Determinaccion de la pendiente e inclinacion de la recta en el planop

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Determinación de la inclinación y la pendiente 
 
·La inclinación se puede determinar por simple inspección cuando la pendiente de la recta 
tiene algunos valores particulares. 
 
 Si la Inclinación es 45|: Se determina a partir de un 
cuadrado 
 
 m= 1
a
a
 y la inclinación es entonces: α=45 
si la inclinación es de 135|. Entonces la pendiente m=-1 
 
 
En la figura, 
 
Para 30° . la pendiente es 
 m= 
3
31
3
3
*
3
1
3

a
a
 
la pendiente para 60° es entonces : 3 
Se deduce también que la pendiente de 120° es: - 3 
 
Resumen: 
 
m=1=α=45º 
m=-1, si α=135º 
m= 3
3
1
, si α=30º 
m=- 3
3
1
 , si α=150º 
m= 3 si α=60º 
m=- 3 , si α=120º 
 
Obs: 
1.- Lo valores de las pendientes para ángulos de múltiplos de 15| , se pueden determinar también 
por simple inspección. 
2.-Solo con estos valores se pueden determinar los parámetros de la pendiente y la inclinación por 
simple inspección 
Problemas de Aplicación: 
1) si la pendiente de una recta es - 3 ¿Cuál es su inclinación? 
R- 120º 
2) si la pendiente de una recta es m=
332
332


 ¿Cuál es la inclinación? 
R- 45º 
3) ¿Cuál es la inclinación de la bisectriz del primer y tercer cuadrante? 
R- 45º 
4) ¿Cuánto vale la pendiente de la bisectriz? 
R- 1 
5) ¿Cuánto vale la pendiente de la bisectriz del 2 y 4 cuadrante? 
R- -1 
6) En las figuras ¿Cuánto vale la pendiente de cada una de las rectas? 
 
 
 
 
 
Calcule la inclinación y pendiente de la recta que pasa por los puntos. 
1- P (1,4) Q (3,6) 2- P (-1,4) Q (-5,0) 
3- P (1+√3,2) Q (1,1) 4- P (5, 3+2√3) Q (3,-3) 
5- P (-7,1) Q (4, 1+11√3) 6- P (2,5) Q (-3,0) 
7- P (2√2,-2√2) Q (3√2,-√2) 8- P (4-5√3,2) Q (4-2√3,-1) 
9- P (1,3+4√3) Q (-5,3-2√3) 10- P (0,√3) Q (1,0) 
11- P (-√3,0) Q (0,1) 12- P (0,4) Q (4√3,0) 
 
Respuestas: 
1- m=1 ℓ=45° 2- m=1 ℓ=45° 3- 4- m=√3 ℓ=60° 
5- m=√3 ℓ=60° 6- m=1 ℓ=45° 7- m=1 ℓ=45° 8- m=√3 ℓ=60° 
9- m=√3 ℓ=60° 10- m=√3 ℓ=120° 11- m=√3 ℓ=30° 12-m=⅓√3 ℓ=30° 
 
En cada grafico determine la pendiente y la inclinación. 
 
 
 
 
Respuestas: 
1. m=1 ℓ=45° 2. m=⅓√3 ℓ=30° 3. m=1 ℓ=45° 4. m=0,65 ℓ=33° 
5. m= ℓ= 6. m = ℓ= 
Con calculadora científica: 
 1. P (2,3) Q (5,8) 2. P (-2,4) Q(3,7) 3. P (-2,1) Q (4,-9) 
4. P (2,-3) Q(-1,7) 5. P ( 8,6) Q (-4,1) 
 
Determinación de la ecuación de la recta: 
Hay distintas métodos para determinar la ecuación de la recta. 
1º caso:. 
Se conoce la pendiente y un punto contenido en la recta. 
Ej.1 
1.- Escribir la ecuación de la recta cuya pendiente se 
indica y que contiene el punto Po 
 M: 9 y Po: (6.4) 
 
 Y= mx + b 
 
 ¿b? 
 Si P (6.4) Є L satisface 
la ecuación 
 Po ( 6.4 ) Є L Y = 9x + b 
 4= 9 · 6 + b 
 4= 54 + b Forma general 
 b= -50 
 
Y= 9x – 50 
9x –y – 50 = 0 
Ax + By + C = 0 
3x + 4y +2= 0 
 Forma particular 
Ejemplo 2: 
 m= -¾ y Po (-2.1) 
 
 
 
Y= -3/4 + b 
1= -3/4 · - 2 +b 
1= 3/2 + b 
B= 1 – 3/2 
B= -1/2 
 
 
 Y= -3/4x – ½ F.P. /·4 
 4y = -3x – 2 
 
 Ejercicios: 
 
1. m = ½ ; Po = (2.-3) 
2. m = -3/5 ; Po = (-1.5) 
3. m = 6 ; Po = (3.-2) 
4. m = -4 ; Po = (4.-1/5) 
5. m = 2/7 ; Po = (0.4) 
6. m = ¾ ; Po = (1/2 . 1/3) 
 
 
 
Respuestas: 
1. F.P.: Y = 1 /2x + -4 F.G.:1x-8-2y = 0 
2. F.P: Y = -3/5x + 22/5 F.G.: 3x + 5y – 22 = 0 
3. F.P.: Y = 6x – 20 F.G.: 3x + 5y – 22 = 0 
4. F.P.: Y = -4x + 79/5 F.G.: 20x + 5y – 79 =0 
5. F.P.: Y = 2/7x + 4 F.G.: 2x – 7y + 28 = 0 
6. F.P.: Y = 3/5x + 1/30 F.G.: 18x – 30y + 1 = 0 
 
2º caso: 
Dado la inclinación y un punto contenido en la recta. 
 
 
 
Si = 120º ^ P (2,-1) -1= -√3 · 2 + b 
M = - 3 ^ P (2,-1) b = 2√3 – 1 
Y = - 3 + b 
-1= 3.2+b 
b=2 3 − 1 
Por lo tanto la ecuación es: y= 3 x+2 3 , que escrita en la forma general: : 3 x-y +2 3=0 
 
Inclinación m 
 45º 1 
 135º -1 
 30º 1/3 √3 
 60º √3 
 120º - √3 
 150º -1/3 √3 
Ejercicios de aplicación: 
Escriba la ecuación de la recta dada la inclinación y el punto contenido en ella.(grafique) 
1. Y = 300º ; P = (1 , √3) 
2. Y = 45º ; P = (√3,0) 
3. Y = 150º ; P = (1,-2) 
4. Y = 210º ; P = (1, 1) 
5. Y= 330º ; P = (-√3, 2) 
6. Y = 240º ; P = (0, 4) 
 Ecuación Canónica de la recta. 
 
 
 
 
 
 
Tag φ = 12 yy  = y 
 12 xx  x 
 
1y
2y
y
x1x 2x
12 yy 
12 xx 
1P
2P
o
 
 Tag φ = m 
 
12
12
yx
yy


= 
1
m
 
 
 
Si 2P =(x,y) 
 1P = ),( 00 yx 
 
10
0 m
xx
yy



 
 
)( 00 xxmyy  Ecuación Canónica. 
Considere los puntos: 
P(4,5)  Q(10,1) 
1) ecuación de la recta que contiene los puntos P y Q. 
 
 
 
Forma Canónica: 
P(4,5) Q(10,1) 
 
3
2
6
4
104
15



m 
02332
82153
3/
3
8
3
2
5
)4(
3
2
5
)5,4(,
3
2
0





yx
xy
xy
xy
Pm
 
Comprobación: 
02332..
3
23
3
20
1
3
20
10
3
2
3
2
)1,10(;
3
2







yxGF
b
b
by
by
bxy
Qm
 
 
 
 Distancia entre dos puntos en 
2 
 
 
 
 Pitágoras: 
dAB= 22 )())( yx  
 
Ejemplo de aplicación 
 
4
4
1
5
10
P
Q
d
6
52
1636


d
d
52
1636
)4(6
)51()410(
)1,10(
)5,4(
22
22




PQ
PQ
PQ
PQ
Q
P
 
 
Dado: A(-2,3) D(6,3) C(4,6) B(1,-5) 
1) Calcule el perímetro del cuadrilátero. 
2) Determine la ecuación de las diagonales del cuadrilátero. 
 
 
Método: Gráfico. 
 
85
2564
58 22



BD
BD
BD
 
13
94
32 22



CD
CD
CD
 
45
936
36 22



CA
CA
CA
 
73
964
38 22



AB
AB
AB
 
12
3
A
6

D
4
6 
C
5 
8
5
85
13
2
3
6
3 45
3
738
Perímetro: 
u2,28
7,66,34,95,8
45138973


 
 
 
 
Método: Analítico: (después de graficar, se definen los trazos). 
 
BD
d
b
AC
c
a





 





 
)3,6(
)5,1(
)6,4(
)3,2(
 
AB
b
a
CD
d
c














)5,1(
)3,2(
)3,6(
)6,4(
 
 
 
73649)8()3(
1394)3()2(
896425)8()5(
45936)3()6(
22
22
22
22




AB
CD
BD
AC
 
 
 
 
 
 
 
 Punto medio de un trazo en 
2 . 
 
 
 
 
 

1xxm 
1yym 1
12 xx 
12 yy 
2
),(
2
22
2
1
2
1
21
21
112
12
1
12
1
yxm
xx
m
xx
x
xxx
xxxx
yy
yy
xx
xx
m
m
m
m
m
m












P
Q
1x 2x
1y
2y
mmy
mx
qmpm 
),( xm yxm
1yym 
12 yy 
12 xx 1xxm P
Q
m
Ejemplo de aplicación. 
 
 
 
Ejercicios de aplicación: 
1.- Determine el punto medio de cada trazo cuyas coordenadas extremas se indican: 
1.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10) 1.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13) 
1.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8) 1.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12) 
1.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10) 1.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3) 
 
2.- Escriba la ecuación de la recta que contiene los puntos P y Q : 
 2.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10) 2.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13) 
2.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8) 2.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12) 
2.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10) 2.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3) 
3.- Escriba la ecuación de la simetral al trazo PQ : 
3.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10) 3.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13) 
3.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8) 3.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12) 
3.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10) 3.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3) 
 
m
7
5
5
3
1 9
)5,5(m
4.-Determine la medida del trazo PQ 
4.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10) 4.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13) 
4.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8) 4.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12) 
4.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10) 4.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3) 
5.-Calcule el perímetro de cada uno de los polígonos que se indican: 
5.1.- A(2,3), B(-3,-6) y C(4,7) 5.2.- A(2,6), B(-1,-10) y C(3,5) 
5.3.- A(-2,3), B(3,-6) y C(4,7) 5.4.- A(-5.5), B(-3,-6) C(2,7) y D(8,2) 
5.5.- A(2,6), B(-2,6) C(4,-3) y D(9,3) 
 
6.- Determine el área de cada uno de los polígonos cuyos vértices se indican: 
 
6.1.- A(2,3), B(-3,-6) y C(4,7) 6.2.- A(2,6), B(-1,-10) y C(3,5) 
6.3.- A(-2,3), B(3,-6) y C(4,7) 6.4.- A(-5.5), B(-3,-6) C(2,7) y D(8,2) 
6.5.- A(2,6), B(-2,6) C(4,-3) y D(9,3)