INTERVALOS

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Intervalo abierto y cerrado 
Definic ión de intervalo 
Se l lama intervalo a l conjunto de números rea les comprend idos 
ent re o tros dos dados: a y b que se l laman extremos del intervalo . 
Intervalo abierto 
Intervalo ab ierto , (a, b) , es e l conjunto de tod os los números 
reales mayores que a y menores que b . 
(a, b) = {x / a < x < b} 
 
Intervalo cerrado 
Intervalo cerrad o , [a, b] , es el conjunto de todos los números 
reales mayores o igua les que a y menores o iguales que b . 
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b} 
 
Intervalo semiabierto por la i zquierda 
Intervalo semiab ierto p or la izquie rda , (a, b] , es el conjunto 
de todos los números reales mayores que a y menores o igua les que 
b . 
(a, b] = {x / a < x ≤ b} 
 
Intervalo semiabierto por la derecha 
Intervalo semiab ierto p or la derecha , [a, b) , es e l conjunto d e 
todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b . 
[a, b) = {x / a ≤ x < b} 
 
Cuando queremos nombrar un conjun to de pun tos fo rmado por dos o 
más de es tos interva los , se ut i l iza e l s igno (unión) en tre e llos . 
Semirrectas 
Las semirrectas es tán de te rm inadas por un número . En una 
semirrec ta se encuen tran todos los números mayores (o menores) que 
él. 
x > a 
(a, +∞) = {x / a < x < +∞} 
 
x ≥ a 
[a, +∞) = {x / a ≤ x < +∞} 
 
x < a 
(-∞, a) = {x / -∞ < x < a} 
 
x ≤ a 
(-∞, a] = {x / -∞ < x ≤ a} 
 
Entornos 
Definic ión de entorno 
Se l l ama entorno de centro a y radio r , y se denota por E r(a) o 
E(a,r) , a l intervalo ab ierto (a-r, a+r). 
E r (a) = (a-r, a+r) 
 
Los entornos se exp resan con ayuda de l valor absoluto . 
E r (0) = (-r, r) se expresa tamb ién |x|<0 , o b ien, - r < x < r . 
E r (a) = (a-r, a+r) se expresa tamb ién |x-a|<0 , o b ien, a -r < x < 
a+r . 
Entornos latera les 
Por la izqu ie rda 
E r (a
-) = (a-r, a ) 
 
Por la d erecha 
E r (a
+) = (a, a+r) 
 
Entorno reducido 
Se emp lea cuando se quie re sabe r qué pasa en las prox im idades del 
punto , s in que in te rese lo que ocur re en d icho pun to . 
E r
* (a) = { x (a-r, a+r), x ≠ a} 
 
Valor absoluto de un número real 
Valor absoluto de un número rea l a , se esc r ibe |a| , es e l mismo 
número a cuando es pos it iv o o cero , y opuesto d e a, s i a es neg ativo . 
 
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0 
|x| = 2 x = −2 x = 2 
|x|< 2 − 2 < x < 2 x (−2, 2 ) 
|x|> 2 x< 2 ó x>2 (−∞ , 2 ) (2, +∞) 
|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5 
 − 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7 
Propiedades del valor absolu to 
1 Los números opuestos t ienen igua l valor absoluto . 
|a| = |−a| 
|5| = |−5| = 5 
2El valor absoluto de un producto es ig ua l a l producto de los 
valores absolutos de los fac tores . 
|a · b| = |a| ·|b| 
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10 
3El va lor absolu to de una suma es menor o igual que la suma 
de los valores absolutos de los sumand os . 
|a + b| ≤ |a| + |b| 
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| = |5| + |2| 3 ≤ 7 
Distancia 
La distanc ia en tre dos números reales a y b, que se esc r ibe d(a, 
b) , se de fine como e l va lor ab soluto de la dife rencia de ambos 
números: 
d(a, b) = |b − a| 
La distancia ent re −5 y 4 es: 
d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9|