6_Diferenciacion

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Notas de clase - Cálculo I
6. Diferenciación
Repaso: rectas en el plano
La ecuación (cartesiana) general de una recta en el plano XY es
(1) Ay +Bx+ C = 0,
donde A,B,C ∈ R y A, B no son ambas nulas. Si A 6= 0, entonces podemos escribir
y = −B
A
x− C
A
;
en este caso, equivalentemente, podemos escribir
y = ax+ b, ( a, b ∈ R )
donde a es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen. Convenimos que la pendiente de una recta
de la forma x = x0 es indefinida (no le podemos asignar un número real) pues tal recta no se puede expresar
como y = ax + b; en algunos libros de texto se suele considerar la pendiente de una recta vertical como ∞
(infinito sin signo), pues en este caso A = 0, B = 1 y C = −x0 en (1).
Sabemos que por dos puntos distintos del plano pasa una única recta; en efecto sean (x0, y0) 6= (x1, y1),
si x0 = x1 tenemos una recta vertical con ecuación x = x0, ahora si x0 6= x1 nuestra recta tiene la siguiente
función asociada
y(x) =
(
y1 − y0
x1 − x0
)
(x− x0) + y0,
siendo y1−y0x1−x0 la pendiente de dicha recta; es claro que y(x0) = y0 y y(x1) = y1.
Figura 1
1
2
Más aún, si consideramos la función tg : [0, π/2) ∪ (π/2, π)→ R, (ver gráfico abajo), tenemos que
tg(α) =
y1 − y0
x1 − x0
> 0, lim
x→π2 −
tg(x) = +∞, y lim
x→π2 +
tg(x) = −∞,
Figura 2
Por lo tanto una recta queda determinada si damos su pendiente (o un ángulo β ∈ [0, π)) y un punto
(x0, y0) por donde pasa dicha recta. Luego, si β 6= π2 , la recta que pasa por (x0, y0) y cuya pendiente es
tg(β) tiene asociada la función y(x) = tg(β)(x − x0) + y0. Esta manera de determinar una recta se conoce
como punto-pendiente y es equivalente a la vista arriba.
Figura 3
Recta tangente y el concepto de derivada en un punto: El concepto de diferenciación trata el
problema de determinar la recta tangente a una curva plana en un punto dado. Idealmente, en geometŕıa
clásica, la recta tangente a una curva toca (localmente) a la misma solamente en su punto de tangencia;
exceptuando que dicha curva sea una recta, en tal caso la recta tangente en cualquier punto es la recta
misma. La siguiente figura ilustra este concepto para el caso en que la curva es una circunferencia.
3
Figura 4
En este curso estamos interesados en determinar la recta tangente al gráfico de una función f : (a, b)→ R
en un punto dado x0 ∈ (a, b). Veamos como determinar dicha recta tangente, si es que existe, en términos
de f . Para ello sea h 6= 0 (momentáneamente fijo!) tal que x0 + h ∈ (a, b), entonces tenemos dos puntos
diferenciados (x0, f(x0)) y (x0 + h, f(x0 + h)) pertenecientes al Gf , por tales puntos trazamos una recta
secante como se muestra en la siguiente figura.
Figura 5
La pendiente de tal recta es
tg(αh) =
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
El cociente a la derecha de esta igualdad se denomina cociente incremental de f en x = x0. Luego la
recta secante que pasa por los puntos (x0, f(x0)) y (x0 + h, f(x0 + h)) tiene asociada la función
yh(x) = tg(αh)(x− x0) + f(x0), x ∈ R.
4
Suponiendo que y = tg(α0)(x − x0) + f(x0) es la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el
punto (x0, f(x0)), entonces, geométricamente, podemos inferir que a medida que h → 0 las rectas secantes
se ”aproximan” a la recta tangente al Gf en el punto (x0, f(x0)) como muestra la siguiente figura. Por lo
tanto lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= lim
h→0
tg(αh) = tg(α0).
Figura 6
Este razonamiento heuŕıstico nos conduce a la siguiente definición.
Derivada de una función en un punto: Sea f : (a, b)→ R una función y sea x0 ∈ (a, b), diremos que
f es derivable (o diferenciable) en el punto x = x0 si el siguiente ĺımite
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
existe en R. Si este es el caso escribimos f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
. El valor f ′(x0) se dice que es la
derivada de la función f en el punto x = x0.
Por lo tanto el problema de determinar la recta tangente al gráfico de una función f en un punto (x0, f(x0))
dado se reduce a determinar si la función f es diferenciable o no en el punto x = x0. Más precisamente, si
existe f ′(x0) entonces la recta tangente al gráfico de f en el punto (x0, f(x0)) viene dada por
y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0),
donde f ′(x0) = tg(α0) es la pendiente de dicha recta tangente; esto nos da una interpretación geométrica
del significada de la derivada de una función en un punto. Si no existe f ′(x0), entonces no existe la recta
tangente al Gf en dicho punto.
Una función f : (a, b) → R se dice derivable sobre (a, b) si es derivable en cada punto del (a, b). Luego
definimos la función derivada f ′ : (a, b)→ R de f por
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
, para cada x0 ∈ (a, b).
Highlight
5
Ejemplo 1: Sea f(x) = x2 para x ∈ R, entonces f ′(x) = 2x para cada x ∈ R. Veamos esto: un computo
da que para cada x0 ∈ R fijo
f(x0 + h)− f(x0)
h
=
(x0 + h)
2 − x20
h
=
2x0h+ h
2
h
= 2x0 + h,
para todo h 6= 0. Luego al tomar ĺımite para h→ 0 resulta
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= lim
h→0
(2x0 + h) = 2x0,
para cada x0 ∈ R. Luego, al pasar a la variable x, resulta f ′(x) = 2x para cada x ∈ R.
Ejercicio: Mostrar que si f(x) = ax+ b para x ∈ R, entonces f ′(x) = a para cada x ∈ R. En particular
la función derivada de una función constante es la función nula.
Nota 1: En general la función derivada f ′ de una función f : (c, d) → R se define para los x0 ∈ (c, d)
tales que
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
existe en R, luego
dom(f ′) =
{
x0 ∈ (c, d) : ∃ lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
}
.
Por lo que dom(f ′) ⊆ dom(f). Resultando aśı f ′ : dom(f ′)→ R una función. Cabe mencionar que la función
derivada nos da punto a punto la pendiente de la recta tangente en el punto de valuación.
Ejemplo 2: Sea f(x) = x2, para x ∈ R. Calculemos y grafiquemos las rectas tangentes al Gf en los
puntos (x0, f(x0)) para x0 = −1, 0, 1. Vimos que f ′(x) = 2x para todo x, luego las pendientes de tales rectas
tangentes son f ′(−1) = −2, f ′(0) = 0 y f ′(1) = 2 respectivamente, por lo tanto las ecuaciones de dichas
rectas son
y−1(x) = f
′(−1)(x+ 1) + f(−1) = −2(x+ 1) + 1,
y0(x) = f
′(0)x+ f(0) = 0,
y1(x) = f
′(1)(x− 1) + f(1) = 2(x− 1) + 1.
En la siguiente figura podemos encontrar el gráfico de las rectas tangentes al gráfico de f(x) = x2 en los
puntos indicados.
Figura 7
6
Ejemplo 3: Sea f(x) = |x|, para x ∈ R. Veamos que no existe f ′(0). Es suficiente ver que los ĺımites
laterales del cociente incremental de f en x0 = 0 no coinciden. En efecto
f(h)− f(0)
h
=
|h|
h
=
 1 h > 0−1 h < 0 .
Luego al tomar ĺımites laterales obtenemos que
lim
h→0+
f(h)− f(0)
h
= lim
h→0+
|h|
h
= 1 6= −1 = lim
h→0−
|h|
h
= lim
h→0−
f(h)− f(0)
h
,
por lo tanto no existe f ′(0) y en consecuencia no existe la recta tangente al Gf en el (0, 0). Graficamente
podemos apreciar que el Gf presenta una punta en el (0, 0), intuitivamente, la no existencia de la recta
tangente nos indica que el Gf en dicho punto presenta cierta ”singularidad”.
Ejercicio: Supóngase que existe f ′(x0). Mostrar que
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
.
(Sugerencia: realizar el cambio de variable h = x− x0.)
Teorema 1: Si una función f : (a, b)→ R es diferenciable en un punto x0 ∈ (a, b), entonces f es continua
en el punto x0.
Prueba: Para x0 6= x ∈ (a, b) tenemos que
f(x) =
(f(x)− f(x0))
(x− x0)
· (x− x0) + f(x0),
al tomar ĺımite para x→ x0 resulta
lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
(f(x)− f(x0))
(x− x0)
· lim
x→x0
(x− x0) + lim
x→x0
f(x0) = f
′(x0) · 0 + f(x0) = f(x0).
Lo cual prueba el teorema. �
Nota 2: De este teorema se sigue que si una función f no es continua en un punto x0, entonces f no es
diferenciable en x0.
Nota 3: La rećıproca de este teorema no vale; esto es: f continua en x0 no implica que f es diferenciable
en x0. Ver ejemplo 3.
Ejemplo 4: Sea p : R→ R la función definida por
p(x) =
 0 x ∈ Q
1 x ∈ R \Q
.
Luego la función f : R→ R definida por f(x) = x2p(x) es derivable solo en x = 0.
Derivadas laterales: Sea f : (a, b)→ R una función y sea x0 ∈ (a, b). Las derivadas por izquierday por
derecha de f en x0 se definen por
f ′(x−0 ) = lim
x→x−0
f(x)− f(x0)
x− x0
, y f ′(x+0 ) = lim
x→x+0
f(x)− f(x0)
x− x0
,
respectivamente, siempre que dichos ĺımites laterales existan en R.
7
Teorema 2: Una función f : (a, b)→ R es diferenciable en x0 ∈ (a, b) con f ′(x0) = α si y sólo si existen
y son finitas las derivadas laterales f ′(x−0 ), f
′(x+0 ) y f
′(x−0 ) = f
′(x+0 ) = α.
En el ejemplo 3 vimos para f(x) = |x| que f ′(0−) = −1 y f ′(0+) = 1, por lo cual pudimos concluir que
no existe f ′(0).
Ejemplo 5: Sea f : R→ R definida por
f(x) =
 x
3 x ≤ 0
x2 sen(1/x) x > 0
.
Calculemos f ′(0). En este caso debemos calcular las derivadas laterales en x = 0. Un computo da
f ′(0−) = lim
x→0−
f(x)− f(0)
x− 0
= lim
x→0−
x3 − 0
x
= lim
x→0−
x2 = 0,
por otro lado
f ′(0+) = lim
x→0+
f(x)− f(0)
x− 0
= lim
x→0+
x2 sen(1/x)− 0
x
= lim
x→0+
x sen(1/x) = 0.
Siendo f ′(0−) = f ′(0+) = 0, por el último teorema, se sigue que existe f ′(0) = 0.
A continuación calcularemos, por definición, algunas funciones derivadas.
Ejemplo 6: Si f(x) =
√
x, x ≥ 0, entonces f ′(x) = 1
2
√
x
para cada x > 0 y f no es derivable en x = 0.
En este caso tenemos que dom(f) = [0,+∞) y dom(f ′) = (0,+∞). Manipulando el cociente incremental
obtenemos
f(x)− f(x0)
x− x0
=
√
x−√x0
x− x0
=
1√
x+
√
x0
, si x0 > 0 y x 6= x0.
Al tomar ĺımite para x→ x0 resulta
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= lim
x→x0
1√
x+
√
x0
=
1
2
√
x0
, si x0 > 0.
Ya que f(x) =
√
x no esta definida para x < 0 dicha función no es derivable en x = 0. Más aún
lim
x→0+
f(x)− f(0)
x− 0
= lim
x→0+
√
x
x
= lim
x→0+
1√
x
= +∞.
Por lo tanto no existe f ′(0+) en sentido finito. Al pasar a la variable x tenemos que f ′(x) = 1
2
√
x
para cada
x > 0.
Ejemplo 7: Sea f(x) = xn con n ≥ 1 fijo. Veamos que f ′(x) = nxn−1.
Siendo xn − xn0 = (x− x0)(xn−1 + xn−2x0 + xn−3x20 + · · ·+ xxn−20 + x
n−1
0 ) se sigue que
f(x)− f(x0)
x− x0
=
xn − xn0
x− x0
= (xn−1 + xn−2x0 + x
n−3x20 + · · ·+ xxn−20 + x
n−1
0 ), ∀x 6= x0,
al tomar ĺımite sobre esta expresión para x → x0, por el Teorema 4 de las notas de clase sobre ĺımites y
teniendo en cuenta que hay n sumandos, resulta
f ′(x0) = lim
x→x0
xn − xn0
x− x0
= nxn−10 .
Al pasar a la variable x tenemos que f ′(x) = nxn−1 para todo x ∈ R.
8
Ejemplo 8: Si f(x) =
1
x
, para x 6= 0, entonces f ′(x) = − 1
x2
para cada x 6= 0.
Sea x0 6= 0 fijo, un computo da
f(x)− f(x0)
x− x0
=
1
x− x0
(
1
x
− 1
x0
)
= − 1
xx0
.
Al tomar ĺımite sobre esta expresión cuando x → x0 resulta f ′(x0) = −
1
x20
. Luego al pasar a la variable x
tenemos que f ′(x) = − 1
x2
para cada x 6= 0.
Ejemplo 9: Si f(x) = sen(x), entonces f ′(x) = cos(x).
Sea x0 ∈ R fijo, un computo da
f(x0 + h)− f(x0)
h
=
sen(x0 + h)− sen(x0)
h
= (− sen(x0))
(
1− cos(h)
h
)
+ cos(x0)
sen(h)
h
,
Sabemos que lim
h→0
1− cos(h)
h
= 0 y lim
h→0
sen(h)
h
= 1. Luego al hacer h → 0 en el cociente incremental de f
en x0 obtenemos que f
′(x0) = cos(x0). Por lo que f
′(x) = cos(x) para todo x ∈ R.
Ejemplo 10: Si f(x) = ln(x) para x > 0, entonces f ′(x) =
1
x
para x > 0.
Sea x0 > 0 fijo, un computo da
f(x0 + h)− f(x0)
h
=
ln(x0 + h)− ln(x0)
h
=
1
h
ln
(
x0 + h
x0
)
= ln
([
x0 + h
x0
]1/h)
,
ya que lim
h→0
[
x0 + h
x0
]1/h
= e1/x0 y la función logaŕıtmica es continua se sigue que
f ′(x0) = lim
h→0
ln
([
x0 + h
x0
]1/h)
= ln
(
e1/x0
)
=
1
x0
.
Luego f ′(x) =
1
x
para cada x > 0.
Ejercicio: Mostrar que si f(x) = ln(|x|), x 6= 0, entonces f ′(x) = 1
x
, para cada x 6= 0.
Ejercicio: Sea 0 < a 6= 1. Mostrar que si f(x) = loga(x), entonces f ′(x) =
1
x · ln(a)
.
A continuación estableceremos las reglas de derivación y la regla de la cadena, tales reglas nos permitirán
calcular las derivadas de la suma y producto de funciones y la derivada de una composición de funciones
respectivamente; también veremos el teorema de la derivada de la función inversa.
Reglas de derivación: Si f y g son funciones definidas sobre un intervalo (a, b) y derivables en un punto
x0 ∈ (a, b), entonces:
1. para cada α, β ∈ R fijos, la función αf + βg es derivable en x0 y (αf + βg)′(x0) = αf ′(x0) + βg′(x0);
2. la función f · g es derivable en x0 y (f · g)′(x0) = f ′(x0) · g(x0) + f(x0) · g′(x0).
3. Si además g(x0) 6= 0, entonces la función
f
g
es derivable en x0 y
(
f
g
)′
(x0) =
f ′(x0)g(x0)− f(x0)g′(x0)
[g(x0)]2
.
Highlight
9
Regla de la cadena: Sean f : (c, d) → R y g : (a, b) → (c, d) funciones tales que g es derivable en un
x0 ∈ (a, b) y f es derivable en g(x0), entonces la composición f ◦ g es derivable en x0 y
(f ◦ g)′(x0) = f ′(g(x0)) · g′(x0).
Nota 4: La validez de las reglas de derivación son una consecuencia inmediata de la definición de derivada
en un punto y de las propiedades de los ĺımites. La prueba de la regla de la cadena es un poco más elaborada.
Veamos algunos ejemplos de como utilizar tales reglas.
Ejemplo 11: Si f(x) = cos(x), entonces f ′(x) = − sen(x).
Ya que cos(x) = sen
(
π
2 − x
)
para todo x ∈ R, al aplicar la regla de la cadena, del ejemplo 9, se sigue que
cos′(x) =
[
sen
(π
2
− x
)]′
= sen′
(π
2
− x
)
·
(π
2
− x
)′
= cos
(π
2
− x
)
· (−1) = − sen(x), ∀x.
Ejercicio: Mostrar que si f(x) = tg(x), entonces f ′(x) =
1
[cos(x)]2
para todo x ∈ dom(tg).
Ejemplo 12: Sea f(x) = ln
(
[sen(x2)]2 + 2
)
+ x2 cos(x). Vamos a calcular f ′.
Primero observamos que dom(f) = R. Ya que ln es diferenciable sobre el (0,+∞) y [sen(x2)]2 + 2 > 0
para todo x y es diferenciable sobre R, y obviamente x2 cos(x) es diferenciable sobre R (por ser producto de
funciones dif.), entonces por la regla de la cadena y las reglas de derivación se sigue que f es diferenciable
sobre todo R, por lo tanto dom(f ′) = R. Luego, una vez más, por las reglas de derivación resulta
f ′(x) =
[
ln
(
[sen(x2)]2 + 2
)
+ x2 cos(x)
]′
=
[
ln
(
[sen(x2)]2 + 2
)]′
+
[
x2 cos(x)
]′
= ln′
(
[sen(x2)]2 + 2
)
·
(
[sen(x2)]2 + 2
)′
+ 2x cos(x)− x2 sen(x)
=
1
[sen(x2)]2 + 2
· 2 · sen(x2) · [sen(x2)]′ + 2x cos(x)− x2 sen(x)
=
1
[sen(x2)]2 + 2
· 2 · sen(x2) · cos(x2) · 2x+ 2x cos(x)− x2 sen(x)
=
4x sen(x2) cos(x2)
[sen(x2)]2 + 2
+ 2x cos(x)− x2 sen(x), ∀x ∈ R.
Ejercicio: Calcular la función derivada (especificando su dominio) de la función f(x) =
1√
1 +
√
1 +
√
x
.
Teorema de la derivada de la función inversa: Sea f : (a, b)→ R una función continua e inyectiva
en (a, b) tal que f es derivable en f−1(y0) = x0 ∈ (a, b). Si f ′
(
f−1(y0)
)
6= 0, entonces f−1 es diferenciable
en y0 y
(2) (f−1)′(y0) =
1
f ′ (f−1(y0))
.
La demostración de que f ′
(
f−1(y0)
)
6= 0 implica la diferenciabilidad de f−1 en y0 no es trivial, para la
misma se puede consultar el libro de texto: Calculus de Michael Spivak, Editorial Reverte (1999). Veamos
como se obtiene (2) a partir de la diferenciabilidad de f en f−1(y0) y de la de f
−1 en y0. Es claro que
(f ◦ f−1)(y) = y, ∀y ∈ f((a, b))
10
de la diferenciabilidad de f en f−1(y0) y de la de f
−1 en y0, por la regla de la cadena, se sigue que en y = y0
vale que
f ′(f−1(y0)) · (f−1)′(y0) = (f ◦ f−1)′(y0) = 1.
Luego se sigue (2).
Nota 5: Si f : (a, b) → R es una función continua e inyectiva en (a, b) tal que f es derivable en
f−1(y0) = x0 ∈ (a, b) y f ′
(
f−1(y0)
)
= 0, entonces f−1 no es diferenciable en y0. Pues si f
−1 fuese
diferenciable en y0, tendŕıamos que
0 = 0 · (f−1)′(y0) = f ′(f−1(y0)) · (f−1)′(y0) = (f ◦ f−1)′(y0) = (y)′y=y0 = 1,
lo cual es absurdo, luego f−1 no puede ser diferenciable en y0. Consideremos, por ejemplo, la función
f(x) = x3, es claro que f(0) = 0 y f ′(0) = 0, luego (por lo recién comentado) f−1(x) = x1/3 no es
diferenciable en 0. Esto también se puede ver por definición.
Ejemplo 13: Si f(x) = ex, entonces f ′(x) = ex para todo x ∈ R.
Sea g(x) = ln(x), x > 0, entonces g−1(y) = ey con y ∈ R. En el ejemplo 10 vimos que g′(x) = 1x para
cada x > 0, ya que g′(g−1(y)) = e−y > 0 para cada y ∈ R, por el teorema de la derivada de la función
inversa, se sigue que g−1 es diferenciableen cada punto de R y (ey)′ = (g−1)′(y) =
1
g′(g−1(y))
= ey. Ya que
f(x) = g−1(x) para todo x se sigue el ejemplo.
Ejercicio: Sea 0 < a. Mostrar que si f(x) = ax, entonces f ′(x) = ax · ln(a).
Ejemplo 14: Sean f : (a, b)→ R>0 y g : (a, b)→ R funciones diferenciables sobre el (a, b).
Si h(x) = [f(x)]g(x) para cada x ∈ (a, b), entonces h es diferenciable sobre el (a, b) y
h′(x) = [f(x)]g(x) ·
(
g′(x) ln(f(x)) +
g(x)f ′(x)
f(x)
)
, ∀x ∈ (a, b).
Siendo h(x) = [f(x)]g(x) = eg(x)·ln(f(x)) se sigue que h es diferenciable por ser composición de funciones
diferenciables. Luego al aplicar la regla de la cadena y el ejemplo 13 obtenemos que
h′(x) =
(
[f(x)]g(x)
)′
=
(
eg(x)·ln(f(x))
)′
= eg(x)·ln(f(x)) [g(x) · ln(f(x))]′
= [f(x)]g(x) ·
(
g′(x) ln(f(x)) +
g(x)f ′(x)
f(x)
)
, ∀x ∈ (a, b).
Sea f(x) = xx, x > 0. Calculemos f ′. Uno podŕıa utilizar la fórmula anterior, en lugar de eso vamos
a utilizar el razonamiento anterior que es más fácil de aplicar. En efecto, siendo f(x) = xx = ex·ln(x), al
derivar resulta
f ′(x) = (xx)′ =
(
ex·ln(x)
)′
= ex·ln(x)[x · ln(x)]′ = xx (ln(x) + 1) , x > 0.
Ejemplo 15: Si f(x) = arcsen(x), −1 < x < 1, entonces f ′(x) = 1√
1− x2
para cada −1 < x < 1.
Sabemos que la función g : (−π2 ,
π
2 ) → (−1, 1) definida por g(x) = sen(x), para x ∈ (−
π
2 ,
π
2 ), es una
biyección y por lo tanto invertible con inversa (continua)
g−1 : (−1, 1)→ (−π
2
,
π
2
),
la cual denotamos por g−1(x) = arcsen(x), x ∈ (−1, 1). Ya que g′(x) = cos(x) > 0 para todo x ∈ (−π2 ,
π
2 ) se
sigue que g′(g−1(x)) = cos(g−1(x)) > 0, ∀x ∈ (−1, 1), pues Im(g−1) = (−π2 ,
π
2 ). Luego, por el teorema de
11
la derivada de la función inversa, la función g−1(x) = arcsen(x) es diferenciable en cada punto x ∈ (−1, 1).
Siendo
sen(arcsen(x)) = x, ∀ x ∈ (−1, 1),
al aplicar la regla de la cadena resulta que
1 = (x)′ = [sen(arcsen(x))]′ = sen′(arcsen(x)) · arcsen′(x) = cos(arcsen(x)) · arcsen′(x),
por lo que
arcsen′(x) =
1
cos(arcsen(x))
, ∀ x ∈ (−1, 1).
Ya que, para cada 0 < x < 1 fijo, arcsen(x) es el ángulo cuyo seno es x se sigue que (ver figura abajo)
cos(arcsen(x)) =
√
1− x2, 0 < x < 1.
Figura 8
Para x = 0, tenemos que cos(arcsen(0)) = cos(0) = 1.
Ya que arcsen(−x) = − arcsen(x) ∀x ∈ (−1, 1), en particular, para −1 < x < 0, tenemos que
cos(arcsen(x)) = cos(− arcsen(x)) = cos(arcsen(−x)) =
√
1− (−x)2 =
√
1− x2.
En consecuencia hemos mostrado que cos(arcsen(x)) =
√
1− x2 para todo x ∈ (−1, 1). Finalmente
arcsen′(x) =
1√
1− x2
, ∀ x ∈ (−1, 1).
Análogamente se puede ver que si cos : (0, π) → (−1, 1) y la tg : (−π2 ,
π
2 ) → R, entonces sus respectivas
funciones inversas: arcos : (−1, 1)→ (0, π) y arctg : R→ (−π2 ,
π
2 ) son derivables y
arcos′(x) =
−1√
1− x2
, ∀ x ∈ (−1, 1), y arctg′(x) = 1
1 + x2
, ∀ x ∈ R.
12
A continuación listamos las derivadas calculadas.
f(x) = ax+ b, f ′(x) = a
f(x) = xn (n ∈ N), f ′(x) = nxn−1
f(x) = xα, (α ∈ R), f ′(x) = αxα−1
f(x) = sen(x), f ′(x) = cos(x)
f(x) = cos(x), f ′(x) = − sen(x)
f(x) = tg(x), f ′(x) =
1
[cos(x)]2
f(x) = ex, f ′(x) = ex
f(x) = ln(x), f ′(x) =
1
x
, ∀x > 0
f(x) = ln(|x|), f ′(x) = 1
x
, ∀x 6= 0
f(x) = ax (a > 0), f ′(x) = ax · ln(a)
f(x) = loga(x) (0 < a 6= 1), f ′(x) =
1
x · ln(a)
f(x) = arcsen(x), f ′(x) =
1√
1− x2
f(x) = arcos(x), f ′(x) =
−1√
1− x2
f(x) = arctg(x), f ′(x) =
1
1 + x2
Con esta lista junto con las reglas de derivación podemos calcular las derivadas de otras funciones com-
binadas.
Ejemplo 16: Calculemos la función derivada, especificando su dominio, de la función
f(x) = ln(|x3 + 1|) + e
−x2
√
x+ 2
.
Queda a cargo del lector verificar que dom(f) = (−2,−1)∪ (−1,+∞) y que f es derivable en cada punto de
su dominio. Por lo tanto dom(f ′) = dom(f) = (−2,−1) ∪ (−1,+∞). Luego
f ′(x) = [ln(|x3 + 1|)]′ +
[
e−x
2
(x+ 2)−1/2
]′
=
3x2
x3 + 1
− 2xe−x
2
(x+ 2)−1/2 − e
−x2(x+ 2)−3/2
2
,
para cada x ∈ dom(f ′).
13
Derivación logaŕıtmica: Dada una función f : (a, b) → R diferenciable sobre el (a, b), la derivación
logaŕıtmica consiste en considerar la función
h(x) = ln(|f(x)|),
teniendo en cuenta las propiedades del logaritmo, la expresión resultante para h puede ser más simple para
derivar que la expresión de f . Veamos como obtener f ′ a partir de h′, un computo da
h′(x) = [ln(|f(x)|)]′ = f
′(x)
f(x)
,
luego
(3) f ′(x) = f(x) · h′(x).
Bien puede ocurrir que f sea diferenciable en un x0 y f(x0) = 0, en ese caso h no estaŕıa definida en x0, sin
embargo en ciertos casos al realizar el producto en (3) tal singularidad ”desaparece”, uno también podŕıa
analizar por separado el valor de f ′(x0) en el caso de que f(x0) = 0, o sea por definición.
Ejemplo 17: Sea f(x) =
(1 + x2)
√
x− 1
(x+ 5)8ex
, x ≥ 1. Es claro que f es diferenciable para x > 1. En este
caso f ′ se puede obtener utilizando la regla de derivación para el cociente de dos funciones, se deja al lector
obtener la derivada de f de este modo. Para obtener f ′ aplicaremos derivación logaŕıtmica. Es claro que
f(x) > 0 para x > 1, luego
ln(f(x)) = h(x) = ln
(
(1 + x2)
√
x− 1
(x+ 5)8ex
)
= ln
(
(1 + x2)
√
x− 1
)
− ln
(
(x+ 5)8ex
)
= ln(1 + x2) +
1
2
ln(x− 1)− 8 ln(x+ 5)− x
al derivar resulta
f ′(x)
f(x)
= [ln(f(x))]′ = h′(x) =
2x
1 + x2
+
1
2(x− 1)
− 8
x+ 5
− 1,
al despejar f , obtenemos que
f ′(x) = f(x) · h′(x) =
(
(1 + x2)
√
x− 1
(x+ 5)8ex
)
·
(
2x
1 + x2
+
1
2(x− 1)
− 8
x+ 5
− 1
)
,
para cada x > 1.
Ejercicio: Calcular la función derivada de f(x) =
x
ex
, x ∈ R, de las siguientes dos maneras: utilizando la
regla de derivación de un producto de funciones y también por derivación logaŕıtmica. Este ejemplo ilustra
que la singularidad en x = 0 para la derivación logaŕıtmica ”desaparece” cuando se realiza el producto
resultante.
A continuación daremos unos ejemplos de como calcular la función derivada de funciones definidas a
trozos.
Ejemplo 18: Sea f : R→ R definida por
f(x) =
 x
3 x ≤ 0
x2 sen(1/x) x > 0
.
14
Calculemos la función derivada de f . Para x < 0 tenemos que (x3)′ = 3x2, en el ejemplo 5 vimos que
f ′(0) = 0, para x > 0 tenemos que (x2 sen(1/x))′ = 2x sen(1/x)− cos(1/x). Luego
f ′(x) =

3x2, x < 0
0, x = 0
2x sen(1/x)− cos(1/x), x > 0
,
donde dom(f ′) = dom(f) = R. Es la función derivada f ′ continua en x = 0?
Definición: Una función f : [a, b]→ R se dice diferenciable sobre [a, b] si f es diferenciable sobre el (a, b)
y existen y son finitas las derivadas laterales f ′(a+) y f ′(b−).
Ejemplo 19: La función f : [0, 1]→ R definida por
f(x) =
 x
2 ln(x), 0 < x ≤ 1
0, x = 0
.
es diferenciable sobre el [0, 1]. En efecto: si 0 < x < 1 tenemos que f ′(x) = 2x ln(x)+x. En x = 1, definimos
g(x) = x2 ln(x), ∀x 6= 0 , ya que g′(x) = 2x ln(x) + x ∀x 6= 0, y f(x) = g(x) para todo 0 < x ≤ 1 se
sigue que 1 = g′(1) = g′(1−) = f ′(1−). En x = 0 hay que calcular f ′(0+) por definición. Un computo da
f ′(0+) = lim
x→0+
x ln(x) = 0. Luego f es derivable sobre el [0, 1] y
f ′(x) =
 x ln(x) + x, 0 < x ≤ 1
0, x = 0
.
Derivación impĺıcita: Para abordar este tema vamos a introducir la notación de Leibniz para la derivada
de una función. Sea y = y(x), una función de x, escribimos
dy
dx
= y′(x).
La notación y′(x) fue introducida por Lagrange y
dy
dx
es la notación de Leibniz para la función derivada de
y en términos de x. Tal notación es de utilidad cuando se quiere aplicar la derivación impĺıcita. Veamos con
un ejemplo lo que significa derivar impĺıcitamente. Dada la ecuación
(4) x2y + y3 = 5,
y asumiendo que la variable y se puede expresar en términos de x, ahora nos preguntamos: ¿cómo podemos
calcular y′(x) sin despejar expĺıcitamente y en términos de x? Para responder a esta pregunta procedemos
como sigue: aplicamos el operador ddx a ambos miembros de la ecuación en (4), considerando alĺı que y = y(x),
al usar las reglas de derivación y la regla de la cadena, obtenemos que
d
dx
(x2y + y3) =
d
dx
(5)
d
dx
(x2y) +
d
dx
(y3) = 0
2xy + x2
dy
dx
+ 3y2
dy
dx
= 0
Al despejarresulta
dy
dx
=
−2xy
x2 + 3y2
.
Nótese que nuestra expresión para dydx involucra tanto a la variable x como a la variable y, hecho que puede ser
15
una incomodidad. Pero si sólo queremos encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva determinada
por la ecuación (4) en el punto (x0, y0) = (2, 1) (nótese que dicho punto satisface la ecuación (4)) no hay
dificultad
dy
dx
=
−2x0y0
x20 + 3y
2
0
=
−2 · 2 · 1
22 + 3 · 12
= −4
7
.
Luego la pendiente es − 47 .
El método recién ilustrado para encontrar dydx sin despejar expĺıcitamente a y en términos de x se llama
derivación impĺıcita.
Con un poco de práctica también se puede utilizar la notación prima para derivar impĺıcitamente. Por
ejemplo calculemos y′ sabiendo que
cos(y) +
√
xy2 = xy.
Al aplicar la derivada en notación prima, teniendo en cuenta que y = y(x), resulta
[cos(y) +
√
xy2]′ = [xy]′.
[cos(y)]′ + [
√
xy2]′ = x′y + xy′.
− sen(y) y′ + [
√
x]′ y2 +
√
x [y2]′ = y + xy′.
− sen(y) y′ + 1
2
√
x
y2 + 2
√
x y y′ = y + xy′.
Luego al despejar se obtiene y′.
Una de las ventajas de utilizar el operador ddx para derivar impĺıcitamente es que éste nos indica con
respecto a que variable se esta derivando. Por ejemplo uno podŕıa considerar en (4) x = x(y) y querer
obtener x′(y), sin despejar expĺıcitamente a x en términos de y, en ese caso se aplica el operador ddy a dicha
ecuación considerando que x = x(y). En efecto,
d
dy
(x2y + y3) =
d
dy
(5)
d
dy
(x2y) +
d
dy
(y3) = 0
2x
dx
dy
y + x2 + 3y2 = 0 =⇒ dx
dy
= −x
2 + 3y2
2xy
.
Lo cual verifica, incidental y formalmente, el teorema de la derivada de la función inversa para este caso.
Derivadas sucesivas o de orden superior: Dada una función f al tomar su derivada, si existe,
obtenemos una nueva función f ′, llamada función derivada de f . El concepto de derivada puede ser aplicado
ahora a la función f ′, dando lugar a otra función (f ′)′, el dominio de dicha función esta conformado por
aquellos x tales que f ′ es diferenciable. La función (f ′)′ se suele denotar convenientemente por f ′′ y recibe
el nombre de derivada segunda de f . Si aśı lo ”permite” la función f , podemos derivarla sucesivamente y
obtener las derivadas sucesivas f ′, f ′′, f ′′′, ..., etc.
La siguiente notación es utilizada para derivadas sucesivas de orden superior:
f (1) = f ′, f (k+1) = (f (k))′, k ≥ 1;
f (k) se llama la k-ésima derivada de f , siendo k ∈ N el orden de derivación.
Ejemplo 20: Si f(x) = x3 − 2x2 + 5, entonces f posee derivadas de todos los ordenes y
f ′(x) = 3x2 − 4x, f ′′(x) = 6x− 4, f ′′′(x) = 6, f (k)(x) = 0, ∀k ≥ 4.
Si f(x) = sen(x), entonces f posee derivadas de todos los ordenes y
16
f ′(x) = cos(x), f ′′(x) = − sen(x), f ′′′(x) = − cos(x), f (4)(x) = sen(x) = f(x), · · ·.
Si f(x) = ex, entonces f posee derivadas de todos los ordenes y f (k)(x) = ex, ∀k ∈ N.
Ejercicios adicionales 6.
Diferenciaión
(1) Sea x0 ∈ R y δ > 0, decimos que una función f : (x0 − δ, x0 + δ) → R es diferenciable en x0 si el
siguiente ĺımite existe en R
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
,
tal ĺımite se denota por f ′(x0). Mostrar que si f es diferenciable en x0, entonces
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
.
(2) Obtener la recta tangente al gráfico de las siguientes funciones en el punto (x0, f(x0)) para x0 =
−1, 0, 3 cuando tenga sentido.
(a) f(x) = 1x , (b) f(x) =
√
x, (c) f(x) = xn, (n ≥ 1), (d) f(x) = ex,
(e) f(x) = ln(x), (f) f(x) = cos(x), (g) f(x) = x−2, (h) f(x) = |x2 − 1|.
(3) Mostrar que f(x) = x1/3 no es diferenciable en x = 0.
(4) Utilizar las reglas de derivación para calcular las derivadas de las siguientes funciones.
(a) f(x) = tg(x), (b) f(x) = cotg(x), (c) f(x) = cosh(x), (d) f(x) = senh(x),
(e) f(x) =
x2 + 1
ln(x)
, (f) f(x) = tg(x) ln(|x|), (g) f(x) = sen(x) cos(x) + e
x
√
x
.
(5) Utilizar la regla de la cadena para obtener la función derivada de las siguientes funciones. También
determinar el dominio de dichas funciones y el de sus derivadas.
(a) f(x) =
√
1 +
√
1 +
√
x, (b) f(x) = sen2(cos(x)), (c) f(x) = ln
(
x2 + 1
x4 + 5
)
,
(d) f(x) = x ln (|x|) + cos(x) arcsen(x), (e) f(x) = eee
x
.
(6) Utilizar el método de derivación logaŕıtmica para calcular las derivadas de las siguientes funciones.
(a) f(x) = xx, (b) f(x) =
ex(x5 + 2x2)
2x cos(x)
, (c) f(x) = (x3 + x2 − 5)ex+x2 .
(7) Calcular f ′, f ′′ y f ′′′ para las funciones f del ejercicio 2.
(8) (a) Enunciar el teorema de la derivada de la función inversa.
(b) Calcular la función derivada de las siguientes funciones utilizando el teorema de la derivada de
la función inversa.
(i) f(x) = arcos(x).
(ii) f(x) = arctg(x).
(iii) f(x) = senh−1(x).
(9) Calcular la función derivada de las siguientes funciones. Determinar en qué puntos tales funciones
derivadas son continuas.
(a) f(x) =
{
x2 sen(1/x) x 6= 0
0 x = 0
, (b) f(x) =
{
x sen(1/x) x 6= 0
0 x = 0
.
Highlight
17
(10) Calcular la función derivada de las siguientes funciones determinando su dominio.
(a) f(x) = |x|+ |x+ 1|, (b) f(x) = |x sen(x)|, (c) f(x) = x|x|.
(11) Calcular f ′(a+) y f ′(b−) o determinar que no existen para las siguientes funciones en el intervalo
[a, b] indicado.
(a) f(x) =
√
x, x ∈ [0, 1]. (b) f(x) = x3/2, x ∈ [0, 3]. (c) f(x) =
{
sen(x)
x 0 < x ≤ 1
1 x = 0
.
(d) f(x) =
{
x2 ln(x) x ∈ (0, 1]
0 x = 0
. (e) f(x) =
{
x2 sen(1/x) x ∈ (0, 1]
0 x = 0
.
Highlight