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MAT1610 — Cálculo I
Luis Dissett
Facultad de Matemáticas
Pontificia Universidad Católica de Chile
Clase 12 — Derivadas.
Secantes y tangentes a curvas
Sea f : D → R una función real, y sea x0 ∈ Dom f . La curva
y = f (x) pasa por el punto (x0, f (x0)).
Si consideramos un segundo punto (x1, f (x1)) en el gráfico de f ,
podemos trazar la secante a la curva que pasa por estos dos
puntos. La pendiente de esta secante es
m =
f (x1)− f (x0)
x1 − x0
.
¿Qué pasa cuando x1 → x0?
Cuando x1 → x0, la secante a la curva se transforma en una
tangente a ésta por el punto (x0, f (x0)), y su pendiente es
lim
x1→x0
f (x1)− f (x0)
x1 − x0
= lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
.
Derivada de una función en un punto
Sea f una función real definida en (a, b), y sea x0 ∈ (a, b).
Diremos que f es derivable en x0, o diferenciable en x0, si existe
lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
.
En caso de que exista este límite, diremos que es la derivada
de f en x0, lo que anotaremos f ′(x0).
Si f es derivable en todo punto de (a, b), diremos que es
derivable en (a, b). En este caso, podemos considerar f ′ como
una función f ′ : (a, b)→ R. A esta función f ′ la llamamos la
función derivada de f , o simplemente la derivada de f .
Note que podemos considerar f ′(x) como
lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
(o sea, simplemente eliminamos el subíndice 0).
XKCD.COM . . .
Notación
La función f ′ es también denotada por dydx ,
df
dx , o
d
dx f .
El origen de las dos primeras notaciones es el siguiente: si a h
lo llamamos ∆x (queriendo indicar “el incremento en x”), y a
f (x0 + ∆x)− f (x0) lo llamamos ∆y o ∆f (queriendo indicar “el
incremento en y” o “el incremento en f ”), entonces la derivada
de f en x0 es
lim
∆x→0
∆y
∆x
o lim
∆x→0
∆f
∆x
.
Así, dydx (o
df
dx ) es “el valor en el límite de
∆y
∆x ” (o de
∆f
∆x ).
La tercera notación corresponde a la idea de un operador : una
función cuyo dominio y recorrido son conjuntos de funciones.
En este caso, el operador ddx aplicado a la función f da como
resultado f ′.
Interpretación geométrica de la derivada
Para hallar una interpretación geométrica a f ′(x0),
consideremos una secante variable a la curva y = f (x), que
pasa por el punto P0 = (x0, f (x0)), y consideremos un segundo
punto de corte, digamos con abcisa x0 + h.
Así, las coordenadas del segundo punto de corte son
(x0 + h, f (x0 + h)), y por lo tanto la pendiente de esta secante es
mh =
f (x0 + h)− f (x0)
(x0 + h)− x0
.
Si la derivada de f existe en x0, quiere decir que las pendientes
de las secantes a y = f (x) que pasan por P0 convergen a un
valor específico (= f ′(x0)), y éste debe ser la pendiente de la
recta tangente a y = f (x) en el punto P0.
Ecuación de la tangente y la normal a una curva
Usando lo anterior, vemos que la ecuación de la recta tangente
a la curva y = f (x) en el punto P0 = (x0, f (x0)) es (usando la
ecuación punto-pendiente de la recta)
y− y0 = f ′(x0)(x− x0).
La recta que pasa P0 y es perpendicular a esta recta tangente
es llamada la normal a la curva en P0. Por geometría analítica
elemental sabemos que la pendiente de esta recta debe ser
− 1f ′(x0) . Así, la ecuación de esta recta normal es
y− y0 =
−1
f ′(x0)
(x− x0).
La derivada como tasa de cambio
Otra interpretación de la derivada es como una tasa de cambio:
f ′(x0) indica cuánto cambia f (x) por cada unidad que cambia x.
Ejemplo
Supongamos que f (x) representa la distancia que se ha
desplazado un móvil en línea recta a partir de un punto de
referencia (medida en metros), tras x segundos.
Si f ′(5) = 4, quiere decir que 5 segundos después de iniciado
el movimiento, el móvil se está alejando del punto de referencia
con una rapidez de 4m/s.
Derivadas laterales
Sea f : [a, b]→ R. Obviamente, no existen f ′(a) ni f ′(b). Pero si
existe
lim
h→0+
f (a + h)− f (a)
h
y/o lim
h→0−
f (b + h)− f (b)
h
,
diremos que f es derivable por la derecha en a y/o derivable
por la izquierda en b, y los valores de los lí mites indicados son
las derivadas laterales en a y b respectivamente.
Análogamente, si f : (a, b)→ R es una función y x0 ∈ (a, b),
podemos definir las derivadas laterales en x0 por los
correspondientes límites laterales.
Ejemplo: la derivada de la función constante
Sea c ∈ R. Consideremos la función constante f (x) = c.
La derivada de f (x) es
lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
c− c
h
= lim
h→0
0 = 0.
Propiedades de las funciones derivables
Demostraremos una serie de propiedades de las funciones
derivables. Previamente, necesitamos el siguiente lema:
Lema
Si f : (a, b)→ R es una función derivable en x0, entonces f es
continua en x0.
Demostración
Si f es derivable en x0, entonces
f ′(x0) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
,
por lo que
lim
h→0
(f (x0 + h)− f (x0)) = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
· h
= lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
· lim
h→0
h
= f ′(x0) · 0 = 0,
de donde lim
h→0
f (x0 + h) = f (x0), o sea, f es continua en x0.
Derivadas de sumas, restas y productos
Teorema
Sean f y g dos funciones derivables en x0, y sea c ∈ R.
Entonces las funciones cf , f + g, f − g y f · g son derivables en
x0, y sus respectivas derivadas son:
(cf )′ = cf ′, (f + g)′ = f ′ + g′, (fg)′ = f ′g + g′f .
Demostración
Demostraremos sólo que la derivada de fg es f ′g + gf ′. Las
otras demostraciones se dejan como ejercicio al lector. La
derivada de f (x)g(x) es lim
h→0
f (x + h)g(x + h)− f (x)g(x)
h
= lim
h→0
f (x + h)g(x + h)− f (x)g(x + h) + f (x)g(x + h)− f (x)g(x)
h
= lim
h→0
(f (x + h)− f (x))g(x + h)
h
+ lim
h→0
f (x)g(x + h)− f (x)g(x)
h
= lim
h→0
(f (x + h)− f (x))
h
· lim
h→0
g(x + h) + f (x) · lim
h→0
g(x + h)− g(x)
h
= f ′(x)g(x) + f (x)g′(x).
Note que usamos el hecho de que g es continua (ya que es
derivable).