Capítulo 7 - Espacios Vectoriales

Vista previa del material en texto

13 
Capítulo 7 
 
ESPACIOS VECTORIALES 
 
1.0. Introducción 
Utilizaremos un ejemplo para introducir el concepto de las ideas inva-
riantes en la solución de un sistema de ecuaciones lineales. 
Analizar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
 
 
 
Análisis: 
 
 
 
 
 
 Sistema Compatible Indetermina-
do. 
 
Reconstruimos el sistema: 
 
 
 
Solución General: 
 
 
 
 14 
 
Soluciones particulares: 
 
SP1 x y z w SP2 x y z w 
 0 0 1 0 0 0 1 0 
 1 1 –2 –5 1 1 –2 –5 
 
SP3 x y z w SP4 x y z w 
 0 0 1 0 0 0 1 0 
 1 1 –2 –5 1 1 –2 –5 
 
Todas las SG aparentan ser diferentes, sin embargo, todas representan el 
mismo conjunto solución, entonces necesitamos una teoría que nos 
brinde confianza en los resultados obtenidos; qué nos indique las cosas 
que permanecen y las cosas que pueden cambiar en las múltiples respues-
tas válidas en Rn que podemos obtener. 
Además de los conjuntos solución en Rn, para los sistemas de ecuaciones 
lineales, existen otras áreas de la ingeniería que requieren un apoyo ma-
temático: las matrices tienen su importancia y uso en ingeniería industrial 
y en control; los conjuntos de polinomios y las series de potencias para la 
complejidad de los algoritmos, etc. 
¿Cómo desarrollar una teoría que se pueda aplicar a diferentes contextos 
sin ningún cambio importante? 
Para entender mejor esta teoría recordemos el significado de dos pala-
bras claves en matemática: abstracción y generalización. La primera tiene 
que ver con representar cantidades por medio de símbolos, mientras que 
la segunda consiste en la construcción de estructuras o teorías que en-
globen ciertas cosas o hechos conocidos. 
La generalización también tiene que ver con la economía del trabajo rea-
lizado y con determinar cuáles son los elementos mínimos responsables 
de que ciertos resultados ocurran. Para entender un poco más como este 
tema repercute en nuestra materia, recordemos algunos temas ya estu-
diados: 
Números complejos. 
Vectores en Rn 
 15 
Polinomios 
Matrices 
Por lo tanto el objetivo que perseguimos es introducir una estructura 
abstracta que englobe las anteriores construcciones, y qué resultados se 
pueden obtener en lo general sin importar a cuál de los conceptos especí-
ficos se haga referencia. 
Antes de la definición de Espacio Vectorial (EV) está el concepto de 
operación. Por medio de algunos ejemplos veamos que, entre otras ope-
raciones, las de suma ó de multiplicación por escalares podrían ser defi-
nidas de maneras diferentes de las que conocemos. 
Supongamos que tenemos el conjunto y se definen las operacio-
nes: 
 
Obsérvese que estas operaciones se definieron de manera distinta a la 
acostumbrada, de manera distintas a la convencional. Ahora bien, 
 
Si 
Calcular: 
 
 
 
 
 
Ahora si, con estas ideas podemos ver la definición de lo que es un espa-
cio vectorial. 
 
1.1. Definición de Espacio Vectorial 
Definición: Sea V un conjunto no vacío de elementos cualesquiera y K 
un cuerpo de escalares, tales que entre los elementos de V se definen: 
1º) Una operación interna llamada suma (+) de modo que: 
  VwvqueimplicaVwv +, (V es un conjunto cerrado para +). 
 16 
2º) Otra operación externa llamada producto por un escalar (.) tal que: 
 VvλquecumpleseKλyVv  . 
Se dice que (V, +, K, .) es un espacio vectorial si dichas operaciones veri-
fican las siguientes propiedades: 
1) La suma es conmutativa: 
  v  V   w  V: v + w = w + v 
2) La suma es asociativa: 
  v  V,  w  V   z  V: (v + w) + z = v + (w + z) 
3) La suma tiene elemento neutro en V: 
    V, único, tal que  v  V: v +  =  + v = v 
4) Por la operación suma, todo elemento de V tiene inverso: 
  v  V:  v’  V / v + v’ = v’ + v =  
El elemento v’ se llama inverso aditivo u opuesto de v. 
5) La operación producto de un elemento de V por un escalar es asocia-
tiva respecto de los escalares: 
  v  V   ,   K: .(.v) = ().v 
6) La operación producto de un elemento de V por un escalar es distri-
butiva respecto a la suma de escalares: 
  v  V   ,   K: ( + ).v = .v + .v 
7) La operación producto de un elemento de V por un escalar es distri-
butiva respecto a la suma de elementos de V: 
  v, w  V     K: .(v + w) = .v +.w 
8) Existe en K un elemento unidad: 
  1  K tal que 1.v = v , v  V 
 
 17 
Se conviene en llamar vectores a los elementos de un espacio vectorial. 
Por ello, a partir de ahora, para evitar confusiones, a los elementos del 
espacio vectorial V los representaremos con una supraflecha. 
 
Si K = R o sea que el cuerpo de escalares es el conjunto de los números 
reales, el espacio vectorial se llama espacio vectorial real. 
Si K = C el espacio vectorial se llama espacio vectorial complejo. 
 
Ejemplo 1: 
Demostrar que (R2, +, R, .) con la suma y el producto por un escalar 
usuales, es un espacio vectorial. 
R2 es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales. 
 
 R2 = {(x1, x2) / x1R, x2R 
 
Sean 2R= )a,(aa 21

 y 2R= )b,(bb 21

 
 )ba,b(aba 2211 ++=+

 R2 porque 



+
+
R
R
22
11
ba
ba
 
Sean Rλ y 2R= )a,(aa 21
 
 2R)λa,a(λaλ 21 =

 porque 





R
R
2
1
λa
λa
 
Veremos ahora si las operaciones suma y producto por un escalar cum-
plen todas las propiedades que exige la definición. 
1) )ba,b(aba 2211 ++=+

 
 )ab,a(b 2211 ++= 
 )a,(a)b,(b 2121 += 
 ab

+= 
La suma es conmutativa en R 2. 
Porque la suma de 
números reales es 
conmutativa. 
 18 
 
2) Sean )a,(aa 21=

 , )b,(bb 21=

 y )c,(cc 21=

 pertenecientes a 2R . 
 )cb,c(b)a,(a)cb(a 221121 +++=++

 
))c(ba),c(b(a 222111 ++++= 
)c)b(a,c)b((a 222111 ++++= 
)c,(c)ba,b(a 212211 +++= 
c)ba(

++= 
 
La suma es asociativa en R 2. 
 
3) Existe el elemento neutro para la suma. Dicho elemento neutro es el 
vector nulo 0)(0,θ =

 ya que aaθθa:Ra 2

=+=+ 
En efecto: ( )0a0,aθa 21 ++=+

 
 )a,(a 21= 
 a

= 
0)(0,θ =

 es el elemento neutro para la suma en R2. 
 
4) Para todo 2Ra

 existe su inverso aditivo (u opuesto) que es el vec-
tor ( )a− tal que: ( ) ( ) θaaaa

=+−=−+ 
En efecto: Sea ( )21 a,aa =

 ( ) ( )21 a,aa −−=−

 
( ) ( ) ( )( )2211 aa,aaaa −+−+=−+

 
( )00,= 
= θ

 
Todo elemento de R2 tiene inverso aditivo (opuesto). 
 
5) aαβ))aα(β

(= 
 D) )βa,α(βa)aα(β 21=

 
Porque la suma de 
números reales es 
asociativa. 
 0 es el elemento 
neutro para la suma 
de números reales. 
 19 
 ))α(βa),α(βa( 21= 
 )αβ)a),αβ)a( 21 ((= 
 )a,(aαβ)( 21= 
 aαβ)(

= que es lo que se quería demostrar. 
El producto de un vector por un escalar satisface la asociatividad 
mixta 
 
6) aβ.aα.aβ).(α

+=+ 
D) )β)a(α,β)a((αaβ).(α 21 ++=+

 
 )βaαa,βaa(α 2211 ++= 
 )βa,a(β)αa,a(α 2121 += 
 aβ.aα.

+= 
El producto de un vector por un escalar es distributivo con respec-
to a la suma de escalares. 
 
7) bα.aα.)baα.(

+=+ 
 D) ))bα(a),b(a(α)baα.( 2211 ++=+

 
 )αbαa,αba(α 2211 ++= 
 )αb,b(α)αa,a(α 2121 += 
 )b,α.(b)a,α.(a 2121 += 
 bα.aα.

+= 
Porque el producto de 
números reales es aso-
ciativo. 
El producto de números 
reales es distributivo con 
respecto a la suma. 
 20 
El producto de un vector por un escalar es distributivo con respec-
to a la suma de vectores. 
 
8) Existe  =1 R tal que aa1.

= 
 D) )a,1.(aa1.21=

 
 ),1a(1a 21= 
 )a,(a 21= 
 a

= 
 
En consecuencia, habiendo sido verificadas todas las propiedades resulta 
que (R2, +, R, .) es un espacio vectorial. 
 
Ejemplo 2: 
¿Es (R2, +, C, .) un espacio vectorial? 
(R2, +, C, .) no es un espacio vectorial porque si C y v

R2, el pro-
ducto  v

 no siempre pertenece a R2. 
Por ejemplo, si se toman: =3+2i    C y v

= (3, 2)  R2 
 v

 = (3+2i).(3, 2) 
 = (9+6i, 6+4i)  R2 
 
1.2. Corolarios de la Definición de Espacio Vectorial 
Si (V, +, R, .) es un espacio vectorial real,  v

, z,w

V y R se 
cumplen los siguientes corolarios: 
1) 1.a) 0. v

 = θ

 
1.b) . θ

 = θ

 
1.c) (–1). v

= – v

 
 
 21 
Demostración 
1.a) 0. v

= (+(–)). v

 +(–)=0 porque son elementos opuestos 
del cuerpo K. 
 = . v

+ (–. v

) 
 = θ

 
1.b) .( v

+ θ

) = . v

 Porque v

+ θ

 = v

 
 . v

+ . θ

 = . v

 
 –(. v

)+(. v

+  θ

) = – (. v

)+ . v

 Sumando –(. v

)a ambos miembros. 
 (– (. v

)+. v

)+. θ

 = θ

 Por propiedad asociativa. 
 θ

+ . θ

= θ

 Por definición de inverso aditivo. 
 . θ

 = θ

 Que es lo que se quería demostrar. 
 
1.c) En 1.a) se demostró que 0. v

 = θ

 
 ((–1) + 1). v

 = θ

 Porque 0 = (−1) + 1. 
 (–1). v

 + 1. v

 = θ

 Por propiedad distributiva. 
 (-1). v

 + v

 = θ

 (I) 
Además, (– v

) + v

 = θ

 Por definición de inverso aditivo. (II) 
De (I) y (II) resulta: 
 (–1). v

 + v

 = (– v

) + v

 
 Sumando – v

a ambos miembros, por izquierda, y aplicando pro-
piedad. asociativa: 
 (–1). v

+( v

+(– v

)) = (–- v

) +( v

+ (– v

)) 
 (–1). v

+ θ

 = (– v

) + θ

 Por propiedad 4. 
 22 
 (–1). v

= – v

 Que es lo que se quería demostrar. 
 
2) En todo espacio vectorial, el elemento neutro de la suma es único. 
Demostración: 
Supongamos que existen dos elementos neutros. θ

1 y θ

2 
Por definición de elemento neutro 
Si θ

1 elemento neutro  θ

2 + θ

1 = θ

1 + θ

2 = θ

2 (I) 
Si θ

2 elemento neutro  θ

1 + θ

2 = θ

2 + θ

1 = θ

1 (II) 
 
De (I) y (II) resulta que: θ

1 = θ

2 
 
3) Ley Cancelativa. 
En todo espacio vectorial se verifica: 
v

+ w

 = z

+ w

  v

 = z

 
Demostración 
 v

+ w

 = z

 + w

 
 ( v

+ w

)+(– w

) = ( z

+ w

)+(– w

) Sumando - w

a ambos miembros. 
 v

+ ( w

+ (– w

)) = z

+( w

+(– w

)) La suma es asociativa. 
 v

+ θ

 = z

 + θ

 
 v

 = z

 
 
4) En todo espacio vectorial, el opuesto de un elemento es único. 
Demostración: 
Sea v

 un elemento del espacio vectorial V. 
Supongamos que existen dos elementos opuestos de v

: ´1v

 y ´2v

 
Por definición de opuesto 
 v

 + ´1v

 = θ

 y v

 + ´2v

 = θ

 
 v

+ ´1v

= v

+ ´2v

 
 ´1v

 = ´2v

 Por ley cancelativa. 
 
 23 
 
1.3. Subespacio vectorial 
Definición: Sea (V,+, K, .) un espacio vectorial y sea S un subconjunto 
de V (S  V), S es un subespacio vectorial de V si (S, +, K, .) es espacio 
vectorial en sí mismo, respecto de las mismas operaciones + y · defini-
das en V. 
 
1.3.1. Criterio de subespacio 
Sea (V, +, K, .) un espacio vectorial y S un subconjunto no vacío de V. 
(S, +, K, .) es subespacio vectorial de V si y solamente si: 
 
Sa 

 y Sb

: Sba +

 
 Sa 

 y    K: Saλ. 

 
 
Simbólicamente: 
S es subespacio vectorial de V  




+
Saλ:Kλ,Sa
Sba:Sb,Sa


 
 
Demostración: 
Se dividirá la demostración en dos partes: 
1) S es subespacio vectorial de V  




+
Saλ:Kλ,Sa
Sba:Sb,Sa


 
Si S es subespacio vectorial de V cumple, de acuerdo a la definición, con 
todas las propiedades de un espacio vectorial. 
En consecuencia, las operaciones suma y producto por un escalar son 
cerradas en S. Por lo tanto: 
 
Saλ:Kλ,Sa
Sba:Sb,Sa

+


 
 
2) Se demostrará, ahora, la proposición recíproca: 
 24 
 




+
Saλ:Kλ,Sa
Sba:Sb,Sa


 S es subespacio de V 
 
Como S es un subconjunto de V, sus elementos verifican necesariamente 
las propiedades 1, 2, 5, 6, 7 y 8. Sólo queda verificar que también cum-
plen las propiedades 3 y 4 o sea, que el elemento neutro de la suma tam-
bién pertenece a S y que todo elemento de S tiene su opuesto en S. 
 
Sea a

 S (S  ) 
 = –1  (–1). a

  S Porque el producto de cualquier escalar por un 
elemento de S, da otro elemento de S. 
 
 Pero (–1). a

 = – a

  – a

  S 
El opuesto de cualquier elemento a

 de S, también pertenece a S 
 
Además a

 + (– a

)  S 
  θ

  S 
 El vector nulo pertenece a S. 
 
Se ha demostrado, entonces, que S es subespacio vectorial de V 
 
Ejemplo 
Sea (R2, +, R, .) un espacio vectorial. Verificar si los siguientes subcon-
juntos de R2 son subespacios vectoriales: 
a) S1 = {(x1, 0)  R
2 } b) S2 = {(1, x2)  R
2 } 
 
a) Sea a

 = (a1, 0)  S1 
Sea b

= (b1, 0)  S1 
 a

 + b

 = (a1+b1 , 0+0) 
  (a1+b1, 0)  S1  a

+ b

 S1 
 
Porque la suma de dos 
elementos de S, es otro 
elemento de S. 
 25 
Sea   R 
. a

 = (a1 , 0) 
  ( a1, 0)  S1  . a

  S1 
 
 S1 es subespacio vectorial de R
2 
 
 
b) Sea a

 = (1, a2)  S2 
 Sea b

 = (1, b2)  S2 
 a

 + b

 = (1 + 1 , a2 + b2) = (2, a2 + b2)  a

+ b

  S2 
 
 S2 no es subespacio vectorial de R
2 
 
1.4. Dependencia e independencia lineal de vectores 
1.4.1. Combinación lineal de vectores 
Definición: Dados n vectores n21 v,...,v,v

 y n escalares 1, 2,..., n se 
llama combinación lineal de los n vectores dados con coeficientes i 
(donde i =1, 2,..., n), al vector u

 definido por la ecuación vectorial: 

=
=
n
1i
ii vαu

 
 O también: u

 nvα...vαvαvα n332211

++++= 
 
Ejemplo 1: 
El vector (–1, –4) es combinación lineal de los vectores (4, –2) y (1, 1) ya 
que (–1, -4) = 
2
1
(4, –2) + (–3).(1, 1) 
Ejemplo 2: 
Demostrar que el vector 





= 1,
3
16
4,u

es combinación lineal de los 
vectores 1)1,(1,v1 =

, 1)1,(0,v 2 −=

 y 0)1,(3,v 3 =

 
 26 
Se plantea la combinación lineal: 
 





1,
3
16
4, = ( ) ( ) ( )01,3,α11,0,α11,1,α 321 +−+ 
 
 





=+
=+−
=+
1αα
3
16
ααα
43αα
21
321
31
 
 
De la 1ª ecuación se despeja 1α resultando: 31 3α4α −= 
Se lleva ese valor de 1α a las otras ecuaciones: 




−=−
=−−

=+−
=+−−
33αα
3
4
2αα
1α3α4
3
16
αα3α4
32
32
23
323 
 
De donde se obtienen: 
3
1
αy2α 32 =−= . Entonces 3α1 = 
La combinación lineal es, por lo tanto: 
321 v
3
1
v2v3u

+−= 
Verificación: 
 ( ) ( ) ( )01,3,
3
1
11,0,211,1,33v3
1
2v21v3 +−−=+−

 
 ( ) ( ) 





+−+= 0,
3
1
1,22,0,33,3, 
 





−+++= 23,
3
1
231,3





= 1,
3
16
4, 
 27 
 u

= 
 
1.4.2. Vectores linealmente independientes 
Definición: Se dice que un conjunto de r vectores  r321 v,...,v,v,v

de 
un espacio vectorial real (V,+, R, .) es linealmente independiente si y 
solamente si la ecuación vectorial θv.α...vαvα rr2211

=+++ admite 
una única solución: 1 = 2 = ... = r = 0 
Es decir: 
=
=
r
1i
ii θvα

  i
α = 0 i =1, 2,..., r 
En otras palabras un conjunto de vectores es linealmente independiente, 
si la única combinación lineal de esos vectores que es igual al vector nu-
lo, es aquella en que todos los coeficientes i valen 0. 
 
Ejemplo: 
Los vectores 1v

 = (2, 0) y 2v

 = (1, 1) son linealmente independientes 
porque la única combinación lineal de ellos que es igual al vector nulo es 
aquella en que 1 = 2 = 0 
En efecto: 
 θvαvα 2211

=+ 
 
0)(0,1)(1,α0)(2,α 21 =+ 
 
 



=
=+
0α
0α2α
2
21
 
 
La única solución de este sistema es 0αy0α 21 == . 
 
 
 28 
1.4.3. Vectores linealmente dependientes 
Definición: Un conjunto de r vectores  r321 v,...,v,v,v

 de un espacio 
vectorial real es linealmente dependiente si existen escalares 
r321 α,,α,α,α  , no todos nulos, tales que 
=
=
r
1i
ii θvα

. 
También se expresa: 
Un conjunto de vectores que no es linealmente independiente, es lineal-
mente dependiente. 
 
Ejemplo: 
Verificar que los vectores 1v

= (3, 1, -2), 2v

= (-5, 0, 3) y 3v

= (8, 1, -5) 
son linealmente dependientes. 
 θvγvβvα 321

=++ 
( ) ( ) ( ) ( )00,0,51,8,γ30,5,β21,3,α =−+−+− 
 





=−+−
=+
=+−
05γ3β2α
0γα
08γ5β3α
 
 
Reemplazando en la 1ª y en la 3ª ecuación se obtiene: 
 



=−
=+−




=−+
=+−−
03γ3β
05γ5β
05γ3β2γ
08γ5β3γ
 
 
O lo que es lo mismo 



=−
=+−
0γβ
0γβ
 
En (I) y (II) se observa que  y  quedan expresados en función de . 
Entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Una de esas soluciones se 
obtiene haciendo  = 2 , y en ese caso,  =2 y = -2 
De la 2ª ecuación resulta  = - (I) 
De ambas ecuaciones resulta  =  (II) 
 
 29 
 
Verificación: Se plantea la combinación lineal: 
5)1,-2(8,3)0,5,2(2)1,2(3,vγvβvα 321 +−+−−=++

 
 = (-6, -2, 4) + (-10, 0, 6) + (16, 2, -10) 
 = (-6-10+16, -2+2, 4+6-10) 
 = (0, 0, 0) 
Entonces existen escalares, no todos nulos, tales que 
=
=
3
1i
ii θvα

. 
   321 v,v,v

 es linealmente dependiente. 
 
Como consecuencia de la definición de vectores linealmente dependien- 
tes surge el siguiente teorema que se enunciará, sin demostrarlo. 
 
Teorema: Un conjunto de r vectores  r321 v,...,v,v,v

 de un espacio 
vectorial V es linealmente dependiente si y sólo si existe algún vector 
perteneciente a ese conjunto que sea combinación lineal de los demás. 
 
Corolario: Todo conjunto finito de vectores que tenga como elemento 
al vector nulo es linealmente dependiente. 
 
Ejemplos: 
1) Sean 1v

= (3, -2); 2v

= (1, 0) y 3v

= (5, -4) donde 3v

 es combi-
nación lineal de 1v

 y 2v

 ya que: 213 vv2v

−= 
Se plantea: θvγvβvα 321

=++ 
 ( ) ( ) ( ) ( )00,45,γ01,β23,α =−++− 



=−−
=++
04γ2α
05γβ3α
  2γα −= 
 30 
Reemplazando en la 1° ecuación: -6  +  + 5  = 0 
 γβ0γβ ==− 
Como λdedependenβyα , existen infinitas soluciones por lo 
tanto los 3 vectores dados son linealmente dependientes. 
 
2) Sean 1v

= (3, -2); =2v

 (1, 0) y θ

 = (0, 0) 
Para verificar que  θ,v,v 21

 es linealmente dependiente se 
plantea: θθγvβvα 21

=++ 
 ( ) ( ) ( ) ( )00,0,0γ01,β23,α =++− (I) 



=−
=+
02α
0β3α
  0β0α == 
 =  = 0, pero  puede tomar cualquier valor, entonces la ex-
presión (I) se verifica para algún coeficiente distinto de cero. 
 Los 3 vectores son linealmente dependientes 
 
1.4.4. Propiedades 
a) Todo vector, no nulo, constituye un conjunto linealmente indepen-
diente. 
b) El vector nulo constituye un conjunto linealmente dependiente. 
c) Todo conjunto que contiene entre sus vectores al vector nulo es li-
nealmente dependiente. 
d) Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, todo sub-
conjunto de él es también linealmente independiente. 
e) Un conjunto de vectores que contenga un subconjunto linealmente 
dependiente, es linealmente dependiente. 
 
1.5. Sistema de generadores 
Definición: Sea V un espacio vectorial y S =  n321 v,...,v,v,v

un sub-
conjunto finito de V. Se dice que S es un Sistema de Generadores del 
 31 
espacio V si el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vecto-
res n321 v,...,v,v,v

 es igual a V. 
 
También se puede dar la siguiente definición: Dados un espacio vectorial 
(V, +, R, .) y S = n321 v,...,v,v,v

un subconjunto finito de V, se dice 
que S es un Sistema de Generadores de V si y solamente si todo elemen-
to de V se puede expresar como combinación lineal de los vectores de S. 
 
Simbólicamente 
(V, +, R, .) espacio vectorial y S = n321 v,...,v,v,v

V 
S es Sistema de Generadores de V  
=
=
n
1i
ii vαu:Vu

 
Ejemplos: 
 
a) Dados 1v

=(3, -2), 2v

= (1, 0) demostrar que S = { 1v

, 2v

} es un Sis-
tema de Generadores del espacio vectorial (R2, +, R, .). 
Para demostrarlo tenemos que verificar que todo elemento de R2 se pue-
de expresar como combinación lineal de { 1v

, 2v

}. 
Un vector cualquiera de R2 lo representamos por (x, y) 
 
( ) ( ) ( )01,β23,αyx, +−= 
 



=−
=+
y2α
xβ3α
 De la 2º ecuación resulta y
2
1
α −= 
Reemplazando en la 1º ecuación: 
 y
2
3
xβxβy
2
3
xβy
2
1
3 +==+−=+





− 
Por lo tanto, todo vector de R2 se puede expresar como combinación 
lineal de 1v

 y 2v

: 
(x, y) = (
2
1
− y) 1v

 + (x + 
2
3
y) 2v

 
 32 
Entonces, el conjunto { 1v

, 2v

} es Sistema de Generadores de R2. 
 
Verificación para un vector cualquiera de R2, por ejemplo: (5, –2) 
Se calculan los coeficientes .βyα 
( ) ( ) 2352
2
3
5β12
2
1
α =−=−+==−−= 
  (5, -2) = 1v

 + 2 2v

 
 En efecto 1v

+ 2 2v

= (3, –2) + 2(1, 0) 
 = (3, –2) + (2, 0) 
 = (5, –2) 
b) ¿Es {(1, -3, 2), (3, 0, 0), (-1, -6, 4)} Sistema de Generadores del espa-
cio R3? 
Un vector de R3 es de la forma: u

= (x, y, z) 
Entonces se plantea: 
( ) ( ) ( ) ( )46,1,γ00,3,β23,1,αzy,x, −−++−= 
 





=+
=−−
=−+
z4γ2α
y6γ3α
xγ3βα
 
 
De la 2° ecuación resulta: 
3
y
2γα −=+ y de la 3°: 
2
z
2γα =+ 
Tomando esas dos igualdades, se obtiene: z
2
3
y
2
z
3
y
−==− 
En consecuencia, sólo los vectores de R3 que tienen la 2° componente 
igual a la 3° multiplicada por 





−
2
3
pueden expresarse como combina-
ción lineal de los vectores dados. 
 33 
Por lo tanto, éstos no constituyen un sistema de generadores de R3. 
En realidad, generan un subespacio de R3, que es: 
S = {(x, y, z) / y = z
2
3
− } 
 
1.6. Base de un espacio vectorial 
Definición: Dado un subconjunto B = n321 u,...,u,u,u

, no vacío, del 
espacio vectorial V, se dice que B es una base del espacio V si y sola-
mente si: 
1)  n321 u,...,u,u,u

es linealmente independiente. 
2) B es un Sistema de Generadores de V. 
Una base de un espacio vectorial se simboliza [B] 
Ejemplos: 
a) Sea B = {(2, -2), (0, 3)}  R2 
 ¿Es B una base de R2? 
a.1) Se analiza si los elementos de B son linealmente independientes: 
( ) ( ) ( )00,30,β22,α =+− 



==+=+−
==
0β03β003β2α
0α02α
 
 
 {(2,-2), (0, 3)} es linealmente independiente. 
 
a.2) Se analiza si B es Sistema de Generadoresde R2. 
( ) ( ) ( )30,β22,αyx, +−= 



=+−
=
y3β2α
x2α
 
3
yx
βy3β
2
x
2
2
x
α
+
==+−
=
 
 34 
 3)(0,
3
yx
2)(2,
2
x
y)(x,
+
+−= 
 B es sistema de generadores de R2 
 
 Por lo tanto [B] es una base del espacio vectorial (R2, +, R, .) 
 
b) Sea B = {(2, 1, 0); (-1, 0, 1)} un subconjunto de R3 
¿Es base de R3? 
 
b.1) ( ) ( ) ( )00,0,10,1,β01,2,α =−+ 
 





=
=
====−
0β
0α
0β0α2αβ0β2α
 
Los elementos de B son linealmente independientes. 
 
b.2) ¿Es B sistema de generadores de R3? 
 ( ) ( ) ( )10,1,β01,2,αzy,x, −+= 
 
 





=
=
−==−
zβ
yα
z2yxxβ2α
 
 
 B no genera el espacio R3 sino un subespacio del mismo, 
que es el conjunto: 
 S = {(x, y, z)  R3 / x = 2y – z} 
 
 B no es base de R3. 
 
 
 35 
1.6.1. Propiedades 
a) Si V es un espacio vectorial que tiene una base formada por n vectores 
entonces cualquier subconjunto de V formado por n vectores lineal-
mente independientes es base de V. 
b) Dos bases cualesquiera de un espacio vectorial V tienen el mismo 
número de elementos. 
 
1.6.2. Dimensión de un espacio vectorial 
Definición: Se llama dimensión de un espacio vectorial V, y se designa 
por dim(V), al número de elementos de una cualquiera de las bases de 
ese espacio. 
En el ejemplo a) de la página anterior, [B] = {(2, -2), (0, 3)} es una base 
del espacio R2, 
 dim(R2) = 2 
 
En el ejemplo b) el conjunto B ={(2, 1, 0), (-1, 0, 1)} es linealmente in-
dependiente pero no genera el espacio R3. En cambio si es Sistema de 
Generadores del espacio: 
S = {(x, y, z)  R3 / x = 2y – z} 
  [B] es una base de S 
  dim (S) = 2 
Corolario: La dimensión de un espacio vectorial es el máximo número 
de vectores linealmente independientes que se pueden encontrar en ese 
espacio. 
 
Corolario: En un espacio vectorial de dimensión n, (n+1) vectores son 
siempre linealmente dependientes. 
 
 
 36 
1.6.3. Coordenadas de un vector 
1.6.3.1. Definición: Sea V un espacio vectorial y [B] = n321 v,...,v,v,v

 
una base del mismo. Sea u

 un vector de V, en consecuencia, 
nn33221 vα...vαvαvαu

++++= ya que todo vector de V puede 
expresarse como combinación lineal de los vectores de la base. 
Los coeficientes n321 α,,α,α,α  se llaman coordenadas del vector u

 
en la base [B]. 
Ejemplo: Sea u

 = (3, 5)  R2 
La base canónica de R2 es {(1,0), (0,1)}  u

= 3(1,0) + 5(0,1) 
3 y 5 son las coordenadas de u

 en la base canónica 
Sea [B1] = {(2, 1), (-3, 2)} otra base de R
2 
¿Cuáles son las coordenadas de u

 en la base [ B1]? 
( ) ( ) ( )215 3,-β2,α3, += 



=+
=
52βα
3 3β -2α
 
 2β-5 α =
 
Reemplazando en la primera ecuación, resultan 3αy1β == 
3 y 1 son las coordenadas de u

 en la base [ B1] 
(3, 5) = (3, 1) [B1] 
 
 37 
1.6.3.2. Interpretación geométrica