Guía N10 ANÁLISIS 1 - 2021

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UNJu – Facultad de Ingeniería ANÁLISIS MATEMÁTICO I – 2021 
 
 
 
 
Diferencial: definición, interpretación gráfica, aplicaciones – 
Regla de L´Hopital 
 
Cuestionario 
 
a) Defina diferencial de la variable independiente y diferencial de la variable dependiente 
b) ¿Cómo puede interpretar geométricamente la diferencial de una función? 
c) Podría a partir de la diferencial de una función obtener la derivada de la misma? y recíprocamente? 
d) Defina diferenciales sucesivos 
e) ¿Qué aplicaciones conoce de la diferencial de una función? 
f) ¿En qué tipo de indeterminaciones puede aplicar directamente la regla de L'Hopital ? 
g) ¿En qué consiste la regla de L'Hopital ? ¿Cuántas veces puede aplicar la regla de L'Hopital para 
calcular un límite indeterminado? 
h) ¿Si 
f ' (x)
lim
g'(x)x a
 
 
  
 
f (x)
lim
g (x)x a
 
 
  
? 
i) Indique en qué tipo de indeterminaciones no se puede aplicar directamente la regla de L'Hopital. En 
ésos casos indique las transformaciones que debe efectuar para poder aplicar la regla. 
 
Ejercicios Resueltos 
 
1.- Dada f / 
2
f (x) 2x 1  , encontrar dy y Δy para la variación de x indicada. Comparar Δy 
con dy a medida que Δx disminuye su valor : 
i ) x varía de 1 a 1,3 ii ) x varía de 1 a 1,1 iii ) x varía de 1 a 1,001 
Solución 
 
Sabemos que dy = f ' (x ) dx ; f ' ( x ) = 4x y como x = 1, f ' ( 1 ) = 4 
Además dx = Δx = Valor final − valor inicial = xf – xi ; Δy = f (xf ) – f (xi) 
En todos los casos xi = 1 y f ( xi) = f ( 1 ) = 3 
 
Caso Δx dy f ( xf ) Δy 
i 1,3 – 1 = 0,3 4 . 0,3 = 1,2 f(1,3) = 2 (1,3)2+1= 4,38 1,38 
ii 1,1 – 1 = 0,1 4 . 0,1 = 0,4 f(1,1)=2 (1,1)2+1= 3,42 0,42 
iii 1,001 – 1 = 0,001 4 . 0,001 = 0,004 f(1,001)=2 (1,001)2+1= 3,004002 0,004002 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 10 
 
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Comparando Δy con dy, se ve que a medida que Δx tiende a cero, dy  Δy. 
 
2.- Calcular dy y d 2y si y = e
5x
ln ( 6x + 7 ) 
 
Solución 
 
Recordar que dy = f ' (x ) dx y que d 2 y = f '' ( x ) dx 2 
y' =  
5x
5x e 6
5 e ln 6x 7
6x 7
 

 ; por lo tanto  
5x
5x e 6
dy 5 e ln 6x 7 dx
6x 7
 
   
  
 
y'' = 
 
5x 5x 5x
5x
2
30 e 30 e (6x 7) 36 e
25 e ln (6x 7)
6x 7 6x 7
 
  
 
 
Entonces 
 
5x 5x 5x
2 5x 2
2
30 e 30 e (6x 7) 36 e
d y 25 e ln (6x 7) dx
6x 7 6x 7
 
 
    
  
 
 
3.- Calcular aproximadamente log 11. 
 
Solución 
 
Vamos a realizar el cálculo utilizando la expresión f (xo+ Δx )  f (xo ) + f ' (xo) dx (1)(esta 
expresión se obtiene de considerar que Δ y  dy ) 
Donde f (xo+ Δx ) es lo que deseamos calcular, en nuestro caso log 11. 
Tenemos que f ( x ) = log x , por lo tanto f ' ( x ) = 
10lnx
1
. 
Evaluamos tanto la función como su derivada en xo = 10 (10 es el valor de x más próximo a 11 
donde conocemos cuánto vale la función) 
f (xo ) = f ( 10 ) = log 10 = 1 ; f ' (xo) = f ' (10 ) = 
1
10 ln10
 ; Δx = 11 – 10 = 1 = dx. 
Reemplazando en (1): 
log 11  log 10 + 
10ln10
1
. 1  1 + 0,0434294  1,0434294 
 
4.- Se desea pintar el interior de una cúpula semiesférica, de 11 mts de diámetro, dando tres manos de 
pintura que constituyen un total de 0,09 cm de espesor. Calcular aproximadamente y exactamente el 
volumen de pintura a utilizar. 
 
Solución 
Realizamos un esquema de la situación 
 
 
 
 
11 mts 
0,09 cm 
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Datos: 
El espesor de la pintura representa el cambio en el radio, r, y vale Δr = dr = − 0,09 ( el signo menos 
es porque el radio disminuye) 
El volumen aproximado de la pintura a utilizar está dado por el cambio aproximado en el volumen, 
V, de la semiesfera : dV 
El radio exterior de la cúpula es r = 5,5 mts = 550 cm (unificamos las unidades) 
El volumen de una semiesfera es 
3 31 4 2
V(r) r r
2 3 3
    por lo tanto 
dV = V' ( r ) dr
2 22
dV 3 r dr 2 r dr
3
    
2
r 550
dr 0,09
dV 2 (550) 0,09 54450 171059,72


        (el signo negativo indica que el 
volumen de la semiesfera disminuye) 
Entonces la cantidad aproximada de pintura necesaria para pintar la cúpula es de 171059,72 cm3 o 
bien de 171,05972 litros. 
La cantidad exacta de pintura está dada por la variación exacta en el volumen de la semiesfera, es 
decir V(r + Δr ) − V (r ) , donde r = 550 ; Δr = −0,09 y r + Δr = 550 + (− 0,09 ) = 
549,91 
ΔV = V ( 549,91 ) − V ( 550 ) =    
3 32 2
549,91 550 171031,729
3 3
     
Entonces la cantidad exacta de pintura necesaria para pintar la cúpula es de 171031,729 cm3 o bien de 
171,031729 litros. 
5.- Calcular 
2
2
x
x 2 ln x 1
lim
5x 2
 

 
Podemos ver que cuando x ∞, tenemos una indeterminación del tipo ∞ / ∞ , otro tipo de 
indeterminación que podemos tener sería 0 / 0 y otras más del tipo exponencial que veremos en el 
trabajo practico siguiente. 
Aplicamos, siempre que el límite final exista, la regla de L' Hopital, para lo cual se debe derivar 
numerador y denominador: 
2
2
x
x 2 ln x 1
lim
5x 2
 

 = 
x
2
2x
xlim
10x

 , nuevamente cuando x   , se tiene una 
indeterminación de la forma ∞ / ∞. 
Aplicamos nuevamente la regla de L'Hopital 
x
2
2x
xlim
10x

 = 
2
x
2
2
2 1xlim
10 10 5

  
2
2
x
x 2 ln x 1 1
lim
55x 2
 


 
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6.- Calcular el siguiente límite aplicando, si es posible, la regla de L'Hopital   2
1
2
3x
x 0
lim 2x 1
 
  
 

 
Solución 
Vemos que este limite tiene la forma 1∞, para poder calcularlo se aplica al mismo logaritmo. Porque? 
Para resolver esta indeterminación deberemos tratar que dicha expresión adopte la forma 0 / 0 o ∞ / ∞ 
, a fin de aplicar la regla de L'Hopital, entonces aplicaremos logaritmo a fin de que el exponente, por 
propiedad de logaritmo, se convierta en factor. 
  2
1
2
3x
x 0
ln lim 2x 1
 
  
 

 
 
 
 
 
 =   2
1
2
3x
x 0
lim ln 2x 1
 
  
 

 
 
 
 
 
 (como el logaritmo es una función 
continua en su dominio, se puede aplicar la propiedad de funciones continuas que permite 
intercambiar el límite con el logaritmo, siempre que exista   2
1
2
3x
x 0
lim 2x 1
 
  
 

 ) 
Aplicando propiedad de logaritmo y reordenando: 
  2
1
2
3x
x 0
lim ln 2x 1
 
  
 

 
 
 
 
 
 =  22
x 0
1
lim . ln 2x 1
3x
 
 
 
 = 
 2
2
x 0
ln 2x 1
lim
3x

 
Cuando x  0 el límite adopta la forma indeterminada 0/ 0, entonces se puede aplicar directamente 
la regla de L' Hospital. 
 2
2
x 0
ln 2x 1
lim
3x

 =
2
2
x 0 x 0
1
. 4x
4x2x 1lim lim
6x 6x (2x 1) 
 

=
2
x 0
2 2
lim
33(2x 1)


 
por lo tanto   2
1
2
3x
x 0
ln lim 2x 1
 
  
 

 
 
 
 
 
 = 
2
3
, entonces   2
1
2
3x
x 0
lim 2x 1
 
  
 

 = 
2
3e 
 
Ejercicios del TP Nº 10 para resolver en clase 
1.-) Dada la función f / y f (x) = 
3x 2 
a) Completar el siguiente cuadro vinculado a la variación de la variable independiente que se 
indica en cada caso: 
 
 
 
 x  y = ............................. dy = ............................ 
i) x varía de 1 a 1,5 
ii) x varía desde 1 hasta 1,05UNJu – Facultad de Ingeniería ANÁLISIS MATEMÁTICO I – 2021 
 
 
 
 
 
iii) x pasa de 1 a 1,005 
 
b) ¿Para qué valor de  x, se tiene que dy se aproxima mejor a y? 
 
c) En base a la respuesta anterior se pude afirmar que dy es una buena aproximación a y 
cuando 
………………………… (Completar la línea de puntos) 
 
 
2.-) En el siguiente gráfico, la función f cambia su 
valor cuando x pasa de 0 0x a x dx , encuentre: 
i) El cambio exacto y ii) El cambio aproximado 
dy 
Si a)   2 0f x x 2x , x 3 , dx 0,1    
 b)   0f x ln x , x 1 , dx 0,03   
 
3.-) Calcular 
a) 2 3 xdy , d y d y , si y 4 senx   
b) 
x3dx dy , si x 5y e ch y    
c) dy , si 
y 1x.e 8x
y
  
 
4.-) Aplicar la fórmula      0 0 0f x x f x f ' x x    siendo:    
k
0f x 1 x , x 0   para 
demostrar la aproximación:  
k
1 x 1 k x    
Luego utilizar la estimación para hallar aproximadamente (sin calculadora): 
 a) 501,002 b) 3 1,009 
 
5.-) Utilizar diferencial para calcular aproximadamente: 
a ) sen 31º b) 24,95 
 
6.-) El área de un cuadrado de cm de lado, varía cuando el lado crece d cm. 
a) Graficar la situación planteada. 
b) Calcular  A y dA 
c) Indicar en el gráfico qué representa  A y dA 
d) Si el lado es de 6 cm y experimenta un incremento de 0,02 cm, hallar  A y d A 
 
 
7.-) Una caja cúbica tiene sus seis caras de material metálico con un espesor de 0,25 pulgadas. El 
volumen del espacio interior hueco es de 40 pulgadas cúbicas. Usar diferenciales para estimar la 
cantidad aproximada de material utilizado para construir la caja. 
 
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8.-) Un hombre hace un contrato para pintar 1.000 señales metálicas rectangulares. Las señales son de 
90 cm de ancho y siempre el alto es la mitad del ancho. Cuando le entregan el material descubre que 
las señales tienen 1 cm más de ancho. Utilizar diferenciales para estimar: 
a) La diferencia de área a pintar 
b) Qué porcentaje de pintura adicional requerirá. 
 
Regla de L’Hopital 
9.-) Sabiendo que:
x a
lím f (x) 0

 ; 
x a
lím g(x) 0

 ; 
x a
lím h(x) 1

 , 
x a
lím p(x)

 ,
x a
lím q(x)


 
Resolver, siempre que sea posible, los siguientes límites. 
a) 
x a
p(x)
lím
f (x)
 b) 
x a
h(x)
lím
p(x)
 c)
x a
lím (f (x).p(x))

 
 
d) 
x a
f (x)
lím
g(x) 
e)
 x a
p(x)
lím
q(x)
 f)
x a
lím (q(x) p(x))

 
 
g)
 x a
lím (h(x).p(x))
 
h) 
x a
f (x)
lím
p(x)
 i) 
x a
lím (f (x) p(x))

 
 
j) 
x a
lím (q(x) p(x))


 
k)
  
q(x)x a
1
lím
p(x) 
l)  g(x)
x a
lím f (x)

 
 
m)  g(x)
x a
lím q(x)

 n)  p(x)
x a
lím h(x)

 o)  h(x)
x a
lím g(x)

 
 
10.-) Calcular, siempre que sea posible, los siguientes límites aplicando la regla de L'Hopital. 
 a) 
2y 0
sen y
lim
7 y y 
 b) 
 
t 0
ln 1 t t
lim
1 cos t
 

 
 c) 
3
x 0
x x 1
lim
2x 1
 

 d) 
z
3 2z
e 3z
lim
z 2z


 
 e) 
4
2 3x
x
lim
x x 
 f) 
4x
3x
e
lim
x x 
 
 
11.-) Transformar los siguientes límites para aplicar la Regla de L' Hopital, y resolver los límites. 
 a) 
0
lim cot g

  b)  1 x
x
lim 4x e 1

 
 c) 
x 0
1 1
lim
x sen x
 
 
 
 
 
12.-) Calcular los siguientes limites exponenciales aplicando la regla de L'Hopital, siempre que sea 
posible 
 a)
 
2
1
x
x 0
lim (cos x)

 b)
 
tgx
x 0
lim x

 
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 c) 
x 2/ x
x
lim (x e )

 d)
 
1/3x
x
lim (1 2x)

 
 e)  
21 (x 8)
2
x
lim x 5x 3


  
 
13.-) Explicar por qué 0  y 0  no son formas indeterminadas. 
 
Sugerencia: Suponer que f ( x ) es no negativa en un intervalo abierto que contiene al punto c y que 
 
 a) Para el 1er caso, sabiendo que , muestre que 
 b) Para el 2do sabiendo que , muestre que 
 
EJERCICIOS ADICIONALES DEL TPN 10 
 
1.-) La derivada dy/dx de sen(x+y) +cos y= y es : …………………………………………… 
 
2.-) Hallar dy si: 
 a) y xln x tg 2x  b) 
x 1y chx 3  
 
 c) 
x y
y chx 2 1 y

   
 
3.-) Calcular si es posible aplicando L´Hopital 
 a) 
 7 3
7 4
x 0
3x x 1 x
lim
(x 5x )
 

 b) 
1
x
x 0
senx
lim
x
 
 
 
 
 c)
y
3y
e
lim
y


 
 
 
 
 
x c
lim f (x) 0


x c
lim g(x)

 
g(x)
x c
lim f (x) 0


x c
lim g(x)

  
g(x)
x c
lim f (x)

 