Guía Trabajo Practico N 6 2021

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Límite fundamental trigonométrico – 
Continuidad – Función continua 
 
Cuestionario 
 
a) ¿Qué es un límite indeterminado? 
b) Indique las diferentes formas de eliminar indeterminaciones. 
c) ¿Qué se entiende por límite lateral? 
d) Defina e interprete con sus palabras el límite infinito ya sea para x → a o bien x 
→ 
e) ¿Qué método conoce para eliminar indeterminaciones de la forma  /  si x → ? 
 
Ejercicios Resueltos 
 
1.-) Calcular los siguientes límites 
a) 
x 0
tg (5x)
lim
sen x→
 b)
t 0
t sen t
lim
2 2 cos t→ −
 c) 
z
2
cos x
lím
z
2

→

−
 
Solución 
Para calcular estos límites es necesario tener presente 
i) El límite trigonométrico fundamental 
x 0
sen x
lim 1
x→
= 
ii) Identidades Trigonométricas 
Revisión: 2 2 2 2 2 2sen cos 1 tg 1 sec cotg 1 cosec+  = + =  + =  
 ( )sen sen cos cos sen =     
( )cos cos cos sen sen =     
 ( )sen 2 2 sen cos =   ( ) 2 2cos 2 cos sen = −  
 ( )2
1
sen 1 cos 2
2
 = −  ( )2
1
cos 1 cos 2
2
 = +  
 
sen cos 1 1
tg , cotg , sec , cosec
cos sen cos sen
 
 =  =  =  =
   
 
a) Como el límite dato tiene la función tangente, se escribe ésta utilizando la función seno. 
Entonces 
x 0 x 0
sen 5x
tg5x cos 5x
lím lim
senx senx→ →
= Acomodando la fracción de fracción, se tiene: 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 6 
 
x 0
sen 5x
lím
cos5x senx→
 
Para formar el límite trigonométrico fundamental, se multiplica y divide por 5 x 
C.A. 
sen 5x sen 5x sen 5x1 1 5 x x 5
. . . . . .
cos 5x . sen x cos5x 1 sen x 5 x 5x senx cos5x
= = 
x 0 x 0
sen 5x 5x sen 5x x 5
lim . lim . .
cos 5x . sen x 5x 5x sen x cos 5x→ →
= 
 
1 2 3
x 0 x 0 x 0
sen 5x x 5
lim . lim . lim L .L .L
5x sen x cos 5x→ → →
= = 
1
comox 0, Sustitución t 5x
5x también tiende a cero Si x 0 t 0
x 0 5x 0 t 0
sen 5x sen 5x sen t
L lim lim lim 1
5x 5x t
→ =
→  →
→ → →
= = = = 
2
x 0 x 0
x 1 1
L lim lim 1
sen x sen x 1
x
→ →
= = = =  
3
x 0
5
L lim 5
cos 5x→
= = 
Por lo tanto: 
x 0
tg5x
lím 5
senx→
= 
b) En este caso, para eliminar la indeterminación, se debe utilizar identidades trigonométricas 
con el fin de construir el límite fundamental trigonométrico. Para ello se multiplica numerador y 
denominador por el conjugado del binomio que figura en el denominador: 
t 0
t sen t
lim
2 2 cos t→ −
 = 
t 0
t sen t
lim
2(1 cos t)→ −
 = 
t 0
t sent (1 cost)
lim .
2(1 cost) (1 cost)→
+
− +
 = 
2t 0
t sent.(1 cost)
lim
2(1 cos t)→
+
−
 
= 
2t 0
t sen t(1 cost)
lim
2 sen t→
+
, simplificando y acomodando la expresión 
2t 0
t sen t(1 cost)
lim
2sen t→
+
=
t 0
1 cos t 
lim
sen t
2.
t
→
+
= 
t 0 t 0
1 cos t 1 2
lim . lim . 1 1
2 sen t 2
t
→ →
+
= = 
c) El límite dado está indeterminado y no tiende a cero. Es preciso hacer una sustitución que 
tienda a cero cuando la variable del límite tienda a /2. La sustitución indicada es la resta de la 
variable (z) y el valor al cual tiende ( )/ 2 : 
Sea w z
2

= − Si z w 0 z w
2 2
 
→  →  = +  
w 0
z
2
cos w
2cos x
lím lím
w
z
2
 →
→
 
+ 
 =

−
 C.A. 
 
w 0 w 0
sen w sen w
lím lím 1
w w→ →
−
= = − = − 
 
2.-) Determinar y clasificar los puntos de discontinuidad de las funciones dadas por sus 
fórmulas 
a) f ( x ) = 
2
x 8 3
x 1
+ −
+
 b) h ( x ) = 
2
6
 si x 3
x 5
2x 3 si 3 x 1
5x si x 1 
−
 − +

+ −  



 
Solución 
Recordar la definición de función continua en un punto: La función f es continua en x = a si y 
solo si: 
 
 I)  f ( a ) ; es decir f está definida en a 
 II) 
x a
lim f (x) L
→
= ( el límite para x → a existe y es finito) 
 III)f ( a ) = L 
 
También recordar que las operaciones de suma, diferencia, producto y composición de 
funciones continuas da como resultado otra función continua y el cociente de funciones 
continuas, también es continua, salvo en los puntos que anulan el denominador. 
 
a) Las expresiones que figuran en el numerador y denominador corresponden a una función 
continua  x ( ¿porqué? ). Por lo que los posible puntos de discontinuidad se analizan en los 
valores de x para los cuales se anula el denominador, en este ejemplo es x = − 1 
Como se ve f ( −1) no existe, por lo tanto es discontinua en ese punto, para saber que tipo de 
discontinuidad se presenta debemos determinar si existe o no el límite para x → −1. 
2
x 1
x 8 3
lim
x 1→ −
+ −
+
 presenta una indeterminación del tipo 0 / 0. Para eliminar la 
indeterminación, se multiplica y divide por el conjugado del binomio que contiene la raíz y 
luego se factorea. 
0 1
cos w cos w cos sen w sen sen w
2 2 2
   
+ = − = − 
 
2
x 1
x 8 3
lim
x 1→ −
+ −
+
 = 
2 2
2x 1
x 8 3 x 8 3
lim .
x 1
x 8 3→−
+ − + +
+
+ +
 = 
2
2x 1
x 8 9
lim
(x 1)( x 8 3)→−
+ −
+ + +
 = 
2x 1
(x 1)(x 1)
lim
(x 1)( x 8 3)→ −
− +
+ + +
 = 
2x 1
(x 1)
lim
x 8 3→ −
−
+ +
 = 
1
3
−
 
 
Como para x → −1 el límite existe y es finito, entonces presenta una discontinuidad evitable 
(DE) 
 
b) En una función definida sectorialmente como es h, los puntos donde cambia la fórmula de la 
función son posibles puntos de discontinuidad. Para poder determinar si lo son o no, es 
necesario analizar si se cumplen los condiciones de continuidad. En este caso los posibles 
puntos de discontinuidad son en x = − 3 y en x = 1. Luego hay que determinar si cada una de 
las expresiones en las que se divide la fórmula, corresponde o no a una función continua en su 
dominio de definición. 
1
x 5+
 no es continua  x  (− , −3 ), pues en x = −5  (− , −3 ), la expresión no está 
definida 
2 x + 3 es continua  x  (−3, 1 ) y 5 x2 es continua  x  (1,  ); en ambos casos 
por ser expresiones polinomiales. 
Clasificación de las discontinuidades 
I) En x = −3 
•  f (−3 ) = −3  
• Cálculo de 
x 3
lim f (x)
→−
. Como en x = − 3 se produce un cambio de fórmula es necesario 
calcular los límites laterales 
x 3
lim f (x)
+→−
 = 
x 3
lim (2x 3) 3 
+→−
+ = − 
x 3
lim f (x)
−→−
 = 
x 3
6
lim 3
x 5→ −
−
= −
+
 
Como los limites laterales son iguales 
x 3
lim f (x)
→−
 = − 3 
• f (−3) = 
x 3
lim f (x)
→−
, por lo tanto en x = −3 la función es continua 
II) En x = 1 
•  f (1) la función en x = 1 es discontinua. 
• Para saber el tipo de discontinuidad se calcula 
x 1
lim f (x)
→
. Pero como en x = 1 se produce 
un cambio de fórmula es necesario calcular los limites laterales : 
x 1
lim f (x)
+→
 = 2
x 1
lim 5x 5 
+→
= ; 
x 1
lim f (x)
−→
 = 
x 1
lim (2x 3) 5 
−→
+ = 
Como los límites laterales son iguales 
x 1
lim f (x)
→
 = 5. Luego en x = 1 la función presenta 
una discontinuidad evitable 
 
III) En x = −5 
•  f (−5) la función en x = −5 es discontinua. 
• Para saber el tipo de discontinuidad se calcula 
x 5
1
lim
x 5→− +
 ; 
x 5
1
lim
x 5−→−
= −
+
 ; 
x 5
1
lim
x 5+→−
= + 
+
  
x 5
1
lim
x 5→− +
 
Entonces la función es discontinua no evitable (DNE) en x = − 5 y la discontinuidad es de tipo 
infinita, pues los límites laterales son infinitos. 
NOTA: Si los límites laterales son finitos y distintos, la discontinuidad es no evitable, tipo salto. 
 Si un límite lateral es infinito y el otro es finito, la DNE es de tipo infinito. 
 
 
Ejercicios del TP Nº 6 para resolver en clase 
 
1.-) Calcular los siguientes límites aplicando el Límite Trigonométrico Fundamental: 
 
a) 
( )
x 0sen 2x
lím
9x→
 b) 
w 0
7
lím
w cotg w→
 
c) 
y 0
yseny
lím
1 cos y→ −
 d) 
x 3
x
3
lim
2.sen x
3
→
 
− 
 
 
− 
 
 
e) 
( )
2t 2
sen t 2
lím
t t 2→
−
− −
 f) 
x 0
10x sen(11x)
lim
2x→
−
 
 
2.-) Elegir la opción correcta. Si ninguna es correcta, escribir N. 
 
( )
2z 1
sen z 1
lím
z 4z 3→
−
− +
 
 A) 1 B) 
1
2
−
 C) 
1
2
 D) 0 
 
3.-) Dadas las fórmulas de las funciones f, g y h, utilizar la definición de continuidad 
para demostrar que: 
 a) La función f es discontinua evitable en x = 0 
 b) La función g es discontinua no evitable en x = 4 
 c) La función h es continua en R. 
 ( ) ( ) ( )
3
2
2
1 x si x 5
x 9x x 4
f x , g x , h x 4 si x 5
x x 16
x 5x 4 si x 5
 − 
− +
= = = − =
− 
− − 
 
 
4.-) .- Dada la gráfica de la función f: 
a) Hallar su dominio. 
b) ¿Es f continua en su dominio? 
c) ¿ La función f presenta discontinuidades?. Justificar su respuesta. 
d) Si la respuesta anterior es afirmativa, clasificar las mismas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.-) Proponer el gráfico de una función que cumpla las 
siguientes condiciones: 
a) Dom(g) = R −  3 , g (−1) = 1, presenta una discontinuidad evitable en x = 1 
y en x = 3, una discontinuidad no evitable en x = − 2, 
x 2
lím g(x) 2
−→−
= , 
x 3
lím g(x) 2
→
=
 
, 
x 2
lím g(x)
→− 
, 
x
lím g(x) 2
→
= −
 
, 
x
lím g(x)
→ −
=  
b) Dom (f) = R −  0 , f es impar , f (1) = 1, f (2) = 1, f tiene discontinuidad no 
evitable (salto) en 
x = 0; 
x 2
lím f (x) 0
→
=
 
, 
x
lím g(x) 2
→
= 
 
 
6.-) Determinar y clasificar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones 
dadas por su fórmula. 
a) f ( x ) = 
2x 1
x 5
−
+
 b) f ( x ) = 
3x 2 , si x 2
8 , si 2 x 3
2x 1 , si x 3
−  −

− −  
 − 
 
c) f ( x ) =  
3x
 , si x 2
4
x , si 2 x 4
x 1 , si x 4




 

− 


 
 
7.-) Determinar para qué valores de las constantes a y b , la función f / 
 f ( x ) = 
4x 3a si x 2
b
5a si 2 < x 4
2
b 3ax si x 4
− − 

− 

− 
 
a) Sea discontinua evitable en x = 2 y continua para todo otro valor de x 
b) Presenta una discontinuidad no evitable en x = 4. 
 
8.-) En una playa de estacionamiento se cobra $ 6 por la primera hora o fracción y $ 4 
por cada hora o fracción subsiguiente, hasta un máximo diario de $ 20 
a) Obtener la fórmula de la función, f , que establece el costo de estacionar un automóvil 
en esta playa, como función del tiempo que permanece allí. 
b) Graficar f. 
c) Discutir las discontinuidades de esta función y su significado para alguien que 
estacione su automóvil en esta playa 
 
9.-) Aplicar el Teorema del Valor Intermedio para 
encontrar una raíz de la ecuación. (Dar la respuesta 
con una aproximación de tres decimales). 
a) La ecuación x2x 4 6 0+ − = tiene una raíz 
real en el intervalo ( 1 , 2 ) 
b) 
x
ln x 2 0
4
− + = , Utilizar el gráfico dado para 
obtener el primer intervalo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios Adicionales: Trabajo Práctico N° 6 
 
1.-) Complete cada ítem de forma que el enunciado sea verdadero 
 Sea la función,
12
 2
5( )
2 2 2 2
x
xf x
x x

 −
+= 
 − + −  
, presenta una discontinuidad…………….en 
 x=………..y una discontinuidad……………….en x=…………………. 
 
2.-) Hacer corresponder las fórmulas de las funciones dadas en los incisos A a F con sus 
gráficas (marcadas de 1 a 6) 
Analizar la continuidad de las funciones y el comportamiento mediante el cálculo de 
límites. 
 (A) y = 
1
1
−x
 (B) y = 
1−x
x
 (C) y = 
)²1(
1
−x
 
 (D) y = 
1²
1
−x
 (E) y = 
)²1( −x
x
 (F) y = 
1² −x
x