Modulo3

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Modulo Modulo Modulo Modulo 3333 
 
 
La derivada 
 
 
1. Variación promedio 
 
Sea f una función numérica cualquiera, definida en un intervalo abierto (a,b) que contiene al 
punto 0x . Consideremos un pequeño incremento h, h ≠ 0, de la variable independiente, de manera 
que 0 , ( , )x x h x a b= + ∈ . 
La variación o incremento de f entre 0x y x , se define como 
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f f x f x f x h f x∆ = − = + − 
La variación o incremento de x entre 0x y x= 0x + h , se define como 
 0x x x h∆ = − = 
La variación promedio de f entre 0x y x , se mide con el llamado cociente incremental o 
Cociente de Newton de f en 0x : 
 
 0 0 0
0
( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x h f xf
x x x h
− + −∆ = =
∆ −
 
 
Geométricamente la variación promedio de f entre 0x y x= 0x + h representa la pendiente 
de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos ( 0x , f( 0x )) y ( 0x +h ,f( 0x + h)) 
 y 
 
 
 f(0x + h) 
 
 
 
 
 f(0x ) 
 
 0x 0x + h x 
 
 
Cuando h decrece infinitamente la variación promedio tiende a la variación instantánea de f 
en el punto 0x . 
 
Derivada de f en 0x : se define la derivada de f en 0x y se escribe f´( 0x ) a 
0 0
0 0
( ) ( )
(́ ) lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −= 
Siempre que el límite exista y en tal caso se dice que f es derivable en 0x 
 
Geométricamente a medida que h decrece, la recta secante a la gráfica de f que pasa por los 
puntos ( 0x ,f( 0x )) y ( 0x + h, f( 0x + h)) se va acercando a la recta tangente a la gráfica en el punto 
( 0x ,f( 0x )). Así, la variación instantánea de f en 0x representa la pendiente de la recta tangente a la 
gráfica de f en el punto ( 0x ,f( 0x )): 
 
 
y y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0x x 0x x 
 
 
Ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x= 0x : 
 
Dada una función y=f(x), la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa 
0x se puede obtener fácilmente. La ecuación de una recta que pasa por el punto ( 0x , 0y ) y tiene 
pendiente m es dada por: 0 0( )y m x x y= − + 
 
Luego, la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0x será aquella para la cual 
0 0( )y f x= , m=f´( 0x ) 
 
 La función derivada: 
 
 En lugar de elegir un valor numérico 0x para la variable independiente, podemos trabajar 
con un valor arbitrario x, definiendo así la función derivada, ya que depende del valor de x, queda 
definida la función derivada como: 
 
0
( ) ( )
(́ ) lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −= , siempre que el límite exista, y en ese caso se dice que f es derivable en 
x. 
 
 
La función f se dice derivable si tiene derivada en todos los puntos donde está definida 
 
 
 La derivada de f se escribe 
( )
(́ ) x
df df x
f x D f
dx dx
= = = 
 
 
Ejemplo 1: 
 
Sea f(x)=2x+1, hallar f´(x) 
 
Calculamos el cociente Newton para un x cualquiera, haciendo 
 
( ) ( )f x h f x
h
+ − = 
 
2( ) 1 (2 1) 2 2 1 2 1x h x x h x
h h
+ + − + + + − −= = 
 
0 0
2
2
( ) ( )
, ´( ) lim lim 2 2
h h
h
h
f x h f x
Luego f x
h→ →
=
+ −= = =
 
 
Ejemplo 2: 
 
Sea f(x)= 22x , hallar f´(x) 
 
Calculamos el cociente Newton para un x cualquiera, haciendo 
 
 
( ) ( )f x h f x
h
+ − = 
 
2 2 2 2 22( ) 2 2 4 2 2x h x x xh h x
h h
+ − + + −= = 
 
2
0 0
4 2
4 2
( ) ( )
, ´( ) lim lim 4 2 4
h h
xh h
x h
h
f x h f x
Luego f x x h x
h→ →
+ = +
+ −= = + =
 
 
 
Ejemplo 3: 
 
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 2( ) 2f x x= en el punto de abscisa x=3. 
 
Hemos calculado en el ejemplo 2 la función derivada o simplemente la derivada de 2( ) 2f x x= , 
luego la pendiente de la recta tangente en x=3 será la derivada en x=3: 
 
(́ ) 4 (́3) 12f x x f= ⇒ = =m 
 
Por lo tanto reemplazando en 0 0( )y m x x y= − + 
 
Tenemos 12( 3) (3)y x f= − + y como f ( 3)=18 
 
12( 3) 18 12 18y x y x= − + ⇒ = − es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x=3. 
 
 
 
 Actividades: 
 
1) Calcular la variación promedio de f entre 0x y 0x + h de las siguientes funciones: 
2 3) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( )a f x k b f x x c f x x d f x x e f x x= = = = = 
 
2) Sea 2( )f x x= , encuentre la ecuación de la recta secante a la gráfica de f en los puntos (1,1) y 
(1+h , f(1+h)) para los siguientes valores de h: 
h=2; h=1; h=-1; h=-2. Grafique y comente lo que observa. 
 
3) Calcule la variación instantánea de f en 0x de las siguientes funciones: 
2 3) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( )a f x k b f x x c f x x d f x x e f x x= = = = = 
 
4) Sea 2( )f x x= , encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (1,1). 
Grafique. 
 
 
 2-Reglas de derivación: 
 
 El cálculo de las derivadas utilizando la definición puede resultar engorroso. Sin embargo 
conociendo ciertas derivadas básicas y las reglas de derivación la tarea puede ser más sencilla: 
 
Derivadas básicas: 
 
1
1. ( ) '( ) 0 constante
2. ( ) '( ) 1
3. ( ) '( )
4. ( ) '( ) cos
5. ( ) cos '( )
1
6. ( ) ln '( )
7. ( ) '( )
r r
x x
f x k f x k
f x x f x
f x x f x rx r
f x senx f x x
f x x f x senx
f x x f x
x
f x e f x e
−
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ = ∈
= ⇒ =
= ⇒ = −
= ⇒ =
= ⇒ =
ℚ
 
 
Observación: en el caso 3, para que exista la derivada en x=0, r debe ser un número tal que 1rx − 
esté definida en un entorno del 0. 
Las derivadas 6 y 7 las aceptaremos por ahora sin demostración. 
 
 
Demostración: 
1. 
0 0
( ) ( )
(́ ) lim lim 0
h h
f x h f x k k
f x
h h→ →
+ − −= = = 
2. 
0 0 0
( ) ( )
'( ) lim lim lim 1
h h h
f x h f x x h x h
f x
h h h→ → →
+ − + −= = = = 
3. 
0 0
( ) ( ) ( )
'( ) lim lim
r r
h h
f x h f x x h x
f x
h h→ →
+ − + −= = 
usando el binomio de Newton escribimos: 
1 1 2
0 2
( ) ( , ) ( , ) ( , )
r r
r r k k r r r k k r r
k k
x h C r k x h x rx h C r k x h x rx h h P x h− − − −
= =
+ = = + + = + +∑ ∑ 
 
de la última sumatoria hemos sacado factor común 2h y el resto es una expresión polinómica en h y 
x. Por lo tanto sustituyendo en el límite: 
 
1 2
0 0
( ) ( , )
'( ) lim lim
r r r r
h h
x h x x rx h h P x h
f x
h h
−
→ →
+ − + += = = 
1 2
1 1
0 0
( , )
lim lim ( , )
r
r r
h h
rx h h P x h
rx hP x h rx
h h
−
− −
→ →
= + = + = 
 
4. 
0 0
( ) ( ) cos
(́ ) lim lim
h h
sen x h sen x senxcosh senh x senx
f x
h h→ →
+ − + −= = = 
 
0 0 0
( 1) cos ( 1) cos
lim lim lim
h h h
senx cosh xsenh senx cosh xsenh
h h h→ → →
− + −= = + = 
 
0 0
( 1)
lim cos lim .0 cos .1 cos
h h
cosh senh
senx x senx x x
h h→ →
−= + = + = 
 
Observemos que en este caso pudimos expresar el límite de una suma como suma de los límites 
porque esos límites existen. 
 
5. 
0 0
cos( ) cos( ) cos cos
(́ ) lim lim
h h
x h x xcosh senhsenx x
f x
h h→ →
+ − − −= = = 
 
0 0 0
cos ( 1) cos ( 1)
lim lim lim
h h h
x cosh senxsenh x cosh senxsenh
h h h→ → →
− − −= = − = 
 
0 0
( 1)
cos lim lim cos .0 .1
h h
cosh senh
x senx x senx senx
h h→ →
−= − = − = − 
 
 
 
Reglas de derivación: 
 
 
Sean f y g funciones derivables en x: 
 
1. Derivada de la suma de funciones: 
 
 ( ) '( ) '( ) '( )f g x f x g x+ = + 
 
2. Derivada del producto de funciones: 
 
 ( . ) '( ) '( ). ( ) ( ). '( )f g x f x g x f x g x= + 
 
3. Derivada del cociente de funciones: 
 
 Si ( ) 0g x ≠ , entonces 
2
'( ). ( ) ( ). '( )
( ) '( )
[ ( )]
f f x g x f x g x
x
g g x
−= 
 
4. Derivada de la composición: 
 
 ( ) '( ) '( ( )). '( )f g x f g x g x=� a esta regla se la conoce como la Regla de la Cadena. 
 
 
 
 
Ejemplos: 
 
En los primeros dos ejemplos aplicamos la reglabásica de derivación de una potencia: 
 
1) 33 32( ) '( ) 33si f x x f x x= ⇒ = 
 
2) 
3
5 3 5( ) ( )si f x x escribimos f x x= ⇒ = 
 
 
3 2
1
5 53 3'( )
5 5
f x x x
− −
⇒ = = 
 
En el siguiente ejemplo aplicaremos la regla de suma de funciones, además de reglas básicas: 
 
3) 2( ) '( ) 2 1si f x x x f x x= + ⇒ = + 
 
En el siguiente aplicaremos la regla del producto de funciones además de reglas básicas: 
 
4) 
1
2( ) ( )( 1) ( ) ( )( 1)si f x x x x escribimos f x x x x= + + ⇒ = + + 
 
1 1
2 2'( ) ( ) '( 1) ( )( 1) 'f x x x x x x x⇒ = + + + + + = 
1 1
2 2
1 1 2
( 1)( 1) ( )(1) ( )( 1) ( )
2 2
x
x x x x x x x
x
− += + + + + = + + + = 
 
2 1 2 2 1 2 2 2
( ) ( )
2 2
x x x x x x x x x x x
x x
x x
+ + + + + + + += + + = = 
 
 
3 4 1 2
2
x x x x
x
+ + += 
 
En el siguiente ejemplo aplicaremos la regla del cociente: 
 
5) 
2
( )
2
x x
si f x
x
+=
+
 
 
2 2
2
( ) '( 2) ( )( 2) '
'( )
( 2)
x x x x x x
f x
x
+ + − + +
⇒ = =
+
 
 
2 2 2
2 2
(2 1)( 2) ( )(1) 2 4 2
( 2) ( 2)
x x x x x x x x x
x x
+ + − + + + + − −= = =
+ +
 
 
2
2
4 2
( 2)
x x
x
+ +=
+
 
 
Finalmente veremos un ejemplo con el uso de la regla de la cadena o la regla de derivación para 
composición de funciones: 
 
6) 2 9( ) ( 1)si f x x= + planteamos a f como una composición de funciones, llamando 
 
2 9( ) ( 1) ( )u x x y t x x= + = 
 
De este modo 2 2 9( ) ( )( ) ( 1) ( 1)f x t u x t x x= = + = +� 
 
Por lo tanto 2 8 2 8'( ) '( ( )). '( ) 9( 1) .2 18 ( 1)f x t u x u x x x x x= = + = + 
 Actividades: 
 
 
 
5) Encontrar la función derivada de las siguientes funciones: 
 
 
2 23 17
3 3
2 3 2
5
3
2
) ( ) 5 101 ) ( ) 50 223
) ( ) (2 ) 3 ) ( ) 7 ( 2 )
5 2
) ( ) ) ( )
3 4
4
) ( ) ) ( )
3 1
a f x x x b g x x x
c h u u u d j t t t t
x x v v v
e k x f m v
x
u
g f x x h g u
u
π
= + − = + +
= − = −
+ − += =
−
= =
−
 
 
6) Se dispone de la siguiente información: 
 
 
(3) 1 (3) 2 (3) 1
'(3) 4 '(3) 6 '(3) 1
f g h
f g h
= = = −
= = = 
Hallar: 
 
)( ) '(3) )( ) '(3) )( ) '(3)
)( ) '(3) )( ) '(3) )( ) '(3)
a f g b f g h c fg
f fg
d fg h e f
g h
+ − +
−
 
 
7) Hallar la derivada de las siguientes funciones: 
 
2 5 23 17
3 101 3 9
32 3 2
2
2 2
4
) ( ) ( 5 101) ) ( ) 50 223
) ( ) ((2 ) 3 ) ) ( ) (7 ( 2 ))
5 2
) ( ) ) ( )
43
) ( ) ) ( ) ( )
) ( ) cos( ) cos ) ( )
1
) ( ) 2sec 3 (4 ) )
a f x x x b g x x x
c h u u u d j t t t t
x x v v v
e k x f m v
Vx
g g x x senx h f x tg x
cotgx
i f x x x j f x
senx
k f x x sen x l
= + − = + +
= − = − −
+ − += =
−−
= =
= + =
−
= −
5
2
2cos
( )
1
1 ln
) ( ) ) ( ) 2 ln
) ( ) ln ln(ln ) ) ( ) ln 1 ln( 1)
x
x
f x
x
x x
m g x n k x x
e x x
ñ f x x x o f x x x
=
+
= = + −
= − = + + +
 
 
8) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada una de las siguientes funciones en el 
punto dado: 
 
2) ( ) 2 1 (1,2)
) ( ) 1 (2,1)
) ( ) (6,2)
3
4
) ( ) (2,4)
3
) ( ) cos ( ,0)
2
) ( ) 4 2 ( ,4)
8
a f x x x en el punto
b g x x en el punto
x
c k x en el punto
x
d f x x en el punto
x
e f x x en el punto
f f x tg x en el punto
π
π
= + −
= −
=
−
= +
=
=
 
9) Hallar los puntos en los que las tangentes a la curva 4 3 23 4 12 20y x x x= + − + son paralelas al 
eje de las abscisas. 
 
10) En qué punto la tangente a la parábola 2 7 3y x x= − + es paralela a la recta 5 3 0x y+ − = 
 
11) Hallar la ecuación de la parábola 2y x bx c= + + que es tangente a la recta y x= en el 
punto (1,1). 
 
12) En qué punto de la curva 2 32y x= la tangente es perpendicular a la recta 4 3 2 0x y− + = 
 
13) Escribir las ecuaciones de la recta tangente y perpendicular a la curva 3 22 4 3y x x x= + − − 
en el punto (-2,5). 
 
14) Escribir las ecuaciones de la recta tangente y perpendicular a la curva y x= en el punto 
cuya abscisa es 4. 
 
15) Escribir las ecuaciones de la recta tangente y perpendicular a la curva 3 1y x= − en el punto 
(0, -1) 
 
16) Escribir las ecuaciones de las tangentes y perpendiculares a la curva ( 1)( 2)( 3)y x x x= − − − 
en sus puntos de intersección con el eje de las abscisas. 
 
17) Escribir las ecuaciones de la recta tangente y perpendicular a la curva 
3 22cos( ) lny x x xπ= − + en el punto de abscisa x=1. 
 
 
 
 
 3- Derivadas de orden superior: 
 
 
 Dada una función derivable f(x) definida en un intervalo abierto I, su derivada f’(x) es 
también una función en ese intervalo. Esta nueva función puede o no ser derivable. Si sucede que 
también es derivable, entonces su derivada se llama derivada segunda o derivada de segundo 
orden de f respecto de x y se denota f’’(x). 
 
 
 
 Ejemplo: 
 
Sea 4 3( ) 1f x x x= + + entonces su derivada es 3 2'( ) 4 3f x x x= + 
 
Y como esta nueva función también es derivable puede calcularse su derivada que representará la 
derivada segunda de f 2''( ) 12 6f x x x= + 
 
 
 
 El proceso puede continuarse mientras la nueva función derivada sea derivable, y en general 
se denota con ( ) ( )nf x a la n-ésima derivada o derivada de orden n, de la función f respecto de la 
variable x, 
 
( ) ( )
n
n
n
d f
f x
dx
= 
 
 
 4- Derivación implícita: 
 
 
 Consideremos una curva definida por una ecuación implícita, es decir F(x,y)=0 
 
 Hasta ahora hemos trabajado con curvas en las que fue posible despejar y como función de 
x, y en ese caso, decimos que la curva dada es la gráfica de f. Hemos podido de este modo, si f es 
derivable en x0 respuesta al problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva en un 
punto (x0, f(x0)) 
 Sin embargo no siempre es posible o sencillo despejar y en función de x. ¿qué pasaría 
entonces si tuviéramos que dar la ecuación de la recta tangente a la curva F(x,y)=0 en un punto de 
la misma? 
 
 
 
 
 Ejemplo: 
 
La ecuación 2 2 4 0x y+ − = define en forma implícita una circunferencia. Podemos despejar y, 
obteniendo dos funciones: 
 
 ( ) 21 4 xxfy −== e ( ) 22 4 xxfy −−== 
 
Veamos entonces que la curva dada NO ES LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN! 
 
En efecto, la gráfica de f1 es la semicircunferencia superior y la gráfica de f2 es la 
semicircunferencia inferior. 
 
 Si tuviéramos como problema el determinar la ecuación de la recta tangente a la 
circunferencia en el punto de coordenadas (2 , 2 ), podríamos pensar solo en el tramo de la 
curva que corresponde a 
 ( ) 21 4 xxfy −== 
 
y entonces, como antes sabemos que para determinar la pendiente de esa recta basta con calcular la 
derivada de f1 en 2 . (Te proponemos que lo hagas como ejercicio, así podrás comparar con otra 
forma que te propondremos de hacerlo en las líneas siguientes) 
 
Sin embargo no siempre es sencillo despejar y en función de x, pero aún así podemos pensar 
localmente a la curva como la gráfica de una función y = y(x), y de ese modo hallar su derivada 
siguiendo el procedimiento que se conoce como derivación implícita, que nos permite encontrar 
y’(x) aunque no podamos (o no querramos) despejar y en función de x. 
 
 
 Veamos con detalle lo que sigue: 
 
Volvamos a la circunferencia de la que hablamos arriba, y consideremos su ecuación: 
 2 2 4 0x y+ − = . 
 
Sabiendo que y es localmente una función de x, hallar la derivada y’(x) en términos de x e y(x). 
 
Derivamos ambos miembros de la ecuación, sin olvidar que como y depende de x, será necesario 
usar la regla de la cadena: 
 
 
2 2( 4) 0
2 2 0 2 2 ' 0
'
d d
x y
dx dx
dy
x y o x yy
dx
dy x x
de donde o y
dx y y
+ − =
+ = + =
= − = −
 
 
Por lo tanto si quisiéramos hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto ( 2, 2), 
 
Tenemos 
2
' 1
2
y = − = − 
 
Por lo tanto la ecuación de la recta tangente en ( 2, 2) es ( 2) 2y x= − − + 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 y=-x+2 2 
 
 
 
 
 
 En este punto estamos en condiciones de demostrar la derivada de la función xe : 
 
 xy e= 
 ln yx= aplicando logaritmo a ambos miembros 
 
1
1
dy
y dx
= aplicando derivación implícita a ambos miembros respecto de x 
 
dy
y
dx
= 
 ' xy e= reemplazando ' xdy por y y y por e
dx
 
 
 
 
 
 
 Actividades: 
 
 
 
18) Hallar las derivadas de segundo orden de las siguientes funciones: 
 
2
6 3 3 2 2) ( ) 4 3 2 ) ( ) ) ( ) 2 (1 )
1
x
a f x x x b f x c f x x x
x
= − + = = − −
−
 
 
19) Demostrar que la función: 
2 2 2
2
x x
y
+ += satisface la ecuación diferencial: 
 21 ' 2 ''y yy+ = 
 
20) Demostrar que la función: xy xe−= satisface la ecuación diferencial: 
 
 ' (1 )xy x y= − 
 
21) Dada 3 25 7 2, '''y x x x hallar y= − + − 
 
22) Determinar y’ por derivación implícita: 
3 3 3 3 2) 3 2 ) 2 )( )
) cos( ) )cot ( ) 2 )2 cos
) ) ln 2 ) ln 1
y
y x
a x xy y b y xy x c xy x y y
d y x y e g xy xy f xy xy seny
x
g e x y h y i x e
y
−
− + = − = − =
= − + = − =
= + + = + =
 
 
23)Escribir las ecuaciones de la recta tangente y perpendicular a la curva 1y xye e+= en el punto (0,1) 
 
24) Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva 3 3 7 0x y xy+ − − = en el punto (1,2) 
 
25) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva 5 5 2 0x y xy+ − = en el punto (1,1) 
 
26) Hallar las ecuaciones de la recta tangente y de la recta perpendicular a la curva 
2 2 2 6 0x y x− + − = en el o los puntos cuya ordenada es y=3. 
 
27) Usando el hecho de que ln xx e= hallar y’(x): 
 
2
) ) ( ) )x x xa y x b y senx c y x= = = 
 
 
 
 5- Derivabilidad y continuidad: 
 
 
 Hemos definido la derivada de una función en un punto como el límite cuando h tiende a o 
del cociente de Newton, siempre que ese límite exista. Los casos donde ese límite no existe pueden 
agruparse en 3 grupos: 
 
 
1) Cuando existen los límites laterales del cociente de Newton pero son diferentes entre si: 
0 0 0 0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
(́ ) lim (́ ) lim
h h
f x h f x f x h f x
f x f x
h h+ −+ −→ →
+ − + −= = 
 
y 0 0'( ) '( )f x f x+ −≠ 0 0 00
( ) ( )
lim (́ )
h
f x h f x
f x
h→
+ −
⇒ ¬∃ ⇒ ¬∃ 
 
Ejemplo: 
 
( )f x x= Analicemos su derivabilidad en 0 y 
0 0 0
(0 ) (0) 0
(́0) lim lim lim 1 1
h h h
f h f h
f
h h+ + ++ → → →
+ − −= = = = 
 
0 0 0
(0 ) (0) 0
(́0) lim lim lim 1 1
h h h
f h f h
f
h h− − −− → → →
+ − − −= = = − = − 
 x 
 
Por lo tanto '(0) '(0)f f+ −≠ y en consecuencia la función no es derivable en x=0 
 
 
 
2) Cuando el límite del cociente de Newton tiende a infinito: 
0 0
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x
h→
+ − = ±∞ 
 
0 0
00
( ) ( )
lim (́ )
h
f x h f x
f x
h→
+ −
⇒ ¬∃ ⇒ ¬∃ 
 
Ejemplo: 3 2( )f x x= Analicemos su derivabilidad en 0 y 
13 2
3
30 0 0 0
(0 ) (0) 0 1
(́0) lim lim lim lim
h h h h
f h f h
f h
h h h
−
→ → → →
+ − −= = = = = ±∞ 
 
Por lo tanto la función no es derivable en x=0 
 
 
 x 
 
 
 
 
3) Cuando uno de los límites laterales del cociente de Newton existe y el otro tiende a infinito, 
esto es cuando la gráfica presenta un salto: 
 
0 0 0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim
h h
f x h f x f x h f x
y L
h h+ −→ →
+ − + −= ±∞ = 
 
0 0
00
( ) ( )
lim (́ )
h
f x h f x
f x
h→
+ −
⇒ ¬∃ ⇒ ¬∃ 
 
Ejemplo: x+1 0x ≥ y 
 ( )f x = 
 x-1 x<0 
 
Analicemos su derivabilidad en 0 
 
00 0
(0 ) (0) 1 1
(́0) lim lim lim1 1
hh h
f h f h
f
h h+ ++ →→ →
+ − + −= = = = 
 x 
 
0 0 0
(0 ) (0) 1 1 2
(́0) lim lim lim
h h h
f h f h h
f
h h h− − −− → → →
+ − − − −= = = = ∞ 
 
Por lo tanto la función no es derivable en x=0 
 
 
 
 Si observamos detenidamente el último ejemplo vemos que la función es derivable en los 
intervalos ( ,0) (0, )y−∞ +∞ sin embargo por ser discontinua en 0 la función no es derivable en 
ese punto. Este resultado es una consecuencia del siguiente teorema: 
 
 
 
Teorema: 
 
Si f es derivable en 0x ⇒ f es continua en 0x 
 
 
Demostración: 
f es derivable en 0x 
0 0
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x
h→
+ −
⇒ ∃ 
 
Como 
0
lim 0
h
h
→
= 
 
Por el criterio de existencia del límite tenemos que : 
 
0 00
lim ( ) ( ) 0
h
f x h f x
→
+ − = 
 
Por lo tanto 0 00
lim ( ) ( )
h
f x h f x
→
+ = 
Que es una expresión equivalente a decir 
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
= 
Por lo tanto f es continua en 0x como queríamos demostrar. 
 
 
 Notemos que la expresión del contrarrecíproco del enunciado del teorema (equivalente con 
él) dice: 
 
Si f no es continua en 0x ⇒ f no es derivable en 0x 
 
Es la aplicación del teorema que usamos en el ejemplo del caso 3 de funciones no derivables. 
 
 Actividades: 
 
28) Dada 
 2 2 0x kx x+ ≥ 
 f(x) = 
 
 x x<0 
Hallar el valor de k para f resulte derivable en ℝ 
 
29) 
2 9
2
3
x
x
x
− ≥
+
 
 f(x) = 
 kx x<2 
 
Hallar el valor de k para f resulte continua en ℝ . Para el valor de k hallado la función resulta 
derivable en x=2?Graficar