Recta _R2_R3_2023

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Capítulo 1 
 
 RECTA EN EL PLANO 
 
1.1. Ecuaciones de la recta en el plano 
1.1.1. Ecuación vectorial paramétrica de la recta 
 
Se tratará ahora de encontrar la 
ecuación vectorial paramétrica de 
la recta que pasa por el punto 
( )0, y00 xP y es paralela al vector 
( )21 u,uu=

 
Sean: 
( )0, y00 xP un punto del plano y 
( )21 u,uu =

, un vector. (Fig. 1.1.) 
 
 Fig. 1.1. 
 Se traza por Po la recta ℓ paralela al vector u

. (Fig. 1.2.) 
18 
 
 
 
 
Fig. 1.2. 
a) Para encontrar la ecuación de la recta ℓ, se toma sobre ella un punto 
cualquiera (genérico) P(x; y). 
Se trazan, luego, los vectores 
→→→
PPyOP;OP 00 . 
Se puede escribir, entonces: 
→→→
+= PPOPOP 00 
 Pero uλPPu//PP 00

=
→→
 
 En consecuencia: 
uλOPOP 0

+=
→→
 Ecuación vectorial paramétrica 
 
19 
 
Esta es la ecuación vectorial paramétrica de la recta que pasa por el punto 
P0 y es paralela al vector u

. 
Para cada valor del parámetro λ se tendrá un punto P distinto de la recta. 
Todo punto de la recta verifica esa ecuación. 
 
 b) Se verá ahora que cualquier punto P del plano que verifique la ecuación 
uλOPOP 0

+=
→→
 debe pertenecer a la recta ℓ. 
En efecto: 
 uλOPOP 0

+=
→→
 uλOPOP 0

=−
→→
 
uPPuλPP 00

//
→→
= 
En consecuencia: P  ℓ porque por un punto exterior a una recta (di-
rección de u

) pasa una, y sólo una, paralela a dicha recta. 
 
1.1.2. Ecuaciones cartesianas de la recta. 
En la ecuación uλOPOP 0

+=
→→
, se reemplaza cada vector por sus compo-
nentes, obteniéndose: 
( ) ( ) ( )2100 u,uλy,xyx, += 
Y efectuando la suma que figura en el segundo miembro, resulta: 
( ) ( )2010 λuy,λuxyx, ++= 
Pero dos vectores son iguales si sus componentes respectivas son iguales, 
de dónde se obtiene: 
20 
 
 



+=
+=
20
10
λuyy
λuxx
 Ecuación cartesiana paramétrica de la recta. 
Despejando  de cada una de las igualdades anteriores. 
2
0
1
0
u
yy
λ
u
xx
λ
−
=
−
= 
Si los primeros miembros son iguales, los segundos también lo son, por 
lo tanto, 
 
2
0
1
0
u
yy
u
xx −
=
−
 Ecuación simétrica de la recta. 
Eliminando denominadores: 
( ) ( )0102 yyuxxu −=− 
 011022 yuyuxuxu −=− 
 ( ) 0xuyuyuxu 020112 =−+− 
Haciendo 





=−
=−
=
Cxuyu
Bu
Au
0201
1
2
 y reemplazando, se obtiene 
 
Ax + By + C = 0 Ecuación general de la recta 
 
Ahora, despejando y, se obtiene: 
21 
 
B
C
x
B
A
y −−= dónde, haciendo 





=−
=−
b
B
C
m
B
A
 se obtiene 
 
 y = mx + b Ecuación explícita de la recta 
¿Qué representan los coeficientes m y b en la ecuación explícita? 
αtg
u
u
u
u
B
A
m
1
2
1
2 ==
−
−=−= 
El coeficiente m recibe el nombre de pendiente de la recta y es la tangente 
trigonométrica del ángulo que forma el vector dirección (o la recta) con el 
sentido positivo del eje x. 
Por otra parte, si en la ecuación general de la recta, se hace x = 0 resulta 
y = − 
B
C
  b = − 
B
C
 es la ordenada del punto donde la recta corta al 
eje y y recibe el nombre de ordenada al origen. 
Asimismo, si en la ecuación general se hace y = 0, resulta x = − 
A
C
, que 
es la abscisa del punto donde la recta corta al eje x. Se la designa con la 
letra a y se llama, abscisa al origen. 
Retomando la ecuación general de la recta: Ax + By + C = 0 
Si se pasa el término independiente al 2º miembro, se obtiene: 
Ax + By = − C 
Dividiendo ambos miembros por − C, se obtiene 
22 
 
 1
C
By
C
Ax
=
−
+
−
 ó también: 1
B
C
y
A
C
x
=
−
+
−
 
Haciendo a
A
C
=− y b
B
C
=− 
 Se obtiene 1
b
y
a
x
=+ Ecuación segmentaria (Fig.1.3.) 
 a y b son, respectivamente, la abcisa al origen y la ordenada al ori-
gen de la recta 
 
 
 
Fig. 1.3. 
 
Ejercicio: 
Encontrar las ecuaciones vectorial y cartesianas de la recta que pasa por el 
punto A (−1; 2) y es paralela al vector u
 ( )32,−= . (Fig.1.4.) 
23 
 
La ecuación vectorial paramétrica de la recta que pasa por el punto A y es 
paralela al vector u

 se escribe de la siguiente manera: 
uλOAOP

+=
→→
 
( ) ( )32,λ21,OP −+−=
→
 
 ( )3λ2,2λ1OP −+−=
→
 Ecuación vectorial paramétrica 
Ecuación cartesiana paramétrica 
 



−=
+−=
λ32y
2λ1x
 
Ecuación simétrica 
 
3
2y
2
1x
−
−
=
+
 
Ecuación general 
 − 3 (x + 1) = 2 (y − 2) 
 − 3 x − 3 = 2 y − 4 
 3x + 2y − 1 = 0 
Ecuación explícita 
 y = − 
2
3
 x + 
2
1
 
 
 Fig.1.4. 
24 
 
 Ecuación segmentaria 
 1
2
1
y
3
1
x
=+ 
Se verifican gráficamente los valores de la abscisa al origen y de la orde-
nada al origen, a = 
3
1
 y b = 
2
1
 , respectivamente. 
 
1.1.3. Ecuación vectorial de la recta 
Sea la recta que pasa por el punto P0 (x0; y0) y es perpendicular al vector 
( )21 n,nn=

. (Fig. 1.5.) 
 
 
 Fig. 1.5. 
 
25 
 
Para encontrar la ecuación de la recta ℓ, se toma un punto P(x; y) genérico 
de la recta. Como P0 y P son puntos de la recta, el vector 
→
PP0 está conte-
nido en la recta ℓ. Entonces nPP0

⊥
→
. 
Pero la condición de perpendicularidad de dos vectores es que su producto 
escalar sea nulo.  0nPP0 =•
→ 
 
La igualdad obtenida es la Ecuación vectorial de la recta que pasa por P0 
y es perpendicular al vector n

. 
  ( ) ( ) 0nn.yy,xx 2100 =−− , 
Resolviendo el producto escalar: 
 ( ) ( ) 0nyynxx 2010 =−+− 
 0ynynxn - xn 022011 =−+ 
 0ynn(yn xn 02121 =−−++ )0x 
Si se hacen: An1 = ; Bn2 = ; Cynn 021 =−− 0x se obtiene: 
Ax + By + C = 0 que es la Ecuación general de la recta. 
 Puesto que ( )21 n,nn=

, reemplazando resulta: ( )BA,n= 
Es decir que los coeficientes de x e y en la ecuación general de la recta son 
las componentes de un vector normal a la recta. 
Para verificar esta propiedad, se multiplica escalarmente el vector direc-
ción y el vector normal de una recta ℓ. 
26 
 
( ) ( )2121 n,n.u,un.u =

 
( ) ( )BA,.AB,−= 
ABAB +−= 
= 0 nu

⊥ 
Ejemplos: 
a) Hallar la ecuación vectorial y cartesiana de la recta que pasa por el 
punto A (−1, − 3) y es perpendicular al vector n

= (2, 1). (Fig.1.6.) 
b) 
 
 Fig. 1.6. 
 
Ecuación vectorial de  
 
 0nAP =•
→ 
 
 ( ) ( )=++ • 12,3y1,x 0 
 
 Ecuación general 
 2(x + 1) + (y + 3) = 0 
 2x + 2 + y + 3 = 0 
 2x + y + 5 = 0 
Ecuación explícita 
 
y = −2x − 5 
27 
 
Ecuación segmentaria 
 Se toma la ecuación general 2x + y + 5 = 0 
 
  2x + y = − 5 
 1
5
y
2
5
x
=
−
+
−
 
b) Hallar la ecuación simétrica y las ecuaciones cartesianas paramétricas 
de la recta del ejercicio anterior. 
Partiendo de la ecuación general: 2x + y + 5 = 0 
 2x + 5 = − y 
 y2
5
x2 −=





+ 
 
21
y2
5
x
=
−
+
 Ecuacion simétrica 
Igualando a  cada uno de los miembros de esta ecuación 
  = 
1
2
5
−
+x
  = 
2
y
 
 




=
−−=
2λy
λ
2
5
x
 Ecuaciones cartesianas paramétricas 
28 
 
La recta pasa por el punto (−5/2, 0) y es paralela al vector u

de compo-
nentes (−1, 2), lo cuál se puede ver en la Fig1.6. 
 
 
29 
 
 
 
c) Cálculo del ángulo entre dos rectas usando pendientes 
30 
 
 
Fig.1.19. 
 
 
βtgm;αtgm 21 == 
 φ = β + 180 − α 
 φ = 180 + (β − α) 
tg φ = tg (180 + (β − α)) 
 = tg (β − α) 
tg φ 
βtgαtg1
αtgβtg
+
−
= 
 
 
 φ = arc tg 
21
12
mm1
mm
+
−
 
 
Ejemplo: Tomando las mismas rectas del ejercicio anterior 
ℓ1: 3 x - 2 y + 8 = 0 y ℓ2: 4 x + 2 y - 5 = 0 
 
 y = 
2
3
x + 4 y = − 2x + 
2
5
 
 1m = 
2
3
 2m = − 2 
31 
 
φ = arc tg 
( )2
2
3
1
2
3
2
−





+
−−
 = arc tg 
2
2
7
−
−
 = arc tg 
4
7
 = 60 15'18'' 
 φ = 60 15'18'' 
32 
 
 
33 
 
 
 
 
34 
 
 
 
 
Familia de rectas 
Se llama de este modo a todas las rectas que satisfacen una única condición 
geométrica. 
a) Dada la pendiente m, para expresar la familia de rectas que tienen dicha 
pendiente, consideramos la familia de rectas representada por la ecuación 
 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑘 donde m es dato y 𝑘 ∈ ℝ 
b) Para expresar todas las rectas que pasan por el punto 𝑃0(𝑥0, 𝑦0), analítica-
mente representamos esta familia de rectas por la ecuación 
35 
 
 𝑦 − 𝑦0 = 𝑘(𝑥 − 𝑥0) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ 
Esto también es considerado como un haz de rectas de centro 𝑃0y su ecua-
ción está determinada por 𝐴(𝑥 − 𝑥0) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0) = 0 
Demostración 
Si 𝑙 es una recta del haz que tiene por ecuación 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 con A y B 
no simultáneamente nulos, entonces 𝑃0 ∈ 𝑙 es decir que satisface su ecua-
ción. Por lo tanto 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶 = 0 de donde 𝐶 = −𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 reemplazando 
en la ecuación general de la recta 
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 − 𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 = 0 
 𝐴(𝑥 − 𝑥0) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0) = 0 
Ecuación general implícita del haz de rectas de centro 𝑃0(𝑥0, 𝑦0) 
c) Familia de rectas que pasan por la intersección de dos rectas dadas 
Supongamos que las ecuaciones de dos rectas que se cortan en un punto 
son 
 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 𝑦 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0 entonces la ecuación 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 +
𝐶1 + 𝑘( 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2) = 0 (1) donde 𝑘 ∈ ℝ, representa la familia de todas 
las rectas que pasan por la intersección de las dos rectas dadas, ya que ( 1 ) 
se satisface con las coordenadas del punto de intersección de las graficas de 
las dos rectas dadas. La ventaja de ( 1 ) es que se puede obtener la ecuación 
de la recta que pasa por la intersección de dos rectas dadas sin tener que 
buscar el punto de intersección. 
Ejemplo: 
Hallar la ecuación de la recta de pendiente 
2
3
 que pasa por el punto de inter-
sección de las rectas cuyas ecuaciones son 𝑙1: 𝑥 − 5𝑦 − 7 = 0, 𝑙2: 2𝑥 + 𝑦 −
3 = 0 
a) Hallando el punto de intersección 
Para hallar el punto de intersección se resuelve el sistema de dos ecuaciones 
lineales con dos ecuaciones 
 {
 𝑥 − 5𝑦 − 7 = 0
2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
 obteniéndose 𝑥 = 2 𝑒 𝑦 = −1 Por lo tanto el punto de inter-
sección es 𝑃0(2, −1) 
36 
 
Aplicamos la fórmula de la familia de rectas con pendiente conocida y que 
pasa por un punto. 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑘(𝑥 − 𝑥0) 
 𝑦 + 1 =
2
3
(𝑥 − 2) 
𝑦 =
2
3
𝑥 −
7
3
 
b) Sin hallar el punto de intersección 
Aplicamos la fórmula 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 + 𝑘( 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2) = 0 
 𝑥 − 5𝑦 − 7 + 𝑘(2𝑥 + 𝑦 − 3) = 0 (1) 
𝑥 − 5𝑦 − 7 + 2𝑘𝑥 + 𝑘𝑦 − 3𝑘 = 0 
 (1 + 2𝑘)𝑥 + (−5 + 𝑘)𝑦 + (−7 − 3𝑘) = 0 
La pendiente de esta recta es 
–(1+2𝑘)
−5+𝑘
 que debe valer 
2
3
 por lo tanto 
–(1+2𝑘)
−5+𝑘
=
2
3
 
 −3 − 6𝑘 = −10 + 2𝑘 
 𝑘 =
7
8
 
Reemplazando en ( 1 ) 
𝑥 − 5𝑦 − 7 +
7
8
(2𝑥 + 𝑦 − 3) = 0 
 8𝑥 − 40𝑦 − 56 + 14𝑥 + 7𝑦 − 21 = 0 
 22𝑥 − 33𝑦 − 77 = 0 
 𝑦 =
2
3
𝑥 −
7
3
 
Distancia de un punto a una recta 
a) En E2 en forma vectorial y cartesiana 
La distancia de un punto 𝑃0(𝑥0, 𝑦0) a la recta 𝑙 que no pasa por el origen y de 
ecuación 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 es 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑙) = |
𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶
√𝐴2+𝐵2
| 
Demostración 
 
37 
 
 
 
Vemos que 
 cos �̂� =
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0,𝑙)
| 𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |
 ⟹ 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑙) = | 𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | cos �̂� (1) 
Pero �̂� es el ángulo entre los vectores 𝑛 ⃗⃗ ⃗ 𝑦 𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ por lo tanto cos �̂� =
𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∙𝑛 ⃗⃗ ⃗
| 𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | | 𝑛 ⃗⃗ ⃗ |
 
reemplazando e ( 1 ) 
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑙) = | 𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | 
𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∙𝑛 ⃗⃗ ⃗
| 𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | | 𝑛 ⃗⃗ ⃗ |
 
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑙) = 
𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∙𝑛 ⃗⃗ ⃗
 | 𝑛 ⃗⃗ ⃗ |
 (2) Ecuación vectorial de la distancia del punto 𝑃0 a la 
recta 𝑙 que no pasa por el origen 
De esta ecuación sabemos 𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝑥0 − 𝑥, 𝑦0 − 𝑦) 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 
∙𝑛 ⃗⃗ ⃗
 | 𝑛 ⃗⃗ ⃗ |
=
(𝐴,𝐵)
√𝐴2+𝐵2
 re-
emplazando en ( 2 ) 
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑙) =
(𝑥0−𝑥,𝑦0−𝑦)∙(𝐴,𝐵)
√𝐴2+𝐵2
 
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑙) =
𝐴𝑥0−𝐴𝑥+𝐵𝑦0−𝐵𝑦
√𝐴2+𝐵2
=
𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+(−𝐴𝑥−𝐵𝑦)
√𝐴2+𝐵2
 como 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 ⟹
 𝐶 = −𝐴𝑥 − 𝐵𝑦 
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑙) =
𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶
√𝐴2+𝐵2
 
38 
 
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑙) = | 
𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶
√𝐴2+𝐵2
 | ya que es distancia 
Ejemplo: 
Calcular la distancia del punto 𝑃0(1, −1) a la recta 𝑙: 4𝑥 − 5𝑦 + 6 = 0 
i) En forma vectorial 
𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝑥 − 1, 𝑦 + 1), 𝑛 ⃗⃗ ⃗ = (4, −5) 𝑦 | 𝑛 ⃗⃗ ⃗ | = √41 
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑙) =
(𝑥−1,𝑦+1)∙(4,−5) 
√41
 
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑙) =
4𝑥−4−5𝑦−5
√41
 
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑙) =
4𝑥−5𝑦−9
√41
 
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑙) =
−6−9
√41
=
−15
√41
 
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑙) ≅ 2,34 [ 𝑢 𝑙 ] 
 
ii) En forma cartesiana 
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑙) = | 
4.1−5(−1)+6
√42+(−5)2
 | 
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑙) = |
15
√41
| 
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑙) ≅ 2,34 [ 𝑢 𝑙 ] 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 3 
 
 
RECTA EN EL ESPACIO 
 
3.1. Ecuaciones de la recta en el espacio 
 
3.1.1. Ecuación vectorial paramétrica de la recta de E3 que pasa por 
el punto P0(x0,y0,z0) y es paralela a un vector ( )321 u,u,uu=

 
Dados P0(x0, y0, z0) y ( )321 u,u,uu=

 , se traza por P0 una recta ℓ 
paralela a u

. (Fig. 3.1) Se toma P(x, y, z) punto genérico de la recta 
y se trazan los vectores 
→→→
PPyOPOP 00, , quedando lo siguiente: 
→→→
+= PPOPOP 00 
Pero uPP0

//
→
, porque 
→
PP0 es un vector determinado por dos pun-
tos de la recta ℓ. 
uλPP0

=
→
 
40 
 
 
Fig. 3.1. 
 uλOPOP 0

+=
→→
 
que es la ecuación vectorial paramétrica de la recta que pasa por P0 y es 
paralela a u

. 
 
3.1.2. Ecuaciones cartesianas de la recta en E3 
Al reemplazar en la ecuación uλOPOP 0

+=
→→
 cada vector por sus compo-
nentes, se obtiene: 
( ) ( ) ( )321000 u,u,uλz,y,xzy,x, += 
41 
 
( ) ( )302010 λuz,λuy,λuxzy,x, +++= 
Puesto que dos vectores son iguales si son iguales sus componentes res-
pectivas, resulta: 





+=
+=
+=
30
20
10
λuzz
λuyy
λuxx
 
Ecuaciones cartesianas paramé-
tricas de la recta que pasa por P0 
y es paralela a u

. 
 
 
Si de cada ecuación se despeja  , se obtendrán las igualdades: 
 
3
0
2
0
1
0
u
zz
λ;
u
yy
λ;
u
xx
λ
−
=
−
=
−
= 
Si los primeros miembros son iguales, los segundos también lo son, de 
donde resulta: 
3
0
2
0
1
0
u
zz
u
yy
u
xx −
=
−
=
−
 
Ecuación simétrica de la 
recta 
 
 
Ejemplo 
a) Escribir las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos 
A= (3, 2, −1) y B = (− 1, 1, 4). (Fig. 3.2)( )51,4,ABu −−==
→
 
( ) ( )51,4,λ12,3,OPABλOAOP −−+−=+=
→→→→
 
42 
 
( )5λ1λ,2,4λ3OP +−−−=
→
 Ec. vectorial paramétrica 
 
 Fig. 3.2. 
 





+−=
−=
−=
5λ1z
λ2y
4λ3x
 Ecuaciones cartesianas paramétricas 
 
5
1z
1
2y
4
3x +
=
−
−
=
−
−
 Ecuación simétrica 
 
43 
 
3.1.3. Recta dada por dos planos 
Una recta se puede definir también como la intersección de dos planos. 
 ℓ = 1  2 
Algebraicamente los puntos de la recta representan las soluciones del sis-
tema formado por las ecuaciones de los dos planos. 
  ℓ : 



=+++
=+++
)(π0DzCyBxA
)(π0DzCyBxA
22222
11111
 
Como la recta es la intersección de ambos planos, su vector dirección 
será simultáneamente perpendicular a los vectores normales a los pla-
nos. 
 
222
11121
CBA
CBA
kji
nnu


== 
 
Ejemplos 
a) Escribir la ecuación vectorial paramétrica y simétrica de la recta dada 
por los planos 1 : x + y + z − 8 = 0 y  2: 2 x − 3y − z + 5 = 0 
 
El vector dirección de la recta será: 
( )53,2,
132
111
kji
nnu 21 −=
−−
==


 
44 
 
Un punto de la recta se obtiene dándole valor a una de las variables. 
Por ejemplo, si se toma: z = 1 



−=−
=+
43y2x
7yx
 
 





== 1,
5
18
,
5
17
P
5
18
y
5
17
x 0 
 
La ecuación vectorial paramétrica de ℓ es: 
( )53,2,λ1,
5
18
,
5
17
OP −+





=
→
 
 
y su ecuación simétrica: 
5
1z
3
5
18
y
2
5
17
x
−
−
=
−
=
−
 
 
b) Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por P0(1, 2, 3) y es paralela a 
( )03,2,u= . (Fig. 3.3.) 
 ( ) ( )03,2,λ32,1,OP +=
→
 Ecuación vectorial paramétrica 
 





=
+=
+=
3z
3λ2y
2λ1x
 Ecuaciones cartesianas paramétricas 
 
45 
 
 
 
Fig. 3.3. 
Se puede despejar λ de la primera y segunda ecuación, pero no de la 
tercera 
  =
2
1x −
  =
3
2y −
 
Entonces resulta: 




=
−
=
−
3z
3
2y
2
1x
 
46 
 
En consecuencia, no se puede escribir la ecuación simétrica. La recta 
queda determinada por dos ecuaciones de primer grado o sea, por dos 
planos. 
 
c) Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por (2, − 2, 1) y es paralela 
a ( )30,0,u= . (Fig.3.4.) 
 
Fig. 3.4. 
La ecuación vectorial paramétrica es: ( ) ( )30,0,λ12,2,OP +−=
→
 
Las ecuaciones cartesianas paramétricas son: 
47 
 





+=
−=
=
3λ1z
2y
2x
 
 
Entonces, la recta queda determinada por dos planos: 
 



−=
=
2y
2x
 
 
3.2. Representación de rectas de E3 
3.2.1. Dado un punto P0 y el vector dirección u

 
 
 
 Fig. 3.5. 
48 
 
Una vez representados uvectorelyP0

, se traza por P0 una recta para-
lela a u

. (Fig. 3.5.) 
 
3.2.2. Representación de una recta por medio de sus trazas 
Las trazas de una recta son los puntos de intersección de la recta con 
cada uno de los planos coordenados. 
 
Ejemplos 
a) Representar la recta ℓ por medio de sus trazas.(Fig. 3.6.) 
 
ℓ: 



=−++
=+−−
08zyx
05z3y2x
 
 Traza sobre el plano XY 
z = 0 



=−+
=+−
08yx
053y2x
 
5
21
y
5
19
x == 






 0,
5
21
,
5
19
TXY 
 
Fig. 3.6. 
49 
 
Traza sobre el plano XZ (y = 0) 



=−+
=+−
08zx
05z2x
 
7z1x == 
( )70,1,TXZ 
Traza sobre el plano YZ (x = 0) 



=−+
=+−−
08zy
05z3y
 
2
19
z
2
3
y =−= 
 





−
2
19
,
2
3
0,TYZ 
b) Representar la recta: 
1
1z
4
3y
2
1x
−
−
=
+
=
−
 por medio de sus trazas. 
(Fig.3.7.) 
 
Traza sobre plano XY 
 z = 0 
( )01,3,T
1y1
4
3y
3x1
2
1x
XY





==
+
==
−
 
 
Traza sobre el plano XZ 
50 
 
 y = 0 





==
−
−
==
−
4
1
z
4
3
1
1z
2
5
x
4
3
2
1x
 
 






4
1
0,,
2
5
TXZ 
Traza sobre plano YZ 
 x = 0 
 





=−=
−
−
−=−=
+
2
3
z
2
1
1
1z
5x
2
1
4
3y
 
 





−
2
3
5,0,TYZ Fig. 3.7. 
 
 
3.3. Distancia 
3.3.1. Distancia de un punto a una recta del espacio 
51 
 
Sea ( )0000 z,y,xP un punto no perteneciente a la recta  y sean el punto 
( )1111 z,y,xP perteneciente a  y ( )321 u,u,uu =

 su vector dirección. 
//uyP;P 10

   (Fig. 3.10.) 
 
 
 Fig. 3.10. 
 
Pero, por definición de producto vectorial: 
La distancia de P0 a la recta ℓ es el segmento de perpendicular trazado 
desde ese punto a la recta. Por Teorema de Pitágoras: 
d(P0,  ) senPP 10
→
= φ (1) 
52 
 
 
senuPPuPP 1010
 →→
= φ  sen φ = 
uPP
uPP
10
10


→
→

 
Reemplazando en (1): 
d(P0,  )
→
= 10PP .
uPP
uPP
10
10


→
→

 
 d(P0,  ) = 
u
uPP 10

→

 Distancia de un punto a una recta del espacio 
 
Definición: 
La distancia de un punto a una recta de E3 es igual al módulo del producto 
vectorial del vector dirección de la recta y el vector determinado por el 
punto dado y un punto de la recta, dividido por el módulo del vector di-
rección de la recta. 
Ejemplo 
Hallar la distancia del punto A(-1, 2, 3) a la recta  de ecuación: 
 : 
2
5z
3
y1
6
42x −
=
−
=
−
 
53 
 
En primer lugar se halla la ecuación simétrica de la recta: 
 : 
2
5z
3
1y
3
2x −
=
−
−
=
−
 
De esta ecuación se deduce que la recta pasa por P1(2, 1, 5) y su vector 
dirección es: ( )2)3,3,u −= . 
Entonces, 
d(A,  ) = 
u
uAP1



→
 
( ) ( )60,4,
233
213
kji
uAP21,3,AP 11 −=
−
−=−=
→→


 
 
22499uy1325236016uAP1 =++===++=
→ 
 
 d(A,  ) = 
22
132
= 1,53741223  1,54 
3.3.2. Distancia entre rectas paralelas 
Puesto que ambas rectas tienen el mismo vector dirección, el problema 
se resuelve calculando la distancia desde un punto de una de las rectas a 
la otra. (Fig. 3.11) 
54 
 
 
 
Fig.3.11. 
 
u

// ℓ1 // ℓ2 
P1ℓ1 
 
P2ℓ 
 
d(ℓ1, ℓ2) = 
u
uPP 21



→
 
 
 
 
Ejemplo 
Hallar la distancia entre las rectas paralelas ℓ1 y ℓ2. 
 ℓ1 = 
2
4z
3
1y
3
3x +
=
−
+
=
−
 ; ℓ2 = 
2
5z
3
1y
3
2x −
=
−
−
=
−
 
P1(3; −1; −4)  ℓ1 y P2(2; 1; 5)  ℓ2 ( )92,1,PP 21 −=
→
 
( )23,3,u −= es el vector dirección de ambas rectas 
55 
 
( )329,31,
233
921
kji
uPP 21 −=
−
−=
→


 
18119841961uPP 21 =++=
→ 
 
 22499u =++=

 
d(ℓ1, ℓ2) = 9,071
22
1811
 
3.3.3. Mínima distancia entre rectas que se cruzan 
Las rectas que se cruzan pueden ser: 
secantes: tienen un punto en común y son coplanares. 
alabeadas: no tienen puntos comunes y no son coplanares. 
Como dos rectas alabeadas no son coplanares, no deben confundirse con 
las rectas paralelas. 
Un ejemplo de rectas alabeadas son dos rectas de direcciones distintas in-
cluídas en dos planos paralelos. (Fig. 3.12.) 
ℓ1 y ℓ2 son dos rectas alabeadas 
56 
 
1 // 2 y 1 2 
 
 
Fig. 3.12. 
La mínima distancia 
entre ambas rectas 
es el segmento per-
pendicular a ambas 
rectas. (Fig. 3.13.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.13. 
Sean las rectas ℓ1 que pasa por P1 y es paralela al vector 1u

 y ℓ2que pasa 
por P2 y es paralela al vector 2u

. 
En símbolos: P1  ℓ1 ; P2  ℓ2 ; 1u

// ℓ1 y 2u

// ℓ2 
La mínima distancia entre las rectas ℓ1 y ℓ2 es numéricamente igual a la 
medida de la proyección del vector 
→
21PP sobre el vector 21 uu

 que es un 
vector perpendicular a ambas rectas. 
57 
 
Así, conociendo un punto de cada recta y sus vectores dirección, se puede 
calcular la mínima distancia entre ambas. 
d(ℓ1 , ℓ2) = 
→
 2P1P21 uu
Proy  
( )
21
2121
uu
uuPP




=
•
→
 
La distancia se toma en valor en valor absoluto. 
 
 
d(ℓ1 , ℓ2) 
( )
21
2121
uu
uuPP




=
•
→
 
 
 
Ejemplo 
Hallar la mínima distancia entre las rectas que se cruzan: 
ℓ1 : 
2
4z
3
1y
3
3x +
=
−
+
=
−
 y ℓ2 : 
1
3z
2
1y
5
2x
−
+
=
−
=
+
 
P1 (3; −1;− 4)  ℓ1 P2 (−2; 1; −3)  ℓ2 
( )23,3,u1 −=

 // ℓ1 ( )12,5,u2 −=

 // ℓ2 
( )12,5,PP 21 −=
→
 
( )2113,1,
125
233
kji
uu 21 −=
−
−=


 
58 
 
( ) ( ) ( )2113,1,12,5,uuPP 2121 −−= ••
→ 
 
 
 = 5 + 26 + 21 
= 52 
 
6114411691uu 21 =++=

 
d(ℓ1 , ℓ2) 
( )
21
2121
uu
uuPP




=
•
→
 3,56
611
52
611
52
== 
3.4. Ángulos 
3.4.1. Ángulo entre rectas 
El ángulo que forman dos rectas que se cruzan se mide por el ángulo 
que forman sus vectores dirección. 
 
21
21
uu
uu
cosarc 

•
= 
 
 Ejemplo 
Hallar el ángulo que forman las rectas que se cruzan dadas en el ejemplo 
del punto 3.3.3. 
( )23,3,u1 −=

 ( )12,5,u2 −=

 
 
59 
 
 
( ) ( )
3022
12,5,23,3,
cosarc
−−
=
•
 
 
660
2615
cosarc
−−
= 
 
660
7
cosarc= 
 18"11'74º 
 
3.4.2. Ángulo entre recta y plano 
Sean la recta ℓ de ecuación: 
3
0
2
0
1
0
u
zz
u
yy
u
xx −
=
−
=
−
 y el plano  de 
ecuación Ax+By+Cz+D = 0 
El ángulo  que forman la recta ℓ y el plano  es complementario del 
ángulo que forman los vectores 

uynπ (vector normal al plano y vector 
dirección de la recta, respectivamente). (Fig. 3.14.) 
90º -  




un
un
cosarc
π
π •= 
 




un
un
senarc
π
π •= 
ó también  = arc sen
2
3
2
2
2
1
222
321
uuuCBA
CuBuAu
++++
++
 
60 
 
Esta expresión permite calcular el ángulo que forman una recta del 
espacio con un plano. 
 
 Fig. 3.14. 
 
Ejemplo 
Hallar el ángulo que forma el plano π: 2x − 3y + z = 5 y la recta 
ℓ: 



=++
=+
1z2y3x
5y2x
 
( ) ( )12,1,
123
012
kji
u13,2,n π −==−=


 
61 
 
φ 
( ) ( )
24"6'79º
84
9
senarc
614
2,11,3,12,
senarc =
−−
=
•
 
3.5. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre recta y 
plano 
Sean la recta ℓ de ecuación: 
3
0
2
0
1
0
u
zz
u
yy
u
xx −
=
−
=
−
 y el plano  de 
ecuación Ax+By+Cz+D = 0 
3.5.1. Paralelismo 
Si la recta es paralela al plano, su vector dirección es perpendicular al 
vectos normal al plano. (Fig. 3.15.). 
ℓ // π 
0nunu ππ =⊥ •

 
 
 
 
62 
 
Fig.3.15. 
 
En consecuencia, la condición de paralelismo entre una recta y un 
plano es que el producto escalar del vector dirección de la recta por el 
vector normal al plano sea igual a cero. 
 Au1 +Bu2 +Cu4 = 0 
3.5.2. Perpendicularidad 
Si la recta es perpendicular al plano, su vector dirección es paralelo al 
vector normal al plano. (Fig. 3.16.). 
 
ℓ ⊥   

u // 
C
u
B
u
A
u
nλun 321ππ ===

 
 
 Fig.3.16 
63 
 
En consecuencia, la condición de perpendicularidad entre una recta 
y un plano es que el vector dirección de la recta y el vector normal al 
plano tengan sus componentes proporcionales.