Guía TP N8 ANÁLISIS 1-2021

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UNJu – Facultad de Ingeniería ANÁLISIS MATEMÁTICO I – 2021 
 
 
 
 
 
 
Derivadas sucesivas. Derivación implícita y logarítmica – 
Interpretación geométrica de la derivada 
 
Cuestionario 
a) ¿Qué entiende por derivadas sucesivas?. ¿Cómo hace para calcular una derivada enésima? 
b) ¿En qué consiste el método para derivar una función implícita? 
c) ¿En qué consiste el método de derivación logarítmica?. ¿En qué tipo de funciones es necesario 
aplicar el método de derivación logarítmica?. ¿Cuándo es conveniente aplicar el método de derivación 
logarítmica? ¿En qué otros casos se puede aplicar el método de derivación logarítmica?. 
d) Defina recta tangente a una curva en un punto. Indique su ecuación. 
e) Defina recta normal a una curva en un punto. Indique su ecuación. 
 
 
Ejercicios Resueltos 
 
1.- Dada la función f / f (x ) = 
1
1 2x
 , calcular f 
( n )
 ( x ) y f 
( 20) 
( x ) 
Solución 
La notación f 
( n )
 ( x ) = 
n
n
d y
dx
 significa derivada enésima. Para calcularla debemos hallar las primeras 
derivadas, tantas como sean necesarias, hasta que nos demos cuenta el modelo que sigue, y así 
enunciar la fórmula que tendrá la derivada enésima 
 
y = ( 1 – 2 x ) 
−1
 
y ' = (−1). ( 1 – 2 x ) 
−2
 (−2) = 1. 2. ( 1 – 2 x ) 
−2
 
y '' = 1. 2. (−2).( 1 – 2x )
−3
 ( −2 ) = 2
2
 . 1. 2. ( 1 – 2x )
−3
 
y '''= 2
2
 1. 2. (−3).( 1 – 2x )
−4
 (−2 ) = 2
3
 .1. 2 . 3. (1 – 2x )
 −4
 
y 
iv
 = 2
3
 . 1. 2 . 3 . (−4). (1 – 2x )
 −5
 ( −2 ) = 2
4
 . 1. 2 . 3 . 4. (1 – 2x )
 −5
 
y 
v
 = 2
4
 . 1. 2 . 3 . 4 . (−5) . (1 – 2x )
 −6
 (−2 ) = 2
5
 .1. 2 . 3 . 4 . 5 . (1 – 2x )
 −6
 
 
Podemos ver la forma que van tomando las derivadas sucesivas , y teniendo en cuenta que: 
1. 2.3.4.5 = 5! y en general 1. 2.3.4.5.6...n = n! , se tendrá 
f
( n )
 ( x ) = 
n
n
d y
dx
 = 2 
n
 . n! ( 1 – 2x )
– (n+1) 
que es la fórmula para la derivada enésima 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 8 
 
UNJu – Facultad de Ingeniería ANÁLISIS MATEMÁTICO I – 2021 
 
 
Para el cálculo de f 
( 20 )
 ( x ) simplemente reemplazamos en la fórmula encontrada n por 20 
f 
( 20 )
 ( x ) = 2 
20
 . 20! ( 1 – 2x )
– 21 
 
2.- Calcular y' mediante derivación implícita, siendo sen (x + y ) = y
2
 cos x 
 
Solución 
 
Si queremos encontrar y' debemos considerar primero que 
dy
dx
 ( y ) ' = y' y que 
dx
dx
 ( x )' = 1 
Luego derivamos ambos miembros de la ecuación respecto a x (aplicando las reglas de derivación 
vistas hasta ahora , es decir regla de la suma , regla del producto, regla de la cadena , etc.) y a 
continuación resolvemos la ecuación resultante para y', es decir 
(sen (x + y ))' = (y
2
 cos x)'(1) 
cos ( x + y ) ( x + y )' = 2 y y' cos x + y 
2
 ( sen x)  
cos (x + y ) (1 + y ' ) = 2 y y' cos x + y
2
 (  sen x)  
cos (x + y ) + y ' . cos (x + y ) = 2 y y' cos x + y
2
 (  sen x) 
 
Note que en el primer miembro de (1) aplicamos la regla de la cadena dos veces y en el segundo 
miembro, la regla de la cadena (recordar que y es función de x) y del producto 
Agrupamos los términos que contienen y' : 
y
2 
sen x + cos (x + y ) = 2 y cos x y' cos ( x + y ) y' 
Luego despejamos y': y' = 
2
y sen x cos(x y)
2 y cos x cos(x y)
 
 
 
 
3.- Aplicar derivación logarítmica para encontrar y' , siendo: 
a) y = 
 
3/4 2
5
x x 1
3x 2


 b) y = 
x
x 
Solución 
 
El método de derivación logarítmica consiste en aplicar logaritmo natural miembro a miembro, 
derivar en forma implícita y luego despejar y’. 
Se debe tener en cuenta que los logaritmos tienen propiedades – solamente – si se aplican a productos, 
cocientes, potencias o raíces; como sigue: 
     n nn
n
M ln M
ln MN ln M ln N / / ln ln M ln N / ln M ln M / / ln M
N
 
      
 
 
Al derivar con respecto a x: ln y ln F aparece en el primer miembro  
1
y ' ln F '
y
 , entonces el 
despeje de la derivada que se busca se obtiene pasando la fórmula de la función (y) al segundo 
miembro multiplicando. 
En cuanto a las derivadas, se debe recordar algunas reglas: 
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i) Base constante y exponente variable – función exponencial  
      
'
f x f x
a a ln a.f ' x 
ii) Base variable y exponente constante – función potencial          
'
n n 1
f x n f x f ' x

 
iii) Base y exponente constantes – función constante   
'
na 0 
iv) Base y exponente variables   
  
'
g x
f x Se deriva aplicando derivación logarítmica. 
 
y = 
 
3/4 2
5
x x 1
3x 2


ln y = 
 
3/4 2
5
x x 1
ln
3x 2
 
 
  
ln y = 
4
3
ln x + 
2
1
ln(x
2
 + 1 ) – 5 ln(3x + 2) 
Al derivar implícitamente con respecto a x , resulta 
y
1
y' = 
x
1
.
4
3
 + 
2
1 2x
.
2 x 1
− 5 
3
3x 2
 
Despejando y', se tiene y' = y 
2
3 x 15
4x 3x 2x 1
 
  
 
 
 
Reemplazando y por 
 
3/4 2
5
x x 1
3x 2


 queda: y' = 
 
3/4 2
5
x x 1
3x 2


2
3 x 15
4x 3x 2x 1
 
  
 
 
b) Procediendo como en el caso recién visto se tiene 
y = 
x
x  ln y = ln (
x
x )  ln y = x ln x  y' = 
1
2 x
. ln x + 
1
x .
x
 
 Note que en el segundo miembro se aplica derivada de un producto 
 Despejando y', se tiene y' = y 
lnx 1
2 x x
 
  
 
 Reemplazando y: y' = 
x
x
lnx 1
2 x x
 
  
 
 
4.- Determinar la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva de ecuación y = 2x
3
 – 4xen el 
punto (−
1
2
, −
1
4
) 
Solución 
 Si f es derivable en x = xo , la recta tangente al gráfico de f en el punto P (xo , yo) es la recta que 
pasa por P y tiene por pendiente el número m = f '(xo) . Su ecuación será y – yo = f '(xo) (x – xo) 
 Si la derivada en xo es infinita, entonces la recta tangente al gráfico de f en el punto P (xo,yo) es la 
recta vertical que pasa por P (xo,yo) y su ecuación será x = xo 
 Recta Normal al gráfico de f en el punto P (xo,yo) es la recta que pasa por P y es perpendicular a la 
recta tangente al gráfico de f en el punto P y su ecuación es: 
y – yo = 
)(x'f
1
o
 (x – xo) si f'(xo)≠ 0 ; 
x = xo si f '(xo) = 0 
y = yo si la derivada en xo es infinita 
y
1
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En nuestro caso nos dan como dato el punto P(−
1
2
, −
1
4
) es decir que xo = 
1
2
 e yo = 
4
1
 
Por lo tanto lo único que queda por calcular es la pendiente de la recta tangente, que la calculamos con 
la fórmula m = f ' (xo) , es decir 
f' (x) = 6x
2
 – 4 y f ' (−
1
2
) = 6 (−
1
2
)
2
 – 4 = −
5
2
 
Entonces la ecuación de la recta tangente es: y + 
1
4
 = −
5
2
( x + 
1
2
)  y = −
5
2
x −
3
2
 
y la ecuación de la recta normal es: y + 
1
4
 = 
2
5
 ( x + 
1
2
)  y = 
2
5
 x −
1
20
 
 
 
 
Ejercicios del TP Nº 8 para resolver en clase 
 
1.-) Hallar en cada caso la derivada solicitada 
a) f ' ( x ) ; f '' ( x ) y f 
(12)
 ( x ) si f ( x ) = 
6 31 1
x x 7x 11
24 6
   
b) f 
( n )
 ( x ) , si f (x ) = 
3x
2 
 
c) f 
( n )
 ( x ) , si f (x ) =  ln x 2 ; obtener también f ( 20 ) ( 5 ) 
 
2.-) Demostrar que: Si 4
1
y x 2 x
12
  , entonces: 2x y'' 6y' 12 0   
 
3.-) Dadas las funciones implícitas por su fórmula, hallar: 
a) 
2y
y' , si sen(4x5y) e  b) x ' , si ln y 8x x.y  
c)  4 m 3
d m d t
, si m 2 t e t
d t d m
    
 
4.-) a)   2Si cos x y y hallar y ' en el punto A ,0
2
 
   
 
 
 b) Calcular y'' si tg y x y  
 
5.-) Aplicar, cuando, sea posible, derivación logarítmica para calcular en cada caso y ' 
a)  
(5x)
3y 9x x  b) 
 
 3
x 1 2
ch 6x
y . ln x
e . x
 
c) 
x 5 x 10y 3 x x 2    d)  x 3y sen x  
 
Interpretación geométrica de la derivada 
6.-) Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva indicada por su ecuación, y que cumpla 
con las condiciones dadas en cada caso. 
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a)  2y 2x x en P 1,3  b)  y x x 1 en P 3,6  
c) 
2
x
y en el punto de abscisa x 1
x 1
 

 d)  y ln 3x , en el punto donde y = 0 
e)    3sen x y y 0 en el punto ,0    
 
7.-) Dadas la función F y la recta R, siendo   2F / F x 4 x R / y x    . Se pide hallar el punto 
de F donde la recta tangente es paralela a la recta R. Dar las ecuaciones de la Recta Tangente y de la 
Recta Normal a la curva en el punto de tangencia. Graficar. 
 
8.-) Encontrar los puntos donde la recta tangente a la curva de ecuación 
4
y x
x
  es perpendicular a 
la recta 
x
y
2
 . Luego escribir las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal en esos puntos. 
 
9.-) Determinar en qué puntos de la curva de ecuación 
2
x
y
1 x


 la recta tangente tiene una 
inclinación de 45° con respecto al eje X. 
 
10.-) Dado el gráfico de la función g 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Indicar en qué puntos no existe la derivada de g. Justificar 
b) ¿En algún punto del dominio la derivada vale cero? ¿Por qué? 
c) Indicar el/los intervalos donde es positiva la pendiente de la recta tangente. 
d) Indicar el/los intervalos donde es negativa la pendiente de la recta tangente. 
 
 
EJERCICIOS ADICIONALES DEL TPN 8 
 
1.-) Hallar la derivada solicitada 
 a) f '' ( x ) y f 
(5)
 ( x ) si 
9f (x) sen 2x x  b) f 
(3)
 y f 
(n)
 si f(x) = ln(1+x) 
 
2.-) La ecuación de la recta tangente a f(x) = 2-4 x
2
 que es paralela a la recta y+4x= 2 es: 
 A) 
x 7
y
4 8
  B) y 4x 1  C) 
x 9
y
4 8
   D) y 4x 3   
3.-) Sea 
3
f (x) x 1  ; encuentre el punto en la función y la ecuación de la recta tangente donde 
sea paralela a la recta y 3x . La solución: ¿es única?