-u1-Calculo-Vectorial

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2023
1.1 DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO Y EL ESPACIO Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Un vector libre, geométricamente puede ser caracterizado por un segmento orientado en el espacio, el cual contiene:
· Un origen, a considerar cuando interese conocer el punto de aplicación del vector.
· Una dirección o línea de acción, coincidente con la de la recta que la contiene o cualquier otra recta paralela.
· Un sentido, que viene determinado por la punta de echa localizada en el extremo del vector.
Vectores en 𝑹 𝟐 Los desplazamientos entre dos puntos del plano determinan los objetos geométricos llamados vectores. Características de los vectores en 𝑹 𝟐 Dos puntos a y b del plano geométrico definen un segmento.
Este segmento puede ser “dirigido” en dos sentidos, de a hacia b o de b hacia a, y se indica con una sagita o flecha en el correspondiente sentido. (figura 1) 
Definición: Se llama VECTOR EN EL PLANO a un segmento de recta dirigido. El punto inicial de la flecha (a) se llama “cola” del vector, y el punto terminal (b ) se llama “cabeza” del vector. Notación: Se escriben los dos puntos extremos (cola y cabeza) con una flecha en la parte superior 𝑎𝑏⃑ o 𝑏𝑎⃑. También se utiliza una sola letra minúscula con una flecha en la parte superior o la letra en negrita, así: 𝑎𝑏⃑ = 𝑣 = v.
 IMPORTANTE: ¿Cómo definimos un vector? 
Un vector v queda bien definido por: 
(1) La DIRECCIÓN, determinada por la pendiente de la recta que contiene al segmento.
 (2) La MAGNITUD, determinada por la distancia entre los dos puntos que definen el segmento (es siempre positiva). 
(3) El SENTIDO, depende de la orientación que se le da al segmento.
VECTORES EN R 3
Un vector de R 3 es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera:
Geométricamente a un vector de R 3 se representa en el espacio como un segmento de recta dirigido.
Suponga que se tienen los puntos. Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 hacia P2 tenemos una representación del vector (figura 2)
(figura 2)
Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida. (figura 2.1)
(figura 2.1)
Un par ordenado de números reales (a1, a2) se puede usar para determinar el vector representado por el segmento rectilíneo que une al origen con el punto (a1, a2) en un sistema de coordenadas rectangulares (figura 2.3). El vector determinado por el par ordenado de números reales (a1, a2) tiene la propiedad de que, si partimos del punto inicial, recorremos una distancia dirigida a1 paralela al eje x, y después recorremos una distancia dirigida a2 paralela al eje y, llegamos al punto terminal.(figura 2.3)
Inversamente, supongamos que se da el vector BC. Al dibujar líneas paralelas a los ejes de coordenadas por el punto inicial B y por el por el punto terminal C, podemos encontrar la pareja ordenada (a1, a2) que determina el vector; a1 = c1 - b1, a2 = c2 - b2.
Por tanto dado un punto P, hay una correspondencia biunívoca entre los vectores bidimensionales (R2 ) con P como punto inicial (figura 2.4) y pares ordenados de números reales, y en consecuencia llamaremos a una pareja de números reales.(figura 2.4)
1.2 Álgebra vectorial y su geometría
Principio del formulario
Final del formulario
El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.
 Se relaciona con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones, gráficas computacionales, entre otras.
Otra de las áreas que ha adoptado el álgebra lineal es la física, ya que a través de esta se ha logrado desarrollar el estudio de fenómenos físicos, describiéndolos mediante el uso de vectores. Esto ha hecho posible una mejor comprensión del universo.
Fundamentos
El álgebra vectorial se originó del estudio de los cuaterniones (extensión de los números reales) 1, i, j, y k, así como también de la geometría cartesiana promovida por Gibbs y Heaviside, quienes se dieron cuenta de que los vectores servirían de instrumento para representar varios fenómenos físicos.
El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos:
Geométricamente
Los vectores son representados por rectas que tienen una orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por números reales son definidas a través de métodos geométricos.
Analíticamente
La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números, llamados componentes. Este tipo de descripción es resultado de una representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas.
Axiomáticamente
Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica.
El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su representación en un sistema de referencia, que puede ser en una o más dimensiones. Entre los principales sistemas se encuentran:
· Sistema unidimensional, que se trata de una recta donde un punto (O) representa el origen y otro punto (P) determina la escala (longitud) y el sentido de esta:
· Sistema de coordenadas rectangulares (bidimensional), que está compuesto por dos rectas perpendiculares llamadas eje x y eje y, que pasan por un punto (O) origen; de esa forma el plano queda divido en cuatro regiones llamadas cuadrantes.
 En este caso un punto (P) en el plano es dado por las distancias que existen entre los ejes y P.
· Sistema de coordenadas polares (bidimensional). En este caso el sistema es compuesto por un punto O (origen) que es llamado polo y una semirrecta con origen en O llamada eje polar. En este caso el punto P del plano, con referencia al polo y al eje polar, es dado por el ángulo (Ɵ), que se forma por la distancia que existe entre el origen y el punto P.
· Sistema tridimensional rectangular, formado por tres rectas perpendiculares (x, y, z) que tienen como origen un punto O en el espacio. Se forman tres planos coordenados:
 xy, xz y yz; el espacio quedará dividido en ocho regiones llamadas octantes. La referencia de un punto P del espacio es dada por las distancias que existen entre los planos y P.
1.3. Producto escalar y vectorial
Producto escala
El producto escalar de dos vectores según su definición geométrica es la multiplicación de sus módulos por el coseno del ángulo que forman ambos vectores.
En otras palabras, el producto escalar de dos vectores es hacer el producto de los módulos de ambos vectores y el coseno del ángulo.
Se llama producto escalar porque el resultado del módulo siempre será un escalar, de la misma forma que también lo será el coseno de un ángulo. El resultado de esta multiplicación será un número que expresa una magnitud y no tiene dirección. En otras palabras, el resultado del producto escalar será un número, no un vector. 
Formulario del producto escalar 
 Ejemplo
Calcula el producto escalar de los siguientes vectores de tres dimensiones conociendo que el ángulo que forman es 45 grados.
Para calcular el producto escalar primero tenemos que calcular el módulo de los vectores:
Una vez hemos calculado los módulos de los dos vectores y conocemos el ángulo, solo falta multiplicarlos:
Por tanto, el producto escalar de los vectores anteriores es de 1,7320 unidades.
Producto vectorial
¿Qué es el producto vectorial? También recibe el nombre de “Producto vectorial Gibbs” o “Producto Cruz”. Se puede decir que se trata de una operación en la cual se multiplican dos vectores, obteniendo como resultado un tercer vector que es perpendicular a los vectores originales.El módulo resultante al obtener el producto vectorial de a x b (“vector a” x “vector b”) es igual a la multiplicación del módulo de a por el módulo de b.
El ángulo del vector resultante está orientado por los vectores a y b.
El vector resultante siempre es perpendicular a tanto al “vector a” x “vector b”.
La dirección del vector resultante es igual a la del eje coordenado Z respecto a los ejes coordenados X y Y; como si efectuase un giro de X hacia Y, siempre en dirección positiva de Z.
El producto vectorial tiene diversas utilidades. Por ejemplo, permite saber la magnitud resultante al aplicar dos fuerzas en un espacio tridimensional en un mismo objeto.
 Pero no solo permite saber la magnitud de dicha fuerza, sino la dirección de la misma. 
Fórmula del producto vectorial
Estas fórmulas deben tener en cuenta un par de aspectos. El primero es que el producto vectorial tiene una magnitud.
No obstante, la dirección del producto se consigue con la llamada “Regla de la mano derecha”.
Vamos a empezar con la fórmula. Hay que tener en cuenta que los vectores se expresan en el espacio tridimensional, lo cual quiere decir que cada vector tiene tres puntos de coordenadas: (X, Y y Z).
Vector a: XA, YA y la coordenada ZA. Por ende, vector a (XA, YA , ZA)
Vector b: XB, YB y la coordenada ZB. Por ende, vector b (XB, YB , ZB)
Entonces, para calcular de producto escalar es necesario aplicar la fórmula que mostramos a continuación:
I = Producto escalar
A x b = (XA, YA , ZA) . (XB, YB , ZB)= i (Xi, Yi, Zi)
I = Xi (YA ZB – ZAYB) – Yi (XA ZB – ZA XB) + Zi (XAYB – YA XB)
Se puede decir que es una fórmula un tanto engorrosa, empero es fácil de deducir. 
Ejemplo 
Calcular el producto y de los vectores c (2, 4, -5) y d (-3, -2, 1)
Aplicamos la respectiva fórmula y tenemos:
I = [(4)(1) – (-5) (-2)] –[(2)(1) –(-5) (-3)] + [(2)(-2) – (-2) (4)]
I = [4 -10] – [2 –15] + [-4+8]
I = –6, 13, 8
Es decir, que las coordenadas i = –6, 13, 8 corresponden a un vector que es perpendicular a los vectores originales c (2, 4, -5) y d (-3, -2, 1).
Con la intención de que nuestros lectores dominan el tema de este producto, vamos a mostrar algunos ejercicios con sus resultados. No colocaremos el procedimiento paso a paso, solamente las respuestas.
 La idea es que las personas practiquen y logren los resultados adecuados en el cálculo de este producto.
· Calcular el producto vectorial de: e (1, -3, -4) y f (-2, 1, 1). Respuesta: i = –7, -9, -5
· Calcular el producto vectorial de: g (2, -7 y h (-3, -4). Respuesta: i = –28, 21, -8
1.4 ECUACIÓN DE LA RECTA.
Definimos una recta  como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto  y con una dirección dada .(figura 1.1)(figura1.1)
Consideremos el sistema de referencia R=(0;i,j) y r la recta que pasa por A y lleva la dirección u.
Sea X un punto cualquiera de la recta r, entonces el vector AX es proporcional al vector u por estar en la misma dirección.
AX = TU, siendo t un número real cualquiera (parámetro).
Sean a y x los vectores de posición de los puntos A y X, respectivamente. Observa la figura y obtendrás:
x=a+AX= a+tu, es decir, x=a+tu, con t perteneciente a los reales. Esta igualdad se llama ecuación vectorial de la recta r(A, u). Dando valores al parámetro t, se obtiene un conjunto de vectores de posición de puntos que pertenecen a la recta r.
ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA RECTA.
Sean (x,y), (x1,y1) y (a,b) las coordenadas de los vectores x, a y u, respectivamente. Sustituyendo en la ecuación vectorial, resulta:
x=a+tu
(x,y)=(x1,y1)+ t(a,b)= (x1+ta, y1+tb)
Igualando las componentes de ambos vectores, se obtiene:
x= x1+ta, y=y1+tb con t perteneciente a los reales.
Ecuación vectorial de la recta
Si  es un punto de la recta , el vector  tiene igual dirección que , luego es igual a  multiplicado por un escalar 
 
De la resta de los vectores  se obtiene
Despejando  de la ecuación anterior se obtiene  la ecuación vectorial de la recta
 
Ejemplo: Una recta pasa por el punto  y tiene un vector director . Escribir su ecuación vectorial. 
Sustituimos el punto y el vector director en la fórmula de la ecuación vectorial de la recta
y obtenemos 
Ecuaciones de la recta en R3
Sabemos que una recta en R2R2 puede expresarse por la ecuación:
y=ax+by=ax+b
Pero ¿qué representa esta ecuación en R3R3? En R3R3 es un plano paralelo al eje zz, y en R2R2 es una recta (figura 1.2 y 1.3)
(figura 1.2) ( figura 1.3)
Para definir un plano es suficiente conocer un vector perpendicular al plano y un punto del mismo. ¿Qué datos permiten definir una recta en R3R3?
Para definir en forma vectorial una recta en R3R3, es suficiente conocer un punto de la recta y un vector director que indique la dirección de la misma, o sea un vector paralelo a la recta.
Ecuación vectorial de la recta
Dados un vector ⃗v=(v1,v2,v3)v→=(v1,v2,v3) y un punto P0(x0,y0,z0)P0(x0,y0,z0), nos proponemos hallar la ecuación de la recta rr que pasa por el punto P0P0 y es paralela al vector ⃗vv→.
Consideremos un punto P(x,y,z)P(x,y,z) perteneciente a la recta r. El vector −−→P0PP0P→ resultará paralelo al vector director ⃗vv→:
P0P=α⃗v
(x–x0,y–y0,z–z0)=α(v1,v2,v3)
(x,y,z)=(x0,y0,z0)+α(v1,v2,v3), α∈R Ecuación vectorial de la recta
1.5 ecuación del plano
En geometría analítica, la ecuación de un plano es una ecuación que permite expresar matemáticamente cualquier plano. De modo que para hallar la ecuación de un plano solo se necesita un punto y dos vectores linealmente independientes que pertenezcan a dicho plano.
¿Cuáles son las ecuaciones del plano?
Como hemos visto en la definición de la ecuación de un plano, se puede expresar cualquier punto de un plano plano como combinación lineal de 1 punto y 2 vectores.
Así pues, todos los tipos de ecuaciones del plano son: la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas, la ecuación implícita (o general) y la ecuación canónica (o segmentaria) del plano. 
Independientes.
Si el punto es P=(x0,y0, z0) y los vectores son u=(u1, u2, u3) y v=(v1,v2,v3), las ecuaciones son:
Ecuación vectorial del plano
Dados un punto y dos vectores directores de un plano:
La fórmula de la ecuación vectorial de un plano es: 
Equivalente a : (x,y,z) = (x0,y0, z0) + λ(u1, u2, u3) + μ(v1,v2,v3)
Ecuación paramétrica: 
Ecuación Implícita: Ax + By + Cz + D = 0
Ejemplo 
Determina la ecuación vectorial del plano que contiene el vector \vv{\text{u}}=(0,-2,3) y pasa por los siguientes dos puntos: A(1,3,-1) y B(2,-1,5).
Para averiguar la ecuación de un plano se necesita un punto y dos vectores y en este caso solo tenemos un único vector, por lo que debemos hallar otro vector director del plano. Para ello, podemos calcular el vector que definen los dos puntos del plano:
Ahora ya sabemos dos vectores directores del plano y un punto, de modo que utilizamos la fórmula de la ecuación vectorial del plano:
Y sustituimos los dos vectores y cualquiera de los dos puntos del plano en la ecuación: 
1.6 aplicaciones
El vector es un tema que posee sus aplicaciones esenciales tanto en la física como en las Matemáticas.
El vector forma la base del cálculo vectorial en Matemáticas y además es un concepto importante en Física.
Aplicación de los Vectores en Física
Magnitud y Dirección de la Fuerza Resultante: Si la fuerza F1 , F2 ,F3 y así sucesivamente hasta Fn actúa sobre una partícula, entonces la fuerza resultante actuando en la partícula es F = F1+F2+F3+ … + Fn .
Aquí, el módulo de F será de la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la partícula.
Trabajo: Si una partícula se desplaza des del punto A al punto B bajo la influencia de la fuerza, entonces el trabajo W realizado por el vector fuerza F está dado por W = F . AB , lo cual es igual a |F| AB cos ( ), donde es el ángulo entre y , lo que a su vez es equivalente a (magnitud de la fuerza) x (desplazamiento en la dirección de la fuerza).
Velocidad relativa: Si las velocidades de las partículas A y B son y , respectivamente, entonces la velocidad de B respecto a A es - y la velocidad deA respecto a B es - .
Rapidez: Aunque la velocidad es en sí misma una cantidad escalar, esta es una aplicación física del vector ya que representa el valor absoluto de un vector, el cual es el vector velocidad. Dado un vector velocidad, la rapidez puede ser calculada mediante el cálculo del valor absoluto del mismo como | |. Esto puede escribirse con mayor precisión como, s = | d/ t | Aquí, d es la cantidad de desplazamiento y t es la diferencia de tiempo desde cuando la partícula se encontraba en la posición final hasta cuando la partícula se encontraba en la posición inicial.
Velocidad: El vector velocidad representa la razón de variación del movimiento de una partícula de una posición a otra. La fórmula para calcular la velocidad de una partícula es, v = d / t. Podemos observar que es la misma fórmula para la rapidez de una partícula, excepto por el hecho de que aquí no se determina el valor absoluto de la solución.
Además de estas aplicaciones físicas, un vector o un espacio vectorial pueden también tener aplicaciones geométricas:
Recta: Asuma que un vector se encuentra paralelo a otro vector, digamos . Entonces la ecuación de la recta que representaría una sola recta sería = k . Aquí k es una cantidad escalar.
Una ecuación vectorial que represente esta recta sería,
r = a + k(b - a)
El valor de k puede variar hasta. Esta variación en el valor de k, mueve el punto P de una posición a otra, por ejemplo, cuando k = 0, entonces P = A.
Plano: De la misma forma, también puede definirse una ecuación vectorial para un plano. Suponga un vector que yace sobre el plano, sea este vector .Entonces la ecuación que representa este vector es = r - a.
Sea el vector que yace normal al plano, entonces se puede afirmar que, (r - a). n = 0. Por lo tanto, la ecuación vectorial que representa tal plano sería, r.n = a.n . También esto puede escribirse como, r.n = . Aquí es un término constante.