S04 s1 - LA RECTA EN R2 - ECUACIONES DE LA RECTA

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LA RECTA EN ℛ2
ECUACIONES DE LA RECTA
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante genera las distintas ecuaciones de una 
recta mediante dos puntos y resuelve ejercicios aplicados a la ingeniería 
donde utiliza el concepto de Pendiente de la Recta.
Datos/Observaciones
LA RECTA ECUACIONES
ℛ𝟐
Para hallar la ecuación de una recta, es 
necesario un punto de paso y un vector 
director.
𝑃 𝑥0, 𝑦0
 𝑣
 𝑣 = 𝑃𝑄 = 𝑄 − 𝑃
𝑃
𝑄
I La Recta Mediante la Teoría de Vectores
1 ECUACIÓN VECTORIAL
LA RECTA EN R2
Aquella que pasa por un punto 𝑷𝟎 en la 
dirección de 𝒗 :
2 ECUACION PARAMÉTRICA
Aquella que pasa por un punto 𝑷𝟎 = 𝒙𝟎, 𝒚𝟎
en la dirección de 𝒗 = 𝒗𝟏, 𝒗𝟐 :
3 ECUACIÓN SIMÉTRICA
Resulta de despejar el parámetro 𝒕 en cada una 
de las ecuaciones paramétricas e igualarlas:
4 ECUACIÓN GENERAL
Se encuentra resolviendo la ecuación simétrica:
Determine todas las ecuaciones de la recta que 
pasa por los puntos 𝐴(−1,2) y 𝐵(7,−4).
Ejemplo 19.
SOLUCIÓN:
𝑃 = −1, 2 + 𝑡 8,−6
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍
VECTORES PARALELOS Y PERPENDICULARES
 𝑣 = 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = 7, −4 − −1, 2 = 8,−6
 
𝑥 = −1 + 8𝑡
𝑦 = 2 − 6𝑡
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑷𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂
𝑥 + 1
8
=
𝑦 − 2
−6
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑺𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂
−6 𝑥 + 1 = 8 𝑦 − 2
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑮𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍
−6𝑥 − 6 = 8𝑦 − 16
0 = 6𝑥 + 8𝑦 − 10
ℒ: 3𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0
𝐴
 𝑣
𝐵
Para hallar la ecuación de una recta, es 
necesario un punto de paso y la pendiente 
de la recta.
𝑃 𝑥0, 𝑦0
𝑚
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑃
𝑄
𝑄 𝑥1, 𝑦1
II La Recta Mediante la Geometría Analítica
1 ECUACIÓN ORDINARIA
LA RECTA EN R2
Es aquella que pasa por un punto 𝑷𝟎 con pendiente 𝒎
2 ECUACION GENERAL
Resulta de resolver la ecuación anterior.
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 = −
𝐴
𝐵
Determine la Ecuación General de la Recta que pasa por los puntos 𝐴(−1,2)
y 𝐵(7, −4) y halle sus puntos de intersección con los ejes coordenados. 
Grafique
Ejemplo 20. 
SOLUCIÓN:
VECTORES PARALELOS Y PERPENDICULARES
𝑦 − 2 = −
3
4
𝑥 + 1
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑮𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0
4𝑦 − 8 = −3𝑥 − 3
𝓛: 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟓 = 𝟎
𝑚 =
−4 − 2
7 − (−1)
=
−6
8
= −
3
4
𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒋𝒆𝒔:
𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 =
5
4
𝑦 = 0 ⟹ 𝑥 =
5
3
3 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
LA RECTA EN R2
La distancia de un punto 𝑸𝟎 = 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 a la recta 𝓛: 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 está dada por:
𝐴 𝑥1, 𝑦1
𝐵 𝑥2, 𝑦2
𝑄 𝑥0, 𝑦0
𝑑 𝑄0, 𝐿
Halle la distancia del punto 𝑃(6 ; 12 ) a la recta que pasa por los 
puntos 𝐴(2 ; 5 ) y 𝐵(8 ; 9 ).
Ejemplo 21. 
SOLUCIÓN:
VECTORES PARALELOS Y PERPENDICULARES
3𝑦 − 15 = 2𝑥 − 4
𝑦 − 5 =
2
3
𝑥 − 2
ℒ: 2𝑥 − 3𝑦 + 11 = 0
𝑚 =
9 − 5
8 − 2
=
4
6
=
2
3
𝑑 𝑃, ℒ =
2 6 − 3 12 + 11
22 + −3 2
𝑑 𝑃, ℒ =
2 6 − 3 12 + 11
13
=
−13
13
𝑑 𝑃, ℒ =
13
13
= 13
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. El vector director es muy 
importante así como la 
pendiente, “encuentra su 
similitud”
2. Reconoce las distintas 
formas de la ecuación de 
la recta vectorialmente y 
geométricamente.
Excelente tu 
participación
Los retos sacan lo 
mejor de ti.
Ésta sesión 
quedará 
grabada para tus 
consultas.

PARA TI
1. Realiza los 
ejercicios 
propuestos de ésta 
sesión y práctica 
con la tarea .
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−
3
2
; 5 ) 𝑦 𝐵(7 ; −
1
2
)
SOLUCIÓN:
RPTA:
VECTORES EN R2
ℒ: 22𝑥 + 34𝑦 − 137 = 0
𝐴𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑒𝑙𝑖𝑧
17𝑦 − 85 = −11𝑥 −
33
2
𝑦 − 5 = −
11
17
𝑥 +
3
2
ℒ: 11𝑥 + 17𝑦 −
137
2
= 0
𝑚 =
−
1
2 − 5
7 +
3
2
=
−
11
2
17
2
= −
11
17
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Determine el punto de paso y el vector director de la recta cuya ecuación es:
SOLUCIÓN:
RPTA:
7 − 3𝑥
−2
=
2𝑦 + 7
3
VECTORES EN R2
𝑃0 =
7
3
,−
7
2
; 𝑣 =
2
3
,
3
2
− 3𝑥 − 7
−2
=
2𝑦 + 7
3
3𝑥 − 7
2
=
2𝑦 + 7
3
¡Recuerdo!
7 − 3𝑥
−2
=
2𝑦 + 7
3
Considerando:
3𝑥 − 7
2
=
2𝑦 + 7
3
= 𝑡
𝑥 =
7
3
+
2
3
𝑡
𝑦 = −
7
2
+
3
2
𝑡
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO
Determine la ecuación general y la pendiente de la recta 
de ecuación 
𝑥 = 2 + 3α
𝑦 = −1 − 6𝛼
Datos/Observaciones
La Recta en ℛ2