Magnitudes y vectores

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Universidad Nacional de Jujuy Física 1 
Facultad de Ingeniería Año 2008 
 1 
 
MAGNITUDES Y CANTIDADES FÍSICAS. UNIDADES. 
 
Las leyes de la física se expresan en función de cantidades fundamentales: Longitud, 
masa y tiempo. 
La física es experimental. Los fenómenos observados deben ser medidos. Para medir una 
cantidad física se la compara con una unidad patrón adoptada convencionalmente. 
El resultado de una medición debe expresarse con un valor numérico y el símbolo de la 
unidad.. 
El sistema adoptado internacionalmente es el S.I. (Sistema Internacional) que tiene siete 
unidades básicas. 
 
Longitud m (metro) 
Masa kg (kilogramo) 
Tiempo s (segundo) 
Temperatura K (kelvin) 
Cantidad de sustancia mol 
Corriente eléctrica A (Ampere) 
Intensidad lumínica Cd (Candela) 
 
Otras cantidades físicas como el volumen, fuerza, densidad, superficie, presión, etc. Se 
expresan en función de las anteriores y se llaman cantidades derivadas y sus unidades: 
unidades derivadas. (N, Pa, Watt, Joule, etc.) 
 
Prefijos de potencia de 10 para las unidades 
 
Peta P 1000000000000000 
Tera T 1000000000000 
Giga G 1000000000 
Mega M 1000000
 
kilo k 1000 
hecto h 100 
deca da 10 
deci d 0,1 
centi c 0,01 
mili m 0,001 
micro  0,000001 
nano N 0,000000001
 
pico P 0,000000000001 
femto F 0,000000000000001 
 
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NOTACIÓN CIENTÍFICA 
 
En el mundo físico se presenta una variedad de números grandes o pequeños. Por ejemplo: 
La velocidad de la luz 300.000.000 m/s 3.10
8
 m/s 
Diámetro de un virus 0,00000001 m 1.10
-8
 m 
Su manejo se simplifica usando potencias de diez (10) o Notación científica. 
 
Para n
os 
 > 1 
10
0
 = 1 
El número de ceros corresponde al 
exponente de 10 
10
1
 = 10 
10
2
 = 100 
10
3
 = 1000 
Para n
os 
 < 1 
10
-1
 = 1
10
 =0,1 
El número de lugares después de la como 
decimal se corresponde con el exponente 
negativo de 10. 
10
-2
 = 1
10  10
 0,01 
10
-3
 = 1
10  10  10
 = 0,001 
 
La ventaja es que la multiplicación o la división se puede realizar sumando o restando 
respectivamente exponentes de 10,. 
Por ejemplo: 
10
2
 10
5
= 10
7
 
7,5  10
-3
2,5  10
-4
= 3  10
-3
 10
+ 4
= 30 
Aplicaciones 
 
 86.400= 8,6  10
4
 
 
 0,0000000398= 3,98 10
– 8
 
 
 
 
75  10
-11
5  10
-3
= 1,5  10
– 7
 
 
(3  10
6
)  (3  10
-2
)
(2  10
17
)  (6  10
5
)
= 2  10
– 18
 
Prefijos de potencia de 10 para las unidades utilizando notación científica 
 
Peta P 10
15
 
Tera T 10
12
 
Giga G 10
9
 
Mega M 10
6 
Kilo k 10
3
 
Hecto h 10
2
 
Deca da 10
1
 
Deci d 10
-1
 
Centi c 10
-2
 
Mili m 10
-3
 
Micro  10
-6
 
Nano n 10
-9 
Pico p 10
-12
 
Femto f 10
-15
 
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EXACTITUD O INCETIDUMBRE Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS 
 
Las mediciones físicas son sólo aproximadas y los valores obtenidos siempre estarán 
afectados por una “incertidumbre” o “error” (que depende del instrumento y de lo “buena” 
que resulte la apreciación del operador). 
Ejemplo: Ancho de página de un libro 21,6 cm con una incertidumbre de 1 mm 
 se expresa como (21,6  0,1) cm 
Se suele expresar la incertidumbre porcentual o error relativo porcentual (%) 
Ejemplo: % = 0,1 cm
21,6 cm
 100 = 0,5% 
Si se nos pide el área de la página y la longitud es 
longitud de página de un libro (27,90,1) cm  =0,4% 
 Área de la página 21,6 cm  27,9 cm = 603 cm
2
 
 
¿Cuál es el error en el área? 
Deben sumarse sus errores porcentuales (%) o sea A % = 0,5 % + 0,4 % =0,9 % 
 la incertidumbre en el área es A = 603 cm
2
  0,009 = 5 cm
2
 
 el área de la página es (603  5) cm
2 
En general al asignar un valor numérico a una cantidad ya suponemos determinado el 
grado de incertidumbre. 
Esa incertidumbre limita el número de dígitos que se usa para expresar esa cantidad. 
Los dígitos que quedan una vez que se ha acotado con el error el valor numérico de una 
medición se llaman cifras significativas. 
Ejemplo: 
Si decimos que un objeto tiene 2,00 m de longitud y expresamos que ésta se encuentra 
entre 1,95 y 2,05 m. 
Si se quiere dar una mayor precisión y queremos decir que la longitud está entre 1,995 m y 
2,005 m escribiríamos la longitud como 2,000 m. 
 
PROPAGACIÓN DE ERRORES 
 
Cuando se determina en forma indirecta el valor de una cantidad física el resultado tendrá 
un error debido a las incertidumbres de las cantidades que operan en el cálculo. Esto 
limita el número de cifras en el resultado quedando solamente las cifras significativas. 
Dos buenas reglas prácticas son: 
 El resultado de un cálculo que implica productos y/o cocientes no debe tener más 
cifras significativas que el dato con menor número de cifras significativas que 
interviene en el cálculo. 
 
Por ejemplo: 40212,96 m  3,8 m = 1,5  10
5
 m 
 7 cifras sign. 2 cifras sign. 2 cifras sign. 
 En el caso de sumas y/o restas, el resultado debe tener la misma cantidad de cifras 
decimales que el término con el menor número de lugares decimales. 
 
 Por ejemplo: 300,3 m + 0,000220 m = 300,3 m 
 1 cifras dec. 6 cifras dec. 1 cifras dec. 
 
 
 
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HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL 
 
Para que una fórmula matemática que relaciona las medidas de diversas magnitudes 
describa un fenómeno físico debe ser dimensionalmente homogénea (condición 
necesaria pero no suficiente). 
Por ejemplo: la suma de dos cantidades físicas sólo tiene sentido si los sumandos 
tienen las mismas dimensiones (y las mismas unidades) 
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CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES 
 
CANTIDADES 
ESCALARES 
Son aquellas que quedan completamente determinadas 
por un número que especifica su cuantía (módulo o 
magnitud) y un símbolo de la unidad. 
Operan según las reglas del cálculo algebraico 
Ejemplo: volumen, masa, temperatura, tiempo, etc. 
 
 
CANTIDADES 
VECTORIALES 
Son aquellas que, además del coeficiente numérico 
(módulo o magnitud) y del símbolo de la unidad, 
necesitan especificar su dirección y sentido. Estas 
cantidades se llaman vectores y operan de acuerdo al 
cálculo vectorial 
Ejemplo: vector desplazamiento, vector velocidad, 
vector fuerza, etc. 
 
 
El vector se representa gráficamente por un segmento orientado por una flecha y una 
longitud proporcional de su magnitud o módulo. 
 
 
 v

magnitud o módulo v

 
 A

 magnitud o módulo A

 
 
 
 
 
Ejemplo: 
El vector desplazamiento mide el desplazamiento de un cuerpo especificando la distancia 
que se ha movido, la dirección y el sentido en el cual se mueve: 
Distancia D: 5 m. 
Ángulo : 37º 
 
VECTORES 
Concepto de dirección 
En una línea recta 
 
 
Podemos dirigirnos en sentidos opuestos + ó – 
Definido el sentido decimos que la línea recta está orientada y la llamamos eje. 
Los ejes coordenados son líneas orientadas en las cuales el sentido positivo se indica con 
una flecha 
Una línea orientada define una dirección y un sentido. 
Las líneas paralelas orientadas en el mismo sentido definen la misma dirección. 
Si las orientaciones son distintas definen sentidos opuestos 
(aclaración: nosotros diferenciamos dirección de sentido) 
las direcciones en un plano se determinan por un ángulo que forman con una dirección de 
referencia (eje x) medido en la dirección contraria a las agujas de un reloj. 
- 
x 
y 
1 
2 
3 
4 
5 
1 2 3 4 5 
D = 5
  37º 
+ 
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Para determinar una dirección en el espacio 
necesitamos dos ángulos 
<180º 
(en sentido contrario a las agujas del reloj) 
 
 
 
 
PROPIEDADES DE LOS VECTORES 
IGUALDAD 
Dos vectores A y B son iguales (A = B ) si tienen 
el mismo módulo, dirección y sentido. 
 
 
REFLEXIVA: todo vector es igual a sí mismo A = A 
 
SIMETRÍA: si A = B B = A 
 
TRANSITIVA: A = B y B = C  A = C 
 
CLASIFICACIÓN DE VECTORES 
VECTORES LIBRES 
 
Son aquellos que cumplen la condición de igualdad y no necesariamente son 
coincidentes. Pueden ser trasladados paralelamente, sin variar. Ejemplo 
Momento de rotación  ; impulso angular L . 
La fuerza no es un vector libre, pues la acción de un 
cuerpo depende de su punto de aplicación. Las F1 y 
F2 si bien son iguales en módulo, dirección y sentido 
producen un momento de rotación distinto. 
 
 
 
 
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VECTORES DESLIZANTES 
 
Además de la condición de igualdad pueden actuar sobre la misma 
recta de acción, pero pueden tener distintos orígenes por ejemplo: el 
vector fuerza se puede aplicar en A o tirar con una cuerda en B. 
La fuerza es un vector deslizante 
 
 
 
VECTORES FIJOS O APLICADOS 
Son los que además de la propiedad de igualdad, tienen el mismo origen: por ejemplo: el 
vector velocidad v , el vector desplazamiento D 
 
VECTORES OPUESTOS 
Son los que tienen igual módulo, igual dirección y sentido opuesto (es el negativo de un 
vector A y – A ). 
 
OPERACIONES CON VECTORES 
SUMA Y RESTA DE VECTORES 
Hay dos maneras de operar: gráficamente y analíticamente 
GRÁFICAMENTE 
SUMA 
POLÍGONO 
 
No influye el orden en que se coloquen. 
 
PARALELOGRAMO 
 
 
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RESTA 
Para restar un vector A de otro B se suma el vector opuesto de B o sea -B 
 D = A – B 
se puede considerar como 
 D = A + ( – B) 
 
Cuando se suman o restan vectores debe cuidarse que sean de la misma naturaleza 
 
ANALÍTICAMENTE 
 
Componentes de un vector 
“Todo vector puede ser considerado como resultante de 
dos vectores de direcciones arbitrarias concurrentes en 
un punto sobre su recta de acción” 
Por el extremo de A se trazan paralelas a las direcciones 
arbitrarias a1 y a2 se obtienen vectores A1 y A2 que son 
las componentes del vector A (resultante) 
 
Es esta propiedad la que permite transformar la suma geométrica en algebraica 
 
Si las rectas a1 y a2 son perpendiculares se tendrán las componentes ortogonales o 
rectangulares del vector dado. 
para sumar o restar vectores se procede a encontrar las componentes ortogonales del 
vector dado, designadas con los índices x e y o sea Ax y Ay 
 
Los componentes son colineales en las direcciones x e y 
por lo que se puede operar algebraicamente con ellas y 
no son otra cosa que las proyecciones ortogonales de los 
vectores A y B sobre los ejes dados. 
 
cosx yA A A A sen     
cosx yB B B B sen     
 
Los vectores componentes del vector resultante son: 
 
 Cx = A  cos  + B  cos  
 Cyu = A  sen  + B  sen  
 
El módulo de C es: |C| = |Cx 
2
| + |Cy 
2
| 
 
Y la dirección de C es tg  = Cy
Cx
 
 
En el caso de adicionar varios vectores se extiende este procedimiento dado para dos 
vectores. 
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Supóngase que se dan los vectores V1 , V2, V3 , V4 y V5 cuyas magnitudes, direcciones y 
sentidos se dan a continuación. 
 
 
 
 
 
1) proyectamos en el eje, para i vectores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Se obtiene el componente Rx sumando las componentes del vector: 
 
Rx = Σ vi. cos i 
 
3) Luego se suman las componentes en y para obtener 
 
Ry = Σ vi. sen i 
 
4) Luego se suman las componentes Rx y Ry 
 
R
2
 = Rx
2
 + Ry
2
 
 
y obtenemos el módulo de R 
 
|R| = |R
2
x| + |R
2
y| 
 
5) Finalmente calculamos el ángulo de la resultante R con el eje x 
 
 tg R = 
|Ry|
|Rx|
  R = arc tg 
|Ry|
|Rx|
 
 
que da la dirección del vector R 
 
 
 
v1x = v1. cos 1 
v2x = v2. cos 2 
 
 
v5x = v5. cos 5 
 
v1x = v1. sen 1 
v2x = v2. sen 2 
 
 
v5x = v5. sen 5 
 
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PROPIEDADES DE LA SUMA Y LA RESTA DE VECTORES 
 
La suma vectorial es conmutativa La diferencia de vectores es anticonmutativa 
 
 D' = B – A 
 
 
 
 
 
 
 A – B  B – A 
D = B – A D  D' 
 
 
Antes de continuar con las otras operaciones entre vectores (producto y cociente) conviene 
introducir el concepto de vector unitario. 
 
VECTORES UNITARIOS ó VERSORES 
 
 Son vectores cuya magnitud es igual a 1 (uno). 
 Son adimensionales y se utilizan para señalar una dirección 
determinada. 
 
 
 
 Es conveniente emplear vectores unitarios en las direcciones 
de los ejes coordenados. 
 
 
 
 
 
 Supongamos dos vectores A

y B

, en el plano x-y, ambos pueden escribirse en 
función de sus componentes y de los versores como sigue. 
ˆ ˆ( )
ˆ ˆ( )
x y
x y
A i A j A
B i B j B
   
   

 
ˆ ˆ;x yi A j A   componentes vectoriales de A

. 
 
Si A

y B

, están en el espacio: 
ˆˆ ˆ( )
ˆˆ ˆ( )
x y z
x y z
A i A j A k A
B i B j B k B
     
     

 
 
|A| 
A

Av

|v| = 1 z 
î
x 
y ĵ
k̂

y 
ˆ
xi A
x 
ˆ
yj A
ˆ
yj A

ˆ
yj B
ˆ
xi B
A
B
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PRODUCTO ESCALAR 
 
Es posible definir otras operaciones con vectores además de la suma. Una de estas 
operaciones es el producto escalar; otra es el producto vectorial. 
Entonces dados los vectores 
ˆˆ ˆ( )
ˆˆ ˆ( )
x y z
x y z
A A i A j A k
B B i B j B k
     
     

 
θ es el ángulo que se forma entre los vectores A

 y B

. 
 
El producto escalar de dos vectores A

y B

, representado por el símbolo A B
 
 (leer "A 
multiplicado escalarmente por B"), se define como la cantidad escalar obtenida hallando el 
producto de las magnitudes de A

y B

 con el coseno del ángulo entre los dos vectores, 
 
cosA B A B   
  
 
Obviamente A B
 
 = A2 ya que el ángulo en este caso es cero. Si los dos vectores son 
perpendiculares (θ = π/2 o, cos θ = 0,), el producto escalar es cero. 
 
La condición de perpendicularidad se expresa por 0A B 
 
 . 
El producto escalar es conmutativo; esto es, A B B A
  
  ya que el coseno θ es el mismo en 
ambos casos. 
El producto escalar es distributivo con respecto a la suma; esto es ( )C A B C A C B  
     
   
Los productos escalares entre los vectores unitarios ˆˆ ˆ, ,i j k son 
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0
i i j j k k
i j j k k i
  
  
  
  
 
Escribiendo A

 y B

 en función de sus componentes rectangulares y aplicando la ley 
distributiva 
 
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )x y z x y zA B A i A j A k B i B j B k          
 
  
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
A B i i A B i j A B i k A B
j i A B j j A B j k A B
k i A B k j A B k k A B
        
        
        
 
   
  
  
 
 
Aplicando las relaciones entre los versores unitarios, obtenemos finalmente 
 
x x y y z zA B A B A B A B  
 
 
 
 
 
Resultado que tiene muchas aplicaciones 
 
2 2 2 2
x y zA A A A A A   
 
 
 
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Podemos aplicar las propiedades del producto escalar para derivar de manera sencilla la 
fórmula para la suma de dos vectores. De 1 2( )V V V 
  
 tenemos 
 
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2V V V V V V V V V      
      
  
 
Este resultadopuede extenderse sin dificultad a cualquier número de vectores. 
 
Supongamos que 
1 2 3 ... iiV V V V V     . 
Entonces 
2 2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3... 2 2 ... 2 ...V V V V V V V V V V        
      
      
 
O, en una notación compacta 
2 2 2i i j
todoslos todoslos
vectores pares
V V V V    
 
Ejemplo 
 
Encontrar el ángulo entre los vectores 
ˆˆ ˆ2 3A i j k    

 ˆˆ ˆ 2B i j k    

 
 
Calculamos primero su producto escalar, 
 
x x y y z zA B A B A B A B  
 
 A B = 2(- 1) + 3(1) + (-1)2 = - 1. 
 
 
 
Además 
 
4 9 1 14 3,74A unidades    

 1 1 4 6 2,45B unidades    

 
 
Por consiguiente tenemos 
 
1
cos 0,109
9,17
A B
A B
     
 

 

  θ = 96,5º 
 
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 13 
 
Producto vectorial 
 
El producto vectorial de dos vectores A

 y B

 representado por el símbolo A B
 
 (leer "A 
multiplicado vectorialmente por B"), se define como el vector perpendicular al plano 
determinado por A

 y B

 en la dirección de avance de un tornillo de rosca derecha que ha 
sido rotado de A

 hacia B

. Un tornillo de rosca derecha es aquel que, si colocamos nuestra 
mano derecha como se muestra en la figura con los dedos señalando en la dirección de la 
rotación, el tornillo avanza en la dirección del pulgar. La mayoría de los tornillos 
ordinarios son de rosca derecha. 
La magnitud del producto vectorial A B
 
 está dada por A B A B sen   
  
 
Otra regla sencilla útil para establecer la dirección de A B
 
 es la siguiente: Colocar el 
pulgar, índice y el dedo mayor de la mano derecha en la posición mostrada en la figura. 
 
 
 
 
Si el índice y el dedo mayor apuntan en las direcciones de A

 y B

, respectivamente, el 
pulgar apunta en la dirección de A B
 
. En realidad la regla es más general, y los vectores 
A

, B

 y A B
 
 pueden ser asignados sucesivamente a los dedos empezando por cualquiera 
de ellos, siempre que se mantenga el siguiente orden cíclico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De la definición del producto vectorial, llegamos a la conclusión de que 
 
A B B A   
  
 
 
ya que el sentido de rotación del tornillo se invierte cuando el orden de los vectores se 
cambia, de modo que el producto vectorial es anticonmutativo. 
 
 
Relaciones 
vectoriales en el 
producto 
vectorial 
Regla de la 
mano derecha 
para el producto 
vectorial 
Índice 
Pulgar 
Dedo Mayor 
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 14 
 
Si dos vectores son paralelos, θ = 0 o, sen θ = 0, y el producto vectorial es cero. Por 
consiguiente la condición del paralelismo puede expresarse por 0A B 
 
. 
Obviamente 0A A 
 
. 
 
Nótese que la magnitud del producto vectorial es igual 
al área del paralelogramo formado por los vectores, o 
es igual al doble del área del triángulo formado con su 
resultante. 
 
La magnitud del vector A B
 
 es 
A B A B sen   
  
. Pero B sen h 

 donde h es la 
altura del paralelogramo formado con A

 y B

 como 
lados. 
Así A B A h  
 
 = área del paralelogramo. 
 
 
El producto vectorial es distributivo con relación a la suma; esto es, 
 
( )C A B C A C B     
     
 
 
 
Los productos vectoriales entre los vectores unitarios es 
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0
ˆˆ ˆ ˆ ˆ( )
ˆ ˆˆ ˆ ˆ( )
ˆ ˆˆ ˆ ˆ( )
i i j j k k
i j j i k
j k k j i
k i i k j
     
    
    
    
 
 
Escribiendo A

 y B

 en función de sus componentes rectangulares, y aplicando la ley 
distributiva, tenemos 
 
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )x y z x y zA B A i A j A k B i B j B k            
 
 
 
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
A B i i A B i j A B i k A B
j i A B j j A B j k A B
k i A B k j A B k k A B
            
           
           
 
 
 
Aplicando las relaciones anteriores entre versores tenemos 
 
 
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y y xA B A B A B i A B A B j A B A B k         
 
 
 
 
 
Universidad Nacional de Jujuy Física 1 
Facultad de Ingeniería Año 2008 
 15 
 
La ecuación anterior también se puede escribir en la forma más compacta de determinante, 
 
ˆˆ ˆ
x y z
x y z
i j k
A B A A A
B B B
 
 
 
 
Ejemplo 
 
Hallar el área del paralelogramo determinado por los vectores 
 
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
x y z x y zA A i A j A k B B i B j B k           
 
 
 
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 3 2A i j k B i j k         
 
 
 
Solución: Calculemos primero el producto vectorial de A

 y B

, usando determinantes 
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ2 3 1 7 3 5
1 1 2
i j k
A B i j k        

 
 
 
Luego el área de un paralelogramo es 
 
 2 2 27 ( 3) 5 9,110A B unidades     
 