complejo conjugado a – bi . Si el complejo a + bi es 
raíz múltiple de orden h, también el complejo a – bi es raíz múltiple de orden h. 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
 
34 
 
................................................................................................ 
 
n
0
n )1(
a
a
 x1 x2 x3 ... x n 
 
5.7.- Ejemplos 
5.7.1.- Dada la ecuación x
3
 – x
2
 – 8x + 12 = 0, comprobar que 2 es raíz doble y determinar el or-
den de multiplicidad de –3 . 
 Una forma de comprobar es la siguiente: 
Por el teorema visto, las raíces múltiples de x
3
 – x
2
 – 8x + 12 = 0 , son todas las raíces de la 
ecuación D(x) = 0, donde D(x) = ( P(x), P ’ (x) )). 
P(x) = x
3
 – x
2
 – 8x + 12 ; P ’(x) = 3 x
2
 – 2x – 8 
 D(x) = x – 2 (hallar el m.c.d., por el algoritmo de Euclides ) . 
 x – 2 = 0  x = 2 es raiz simple de D(x) 
Como “las raíces de D(x) son las mismas que las de P(x) con su orden de multiplicidad disminui-
do en una unidad”, 2 es simple de D(x), por lo tanto 2 es doble de P(x) 
También, “ las raíces simples de P(x) no son raíces de D(x), entonces –3 que no es raíz de D(x) , 
es raiz simple de P(x). 
 
 Otra forma para comprobar que 2 es raíz doble de la ecuación dada, es a través de la aplicación 
de la regla de Ruffini: 
 1 –1 –8 12 
 2 2 2 –12 
 1 1 –6 0 
 2 2 6 
 1 3 0 
 x + 3 = 0  x = –3  2 es raíz doble y –3 es raíz simple de P(x) 
 
 Otro modo de comprobar que 2 es raíz doble y –3 simple, es a través de la condición necesa-
ria y suficiente: para que “2” sea raíz doble del polinomio P(x), es que anule al polinomio y a su 
primera derivada, siendo distinta de cero la derivada de orden 2. 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
35 
 
 
5.7.2.- Encontrar la ecuación que tiene por raíces, las mismas de 5.7.1.- , pero todas simples. 
Para encontrar la ecuación que tiene por raíces, las mismas de 1), pero todas simples se 
divide P(x) por D(x). 
(x
3
 – x
2
 – 8x + 12 ) : (x – 2 ) = x
2
 + x – 6 
Las raíces de x
2
 + x – 6 = 0, son x1 = 2 y x2 = – 3. 
5.7.3.- Reconstruir la ecuación de 3º grado, si sus raíces son: x1 =  2 , x2 = 
2
1
 y x3 = 3 
 Una forma de reconstruir la ecuación es la siguiente: 
 ( x + 2 ). ( x  
2
1
) . ( x + 3 ) = 0 
 Resolviendo el producto: ( x 
2
 +
2
3
 x  1 ) . ( x + 3 ) = 0 
 2 x 
3
 + 9 x 
2
 + 7 x  6 = 0 , que es la ecuación reconstruida. 
  Otra forma de reconstruir la ecuación de 3º grado, sabiendo que sus raíces son: 
 x1 =  2 , x2 = 
2
1
 y x3 =  3 , es trabajando con la relación entre coeficientes y 
raíces. 
 Si a la ecuación a0 x 
3
 + a1 x 
2
 + a2 x 
1
 + a3 = 0 dividimos por a0 , tenemos: 
 x 
3
 + 
0
1
a
a
 x 
2
 + 
0
2
a
a
 x 
1
 + 
0
3
a
a
 = 0 I 
 Tenemos: 
1
0
1 )1(
a
a
 ( x1 + x2 + x 3 ) =  (  2 + 
2
1
  3 ) = 
2
9
 
 
2
0
2 )1(
a
a
 ( x1 x2 + x1 x3 + x2 x 3 ) =  1 + 6  
2
3
 = 
2
7
 
 
3
0
3 )1(
a
a
 x1 x2 x3 =  3 
P(x) = x
3
 – x
2
 – 8x + 12 P(2) = 8 – 4 – 16 + 12 = 0 P(–3) = –27 – 9 + 24 + 12 = 0 
P’(x) = 3x
2
 – 2x – 8 P’(2) = 12 – 4 – 8 = 0 P’(–3) = 27 + 6 – 8  0 
P’(x) = 6x – 2 P’’(2) = 12 – 2 0 x = –3 es raíz simple 
 x = 2 es raíz doble 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
 
36 
 
Reemplazando en I, tenemos: x 
3
 + 
2
9
 x 
2
 + 
2
7
 x  3 = 0 multiplicando por 2 tenemos: 
2 x 
3
 + 9 x 
2
 + 7 x  6 = 0 , que es la ecuación solicitada 
 
5.8.- Es interesante observar que: 
1) Una ecuación que tiene todos sus coeficientes positivos, no admite raíces positivas. 
 Esto es evidente puesto que la suma de sumandos positivos no puede ser cero. 
2) Una ecuación que tiene, los coeficientes de las potencias pares de x, todas del mismo 
signo, y, los coeficientes de las potencias impares todos del signo contrario, no admite 
raíces negativas. En efecto, sustituyendo x por (x) en la ecuación P(x) = 0, los térmi-
nos de grado par, no cambian de signo y si los de grado impar, luego quedará una ecua-
ción de términos todos del mismo signo, y las raíces, si es que las hay reales, serán nega-
tivas y por lo tanto, positivas las de la ecuación propuesta. Por ejemplo: la ecuación 2x
3
 – 
9x
2
 + 12x – 5 = 0 , no admite raíces negativas. 
3) Dada la ecuación a0 x 
n
 + a1 x 
n - 1
 + a2 x 
n - 2
 + ... + a n - 1x + an = 0, de coefi-
cientes enteros ( si son fraccionarios eliminamos denominadores ), se prueba que: 
i) “La condición necesaria pero no suficiente, para que un número entero  sea raíz de 
la ecuación es que sea divisor del término independiente” 
ii) Si 
q
p
 es raíz de la ecuación P(x) = 0, entonces p es divisor del término independien-
te “a n”, y q es divisor del coeficiente del término principal “a0”. 
iii) En particular, si P(x) es mónica, la ecuación no admite raíces fraccionarias. 
 
Por ejemplo, para resolver la ecuación 2x
3
 – 9x
2
 + 12x – 5 = 0 , dada en el punto 2) 
- Se investiga si admite raíces racionales 
q
p
 
p debe ser divisor de 5 : 1 ;  5 
 
y q debe ser divisor de 2: 1 ;  2 
 - No admite raíces negativas porque los coeficientes de potencias impares son positivos y los 
de los coeficientes pares, negativos. ( punto 2). 
  las posibilidades se reducen solo a los valores positivos. 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
37 
  las posibles raíces son: 1 , 5 , 
2
5
 , 
2
1
 
- Se utiliza la regla de Ruffini para verificar si efectivamente son raíces de la ecuación plan-
teada, de este modo bajamos el grado de la ecuación: 
 
 
 
 
 Se resuelve la ecuación: 2x
2
 – 7x + 5 = 0  x1 = 
2
5
 , x
2
 = 1 
 La solución es: x1 = 1 doble y x2 = 
2
5
 simple 
 
6.- Ejercicios resueltos 
6.1.- Hallar la raíces de: x
4 
+ 4x
3
 + 14x
2
 + 36x + 45 = 0, 
 Sabiendo que admite como raíz a 3i 
 Solución: 
 Como es una ecuación de coeficientes reales, además admite como raíz a 3i . 
 Se reduce el grado de la ecuación a 2, mediante la división por los binomios: x+3i , 
 x – 3i, aplicando sucesivamente la regla de Ruffini: 
 
 1 4 14 36 45 
 3i 3i 9+12i 36+15i 45 
 1 4+3i 5+12i 15i 0 
 3i 3i 12i 15i 
 1 4 5 0 
 Formamos la ecuación: x
2
 + 4x +5 = 0 
 
 x = i2
2
i24
2
20164




 
Las raíces son: x1 = 3i, x2 = 3i , x3 = 2+i , x4 = 2i 
 
 
 2 9 12 5 
1 2 7 5 
 2 7 5 0 
1 es raíz de la ecuación 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
 
38 
 
6.2.- Construir una ecuación mónica, de menor grado, con coeficientes reales que admita como 
raíces a 2, doble y i simple. 
Solución: 
La ecuación buscada es: ( x  2 )
2
 .( x + i ) . ( x  i) = 0 
 ( x
2
  4x + 4 ) ( x
2
 + 1 ) = 0  x
4
  4x
3
 + 5x
2
  4x + 4 = 0 
 
6.3.- La suma de dos de las raíces del polinomio 2x
3
  x
2
  7x + a = 0 es 1 , hallar a. 
Solución: 
 2x
3
  x
2
  7x + a = 0 , tiene tres raíces: x1, x2 , x3 ,  x1 + x2 = 1 
 a0 a1 a2 a3 
Considerando la relación entre coeficientes y raíces, tenemos: 

0
1
a
a
 ( x1 + x2 + x 3 )  
2
1
 =  ( 1 + x3 )  x3 = 
2
1
 

0
2
a
a
( x1 x2 + x1 x3 + x2 x 3 )  
2
7
 = (x1 x2 + x3 (x1 + x2 ))  
2
7
 = x1 x2 
2
1
 
  x1 x2 = 3 

0
3
a
a
  x1 x2 x3  
2
a
 =  (3) 






2
1
  a = 3 
 
6.4.- Resolver la ecuación x
3
 – 3x
2 
+ 4 = 0 
Solución: 
La ecuación dada es mónica, por lo tanto no admite raíces racionales. Si admite raíces enteras, 
éstas deben ser divisores de 4. 
Los divisores de 4 son: ± 4, ± 2, ± 1 
 
Con la regla de Ruffini probaremos para cada uno de ellos 
 Para –1 
 1 –3 0 4 
 –1 –1 4 –4 
 1 –4 4 0 x1 = –1 es raíz 
 Para las otras dos raíces resolvemos la ecuación: x
2
 –4x + 4 = 0  x2= 2 es raíz doble 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
39 
 
7.- Ejercicios propuestos a modo de autoevaluación 
7.1.- Escribir: 
i. una expresión algebraica entera y una expresión algebraica fraccionaria. 
ii. un polinomio en lenguaje simbólico. 
iii. un polinomio mónico de 5º grado, incompleto y ordenado en forma decreciente. 
 
7.2.- I) Sabiendo que 
( a + b ) x
3
 + a x
2
 + ( c + a ) x + ( d – c ) = 5 x 
3
 + 7 x
2
 + 3 x – 2 
Calcular a , b , c , y dII) Dados: P ( x ) = 3 a x
2
 – 
2
5
 b x + c ; Q ( x ) = 
2
1
 x
2
 – 
2
1
 b x – 5 
 y sabiendo que P ( x ) + Q ( x ) = 4 a x
2
 – 
2
3
 x – 8 c 
 Calcular a , b y c 
 
7.3.- Hallar A(x): dividendo, B(x): divisor, C(x): cociente o R(x): resto, según corresponda sa-
biendo que: 
a) A(x): 
2
7
 x
3
 – 
2
1
 x
2
 + 3 x + 8 B(x): 
2
1
 x 
2
 + 
2
1
 x – 1 
 b) B(x): 
2
1
 x 
2
 – 4 x – 
3
1
 , C(x): 
2
3
 x – 2 ; R(x): – 
4
25
 x – 1 
c) A(x): 5xx4x
2
5
x
4
3 234  , C(x): 
2
3
 x
2
 - 2 x + 4 , R(x) = 3x + 5 
 
7.4.- Completar las siguientes igualdades 
a) x2  6 x + 9 = ( x ................. ) 2 
b) 9 t4 + 6 t2 + 1 = ( …...…..... ) 2 
c) x2  10 x + .... = ( .............. 5 ) 2 
d) ( x – a )2 = …………………….. Representar geométricamente 
 
7.5.- Indicar cuáles de las igualdades siguientes son correctas: 
a) t2 + t + 1 = ( t + 1 ) 2 , b) t2 + 2 t + 4 = ( t + 1 ) 2 + 3 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
 
40 
 
 c) 2 + 2 2 t + t2 = ( 2 + t ) 2 
 
7.6.- Completar los siguientes trinomios para que sean cuadrados perfectos 
 i. a
2
 + 2 a b + ............................ ii. 9 a
2
 + 12 a b + .............................. 
iii. ...........................yx4x
4
25 424  iv. .........................1m
9
16 4  
 
7.7.- Dados los polinomios P(x) = x
2
 + 1 , Q(x) = x – 2 y R(x) = x
3
 – 2 x ; demostrar las propie-
dades del producto de polinomios. 
 
7.8.- Completar: 
i. El algoritmo de Euclides es un algoritmo de ……………………………………………… 
ii. Una ecuación es Mónica o normal si ……………………………………………………... 
iii. Toda ecuación de grado n(de coeficientes reales o complejos), tiene exactamente……… 
………………………………………….. 
iv. Si la ecuación ax
3
 + bx + c = 0 (con a, b y c  R ), admite como raíz a 2 – i , también admite 
a ……………..……………………………………………… 
v. Si una ecuación tiene los coeficientes de las potencias pares de x, todas del mismo signo; y los 
coeficientes de las potencias impares todos del signo contrario,  no admite ……. 
……………………………………………………………………………….... 
vi. Una ecuación mónica no admite raíces……….……………………………………… 
 
7.9- Responder: 
 i. La ecuación x
3
 + 4x
2 
+ 5x + 2 , ¿Admite raíces positivas? ……………..….¿Porqué?............ 
 …………………………………………………………………………………………... 
 
 ii. ¿Cuál es la condición necesaria pero no suficiente, para que un número entero  sea raíz de 
Polinomios Esp. Lydia María Llanos 
__________________________________________________________________________________________________ 
Facultad de Ingeniería Álgebra y Geometría Analítica 
41 
 
una ecuación algebraica?.............................................................................................. 
……………………………………………………………………………………………… 
iii. Si 
q
p
 es raíz de la ecuación P(x) = 0, entonces p ¿de quién es divisor?....................... 
…………….. , y q ¿de quién es divisor?.……………………………………….. 
 
7.10.- Escribe simbólicamente la relación entre los coeficientes y las raíces de una ecuación alge-
braica. 
 
8.- Bibliografía básica consultada: 
Di Caro H. Tomo I . Álgebra y Elementos de Geometría Analítica 
Rojo, A. Álgebra I .Tomo I. Edit. El Ateneo 
Sagastume Berra, A. Fernández, Germán. Álgebra y Cálculo Numérico. Editorial Kapelusz 
Notas de las clases teóricas de la Lic. Josefina Royo de Ovando