Derivadas 1 - Erick Noguéz Vera

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DERIVADAS
La Derivada:
Sea f : (a, b) → R y sea x0 ∈ (a, b). Se define la derivada de la función
f en el punto x0 por
f ′(x0) =
df
dx
(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
en el caso que tal ĺımite exista. Si el ĺımite existe decimos que la función es
derivable en el punto x0.
Hacemos notar que si lim
h→0
f(x0+h)−f(x0)
h
existe, entonces lim
h→0
f(x0 + h) =
f(x0). De este modo toda función derivable en x0 es continua en x0.
En estas notas usaremos indistintamente las notaciones df
dx
(x) o f ′(x) para
denotar la derivada de la función f en el punto x.
Decimos que una función es derivable en un intervalo (a, b) si es derivable
en x para todo x ∈ (a, b).
Interpretación Geométrica de la derivada.
En la Fig 1, más abajo, observamos que el cuociente de diferencias
f(x0 + h)− f(x0)
h
es la pendiente de la cuerda al gráfico que une los puntos (x0, f(x0)) y (x0 +
h, f(x0 + h)).
1
Cuerda al Grafico
(x_0,f(x_0))
(x_0+h,f(x_0+h))
y=f(x) 2
4
6
8
10
y
–2 2 4 6x
Fig. 1
Ahora, en caso de existir f ′(x0) la función f es continua en x0 y, si hacemos
tender h a 0 el punto (x0 + h, f(x0 + h)) se acercará al punto (x0, f(x0)) y la
pendiente de la cuerda se acercará a lo que debeŕıa ser la pendiente de la recta
tangente al gráfico en el punto (x0, f(x0)). Aśı f
′(x0) es la pendiente de la
tangente al gráfico en el punto (x0, f(x0)).
Como además el punto (x0, f(x0)) está en dicha tangente tenemos que la
ecuación de la recta tangente al gráfico en el punto (x0, f(x0)) está
dada por
y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0) Ver Fig. 2.
2
Recta tangente a un grafico en un punto
(x_0,f(x_0))
y=f(x)
y=f ’(x_0)(x-x_0)+f(x_0)
–2
–1
0
1
2
3
4
y
–2 2 4 6x
Fig. 2
Derivadas Laterales:
Sea f : [a, b) → R y sea x0 ∈ [a, b). Se define la derivada por la derecha
de la función f en el punto x0 por
f ′+(x0) =
df
dx+
(x0) = lim
h→0+
f(x0 + h)− f(x0)
h
en el caso que tal ĺımite exista. Si el ĺımite existe decimos que la función es
derivable por la derecha en el punto x0.
Sea f : (a, b] → R y sea x0 ∈ (a, b]. Se define la derivada por la izquierda
de la función f en el punto x0 por
f ′−(x0) =
df
dx−(x0) = limh→0−
f(x0 + h)− f(x0)
h
en el caso que tal ĺımite exista. Si el ĺımite existe decimos que la función es
derivable por la izquierda en el punto x0.
Del teorema correspondiente sobre ĺımites se deduce que f es derivable
en x si y sólo śı la derivada por la derecha y por la izquierda ambas
existen y son iguales.
Ejercicio:
3
1. En que puntos es la función f(x) = |x| derivable? Calcule su derivada.
2. En que puntos es la función f(x) = |x| 32 derivable? Calcule su derivada.
Un ejemplo:
Todos sabemos que el gráfico de la función
p(x) = ax2 + bx + c
con a 6= 0 es una parábola. Nos proponemos ubicar su vértice.
El vértice de la parábola es el único punto en ella donde la recta tangente
es horizontal o sea el único punto donde la pendiente de la recta tangente es 0.
Es decir el único punto donde la derivada de la función p se anula. Calculemos
la derivada de p en un punto x. Se tiene
p(x + h)− p(x)
h
=
a(x + h)2 + b(x + h) + c− (ax2 + bx + c)
h
= 2ax + b + ah.
Aśı
p′(x) = lim
h→0
p(x + h)− p(x)
h
= 2ax + b.
Buscamos el valor de x donde esta derivada se anula, este es
x = − b
2a
.
Por lo tanto el vértice de la parábola esta situado en el punto
(− b
2a
, p(− b
2a
)) = (− b
2a
,−b
2 − 4ac
4a
).
Observación:
Es elemental que la derivada también puede expresarse por
f ′(x) = lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= lim
∆x→0
f(x + ∆x)− f(x)
∆x
= lim
y→x
f(y)− f(x)
y − x .
Algunas derivadas elementales:
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1. Si f(x) ≡ C con C ∈ R, entonces f ′(x) = 0.
Demostración:
Se tiene f(x+h)−f(x)
h
= C−C
h
= 0 y por lo tanto
f ′(x) = lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= 0.
2. Si f(x) = xn con n ∈ N, entonces f ′(x) = nxn−1.
Demostración:
Se tiene f(x+h)−f(x)
h
= (x+h)
n−xn
h
= 0 y por el Teorema del Binomio
(x + h)n − xn
h
=
(
n
1
)
xn−1 +
(
n
2
)
xn−2h + · · ·+
(
n
n
)
hn−1.
Aśı
f ′(x) = lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
=
(
n
1
)
xn−1 = nxn−1.
3. d sin
dx
(x) = cos(x).
Demostración:
Por la fórmula del seno de la suma tenemos
sin(x + h)− sin(x)
h
=
sin(x) cos h + cos(x) sin(h)− sin(x)
h
= sin(x)
cos(h)− 1
h
− cos(x)sin(h)
h
y la afirmación sigue del hecho que lim
h→0
cos(h)−1
h
= 0 y que lim
h→0
sin(h)
h
= 1.
4. d cos
dx
(x) = − sin(x).
Demostración:
Hágala como ejercicio imitando la demostración para el caso de sin(x).
Primeras Reglas de Derivación.
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1. Regla de la Suma.
Si f y g son derivables en x, entonces f + g es derivable en x y
(f + g)′(x) = f(x) + g(x).
Demostración:
Se tiene
(f + g)(x + h)− (f + g)(x)
h
=
f(x + h)− f(x)
h
+
g(x + h)− g(x)
h
y el teorema sigue haciendo tender h a cero en vista del teorema para el
ĺımite de la suma.
2. Multiplicación por Escalar.
Si f es derivable en x y λ ∈ R, entonces λf es derivable en x y
(λf)′(x) = λf ′(x).
Demostración:
Hágala como ejercicio.
3. Regla del Producto.
Si f y g son derivables en x, entonces f · g es derivable en x y
(f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x).
Demostración:
Se tiene
(f · g)(x + h)− (f · g)(x)
h
= f(x+h)
g(x + h)− g(x)
h
+
f(x + h)− g(x)
h
g(x).
Ahora como lim
h→0
f(x + h) = f(x) ya que f es continua en x por ser
derivable obtenemos l regla del producto al hacer tender h a 0.
4. Regla del Cuociente.
Si f y g son derivables en x y g(x) 6= 0, entonces f
g
es derivable en x y
(
f
g
)′(x) =
f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)
g2(x)
.
6
Demostración:
Como f es continua en x, ya que es derivable, y g(x) 6= 0 existe un
intervalo (−l, l) tal que g(x + h) 6= 0 para todo h ∈ (−l, l).
Ahora para h ∈ (−l, l) se tiene
1
h
(
f
g
(x + h)− f
g
(x)
)
=
f(x + h)g(x)− f(x)g(x + h)
g(x)g(x + h)
=
(f(x + h)− f(x))
h
g(x)
g(x)g(x + h)
− f(x)
g(x)g(x + h)
(g(x + h)− g(x))
h
y la fórmula sigue haciendo tender h a 0 ya que lim
h→0
g(x + h) = g(x)
debido a la continuidad de g en x.
Ejemplo:
Sabemos que para un natural n ∈ N se tiene dxn
dx
= nxn−1. Podemos
ahora calcular dx
−n
dx
con n ∈ N.
Se tiene
dx−n
dx
=
d
dx
(
1
xn
)
= −nx
n−1
x2n
= −nx−n−1.
Uniendo esto a lo anterior tenemos que la fórmula
dxm
dx
= mxm−1
es válida para cualquier entero m ∈ Z.
Ejercicio:
(a) Para las siguientes funciones determine en que puntos son derivables
y calcule su derivada.
a) x2 sin(x) b) x7 − 3x3 + 1 c) x3 cos(x) + 3 sin(2x)
d) sin2(x) e) x+1
x−1 f) tan(x)
g) sin)x)
x2+x−1 h)
sin)x)
cos(x)+x
i) |x|
j) [x] k) |x| · [x] l) |x|3
(b) Encontrar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f(x) =
x sin(x) en el punto (π
2
, π
2
).
(c) Encontrar los puntos del gráfico de f(x) = x3−2x2+x−2 en donde
la recta tangente
i) es paralela a la recta y = 2x + 3.
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ii) pasa por el punto (1, 1).
iii) es perpendicular a la recta y = −2x + 1.
La Regla de la Cadena.
La regla de la cadena se refiere a la derivada de la composicion de funciones
y dice lo siguiente:
Regla de la Cadena.
Sean f y g dos funciones tales que la composición g ◦ f existe.
Si f es derivable en x y g es derivable en f(x), entonces g ◦ f es
derivable en x y
(g ◦ f)′(x) = g′(f(x)) · f ′(x).
Idea de Demostración:
La que sigue no es exactamente una demostración pues en algún paso
podŕıamos estar dividiendo por 0. El alumno interesado puede buscar una
demostración verdadera en algún texto o tratar de hacerla por su cuenta.
Se tiene
g(f(x + h))− g(f(x))
h
=
g(f(x + h))− g(f(x))
f(x + h)− f(x) ·
f(x + h)− f(x)
h
.
Ahora como lim
h→0
f(x + h) = f(x) se tiene que
lim
h→0
g(f(x + h))− g(f(x))
f(x + h)− f(x) = g
′ (f(x)).
Por lo tanto lim
h→0
g(f(x+h))−g(f(x))
h
existe y
(g ◦ f)′(x) = lim
h→0
g(f(x + h))− g(f(x))
h
= g′(f(x)) · f ′(x)
lo que termina la seudo demostración.
Ejercicio: Calcular, en los puntos que exista, f ′(x) para:
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1. f(x) = sin(x2 + 1).
2. f(x) = tan(x+1
x−1).
3. f(x) = (x3 + 2x + 3)123.
4. f(x) = sin(cos(x2 + 1)).
5. f(x) = tan( 1
sin(x)
).
La Derivada de la Función Inversa.Una consecuencia de la regla de la cadena es la siguiente regla para la
derivada de la inversa de una función f cuando f ′ 6= 0.
Sea f una función invertible en algún entorno de x y sea f−1 su inversa.
Es posible probar, no lo haremos aqúı, que si f es derivable en x, entonces f−1
es derivable en el punto f(x). Calculemos ahora la derivada de la inversa.
Por la definición de inversa se tiene
f(f−1(x)) = x para todo x en algún intervalo.
Derivando la identidad precedente y usando la regla de la cadena obtenemos
f ′(f−1(x))(f−1)′(x) = 1
y por lo tanto, en el caso que f ′ (f−1(x)) 6= 0, se obtiene
(f−1)′(x) =
1
f ′ (f−1(x))
.
Observamos que, tomando x = f(y), esta última relación también puede
escribirse
(f−1)′(f(y)) =
1
f ′ (y)
.
Ejemplo: La derivada de la función arcotangente.
Sabemos que
tan(arctan(x)) = x
donde corresponde.
9
Derivando la identidad precedente obtenemos
1
cos2(arctan(x))
arctan′(x) = 1.
De la fórmula trigonométrica
1 + tan2(θ) =
1
cos2(θ)
poniendo θ = arctan(x) obtenemos
1
cos2(arctan(x))
= 1 + x2
y por lo tanto
arctan′(x) =
1
1 + x2
.
Ejercicio:
Calcular, donde corresponde, las derivadas de:
1. arcsin(x).
2. arccos(x),
Ejemplo: La derivada de la función ráız.
Sea q ∈ Z con q 6= 0. La función ráız q-ésima, f(x) = x 1q , se define donde
es posible como la inversa de la función ”elevar a la q”, g(x) = xq. Aśı
(x
1
q )q = x.
Derivando y aplicando la regla de la cadena obtenemos
q(x
1
q )q−1 · (x 1q )′ = 1
y por lo tanto
(x
1
q )′ =
1
q
x
1
q
−1.
Consideremos finalmente un racional r = p
q
∈ Q con p, q ∈ Z y q 6= 0. Se
tiene que
xr = (x
1
q )p.
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Derivando y aplicando la regla de la cadena obtenemos
(xr)′ = p(x
1
q )p−1
1
q
x
1
q
−1 =
p
q
x
p
q
−1 = rxr−1.
O sea hemos probado que
(xr)′ = rxr−1para cualquier racional r ∈ Q.
Por supuesto estas fórmulas son válidas para valores de x en el dominio de las
funciones involucradas.
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