variable aleatoria

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Variable aleatoria
 Definición de variable aleatoria
 Clasificación
 Función de distribución y función de densidad de 
probababiliades
 Función de distribución acumulada
 Ejemplos
Variables Aleatorias
Probabilidad y Estadística
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Definición
Sea S un espacio muestral asociado con el
experimento aleatorio E.
La función X: S →ℝ, que asigna a cada resultado s ϵ S,
un número real X(s), se denomina variable aleatoria.
Variables Aleatorias
Probabilidad y Estadística
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S RX
X
s x=X(s)
ℝ
Variables Aleatorias
Probabilidad y Estadística
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 El conjunto RX , definido por RX = { x ϵ ℝ : s ϵ S / X(s) = x } 
se denomina la imagen o recorrido de S por X. 
 Podemos considerar a RX como otro espacio muestral. 
 El espacio muestral (original) S corresponde a los resultados 
no numéricos (posiblemente) del experimento, mientras que 
RX es el espacio muestral asociado con la variable aleatoria 
X, que representa la característica numérica que puede ser de 
interés.
Variables Aleatorias
Probabilidad y Estadística
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S RX
X
s x=X(s)
RX: finito o infinito numerable →X: discreta
RX: infinito no numerable →X: continua
ℝ
Variables Aleatorias
Probabilidad y Estadística
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Ejemplos de Variables Aleatorias
 Variables aleatorias continuas (v.a.c): mediciones de corriente
eléctrica, longitud, pesión temperatura, voltaje, tiempo, peso
 Variables aleatorias discretas (v.a.d): proporción de partes
defectuosas en un conjunto de 1000 partes testeadas, número
de bits transmitidos que son recibidos con error, número de
imperfecciones sobre una superficie.
Variables Aleatorias
Probabilidad y Estadística
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Sea E un experimento aleatorio y S un espacio 
muestral. 
Sea X una variable aleatoria y B un suceso asociado 
con x , esto es B X . 
Si A S entonces
A= { s S: X(s) B } decimos que A y B son 
sucesos equivalentes.
Variables Aleatorias
Probabilidad y Estadística
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A y B son eventos equivalentes 
x=X(s)
S RX
X
x=X(s)
R
s x=X(s)
A B
Variables aleatorias discretas
Función de Distribución de Probabilidad
Probabilidad y Estadística
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Sea X una variable aleatoria discreta con posibles valores , 
, …. : f : RX → R es una función de
distribución de probabilidad de la variable aleatoria X si y sólo si:
Probabilidad y Estadística
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S RX
X
s x=X(s)
X: discreta fX: RX→[0,1]
ℝ
fX
Variables aleatorias discretas 
Función de Distribución de Probabilidad
Probabilidad y Estadística
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 Ejemplo 1 : La producción diaria de 850 autopartes contiene
50 artículos que no verifican los requerimientos de los
compradores. Dos autopartes son seleccionadas al azar, sin 
reemplazo del lote diario. 
 X: v. a que cuenta el número de artículos no-conformes en
la muestra
f(0)=
f(1)=
f(2)=
Función de Distribución de Probabilidad
Función de Distribución de Probabilidad
Probabilidad y Estadística
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f(
x)
x
Función de Distribución
Acumulada
Definición
Probabilidad y Estadística
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Probabilidad y Estadística
15
 Ejemplo 1 : La producción diaria de 850 autopartes contiene
50 artículos que no verifican los requerimientos de los
compradores. Dos autopartes son seleccionadas al azar, sin 
reemplazo del lote diario. 
 X: v. a que cuenta el número de artículos no-conformes en
la muestra
f(0)=
f(1)=
f(2)=
Función de Distribución
Acumulada
Ejemplo 1
Probabilidad y Estadística
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Función de distribución acumulada para el ejemplo 1
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Variables Aleatorias Continuas
Función de Densidad de 
Probabilidades
Probabilidad y Estadística
Sea X una variable aleatoria continua, f : R → R es una función de
densidad de probabilidad de la variable aleatoria X si :
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Función de Densidad de 
Probabilidades
La probabilidad está determinada por el área bajo la 
curva f(x).
Probabilidad y Estadística
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Función de Densidad de 
Pobabilidades
Si X es una variable aleatoria continua (v.a.c), entonces para 
cualquier x1 y x2
Probabilidad y Estadística
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Función de Densidad de 
Probabilidades
Ejemplo 2
X: diámetro de un agujero perforado en el componente de chapa.
Las especificaciones de fabricación establecen este diámetro en
12.5 mm. La mayoría de las perturbaciones aleatorias del proceso
dan como resultado diámetros mayores. Los datos históricos
muestran que X puede ser modelada por la siguiente función de
densidad de probabilidad
Probabilidad y Estadística
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Función de Densidad de 
Probabilidades
Ejemplo 2
Si una parte con un diámetro mayor a 12.60 mm es descartada, 
qué proporción de partes son desechadas? 
Esto es:
Probabilidad y Estadística
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Función de Densidad de 
Probabilidades
Función de densidad de probabilidades para el ejemplo 2.
Probabilidad y Estadística
Función de Densidad de 
Probabilidades
Ejemplo 2
Qué proporción de partes está entre 12.5 mm y 12.6 mm?
Dado que el área bajo la curva f(x) es igual a uno,
podemos calcular, también, esta probabilidad como:
Probabilidad y Estadística
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Función de Distribución
Acumulada
 Función de distribución acumulada para una
variable aleatoria continua X:
Probabilidad y Estadística
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Función de Distribución
Acumulada
 Para el ejemplo 2 F(x) consiste en dos expresiones:
Cuando x≥12.5
si
Probabilidad y Estadística
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Función de Distribución Acumulada
Caso continuo
 Para el ejemplo 2 F(x) consiste en dos expresiones, 
que pueden escribirse como: 
Probabilidad y Estadística
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Función de Distribución Acumulada
Caso continuo
Función de distribución acumulada para el ejemplo 2.
Probabilidad y Estadística
 Propiedades
Probabilidad y Estadística
28 Función de Distribución
Acumulada
Probabilidad y Estadística
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Función de Distribución
Acumulada: propiedades
 Propiedades
Probabilidad y Estadística
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Función de Distribución
Acumulada
 Propiedades
Probabilidad y Estadística
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Función de Distribución
Acumulada