TEORIA N9 ANALISIS 1

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18/5/2021
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Análisis Matemático I 
• Ing. Roberto Lamas
• Prof. Adjunto Análisis Matemático I
Trabajo Practico N° 9
Razón de cambio. Interpretación física de la derivada.
Razón de cambio- Grado de variación – Coeficiente de 
variación.
Si tenemos dos cantidades relacionadas r = f(l) , 
entonces dr/dl = r´(l) representa la variación puntual de r 
con respecto a l. Es decir en cada punto como esta 
variando la cantidad r con respecto a la variación de l.
A esta variación se llama razón de cambio o grado de 
variación o coeficiente de variación.
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Ejemplos:
a A: área de una figura cuadrada
l: lado 
𝑑𝐴
𝑑𝑙
Como varia el área 
cuando varía el 
lado.
b V: volumen de una esfera
r: radio
𝑑𝑉
𝑑𝑟
Como varia el 
volumen cuando 
varía el radio.
c h: altura de una persona
t: tiempo
𝑑ℎ
𝑑𝑡
Como varia la 
altura de una 
persona cuando 
varía el tiempo.
Ejemplo1:
Un cuadrado se expande con el tiempo, Como se relaciona la 
razón de aumento del área del cuadrado con la razón de 
aumento de la longitud de su lado?
En cualquier instante el área A es una función de la longitud x 
del lado:
Asi que las razones relacionadas se obtienen derivando dicha 
expresión con respecto al tiempo.
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Ejemplo2:
Se inyecta aire a un globo esférico a razón de 20 pie3/min. 
A qué razón varia el radio cuando mide 3 pies?
Al ser inflado el globo, va aumentando su volumen, lo que 
me indicaría un aumento del radio.
El aire que se inyecta es el cambio de volumen con 
respecto al tiempo.
Y lo que se pide es : 
El volumen del globo esférico está dado por 𝑉 = 𝜋𝑟
Derivando con respecto al tiempo:
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 
4
3
𝜋 
𝑑(𝑟 )
𝑑𝑡
= 
4
3
𝜋 3𝑟 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 4 𝜋 𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
Pero = 20 
Por lo tanto 
20 = 4 𝜋 𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
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Despejando 
Así que : 
Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una 
recta coordenada (s) de modo que se conoce su posición 
s en esa recta en cada instante y esta dada por s=f(t); 
donde s es el desplazamiento con respecto a un punto fijo 
que llamaremos origen.
La función f se conoce como función posición, ley de 
movimiento o función espacio.
Velocidad
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Ejemplo: s = t2 – 4t +3
t s
0 3
1 0
2 – 1
3 0
4 3
5 8
Velocidad media
Sea s=f(t) la función 
posición de un objeto; 
en el instante t=t1 el 
objeto se encuentra en 
la posición P y en otro 
instante t=t2 se 
encuentra en la posición 
Q.
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Se define desplazamiento de la partícula en el instante que 
va desde t1 a t2 como:
Se define velocidad promedio del objeto en el intervalo de 
tiempo que va desde t1 a t2 como:
Ejemplo: Un auto recorre 30 km en 15 minutos ( 0,25 hs) , 
cual fue su velocidad promedio?
Si queremos saber que ocurre en el instante t1, deberemos 
tomar intervalos de tiempo cada vez más pequeños, cuanto 
más pequeño sea el intervalo mejor podremos saber que 
pasa en el instante t1.
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Se define velocidad en el instante t1 o simplemente 
velocidad en t1 como:
∆ → ∆ →
Se define velocidad instantánea o velocidad:
∆ →
Se llama rapidez al valor absoluto de la velocidad.
Rapidez = | velocidad| = | v(t) |
Aceleración media: Dada la función posición de un 
objeto s= f(t) se define aceleración media como la 
variación de la velocidad en un intervalo de tiempo.
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Se define aceleración instantánea como el límite de la am 
cuando 
∆ → ∆ →
∆ →
Ejemplo1:
Una roca lanzada verticalmente hacia arriba desde la 
superficie de la luna a una velocidad de 24 m/s, alcanza una 
altura de s = 24t – 0,8 t2 metros en t seg. 
a)Hallar la velocidad y aceleración de la roca en el instante t.
b)Cuanto tiempo tarda la roca en alcanzar su altura máxima?
c)Que altura máxima alcanza la roca?
d)Cuanto tiempo tarda la roca en alcanzar la mitad de su 
altura máxima?
e)Cuanto tiempo está la roca en el aire?
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Ejemplo2:
Los exploradores de un planeta sin aire, lanzaron una 
pesada piedra verticalmente hacia arriba desde la 
superficie a una velocidad de 15 m/seg. Si se supone que la 
aceleración de la gravedad en la superficie de ese planeta 
es “a” m/seg2, los exploradores esperaban que la piedra 
alcanzara una altura de s = 15t – 0,5 a t2 (m/seg2). La 
piedra alcanzo la máxima altura a los 20 segundos después 
de lanzada. Determinar el valor de “a”.
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