Derivadas 2 - Erick Noguéz Vera

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TEOREMAS DE ROLLE, DEL VALOR MEDIO Y
CONSECUENCIAS.
El Teorema de Rolle.
Teorema de Rolle:
Sea f : [a, b] → R continua en el intervalo cerrado [a, b], derivable en
el intervalo abierto (a, b) y tal que
f(a) = f(b).
Entonces existe un punto c ∈ (a, b) ta que
f ′(c) = 0.
Teorema de Rolle
c
(c,f(c))
(b,f(b)
y=f(x)f(a)=f(b)
(a,f(a))
2
4
6
8
10
y
–2 –1.5 –1 –0.5 0.5 1x
Demostración:
Si f es constante en [a, b] se toma c como cualquier punto de (a, b) y se
tiene f ′(c) = 0.
En el caso en que f no es constante en [a, b] existe d ∈ (a, b) tal que
f(d) 6= f(a) = f(b). Supondremos por el momento f(d) > f(a) = f(b). Como
1
f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe c ∈ [a, b] tal que
f(c) = max
x∈[a,b]
f(x).
Como f(c) ≥ f(d) > f(a) = f(b) se debe tener
c ∈ (a, b).
Observamos que como f es derivale en c ambas derivadas laterales existen
y
f ′−(c) = f
′(c) = f ′+(c).
Como f alcanza su máximo en c se tiene que si h > 0, entonces
f(c + h)− f(c)
h
≤ 0
y en consecuencia
f ′(c) = f ′+(c) = lim
h→0+
f(c + h)− f(c)
h
≤ 0.
De manera análoga tenemos que si h < 0, entonces
f(c + h)− f(c)
h
≥ 0
y en consecuencia
f ′(c) = f ′−(c) = lim
h→0−
f(c + h)− f(c)
h
≥ 0.
Con esto hemos probado que
f ′(c) = 0
en el caso f(d) > f(a) = f(b). El caso restante, f(d) < f(a) = f(b), se
demuestra en forma análoga usando min en lugar de max. Esto termina la
demostración.
El Teorema del Valor Medio.
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Teorema del Valor Medio:
Sea f : [a, b] → R continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en
el intervalo abierto (a, b). Entonces existe un punto c ∈ (a, b) ta que
f(b)− f(a)
b− a = f
′(c).
Teorema del valor medio
c
(c,f(c))
(b,f(b)(a,f(a))
2
4
6
8
y
–2 –1.5 –1 –0.5 0.5 1x
Demostración:
Consideremos la función auxiliar
h(x) = f(x)− f(b)− f(a)
b− a (x− a)− f(a).
La función h es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el
intervalo abierto (a, b). Además
h(a) = h(b) = 0.
Por lo tanto por el Teorema de Rolle existe c ∈ (a, b) tal que
0 = h′(c) = f ′(c)− f(b)− f(a)
b− a
3
es decir
f ′(c)− f(b)− f(a)
b− a
como se queŕıa demostrar.
Ya sabemos que si f(x) ≡ C es una función constante, entonces ella es
derivable y f ′(x) ≡ 0. El rećıproco de esta afirmación es la siguiente conse-
cuencia del Teorema del Valor Medio.
Corolario:
Si f : (a, b) → R es derivable en (a, b) y
f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b),
entonces
f es constante en (a, b).
Demostración:
Argumentamos por contradicción. Si f no fuera constante existiŕıan dos
puntos d, e ∈ (a, b) con d < e tales que f(d) 6= f(e). Por el Teorema del Valor
medio tendŕıamos que existe c ∈ (d, e) ⊂ (a, b) tal que
f ′(c) =
f(e)− f(d)
e− d 6= 0.
Esta contradicción demuestra el corolario.
El corolario precedente tiene a su vez el siguiente corolario.
Corolario:
Sean f, g : (a, b) → R dos funciones derivables en (a, b) tales que
f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ (a, b),
entonces existe una constante C tal que
f(x) = g(x) + C para todo (a, b).
Demostración:
Se tiene (f − g)′(x) ≡ 0 en (a, b), por lo tanto
f(x)− g(x) = C para todo x ∈ (a, b)
4
como se queŕıa demostrar.
Otra consecuencia del teorema del Valor Medio es la siguiente proposición.
Proposición:
Sea f : (a, b) → R derivable en (a, b) tal que
f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b),
entonces
f(x) es monótona creciente en (a, b).
Demostración:
Argumentamos por contradicción. Supongamos que no, entonces existen
dos puntos d, e ∈ (a, b) con d < e tales que f(d) > f(e). Por el Teorema del
Valor medio tendŕıamos que existe c ∈ (d, e) ⊂ (a, b) tal que
f ′(c) =
f(e)− f(d)
e− d < 0.
Esta contradicción demuestra el corolario.
De manera totalmente análoga, y no damos la demostración, tenemos
Proposición:
Sea f : (a, b) → R derivable en (a, b) tal que
f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b),
entonces
f(x) es monótona decreciente en (a, b).
Ejercicio:
Determine los conjuntos donde las funciones siguientes son crecientes y el
conjunto donde son decrecientes.
1. f(x) = x3 + 2x2 − 7x + 5.
2. f(x) = x+1
x−1 .
3. f(x) = x
2+1
x2−1 .
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Derivadas de Orden Superior.
Si f : (a, b) → R es derivable en (a, b) su derivada f ′ es de nuevo una
función
f ′ : (a, b) → (a, b)
que podŕıa ser derivable y en caso de serlo se dice que f es dos veces derivables
y se define su segunda derivada, o su derivada de segundo orden, por
f ′′ = (f ′)′.
Por ejemplo
1.
(sin(x))′′ = (cos(x))′ = − sin(x).
2.
(arctan(x))′′ =
(
1
1 + x2
)′
= − 2x
(1 + x2)2
.
Si f ′′ es derivable en (a, b) es posible definir su tercera derivada, o derivada
de orden tres, por
f ′′′ = (f ′′)′.
Usaremos también para la segunda derivada las siguientes notaciones
d2f
dx2
(x) = f (2)(x) = f ′′(x).
Como ejercicio defina la derivada de orden n de f . Para la derivada que
acaba de definir usaremos indistintamente las notaciones
dnf
dxn
(x) = f (n)(x).
Para n = 1, 2 o 3 usaremos también la notación f ′, f ′′ y f ′′′.
Ejercicio:
Calcular:
1. (sin(x))′′′.
6
2. d
5x6
dx5
(x).
3. d
2 tan
dx2
(x).
4. f (3)(x) si f(x) = arctan(x).
Interpretación Geométrica de la Segunda Derivada.
Una función f : (a, b) → R se dice CONVEXA en (a, b) si la cuerda que
une cualquier par de punto (c, f(c) y (d, f(d), con a < c < d < b, al gráfico
está por arriba del gráfico en el intervalo (c, d). Esto es
f(x) ≤ f(d)− f(c)
d− c (x− c) + f(c) para todo x ∈ (c, d).
Funcion Convexa
cuerda
–1
0
1
2
3
4
y
0.5 1 1.5 2 2.5 3x
Fig. 3
Una función f : (a, b) → R se dice CONCAVA en (a, b) si la cuerda que
une cualquier par de punto (c, f(c) y (d, f(d), con a < c < d < b, al gráfico
está por abajo del gráfico en el intervalo (c, d). Esto es
f(x) ≥ f(d)− f(c)
d− c (x− c) + f(c) para todo x ∈ (c, d).
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Funcion Concava
cuerda
–4
–3
–2
–1
0
1
y
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
Fig. 4
Proposición:
1. Sea f : (a, b) → R dos veces derivable en (a, b) tal que
f ′′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b),
entonces
f(x) es convexa en (a, b).
2. Sea f : (a, b) → R dos veces derivable en (a, b) tal que
f ′′(x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b),
entonces
f(x) es concava en (a, b).
Demostración:
No daremos la demostración en esta versión de los apuntes.
Ejercicio:
Determine los conjuntos donde las funciones siguientes son convexas y el
conjunto donde son concavas.
8
1. f(x) = x3 + 2x2 − 7x + 5.
2. f(x) = x+1
x−1 .
3. f(x) = x
2+1
x2−1 .
Ejercicio:
Usando el ejercicio anterior y el ejercicio, que ya hizo, sobre sus conjuntos
de crecimiento bosqueje el gráfico de las funciones siguientes.
1. f(x) = x3 + 2x2 − 7x + 5.
2. f(x) = x+1
x−1 .
3. f(x) = x
2+1
x2−1 .
Solución:
F( x)=x^3+2x^2–7x+5
–10
–5
5
10
15
y
–6 –4 –2 2 4 6x
9
F( x)=(x+1)/(x–1)
–20
–10
0
10y
–6 –4 –2 2 4 6x
F( x)=(x^2+1)/(x^2–1)
–20
–10
0
10y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x
El Segundo Teorema del Valor Medio y la Regla de L’Hopital.
Segundo Teorema del Valor Medio:
10
Sean f, g : [a, b] → R continuas en el intervalo cerrado [a, b] y derivables
en el intervalo abierto (a, b). Supongamos además que g′(x) 6= 0 para todo
x ∈ (a, b). Entonces existe un punto c ∈ (a, b) ta que
f(b)− f(a)
g(b)− g(a) =
f ′(c)
g′(c)
.
Demostración:
Consideremos la función auxiliar
h(x) = (g(b)− g(a))f(x)− (f(b)− f(a))g(x).
La función h es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el
intervalo abierto (a, b). Además
h(a) = g(b)f(a)− f(b)g(a)
y
h(b) = −g(a)f(b) + f(a)g(b).
Aśı
h(a) = h(b)
y por el Teorema del Valor Medio existe c ∈ (a, b) tal que
0 = h′(c) = (g(b)− g(a))f ′(c)− (f(b)− f(a))g′(c)
es decir
f(b)− f(a)
g(b)− g(a) =
f ′(c)
g′(c)
como se queŕıa demostrar.
El Segundo Teorema del Valor Medio tiene la siguiente consecuencia que
es muy útil para calcular ĺımites indeterminados de la forma ′′ 0
0
′′
.
Corolario: (LA REGLA DE L’HOPITAL)
Sean f, g : (a− δ, a)∪ (a, a+ δ) → R dos funciones derivables en (a− δ, a)∪
(a, a + δ). Se supone que
lim
x→a
f(x) = 0,
lim
x→a
g(x) = 0
11
y
g′(x) 6= 0 en (a− δ, a) ∪ (a, a + δ).
Entonces si
lim
x→a
f ′(x)g′(x)
= l existe
se tiene que
lim
x→a
f(x)
g(x)
existe
y
lim
x→a
f(x)
g(x)
= l.
Demostración:
Podemos definir f(0) = 0 y g(0) = 0 de modo que las funcione sean con-
tinuas en el intervalo (a− δ, a + δ).
Para x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) tenemos, de acuerdo al Segundo Teorema
del Valor Medio,
f(x)
g(x)
=
f(x)− f(a)
g(x)− g(a) =
f ′(c)
g′(c)
donde c es un punto ”entre” a y x.
Como c tiende a a cuando x tiende a a obtenemos
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f(c)
g(c)
= l
como se queŕıa probar.
Ejercicio:
Use la Regla de L’Hopital para calcular
1. lim
x→0
arctan(x)
x
.
2. lim
x→0
sin(x)−x
x3
.
3. lim
x→0
2 cos(x)−2+x2
x4
.
4. lim
x→1
sin(x−1)
x2−1 .
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