TEORIA_DE_RECTA_EN_EL_ESPACIO_Y_PLANO

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Algebra Y Geometría Analítica María Rosa Rodríguez-Graciela Abraham 
1 
 
APLICACIONES DE VECTORES 
 
 
Ecuación vectorial de la Recta en R
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POPyPOP  00 . Observamos que PPOPOP 00  . El vector PP0 es paralelo a 
APPA

 0 . 
La Ecuación vectorial de la recta en R
3
, determinada por 
 
0P y la dirección del vector A

, es: 
(1) APP

 0 , donde  es el parámetro de la recta. Cuando el parámetro varía desde 
 a , el punto P describe a la recta. 
Si escribimos la ecuación (1) en términos de sus componentes, obtenemos: 
),,(),,(),,( 000 cbazyxzyx  . 
Igualando las componentes homólogas, se tiene: 
(2) 








czz
byy
axx



0
0
0
 
 


a
xx 0 ; 

b
yy 0 ; 

c
zz 0 . Igualando las tres expresiones, se tiene: 
(3) 
c
zz
b
yy
a
xx 000 



 Ecuaciones cartesianas de la recta en R
3
 
 
 
Consideremos el punto 
),,( 0000 zyxP y un punto 
genérico ),,( zyxP tracemos una 
recta cualquiera que tiene la 
dirección de un vector ),,( cbaA

. 
Para encontrar la ecuación de la 
recta, ubicamos los vectores: 
Que son las ecuaciones paramétricas de la recta en R
3 . 
Si en (2) eliminamos el parámetro  , de cada ecuación obtenemos: 
 
P0 
P 
 
z 
 x 
y 
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2 
 
Observación: los números a, b, c, se llaman números directores de la recta. Y si llamamos 
 y, los ángulos que forman el vector A

, con los ejes coordenados. Los cósenos 
directores de las rectan serían  coscos,cos y 
 
 
 
Los cósenos directores tienen la propiedad que: 1coscoscos 222   
 
 
 
Recta determinada por 2 puntos 
 
 
 
 
 P 
 P1 
 P0 
 
 
 
 
 O 
 
 
 
 
 
La ecuación de la recta será: 
)( 010 PPPP  

 
 Ecuación vectorial de la recta que pasa por 2 puntos. 
),,(),,(),,( 010101000 zzyyxxzyxzyx   








)(
)(
)(
010
010
010
zzzz
yyyy
xxxx



 (5) 
 
Si de las ecuaciones (5) eliminamos el parámetro , se obtiene 
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx








 Ec. cartesiana de la recta que pasa por 2 puntos en R
3.
 
 
 
A
A
cos
A
A
cos
A
A
cos z
yx  
Ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por 2 
puntos en R
3
. 
 
 
Consideramos 2 puntos sobre la recta 
),,( 0000 zyxP y ),,( 1111 zyxP para 
encontrar la ecuación de la recta 
necesitamos conocer el vector 
dirección de la misma. 
Podemos considerar como vector 
dirección al vector que une P0 .con P1, 
es decir : 
 
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Ejemplos 
1. Encontrar la ecuación de la recta que tiene la dirección de )4,1,2( A

 y que pasa por el 
punto )4,1,2()7,2,1(),,()7,2,1( 0   zyxAPP

 
 











47
2
21
z
y
x
 Ecuación paramétrica 
 
4
7
1
2
2
1 




 zyx
 Ecuación cartesiana 
 
2. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,-1,5) y (3, 2,2). 
)( 010 PPPP  

 
)52,12,23()5,1,2(),,(  zyx 
)3,3,1()5,1,2(),,(  zyx 
 











35
31
2
z
y
x
 
3
5
3
1
1
2





 zyx
 
 Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos. 
 
Observación: 
Si estamos en R
2 
o sea que el punto 0P y el vector A pertenecen al plano XY, la expresión 1 
sigue siendo valida y la ecuación 2 se reduce a solo 2 ecuaciones: 





byy
axx


0
0
 Ecuación paramétrica de la recta en R
2 
 
 
Si eliminamos  queda 
b
yy
a
xx 00 

 ecuación cartesiana 
0)(
0)()(
00
00


aybxaybx
yyaxxb
 
Que tiene la forma A x + B y +C = 0 : Ecuación general o implícita de la recta en R
2 
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 De la ecuación (a) podemos escribir: 
 
hmxy
yx
a
b
x
a
b
y
xx
a
b
yy



00
00 )(
 
 
Donde m = 
a
b
 : pendiente de la recta, que se define como la tangente trigonométrica del 
ángulo de inclinación de la recta. Es decir: tgm  , y  es el ángulo que forma la recta con 
el semieje positivo x. 
 
 
 h α 
 
 
 0 x 
 
Si conocemos 2 puntos 
2
111000 ),(;),( RenyxPyxP la ecuación 4 sigue siendo valida: 






)(
)(
),(),(),(
010
010
010100
yyyy
xxxx
yyxxyxyx



 
Eliminando  tenemos: 
 
 
Ejemplo: Encontrar la ecuación cartesiana de la recta que pasa por )2,1(0P y es paralela al 
vector jiA

 2 
)1x()2y(2
1
2y
2
1-x 
tienese parámetro elinandolime,
2y
21x
)1,2()2,1()y,x(APP 0









 
 

2
1
2
1
2 xy
2
3
2
1
 xy Ecuación explicita. 
h se llama ordenada al 
origen : 00 yx
a
b
h  
 
)( 0
01
01
0
01
0
01
01 xx
xx
yy
yy
yy
yy
xx
xx









 
 
Ecuación cartesiana de la recta que pasa por 2 puntos 
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Ecuación vectorial del plano 
 
Dado un plano, consideramos un vector normal ),,( CBAN 

 al mismo. Para encontrar la 
ecuación del plano, consideramos un punto genérico P (x, y, z) del plano. 
Formamos el vector P, uniendo el origen con el punto P y hacemos el producto escalar de los 
vectores N

 y P

. 
 
 
 N

 
 
 
 
 h P

 
 
 
 
 
 
Se llega a la ecuación DPN 

 que es la ecuación vectorial del plano, donde N

 es un 
vector de modulo cualquiera perpendicular al plano y P

es un punto genérico. 
Si 00  hD entonces el plano pasa por el origen y la ecuación es 0PN

. 
Si ;0D su signo depende del sentido del vector N

; pues tomando N

 en vez de N

; D 
cambio de signo. Se adopta criterio siguiente. Consideramos N

 dirigido siempre desde el 
origen hacia el plano, de manera que D resulte positivo. 
 Por componentes la ecuación 1 queda: 
DzyxCBA ),,).(,,( 
 
DCzByAx  Ecuación cartesiana del plano. 
 
 
 
 
 
Recordemos que, el producto escalar 
se puede escribir: 
NPproyeccion.NPN

 . 
Si llamamos h = NPproyeccion

 
h= distancia desde el origen al plano. 
hNPN 

 
Como modulo de N

 y h son 
constantes independientes de P

, 
que,ctehN 

 
llamamos hN 

= D, 
 
P 
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Ecuación general de los planos que pasan por un punto 
 N

 
 
 
 0P PP0 
 P 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto el vector PP0 es perpendicular a N

 o sea )( 0PPN 

 y esto significa que el 
producto escalar es cero. Se obtiene: 
0)( 0  PPN

 Ecuación general de los planos que pasan por un punto. 
 
Por componentes tenemos: 
 
 
 
 
Llamamos 000 CzByAxD  
La ecuación cartesiana del plano que pasa por un punto es: 
 
 
 
Ecuación de un plano determinado por tres puntos 
 
Si conocemos tres puntos del plano ),,();,,();,,(333322221111 zyxPzyxPzyxP , para 
encontrar la ecuación del plano necesitamos determinar un vector normal al plano. 
 
 
0)(
0
0)()()((
0),,).(,,(
000
000
000
000




CzByAxCzByAx
CzCzByByAxAx
zzCyyBxxA
zzyyxxCBA
Para encontrar la ecuación de los 
planos que pasan por un punto, 
consideramos un vector normal 
al plano ),,( CBAN 

, un 
punto ),,( 0000 zyxP y un punto 
genérico P (x, y, z) contenidos en 
el plano. Uniendo el origen con 
cada punto obtenemos los 
vectores PyP0

 y formamos el 
vector 00 PPPP 

. 
DCzByAx  
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 Z N

 
 
 P1 
 
 P3 P2 
 
 Y 
 
 
 X 
 
Entonces usando la ecuación 0)( 0  PPN

 tenemos: 
0)( 1  PPN

 y remplazando el vector normal se obtiene: 
 0)()()( 11312  PPPPPP

 Ecuación del plano determinado por tres puntos. 
 
Se puede comprobar que esta expresión se puede escribir, mediante el determinante de tercer 
orden siguiente: 
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx



=0 Ecuación cartesiana del plano que pasa por tres puntos. 
 
Ejemplos: 
1.- Encontrar la ecuación del plano, perpendicular al vector (2,-1,2) y cuya distancia al origen 
es 6. 
La ecuación del plano es: 
Dzyx
hNDyhcomoDPN


),,(.)2,1,2(
.6

 
Calculamos D 
1822
 :es plano delecuación la,18
6.414



zyx
D
D
 
2.- Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1 , 0, 3); (-2,-4, 5) y (2,-1,3). 
Si unimos el punto P1 con los 
puntos P2 y P3 formamos los 
vectores 3121 PPyPP y podemos 
conocer un vector normal del 
plano haciendo el producto 
vectorial de los dos vectores 
contenidos en el plano. 
Es decir: 
)()(
)(
1312
3121
PPPPN
PPPPN




 
 
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Elegimos un punto como punto de paso. P1 (1 , 0, 3) y formamos los vectores 3121 PPyPP . 
Para encontrar la ecuación cartesiana, calculamos el determinante: 
 
0
011
243
31
330112
350412
301







 zyxzyx
 
Resolviendo el determinante, desarrollando por los elementos de la primera fila, se llega a la 
ecuación: 
 (2,2,7),N03)-(z7y21)-2(x 

con 
 
 
3.- Determinar la ecuación del plano que pasa por (-1,0,4) y es  al vector (5,3,-2) 
5 (x+1) + 3 y-0) -2 (z - 4) = 0 
La ecuación queda: 5x + 3y -2z + 13=0 
 
 
Ecuaciones de los planos coordenados 
Sea el plano de ecuación A x + B y + C z = D (1) veamos los siguientes casos: 
1. Si 00;0;0  DyBAC , la ecuación (1) queda 
cte
B
D
YDYB  = h . La ecuación Y = h, es la ecuación de un plano // al 
plano XZ. Si  00 Dóh Y = 0 Ecuación del plano XZ. 
 
2. Si 00;0,0  ByADC la ecuación (1) queda 
)(; ctek
C
D
ZDZC  ; La ecuación Z = k, es la ecuación de un plano // al plano 
XY; y Z = 0 Ecuación del plano XY. 
 
 
3. Si .0;0,0  DCBA La ecuación (1) queda cte
A
D
X  = t; entonces 
X = t Ecuación de un plano paralelo al plano YZ. 
 Por lo tanto X = 0 : Ecuación del plano YZ 
237z2y2x 
 
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Distancia de un punto a una recta 
 
Dada la recta APP

 0 y un punto 1P la distancia d del punto 1P a la recta se obtiene de 
la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 
 Hallar la distancia del punto )1,2,3(
1
P a la recta 
1
1
4
3
2
1






 zyx
 
)10,2,1(
102
142
012)(
)0,1,2(
)11,32,13();1,4,2();1,3,1(
01
01
010






kji
kji
APP
PP
PPAP





 
 
5;5
21
105
,211164
10510041)(
01


ddluegoA
APP


 
 
 
 
 
 
 
 
Formamos el triangulo de la figura y vemos que: 
senPPd .
10
 
Como para obtener  , necesitamos conocer el 
ángulo  , podemos transformar la ecuación 
multiplicando y dividiendo por A

. 
 
A
APP
d 



)( 01
 
Donde 10, PyPA

, es todo conocido. 
 
d 
P0 
 
 P1 
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10 
 
Mínima distancia entre dos rectas alabeadas 
 BA

 
 
 A

 
 
 
 
 d 
 
 
 P1 
 
 
Entonces: )(
01
PPproyecd
BA

 

 y recordando que 
v
vu
uproyec
v 



.
 , se llega a : 
 
BA
PPBA
d 




)()(
01 Mínima distancia entre las dos rectas 
 
Distancia de un punto al plano 
Dado un punto ),,( 0000 zyxP y un plano de ecuación 0 DXN

 . 
La distancia de un punto 0P ; a un plano 0 DPN

 es igual al valor que toma la ecuación 
del plano particularizada para el punto 0P , dividido por el modulo del vector normal. Es decir 
 Z N

 
 P0 
 d P1 
 H d 
 
 
 
 Y 
 
 X 
P0 
Sean las rectas APP

 0 
y BPP


1
 
La mínima distancia entre las 
dos rectas es el segmento d , 
de la perpendicular común a 
las dos rectas. 
Es por lo tanto la proyección 
del vector 
10
PP , sobre la 
dirección perpendicular a las 
dos rectas, que está dada por 
el vector BA

 . 
N
DPN
d 


 0 (1) 
 Para hallar la distancia d: 
distancia del punto 0P al plano, 
proyectamos el vector 
0
P , sobre 
el vector N

. 
La distancia d buscada es la 
diferencia entre 1OP y OH = h 
que es la distancia del origen al 
plano. 
 
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11 
 
 
 
Vimos que 
N
D
hDhN 

 = OH y que 
N
PN
Pproy
N
0
0




 . 
 Como además hPproyddhPoyPr
NN

00

 . Remplazando se tiene: 
 
 
N
DPN
N
D
N
PN
d



 00

, que es la expresión (1) 
 
 
Para fijar un signo a esta distancia siempre se mide desde el plano al punto, en el dibujo 
desde H a 
1P , y se considera signo positivo, cuando este sentido coincida con el del vector 
N

 y negativo en caso contrario. 
 
Paralelismo, perpendicularidad y ángulo 
 
Consideremos las rectas R1) 10 APP

 y R2) 21 APP

 y los planos ) 
11
DPN 

 y ) 22 . DPN 

 
De acuerdo a lo que vimos en la condición de paralelismo y perpendicularidad entre vectores, 
se tiene que: 
El ángulo entre las rectas es el ángulo entre los vectores dirección de las rectas: 
 1A

 
2
A

 
 1A

 
2
A

 
 
El ángulo entre los planos es el ángulo entre los vectores normales a ambos planos: 
 1N

 // 
2
N

 
 1N

 
2
N

 
 
El ángulo entre la rectay el plano es el ángulo complementario del que forman 
el vector dirección de la recta y el vector normal al plano. 
 
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1
N

 
1
A

 
 90 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: 
1. Hallar la distancia del punto (6,3,-2) al plano 2x-4y+z=2 
1
432
)1,4,2( 
zyx
N

 
21
4
21
223.46.2
1164;0







dd
N
N
DPN
d



 
 
El signo de d es positivo cuando al medirla desde el plano al punto, este sentido coincida con 
el del vector normal 
 
2. Hallar la mínima distancia entre las rectas. 
 
kji
kji
BA
BA
PPBA
d
P
zyx
rPr







3117
433
112
)()(
)4,3,3()1,2,2(
4
1
3
2
3
2
))1,1,2()3,2,1()
01
21













 
Dado que 
1
N

 
1
A

), entonces el 
ángulo que forma la recta con el plano es 
90
0
-  . 
Como cos 
 
 
 = sen (90º- . 
Entonces: 1A

 
1
N

 
 1A

 
1
N

 
 90
0-  
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13 
 
179
13
179912149
9117
1367
)2,0,1()3,11,7()()(
)2,0,1()3,2,1()1,2,2(
22
01
01






d
BA
BA
PPBA
PP



 
 
3. Encontrar la ecuación del plano  al vector )2,1,2(  y cuya distancia al origen es 6 
 
18
6.414
6.
22




D
D
ND
Dzyx

 
 
4. Encontrar la ecuación del plano que pasa por (1,0,3); (-2,-4,5) y (2,-1,3) 
Remplazamos en la ecuación cartesiana del plano 
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx



= 0 
 
022114932
011
243
31
330112
350412
201








xzzy
zyxzyx
 
 
La ecuación es: 023722  zyx 
 
5. Determinar la ecuación del plano que pasa por (-1,0,4) y es  al vector (5,3,-2) 
 
 
11435
0)4(4)0(3)1(5


zyx
zyx
 
 
6. Encontrar la ecuación de la recta intersección de los planos 2x + y – z = 3 y 
 3 x + 2 y + 2 z = 0. 
Para encontrar la ecuación formamos el sistema con las dos ecuaciones de los planos 
 – 
 
 y lo resolvemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algebra Y Geometría Analítica María Rosa Rodríguez-Graciela Abraham 
14 
 
(1) F2 – F1(-2) , (2) F2(-1) , (3) F1 – F2(-2) 
Escribimos el sistema equivalente: 
 
 
 
 
 
 
Llamamos z y obtenemos: 
 
 
 
 
 Ecuaciones paramétricas de la recta, con 
)1,7,4()0,9,6(
0
 AyP

 
7. Encontrar el punto de intersección de la recta 
32
1
4
2 zyx





, con el plano 
2 x – 3 y + 5 z = 2. 
Para encontrar el punto despejamos x e y de la recta en unción de z y remplazamos en 
la ecuación del plano: 
2
3
4
3
4
2
34
2


zxzx
zx
 



y
zy
32
1
1
3
2


z 
 3)2
3
4
(2 z ( 1
3
2


z ) + 5 z = 2, de donde se obtiene: 
 z = 6 / 29, remplazando en x e y, se tiene: 
x = 8 / 29, y = - 41 / 29. El punto de intersección es ( 8/29 , -41/29, 6/29)